Chỉnh hóa nghiệm 1 bài toán ngược trong phương trình nhiệt

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP HCM NGUYỄN MAI VĨNH NGHI CHỈNH HOÁ NGHIỆM MỘT BÀI TỐN NGƯỢC TRONG PHƯƠNG TRÌNH NHIỆT LUẬN VĂN THẠC SĨ TỐN HỌC Thành phố Hồ Chí Minh 2007 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP HCM NGUYỄN MAI VĨNH NGHI CHỈNH HỐ NGHIỆM MỘT BÀI TỐN NGƯỢC TRONG PHƯƠNG TRÌNH NHIỆT LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Chuyên ngành: TOÁN GIẢI TÍCH Mã số: 60 46 01 Người hướng dẫn: TS NGUYỄN CƠNG TÂM Khoa tốn-tin học Đai Học Khoa Học Tự Nhiên Đại Học Quốc Gia TP HCM Thành phố Hồ Chí Minh 2007 Lời cảm ơn Tơi xin bày tỏ lịng kính trọng chân thành cảm ơn thầy hướng dẫn tôi, Tiến sĩ Nguyễn Công Tâm, người bỏ nhiều công sức để hướng dẫn giúp đỡ tơi hồn thành luận văn Tơi xin chân thành cảm ơn Tiến sĩ Nguyễn Thành Long, thầy thường xun đơn đốc dẫn tơi q trình làm luận văn Đăc biệt, buổi seminar Tôi xin chân thành cảm ơn bạn Dương Quang Hoà, lớp Cao Học Hình Học Khố 15-Trường ĐHSP TP HCM giúp kiểm tra số chi tiết trình làm luận văn Tơi xin chân thành cảm ơn anh Lê Hữu Thức, lớp Cao Học Giái Tích Khố 15-Trường ĐHSP TP HCM giúp đỡ trình soạn thảo luận văn Nguyễn Mai Vĩnh Nghi Mục lục Lời cảm ơn Trang MỞ ĐẦU Chương BIẾN ĐỔI LAPLACE Chương PHƯƠNG TRÌNH NHIỆT .15 Chương THIẾT LẬP PHƯƠNG TRÌNH TÍCH PHÂN 24 Chương CHỈNH HÓA NGHIỆM 31 KẾT LUẬN 42 TÀI LIỆU THAM KHẢO Mở đầu Trong khoa học ứng dụng, nhu cầu khảo sát toán ngược được đặt từ lâu Cho đến năm 60 kỉ trước, đồng thời với việc phát triển công cụ toán học, toán ngược (hầu hết khơng chỉnh) nhà tốn học giới khảo sát cách sâu rộng mà tiêu biểu cơng trình Tikhonov, Lavrentiev, Lions,.Từ thời gian nay, tốn ngược (khơng chỉnh) ngày nhiều nhà toán học quan tâm nhu cầu xuất phát từ thực tiễn từ đòi hỏi ngành khoa học ứng dụng khác, đặc biệt Kỹ nghệ, Y học, Vật lý Địa cầu Bài toán vẽ lại thơng tin hữu ích từ liệu đo đạc vật lý bị nhiễu, ta nhận tốn khơng chỉnh (chủ yếu lời giải tốn khơng phụ thuộc liên tục vào kiện) mà phương pháp nội (từ mơ hình tốn học trực tiếp đo đạc được) dùng để ước lượng dẫn đến khếch đại khơng kiểm sốt nhiễu Thơng thường, ta tìm hàm (xác định miền thích hợp) hội tụ đến hàm xác, nói trên, khuếch đại nhiễu (theo ngơn ngữ tốn học, thường ngun nhân cố gắng nghịch đảo toán tử mà ngược