Một số lớp bài toán về xác định dãy số không có đa thức đặc trưng

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG NGUYỄN ĐỨC QUY MỘT SỐ LỚP BÀI TOÁN VỀ XÁC ĐỊNH DÃY SỐ KHƠNG CĨ ĐA THỨC ĐẶC TRƯNG Chun ngành: PHƯƠNG PHÁP TOÁN SƠ CẤP Mã số: 60.46.01.13 LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC Người hướng dẫn khoa học: GS TSKH NGUYỄN VĂN MẬU Đà Nẵng - Năm 2015 MỤC LỤC MỞ ĐẦU CHƯƠNG NHỮNG KIẾN THỨC BỔ TRỢ 1.1 MỘT SỐ TÍNH CHẤT CƠ BẢN CỦA SAI PHÂN 1.1.1 Định nghĩa tính chất sai phân 1.1.2 Phương trình sai phân tuyến tính 1.2 DÃY SỐ VÀ CÁC TÍNH CHẤT CỦA DÃY SỐ 1.2.1 Dãy tuần hồn, phản tuần hồn cộng tính 1.2.2 Dãy tuần hoàn, phản tuần hồn nhân tính 1.2.3 Dãy số đơn điệu 1.2.4 Dãy số bị chặn 1.2.5 Giới hạn dãy số 1.3 TUYẾN TÍNH HĨA MỘT SỐ LỚP DÃY SỐ PHI TUYẾN CHƯƠNG CÁC BÀI TOÁN VỀ XÁC ĐỊNH DÃY 2.1 XÁC ĐỊNH DÃY SỐ TUẦN HOÀN VÀ PHẢN TUẦN 2.2 XÁC ĐỊNH MỘT SỐ LỚP DÃY SỐ PHI TUYẾN 2.2.1 Phương pháp tách dãy 2.2.2 Phương pháp lượng giác hóa 2.2.3 Phương pháp đặt ẩn phụ 2.2.4 Phương pháp phương trình hàm 2.2.5 Phương pháp hàm lặp 2.3 MỘT SỐ DẠNG TOÁN KHÁC CHƯƠNG MỘT SỐ ỨNG DỤNG LIÊN QUAN 3.1 MỘT SỐ DẠNG TOÁN VỀ DÃY SỐ NGUN 3.2 TÍNH TỐN TỔNG VÀ TÍCH DÃY SỐ 3.3 TÍNH GIỚI HẠN CỦA DÃY SỐ TỔNG 3.4 MỘT SỐ DẠNG TOÁN KHÁC 3 9 10 11 11 12 12 SỐ 17 HOÀN 17 20 20 24 30 32 38 40 45 45 49 53 63 KẾT LUẬN 70 TÀI LIỆU THAM KHẢO 71 QUYẾT ĐỊNH GIAO ĐỀ TÀI LUẬN VĂN (bản sao) LỜI CAM ĐOAN Tơi cam đoan cơng trình nghiên cứu riêng Các số liệu, kết nêu luận văn trung thực chưa cơng bố cơng trình khác Tác giả luận văn NGUYỄN ĐỨC QUY MỞ ĐẦU Lý chọn đề tài Chuyên đề dãy số vấn đề liên quan đến dãy số phần quan trọng đại số giải tích toán học Các dạng toán liên quan đến dãy số thường khó phức tạp Trong chương trình trung học phổ thơng, khái niệm dãy số thường khó hình dung cấu trúc đại số , trừu tượng hầu hết học sinh Dãy số có vị trí đặc biệt quan trọng tốn học, khơng đối tượng nghiên cứu mà cịn đóng vai trị cơng cụ đắc lực giải tích tốn học Trong kỳ thi học sinh giỏi khu vực, quốc gia, thi Olympic toán quốc tế, toán liên quan đến dãy số hay đề cập thường thuộc loại khó Các tốn ước lượng tính giá trị tổng, tích tốn xác định số hạng tổng quát dãy số tập phổ biến Với lí trên, tơi chọn đề tài: "Một số lớp toán xác định dãy số khơng có đa thức đặc trưng" để làm đề tài luận văn thạc sĩ Mục đích nhiệm vụ nghiên cứu đề tài Mục đích luận văn