Bài toán Parabolic liên quan đến sự xuyên thấu của từ trường trong 1 vật chất

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯPHẠM THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH Trương Văn Chính BÀI TOÁN PARABOLIC LIÊN QUAN ĐẾN SỰ XUYẾN THẤU CỦA TỪ TRƯỜNG TRONG MỘT VẬT CHẤT LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Thành phố Hồ Chí Minh – 2007 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯPHẠM THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH Trương Văn Chính BÀI TOÁN PARABOLIC LIÊN QUAN ĐẾN SỰ XUYẾN THẤU CỦA TỪ TRƯỜNG TRONG MỘT VẬT CHẤT Chuyên ngành: Toán Giải tích Mã số: 60 46 01 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Người hướng dẫn khoa học: TS. Nguyễn Thành Long Thành phố Hồ Chí Minh – 2007 Luận văn được hoàn thành tại: Trường Đại học Sưphạm TP. Hồ Chí Minh. Người hướng dẫn: TS. Nguyễn Thành Long Khoa Toán-Tin học, Đại học Khoa học Tự nhiên TP. Hồ Chí Minh. Người nhận xét 1: PGS.TS. Nguyễn Bích Huy Khoa Toán –Tin học, Đại học Sưphạm TP. Hồ Chí Minh. Người nhận xét 2: TS. Trần Minh Thuyết Khoa Toán –Tin học, Đại học Kinh tế TP. Hồ Chí Minh. Học viên cao học: Trương Văn Chính Trường Cao đẳng Sưphạm Bình Thuận. Luận văn sẽ được bảo vệ tại Hội Đồng chấm luận văn tại Trường Đại học Sư phạm TP. Hồ Chí Minh. Vào lúc …….giờ ……ngày… tháng … năm 2007. Có thể tìm hiểu luận văn tại Phòng Sau Đại học, thưviện Trường Đại học Sư phạm TP. Hồ Chí Minh. Thành phố Hồ Chí Minh – 2007 LỜI CẢM ƠN Lời đầu tiên trong bản luận văn này, tôi trân trọng kính gởi đến Thầy Nguyễn Thành Long người đã tận tình hướng dẫn, giúp đỡ tôi vượt qua mọi khó khăn để hoàn thành luận văn, lòng biết ơn chân thành và sâu sắc. Xin bày tỏ lòng biết ơn đối với Quý Thầy, Cô trong và ngoài Khoa Toán–Tin học, trường Đại Học Sưphạm Thành phố Hồ Chí Minh, trường Đại học Khoa học Tự nhiên Thành phố Hồ Chí Minh đã tận tình giảng dạy, truyền đạt kiến thức cũng nhưcác hỗ trợ khác về tinh thần và tưliệu cho tôi trong suốt thời gian học tập và làm việc. Chân thành cảm ơn Quý Thầy, Cô trong Ban Chủ nhiệm Khoa Toán –Tin học, Quý Thầy, Cô thuộc Phòng Quản lý Khoa học Công nghệ Sau Đại học, trường Đại học Sưphạm Thành phố Hồ Chí Minh đã nhiệt tình giúp đỡ, động viên, tạo mọi điều kiện thuận lợi về thủ tục hành chính cho tôi trong suốt quá trình học tập. Chân thành cảm ơn Quí Thầy Nguyễn Bích Huy, Trần Minh Thuyết đã đọc và đóng góp nhiều ý kiến quý báu cho luận văn của tôi. Xin cảm ơn các bạn bè đồng nghiệp và các bạn cùng lớp cao học giải tích khóa 15 đã luôn động viên và quan tâm trong thời gian học tâp và làm luận văn. Vì kiến thức bản thân còn nhiều hạn chế, nên luận