chỉnh hóa nghiệm một bài toán ngược xác định nguồn nhiệt

ĐẠI HỌC QUỐC GIA TP. HỒ CHÍ MINH TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN LÊ THỊ LOA N CHỈNH HÓA NGHIỆM M ỘT BÀI TOÁN NG Ư C XÁC Đ Ị N H NGUỒN NHIỆT LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Tp. Hồ Chí Minh - 2010 ĐẠI HỌC QUỐC GIA TP. HỒ CHÍ MINH TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN LÊ THỊ LOAN CHỈNH HÓA NGHIỆM M ỘT BÀI TOÁN NG Ư C XÁC Đ Ị N H NGUỒN NHIỆT LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Chuyên ngành: Toán Giải Tích Mã số: 60 46 01 NGƯỜI HƯỚNG DẪN: TS. Nguyễn Công Tâm Đại học Khoa học Tự nhiên Tp. Hồ Chí Minh - 2010 Lời cảm ơn Lời đầu tiên , tôi xin bày tỏ lòng kính trọng và chân thàn h cảm ơn thầy hướng dẫn tôi , Tiến só Nguyễn Công Tâm, thầy đã bỏ nhie àu công sức tận tình hướng dẫn, chỉ bảo và giúp đỡ tôi trong suốt quá trình thực hiện luận văn này. Tôi xin chân thành cảm ơn Tiến só Nguyễn Thàn h Long trong các buổi seminar thầy đã thường xuyên đôn đốc và cho ý kiến quý báu cũng như những lời phê bình bổ ích giúp tôi hoàn thành tốt luận văn này. Tôi xin chân thành cảm ơn Tiến só Trần M i n h Thuyết, thầy đã dành thời gian để nghe tôi thuyết trình và giúp tôi làm sáng tỏ các vấn đề tro n g luận văn. Xin trân trọng cảm ơn các Thầy đã truyền đạt những kiến thức và kinh ngh i e äm quý báu trong suốt các môn học. Xin chân thành cảm ơn anh Phạm Thanh Sơn, lớp cao học Giải tích K18 t r ư ơ øn g Đại học Sư phạm TPHCM, các anh tron g lớp học seminar và các bạn cùng lớp đã cùng tôi thảo luận các vấn đề trong luận văn. Lời thân thương nhất tôi xin chân thành cảm ơn Gia đình đã luôn luôn ủng hộ tôi về tinh t h ần và vật chất trong những hoàn cảnh khó khăn. Lê Thò Loan Mục lục Trang Lời nói đầu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 Chương mở đầu. Một số công cụ chuẩn bò . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 Chương 1. Biến đổi Laplace . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 Chương 2. Thie át lập phương trình tích phân . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 Chương 3. Chỉn h hóa nghi e äm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 Kết luận . