CHỈNH HOÁ NGHIỆM MỘT BÀI TOÁN NGƯỢC TRONG PHƯƠNG TRÌNH NHIỆT

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP HCM NGUYỄN MAI VĨNH NGHI CHỈNH HOÁ NGHIỆM MỘT BÀI TOÁN NGƯỢC TRONG PHƯƠNG TRÌNH NHIỆT LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Chuyên ngành: TOÁN GIẢI TÍCH Mã số: 60 46 01 Người hướng dẫn: TS NGUYỄN CÔNG TÂM Khoa toán-tin học Đai Học Khoa Học Tự Nhiên Đại Học Quốc Gia TP HCM Thành phố Hồ Chí Minh 2007 Lời cảm ơn Tôi xin bày tỏ lòng kính trọng chân thành cảm ơn thầy hướng dẫn tôi, Tiến sĩ Nguyễn Công Tâm, người bỏ nhiều công sức để hướng dẫn giúp đỡ hoàn thành luận văn Tôi xin chân thành cảm ơn Tiến sĩ Nguyễn Thành Long, thầy thường xuyên đôn đốc dẫn trình làm luận văn Đăc biệt, buổi seminar Tôi xin chân thành cảm ơn bạn Dương Quang Hoà, lớp Cao Học Hình Học Khoá 15Trường ĐHSP TP HCM giúp kiểm tra số chi tiết trình làm luận văn Tôi xin chân thành cảm ơn anh Lê Hữu Thức, lớp Cao Học Giái Tích Khoá 15-Trường ĐHSP TP HCM giúp đỡ trình soạn thảo luận văn Nguyễn Mai Vĩnh Nghi Mở đầu Trong khoa học ứng dụng, nhu cầu khảo sát toán ngược được đặt từ lâu Cho đến năm 60 kỉ trước, đồng thời với việc phát triển công cụ toán học, toán ngược (hầu hết không chỉnh) nhà toán học giới khảo sát cách sâu rộng mà tiêu biểu công trình Tikhonov, Lavrentiev, Lions,.Từ thời gian nay, toán ngược (không chỉnh) ngày nhiều nhà toán học quan tâm nhu cầu xuất phát từ thực tiễn từ đòi hỏi ngành khoa học ứng dụng khác, đặc biệt Kỹ nghệ, Y học, Vật lý Địa cầu Bài toán vẽ lại thông tin hữu ích từ liệu đo đạc vật lý bị nhiễu, ta nhận toán không chỉnh (chủ yếu lời giải toán không phụ thuộc liên tục vào kiện) mà phương pháp nội (từ mô hình toán học trực tiếp đo đạc được) dùng để ước lượng dẫn đến khếch đại không kiểm soát nhiễu Thông thường, ta tìm hàm (xác định miền thích hợp) hội tụ đến hàm xác, nói trên, khuếch đại nhiễu (theo ngôn ngữ toán học, thường nguyên nhân cố gắng nghịch đảo toán tử mà ngược không bị chận)-xuất khách quan trình đo đạc làm cho kết tính toán mà giá trị, “kết quả” che dấu lời giải xác dao động với tần số cao, biên độ lớn Nhiều phương pháp khác sử dụng để chỉnh hoá Bằng cách khai thác thông tin phụ hàm chưa biết, chẳng hạn giả thiết “tính trơn” Một phương pháp vây phát triển Tikhonov Phillips ( cực tiểu hoá phiếm hàm quadratic bao gồm đạo hàm bậc cao việc cố gắng tái tạo liệu đo đạc) Trong luận văn này, khảo sát toán ngược phương trình nhiệt sử dụng phương pháp Tikhonov để chỉnh hoá nghiệm Cụ thể, chuyển toán khảo sát việc giải phương trình tích phân Fredholm loại : Aw  F A toán tử hai không gian Hilbert, A : H  H1 với H  L2    ,    0,   , H1  L2  0,1 Các đóng góp luận văn là: Đã chuyển toán khảo sát phương trình tích phân Fredholm loại Chứng minh A : H  H1 toán tử tuyến tính liên tục Chứng minh vế phải F phương trình Aw  F thuộc L2  0,1 Ở đây, F xác định từ kiện cuối kiện biên