văn khó tránh khỏi thiếu sót, rất mong được sự chỉ bảo của Quý Thầy, Cô và sự góp ý chân thành của các bạn bè đồng nghiệp. Thành phố Hồ Chí Minh, tháng năm 2007. Trương Văn Chính. MỤC LỤC Trang Trang phụ bìa Lời cảm ơn Mục lục MỞ ĐẦU 1 Chương 1. CÁC CÔNG CỤ CHUẨN BỊ 6 Chương 2. SỰ TỒN TẠI VÀ DUY NHẤT NGHIỆM 15 Chương 3. TÍNH TRƠN CỦA NGHIỆM 40 Chương 4. TÍNH BỊ CHẬN CỦA NGHIỆM 53 Chương 5. DÁNG ĐIỆU TIỆM CẬN CỦA NGHIỆM KHI t   57 KẾT LUẬN 60 TÀI LIỆU THAM KHẢO 61 1 MỞĐẦU Trong luận văn này chúng tôi xét bài toán giá trị biên và ban đầu sau: (0.1)   t u A u F(x,u) f(x,t), (x,t) x(0,T),     (0.2) u 0 trong x(0,T),   (0.3) o u(x,0)=u (x), trong đó (0.4)   N t 2 0 i 1 i i 1 2 2 N i 1 i u A(u) a u(x, ) d , x x u u , x                                          là một miền mở, bịchận trong N  có biên đủtrơn .  Các giảthiết trên các hàm a, F, f và u o cần thiết sẽđược chỉrõ ra sau đó. Bài toán này đã được xét bởi Laptev [4] với f=0, F=0 mà ý nghĩa của nó là sựxuyên thấu của từ trường vào vật chất. Đểmô tảhiện tượng được sinh ra trong vật dẫn được đặt trong một từtrường thay đổi bên ngoài, trong trường hợp xấp xỉá dừng, Laptev [4] đã đề nghị hệphương trình dưới đây (0.5) 2 B c rot rotH t 4       1 [ ], div B=0, ởđây H, B lần lượt là cường độvà cảm ứng từtrường,  là suất dẫn điện của vật chất và hằng sốc là vận tốc của ánh sáng trong chân không. Ta thu được phương trình thứnhất của (0.5) bởi việc khửE từhệ: (0.6) 1 B rotE , divB 0, c t 4 rotE j, j E. c               Xuyên thấu vào vật chất, sựbiến thiên của từtrường bên ngoài sinh ra trong vật chất một điện trường biến thiên có cường độE. Đây là nguyên nhân xuất hiện một dòng điện có mật độj. Dòng điện sinh ra nhiệt trong vật chất và có nhiệt độtrong đó là ,  phụthuộc vào suất dẫn điện .  Giảsửrằng suất 2 dẫn điện    phụthuộc vào nhiệt độ ,  ta thêm vào (0.5) phương trình gây ra nhiệt nhờsựnóng lên của Joule: (0.7) 2 v 1 C j , t     trong đó v C là nhiệt dung của vật chất mà trong trường hợp tổng quát cũng phụthuộc vào nhiệt độ .  Đểhệđơn giản ta sẽgiảsửrằng độthấm từ 1  và B=H. Do đó, dựa vào định luật j E  và từ(0.6), hệ(0.5), (0.7) được viết theo dạng dưới đây: (0.8) 2 H c rot ( )rotH t 4       [ ], div H=0, (0.9) 2 v c C ( ) ( ) rotH , t 4      trong đó ta đặt   1 .   Hệ(0.8), (0.9) bỏqua một sốcác hiệu ứng vật lý, chẳng hạn nhưtính dẫn nhiệt của môi trường và sựtác động của bên ngoài. Tuy nhiên, theo quan điểm toán học, nó luôn làm phức tạp thêm trong việc trình bày, do đó ta chỉcần xét (0.8), (0.9). Laptev biến đổi (0.8), (0.9) thành một phương trình bởi hàm s(  ) dưới đây: (0.10)     o v C s d .        