CHỈNH HOÁ NGHIỆM MỘT BÀI TOÁN NGƯỢC TRONG PHƯƠNG TRÌNH NHIỆT

HCM --- NGUYỄN MAI VĨNH NGHI CHỈNH HOÁ NGHIỆM MỘT BÀI TOÁN NGƯỢC TRONG PHƯƠNG TRÌNH NHIỆT LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Mã số: 60 46 01 Khoa toán-tin học Đai Học Khoa Học Tự Nhiên Đại

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP HCM

-

NGUYỄN MAI VĨNH NGHI

CHỈNH HOÁ NGHIỆM MỘT BÀI TOÁN NGƯỢC TRONG PHƯƠNG TRÌNH NHIỆT

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

Mã số: 60 46 01

Khoa toán-tin học

Đai Học Khoa Học Tự Nhiên

Đại Học Quốc Gia TP HCM

Thành phố Hồ Chí Minh 2007

Lời cảm ơn

Tôi xin bày tỏ lòng kính trọng và chân thành cảm ơn thầy hướng dẫn tôi, Tiến sĩ Nguyễn

Công Tâm, người đã bỏ nhiều công sức để hướng dẫn và giúp đỡ tôi hoàn thành luận văn này

Tôi xin chân thành cảm ơn Tiến sĩ Nguyễn Thành Long, thầy đã thường xuyên đôn đốc

và chỉ dẫn tôi trong quá trình làm luận văn Đăc biệt, trong các buổi seminar

Tôi xin chân thành cảm ơn bạn Dương Quang Hoà, lớp Cao Học Hình Học Khoá

15-Trường ĐHSP TP HCM đã giúp tôi kiểm tra một số chi tiết trong quá trình làm luận văn

Tôi xin chân thành cảm ơn anh Lê Hữu Thức, lớp Cao Học Giái Tích Khoá 15-Trường

ĐHSP TP HCM đã giúp đỡ tôi trong quá trình soạn thảo luận văn

Nguyễn Mai Vĩnh Nghi

Mở đầu

Trong khoa học ứng dụng, nhu cầu khảo sát các bài toán ngược được được đặt ra từ lâu Cho đến những năm 60 của thế kỉ trước, đồng thời với việc phát triển các công cụ toán học, các bài toán ngược (hầu hết là không chỉnh) đã được các nhà toán học trên thế giới khảo sát một cách sâu rộng mà tiêu biểu là các công trình của Tikhonov, Lavrentiev, Lions,.Từ thời gian đó cho đến nay, các bài toán ngược (không chỉnh) ngày càng được nhiều nhà toán học quan tâm

do những nhu cầu xuất phát từ thực tiễn cũng như từ sự đòi hỏi của các ngành khoa học ứng dụng khác, đặc biệt trong Kỹ nghệ, Y học, Vật lý Địa cầu

Bài toán cơ bản là vẽ lại các thông tin hữu ích từ các dữ liệu đo đạc vật lý bị nhiễu, ở đó ta nhận được bài toán không chỉnh (chủ yếu là lời giải của bài toán không phụ thuộc liên tục vào

dữ kiện) mà các phương pháp nội tại (từ mô hình toán học trực tiếp đo đạc được) dùng để ước lượng dẫn đến sự khếch đại không thế kiểm soát được của nhiễu Thông thường, ta tìm một hàm (xác định trên một miền thích hợp) hội tụ đến hàm chính xác, và như đã nói ở trên, sự khuếch đại của nhiễu (theo ngôn ngữ toán học, thường nguyên nhân này là do cố gắng nghịch đảo một toán tử mà ngược của nó không bị chận)-xuất hiện khách quan trong quá trình đo đạc làm cho các kết quả tính toán vì vậy mà không có giá trị, những “kết quả” này che dấu lời giải chính xác dưới các dao động với tần số cao, biên độ lớn

Nhiều phương pháp khác nhau đã được sử dụng để chỉnh hoá Bằng cách khai thác các thông tin phụ về hàm chưa biết, chẳng hạn như các giả thiết về “tính trơn” Một phương pháp như vây được phát triển bởi Tikhonov và Phillips ( cực tiểu hoá phiếm hàm quadratic bao gồm đạo hàm bậc cao trong việc cố gắng tái tạo dữ liệu đo đạc)

