Một số lớp bài toán về xác định đa thức đại số

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG TRƯƠNG TRUNG DUYÊN MỘT SỐ LỚP BÀI TOÁN VỀ XÁC ĐỊNH ĐA THỨC ĐẠI SỐ LUẬN VĂN THẠC SỸ KHOA HỌC ĐÀ NẴNG - NĂM 2015 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG TRƯƠNG TRUNG DUYÊN MỘT SỐ LỚP BÀI TOÁN VỀ XÁC ĐỊNH ĐA THỨC ĐẠI SỐ LUẬN VĂN THẠC SỸ KHOA HỌC Chuyên ngành: PHƯƠNG PHÁP TOÁN SƠ CẤP Mã số: 60.46.10.13 Người hướng dẫn khoa học: GS TSKH NGUYỄN VĂN MẬU ĐÀ NẴNG - NĂM 2015 MỤC LỤC MỞ ĐẦU Lý chọn đề tài Mục đích nghiên cứu Đối tượng phạm vi nghiên cứu Phương pháp nghiên cứu Ý nghĩa khoa học thực tiễn đề tài Cấu trúc luận văn CHƯƠNG NHỮNG KIẾN THỨC BỔ TRỢ 1.1 MỘT SỐ TÍNH CHẤT CƠ BẢN CỦA ĐA THỨC ĐẠI SỐ 1.2 MỘT SỐ KIẾN THỨC CƠ BẢN VỀ ĐA THỨC VỚI HỆ NGUYÊN 1.3 BẤT ĐẲNG THỨC SỐ CHƯƠNG XÁC ĐỊNH ĐA THỨC THEO CÁC YẾU TỐ ĐẠI SỐ 2.1 XÁC ĐỊNH ĐA THỨC THEO ĐẶC TRƯNG SỐ HỌC 2.2 XÁC ĐỊNH ĐA THỨC THEO TÍNH CHẤT NGHIỆM 2.3 XÁC ĐỊNH ĐA THỨC THEO ĐẶC TRƯNG HÀM VỚI CÁC BIẾN TỰ DO 2.4 XÁC ĐỊNH ĐA THỨC BỞI PHÉP BIẾN ĐỔI ĐỐI SỐ 2.5 XÁC ĐỊNH ĐA THỨC THEO ĐẶC TRƯNG NỘI SUY CHƯƠNG XÁC ĐỊNH ĐA THỨC THEO CÁC YẾU TỐ GIẢI TÍCH 3.1 XÁC ĐỊNH ĐA THỨC THEO ĐẶC TRƯNG GIỚI HẠN, LIÊN TỤC 3.2 XÁC ĐỊNH ĐA THỨC THEO ĐẶC TRƯNG VI PHÂN 3.3 XÁC ĐỊNH ĐA THỨC THEO ĐẶC TRƯNG TÍCH PHÂN 1 1 2 4 10 10 14 22 29 36 44 44 50 58 KẾT LUẬN 63 TÀI LIỆU THAM KHẢO 64 QUYẾT ĐỊNH GIAO ĐỀ TÀI LUẬN VĂN (bản sao) LỜI CAM ĐOAN Tôi cam đoan cơng trình nghiên cứu riêng tơi Các số liệu, kết nêu luận văn trung thực chưa công bố cơng trình khác Tác giả luận văn TRƯƠNG TRUNG DUYÊN MỞ ĐẦU Lý chọn đề tài Lịch sử phát triển lồi người chứng tỏ tốn học đỉnh cao trí tuệ, xuất nhiều ngành khoa học Như biết, đa thức chuyên đề trọng tâm chương trình tốn trung học phổ thơng Đa thức khơng đối tượng nghiên cứu quan trọng đại số mà cịn cơng cụ đắc lực nhiều lĩnh vực giải phương trình, bất phương trình ứng dụng khác Trong kì thi học sinh giỏi cấp quốc gia, quốc tế, kì thi Olympic Tốn sinh viên trường đại học, toán liên quan đến đa thức thường xuyên đề cập xem dạng tốn khó Do đó, đa thức vấn đề cổ điển tơi, đa thức có sức hút hấp dẫn vơ Chính vậy, tơi chọn đề tài "Một số lớp toán xác định đa thức đại số" Đề tài nhằm đáp ứng mong muốn thân đề tài phù hợp, phục vụ thiết thực cho việc giảng dạy nhà trường phổ thơng Mục đích nghiên cứu Mục đích đề tài nhằm hệ thống tổng quan dạng toán xác định đa thức theo yếu tố đại số giải tích Nghiên cứu đề tài nhằm mục đích tác giả hồn thiện kiến thức nâng cao trình độ chun mơn thân Đối tượng phạm vi nghiên cứu a Đối tượng nghiên cứu Đề tài tập trung nghiên cứu dạng toán xác định đa thức theo