khơng bị chận)-xuất khách quan trình đo đạc làm cho kết tính tốn mà khơng có giá trị, “kết quả” che dấu lời giải xác dao động với tần số cao, biên độ lớn Nhiều phương pháp khác sử dụng để chỉnh hố Bằng cách khai thác thơng tin phụ hàm chưa biết, chẳng hạn giả thiết “tính trơn” Một phương pháp vây phát triển Tikhonov Phillips ( cực tiểu hoá phiếm hàm quadratic bao gồm đạo hàm bậc cao việc cố gắng tái tạo liệu đo đạc) Trong luận văn này, chúng tơi khảo sát tốn ngược phương trình nhiệt sử dụng phương pháp Tikhonov để chỉnh hố nghiệm Cụ thể, chúng tơi chuyển tốn khảo sát việc giải phương trình tích phân Fredholm loại : Aw = F A tốn tử hai khơng gian Hilbert, A : H → H1 với H = L2 ( ¡ + ) , ¡ + = ( 0, ∞ ) , H1 = L2 ( 0,1) Các đóng góp luận văn là: g Đã chuyển tốn khảo sát phương trình tích phân Fredholm loại g Chứng minh A : H → H1 tốn tử tuyến tính liên tục g Chứng minh vế phải F phương trình Aw = F thuộc L ( 0,1) Ở đây, F xác định từ kiện cuối kiện biên phương trình nhiệt g Chúng đưa đánh giá cho chuẩn toán tử A , chuẩn A H → H Bài toán nhiệt sau chúng tơi khảo sát: Tìm hàm w ( x ) thoả ut − u xx = f ( x, t ) , x > 0, ≤ t ≤ , u ( x,0 ) = w ( x ) , u ( 0, t ) = g ( t ) , (0.1) x > 0, (0.2) ≤ t ≤ 1, (0.3) u x ( 0, t ) = h ( t ) , ≤ t ≤ 1, f , g , h hàm cho trước Xét toán (0.4) ut − u xx = f ( x, t ) , x > 0, t > 0,  ( I ) u ( x, ) = w ( x ) , x > 0,  u x ( 0, t ) = h ( t ) , t > Bằng phương pháp chồng chất nghiệm, nghiệm toán ( I ) tìm dạng u ( x, t ) = u1 ( x, t ) + u2 ( x, t ) + u3 ( x, t ) (0.5) Khi đó, sau nhiều phép tính phức tạp, u ( x, t ) cho ( x +ξ )  − ( x−ξ ) − 4t + e 4t ∫ w (ξ )  e  ¡+  u ( x, t ) = πt   dξ   ( x −τ ) ( x +ξ )  − f (ξ ,τ )  − 4( t −τ ) t −τ e +∫ ∫ + e ( )  dξ dτ   ¡+ π (t − τ )   t x2 h ( t − τ ) − 4τ − e dτ π ∫ τ 2 t Từ ta nhận phương trình tích phân Fredholm loại để tìm ẩn hàm w ( x ) : ξ − h (t − τ ) ∫ w (ξ ) e 4t dξ = π g ( t ) + ∫ τ dτ t 0 ∞ t t ∞ −∫ ∫ f (ξ ,τ ) − ξ2 4( t −τ ) e d ξ dτ t −τ hay viết dạng phương trình tốn tử sau (0.6) ( Aw)( t ) = F ( t ) Như biết, tốn tìm nghiệm phương trình tích phân Fredholm loại một tốn khơng chỉnh theo nghĩa Hadamard Bài toán gọi chỉnh theo nghĩa Hadamard thỏa ba điều kiện, ( i ) Bài tốn có nghiệm, 0 ( ii ) Nghiệm có nhất, ( iii ) Nghiệm phụ thuộc liên tục vào kiện, kiện F ( t ) vế phải (0.6) Tính