phương trình nhiệt Chúng đưa đánh giá cho chuẩn toán tử A , chuẩn A H  H Bài toán nhiệt sau khảo sát: Tìm hàm w  x  thoả ut  u xx  f  x, t  , x  0,  t  , u  x,0   w  x  , (0.1) x  0, (0.2)  t  1, (0.3)  t  1, u x  0, t   h  t  , f , g , h hàm cho trước (0.4) u  0, t   g  t  , Xét toán ut  u xx  f  x, t  , x  0, t  0,   I  u  x,0   w  x  , x  0,  u x  0, t   h  t  , t  Bằng phương pháp chồng chất nghiệm, nghiệm toán  I  tìm dạng u  x, t   u1  x, t   u2  x, t   u3  x, t  (0.5) Khi đó, sau nhiều phép tính phức tạp, u  x, t  cho  x       x    t  e 4t  d u  x, t   w   e  t     x  2  x     t   f  ,   4 t   t  e    e    d  d     t      t x2 h  t     4  e d    Từ ta nhận phương trình tích phân Fredholm loại để tìm ẩn hàm w  x  :   h t    d w   e 4t d    g  t     t   t t    f   ,   2 4 t   e d d   t 0 hay viết dạng phương trình toán tử sau (0.6)  Aw  t   F  t  Như biết, toán tìm nghiệm phương trình tích phân Fredholm loại một toán không chỉnh theo nghĩa Hadamard Bài toán gọi chỉnh theo nghĩa Hadamard thỏa ba điều kiện,  i  Bài toán có nghiệm,  ii  Nghiệm có nhất,  iii  Nghiệm phụ thuộc liên tục vào kiện, kiện F  t  vế phải (0.6) Tính chất nghiệm quan trọng ý nghĩa thông tin kiện đo đạc “vừa đủ” để xác định nghiệm toán Còn ý nghĩa phụ thuộc liên tục nghiệm vào kiện độ sai lệch nghiệm (nếu tồn tại) ứng với kiện bị nhiễu với mức độ nhỏ nhỏ Yếu tố thứ ba quan trọng sai số kiện đo đạc điều hiển nhiên lý mà cần phải xử lý toán Như toán không chỉnh ba điều kiện bị vi phạm, nghĩa toán nghiệm (tức ứng với kiện đo đạc bị nhiễu F , phương trình Aw  F vô nghiệm) Mặt khác, nghiệm tồn không phụ thuộc liên tục vào kiện (nghĩa wF nghiệm ứng với kiện F thay đổi nhỏ F kéo theo thay đổi lớn wF ) Do nhu cầu tính toán, toán không chỉnh cần chỉnh hoá Nghĩa cần xây dựng nghiệm ổn định (phụ thuộc liên tục vào liệu cho trước) đủ gần nghiệm cần tìm để từ ta tính xấp xỉ nghiệm chỉnh hoá để sử dụng Sử dụng phương pháp Tikhonov (xem  7,15 ), xây dựng phương trình để chỉnh hoá (phương trình chỉnh hoá) A wF ,   toán tìm nghiệm phương trình toán chỉnh, tức  i  Tồn nghiệm w với F cho trước ( w  H , F  H1 )  ii  w phụ thuộc liên tục vào F Lưu ý rằng, liệu đo đạc F bị nhiễu cách khách quan so với liệu xác F Trong luận văn thiết lập sai số nghiệm chỉnh hoá w nêu so với nghiệm xác w (với giả thiết trơn thích hợp) phương trình Aw  F Cụ thể, sai số liệu đo đạc F liệu xác F  , nghĩa F  F   sai số nghiệm chỉnh hoá w nghiệm xác w có bậc   , nghĩa w  w  M  hay w  w  M  , M số phụ thuộc vào nghiệm xác w Hơn nữa, cho thuật toán để tính xấp xỉ Chúng chứng minh w điểm bất động ánh xạ co Do xây dựng thuật toán lặp để tính xấp xỉ w Gọi w m bước lặp thứ m Sai số w m nghiệm xác w cho w   w  1  M   m với m chọn đủ lớn Về hình thức trình bày, luận văn chia thành bốn chương: Chương Biến đổi Laplace, Chương Phương trình nhiệt, Chuơng Thiết lập phương