bài toán về xác định góc giữa đường thẳng và đường thẳng, đường thẳng và mặt phẳng, hai mặt phẳng

tài liệu giúp cho người đọc có thể hiểu được thế nào là góc giữa hai đường thẳng, góc giữa đường thẳng và mặt phẳng, góc giữa hai mặt phẳng. Đồng thời biết cách xác định, cách vẽ, cách xây dựng và giải bài toán góc giữa hai đường thẳng, góc giữa đường thẳng và mặt phẳng, góc giữa hai mặt phẳng trong không gian.

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI

TRƯỜNG ĐẠI HỌC GIÁO DỤC

TIỂU LUẬN CUỐI KÌ

ĐỀ TÀI: Bài toán xác định góc trong không gian giữa 2 đường

thẳng chéo nhau, góc giữa 2 mặt phẳng, góc giữa đường thẳng và mặt phẳng.

Giảng viên hướng dẫn : PGS.TS Nguyễn Chí Thành

Sinh viên thực hiện : Nguyễn Thị Đoan Trang

Hà Nội, tháng 6 – 2014

MỤC LỤC

PHẦN MỞ ĐẦU 2

PHẦN NỘI DUNG 4

I KIẾN THỨC CẦN NHỚ 4

1 Góc giữa hai đường thẳng 4

2 Góc giữa đường thẳng và mặt phẳng 5

3 Góc giữa hai mặt phẳng 6

II CÁC DẠNG BÀI TOÁN 8

1 Các bài toán về góc giữa hai đường thẳng chéo nhau 8

2 Các bài toán xác định góc giữa đường thẳng và mặt phẳng 11

3 Các bài toán về góc giữa hai mặt phẳng 15

KẾT LUẬN 20

Kết quả của bài tiểu luận 20

Tài liệu tham khảo 21

PHẦN MỞ ĐẦU

Điểm, đường thẳng, mặt phẳng là những đối tượng cơ bản của hình học không

gian Từ đó chúng ta có thể tạo nên những vật thể khác nhau như: hình chóp, hình

lăng trụ, hình nón… Môn hình học không gian là môn học nghiên cứu các tính chất

của các hình nằm trong không gian

Bài tiểu luận này sẽ nghiên cứu chủ yếu về vấn đề góc trong không gian, cụ thể là

các bài toán xác định góc trong không gian giữa 2 đường thẳng chéo nhau, góc giữa

2 mặt phẳng, góc giữa đường thẳng và mặt phẳng Khái niệm góc trong không gian

được nhắc tới trong hình học không gian lớp 11

Trong thực tế, chúng ta có thể bắt gặp rất

nhiều hình ảnh về góc trong không gian như

sợi dây dọi vuông góc với nền nhà cho ta

hình ảnh về sự vuông góc giữa đường thẳng

và mặt phẳng, mái nhà so với mặt đất, hình

ảnh của một cánh cửa chuyển động và hình

ảnh của một bức tường cho ta thấy được sự

thay đổi của góc giữa hai mặt phẳng, hình

ảnh của những sợi dây cáp và hình ảnh của

mặt đường cho ta thấy được góc giữa đường

thẳng và mặt phẳng…

Sợi dây dọi vuông góc với nền nhà cho ta hình ảnh

về sự vuông góc giữa đường thẳng và mặt phẳng.

Hình ảnh của những sợi dây cáp và hình ảnh của

mặt đường cho ta thấy được góc giữa đường thẳng

và mặt phẳng.

Qua đó ta có thể thấy việc xác định góctrong không gian có rất nhiều ứng dụng trongthực tế, nó là 1 vấn đề rất quan trọng Mụcđích nghiên cứu chính là giúp học sinh có thểnắm vững các kiến thức cơ bản và có thể xácđịnh góc trong không gian Mà muốn nắmvững thì phải thực hành giải bài tập để củng

cố lý thuyết

Dưới đây là các bài toán xác định góc trong không gian giữa 2 đường thẳng

chéo nhau, góc giữa 2 mặt phẳng, góc giữa đường thẳng và mặt phẳng để giúp

học sinh có cách nhìn tổng quát hơn

Nhiệm vụ của tiểu luận:

1 Tóm tắt lý thuyết một cách đầy đủ và khoa học, giúp cho người đọc nhớ lại và nắm

vững lý thuyết về góc trong không gian giữa 2 đường thẳng chéo nhau, góc giữa 2

mặt phẳng, góc giữa đường thẳng và mặt phẳng

2 Trình bày các bài toán xác định góc trong không gian giữa 2 đường thẳng chéo

nhau, góc giữa 2 mặt phẳng, góc giữa đường thẳng và mặt phẳng để người đọc

có thể nắm vững được:

 Cách tính góc giữa 2 đường thẳng chéo nhau, góc giữa 2 mặt phẳng, góc giữađường thẳng và mặt phẳng.