yếu tố đại số giải tích b Phạm vi nghiên cứu Đề tài tập trung nghiên cứu toán xác định đa thức đại số tập số thực Phương pháp nghiên cứu Nghiên cứu tài liệu, sách tham khảo, giáo trình GS.TSKH Nguyễn Văn Mậu, trang web tốn học từ trao đổi với thầy hướng dẫn kết nghiên cứu Nghiên cứu qua thực tế giảng dạy Ý nghĩa khoa học thực tiễn đề tài Tạo đề tài gần gũi phù hợp cho việc giảng dạy bồi dưỡng học sinh giỏi trung học phổ thơng Đề tài đóng góp thiết thực cho việc dạy học chun đề tốn trung học phổ thơng, qua đem lại niềm say mê sáng tạo từ toán Bài toán xác định đa thức thường gặp giải phương trình hàm tập đa thức Ta trước hết xác định bậc đa thức xác định hệ số sử dụng tính chất vành đa thức Thật khó để phân chia toán xác định đa thức theo biên giới rạch ròi tiêu đề chương, vài vấn đề có xuất bóng dáng vấn đề kia.Tuy nhiên, người viết cố gắng trình bày cách mạch lạc, hệ thống tập xoay quanh chủ đề chương luận văn Luận văn bao gồm phần mở đầu, chương, phần kết luận, danh mục tài liệu tham khảo Chương I Những kiến thức bổ trợ Trong chương này, người viết trình bày tóm tắt kiến thức đa thức đa thức hệ số nguyên, số bất đẳng thức dùng chương sau Chương II Xác định đa thức theo yếu tố đại số Chương trình bày tổng quan tốn xác định đa thức theo yếu tố đại số đặc trưng số học, tính chất nghiệm, đặc trưng nội suy, đặc trưng hàm với biến tự do, với phép biến đổi đối số Chương III Xác định đa thức theo yếu tố giải tích Chương trình bày tổng quan tốn xác định đa thức theo yếu tố giải tích đặc trưng giới hạn, tích phân, vi phân CHƯƠNG NHỮNG KIẾN THỨC BỔ TRỢ 1.1 MỘT SỐ TÍNH CHẤT CƠ BẢN CỦA ĐA THỨC ĐẠI SỐ Định nghĩa 1.1 (Định nghĩa đa thức biến, [4]) Giả sử A = R A = C Ta gọi đa thức bậc n biến x A biểu thức có dạng Pn (x) = an xn + an−1 xn−1 + · · · + a1 x + a0 (an = 0) , ak gọi hệ số theo xk , an hệ số bậc cao nhất, a0 hệ số tự đa thức Tập hợp tất đa thức với hệ số lấy A kí hiệu A [x] Chú ý 1.1 Trong luận văn này, ta xét đa thức thực đại số, tức đa thức biến trường số thực R Định nghĩa 1.2 (Bậc đa thức, [4]) Cho Pn (x) = an xn + an−1 xn−1 + · · · + a1 x + a0 trường số thực R Nếu an = n gọi bậc đa thức Pn (x), kí hiệu degP = n Nếu ak = (k = 1, , n) a0 = ta có bậc đa thức Ta gọi đa thức Pn (x) = a0 đa thức Nếu ak = (k = 0, , n) ta gọi Pn (x) đa thức không người ta định nghĩa bậc đa thức không âm vô Định nghĩa 1.3 (Đồng thức, [7]) Cho hai đa thức f, g ∈ R [x], f (x) = an xn + an−1 xn−1 + · · · + a1 x + a0 , an = 0, g (x) = bm xm + bm−1 xm−1 + · · · + b1 x + b0 , bm = Đa thức f (x) g (x) gọi đồng với f (x) = g (x) , ∀x ∈ R, tức f ≡ g ⇔ n = m = bi với i = 0, 1, , n Định