Để đơn giản ta giả sử quá trình bắt đầu lúc t = 0 và nhiệt độtrong vật chất lúc đó tương ứng với hằng số o .  Chia (0.9) cho   .  Khi đó, từ(0.10) ta suy ra: (0.11)     2 v C c s rotH . t t 4          Tích phân (0.11) theo biến thời gian ta thu được (0.12)  2 t 0 c s rotH d . 4     3 Các hàm   v C ( ),   là dương nhờvào ý nghĩa vật lý của chúng, như vậy hàm   s  là đơn điệu tăng. Do đó nó có duy nhất một hàm ngược, ký hiệu là 1 s .   Từhệthức (0.13)   s ,       ta suy ra (0.14)  2 t 0 c s rotH d . 4                   Thế(0.14) vào phương trình đầu tiên của (0.8), ta viết (0.8) thành (0.15)     t 2 0 rot rot d rot , t             w a w x, w (0.16) div w = 0, trong đó ta đặt (0.17)   2 c a s s , H. 4        c w= 4 Giảsửrằng trường w có dạng (0.18)     w= 0,0,u , u x,y,t ,  trong đó u là hàm nhận giá trịthực. Khi đó phương trình (0.16) tựđộng thoả mãn. Nếu hàm số    bịchận, tức là   o 1 0  , khi đó a(s) cũng vậy, tức là  2 2 o 1 c c a s . 4 4      Hiện tượng này được chú ý trong cảhai trường hợp bán dẫn và plasmas. Trong [4] Laptev thiết lập các định lý tồn tại và duy nhất nghiệm cho phương trình (0.1) với   1 o o f F 0, u H     và   1 a C ,     dưới các điều kiện: (0.19)   o 1 2b a a s a , s 0,      (0.20)  1 2 2 0 b s a' s ds .           Đểnới rộng kết quảcủa Laptev, trong bài báo [6], Long và Alain Phạm đã chứng minh các định lý tồn tại, duy nhất và dáng điệu của nghiệm khi 4 t   cho bài toán (0.1)-(0.4) trong trường hợp   2 o u L ,       o f(x,t) 0, F F u , F C , ,         F 0 0 sao cho F u u   là hàm không giảm, với 0  đủnhỏ, F biến mọi tập bịchận của   2 L  thành một tập bịchặn của   2 L  và hàm   1 a C ,     thoảcác điều kiện (0.19), (0.20). Trong [6], Long và Alain Phạm cũng thu được nghiệm u thuộc về     2 2 1 1 o o L 0,T;H H L 0,T;H ,    nếu tăng cường thêm giảthiết 1 o o u H ;      1 F C ; , F 0 0,F' , 0     và F Lipschitz địa phương. Gần đây, T.A. Jangveladze, Z.V. Kiguradze [3], cũng nghiên cứu dáng điệu tắt dần của nghiệm bài toán tương tự với miền một chiều (0,1).  Luận văn được trình bày theo các chương mục sau: Phần mởđầu tổng quan vềbài toán khảo sát trong luận văn, điểm qua các kết quảđã có trước đó, đồng thời nêu bốcục của luận văn. Chương 1, chúng tôi trình bày một sốcông cụchuẩn bị, bao gồm việc nhắc lại một sốkhông gian hàm, một sốkết quảvềcác phép nhúng compact giữa các không gian hàm. Chương 2, chúng tôi trình bày sựtồn tại và duy nhất của nghiệm yếu của bài toán (0.1)–(0.4), dưới giả thiết     2 2 o T u L , f L Q ,    T Q (0,T),      o F C , , F(x,0) 0 sao cho F u F(x,u) u       là hàm không giảm theo biến u, với 0  đủnhỏ, F biến mọi tập bịchận của   2 L  thành tập bịchận của   2 L  và hàm   1 a C ,     thoảcác điều kiện (0.19), (0.20). Chương 3 là phần nghiên cứu tính trơn của nghiệm yếu của bài toán (0.1) – (0.4), theo tính trơn của điều kiện đầu. Cụthểlà chúng tôi tăng cường giảthiết và điều kiện đầu   1 o o u H   cùng với một sốđiều kiện trên các hàm f, F, a, chúng tôi chứng tỏ rằng nghiệm yếu u thuộc về     2 2 1 1 o o L 0,T;H H L 0,T;H    và   2 t T u L Q .  5 Chương 4: Nghiên cứu tính bịchận của nghiệm yếu của bài toán (0.1) – (0.4) theo tính bịchận của điều kiện đầu. Trong chương này, nếu   o u L    cùng với một sốđiều kiện khác trên các hàm f, F, a, luận văn chứng tỏ nghiệm yếu u thuộc về   T L Q .  Chương 5 đề cập đến dáng điệu tiện cận của nghiệm yếu của bài toán (0.1)–(0.4) khi t .  Cuối cùng là phần kết luận và tài liệu tham khảo. [...]... do H1 0, T ng ng t y, phả xạtứ (H1)” = H1 , theo nghĩ n , c a (1. 13)  (H1 )",  V : L, z L v (H1 )",(H1 ) '  z, v (H1 ) ',(H1 ) Lấ z  w (H1 ) ', ta có y T 0  L,Tw (H1 )",(H1 ) '  Tw , v  w,v ,  H w 1 (H1 ) ',(H1 ) ,  (H1 )' z 9 Do H1 trù m trong L 2 nên ta có t w,v   L 0, w 2 Vậ v = 0 Theo (1. 13) ta có y L, z (H1 )",(H1 ) '  z, v (H1 ) ',H1 0,  (H1 ) ' z Vậ L triệtiêu trên (H1 )’... mộphép nhúng từ 2 vào (H1 )’ ơ a t L Chứ minh (ii): ng Ta có, vớ mọ w L2 , i i Tw (H1 ) '  sup v 1 , v H1  H 1  sup Tw , v  sup w v  sup v 1 , v H1  H 1 w, v v 1 , v H1  H 1 w v v 1 , v H1  H 1 H1 w Chứ minh (iii): ng Ta chứ minh rằ mỗ phiế hàm tuyế tính liên tụ trên (H1 )’ và ng ng i m n c triệ tiêu trên T(L2 ) thì cũ triệ tiêu trên (H1 )’ Coi L (H1 )", vớ t ng t i L, Tw (H1 )",(H1 ) ' ... bởtích vô hư ng (1. 4), nghĩlà: u ể chuẩ i ớ a (1. 5) u H1  u, u H1 , u H1 Ta có bổ ề hệ a hai không gian L 2 và H1 sau: đ liên giữ Bổ ề đ 1. 1 Phép nhúng H1 L2 là compact và (1. 6) v v H1 ,  H1 v Chứ minh bổ ề có thể thấ trong [2] ng đ 1. 1 tìm y 7 Ta cũ sửdụ mộ không gian Sobolev đc biệ hơ đ là không ng ng t ặ t n ó gian (1. 7) H   D( ) 1 0 H1  c H1  ( C ) (bao đ trong không gian H1 củ không gian... Bổ ề đ 1. 3 Đ ng nhấ L2 vớ ( L2 )’ (đ i ngẫ củ L2 ) Khi đ ta có ồ t i ố u a ó H1 L2  2 )'(H1 )' vớ các phép nhúng liên tụ và nằ trù mậ (L i c m t Chứ minh Trư c hế ta chứ minh rằ L2 nhúng trong (H1 )’ Vì ng ớ t ng ng H1 L2 , vớ mọ w L2 , ánh xạ i i (1. 10) Tw : H1   v  Tw (v)  w,v  w(x)v(x)dx   là tuyế tính, liên tụ trên H1 , tứ Tw (H1 ) ' n c c 8 Ta xét ánh xạ T : L2  (H1 ) ' (1. 11) w ... v' Lp1 (0,T;X1 ) Khi đ W(0,T) là không gian Banach Hiể nhiên W(0,T)Lp o (0,T;X) Ta ó n có kếquả đ liên quan đn phép nhúng compact t sau ây ế Bổ ề đ 1. 10 (Bổ ề tính compact củ Lions[5]) đ về a Vớ giảthiế (1. 20), (1. 