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48 Tài liệu tham khảo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50 Lời nói đầu Trong luận văn này, chúng tôi khảo sát bài toán sau: Tìm hàm l(x, t) thỏa: u t − u xx = l(x, t), x > 0, 0 ≤ t ≤ 1, (1) u(x, 0) = w(x), x > 0, (2) u(0, t) = g(t), 0 ≤ t ≤ 1, (3) u x (0, t) = h(t), 0 ≤ t ≤ 1, (4) trong đó: • u(x, t) là nhiệt độ của một thanh đồng chất và đẳng hướng như 1 hàm t h e o biến không gian x và thời gian t. • u t (x, t) là mức độ thay đổi của nhiệt độ tại một điểm nào đó theo thời gian. • u xx (x, t) là đạo hàm bậc hai (lưu chuyển nhiệt) của nhiệt độ theo hướng x. • l(x, t) là nguồn n h i e ät và l(x, t) = k(t)f(x) với k(t) cho trước trên [0, 1], tìm hàm f(x) trên (0, +∞). • Các hàm w(x), g(t), h(t) là các hàm ch o trư ơ ùc. Đây là bài toán thường gặp trong các ngành khoa học kó thuật, đặc bi e ät là trong Vật lý mà ta đã biết đó là các bài toán không chỉnh. Liên q u an đến bài toán này là các công trình của Tikhonov, Lavrenties, Lions . . . Bài toán cơ bản là vẽ lại các thông tin hữu ích từ các dữ liệu đo đạc Vật lý bò nhiễu, ở đó ta nhận được bài toán khôn g chỉn h (chủ yếu l à nghiệm của bài toán không phụ thuộc liên tục vào dữ kiện) mà các phương pháp nội tại (từ các mô hình toán học tr ư ïc tiếp đo đạc được) dùng để ước lượng dẫn đến sự khuyếch đại không thể kiểm soát được của nh i e ãu . Thông thường ta tìm một hàm (xác đònh trên một miền thích hợp) hội tụ đến hàm chính xác, và như đã nói trên sự khuyếch đại của nhiễu xuất hiện khách quan trong quá trình đo đạc làm cho các kết quả t í n h toán vì thế m à khôn g có giá trò, những ``kết quả'' này che giấu nghiệm chính xác dưới các dao động với tầng số cao, biên độ lớn. 2 Đối với bài toán không chỉnh này, người ta không thể giải trực tiếp bài toán mà phải thông qua bài toán trung gian, tức là người ta đưa ra họ bài toán mà mỗi bài toán trong họ là bài toán chỉnh và phải đảm bảo yêu cầu là họ nghi e äm bài toán chỉnh phải hội tụ về nghiệm bài toán không chỉnh, khi mà một tham số chỉnh tương ứng cho họ bài toán đó tiến về một giới hạn nào đó. Việc chỉ n h hóa bài toán cũng kho ân g có một phương ph áp chung, ng h ó a là phải có một bài toán cụ thể, phương trình tích phân cụ thể và từ đó n g ư ơ øi ta chỉnh trên đó. Trong trường hợp này bài toán (1) cùng vơ ùi các điều kiện (2), ( 4) ta khảo sát các bài toán cụ thể sau: BÀI TOÁN A      u t − u xx = l(x, t), x > 0, t > 0, u(x, 0) = 0, x > 0, u x (0, t) = 0, t > 0, BÀI TOÁN B      u t − u xx = 0, x > 0, t > 0, u(x, 0) = w(x), x > 0, u x (0, t) = 0, t > 0, BÀI TOÁN C      u t − u xx = 0, x > 0, t > 0, u(x, 0) = 0, x > 0, u x (0, t) = h(t), t > 0. Sau khi tìm nghiệm u 1 (x, t), u 2 (x, t), u 3 (x, t) của các bài toán A, B, C, sau đó kết hợp với điều kiện (3) và sau nhiều