nghĩa 1.4 ([7]) Giả sử A trường, a ∈ A, m ∈ N∗ , f (x) ∈ A [x], m số tự nhiên lớn a nghiệm bội cấp m f (x) f (x) chia hết cho (x − a)m không chia hết cho (x − a)m+1 Trong trường hợp m = 1, ta gọi a nghiệm đơn, m = a gọi nghiệm kép Số nghiệm đa thức tổng số nghiệm đa thức kể bội nghiệm (nếu có) Vì vậy, người ta coi đa thức có nghiệm bội cấp m đa thức có m nghiệm trùng Định lý 1.1 ([8]) Mỗi đa thức thực bậc n có khơng q n nghiệm thực Chứng minh Ta chứng minh định lí theo phương pháp quy nạp Với n = 0, đa thức khơng có nghiệm thực Với n > 0, giả sử đa thức bậc n có khơng q n nghiệm thực Ta cần chứng minh đa thức bậc n + có không n + nghiệm thực Cho f (x) ∈ R [x], degf = n + Gọi c nghiệm f (x) Khi f (x) = (x − c) q (x) Mà degf (x) = deg (x − c) + degq (x) suy degq (x) = n Theo giả thiết quy nạp, đa thức q (x) có khơng q n nghiệm, đa thức f (x) có khơng q n + nghiệm Vậy mệnh đề chứng minh Hệ 1.1 ([4]) Đa thức có vơ số nghiệm đa thức khơng Hệ 1.2 ([1]) Nếu đa thức thực có bậc n có n nghiệm đa thức khơng Hệ 1.3 ([4]) Nếu đa thức có bậc không n mà nhận giá trị n + điểm phân biệt đối số đa thức Hệ 1.4 ([4]) Hai đa thức bậc không n mà nhận n + giá trị trùng n+1 điểm phân biệt đối số chúng đồng với Tính chất 1.1 (Sơ đồ Horner, [4]) Giả sử f (x) ∈ A [x] với A trường, f (x) = an xn + an−1 xn−1 + · · · + a1 x + a0 Khi thương gần f (x) cho x − a đa thức có bậc n − 1, có dạng q (x) = bn−1 xn−1 + · · · + b1 x + b0 , bn−1 = an , bk = abk+1 + ak+1 , k = 0, , n − 1, dư số r = ab0 + a0 Định lý 1.2 ([4]) Điều kiện cần đủ để hai đa thức P (x) Q (x) nguyên tố tồn cặp đa thức u (x) v (x) cho P (x) u (x) + Q (x) v (x) ≡ Định nghĩa 1.5 (Ước chung lớn nhất, [4]) Nếu hai đa thức P (x) Q (x) khác đa thức khơng, có ước chung d (x) đa thức chia hết cho tất ước chung khác d (x) gọi ước chung lớn P (x) Q (x) 1.2 MỘT SỐ KIẾN THỨC CƠ BẢN VỀ ĐA THỨC VỚI HỆ SỐ NGUYÊN Định nghĩa 1.6 ([4]) Cho L ⊂ R Đa thức P (x) ∈ L [x] gọi khả quy L [x] tồn đa thức Q (x) T (x) thuộc L [x] có bậc > 0, cho P (x) = Q (x) T (x) Trong trường hợp ngược lại, P (x) gọi bất khả quy L [x] Định nghĩa 1.7 ([4]) Tập tất đa thức khả quy L [x] kí hiệu L∗ [x] Vậy P (x) khả quy L [x] kéo theo P (x) ∈ L∗ [x] P (x) bất khả quy L [x] kéo theo P (x) ∈ / L∗ [x] 56 Giải Ta xét đa thức n αk (x − x0 )k P (x) = (3.5) k=0 Ta nhận thấy đa thức P (x) có bậc khơng q n Tiếp theo, ta cần xác định hệ số thực αk cho P (x) thỏa mãn điều kiện toán Lần lượt lấy đạo hàm P (x) đến cấp thứ k với k = 0, 1, , n, ta thu n P (k) αj (j − k + 1) (j − k + 2) j(x − x0 )j−k (x) = αk k! + j=k+1 n ⇔P (k) (x) = k!αk + j!