giới thiệu phương pháp xác định dãy số khơng có đa thức đặc trưng ứng dụng dãy số tốn đại số, giải tích, số học Nhiệm vụ nghiên cứu xác định dãy số dùng phương pháp sai phân để tìm công thức tổng quát , dãy số tuyến tính hóa mà phải sử dụng phương pháp khác để tìm cơng thức tổng qt Phương pháp nghiên cứu Nghiên cứu tài liệu, giáo trình, giảng GS.TSKH Nguyễn Văn Mậu, diễn đàn tốn học từ nguồn Internet Từ sưu tầm, phân tích, tổng hợp dạng tốn có liên quan đề tài trao đổi với thầy hướng dẫn kết nghiên cứu Đối tượng phạm vi nghiên cứu Đối tượng nghiên cứu dãy số khơng thể xác định khơng có đa thức đặc trưng, nên cần phải có phương pháp khác để giải toán Phạm vi nghiên cứu dựa dạng toán dãy số thực thường xuất kỳ thi học sinh giỏi thi Olympic 30-4, thi học sinh giỏi quốc gia, chuyên đề hội thảo năm , từ tổng hợp phân dạng cụ thể Nội dung luận văn Ngoài phần mở đầu kết luận, luận văn chia thành chương Chương trình bày sơ lược kiến thức sở tốn tử sai phân, dãy số tuần hồn, phản tuần hồn cộng tính nhân tính số tính chất liên quan Chương trình bày toán xác định dãy số lớp dãy tuần hồn cộng tính nhân tính, dãy phi tuyến, số kỹ thuật biến đổi sơ cấp để xác định dãy số Chương xét ứng dụng toán liên quan dãy số tốn tìm tổng tích, tính chia hết, Luận văn hoàn thành với hướng dẫn bảo tận tình GS.TSKH Nguyễn Văn Mậu Tơi xin bày tỏ lịng biết ơn sâu sắc quan tâm, động viên bảo hướng dẫn thầy CHƯƠNG NHỮNG KIẾN THỨC BỔ TRỢ 1.1 MỘT SỐ TÍNH CHẤT CƠ BẢN CỦA SAI PHÂN 1.1.1 Định nghĩa tính chất sai phân Định nghĩa 1.1 ([3]-[5]) Cho hàm số y = f (x) xác định R, đặt xk = x0 +kh, (k ∈ N∗ ) với x0 ∈ R, h ∈ R, bất kỳ, cho trước Gọi yk = f (xk ) giá trị hàm số f (x) x = xk Khi đó, hiệu số ∆yk := yk+1 − yk , (k ∈ N∗ ) gọi sai phân cấp hàm số f (x) Hiệu số ∆2 yk := ∆yk+1 − ∆yk = ∆∆yk , (k ∈ N∗ ) gọi sai phân cấp hàm số f (x) Tổng quát, ∆i yk := ∆i−1 yk+1 − ∆i−1 yk = ∆(∆i−1 yk ) (k ∈ N∗ ) gọi sai phân cấp i hàm số f (x), (i = 1; 2; 3; ; n; ) Mệnh đề 1.1 [Biểu diễn sai phân theo giá trị hàm số] Sai phân cấp biểu diễn theo giá trị hàm số: y0 ; y1 ; y2 ; ; y n ; Chứng minh Ta có ∆yk = yk+1 − yk ∆2 yk = ∆yk+1 − ∆yk = yk+2 − yk+1 − (yk+1 − yk ) = yk+2 − 2yk+1 + yk Bằng phương pháp quy nạp toán học, ta chứng minh được: i (−1)s Cis yk+i−s i ∆ yk = s=0 Mệnh đề 1.2 [ Sai phân số] Sai phân số Chứng minh Thật vậy, với y = f (x) = C = const ta có: ∆f (x) = C − C = Hơn thế, sai phân cấp số Mệnh đề 1.3 [Tính chất tuyến tính sai phân] Sai phân cấp tốn tử tuyến tính tập hàm số Tức ∀i∈ N∗ , ∀α, β ∈ R, ∀f (x); g(x) : R → R ta ln có: ∆i (αf (x) + βg(x)) = α∆i f (x) + β∆i g(x) Chứng minh Thật vậy, đặt fk = f (xk ); gk = g(xk ), ta thu i (−1)s Cis [αfk+i−s + βgk+i−s ] i ∆ (αfk + βgk ) = s=0 i i s =α (−1) s=0 i Cis fk+i−s (−1)s Cis gk+i−s +β s=0 i = α∆ fk + β∆ gk Vậy nên: ∆i (αf (x) + βg(x)) = α∆i f (x) + β∆i g(x), ∀i ∈ N∗ (đpcm) Mệnh đề 1.4 [Sai phân đa thức] Sai phân cấp i đa thức bậc n - Là đa thức bậc n − i i < n - Là số i = n - Bằng i > n Chứng minh Do sai phân cấp toán tử tuyến tính nên ta cần chứng minh tính chất cho đa thức y = Pn (x) = xn - Khi i < n ta có 10 ) Với i = thì: ∆xn = (x + h)n − xn = Pn−1 (x) đa thức bậc n − x Vậy khẳng định với i = 20 ) Giả sử khẳng định với i = k < n, tức ∆k xk = Pn−k (x) đa thức bậc n − k x Khi ∆k+1 xn = ∆(∆k xn ) = ∆k ((x + h)n − ∆k (xn )) = Pn−k (x + h) − Pn−k (x) = Pn−k−1 (x) đa thức bậc n − k − = n − (k + 1) x Vậy khẳng định với i = k + Từ đó, theo ngun lý quy nạp tốn học suy khẳng định với i ∈ N∗ - Khi i = n ∆n (xn ) đa thức cấp n − n = x nên số - Khi i > n ∆i (xn ) = ∆i−n (∆n (xn )) = ∆i−n C (C = const) = Vậy tính chất chứng minh hồn tồn Mệnh đề 1.5 [Cơng thức sai phân phần] ∆(fk gk ) = fk ∆gk + gk+1 ∆fk Chứng minh Ta có ∆(fk gk ) = fk+1 gk+1 − fk gk = fk+1 gk+1 − fk gk+1 + fk gk+1 − fk gk = gk+1 (fk+1 − fk ) + fk (gk+1 − gk ) = fk ∆gk + gk+1 ∆fk Mệnh đề 1.6 [Tổng sai phân] n ∆yk = yn+1 − y1 k=1 Chứng minh n ∆yk = ∆y1 + ∆y2 + · · · + ∆yn−1 + ∆yn k=1 = y2 − y1 + y3 − y2 + · · · + yn − yn−1 + yn+1 − yn = yn+1 − y1 1.1.2 Phương trình sai phân tuyến tính Định nghĩa 1.2 ([1]-[5]) Phương trình sai phân (cấp k ) hệ thức tuyến tính chứa sai phân cấp tới k f (yn ; ∆yn ; ∆2 yn ; ; ∆k yn ) = (1.1) Vì sai phân cấp biểu diễn theo giá trị hàm số nên (1.1) có dạng: a0 yn+k + a1 yn+k−1 + · · · + ak yn = f (n), (1.2) a0 ; a1 ; ; ak , f (n) biết, yn , yn+1 , , yn+k giá trị chưa biết Phương trình (1.2) gọi phương trình sai phân tuyến tính cấp k Nếu f (n) = phương trình (1.2) có dạng a0 yn+k + a1 yn+k−1 + · · · + ak yn = (1.3) gọi phương trình sai phân tuyến tính cấp k Nếu f (n) = (1.2) gọi phương trình sai phân tuyến tính khơng Nghiệm phương trình sai phân Hàm số yn biến n thỏa mãn (1.2) gọi nghiệm phương trình sai phân tuyến tính (1.2) Hàm số yn phụ thuộc k tham số thỏa mãn (1.3) gọi nghiệm tổng quát (1.3) Một nghiệm yn∗ thỏa mãn (1.3) gọi nghiệm riêng (1.2) - Trước hết, ta xét phương trình sai phân tuyến tính cấp dạng x1 = α, axn+1 + bxn = f (n), n ∈ N∗ , a, b, α số (a = 0) f (n) biểu thức n cho trước Nhận xét cấp số cấp số cộng cấp số nhân dạng đặt biệt phương trình sai phân tuyến tính Ví dụ 1.1 Xác định số hạng tổng quát cấp số nhân biết số hạng công bội Lời giải Ta có xn+1 = 3xn , x1 = Phương trình đặt trưng có nghiệm λ = Do xn = c.3n Do x1 = suy c = Vậy xn = 3n+1 Ví dụ 1.2 Cho a, b, α số thực cho trước (a = 0) dãy {xn } xác định sau x0 = α, axn+1 + bxn = 0, n = 0, 1, 2, Tìm số hạng tổng quát dãy 57 ⇔ xk 1 = (m + 1)( − ) xk+1 − xk − xk+1 − Lần lượt cho k = 2, 3, vào đẳng thức cộng theo vế ta thu n xk 1 = (m + 1)( − ) xk+1 − x1 − xn+1 − Sn = k=1 = (m + 1)(1 − xn+1 − ) Suy lim Sn = lim (m + 1)(1 − n→∞ n→∞ xn+1 − ) = (m + 1) Vậy nên lim Sn = (m + 1) n→∞ Bài toán 3.46 Cho dãy số {xn }, n = 1, 2, xác định sau:   x1 = α, α > x2n , β > x = x +  n+1 n β Tìm lim ( n→+∞ xn x1 x2 x3 + + + ··· + ) x2 x3 x4 xn+1 Lời giải Ta có xk x2k β(xk+1 − xk ) = = xk+1 xk xk+1 xk xk+1 1 = β.( − ) xk xk+1 Lần lượt cho k = 1, 2, , n, đẳng thức thực cộng theo vế, ta x1 x2 x3 xn + + + ··· + x2 x3 x4 xn+1 = β(1 − ) xk+1 Sn = 58 Mặt khác, ta có xn+1 x2n > xn , ∀n ∈ N = xn + β Do đó, dãy {xn } dãy đơn điệu tăng Giả sử dãy {xn } bị chặn tồn giới hạn hữu hạn a Khi đó, ta có lim xn+1 n→+∞ x2n = lim (xn + ), n→+∞ β a2 ⇒ a = (Vô lý) Vậy dãy cho không bị chặn Suy β lim un = ∞ hay lim = Vậy nên n→+∞ n→+∞ un hay a = a + lim Sn = β n→+∞ Bài toán 3.47 Cho dãy số {xn } xác định sau xn = (1 + n )(1 + ) (1 + ); n = 1, 2, n2 n2 n2 Tìm giới hạn lim (ln xn ) n→∞ Lời giải Ta chứng minh với x>0, ta có bất đẳng thức x2 x− < ln(1 + x) < x (3.12) Thật vậy, xét hàm số x2 f (x) = ln(1 + x) − x − , x Ta có x2 f (x) = −1+x= > 0, ∀x x+1 x+1 Như vậy, f (x) hàm đồng biến x x2 Do f (x) > f (0), hay ln(1 + x) > x − Tương tự, ta chứng minh ln(1 + x) < x, ∀x 0 59 Như vậy, bất đẳng thức (3.12) chứng minh Ta có ln xn = ln(1 + n ) + ln(1 + ) + · · · + ln(1 + ) n2 n2 n2 Áp dụng bất đẳng thức (3.12) với k = 1, 2, , n, ta có k k2 k k − < ln(1 + ) < n2 2n4 n2 n2 Thực cộng n vế bất đẳng thức trên, suy 1 2 (1 + + · · · + n) − (1 + + · · · + n ) < ln x < (1 + + · · · + n) n n2 2n4 n2 ⇔ n + (n + 1)(2n + 1) n+1 − < ln xn < 2n 12n 2n