Trong luận văn này, chúng tôi khảo sát một bài toán ngược trong phương trình nhiệt và sử

dụng phương pháp Tikhonov để chỉnh hoá nghiệm Cụ thể, chúng tôi chuyển bài toán khảo sát

về việc giải một phương trình tích phân Fredholm loại một :

Các đóng góp của luận văn là:

Đã chuyển được bài toán khảo sát về phương trình tích phân Fredholm loại một

Chứng minh được rằng A H: H1 là toán tử tuyến tính liên tục

Chứng minh được rằng vế phải F của phương trình Aw F thuộc L2 0,1 Ở đây, F

được xác định từ dữ kiện cuối và các dữ kiện biên của phương trình nhiệt

Chúng tôi cũng đưa ra được đánh giá cho chuẩn của toán tử A, đối với chuẩn

1

H H

A  Bài toán nhiệt sau đây được chúng tôi khảo sát:

Tìm hàm w x thoả

Như chúng ta đã biết, bài toán tìm nghiệm của phương trình tích phân Fredholm loại một là

một bài toán không chỉnh theo nghĩa Hadamard Bài toán gọi là chỉnh theo nghĩa Hadamard nếu thỏa ba điều kiện,

 i Bài toán có nghiệm,

 ii Nghiệm nếu có là duy nhất,

 iii Nghiệm phụ thuộc liên tục vào dữ kiện, ở đây dữ kiện là F t  ở vế phải của (0.6)

Tính chất duy nhất nghiệm là quan trọng vì ý nghĩa của nó là thông tin về dữ kiện đo đạc

“vừa đủ” để xác định nghiệm bài toán Còn ý nghĩa của sự phụ thuộc liên tục của nghiệm vào

dữ kiện là độ sai lệch của nghiệm (nếu tồn tại) ứng với dữ kiện bị nhiễu với mức độ nhỏ sẽ là

nhỏ Yếu tố thứ ba này là quan trọng nhất vì sai số của dữ kiện khi đo đạc là điều hiển nhiên và

đó cũng là lý do mà chúng ta cần phải xử lý các bài toán này

Như vậy bài toán là không chỉnh nếu như một trong ba điều kiện trên bị vi phạm, nghĩa là

các bài toán này có thể không có nghiệm (tức là ứng với dữ kiện đo đạc bị nhiễu F , phương trình Aw F vô nghiệm) Mặt khác, nếu nghiệm tồn tại thì nó không phụ thuộc liên tục vào dữ kiện (nghĩa là nếu w F là nghiệm ứng với dữ kiện F thì một thay đổi nhỏ của F kéo theo một

thay đổi lớn của w F)

Do nhu cầu tính toán, các bài toán không chỉnh cần được chỉnh hoá Nghĩa là cần xây dựng nghiệm ổn định (phụ thuộc liên tục vào dữ liệu cho trước) đủ gần nghiệm cần tìm để rồi từ đó

ta có thể tính xấp xỉ nghiệm chỉnh hoá để sử dụng

Sử dụng phương pháp Tikhonov (xem 7,15), chúng tôi xây dựng một phương trình mới để chỉnh hoá (phương trình chỉnh hoá)

A w F   ,

trong đó bài toán tìm nghiệm của phương trình này là bài toán chỉnh, tức là

 i Tồn tại duy nhất nghiệm w với Fcho trước (w H F,  H1)

 ii w phụ thuộc liên tục vào F

Lưu ý rằng, dữ liệu đo đạc F bị nhiễu một cách khách quan so với dữ liệu chính xác F

Trong luận văn chúng tôi cũng đã thiết lập được sai số giữa nghiệm chỉnh hoá w nêu trên

so với nghiệm chính xác w (với giả thiết trơn thích hợp) của phương trình

w là bước lặp thứ m Sai số giữa  m

w và nghiệm chính xác w được cho bởi

 m 1 

với m được chọn đủ lớn

Về hình thức trình bày, luận văn được chia thành bốn chương:

Chương 1 Biến đổi Laplace,

Chương 2 Phương trình nhiệt,

Chuơng 3 Thiết lập phương trình tích phân,

Chương 4 Chỉnh hoá nghiệm

Các công thức, bổ đề, mệnh đề, định lý và hệ quả được đánh số liên tục Để kết thúc một định

lý, bổ đề, mệnh đề hay hệ quả ta dùng ký hiệu

Chương 1: Biến đổi Laplace

Định nghĩa 1 Hàm biến thực f t  xác định trên khoảng   được gọi là hàm gốc nếu , 

thoả mãn các điều kiện sau

 i Với mọi t 0, f t  , 0

 ii Với t  , hàm 0 f t  có nhiều nhất là hữu hạn các điểm gián đoạn loại một trên mỗi

khoảng hữu hạn của trục t ,

 iii Khi t   , hàm f t  tăng không nhanh hơn một hàm mũ, nghĩa là tồn tại các hằng số

dương M và a sao cho

  at

f t Me ,   t 0

Chận dưới lớn nhất của các trị số của a trong  iii được gọi là chỉ số tăng của hàm f t 

Định nghĩa 2 Cho f t  là một hàm gốc Biến đổi Laplace của f t  là một hàm biến phức

Định lý 1 (tính giải tích bên phải) Giả sử f t  là một hàm gốc với chỉ số tăng a Khi đó

 i Biến đổi Laplace F p  của f t  hội tụ trong miền Re p a ,

 ii Hơn nữa, F p  là hàm giải tích trong nửa mặt phẳng Re p a 

   ,Re

L f t   F p p a Khi đó

Thật ra ta có kết qủa sau (Xem 2,10,11)

Định Lý 2 (Công thức biến đổi Laplace ngược) Cho hàm F p của biến phức p x iy   

thỏa các điều kiện sau

 i F p  là hàm giải tích trong nửa mặt phẳng Re p a  ,

 ii Tồn tại các hằng số dương M R, ,0  sao cho

F p

p

 , p R0 pRep a  Khi đó tồn tại hàm f t  mà biến đổi Laplace của nó là F p  và f t  được xác định bởi

  1   1  

2

a i pt

Bổ đề 1(Jordan) Cho F p  là hàm giải tích trong nửa mặt phẳng Re p a  Giả sử tồn tại

các hằng số dương M R, ,0  sao cho  p Rep a và p R0 thì

trong đó R là một phần đường tròn p  nằm trong miền R Re p a , R R 0.

Chứng minh Ta chia R thành bốn phần,R C1C2C3C4 như hình vẽ

Gọi I I I I1, , ,2 3 4 lần lượt là các tích phân trên C C C C1, 2, ,3 4 Ta lần lượt đánh giá các tích phân này như sau

Theo giả thiết,

  cos sin 2

2cos 1 

a-ib

 là hàm giải tích đơn trị trong D và không có điểm kỳ dị nào

trong D Do đó theo định lý Cauchy ta có

2

p pt

  lim 1

2

a ib p pt R

2 4

1

Re t x i t t

Chương 2: Phương trình nhiệt

Bài toán. Tìm hàm w x thoả

trong đó f , g , h là các hàm cho trước

Trước tiên ta xét bài toán sau

Nhận xét Ta tìm nghiệm của ba bài toán      A , B , C với t0, Rồi sau đó thu hẹp 

xuống  0,1 để thu được nghiệm của bài toán (11), (12), (14)

Trước khi chỉ ra nghiệm của bài toán  A ta cần các bổ đề sau

Bổ đề 3 Nghiệm của bài toán Cauchy

2

4

1,

2

x t

2

x t

do hàm dưới dấu tích phân là hàm lẻ

Bổ đề 5 Nghiệm của bài toán  A là

w x x x

  1  4   

,2

x t

Vậy (20) là nghiệm của bài toán  A

Để chỉ ra nghiệm của bài toán  B ta cần bổ đề sau

Bổ đề 6 Nghiệm của bài toán Cauchy không thuần nhất

,,

2

x t

Chứng minh Bởi vì hàm G có kì dị tại  0,0 , ta không thể tính trực tiếp đạo hàm dưới dấu tích phân Ta phải làm như sau, trước tiên ta dùng phép đổi biến để viết