αj (x − x0 )j−k (j − k)! j=k+1 Theo giả thiết, ta có P (k) (x0 ) = ak , k = 0, 1, , n Do ak k! Thay giá trị αk vào đa thức (3.5), ta thu ak = k!αk suy αk = n P (x) = k=0 ak (x − x0 )k k! (3.6) Và với k = 0, 1, , n, ta có n P (k) (x) = ak + aj (x − x0 )j−k (j − k)! j=k+1 Cuối cùng, ta chứng minh đa thức P (x) nhận từ (3.6) đa thức thỏa mãn điều kiện toán Thật vậy, giả sử đa thức P∗ (x) có bậc khơng q n thỏa mãn điều kiện tốn Khi đa thức T (x) = P (x) − P∗ (x) thỏa mãn điều kiện 57 T (k) (x0 ) = với k = 0, 1, , n Ta nhận thấy đa thức T (x) có bậc khơng n mà lại nhận x0 làm nghiệm bội n + nên T (x) ≡ P (x) ≡ P∗ (x) Vậy đa thức cần tìm n P (x) = k=0 ak (x − x0 )k k! Đa thức (3.6) gọi đa thức nội suy Taylor Bài toán 3.41 ([6]) Cho hai số phân biệt x0 x1 Tìm tất đa thức P (x) ∈ R [x] có degP (x) ≤ n (n ∈ N∗ ) thỏa mãn điều kiện P (x0 ) = P (k) (x1 ) = với k ∈ {0, 1, , n − 1} Giải Theo giả thiết, đa thức P (x) có nghiệm x = x1 bội n nên P (x) = a(x − x1 )n Mà P (x0 ) = suy = a(x0 − x1 )n ⇔ a = (x0 − x1 )n Vậy đa thức cần tìm (x − x1 )n P (x) = (x0 − x1 )n Bài toán 3.42 Cho hai số phân biệt x0 x1 Tìm tất đa thức P (x) có degP (x) ≤ n (n ∈ N∗ ) thỏa mãn điều kiện P (x0 ) = 1, P (x0 ) = P (k) (x1 ) = với k ∈ {0, 1, , n − 1} 58 Giải Theo giả thiết, đa thức P (x) có nghiệm x = x1 bội n nên P (x) = (x − x1 )n (ax + b) với a = Ta có P (x) = n (ax + b) (x − x1 )n−1 + a(x − x1 )n Mà P (x0 ) = 1, P (x0 ) = ta suy (x0 − x1 )n (ax0 + b) = 1, n (ax0 + b) (x0 − x1 )n−1 + a(x0 − x1 )n = Ta nhận hệ phương trình tuyến tính hai ẩn a, b     ax0 + b = (x0 − x1 )n n   (ax0 + b) + a =  x0 − x1 (x0 − x1 )n Giải hệ ta thu a= x0 − x1 − n , (x0 − x1 )n+1 x0 − x1 − x20 + x0 x1 + nx0 b= (x0 − x1 )n+1 Vậy đa thức cần tìm (x − x1 )n P (x) = n+1 (x0 − x1 − n) x + x0 − x1 − x0 + x0 x1 + nx0 (x0 − x1 ) 3.3 XÁC ĐỊNH ĐA THỨC THEO ĐẶC TRƯNG TÍCH PHÂN Trước hết, ta nhắc lại số kiến thức liên quan đến phép tính tích phân hàm đa thức thực biến 59 Định nghĩa 3.15 ([2]) Cho hàm số f xác định khoảng U (một đoạn, khoảng hay nửa khoảng hữu hạn hay vô hạn tập số thực) Hàm khả vi F U gọi nguyên hàm f khoảng F (x) = f (x) với x ∈ U Định lý 3.4 ([2]) Nếu khoảng U hàm f có ngun hàm có vơ số ngun hàm ngun hàm f U xác định sai khác số cộng Định nghĩa 3.16 Tập hợp tất nguyên hàm hàm f khoảng U gọi tích phân khơng xác định hàm f U kí hiệu f (x)dx Giả sử F nguyên hàm f U , theo định lí (3.4) ta có f (x)dx = F (x) + C, C ∈ R Định nghĩa 3.17 (Tích phân xác định, [2]) Ta nói họ tổng tích phân {σf (T, ξ)} có giới hạn I ∈ R d (T ) → cho trước ε > bé tùy ý cho trước tồn số δ (ε) cho với T ∈ P (∆) với d (T ) < δ với cách lấy điểm ξ ta có |σf (T, ξ) − I| < ε