trình tích phân, Chương Chỉnh hoá nghiệm Các công thức, bổ đề, mệnh đề, định lý hệ đánh số liên tục Để kết thúc định lý, bổ đề, mệnh đề hay hệ ta dùng ký hiệu Sau không gian Hilbert Banach sử dụng luận văn   1) L2      w  x  :  w2  x  dx    ,    0,   , với tích vô hướng định nghĩa    sau  w,     w  x    x  dx , w,  L2    ,    2) L  0,1   w  x  :  w2  x     , với tích vô hướng định nghĩa sau   w,    w  x    x  dx , w,   L2  0,1 , 3) L  1       0,1 f x , t : f x , t dxdt          , với tích vô hướng định nghĩa sau  0 0   1  f , g     f  x, t  g  x, t  dxdt , 0 f , g  L2     0,1  , 4) C  0,1 : Không gian Banach hàm số liên tục  0,1 , chuẩn g  sup g  t  , g  C  0,1 t 0,1 Chương 1: Biến đổi Laplace Định nghĩa Hàm biến thực f  t  xác định khoảng  ,   gọi hàm gốc thoả mãn điều kiện sau  i  Với t  0, f  t   ,  ii  Với t  , hàm f  t  có nhiều hữu hạn điểm gián đoạn loại khoảng hữu hạn trục t ,  iii  Khi t   , hàm f  t  tăng không nhanh hàm mũ, nghĩa tồn số dương M a cho f  t   Me at , t  Chận lớn trị số a  iii  gọi số tăng hàm f  t  Định nghĩa Cho f  t  hàm gốc Biến đổi Laplace f  t  hàm biến phức F  p  xác định tích phân  F  p    e  pt f  t  dt (1) Ta viết (Xem  2,10,11 ) F  p   L  f  t   Định lý (tính giải tích bên phải) Giả sử f  t  hàm gốc với số tăng a Khi  i  Biến đổi Laplace F  p  f  t  hội tụ miền Re p  a ,  ii  Hơn nữa, F  p  hàm giải tích nửa mặt phẳng Re p  a (Xem  2,10,11 ) Sau ta nêu tính chất quan trọng biến đổi Laplace cần dùng cho luận văn Mệnh đề (tính tuyến tính) Nếu L  f i  t    Fi  p  , Re p   i  1, , n  ,  n  n L    i f i  t      i Fi  p , Re p  max ai , i  1, , n ,  i 1  i 1  i số thực phức số tăng tương ứng hàm fi  t  Mệnh đề (biến đổi đạo hàm) Cho f  t  hàm gốc L  f  t    F  p  , Re p  a Khi  i  Nếu f '  t  hàm gốc L  f '  t    pF  p   f   , Re p  a ,  ii  Tổng quát, đạo hàm f  L f   n   t    p n  F  p   (Xem  2,10,11 )  t  n   hàm gốc n 1 f  0 f '0 f    0  , Re p  a     n p2 p pn   Định nghĩa Tích chập hai hàm f1  t  f  t  hàm   t  xác định t t 0   t    f1   f  t    d   f1  t    f   d Ta viết (2)   t    f1  f  t  Ta có kết qủa sau biến đổi Laplace tích chập hai hàm Mệnh đề Giả sử L  f1  t    F1  p  , L  f  t    F2  p  , Re p1  a1 , Re p2  a2 Khi L  f1  f  t    F1  p  F2  p  , Re p  max a1 , a2  (3) (Xem  2,10,11 ) Nếu F  p  ảnh hàm gốc f  t  ta có f  t   L1  F  p    a  i e pt F  p  dp  2 i a i Thật ta có kết qủa sau (Xem  2,10,11 ) Định Lý (Công thức biến đổi Laplace ngược) Cho hàm F  p  biến phức p  x  iy thỏa điều kiện sau  i  F  p  hàm giải tích nửa mặt phẳng Re p  a ,  ii  Tồn số dương M , R0 ,  cho F  p  M p  , p  R0  p  Re p  a  Khi tồn hàm f  t  mà biến đổi Laplace F  p  f  t  xác định f  t   L1  F  p    a  i e pt F  p  dp  2 i a i (4) (Công thức tích phân Bromwich) Bổ đề 1(Jordan) Cho F  p  hàm giải tích nửa mặt phẳng Re p  a Giả sử tồn số dương M , R0 ,  cho p  