Như vậy, ,u u t xx và tương tự u đều thuộc C 0,  

Bây giờ để kiểm tra (21) thoả (11) ta tính toán như sau

Bổ đề 7 Nghiệm của bài toán  B là

,2

Chứng minh Ta làm tương tự như phép chứng minh Bổ đề 5 Thật vậy, gọi  x t, là thác

triển chẵn theo x của f x t , lên , nghĩa là

,,

2

x t

 (do Bổ đề 4)

Như vậy V x t , thoả (11), (18), (17) Bây giờ ta biến đổi V x t , như sau

2

x t

x t

x t

x t

x t

1,

d U pU

2

4 0

  2

4 0

Chương 3: Thiết lập phương trình tích phân

 

  1

Do đó tích phân thứ nhất trong đẳng thức cuối của (36) hội tụ

Đối với tích phân thứ hai ta cũng làm tương tự Thật vậy,

Như vậy tích phân thứ hai trong đẳng thức cuối của (36) cũng hội tụ

Vậy theo định lí hội tụ bị chận Lebesgue (xem 2,4,16) ta nhận được

2

4 2

0

0 0

,1

t

t x

   

2

4 3

0

1,

2 0,1

2

t L

0

2

t L

d f

0,1 0

 

 

2

1 2

0,1 0

22

 

 

2 2

 

  2

Chương 4: Chỉnh hoá nghiệm

  Aw t F t , 0  , (43) t 1với 2 

0,1

F L cho trước và toán tử 2  2 

A L  L được xác định bởi (42) là toán tử tuyến tính liên tục giữa hai không gian Hilbert

Bây giờ ta kí hiệu    và , lần lượt là các tích vô hướng trong các không gian Hilbert ,

Chứng minh Với 0  cho trước, xét

Dễ thấy A là dạng song tuyến tính, đối xứng Hơn nữa A liên tục Thật vậy, theo bất

,

w Lw F Aw , với F cho trước trong L2 0,1 thì L là dạng song tuyến tính, liên tục trên L2 

Ta kiểm tra tính liên tục của L Ta có

Vậy

2 2

4

F F

w w

     hay

12



Định lý 5 được chứng minh

Trước khi cho một đánh giá sai số ta cần có các khái niệm và kết quả sau

Định nghĩa 4 Cho H là một không gian Hilbert Một toán tử tuyến tính liên tục

:

được gọi là dương nếu

Ax x, H  , x H0  

Ta có tính chất sau về toán tử tự liên hợp dương (xem  7,8 )

Bổ đề 11 Nếu A là một toán tử tuyến tính liên tục tự liên hợp dương, thì tồn tại duy nhất một toán tử tuyến tính liên tục dương : B H H sao cho B2  A

Trong trường hợp riêng, A L L2    ,L2 0,1  ta có kết quả sau

Hệ quả 1 Toán tử A A L : 2   L2  là một toán tử tuyến tính liên tục tự liên hợp dương Do đó tồn tại duy nhất một toán tử tuyến tính liên tục dương C L: 2  L2  sao cho C2  A A

Bây giờ, vì A L: 2  L2 0,1 là tuyến tính liên tục nên ta có toán tử tuyến tính liên hợp

0

F F  (48) 

Gọi w là nghiệm của phương trình (45) Khi đó

 i Giả sử w0 Cw , w L 2  và C được xác định như trong Hệ quả 1 Nếu chọn

2 3

 

thì

3 0

22

12

,,,

2 2

3 4

1221

2

w w

12

w

w w     

Định lý 6 được chứng minh

Bây giờ ta khảo sát một phương pháp số để tìm nghiệm chỉnh hoá

Với mỗi   và 0 F L 2 0,1 cho trước, xét bài toán biến phân sau đây:

Bài toán. Tìm w L2  thoả

w,  Aw A, F A,

      ,   L2  (53) hay

Chọn  thích hợp, ta sẽ được T là một ánh xạ co Thật vậy, chọn

Định lý 7 Với  như (55) thì T là một ánh xạ co trong L2 

Chứng minh Lấy w w1, 2 tuỳ ý thuộc L2  Ta có

Hệ quả 2 Với mỗi  0,F L 2  cho trước, phương trình (53) hay (54) có nghiệm duy nhất w L2  Nghiệm duy nhất này chính là điểm bất động của ánh xạ co T trong Định

lý 7

Bây giờ, để tính điểm bất động của ánh xạ co T , ta dùng phương pháp xấp xỉ liên tiếp Giả

sử w L2  là điểm bất động của T , nghĩa là

1 2 2

Giả sử đã biết wm1 Ta tính w m theo sơ đồ sau

Mệnh đề 4 Sai số giữa w m và w0 được cho bởi







hay

lnln

C m

Từ đây kết hợp với Mệnh đề 4 ta thu được

Mệnh đề 5 Chọn số tự nhiên m sao cho

C m

Với mỗi   cho trước, m0  là số bước lặp tối thiểu để đạt được sai số (65).

Kết luận

Tóm lại luận văn đã thu được các kết quả sau:

Đã chuyển được bài toán truyền nhiệt ngược thời gian về phương trình tích phân Fredholm loại một

Đối với phương trình tích phân loại một nói trên, đã xây dựng được phương pháp xấp xỉ nghiệm

Đã đưa ra đươc đánh giá sai số giữa nghiệm xấp xỉ và nghiệm chính xác nếu biết sai số

giữa dữ liệu đo đạc và dữ liệu chính xác Cụ thể, nếu sai số giữa dữ liệu đo đạc F và dữ liệu

chính xác F là  , nghĩa là

F F  

thì đã chứng minh được rằng sai số giữa nghiệm chỉnh hoá w và nghiệm chính xác w (với các

giả thiết trơn thích hợp) có bậc 3 hay  0  , nghĩa là  1

3

w w C 

hay

w w C  ,

trong đó hằng số C không phụ thuộc vào 

Đồng thời cũng chứng minh được nghiệm xấp xỉ ổn định của bài toán chính là điểm bất động của một ánh xạ co thích hợp Do đó dễ dàng xây dựng một thuật toán lặp để tính xấp xỉ nghiệm này

Cuối cùng tôi xin lặp lại lời cảm ơn Thầy hướng dẫn tôi, TS Nguyễn Công Tâm và chân thành cảm ơn TS Nguyễn Thành Long và tất cả các Thầy trong Hội đồng chấm luận văn

Tài liệu tham khảo

[1] Đ.Đ Áng, Lý thuyết tích phân, NXBGD, 1998

[2] Đ.Đ Áng và đồng tác giả, Biến đổi tích phân, NXBGD, 2001

[3] Đ.Đ Áng, R Gorenflo, L.K Vỹ, Đ.Đ Trọng, Moment Theory and

some Inverse Problems in Potential Theory and Heat Conduction,

[6] L.C Evans, Partial Differential Equations, AMS Press,1998

[7] A Kirsch, An introduction to the Mathematical Theory of Inverse problems,

springer-Verlag, New York, 1996

[8] L.A Liusternik and V.J Sobolev, Elements of Functional Analysis, Frederick

Ungar Publishing Co., New York, 1961

[9] V.P Mikhailov, Partial Differential Equations, Mir Publishers

Moscow, 1975

[10] Phan Bá Ngọc, Hàm biến phức và Phép biến đổi Laplace, NXBGD, 1996

[11] A Sveshnikov, A Tikhonov, Theory of Functionals of a complex variable,

Mir Publishers, Moscow, 1978

[12] N.C Tâm, Phương trình Vật Lý-Toán nâng cao, NXB ĐHQG TP HCM,

2002

[13] N.C Tâm, N.H Nghĩa, Xấp xỉ ổn định lời giải của bài toán Cauchy cho

phương trình Poisson trong hình tròn đơn vị Tạp chí “ Khoa học & Công

nghệ “ của 4 trường Đại học Kỹ thuật, số 9, (1995), 82-84

[14] N.C Tâm, N.H Nghĩa, Một thuật toán số cho biến đổi Laplace ngược

Tạp chí “ Khoa học & Công nghệ “ của 4 trường Đại học Kỹ thuật,

số 11, (1996), 65-67

[15] A.N Tikhonov, V.Y Arsenin, Solutions of ill-pose Problems, V.H.Winston

and Sons, Washington DC, 1977

[16] Đ.Đ Trọng, Giáo trình Giải tích thực, ĐHKHTN-ĐHQG TPHCM, 2006