chất nghiệm quan trọng ý nghĩa thông tin kiện đo đạc “vừa đủ” để xác định nghiệm tốn Cịn ý nghĩa phụ thuộc liên tục nghiệm vào kiện độ sai lệch nghiệm (nếu tồn tại) ứng với kiện bị nhiễu với mức độ nhỏ nhỏ Yếu tố thứ ba quan trọng sai số kiện đo đạc điều hiển nhiên lý mà cần phải xử lý toán Như tốn khơng chỉnh ba điều kiện bị vi phạm, nghĩa tốn khơng có nghiệm (tức ứng với kiện đo đạc bị nhiễu F , phương trình Aw = F vơ nghiệm) Mặt khác, nghiệm tồn khơng phụ thuộc liên tục vào kiện (nghĩa wF nghiệm ứng với kiện F thay đổi nhỏ F kéo theo thay đổi lớn wF ) Do nhu cầu tính tốn, tốn khơng chỉnh cần chỉnh hoá Nghĩa cần xây dựng nghiệm ổn định (phụ thuộc liên tục vào liệu cho trước) đủ gần nghiệm cần tìm để từ ta tính xấp xỉ nghiệm chỉnh hoá để sử dụng Sử dụng phương pháp Tikhonov (xem [ 7,15] ), chúng tơi xây dựng phương trình để chỉnh hố (phương trình chỉnh hố) A w=F , ε ε tốn tìm nghiệm phương trình tốn chỉnh, tức ( i ) Tồn nghiệm wε với Fε cho trước ( wε ∈ H , Fε ∈ H1 ) ( ii ) wε phụ thuộc liên tục vào Fε Lưu ý rằng, liệu đo đạc Fε bị nhiễu cách khách quan so với liệu xác F Trong luận văn chúng tơi thiết lập sai số nghiệm chỉnh hoá wε nêu so với nghiệm xác w (với giả thiết trơn thích hợp) phương trình Aw = F Cụ thể, sai số liệu đo đạc Fε liệu xác F ε , nghĩa Fε − F ≤ ε sai số nghiệm chỉnh hố wε nghiệm xác w có bậc ε ε , nghĩa wε − w ≤ M ε hay wε − w ≤ M ε , M số phụ thuộc vào nghiệm xác w Hơn nữa, chúng tơi cho thuật tốn để tính xấp xỉ Chúng tơi chứng minh wε điểm bất động ánh xạ co Do xây dựng thuật tốn lặp để tính xấp xỉ wε Gọi wε( lặp thứ m Sai số wε( m) nghiệm xác w cho wε( ) − w ≤ (1 + M ) ε m với mε chọn đủ lớn Về hình thức trình bày, luận văn chia thành bốn chương: Chương Biến đổi Laplace, Chương Phương trình nhiệt, Chuơng Thiết lập phương trình tích phân, Chương Chỉnh hoá nghiệm m) bước Các công thức, bổ đề, mệnh đề, định lý hệ đánh số liên tục Để kết thúc định lý, bổ đề, mệnh đề hay hệ ta dùng ký hiệu W Sau không gian Hilbert Banach sử dụng luận văn     1) L2 ( ¡ + ) =  w ( x ) : ∫ w2 ( x ) dx < ∞  , ¡ + = ( 0, ∞ ) , với tích vơ hướng ¡+     định nghĩa sau ( w, ω ) = ∫ w ( x ) ω ( x ) dx , w,ω ∈ L2 ( ¡ + ) , ¡+   2) L ( 0,1) =  w ( x ) : ∫ w2 ( x ) < ∞  , với tích vơ hướng định nghĩa   sau w, ω = ∫ w ( x ) ω ( x ) dx , w, ω ∈ L2 ( 0,1) , 1∞   3) L ( ¡ + × ( 0,1) ) =  f ( x, t ) : ∫ ∫ f ( x, t ) dxdt < ∞  , với tích vơ hướng 0   định nghĩa sau 1∞ ( f , g ) = ∫ ∫ f ( x, t ) g ( x, t ) dxdt , 0 f , g ∈ L2 ( ¡ + × ( 0,1) ) , 4) C ([ 0,1]) : Không gian Banach hàm số liên tục [ 0,1] , chuẩn g = sup g ( t ) , g ∈ C ([ 0,1]) t∈[0,1] Chương Biến đổi Laplace Định nghĩa Hàm biến thực f ( t ) xác định khoảng ( −∞, ∞ ) gọi hàm gốc thoả mãn điều kiện sau ( i ) Với t < 0, f ( t ) = , ( ii ) Với t ≥ , hàm f ( t ) có nhiều hữu hạn điểm gián đoạn loại khoảng hữu hạn trục t , ( iii ) Khi t → ∞ , hàm f ( t ) tăng không nhanh hàm mũ, nghĩa tồn số dương M a cho f ( t ) ≤ Me at , ∀t > Chận lớn trị số a ( iii ) gọi số tăng hàm f ( t ) Định nghĩa Cho f ( t ) hàm gốc Biến đổi Laplace f ( t ) hàm biến phức F ( p ) xác định tích phân ∞ F ( p ) = ∫ e− pt f ( t ) dt (1) Ta viết (Xem [ 2,10,11] ) F ( p ) = L  f (t )   Định lý (tính giải tích bên phải) Giả sử f ( t ) hàm gốc với số tăng a Khi ( i ) Biến đổi Laplace F ( p ) f ( t ) hội tụ miền {Re p > a} , ( ii ) Hơn nữa, F ( p ) hàm giải tích nửa mặt phẳng {Re p > a} W (Xem [ 2,10,11] ) 30 π w 2t = L2 ( ¡ + ) Do ta V L2 ( 0,1) = ∫ V (t ) ≤ 2π w π dt ≤ w 2 L2 ( ¡ + ) ∫ dt t L2 ( ¡ + ) hay Aw L ( 0,1) ≤ ( 2π ) w L2 ( ¡ + ) Vậy Aw ∈ L ( 0,1) A ≤ ( 2π ) Định lý chứng minh W Nhận xét Với giả thiết cho, phương trình (40) có nghiệm nghiệm 31 Chương Chỉnh hoá nghiệm Xét phương trình tích phân ξ − h (t − τ ) w (ξ ) e 4t dξ = π g ( t ) + ∫ dτ t∫ τ 0 ∞ t t ∞ −∫ ∫ 0 hay ( Aw)( t ) = F ( t ) , f (ξ ,τ ) t −τ − e ξ2 4( t −τ ) d ξ dτ < t < 1, (40) (43) với F ∈ L2 ( 0,1) cho trước toán tử A : L2 ( ¡ + ) → L2 ( 0,1) xác định (42) tốn tử tuyến tính liên tục hai khơng gian Hilbert Bây ta kí hiệu ( ⋅, ⋅) ⋅, ⋅ tích vô hướng không gian Hilbert L2 ( ¡ + ) L2 ( 0,1) (xem [ 4,8] ) Với β > cho trước, xét phương trình biến phân β ( w,ϕ ) + Aw, Aϕ = F , Aϕ , ∀ϕ ∈ L2 ( ¡ + ) (45) Định lý Với β > cho trước, phương trình (45) có nghiệm wβ ∈ L2 ( ¡ + ) phụ thuộc liên tục vào F ∈ L2 ( 0,1) Chứng minh Với β > cho trước, xét A : L2 ( ¡ + ) × L2 ( ¡ + ) → ¡ xác định A ( u , w ) = β ( u, w ) + Au, Aw 32 Ở ( ⋅, ⋅) ⋅, ⋅ tích vơ hướng L2 ( ¡ + ) L2 ( 0,1) nói phần Dễ thấy A dạng song tuyến tính, đối xứng Hơn A liên tục Thật vậy, theo bất đẳng thức Cauchy-schwarz, ta có A ( u , w ) ≤ β ( u, w ) + Au , Aw ≤ β u w + Au Aw ( ≤ β+ A )u w Mặt khác A cưỡng 2 A ( u , u ) = β u + Au ≥ β u Nếu ta xét L : L2 ( ¡ + ) → ¡ w a Lw = F , Aw , với F cho trước L2 ( 0,1) L dạng song tuyến tính, liên tục L2 ( ¡ + ) Ta kiểm tra tính liên tục L Ta có Lw = F , Aw ≤ F Aw ≤ F A w Vậy theo định lý Lax-Milgram (xem [ 4] ), tồn wβ ∈ L2 ( ¡ + ) thoả phương trình A ( wβ ,ϕ ) = Lϕ , ∀ϕ ∈ L2 ( ¡ + ) hay β ( wβ , ϕ ) + Awβ , Aϕ = F , Aϕ , ∀ϕ ∈ L2 ( ¡ + ) % Bây ta chứng minh wβ phụ thuộc liên tục vào F Giả sử wβ wβ % hai nghiệm phương trình biến phân (45) ứng với F F thuộc L2 ( 0,1) Khi β ( wβ , ϕ ) + Awβ , Aϕ = F , Aϕ , ∀ϕ ∈ L2 ( ¡ + ) % % % β ( wβ , ϕ ) + Awβ , Aϕ = F , Aϕ , ∀ϕ ∈ L2 ( ¡ + ) 33 Trừ vế theo vế hai đẳng thức ta thu % % % β ( wβ − wβ ,ϕ ) + A ( wβ − wβ ) , Aϕ = F − F , Aϕ % Chọn ϕ = wβ − wβ , sử dụng bất đẳng thức Cauchy-Schwarz bất đẳng thức Cauchy ta nhận 2 % % % % β w − w + A( w − w ) = F − F , A( w − w ) β β β β β β % % ≤ F − F A ( wβ − wβ ) %  F −F   A ( wβ − wβ ) % =      % 1 F−F % ≤ + A ( wβ − wβ ) 2  % F−F % = + A ( wβ − wβ ) ( Vậy % β wβ − wβ ≤ % F −F )     hay % wβ − wβ ≤ Định lý chứng minh W % F −F β Trước cho đánh giá sai số ta cần có khái niệm kết sau Định nghĩa Cho H khơng gian Hilbert Một tốn tử tuyến tính liên tục A: H → H gọi dương ( Ax, x ) H ≥ , ∀x ∈ H Ta có tính chất sau toán tử tự liên hợp dương (xem [ 7,8] ) 34 Bổ đề 11 Nếu A tốn tử tuyến tính liên tục tự liên hợp dương, tồn tốn tử tuyến tính liên tục dương B : H → H cho B2 = A W Trong trường hợp riêng, A ∈ L ( L2 ( ¡ + ) , L2 ( 0,1) ) ta có kết sau Hệ Toán tử A∗ A : L2 ( ¡ + ) → L2 ( ¡ + ) toán tử tuyến tính liên tục tự liên hợp dương Do tồn tốn tử tuyến tính liên tục dương C : L2 ( ¡ + ) → L2 ( ¡ + ) cho C = A∗ A W Bây giờ, A : L2 ( ¡ + ) → L2 ( 0,1) tuyến tính liên tục nên ta có tốn tử tuyến tính liên hợp A A∗ , A∗ : L2 ( 0,1) → L2 ( ¡ + ) ξ − A v ) (ξ ) = v ( t ) e 4t dt ( t∫ ∗ (46) Sau đây, ta phát biểu chứng minh Định lý 6, kết đánh giá sai số Định lý Cho F0 ∈ L2 ( 0,1) , w0 ∈ L2 ( ¡ + ) cho Aw0 = F0 (47) Giả sử F ∈ L ( 0,1) thoả F − F0 ≤ ε Gọi wε nghiệm phương trình (45) Khi ( i ) Giả sử (48) w0 = Cw , w ∈ L2 ( ¡ + ) C xác định Hệ Nếu chọn β = ε  ( 2π ) + w  ε  wε − w0 ≤        ∗ ( ii ) Giả sử w0 = A w với w ∈ L ( 0,1) Nếu ta chọn β = ε (49) 35 1+ w wε − w0 ≤        ε (50) Chứng minh ( i ) Trước tiên để ý A ( wε − w0 ) = A ( wε − w0 ) , A ( wε − w0 ) = ( A∗ A ( wε − w0 ) , wε − w0 ) = ( C ( wε − w0 ) , wε − w0 ) = ( C ( wε − w0 ) , C ( wε − w0 ) ) (51) = C ( wε − w0 ) Từ (47) ta có Aw0 , Aϕ = F0 , Aϕ , ∀ϕ ∈ L2 ( ¡ + ) Vì wε nghiệm (45) nên β wε , ϕ + Awε , Aϕ = F , Aϕ , ∀ϕ ∈ L2 ( ¡ + ) Trừ vế theo vế hai đẳng thức ta β wε , ϕ + A ( wε − w0 ) , Aϕ = F − F0 , Aϕ , ∀ϕ ∈ L2 ( ¡ + ) hay β ( wε − w0 , ϕ ) + A ( wε − w0 ) , Aϕ = − β w0 ,ϕ + F − F0 , Aϕ = − β w, Aϕ + F − F0 , Aϕ , ∀ϕ ∈ L2 ( ¡ + ) Chọn ϕ = wε − w0 , ta nhận β wε − w0 + A ( wε − w0 ) 2 = − β w, A ( wε − w0 ) + F − F0 , A ( wε − w0 ) (52) Từ kết hợp với (51) sử dụng bất đẳng thức Cauchy-Schwarz, bất đẳng thức Cauchy ý đến (48) ta thu đựơc β wε − w0 + C ( wε − w0 ) 2 36 ≤ A F − F0 wε − w0 + β ( w, C ( wε − w0 ) ) ≤ β 2 wε − w0 + A F − F0 2β β2 + w + C ( wε − w0 ) Vì β wε − w0 2 ≤ A 2β F − F0 + β w Do wε − w0  ≤ A β  ≤ ε  β 2 2 F − F0 + w   2π + ε 2 2 w   1   + ≤  ( 2π ) w ε   ( ii ) Từ (52), thay β ε ta có ε wε − w0 + A ( wε − w0 ) 2 = −ε w, A ( wε − w0 ) + F − F0 , A ( wε − w0 ) Sử dụng bất đẳng thức Cauchy-Schwarz, bất đẳng thức Cauchy ý đến (48) ta nhận đựơc ε wε − w0 + A ( wε − w0 ) 2 ≤ ε w A ( wε − w0 ) + F − F0 A ( wε − w0 ) ≤ ε w A ( wε − w0 ) + ε A ( wε − w0 ) ) ( ( 2 ε w + A ( wε − w0 ) + ε + A ( wε − w0 ) 2 2 = ε w + + A ( wε − w0 ) ≤ ( hay ) ) 37 ε wε − w0 ( ) ≤ ε w +1 Từ ta thu 1+ w wε − w0 ≤    Định lý chứng minh W 2  ε   Bây ta khảo sát phương pháp số để tìm nghiệm chỉnh hoá Với ε > F ∈ L2 ( 0,1) cho trước, xét toán biến phân sau đây: Bài tốn Tìm wε ∈ L2 ( ¡ + ) thoả ε ( wε , ϕ ) + Awε , Aϕ = F , Aϕ , ∀ϕ ∈ L2 ( ¡ + ) (53) ε wε + A∗ Awε − A∗ F = (54) hay ∗ với A xác định (46) Xét toán tử T : L2 ( ¡ + ) → L2 ( ¡ + ) Tw = w − α ( ε I d w + A∗ Aw − A∗ F ) = w − α ( Aε w − A∗ F ) , Aε = ε I d + A∗ A , với I d toán tử đồng L2 ( ¡ + ) Chọn α thích hợp, ta T ánh xạ co Thật vậy, chọn ε α= , ε + 2π ( ) ta có Định lý Với α (55) T ánh xạ co L2 ( ¡ + ) Chứng minh Lấy w1 , w2 tuỳ ý thuộc L2 ( ¡ + ) Ta có Tw1 − Tw2 = w1 − w2 − α Aε ( w1 − w2 ) Do (55) 38 Tw1 − Tw2 = w1 − w2 − 2α ( Aε ( w1 − w2 ) , w1 − w2 ) +α Aε ( w1 − w2 ) (56) Để ý ( Aε ( w1 − w2 ) , w1 − w2 ) = (ε ( w1 − w2 ) + A∗ A ( w1 − w2 ) , w1 − w2 ) = ε w1 − w2 + ( A∗ A ( w1 − w2 ) , w1 − w2 ) ≥ ε w1 − w2 + A ( w1 − w2 ) hay ( A (w − w ), w − w ) ≥ ε ε 