Ta có n + (n + 1)(2n + 1) n+1 ) = lim − = n→∞ n→∞ 2n 2n 12n3 Như lim (ln xn ) = n→∞ lim ( Bài toán 3.48 Cho dãy số {xn } xác định xn = √ √ , n ∈ N∗ n n + + (n + 1) n Tính giá trị giới hạn N lim N →∞ n=1 √ √ n n + + (n + 1) n Lời giải Đặt N A = lim N →∞ n=1 √ √ n n + + (n + 1) n Ta có √ √ (k + 1) k − k k + √ = xk = √ (k + 1)2 k − k (k + 1) k k + + (k + 1) k 60 √ √ (k + 1) k − k k + 1 =√ −√ = k(k + 1) k+1 k Suy N √ √ N →∞ n n + + (n + 1) n n=1 = lim (1 − √ ) = N →∞ N +1 A = lim Vậy nên A = Bài toán 3.49 Cho dãy số {xn } xác định   x0 = α, α > 20152 ), n ∈ N∗  xn = (xn−1 + xn−1 Xác định lim xn n→∞ Lời giải Theo công thức xác định dãy {xn }, ta có 20152 xn = (xn−1 + ), ∀n ∈ N∗ xn−1 Bằng quy nạp, ta chứng minh dãy {xn } dãy số dương với n ∈ N∗ Áp dụng bất đẳng thức trung bình cộng trung bình nhân, ta có 20152 xn = (xn−1 + ) 2015, ∀n ∈ N∗ xn−1 Mặt khác, ta có 1 20152 20152 ) = (xn−1 − ) xn−1 − xn = xn−1 − (xn−1 + xn−1 xn−1 x2 − 20152 = ( n−1 ) xn−1 xn−1 − 2015 xn−1 + 2015 = ( )( ) > xn−1 xn−1 Suy dãy {xn } dãy đơn điệu giảm, bị chặn Gọi x giới hạn dãy, từ công thức 20152 xn = (xn−1 + ), ∀n ∈ N∗ , xn−1 61 Qua giới hạn (hay cho n → +∞) ta 20152 ) x = (x + x Do x = 2015, x > Vậy lim xn = 2015 n→∞ Bài toán 3.50 Cho β > dãy số {xn } xác định công thức   x0 = α, α > β2 ), n ∈ N∗  xn = (xn−1 + xn−1 Xác định lim xn n→∞ Lời giải Theo công thức xác định dãy {xn }, ta có β2 ), ∀n ∈ N∗ xn = (xn−1 + xn−1 Bằng quy nạp, ta chứng minh dãy {xn } dãy số dương với n ∈ N∗ Áp dụng bất đẳng thức trung bình cộng trung bình nhân, ta có β2 xn = (xn−1 + ) β, ∀n ∈ N∗ xn−1 Mặt khác, ta có β2 β2 xn−1 − xn = xn−1 − (xn−1 + ) = (xn−1 − ) xn−1 xn−1 x2 − β = ( n−1 ) xn−1 xn−1 − β xn−1 + β = ( )( ) > xn−1 xn−1 Suy dãy {xn } dãy đơn điệu giảm, bị chặn Gọi x giới hạn dãy, từ công thức β2 xn = (xn−1 + ), ∀n ∈ N∗ xn−1 Qua giới hạn (hay cho n → +∞) ta β2 x = (x + ) x Do x = β , x > Vậy lim xn = β n→∞ 62 Bài toán 3.51 Cho β > dãy số {xn } xác định công thức   x0 = α, α > β k+1 (kxn−1 + k ), n ∈ N∗  xn = k+1 xn−1 Xác định lim xn n→∞ Lời giải Theo công thức xác định dãy {xn }, ta có β k+1 xn = (kxn−1 + k ), ∀n ∈ N∗ k+1 xn−1 Bằng quy nạp ta chứng minh dãy {xn } dãy số dương với n ∈ N∗ Áp dụng bất đẳng thức trung bình cộng trung bình nhân, ta có β k+1 xn = (kxn−1 + k ) β, ∀n ∈ N∗ k+1 xn−1 Mặt khác, ta có β k+1 βk xn−1 − xn = xn−1 − (kxn−1 + k ) = (xn−1 − k ) k+1 k+1 