Khi đó, ta viết lim σf (T, ξ) = I d(T )→∞ Giới hạn I tồn gọi tích phân xác định hàm f đoạn ∆ với hai đầu mút a, b kí hiệu b I= f (x)dx a Và đó, hàm f gọi khả tích theo nghĩa Riemann đoạn ∆ Nhận xét 3.13 ([2]) Từ định nghĩa tích phân xác định, ta có tính chất sau a • f (x)dx = 0, ∀a ∈ R a 60 b • a f (x)dx = − f (x)dx a b Định nghĩa 3.18 (Công thức Newton-Leibniz, [2]) Giả sử f : [a, b] → R hàm liên tục x Khi đó, hàm F (x) = f (t) dt nguyên hàm f (x) [a, b] a Do đó, Φ nguyên hàm khác f [a, b] ta có x f (t) dt với x ∈ [a, b] Φ (x) = F (x) + C = a a Với x = a ta có Φ (a) = f (t) dt + C = C a Như vậy, x x f (t) dt = Φ (x) − Φ (a) f (t) dt + Φ (a) hay Φ (x) = a a Cho x = b ta có cơng thức Newton-Leibniz b f (t) dt = Φ (b) − Φ (a) a Thơng thường, ta kí hiệu Φ (x) |ba = Φ (b) − Φ (a) Khi cơng thức cơng thức Newton-Leibniz viết b f (t) dt = Φ (t) |ba = Φ (b) − Φ (a) a Nhận xét 3.14 ([7]) Giả sử f (x) ∈ R [x], f (x) = an xn + an−1 xn−1 + · · · + a1 x + a0 , (an = 0) Khi đó, hàm đa thức f (x) khả tích R có họ nguyên hàm F (x) = f (x)dx = an n+1 an−1 n x + x + · · · + a0 x + C với C ∈ R n+1 n 61 Bài toán 3.43 (Bài toán nội suy Newton, [6]) Cho hai số thực (x0 , x1 , , xn ) (a0 , a1 , , an ) Tìm tất đa thức P (x) ∈ R [x] có bậc không n thỏa mãn điều kiện P (k) (xk ) = ak , với k = 0, 1, , n Giải Ứng với i = 0, 1, , n ta kí hiệu tk−1 x t1 t2 Rk (x0 , x1 , , xk−1 , x) = x0 x1 x2 dtk dtk−1 dt1 xk−1 Ta xét đa thức P (x) = a0 + a1 R1 (x0 , x) + a2 R2 (x0 , x1 , x) + · · · + an Rn (x0 , x1 , , xn−1 , x) (3.7) Dễ dàng nhận thấy đa thức P (x) có bậc khơng q n Lần lượt lấy đạo hàm (3.7) đến cấp thứ k với k = 0, 1, , n, ta thu P (k) (x) = ak + ak+1 R1 (xk , x) + · · · + an Rn−k (xk , xk+1 , , xn−k−1 , x) Khi đó, P (k) (xk ) = ak với k = 0, 1, , n Vậy đa thức P (x) nhận từ (3.7) thỏa mãn yêu cầu tốn Tiếp theo, ta chứng minh tính nghiệm toán Giả sử tồn đa thức P∗ (x) có bậc khơng q n thỏa mãn điều kiện toán Ta nhận thấy rằng, đa thức T (x) = P (x) − P∗ (x) có bậc khơng q n thỏa mãn T (k) (xk ) = với k = 0, 1, , n Khi đó, theo cách xây dựng đa thức P (x) từ (3.7), đa thức T (x) nhận giá trị xk làm nghiệm ∀k = 0, 1, , n Ta suy T (x) ≡ 62 P (x) = P∗ (x) Vậy đa thức cần tìm P (x) = a0 + a1 R1 (x0 , x) + a2 R2 (x0 , x1 , x) + · · · + an Rn (x0 , x1 , , xn−1 , x (3.8) Đa thức (3.8) gọi đa thức nội suy Newton Nhận xét 3.15 Từ tốn (3.43), đa thức P (x) có bậc khơng q n hồn tồn xác định biết P (k) (xk ) = ak với hai (x0 , x1 , , xn ) (a0 , a1 , , an ) cho trước Bài toán 3.44 Xác định đa thức f (x) ∈ R [x] bậc thỏa mãn điều kiện f (n) (n + 1) = (−1)n n2 − 5n + với n = 0, 1, 2, 3, Giải