21) và nế 1  i  , i=0 ,1 thì phép nhúng i t u p  W(0,T)Lpo (0,T;X) là compact Chứ minh Có thể thấ trong Lions[5], trang 57 ng tìm y 6 Bổ ề sựhộtụ u trong Lq(Q) đ về i yế Bổ ề đ 1. 11 Cho... sao cho c 1 2 N   v  (1. 8) v    C dx ,  H1 v o  i  i  x  1   Chứ minh bổ ề có thể thấ trong [2] ng đ 1. 2 tìm y 2 Mộ cách đc trư khác đ xác đ H1 là: t ặ ng ể ị o nh (1. 9) H1  v  1 : v    H o 0 o Chú thích 1. 1 Trong [2] đ chứ minh rằ tồ tạ mộ ánh xạtuyế ã ng ng n i t n tính liên tụ : H1 (  L2 (  ) sao cho v v c o )  o   (hạ chếcủ v trên n a  ), vớ mọ v  1 (  Khi đ... chậ đợ ưc F(x,u(s))  F(u(s))  1 (M), C (2. 51) trong đ C1(M) là hằ số thuộ vào M Từ ó ng phụ c (2. 51) ta có t qc i F(x,u(s))  (t)  (2.52) 0 t n pc i (t)    c j (s)a1  1 0 j (2.53) Tn w j ds  F(x,u(s)) ds  n C1 (M), T 0 t n  j  i ds  1   j c j (s)ds w w a  i 1 0 j Tn n  1K 2  c j (s)ds  1K 2TnM, a a  1 0 j vớ K  i max 1,  , j  2, , n j Từ (2.43), (2.46), (2.47), (2.52),... sau: Bổđ 1. 9 (Lions[5]) Nế f, f’ Lp (0,T;X) thì f bằ hầ hếmộ hàm liên ề u ng u t t tụ từ[ 0,T] vào X c 5 Bổ ề tính compact củ Lions đ về a Cho ba không gian Xo, X1 , X vớ X o X X1 sao cho i (1. 20) Xo, X1 là phả xạ n , (1. 21) Phép nhúng X oX là compact Vớ 0    1 pi   i = 0, 1 i T , , Ta đt: ặ (1. 22)   W(0,T)= v Lpo (0,T;X) : v' Lp1 (0,T;X1 ) Ta trang bị W(0,T) chuẩ sau: cho n (1. 23) v... w  T(w)  w T Khi đ ta có ó (1. 12) Tw , v 1 v w L2 H '    w,v ,  H ,   1 Ta sẽ ng minh toán tử thỏ các tính chấsau: chứ T a t (i) T : L2  (H1 ) ' là đn ánh, ơ (ii) Tw (iii) T(L )  Tw : w L  (H1 ) '  w ,  L2 , w 2 2 Chứ minh (i): ng Dễ thấ y w,v  Tw , v 1 (H1 ) ',H  t là trù m trong (H1)’ rằ ng T tuyế n tính Nế u T w=0, thì 0,  H1 v Do H1 trù m trong L2, nên ta có w,v   L2... (1. 1)  v  u,  u(x)v(x)dx, u, v L2  Kí hiệ đ chỉ n sinh bởtích vô hư ng (1. 1), nghĩlà: u ể chuẩ i ớ a 1 (1. 2) 2  2  u  u,u  (x)dx , u L2 u     Đnh nghĩkhông gian Sobolev cấ 1 ị a p (1. 3)  2   v 1 2 H  v :  , i  2, , N  L 1,  L i x   Không gian này cũ là không gian Hilbert đi vớ tích vô hư ng: ng ố i ớ N (1. 4) u, v H1  u, v   i 1   u v , i i x x Kí hiệ H1 . dưới đây: (0 .10)     o v C s d .        Để đơn giản ta giả sử quá trình bắt đầu lúc t = 0 và nhiệt độtrong vật chất lúc đó tương ứng với hằng số o .  Chia (0.9) cho   .  Khi đó, từ(0 .10) . cảm ơn Mục lục MỞ ĐẦU 1 Chương 1. CÁC CÔNG CỤ CHUẨN BỊ 6 Chương 2. SỰ TỒN TẠI VÀ DUY NHẤT NGHIỆM 15 Chương 3. TÍNH TRƠN CỦA NGHIỆM 40 Chương 4. TÍNH BỊ CHẬN CỦA NGHIỆM 53 Chương 5. DÁNG ĐIỆU TIỆM. luận văn của tôi. Xin cảm ơn các bạn bè đồng nghiệp và các bạn cùng lớp cao học giải tích khóa 15 đã luôn động viên và quan tâm trong thời gian học tâp và làm luận văn. Vì kiến thức bản thân