BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠOCHUYÊN ĐỀ HỘI THẢO TRẠI HÈ HÙNG VƯƠNG CÁC TRƯỜNG THPT CHUYÊN MÔN TOÁN THPT Tên đề tài: MỘT SỐ BÀI TOÁN LIÊN QUAN ĐẾN SỐ CHÍNH PHƯƠNG CỦA DÃY TUYẾN TÍNH CẤP HAI Ngườ
Trang 1BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
CHUYÊN ĐỀ HỘI THẢO TRẠI HÈ HÙNG VƯƠNG
CÁC TRƯỜNG THPT CHUYÊN
MÔN TOÁN THPT
Tên đề tài: MỘT SỐ BÀI TOÁN LIÊN QUAN ĐẾN SỐ CHÍNH
PHƯƠNG CỦA DÃY TUYẾN TÍNH CẤP HAI
Người thực hiện: Trần Ngọc Thắng
Trường: THPT Chuyên Vĩnh Phúc
NĂM HỌC: ………
Trang 2MỘT SỐ BÀI TOÁN LIÊN QUAN ĐẾN SỐ CHÍNH PHƯƠNG CỦA DÃY
TUYẾN TÍNH CẤP HAI
Trần Ngọc Thắng – THPT Chuyên Vĩnh Phúc
I LÝ THUYẾT
1 Công thức tổng quát của dãy u n thỏa mãn u n2 au n1 bu nc.
Ta có u n2 au n1 bu n c u n2 1 a u n1 u n1 1 a u nc
Đặt v n u n1 1 a u n ta được v n1 v nc Từ đó ta được
n
v v n c n suy ra u n1 a 1u n v1 n 1c Do đó
u a u v n c
a 1u n a 12u n1 v a1 1 a 1 n 2c
a 12u n1 a 13u n2 v a1 12a 1 2 n 3c
…
a 1n1u2 a 1n u1 v a1 1n1 a 1 n1 n 1c
Cộng từng vế các đẳng thức trên ta được:
n
Đặt u n x n , ta sẽ chọn sao cho dãy số x n là dãy tuyến tính cấp hai
Ta có u n2 au n1 bu n c x n2 a x n1 b x n c
Để được dãy số x n tuyến tính ta sẽ chọn sao cho
1
c
a b c
a b
Khi đó ta được x n2 ax n1 bx n n, 1, 2,
Xét phương trình đặc trưng: t2 at b 0 (1)
+) Nếu phương trình (1) có hai thực phân biệt t t1 , 2 thì 1n 2n
n
x A t B t , trong đó A B, là các hằng số được tính theo các số hạng x x1 , 2
+) Nếu phương trình (1) có nghiệm kép t1 t2 t0 thì 0
n n
x A Bn t , trong đó A B, là các hằng số được tính theo các số hạng x x1 , 2
+) Nếu phương trình (1) có hai nghiệm phức x yi thì
n n
x r A n B n , trong đó A B, là các hằng số được tính theo các số hạng x x1 , 2 và 2 2
r a b , là một arcgument của x yi
Trang 32 Tính chất cơ bản dãy tuyến tính cấp hai.
Xét dãy số u n được xác định bởi: u n2 au n1 bu n n, 1, 2,
1
Do đó dãy u n thỏa mãn 2 1 2
n
n n n
u u u b u u u
Đây là tính chất rất quan trọng về dãy tuyến tính cấp hai, tính chất này thường được sử dụng khi chứng minh các đẳng thức liên quan đến các số hạng của dãy và các tính chất số học của dãy
phương, trong đó u n thỏa mãn u n2 au n1 bu nc.