Re p  a p  R0 F  p  Khi ta có M p  lim  F  p  e pt dp  0, t  , R  (5) R  R phần đường tròn p  R nằm miền Re p  a , R  R0 Chứng minh Ta chia  R thành bốn phần,  R  C1  C2  C3  C4 hình vẽ y C1 a+ib C2 R  a o x a-ib C3 C4 Gọi I1 , I , I , I tích phân C1 , C2 , C3 , C4 Ta đánh giá tích phân sau   C1   p  Rei      2   I1   F  Rei  etR cos  itR sin  Rei id  Suy  I1   F  Rei  etR cos  Rd  (vì etR cos  iR sin   etR cos  Rei i  R ) Theo giả thiết, F  Rei   M , R   M tR cos  M Rt cos  I1    e Rd   1  e d R   R   Hơn nữa,    ,  , ta có  2 e Rt cos   e Rt cos  e at (vì a  R cos ) Như  I1  Me at   M at     e d   1   1  R 2 R   hay Me at   a  Me at a I1   1   arccos    1 arcsin R 2 R R R Tiếp theo ta sử dụng bất đẳng thức arcsin    (hay sin             ) ta nhận Me at  a aM  at I1   1 e  R R R Vậy lim I1  R  Tích phân cung C2 đánh giá tương tự Thật vậy, ta có  I   F  Rei  etR cos  itR sin  iRei d  Do  I   e Rt cos  F  Rei  Rd  Vì F  Rei   M , R nên  I2  M e Rt cos  d  1  R  Sử dụng bất đẳng thức (40) trở thành  Aw   t   F  t  (43) Bổ đề 10 Với giả thiết  i    iv  cho F  L2  0,1 Chứng minh Vì g  C  0,1 nên g  L2  0,1 Mặt khác, t  h t    h t   t d   t  c2  d t  h t     c2 t  2c2  Do d  d  L2  0,1 Đặt t   t     f  ,  t  0 e  2 4 t   d d Ta chứng minh   L  0,1 Thật vậy, áp dụng bất đẳng thức Cauchy_Schwarz ta có t   t     f  ,  t  0 e  2 4 t   d  d Suy  t  f  ,     t     e   d  d   0 t      t  t  t  2  2 t   e d d t  0    f  ,  d  d   0  f  2d  e d , t   0 t L2   0,1    Với    f  t 2 L2    0,1   t    d t  Như   t   2 t f 2 L2  Do  L  0,1     t  dt  0,1   (44)   2 f L2   0,1   tdt 2 2 f L2   0,1  2 Vậy   L  0,1 hay F  L  0,1 Bổ đề 10 chứng minh  Định lý Đặt A : L2    L1      L2  0,1  x  Aw t  w x e      4t dx  t Khi  i  w  L2   ii     L1   , Aw  L2  0,1 , A toán tử tuyến tính liên tục, Aw  iii  (42)   2  w L  0,1 L2    Hơn nữa, A thác triển thành toán tử tuyến tính liên tục (vẫn kí hiệu A) A : L2     L2  0,1 , A   2  Chứng minh Đặt  x  V t   w  x  e 4t dx  t Sử dụng bất đẳng thức Cauchy_Schwarz ta có V t   t   w x e  x2 4t dx Suy  x   1    w  x  e 4t dx   t   V t  2  t x    w  x  dx  e 2t dx t0   Do ta w t  2t  2 L  w   2t  e  d ,   L2    x 2t V L  0,1    V  t  dt  2  2 w w 2 L    dt t L2    hay Aw L2  0,1   2  w L2    Vậy Aw  L2  0,1 A   2  Định lý chứng minh Nhận xét Với giả thiết cho, phương trình (40) có nghiệm nghiệm Chương 4: Chỉnh hoá nghiệm Xét phương trình tích phân  h t    4t e d  g t     w     0  d t 0 2  t t    f   ,  t  0 hay  Aw  t   F  t  , e  2 4 t   d d (40)  t  1, (43) với F  L2  0,1 cho trước toán tử A : L2     L2  0,1 xác định (42) toán tử tuyến tính liên tục hai không gian Hilbert Bây ta kí hiệu  ,  ,  tích vô hướng không gian Hilbert L2    L2  0,1 (xem  4,8 ) Với   cho trước, xét phương trình biến phân   w,    Aw, A  F , A ,   L2    (45) Định lý Với   cho trước, phương trình (45) có nghiệm