phép tính phức tạp ta tìm được: u(x, t) = t  0 ∞  0 l(ξ, τ ) 2  π(t − τ )  e − (x−ξ) 2 4(t−τ ) + e − (x+ξ) 2 4(t−τ )  dξdτ + 1 2 √ πt ∞  0 w(ξ)  e − (x−ξ) 2 4t + e − (x+ξ) 2 4t  dξ − 1 √ π t  0 h(τ) √ t − τ e − x 2 4(t−τ ) dτ. 3 Từ đây ta thiết lập được phương trình tích phân Fredh o l m loại 1 để tìm l(x, t): t  0 ∞  0 l(ξ, τ )  (t − τ) e − ξ 2 4(t−τ ) dξdτ = √ πg(t) + t  0 h(τ) √ t − τ dτ − 1 √ t ∞  0 w(ξ)e − ξ 2 4t dξ. Do l(x, t) = k(t)f (x) n e ân phương trình tích phân Fredholm loại 1 trên trở thành: ∞  0 f (ξ)dξ t  0 k(τ)e − ξ 2 4(t−τ ) dτ = √ πg(t) + t  0 h(τ) √ t − τ dτ − 1 √ t ∞  0 w(ξ)e − ξ 2 4t dξ, hay viết dươ ùi dạng toán tử là: (Af )(t) = ϕ(t), trong đó A là toán tử giữa 2 không gian Hilbert, A : H → H 1 với H = L 2 (R + ), H 1 = L 2 (0, 1). Như chúng ta đã biết, bài t o án tìm nghiệm của phươ n g trình tích phân Fre dh o l m loại 1 là bài toán không chỉnh theo nghóa Hadamard. Bài toán được gọi là chỉnh theo nghóa Hadamard nếu thỏa 3 điều kiện sau: (i) Bài toán có nghiệm, (ii) Nghiệm nếu có là duy nhất, (iii) Nghiệm phụ thuộc li e ân tục vào dữ kiện (ở đây dữ kiện là ϕ(t)). Tính chất duy nhất nghiệm là quan trọng vì ý nghóa của nó là thông t i n về dữ kiện đo đạc vừa đủ để xác đònh ngh i e äm bài toán. Còn ý nghóa của sự phụ thuộc liên tục của nghiệm vào dữ kiện là độ sai lệch của nghiệm (nếu tồn tại) ứng với dữ kiện bò nhiễu với mức độ nh o û sẽ là nhỏ. Yếu tố thứ 3 này là quan trọng nhất vì sai số của dữ kiện khi đo đạc là điều hiển nhiên, và đó cũng là lý do mà ta cần phải xử lý các bài toán này. 4 Bài toán được gọi là không chỉnh nếu vi phạm 1 trong 3 điều trên, nghóa là các bài to án này có thể không có nghiệm (tức là ứng với dữ kiện đo đạc bò nhiễu ϕ, phương trình Af = ϕ vô n g h i e äm ) . Mặt khác, nếu nghiệm tồn tại thì nó không phụ thuộc liên tục vào dữ kiện (nghóa là nếu f là nghiệm ứn g với dữ kiện ϕ thì một thay đổi nhỏ của ϕ kéo theo sự thay đổi lớn của f ). Do nhu cầu tí n h toán, các bài toán kho ân g chỉn h này cần được chỉnh hóa, với phương t r ì nh tích phân loại 1 trên, chúng tôi tiến hành chỉnh hóa bằng cách sử dụng phương pháp Tikhonov, với phương pháp này chúng tôi xây dựng một phương trình mới để chỉnh hóa (phương trình chỉnh hóa): ε(f ε , v) + Af ε , Av = ϕ ε , Av, ∀v ∈ L 2 (R + ), trong đó bài toán tìm nghiệm của phương trình này là bài toán chỉnh, tức là: (i) Tồn tại duy nhất nghiệm f ε ∈ L 2 (R + ) với ϕ ε ∈ L 2 (0, 1) cho trước, (ii) f ε phụ thuộc liên tục vào ϕ ε . Lưu ý rằng, dữ kiện