Để chứng minh dãy số b n thỏa mãn b n là số chính phương với mọi số nguyên dương n ta thường sử dụng một số hướng sau:
Hướng 1: Ta chỉ ra tồn tại dãy số nguyên c n thỏa mãn
2 ,
n n
b c n Dãy số c n thường dự đoán bằng cách tính một số giá trị đầu c c1 , , 2 và tìm ra quy luật của dãy c n
tự nhiên n, sau đó chứng minh bằng quy nạp
n n
b c
II MỘT SỐ BÀI TẬP MINH HỌA
Bài 1 Cho dãy số a n :a0 1,a1 2,a n2 4a n1 a n n, 0 Chứng minh rằng: a) a n 1 là số chính phương với mọi n lẻ
6
n
a
là số chính phương với mọi n chẵn
Lời giải
a) Cách 1: Ta dự đoán dãy số c n sao cho 2
2n 1 1 n
a c , ta có
1 2, 3 26, 5 362, 7 5042
a a a a suy ra c0 1,c1 5,c2 19,c3 71 Khi đó ta thử thiết lập quan hệ truy hồi của dãy c n theo dãy tuyến tính cấp 2, giả
sử c n 2 ac n 1 bc n và từ c0 1,c1 5,c2 19,c3 71 ta được
Trang 45 19 4
19 5 71 1
Do đó ta dự đoán dãy số c n là:
0 1, 1 5, n 2 4 n 1 n, 0,1, 2,
c c c c c n
Ta sẽ chứng minh bằng quy nạp 2
a c n Thật vậy (1) đúng với n 0, giả sử (1) đúng đến n 0, ta sẽ chứng minh (1) đúng đến
1
n
Ta có a2n3 1 4 a2n2 a2n1 1 4 4 a2n1 a2n a2n1 1 16 a2n1 4a2n a2n1 1
15a n a n a n 1 14a n a n 1 14 c n 1 c n 1 1 12c n c n 12
(2)
Theo hệ thức cơ bản của dãy tuyến tính cấp 2 ta được:
c c c c c c c c c c c (3)
Ta có
2
1
14 12 4
n n
c c
Từ (2) và (4) suy ra
2
2n 3 1 n 1
a c
Do đó ta chứng minh được (1) đúng đến n 1 suy ra (1) đúng
n n n
a a a n Từ hệ thức này ta được:
a a a a a a a a a (5)
Từ hệ thức (5) bằng phương pháp quy nạp suy ra a n 1 là số chính
phương với mọi số nguyên dương lẻ n
b) Ta chứng minh theo hướng 2 như sau:
Ta có
2 2
.
a a a a a a a a a
Trang 5Từ đẳng thức này bằng phương pháp quy nạp suy ra 1
6
n
a
là số chính phương
Bài 2 Cho dãy số a n :a0 1,a1 13,a n2 14a n1 a n n, 0 Chứng minh
rằng với mỗi số tự nhiên n, tồn tại các số tự nhiên k l, sao cho
a k k a l l
1 2 2 1 2 1 2 1
a k k k k a k
và a n2 l 13 l3 3l2 3 1l 12a n2 3 6l 32
Như vậy bài toán quy về chứng minh 2a n 1, 12a n2 3 là các số chính
phương
Nếu ta chứng minh bài toán này theo cách 1 của bài 1 thì gặp phải những tính toán rất lớn và nếu không được sử dụng máy tính thì sẽ mất nhiều thời gian Ta sẽ chứng minh theo cách 2 của bài 1 Trước hết ta có hệ
thức cơ bản sau : 2
2 1 12, 0,1, 2,
n n n
a a a n
Xét
2a n 1 2a n 1 4a a n n 2 a n a n 1 4 a n 12 28a n 1 2a n 7
2 2 2 2 2
12a n 3 12a n 3 144 a a n n 36 a n a n 9
144 a a n n 36 a n a n 72a a n n 9 144 a a n n 36 14a n 72a a n n 9
144 a a n n 36.14 a a n n 12 72a a n n 9 144 a a n n 36.194a a n n 291
12a a n2 n 2912
Từ các hệ thức trên và phương pháp quy nạp ta được 2a n 1, 12a n2 3 là các
số chính phương