xn−1 xn−1 k+1 − β k+1 xn−1 = ( ) k+1 xkn−1 = (xn−1 − β)g(xn−1 ) ≥ k+1 Suy dãy {xn } dãy đơn điệu giảm, bị chặn Gọi x giới hạn dãy, từ công thức β k+1 xn = (kxn−1 + k ), ∀n ∈ N∗ k+1 xn−1 Qua giới hạn (hay cho n → +∞) ta β k+1 x = (x + k ) x Do x = β , x > Vậy lim xn = β n→∞ 63 3.4 MỘT SỐ DẠNG TỐN KHÁC Ngồi dạng thường gặp nêu, việc đánh giá dãy số để suy ràng buộc dãy số hay phổ biến toán dãy số Ta xét toán sau: Bài toán 3.52 Cho dãy số {xn } xác định sau   x0 = 2015 x2n , n = 0, 1, 2,  xn+1 = + xn Chứng minh [xn ] = 2015 − n với n 1000, [xn ]để phần nguyên xn Lời giải Ta có xn > 0, ∀n ≥ xn x2n = >0 xn − xn+1 = xn − + xn + xn Do xn > xn+1 , ∀n ≥ Suy dãy {xn } dãy số giảm Ta có xn = x0 + (x1 − x0 ) + (x2 − x1 ) + · · · + (xn − xn−1 ) x0 x1 xn−1 = 2015 − − − ··· − + x0 + x1 + xn−1 1 + + ··· + = 2015 − n + + x0 + x1 + xn−1 2015 − n 1 + + ··· + > 0, với n ≥ 0.) + x0 + x1 + xn−1 Mặt khác, xn x2n = xn − > xn − 1, ∀n ≥ xn+1 = + xn + xn Do (vì: x1 > x0 − x2 > x1 − xn+1 > xn − Suy xn+1 > x0 − (n + 1) ⇒ xn−1 > 2015 − (n − 1), ∀n ≥ 1 Nên xn−1 + > 2017 − n ⇒ < + xn−1 2017 − n 64 n n < < 1, ∀ ≤ n ≤ 1000 2017 − n 2001 − n Lại có dãy {xn } dãy đơn điệu giảm, nên Vì 1 + + ··· + + x0 + x1 + xn−1 n 2015 − n + + xn−1 n 2015 − n + 2017 − n 2015 − n + 1, (2 n 1000) xn = 2015 − n + Suy 2015 − n < xn < 2015 − n + Vậy nên [xn ] = 2015 − n Bài toán 3.53 Cho dãy số {xn } xác định bởi: x0 = 1, xn = xn−1 + xn−1 , n = 2, 3, Chứng minh 63 < x2015 < 78 Lời giải Theo cách xác định dãy {xn }, ta có xn = xn−1 + xn−1 xn−1 , ∀n ∈ N∗ Vậy nên {xn } dãy số tăng, xn > 1, ∀n ∈ N∗ Mặt khác ta có x2n = x2n−1 + x2n−1 +2 x2n−1 + 2, ∀n ∈ N∗ (3.13) Theo công thức xác định dãy: xn = xn−1 + xn−1 1⇒ xn−1 x2n−1 −1 0, ∀n ∈ N Suy x2n − = x2n−1 + x2n−1 −1 x2n−1 , ∀n ∈ N∗ Từ (3.13) (3.14), suy ra: x2n−1 + x2n x2n−1 + 3, ∀n ∈ N∗ (3.14) 65 Lần lượt cho n = 2, 3, , k biểu thức ta có:  2   x12 + x22 x12 + x2 + x3 x2 +   · ·2· · · · xk−1 + x2k x2k−1 + Thực cộng k − đẳng thức theo vế rút gọn số hạng đồng dạng, suy x21 + (k − 1)2 x2k x21 + (k − 1)3 Thay u1 = ta được: x2k 2k − Suy ra: √ 2.2015 − 3k − √ x2015 3.2015 − Vậy 63 < x2015 < 78 Bài toán 3.54 Cho dãy số {xn } xác định bởi: x1 = α, α > xn = xn−1 + xn−1 , n = 2, 3, √ + α2 + 2n 2α Lời giải Theo cơng thức xác định dãy, ta có Chứng minh √ α2 + 2n < xn < xn = xn−1 + xn−1 xn − xn−1 = xn−1 xn−1 >0 Nên (xk+1 + xk )(xk+1 − xk ) > 