đo đạc ϕ ε bò nhiễu so với dữ kiện chí n h xác ϕ. Trong luận văn chúng tôi cũng đã thiết lập được sai số giữa nghiệm chỉnh hóa f ε nêu trên so với nghiệm chính xác f (với giả thiết một số tính trơn thích hợp) của phương trình: Af = ϕ. Cụ thể, nếu sai số giữa dữ li e äu đo đạc ϕ ε và dữ liệu chính xác ϕ là ε, nghóa là: ϕ ε − ϕ ≤ ε, thì chúng tôi chỉ ra được sai so á giữa nghiệm chỉnh hóa f ε và nghiệm chính xác f là √ ε, nghóa là: f ε − f ≤ C √ ε, trong đó C là hằng số không phụ thuộc vào ε. Hơn nữa, chu ùn g tôi chứng minh được rằng f ε chính là điểm b ất động của một ánh xạ co. Do đó có th e å xây dựng một thuật toán lặp để tính nghiệm xấp xỉ f ε . 5 Gọi f (m) ε là ngh i e äm xấp xỉ ở bước lặp thứ m. Khi đó ta có đánh giá sai số f (m) ε và nghiệm chính xác f được cho bởi    f (m) ε − f    L 2 (R + ) ≤ (1 + M ) √ ε, với m ε được chọn đủ lớn. Luận văn này được trình bày theo các chương mục sau: Lời no ùi đầu: Tổng quan về bài toán khảo sát trong luận văn, đồng thời nêu bố cục của luận văn. Chương mở đầu: Ch u ùn g tôi trình bày một số kết quả chuẩn bò bao gồm nh ắc lại một số không gian hàm, các đònh lý, các kết quả được sử dụng trong luận văn. Chương 1: Phép biến đổi Laplace và một số vấn đề có liên quan được chúng tôi trình bày trong chương này. Chương 2: Tìm nghiệm của một số bài toán trung gian: bài toán A, bài toán B, bài toán C, nhằm thiết lập phươ n g trình t í ch phân. Chương 3: Chỉnh hóa nghiệm. Kế đến là phần kết luận, sau cùng là danh mục tài liệu tham khảo. Chương mở đầu MỘT SỐ CÔNG CỤ CHUẨN BỊ Đònh nghóa 0.1 (Không gi a n Hilbert thực). Cho X là m o ät không gian vectơ trên R, một phiếm hàm, ký hiệu là: ·, · : X × X → R, gọi là một tích vô hướn g trên X nếu (i) x, x ≥ 0, với mọi x ∈ X, và x, x = 0 ⇔ x = 0, (ii) x, y = y, x, với mọi x, y ∈ X và (iii) αx + βy, z = α x, z + β y, z với mọi α, β ∈ R, x, y, z ∈ X. Cho trước một tích vô hướn g ·, · trên X, một chuẩn trên X có thể được xác đònh bởi x X =  x, x. Nếu X là một không gian Banach đối với chuẩn này thì X được gọi là không gian Hilbert. Hai bất đẳng thức sau đây thư ơ øn g được sử dụng: Bất đẳng thức Cauchy Schwartz: Với mọi x, y ∈ X, |x, y| ≤ xy, Bất đẳng thức tam giác: Vơ ùi mọi x, y ∈ X, x + y ≤ x + y. Đònh nghóa 0.2 (Toán tử liên hợp). Cho A là toán tử tuyến tính bò chặn ánh xạ không gian Hilb e r t X vào không gian Hilbert Y. Toán tử B ánh xạ không gian Y vào không gian X gọi là toán tử liên hợp với toán tử A, nếu (Ax, y) = (x, By), ∀x ∈ X, ∀y ∈ Y. Toán tử liên hợp B thường được ký hiệu là: A ∗ . Cho A là toán tử tuyến tính bò chặn ánh xạ không gian Hilb e r t X vào không gian Hilbert Y. Khi đó tồn tại toán tử A ∗ liên hợp với toán tử A ánh xạ không gian Y vào không gian X, toán tử liên hợp A ∗ cũng l à toán tử tuyến t í n h bò chặn và A ∗  = A. [...]