1 1, 2 2011, n 2 4022 n 1 n, 1, 2,
x x x x x n
Chứng minh rằng 2012 1
2012
x
là một số chính phương
dương lẻ và dãy số x n được xác định như sau:
1 1, 2 , n 2 2 n 1 n, 1, 2,
x x p x px x n Chứng minh rằng 2 1
1
n
x p
là số chính phương với mọi số nguyên dương n
Trang 6Cách 1 Ta sẽ chứng minh theo hướng 1 của bài 1 Ta tính một vài giá trị
đầu tiên
1, 2 1 , 4 2 1 ,
x
Ta dự đoán được 2 1 2
1
n
n
x
y p
, trong đó dãy số y n được xác định như sau:
1 1, 2 2 1, , n 2 2 n 1 n, 1, 2,
y y p y py y n
Ta sẽ chứng minh kết quả trên bằng phương pháp quy nạp
y py y p y py y y
4p y n 2 y n y n 2p 2 y n 4p 2 y n y n 4p 4
2
Suy ra 2 4 2
2
1 1
n
n
x
y p
Cách 2 Ta sẽ chứng minh theo hướng 2 của bài 1 Trước hết ta có hệ
thức cơ bản sau:
Ta có
2
Từ đẳng thức này bằng phương pháp quy nạp ta được 2 1
1
n
x p
là số chính phương với mọi số nguyên dương n
1
n
x p
là số chính phương với mọi số nguyên dương n
xác định như sau: a1 a2 1,a n1 7a n a n1 , n 2,3, Chứng minh rằng với mọi số nguyên dương n ta có a na n1 2 là một số chính phương
Lời giải
Trang 7Cách 1 Tính một vài giá trị đầu tiên ta được: 2 2
1 2 2 2 , 2 3 2 3
a a a a ,
3 4 2 7 , 4 5 2 18
a a a a Từ đó ta dự đoán 2
1 2
a a b , trong đó dãy số b n được xác định như sau: b1 2,b2 3,b n1 3b n b n1 , n 2,3,
Ta sẽ chứng minh dự đoán này bằng phương pháp quy nạp
b b b b b b b b b b b
a a a a a a a
Theo công thức truy hồi của dãy b n ta được:
b b b b b b b a a a a
Do đó 2
b a a hay bài toán được chứng minh
a a a a a a Xét
a na n1 2 a n1 a n2 2 a n1a n a n2a a n n2 a n21 2a na n2 4a n1 4
7a n a n 5 a n 14a n 4a n 4 9a n 18a n 9 3a n 3
Từ đẳng thức này bằng phương pháp quy nạp ta suy ra a na n1 2 là số chính phương với mọi số nguyên dương n
Bài 5 Cho dãy số a n :a0 0,a1 1,a n2 3a n1 a n 2,n 0 Chứng minh rằng: a a n n2 là số chính phương với mọi số tự nhiên n
Lời giải Ta sẽ tìm x sao cho dãy số b n :a n b nx là dãy tuyến tính cấp hai Thay vào hệ thức truy hồi của dãy a n ta được:
b x b x b x b b x
Ta chọn x sao cho x 2x 2 x 2 suy ra a n b n 2
Như vậy bài toán đã cho sẽ tương đương với bài toán sau:
Cho dãy b n :b1 2,b2 3,b n2 3b n1 b n Chứng minh rằng b n 2 b n2 2
là số chính phương với mọi số nguyên dương n
b b b b b b và b n2 b n 3b n1
Do đó b n 2 b n2 2b b n2 n 2b n2 b n 4 b n21 5 6b n1 4 b n1 32 Vậy a a n n2 là số chính phương với mọi số nguyên dương n
Bài 6 Cho dãy số a n :a0 1,a1 1,a n2 7a n1 a n 2,n 0 Chứng minh rằng mọi số hạng của dãy đều là số chính phương
Trang 8Lời giải Ta sẽ tìm x sao cho dãy số b n :a n b nx là dãy tuyến tính cấp hai
Thay vào hệ thức truy hồi của dãy a n ta được:
b x b x b x b b x