2 Dễ thấy w1 − w2 ( Aε ( w1 − w2 ) ≤ ε + A (57) )w (58) Từ (56), (57) (58) ta thu 2 2 Tw1 − Tw2 ≤ 1 − 2εα + α ε + A   w1 − w2   2 ≤ 1 − 2εα + α ε + 2π  w1 − w2     Chọn ε α= , ε + 2π ( ) ( ( ) ) đặt ( k = 1 − 2εα + α ε + 2π   )   2 , ta thu Tw1 − Tw2 ≤ k w1 − w2 , < k < (59) Vậy T phép co L2 ( ¡ + ) W Hệ Với ε > 0, F ∈ L2 ( ¡ + ) cho trước, phương trình (53) hay (54) có nghiệm wε ∈ L2 ( ¡ + ) Nghiệm điểm bất động ánh xạ co T Định lý W 39 Bây giờ, để tính điểm bất động ánh xạ co T , ta dùng phương pháp xấp xỉ liên tiếp Giả sử wε ∈ L2 ( ¡ + ) điểm bất động T , nghĩa wε = wε − α ( ε wε + A∗ Awε − A∗ F ) , α = Ta tính wε( m) = Twε( m −1) ( ε ε + 2π ) (60) , m = 1, 2,3, wε( ) chọn trước tuỳ ý L2 ( ¡ + ) Chọn α= ( ε ε + 2π )  ε2 1 − k=  ε + 2π   ( Từ (60) ta có  ε2 ( m) wε = 1 −  ε + 2π   ( Giả sử biết wε( m −1) 1) Tính uε( m) ) = Awε( 2) Tính wε )   2    ε  w( m −1) − 2 ε ε + 2π   ( Ta tính wε( ( m) m −1) m) ) ( A∗ Awε( m −1) ) −F theo sơ đồ sau −F  ε2 1 − =  ε + 2π   ( )  ε  w( m −1) − 2 ε ε + 2π   ( ) A∗uε( m) Khi wε( ) − wε( wε( ) − wε ≤ m 1− k 0) km Bây giờ, kết hợp (50) Định lý với (61) ta nhận Mệnh đề Sai số wε( m) w0 cho (61) 40 wε( ) − w0 ≤ Cε k m + M ε m Cε , M số Cε không phụ thuộc vào m , xác định wε( ) − wε( Cε = 0) , 1− k 1+ w M =   (62) 2  W   (63) Ta tìm m = mε cho Cε k mε ≤ ε với Cε (62) Mệnh đề Suy k mε ≤ ε Cε hay  ε  ln    Cε  mε ≥ ln k Từ kết hợp với Mệnh đề ta thu Mệnh đề Chọn số tự nhiên mε cho  ε  ln    Cε  mε ≥ ln k với Cε xác định (62) Khi ta có đánh giá sai số sau wε( mε ) − w0 với M xác định (63) W ( ) L2 ¡ + ≤ (1 + M ) ε (64) (65) 41 Với ε > cho trước, mε số bước lặp tối thiểu để đạt sai số (65) 42 Kết luận Tóm lại luận văn thu kết sau: g Đã chuyển toán truyền nhiệt ngược thời gian phương trình tích phân Fredholm loại g Đối với phương trình tích phân loại nói trên, xây dựng phương pháp xấp xỉ nghiệm g Đã đưa đươc đánh giá sai số nghiệm xấp xỉ nghiệm xác biết sai số liệu đo đạc liệu xác Cụ thể, sai số liệu đo đạc Fε liệu xác F ε , nghĩa Fε − F ≤ ε chứng minh sai số nghiệm chỉnh hố wε nghiệm xác w (với giả thiết trơn thích hợp) có bậc ( < ε < 1) , nghĩa ε hay ε wε − w ≤ C ε hay wε − w ≤ C ε , số C khơng phụ thuộc vào ε Đồng thời chứng minh nghiệm xấp xỉ ổn định tốn điểm bất động ánh xạ co thích hợp Do dễ dàng xây dựng thuật tốn lặp để tính xấp xỉ nghiệm Cuối xin lặp lại lời cảm ơn Thầy hướng dẫn tôi, TS Nguyễn Công Tâm chân thành cảm ơn TS Nguyễn Thành Long tất Thầy Hội đồng chấm luận văn Tài liệu tham khảo [1] Đ.