... PHƯƠNG TRÌNH TÍCH PHÂN Xét nhiệt độ u(x, t) của một thanh V đồng chất và đẳng hướng như một hàm theo biến không gian x và thời gian t Thực nghiệm cho thấy rằng nhiệt độ tại một điểm sẽ thay đổi tùy theo phân bố nhiệt độ của các điểm khác của vật thể Ta mô hình sự thay đổi này như là một dòng nhiệt chuyển nhiệt lượng từ nơi nhiệt độ cao sang nhiệt độ thấp, l(x, t) là nguồn nhiệt Vấn đề đặt ra là tìm... Trước tiên xét bài toán (2.1), (2.2), (2.4) với t > 0, ta được: ut − uxx = l(x, t), x > 0, t > 0, (2.1 ) u(x, 0) = w(x), x > 0, (2.2 ) ux (0, t) = h(t), t > 0 (2.4 ) Nghiệm của bài toán (2.1 ), (2.2 ), (2.4 ) có dạng: u(x, t) = u1 (x, t) + u2 (x, t) + u3 (x, t), (2.5) trong đó u1 (x, t), u2 (x, t), u3 (x, t) lần lượt là nghiệm của các bài toán A, B, C ở trên Trước khi tìm nghiệm của các bài toán A, B,... τ ) 2 − (x+ξ) ) 4(t−τ +e dξdτ Vậy (2.12) là nghiệm bài toán A Bổ đề 2.6 Nghiệm của bài toán B cho bởi: 1 u2 (x, t) = √ 2 πt +∞ w(ξ) e− 0 (x−ξ)2 4t + e− (x+ξ)2 4t dξ (2.13) 31 Chứng minh Gọi ψ(x) là thác triển chẵn theo x của w(x) lên R, nghóa là  w(x) nếu x ≥ 0, ψ (x) = w(−x) nếu x < 0 Khi đó 1 v(x, t) = √ 2 πt +∞ ψ(ξ)e− (x−ξ)2 4t dξ là nghiệm của bài toán: −∞   vt − vxx = 0, x > 0, t > 0,  v(x,... = l(x, t) Bổ đề 2.5 Nghiệm của bài toán A có dạng: t +∞ 1 u1 (x, t) = √ 2 π 0 Chứng minh 0 (x−ξ)2 (x+ξ)2 l(ξ, τ ) e− 4(t−τ ) + e− 4(t−τ ) dξdτ (t − τ ) (2.12) 30 Gọi ψ(x, t) là thác triển chẵn theo x của l(x, t) lên R, nghóa là:  l(x, t) nếu x ≥ 0, t > 0, ψ (x, t) = l(−x, t) nếu x < 0, t > 0 1 Đặt v(x, t) = √ 2 π t +∞ 0 −∞ ψ(ξ, τ ) − (x−ξ)2 √ e 4(t−τ ) dξdτ là nghiệm của bài toán: t−τ vt − vxx =... (Do đổi biến ξ = −ξ của tích phân Suy ra  +∞ 1 v(x, t) = √  2 πt 1 = √ 2 πt w(ξ )e− (x+ξ )2 4t ψ(ξ)e− +∞ w(ξ)e− dξ + 0 (x+ξ)2 4t 0 Vậy (2.13) là nghiệm của bài toán B dξ) −∞ 0 +∞ w(ξ) e− (x−ξ)2 4t + e− (x−ξ)2 4t dξ (x−ξ)2 4t  dξ  32 Bổ đề 2.7 Nghiệm bài toán C cho bởi 1 u3 (x, t) = − √ π t 0 x2 h(τ ) − 4(t−τ ) √ e dτ t−τ (2.14) Chứng minh (sử dụng phép biến đổi Laplace) Đặt ∞ L[u(x, t)] = U (x, p)... 