w  L2  thuộc liên tục vào F  L  0,1   phụ Chứng minh Với   cho trước, xét A : L2     L2     xác định A  u , w     u , w   Au , Aw Ở  ,  ,  tích vô hướng L2    L2  0,1 nói phần Dễ thấy A dạng song tuyến tính, đối xứng Hơn A liên tục Thật vậy, theo bất đẳng thức Cauchy-schwarz, ta có A  u, w     u, w   Au , Aw   u w  Au Aw    A u w Mặt khác A cưỡng 2 A  u , u    u  Au   u Nếu ta xét L : L2     w  Lw  F , Aw , với F cho trước L2  0,1 L dạng song tuyến tính, liên tục L2  Ta kiểm tra tính liên tục L Ta có Lw  F , Aw  F Aw    F A w Vậy theo định lý Lax-Milgram (xem  4 ), tồn w  L2  A  w ,    L ,   L2  hay    thoả phương trình    w ,    Aw , A  F , A ,   L2    Bây ta chứng minh w phụ thuộc liên tục vào F Giả sử w w  hai nghiệm phương trình biến phân (45) ứng với F F thuộc L2  0,1 Khi   w ,    Aw , A  F , A ,   L2      w  ,    Aw  , A  F , A ,   L2    Trừ vế theo vế hai đẳng thức ta thu   w  w  ,    A  w  w   , A  F  F , A Chọn   w  w  , sử dụng bất đẳng thức Cauchy-Schwarz bất đẳng thức Cauchy ta nhận 2  w  w  A  w  w   F  F , A  w  w         F  F A  w  w    F  F   A  w  w          F  F   A  w  w   2  F  F   A  w  w         Vậy  w  w   F  F hay w  w   F  F  Định lý chứng minh Trước cho đánh giá sai số ta cần có khái niệm kết sau Định nghĩa Cho H không gian Hilbert Một toán tử tuyến tính liên tục A: H  H gọi dương  Ax, x  H  , x  H Ta có tính chất sau toán tử tự liên hợp dương (xem  7,8 ) Bổ đề 11 Nếu A toán tử tuyến tính liên tục tự liên hợp dương, tồn toán tử tuyến tính liên tục dương B : H  H cho B  A Trong trường hợp riêng, A  L  L2  Hệ Toán tử A A : L2   ta có kết sau  toán tử tuyến tính liên tục tự liên hợp dương Do tồn toán tử tuyến tính liên tục dương C : L2     L2       L2   , L2  0,1   cho C  A A Bây giờ, A : L2   A A ,   L2  0,1 tuyến tính liên tục nên ta có toán tử tuyến tính liên hợp A : L2  0,1  L2       A v     t  v  t  e 4t dt  (46) Sau đây, ta phát biểu chứng minh Định lý 6, kết đánh giá sai số Định lý Cho F0  L2  0,1 , w0  L2    cho Aw0  F0 (47) Giả sử F  L  0,1 thoả F  F0   Gọi w nghiệm phương trình (45) Khi (48)  i  Giả sử w0  Cw , w  L2    C xác định Hệ Nếu chọn       w      w  w0        ii  Giả sử w0  A w với w  L  0,1 Nếu ta chọn    1 w w  w0     (49) 2     (50) Chứng minh  i  Trước tiên để ý A  w  w0   A  w  w0  , A  w  w0    A A  w  w0  , w  w0    C  w  w0  , w  w0  (51)   C  w  w0  , C  w  w0    C  w  w0  Từ (47) ta có Aw0 , A  F0 , A ,   L2  Vì w nghiệm (45) nên    w ,  Aw , A  F , A ,   L2    Trừ vế theo vế hai đẳng thức ta  w ,  A  w  w0  , A  F  F0 , A ,   L2  hay     w  w0 ,    A  w  w0  , A    w0 ,   F  F0 , A    w, A  F  F0 , A ,   L2  Chọn   w  w0 , ta nhận  w  w0  A  w  w0    (52)    w, A  w  w0   F  F0 , A  w  w0  Từ kết hợp với (51) sử dụng bất đẳng thức Cauchy-Schwarz, bất đẳng thức Cauchy ý đến (48) ta thu đựơc  w  w0  C  w  w0  2  A F  F0 w  w0    w, C  