Ta đặt x0 = 1, x1 = 2, x2 = 3, x3 = 4, x5 = Từ giả thiết, ta có a0 = f (1) = 6, a1 = f (2) = −2, a2 = f (3) = 0, a3 = f (3) (4) = 0, a4 = f (4) (5) = Từ toán (3.43), áp dụng công thức nội suy Newton cho đa thức f (x) nút nội suy 0, 1, 2, 3, ta f (x) = a0 + a1 R1 (x0 , x) + a4 R4 (x0 , x1 , x2 , x3 , x) f (x) = − 2R1 (x0 , x) + 2R4 (x0 , x1 , x2 , x3 , x) x dt = x − 1, Với R1 (x0 , x) = x t1 t2 t3 R4 (x0 , x1 , x2 , x3 , x) = dt4 dt3 dt2 dt1 = 125 15 25 x − x + x − x+ 24 4 Vậy đa thức cần tìm f (x) = 4 15 56 141 x − x + x − x+ 12 3 63 KẾT LUẬN Tóm lại, từ tốn sách báo tham khảo, luận văn tổng hợp, xếp cách có hệ thống kết thu nhận được, trình bày lại chứng minh cách rõ ràng mà đảm bảo tính chặt chẽ chúng Đó đóng góp tác giả luận văn Luận văn Một số lớp toán xác định đa thức đại số giải vấn đề sau: Hệ thống kiến thức liên quan đến số lớp toán xác định đa thức đại số Trình bày số phương pháp giải số lớp toán xác định đa thức đại số Hệ thống số tập theo lớp toán xác định đa thức đại số theo yếu tố đại số giải tích Các kết đề tài áp dụng tập hợp số thực Hướng nghiên cứu đề tài mở rộng nghiên cứu lớp toán xác định đa thức tập hợp số phức Vì thời gian lực có hạn nên Luận văn khơng thể tránh khỏi thiếu sót Rất mong nhận đóng góp q thầy bạn để Luận văn hoàn chỉnh 64 TÀI LIỆU THAM KHẢO [1] Nguyễn Tài Chung, Lê Hồnh Phị (2013), Chun khảo phương trình hàm, NXB Đại học Quốc Gia Hà Nội [2] Trần Đức Long, Nguyễn Đình Sang, Hồng Quốc Tồn (2007), Giáo trình giải tích, NXB Hà Nội [3] Nguyễn Văn Mậu (1996), Phương trình hàm, NXB Giáo dục [4] Nguyễn Văn Mậu (2002), Đa thức đại số phân thức hữu tỷ, NXB Giáo dục [5] Nguyễn Văn Mậu (2005), Bất đẳng thức, định lí áp dụng , NXB Giáo dục [6] Nguyễn Văn Mậu (2005), Các toán nội suy áp dụng, NXB Giáo dục [7] Lê Hồnh Phị, Nguyễn Văn Nho, Nguyễn Tài Chung (2013), Chuyên khảo đa thức, NXB Đại học Quốc Gia Hà Nội [8] Trần Phương (2003), Tuyển tập chuyên đề luyện thi đại học mơn Tốn, NXB Hà Nội [9] Tuyển tập 20 năm đề thi Olympic 30 tháng toán 11 (2013), NXB Đại học Quốc Gia Hà Nội ... SỐ CHƯƠNG XÁC ĐỊNH ĐA THỨC THEO CÁC YẾU TỐ ĐẠI SỐ 2.1 XÁC ĐỊNH ĐA THỨC THEO ĐẶC TRƯNG SỐ HỌC 2.2 XÁC ĐỊNH ĐA THỨC THEO TÍNH CHẤT NGHIỆM 2.3 XÁC ĐỊNH ĐA THỨC THEO ĐẶC... bày số toán xác định đa thức theo số yếu tố đại số tính chất nghiệm đa thức, đặc trưng số học, đặc trưng nội suy đặc trưng hàm với biến tự do, phép biến đổi đối số hàm đa thức 2.1 XÁC ĐỊNH ĐA THỨC... đề toán trung học phổ thơng, qua đem lại niềm say mê sáng tạo từ toán Bài toán xác định đa thức thường gặp giải phương trình hàm tập đa thức Ta trước hết xác định bậc đa thức xác định hệ số sử