PHẦN NỘI DUNG

1 Góc giữa hai đường thẳng

Cho hai đường thẳng ∆1, ∆2bất kỳ trong

không gian

Từ điểm O nào đó,ta vẽ hai đường

thẳng ∆1', ∆2' lần lượt song song (hoặc

trùng) với ∆1, ∆2 Dễ thấy rằng khi

điểm O thay đổi thì góc giữa ∆1' và ∆2'

không thay đổi

 Góc giữa hai đường thẳng không vượt quá 90

 Nếu ⃗u1, ⃗u2 lần lượt là vectơ chỉ phương của ∆1 và ∆2 và (⃗u1, ⃗u2) =  thì góc giữa hai đường thẳng ∆1 và ∆2 bằng  nếu  ≤ 90 và bằng 180 -  nếu  ≥ 90

 Khi hai đường thẳng a và b vuông góc với nhau, ta còn nói gọn là hai đường thẳng a và b vuông góc, và kí hiệu a  b hay b  a Như vậy a  b  u ⃗v⃗ = 0,

ở đó u⃗ và ⃗v lần lượt là các vectơ chỉ phương của a và b

 Một đường thẳng vuông góc với một trong hai đường thẳng song song thì vuông góc với đường thẳng còn lại

2 Góc giữa đường thẳng và mặt phẳng

Định nghĩa 3: Một đường thẳng được

gọi là vuông góc với một mặt phẳng

nếu nó vuông góc với mọi đường thẳng

nằm trong mặt phẳng đó (h.2)

Phép chiếu vuông góc:

Cho đường thẳng d và mặt phẳng (P)

Phép chiếu song song theo phương của

d lên mặt phẳng (P) được gọi là phép

chiếu vuông góc lên mặt phẳng (P)

(h.3)

Định lý ba đường vuông góc: Cho

đường thẳng a nằm trong mặt phẳng (P)

và b là đường thẳng không thuộc (P)

đồng thời không vuông góc với (P) Gọi

b’ là hình chiếu vuông góc của b trên

(P) Khi đó a vuông góc với b khi và chỉ

khi a vuông góc với b’ (h.4)

Khi đó, góc giữa hai đường thẳng a và b

không phụ thuộc vào cách lựa chọn chúng

và được gọi là góc giữa hai mặt phẳng (P)

Định nghĩa 5: Góc giữa hai mặt phẳng là góc giữa hai đường thẳng lần lượt

vuông góc với hai mặt phẳng đó

Định nghĩa 6: Hai mặt phẳng gọi là vuông

góc với nhau nếu góc giữa chúng bằng 90

II CÁC DẠNG BÀI TOÁN

1 Các bài toán về góc giữa hai đường thẳng chéo nhau

Để giải các bài toán về góc giữa hai đường thẳng chéo nhau ta thực hiện như sau:

Bước 1: Xác định góc giữa hai đường thẳng chéo nhau (dựng góc giữa hai đường thẳng chéo nhau):

Để dựng góc giữa hai đường thẳng chéo

nhau ∆1 và ∆2, ta chọn điểm O thích hợp

sao cho từ O ta vẽ được ∆1' // ∆1, ∆2' //

∆2

Khi đó góc giữa hai đường thẳng chéo

nhau ∆1 và ∆2 chính là góc giữa hai

đường thẳng chéo nhau ∆1' và ∆2'

(h.1.1)

Hình 1.1

^(∆1, ∆2) = (^∆2, ∆1) = ( 0 ≤  ≤ 90)

Chú ý: Ta có thể chọn điểm O thuộc một trong hai đường thẳng ∆1 hoặc ∆2 Cách dựng như sau:

Bước 2: Tính góc giữa hai đường thẳng chéo nhau.