w  w0      Vì  w  w0  2 2 F  F0 w  C  w  w0  2 w  w0 A 2   2 A F  F0  w 2 Do w  w0   2 2   A F  F0  w    2  2 2    2   w    1   w     2      ii  Từ (52), thay   ta có  w  w0  A  w  w0  2   w, A  w  w0   F  F0 , A  w  w0  Sử dụng bất đẳng thức Cauchy-Schwarz, bất đẳng thức Cauchy ý đến (48) ta nhận đựơc  w  w0  A  w  w0  2   w A  w  w0   F  F0 A  w  w0    w A  w  w0    A  w  w0     2  w  A  w  w0     A  w  w0  2 2   w   A  w  w0     hay 2    w  w0   w  Từ ta thu 1 w w  w0     Định lý chứng minh 2      Bây ta khảo sát phương pháp số để tìm nghiệm chỉnh hoá Với   F  L2  0,1 cho trước, xét toán biến phân sau đây: Bài toán Tìm w  L2    thoả   w ,    Aw , A  F , A ,   L2    (53) hay  w  A Aw  A F  với A xác định (46) Xét toán tử T : L2     L2   (54)  Tw  w     I d w  A Aw  A F   w    A w  A F  , A   I d  A A , với I d toán tử đồng L2    Chọn  thích hợp, ta T ánh xạ co Thật vậy, chọn     2  , (55) ta có Định lý Với  (55) T ánh xạ co L2  Chứng minh Lấy w1 , w2 tuỳ ý thuộc L2      Ta có Tw1  Tw2  w1  w2   A  w1  w2  Do Tw1  Tw2  w1  w2  2  A  w1  w2  , w1  w2   A  w1  w2  (56) Để ý  A  w1  w2  , w1  w2     w1  w2   A A  w1  w2  , w1  w2    w1  w2   A A  w1  w2  , w1  w2    w1  w2  A  w1  w2  hay  A  w  w  , w  w    2 Dễ thấy w1  w2 (57)  (58) A  w1  w2     A Từ (56), (57) (58) ta thu 2 w Tw1  Tw2   2 w1  w2  1  2     A    2  1  2     2  w1  w2    Chọn     2   , đặt   k  1  2     2  2 ,  ta thu Tw1  Tw2  k w1  w2 ,  k  Vậy T phép co L2  Hệ Với   0, F  L2  w  L2  lý   (59)    cho trước, phương trình (53) hay (54) có nghiệm  Nghiệm điểm bất động ánh xạ co T Định Bây giờ, để tính điểm bất động ánh xạ co T , ta dùng phương pháp xấp xỉ liên tiếp Giả sử w  L2    điểm bất động T , nghĩa w  w     w  A Aw  A F  ,   Ta tính w m  Tw m 1     2  (60) , m  1, 2,3, w  chọn trước tuỳ ý L2  Chọn        2   2 k  1     2   Từ (60) ta có  2  m  w      2       w m1  2    2    2    2   A Aw m 1  F Giả sử biết w m 1 1) Tính u m Ta tính w  Aw  m 2) Tính w m 1 m theo sơ đồ sau F  2   1    2       w m1  2    2    Au m Khi w   w  m w  w  0 km 1 k (61) Bây giờ, kết hợp (50) Định lý với (61) ta nhận Mệnh đề Sai số w m w0 cho w   w0  C k m  M  m C , M số C không phụ thuộc vào m , xác định w   w C  0 , 1 k 1 w M    2    Ta tìm m  m cho C k m   với C (62) Mệnh đề Suy k m   C hay   ln   C   m  ln k Từ kết hợp với Mệnh đề ta thu Mệnh đề Chọn số tự nhiên m cho (62) (63)   ln   C   m  ln k với C xác định (62) Khi ta có đánh giá sai số sau w m   w0 L2     1  M   (64) (65) với M xác định (63) Với   cho trước, m số bước lặp tối thiểu để đạt sai số (65) Kết luận Tóm lại luận văn thu kết sau: Đã chuyển toán truyền nhiệt ngược thời gian phương trình tích phân Fredholm loại Đối với phương trình tích phân loại nói trên, xây dựng phương pháp xấp xỉ nghiệm Đã đưa đươc đánh giá sai số nghiệm xấp xỉ nghiệm xác biết sai số liệu đo đạc liệu xác Cụ thể, sai số liệu đo đạc F liệu xác F  , nghĩa F  F   chứng minh sai số nghiệm chỉnh hoá w nghiệm xác w (với giả thiết trơn thích hợp) có bậc  hay      1 , nghĩa w  w  C  hay w  w  C  , số C không phụ thuộc vào  Đồng thời chứng minh nghiệm xấp xỉ ổn định toán điểm bất động ánh xạ co thích hợp Do dễ dàng xây dựng thuật toán lặp để tính xấp xỉ nghiệm Cuối xin lặp lại lời cảm ơn Thầy hướng dẫn tôi, TS Nguyễn Công Tâm chân thành cảm ơn TS Nguyễn Thành Long tất Thầy Hội đồng chấm luận văn Tài liệu tham khảo [1] Đ.Đ Áng, Lý thuyết tích phân, NXBGD, 1998 [2] Đ.Đ Áng đồng tác giả, Biến đổi tích phân, NXBGD, 2001 [3] Đ.Đ Áng, R Gorenflo, L.K Vỹ, Đ.Đ Trọng, Moment Theory and some Inverse Problems in Potential Theory and Heat Conduction, Springer, 2002 [4] H Brezis, Giải tích hàm: Lý thuyết ứng dụng, NXB ĐHQG TP HCM, 2002 [5] D Colton, Partial Differential Equations, An introduction, New York, Random House, 1988 [6] L.C Evans, Partial Differential Equations, AMS Press,1998 [7] A Kirsch, An introduction to the Mathematical Theory of Inverse problems, springer-Verlag, New York, 1996 [8] L.A Liusternik and V.J Sobolev, Elements of Functional Analysis, Frederick Ungar Publishing Co., New York, 1961 [9] V.P Mikhailov, Partial Differential Equations, Mir Publishers Moscow, 1975 [10] Phan Bá Ngọc, Hàm biến phức Phép biến đổi Laplace, NXBGD, 1996 [11] A Sveshnikov, A Tikhonov, Theory of Functionals of a complex variable, Mir Publishers, Moscow, 1978 [12] N.C Tâm, Phương trình Vật Lý-Toán nâng cao, NXB ĐHQG TP HCM, 2002 [13] N.C Tâm, N.H Nghĩa, Xấp xỉ ổn định lời giải toán Cauchy cho phương trình Poisson hình tròn đơn vị Tạp chí “ Khoa học & Công nghệ “ trường Đại học Kỹ thuật, số 9, (1995), 82-84 [14] N.C Tâm, N.H Nghĩa, Một thuật toán số cho biến đổi Laplace ngược Tạp chí “ Khoa học & Công nghệ “ trường Đại học Kỹ thuật, số 11, (1996), 65-67 [15] A.N Tikhonov, V.Y Arsenin, Solutions of ill-pose Problems, V.H.Winston and Sons, Washington DC, 1977 [16] Đ.Đ Trọng, Giáo trình Giải tích thực, ĐHKHTN-ĐHQG TPHCM, 2006 [...]... (12) (14) Nghiệm của bài toán (11), (12), (14) được tìm dưới dạng u  x, t   u1  x, t   u2  x, t   u3  x, t  , với u1 , u2 , u3 là nghiệm của các bài toán tương ứng sau đây: Bài toán  A  ut  u xx  0 , x  0 , t  0 , u  x,0   w  x  , x  0 , Bài toán  B  (16) (12) u x  0, t   0 , t  0 , (17) ut  u xx  f  x, t  , x  0 , t  0 , (11) u  x,0   0 , x  0 , Bài toán  C... u  x,0   0 , x  0 (16) (18) u x  0, t   h  t  , t  0 (14) Nhận xét Ta tìm nghiệm của ba bài toán  A  ,  B  ,  C  với t   0,   Rồi sau đó thu hẹp xuống  0,1 để thu được nghiệm của bài toán (11), (12), (14) Trước khi chỉ ra nghiệm của bài toán  A  ta cần các bổ đề sau Bổ đề 3 Nghiệm của bài toán Cauchy ut  u xx  0 , x  , t  0 , u  x,0   w  x  , được xác định bởi u ... nghiệm của bài toán  A  2 1 2 Để chỉ ra nghiệm của bài toán  B  ta cần