2.1 Nghiệm của bài toán: ut − uxx = 0, x ∈ R, t > 0, u(x, 0) = w(x) được xác đònh bởi (2.6) (2.7) 24 1 u(x, t) = √ 2 πt +∞ w(ξ)e− (x−ξ)2 4t (2.8) dξ −∞ Để chứng minh (2.8) thỏa (2.6) ta dùng bổ đề sau: Bổ đề 2.2 (Nguyên lý hợp tổng quát) Nếu hàm U (x, t, α) với tham số thực α cho trước thỏa phương trình vi phân tuyến tính L(U ) = 0 theo x, t Khi đó tích phân u(x, t) = U (x, t, α) ϕ (α)dα cũng là nghiệm. .. ∂x 4 πt 2 vì hàm dưới dấu tích phân là hàm lẻ w(ξ)e− (x−ξ)2 4t dξ +∞ (x − ξ)w(ξ)e− −∞ Suy ra 2(x − ξ) 4t (x−ξ)2 4t dξ +∞ (−ξ)w(ξ)e −ξ2 4t dξ = 0, −∞ Bổ đề 2.4 Nghiệm của bài toán: ut − uxx = l(x, t), x ∈ R, t > 0, u(x, 0) (2.9) = 0, (2.10) được xác đònh bởi t +∞ u(x, t) = 0 −∞ 1 2 2 π(t − τ ) − (x−ξ) ) 4(t−τ e l(ξ, τ )dξdτ Chứng minh Ta chứng minh (2.11) thỏa (2.9), (2.10) Đặt +∞ v(x, t, τ ) = t thì... t) : 0 0 8 với tích vô hướng được đònh nghóa như sau 1 +∞ f (x, t)g(x, t)dxdt, f, g ∈ L2 R+ × (0, 1) 0 0 Chương 1 BIẾN ĐỔI LAPLACE Đònh nghóa 1.1 (gốc và ảnh) • Hàm biến thực f (t) xác đònh trên khoảng (−∞, +∞) được gọi là hàm gốc nếu thỏa các điều kiện sau: i) f (t) = 0 nếu t < 0, ii) Nếu t ≥ 0 thì hàm f (t) có nhiều nhất là hữu hạn các điểm gián đoạn loại một trên mỗi khoảng hữu hạn của trục t, iii)... của trục t, iii) Khi t → ∞, hàm f (t) tăng không nhanh hơn một hàm mũ, nghóa là ∃M > 0, a > 0, sao cho |f (t)| < M eat , ∀t > 0 Số α0 = inf a, với tất cả các a thỏa (iii) được gọi là chỉ số tăng của hàm f , lưu ý rằng có thể (iii) không thỏa với α 0 • Cho f là hàm gốc với chỉ số tăng α 0 Hàm biến phức F đònh bởi: ∞ F (p) = f (t)e−pt dt, xác đònh trên miền Re p > α0 , được gọi là biến đổi 0 Laplace... mọi |α| ≤ N thì √ ε w(x + 2α t) − w(x) < 3 Do đó N 2ε ε 1 |u(x, t) − w(x)| < + √ 3 3 π 2 e−α dα −N +∞ 2ε ε 1 < + √ 3 3 π 2 e−α dα −∞ = Vậy 2ε ε + = ε 3 3 lim u(x, t) = w(x) t→0 Vậy (2.8) là nghiệm duy nhất của bài toán (2.6) và (2.7) Bổ đề 2.3 1 Giả sử u(x, t) = √ 2 πt Khi đó +∞ w(ξ)e− (x−ξ)2 4t −∞ i) Nếu w(x) là hàm lẻ thì u(0, t) = 0, dξ, trong đó w là hàm bò chặn 28 ∂u (0, t) = 0, ∀t > 0 ∂x ii) Nếu . đưa ra họ bài toán mà mỗi bài toán trong họ là bài toán chỉnh và phải đảm bảo yêu cầu là họ nghi e äm bài toán chỉnh phải hội tụ về nghiệm bài toán không chỉnh, khi mà một tham số chỉnh tương. m loại 1 là bài toán không chỉnh theo nghóa Hadamard. Bài toán được gọi là chỉnh theo nghóa Hadamard nếu thỏa 3 điều kiện sau: (i) Bài toán có nghiệm, (ii) Nghiệm nếu có là duy nhất, (iii) Nghiệm. chương này. Chương 2: Tìm nghiệm của một số bài toán trung gian: bài toán A, bài toán B, bài toán C, nhằm thiết lập phươ n g trình t í ch phân. Chương 3: Chỉnh hóa nghiệm. Kế đến là phần kết