Sử dụng tỷ số lượng giác của góc trong tam giác vuông hoặc sử dụng định lý hàm sốCôsin trong tam giác thường để xác định số đo góc giữa ∆1 và ∆2

Hình 1.4

Ví dụ 1: Cho tứ diện ABCD có AB = CD = 2a Gọi M và N lần lượt là trung điểm

của BC và AD Tính góc giữa AB và CD, biết MN = a√3

Giải:

Dựng góc ^(AB ,CD )

Gọi I là trung điểm của đoạn thẳng

CD

Xét tam giác ABC có IM là đường

trung bình của tam giác ABC  IM //

AB

Xét tam giác ABC có IN là đường trung

bình của tam giác ACD  IN // CD

Suy ra cos ^MIN = ℑ2+¿2−MN2

2 ℑ ∈¿ ¿

Ta có: IN = 12CD = a (vì IN là đường trung bình của tam giác ACD);

IM = 12AB = a (vì IM là đường trung bình của tam giác ABC)

Suy ra: cos ^MIN = ℑ2+¿2−MN2

Ví dụ 2: (ĐHKA 2008) Cho lăng trụ ABC.A’B’C’, độ dài cạnh bên bằng 2a, đáy

ABC là tam giác vuông tại A, AB = a, AC = a√3 Hình chiếu vuông góc của A’ lên mặt phẳng (ABC) là trung điểm của BC

Tính cô-sin góc giữa hai đường thẳng AA’ và B’C’

Giải:

Dựng góc:

Gọi H là trung điểm vủa BC (h.1.6)

Theo giả thiết ta có A’H  (ABC)

Từ đây suy ra cos ^B’ BH = a2+4 a2−4 a2

Bài 3: Cho hình hộp chữ nhật ABCD.A’B’C’D’ có AB = a, BC = b, AA’ = c

Hãy tính góc giữa AD’ và B’C

2 Các bài toán xác định góc giữa đường thẳng và mặt phẳng

Để giải các bài toán về góc giữa đường thẳng và mặt phẳng trong trường hợp chúng cát nhau ta thực hiện như sau:

Bước 1: Dựng góc giữa đường thẳng

Khi đó OH là hình chiếu của OM trên

Bước 2: Tính góc giữa đường thẳng d và mặt phẳng (P)

Ta quy về tính góc giữa đường thẳng d và đường thẳng đi qua OH (hướng dẫn trong phần a))

Xác định giao tuyến x của mặt phẳng (P)

và (Q) Khi đó điểm M là điểm cần tìm

Cách 2: Dựng d’ // d Suy ra góc giữa đường

thẳng d và mặt phẳng (P) chính là góc giữa

đường thẳng d’ và mặt phẳng (P) Khi đó ta đi

xác định góc giữa đường thẳng d’ và (P) (h2.3)

Thông thường đường thẳng d’  (Q) = {M’, M’

≠ O’} với {O’} = d’  (P)

Giao điểm AB  (SAI) = {A}

Trên mặt phẳng (SAI) kẻ AH  SI, suy ra:

AH  (SBC) (h.2.5)

Khi đó AH chính là hình chiếu vuông góc

của đường thẳng AB lên mặt phẳng SBC

Ta có tam giác ABH vuông tại H có: sin ^ABH = AH AB = AH a =√5

3 .Suy ra ^ABH = 50

Vậy góc giữa đường thẳng AB và mặt phẳng (SBC) bằng 50

Ví dụ 2: Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông ABCD cạnh a, có cạnh SA =

a√2 và SA vuông góc với mặt phẳng (ABCD)

Tính góc giữa đường thẳng SC và mặt phẳng (ABCD)

b) Tính góc giữa các cặp SC và (SAB), SB và (SAC), AC và (SBC)

Bài 2: Cho hình chóp S.ABC có SA = SB = SC = a và đáy ABC là tam giác đều

Tính góc giữa đường thẳng SA và mặt phẳng (ABC).

Bài 3: Cho hình chóp S.ABCD đáy là hình thang vuông tại A B có AB = BC = a,

AD = 2a, SA = 2a vuông với mặt phẳng đáy Tính góc giữa đường thẳng BC và mặt phẳng (SCD)

3 Các bài toán về góc giữa hai mặt phẳng

Để dựng góc giữa hai mặt phẳng (P) và (Q) trong trường hợp chúng cắt nhau ta làm như sau:

Bước 1: Dựng góc giữa hai mặt phẳng (P)

và (Q)

Xác định giao tuyến d của (P) và (Q)

Lấy điểm O thích hợp trên d sao cho: Trên

của hai mặt phẳng (P) và (Q)) Nối

OM

Khi đó HO chính là hình chiếu của

OM trên mặt phẳng (P)