bổ đề sau Bổ đề 6 Nghiệm của bài toán Cauchy không thuần nhất ut  u xx  f  x, t  ,   x   , t  0 , u  x,0   0 , (11) (18) được xác định bởi t u  x, t    0 t  0 f  ,   2  t   e   x  2 4 t   d d   G  x   , t    f  ,  d d (21)  Nhận xét Theo nguyên lí Duhamel, nghiệm của bài. .. , vì G  ,  là nghiệm cuả phương trình nhiệt (11) Kết hợp (22), (23) và (24) ta nhận được ut  x, t   u xx  x, t   lim  G  ,   f  x   , t    d  0  f  x, t   x  , t  0  , ở đây giới hạn khi   0 được tính giống như trong chứng minh Bổ đề 3 Cuối cùng chú ý rằng u  , t  L  t f L  0 Vậy (21) là nghiệm của bài toán (11), (18) Bổ đề 7 Nghiệm của bài toán  B  là u 2... giả thiết đã cho, phương trình (40) nếu có nghiệm thì nghiệm đó là duy nhất Chương 4: Chỉnh hoá nghiệm Xét phương trình tích phân  h t    1 4t e d  g t     w     0  d t 0 2  t t    f   ,  t  0 0 hay  Aw  t   F  t  , e  2 4 t   d d (40) 0  t  1, (43) với F  L2  0,1 cho trước và toán tử A : L2     L2  0,1 được xác định bởi (42) là toán tử tuyến tính... sát một phương pháp số để tìm nghiệm chỉnh hoá Với mỗi   0 và F  L2  0,1 cho trước, xét bài toán biến phân sau đây: Bài toán Tìm w  L2    thoả   w ,    Aw , A  F , A ,   L2    (53) hay  w  A Aw  A F  0 với A được xác định như (46) Xét toán tử T : L2     L2   (54)  Tw  w     I d w  A Aw  A F   w    A w  A F  , A   I d  A A , với I d là toán. .. chứng minh Trước khi cho một đánh giá sai số ta cần có các khái niệm và kết quả sau Định nghĩa 4 Cho H là một không gian Hilbert Một toán tử tuyến tính liên tục A: H  H được gọi là dương nếu  Ax, x  H  0 , x  H Ta có tính chất sau về toán tử tự liên hợp dương (xem  7,8 ) Bổ đề 11 Nếu A là một toán tử tuyến tính liên tục tự liên hợp dương, thì tồn tại duy nhất một toán tử tuyến tính liên tục...  e  x2 dx  x  Bổ đề 2 được chứng minh , 2 dx Chương 2: Phương trình nhiệt Bài toán Tìm hàm w  x  thoả ut  u xx  f  x, t  , x  0 , 0  t  1 , u  x,0   w  x  , x  0 , u  0, t   g  t  , 0  t  1 , u x  0, t   h  t  , 0  t  1 , trong đó f , g , h là các hàm cho trước (11) (12) (13) (14) Trước tiên ta xét bài toán sau ut  u xx  f  x, t  , x  0 , t  0 , u  x,0  ... 2 ,  ta thu được Tw1  Tw2  k w1  w2 , 0  k  1 Vậy T là một phép co trong L2  Hệ quả 2 Với mỗi   0, F  L2  nhất w  L2  lý 7   (59)    cho trước, phương trình (53) hay (54) có nghiệm duy  Nghiệm duy nhất này chính là điểm bất động của ánh xạ co T trong Định Bây giờ, để tính điểm bất động của ánh xạ co T , ta dùng phương pháp xấp xỉ liên tiếp Giả sử w  L2    là điểm bất động...  H sao cho B 2  A Trong trường hợp riêng, A  L  L2  Hệ quả 1 Toán tử A A : L2   ta có kết quả sau  là một toán tử tuyến tính liên tục tự liên hợp dương Do đó tồn tại duy nhất một toán tử tuyến tính liên tục dương C : L2     L2    sao    L2   , L2  0,1   cho C 2  A A Bây giờ, vì A : L2   của A là A ,   L2  0,1 là tuyến tính liên tục nên ta có toán tử tuyến tính liên