2xk ⇔ x2k+1 − x2k > n−1 (x2k+1 − x2k ) > 2n suy k=0 ⇔ x2n − x20 > 2n =2 xk 66 Do xn > x20 + 2n (3.15) Mặt khác, x0 < x1 < x2 < nên 1 < xk x0 < < 2xk ⇔ xk+1 − xk − x0 ⇔ (xk+1 − xk − )(xk+1 − xk ) < x0 1 ⇔ (x2k+1 − x2k ) − (xk+1 − xk ) < 2xk = x0 xk xk+1 − xk = Do ta có n−1 (x2k+1 − x2k ) k=0 − x0 n−1 (xk+1 − xk ) < 2n k=0 ⇔x2n − x20 − (xn − x0 ) < 2n x0 ⇔xn < Do x0 = α > nên 1 + 2x0 + 4(x20 + 2n − 1) x0 − < 0, suy x20 xn < + 2x0 x20 + 2n (3.16) Từ (3.15) (3.16), ta có x20 + 2n < xn < Vậy nên √ α2 + 2n < xn < + 2x0 x20 + 2n √ + α2 + 2n 2α Bài toán 3.55 Cho dãy số {xn } xác định x1 = , xn+1 = x2n + xn , ∀n ∈ N∗ , < α α 67 Tìm phần nguyên số: A = 1 + + ··· + x1 + x2 + x2015 + Lời giải Theo cách xác định dãy ta có xn > 0, xn+1 > xn , ∀n ∈ N∗ Từ giả thiết xn+1 = x2n + xn suy ra: xk+1 = xk (xk + 1) = 1 1 − ⇔ = − xk xk + xk + xk xk+1 (3.17) Lần lượt thay k = 1, 2, , 2015 vào công thức (3.17) cộng theo vế ta có: 1 + + ··· + A= x1 + x2 + x2015 + 1 1 1 = ( − ) + ( − ) + ··· + ( − ) x1 x2 x2 x3 x2015 x2016 1 = − =α− < 1, (x2016 > 0) x1 x2016 x2016 1 + +· · ·+ > 0, x1 + x2 + x2015 + suy A > Do < A < Vậy [A] = Mặt khác xn > 0, ∀n ∈ N∗ , nên A = Bài toán 3.56 Cho dãy số {xn } dãy số nguyên dương thỏa mãn x2n+1 x2n x21 x22 x23 + + + · · · + 13 23 33 n3 K Chứng minh tồn số tự nhiên K cho xn+1 1983 > 1000 n=1 x1 + x2 + · · · + xn Lời giải Theo đề ta có (13 + 23 + · · · + n3 )(x2n+1 ) x22 x23 x2n 3 x1 (1 + + · · · + n )( + + + · · · + ) n (x1 + x2 + · · · + xn ) , (Cauchy − Schwartz) Do x2n+1 (x1 + x2 + · · · + xn )2 = 13 + 23 + · · · + n3 n(n + 1) Suy xn+1 x1 + x2 + · · · + xn n(n + 1) 68 K n=1 K xn+1 x1 + x2 + · · · + xn n=1 K n(n + 1) =2 n=1 K =2 n(n + 1) 1 ( − ) n n + n=1 = 2(1 − K xn+1 n=1 x1 + x2 + · · · + xn giá trị cần tìm 2K )= K +1 K +1 2(999) 1998 1983 = > Vậy K = 999 999 + 1000 1000 Nên ta có Bài tốn 3.57 Cho dãy số {xn }, xác định x0 = 1, xn+1 = xn + ; n = 0, 1, 2, xn Chứng minh với số nguyên dương m, ta có m k=0 < x4k Lời giải Ta chứng minh quy nạp Khi m = 1, x1 = ta có 1 + =1+ < x0 x1 16 Giả sử m k=0 < xk Ta cần chứng minh m+1 k=0 Ta có x2n+1 = (xn + < x4k ) > x2n + 2, xn x2n > x2n−1 + > x2n−2 + 2.2 > · · · > x21 + 2.(n − 1) = 2n + 69 Suy 1 1 1 < < = ( − ) x4k (2k + 2)2 (2k + 1)(2k + 3) 2k + 2k + (3.18) Lần lượt thay k = 2, , m vào (3.18) thực cộng theo vế ta m k=2 1 1 1 < ( − + + ··· + − ) xk 2m + 2m + Do m k=0 1 1 1