Hình 3.2

Mà d  HO  d  OM (theo định lý ba đường vuông góc)

Suy ra, theo định nghĩa, góc giữa hai mặt phẳng (P) và (Q) là góc ^MOH

Gợi ý 2: Nếu phát hiện thấy có

đường thẳng a vuông góc với giao

tuyến d:

Xác định điểm A, B lần lượt là giao

điểm giữa đường thẳng a và mặt

Gọi S là diện tích của một đa giác trên

mặt phẳng (P) với S’ là diện tích của một

đa giác trên mặt phẳng (Q) và  là góc

giữa hai mặt phẳng (P) và (Q) (h.3.4)

Khi đó: S’ = S.cos α

Hình 3.4

Ví dụ 1: Cho hình chóp S.ABC có SA  (ABC) Gọi  là góc giữa hai mặt phẳng

(ABC) và (SBC) Chứng minh rằng: S ABC = S SBC.cos❑, ở đây hý hiệu S ABC là diện tích tam giác ABC

Giải:

Dựng góc:

Theo giả thiết ta có SA  (ABC) (S  SBC)

Kẻ đường cao SH của tam giác SBC

Do SA  (ABC) nên SA  BC (h.3.5)

Suy ra BC  (SAH)

Vậy ^((ABC ),(SBC )) = ^SHA = .

Chứng minh S ABC = S SBC cos❑.

Xét tam giác SAH có AS  AH, áp dụng hệ

thức lượng trong tam giác vuông SAH có:

Hình 3.5

AH = SH cos❑

Từ đó ta có: S ABC = 12.BC.AH = 12.BC.SH.cos❑ = S SBC.cos❑ 

Ví dụ 2: Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác đều ABC cạnh a, cạnh bên SA

vuông góc với mặt phẳng (ABC) và SA = a2

a) Tính góc giữa hai mặt phẳng (ABC) và (SBC)

b) Tính diện tích tam giác SBC

=¿ 1

√3 = √33.

Ta suy ra  = 30 Vậy góc giữa (ABC) và (SBC) bằng 30

b) Vì SA  (ABC) nên tam giác ABC là hình chiếu vuông góc của tam giác ABC.Gọi S, S’ lần lượt là diện tích của tam giác SBC và ABC

Ta có: S’ = S.cos❑  S = cosS '

❑.Suy ra: S = 2

Bài 1: Cho hình chóp đều S.ABCD có cạnh đáy = a, cạnh bên = 3a

a) Hãy tính góc giữa mặt phẳng (SCD) và (ABCD)

b) Hãy tính góc giữa mặt phẳng (SDC) và (SCB)

Bài 2: Cho hình chóp S.ABC có SA = SB = SC = a, góc ASB = 60, BSC = 90, CSA = 120

a) Chứng minh rằng tam giác ABC là tam giác vuông

b) Tính góc giữa hai mặt phẳng (SAB) và (SBC)

KẾT LUẬN

Kết quả của bài tiểu luận

 Đã tóm tắt được hầu hết những lý thuyết liên quan đến bài toán xác định góc trong không gian giữa 2 đường thẳng chéo nhau, góc giữa 2 mặt phẳng, gócgiữa đường thẳng và mặt phẳng

 Trình bày được phương pháp giải và các bài tập điển hình có liên quan

 Nêu thêm được một số gợi ý dựng góc trong không gian

Việc hiểu và nắm vững các bài toán xác định góc trong không gian giữa 2 đường thẳng chéo nhau, góc giữa 2 mặt phẳng, góc giữa đường thẳng và mặt phẳng có sẽ giúp ích được nhiều trong việc giải các bài toán hình học không gian như tính khoảng cách, chứng minh quan hệ song song, quan hệ vuông góc…

Em sẽ cố gắng phát triển, nghiên cứu sâu hơn về bài tiểu luận này để phục vụ cho việc giảng dạy trong chương trình Toán học phổ thông Bài báo cáo này của

em chắc sẽ còn nhiều thiếu xót kính mong nhận lại được sự góp ý của thầy cô

và các bạn

Tài liệu tham khảo:

 Sách giáo khoa Hình học nâng cao 11 – NXB Giáo dục

 Sách giáo khoa Hình học cơ bản 11 – NXB Giáo dục

 Lê Hồng Đức – Nhóm cự môn, Giải toán Hình học 11, NXB Hà Nội, 2007)

 Các diễn đàn toán học như http://diendantoanhoc.net, http://hocmai.vn …