Đ Áng, Lý thuyết tích phân, NXBGD, 1998 [2] Đ.Đ Áng đồng tác giả, Biến đổi tích phân, NXBGD, 2001 [3] Đ.Đ Áng, R Gorenflo, L.K Vỹ, Đ.Đ Trọng, Moment Theory and some Inverse Problems in Potential Theory and Heat Conduction, Springer, 2002 [4] H Brezis, Giải tích hàm: Lý thuyết ứng dụng, NXB ĐHQG TP HCM, 2002 [5] D Colton, Partial Differential Equations, An introduction, New York, Random House, 1988 [6] L.C Evans, Partial Differential Equations, AMS Press,1998 [7] A Kirsch, An introduction to the Mathematical Theory of Inverse problems, springer-Verlag, New York, 1996 [8] L.A Liusternik and V.J Sobolev, Elements of Functional Analysis, Frederick Ungar Publishing Co., New York, 1961 [9] V.P Mikhailov, Partial Differential Equations, Mir Publishers Moscow, 1975 [10] Phan Bá Ngọc, Hàm biến phức Phép biến đổi Laplace, NXBGD, 1996 [11] A Sveshnikov, A Tikhonov, Theory of Functionals of a complex variable, Mir Publishers, Moscow, 1978 [12] N.C Tâm, Phương trình Vật Lý-Tốn nâng cao, NXB ĐHQG TP HCM, 2002 [13] N.C Tâm, N.H Nghĩa, Xấp xỉ ổn định lời giải toán Cauchy cho phương trình Poisson hình trịn đơn vị Tạp chí “ Khoa học & Công nghệ “ trường Đại học Kỹ thuật, số 9, (1995), 82-84 [14] N.C Tâm, N.H Nghĩa, Một thuật toán số cho biến đổi Laplace ngược Tạp chí “ Khoa học & Cơng nghệ “ trường Đại học Kỹ thuật, số 11, (1996), 65-67 [15] A.N Tikhonov, V.Y Arsenin, Solutions of ill-pose Problems, V.H.Winston and Sons, Washington DC, 1977 [16] Đ.Đ Trọng, Giáo trình Giải tích thực, ĐHKHTN-ĐHQG TPHCM, 2006 ... trước (11 ) (12 ) (13 ) (14 ) Trước tiên ta xét toán sau ut − u xx = f ( x, t ) , x > , t > , u ( x,0 ) = w ( x ) , x > , u x ( 0, t ) = h ( t ) , t > (11 ) (12 ) (14 ) Nghiệm toán (11 ), (12 ), (14 ) tìm... ( t ) , t > (16 ) (18 ) (14 ) Nhận xét Ta tìm nghiệm ba tốn ( A ) , ( B ) , ( C ) với t ∈ [ 0, ∞ ) Rồi sau thu hẹp xuống [ 0 ,1] để thu nghiệm toán (11 ), (12 ), (14 ) Trước nghiệm toán ( A) ta cần... = u1 ( x, t ) + u2 ( x, t ) + u3 ( x, t ) , với u1 , u2 , u3 nghiệm toán tương ứng sau đây: Bài toán ( A) ut − u xx = , x > , t ≥ , u ( x,0 ) = w ( x ) , x > , Bài toán ( B ) (15 ) (16 ) (12 )