Ta chọn x sao cho 6 2 2
5
x x x suy ra 2
5
n n
a b Như vậy bài toán đã cho sẽ tương đương với bài toán sau:
Cho dãy 1 2 2 1
b b b b b b Chứng minh rằng 2
5
n
b là số chính phương với mọi số nguyên dương n
5
n
b :
b b b b …Khi đó ta dự đoán 2 2
5
b c , trong đó c n được xác định như sau: c1 c2 1,c n2 3c n1 c n n, 1, 2,
Ta chứng minh dự đoán này bằng phương pháp quy nạp:
c c c c c c c c c c c
c c c c c c c c c c c
Suy ra 2
2 5
c b Từ đó suy ra dự đoán là đúng hay bài toán được chứng minh
9 5
n n n
b b b và b n2 b n 7b n1 Khi đó
2 2
14 49 7
5 25 5
b b b
Suy ra
2
Từ đẳng thức này bằng phương pháp quy nạp suy ra 2
5
n
b là số chính phương với mọi số nguyên dương n
Bài 7 Cho dãy số a n xác định bởi:
Trang 92 1
2
4 15 60, 0,1, 2,
a
Chứng minh rằng số 2
1
8 5
b a có thể biểu diễn thành tổng của ba số nguyên duơng liên tiếp với mọi n 1
Lời giải Từ giả thiết suy ra dãy số a n là dãy số dương
a a a a a a
a a a a
(1)
Từ (1) ta được: 2 2
a a a a (2)
Từ (1) và (2) suy ra a a n, n2 là hai nghiệm của phương trình:
8 n n 60 0
x xa a
Do đó theo định lí Viet ta được: a na n2 8a n1 a n2 8a n1 a n Khi đó dãy số a n được xác định như sau: a0 2,a1 8,a n2 8a n1 a n n, 0,1, 2,
Nhận xét Giả sử 2 2 2 2 2 2
2
15
n
a
k
Như vậy yêu cầu chứng minh của bài toán quy về chứng minh 2 2
15
n
a
là
số chính phương với mọi số nguyên dương n
Cách 1 Ta tính một vài giá trị đầu tiên:
Khi đó ta dự đoán 2 2 2
15
n
n
a
b
, trong đó dãy số b n được xác định như sau:
0 0, 1 2, 2 16, 3 126,
b b b b và thử xác định dãy b n dưới dạng dãy số tuyến tính như sau: b n 2 xb n 1 yb n n, 0,1, 2,
Trang 10Từ b0 0,b1 2,b2 16,b3 126 ta được 2 16 8
16 2 126 1
Ta sẽ chứng minh bằng phương pháp quy nạp 2 2 2
15
n
n
a
b
, trong đó b n là dãy số thỏa mãn b0 0,b1 2,b n2 8b n1 b n n, 0,1, 2,
b b b b b b b b b b b
4
15 15 15
b b b b
2n 2 8 2n 1 2n 8 8 2n 2n 1 2n 63 2n 2n 2n 2 62 2n 2n 2
a a a a a a a a a a a
Theo công thức truy hồi của dãy b n và các đẳng thức trên ta được:
a a a
Do đó 2 2 2
1
2 15
n n
a
hay bài toán được chứng minh
Cách 2
2n 2 2n 2n 1 60 2n 2 2n 2n 1 60
a a a a a a
2
2
2 1 8
15
n
a
Từ đẳng thức này bằng phương pháp quy nạp ta được
15
n
a
là số chính phương với mọi số nguyên dương n
1 20, 2 30, n 2 3 n 1 n, 1, 2,
u u u u u n
Tìm tất cả các số nguyên dương n sao cho 1 5 u u n n1 là một số chính phương
Lời giải Dễ thấy dãy u n là dãy số tăng suy ra với
n u u u u u u (1)
Trang 11+) n 1, 2 không thỏa mãn
+) n 3 thì 2
3 4
1 5 u u 251 suy ra n 3 thỏa mãn
+) n 4, theo tính chất cơ bản của dãy tuyến tính cấp hai ta có:
u u u u u u u
5u u n n 1 u n u n 501
Giả sử 1 5 u u n n1 là số chính phương, 2 *
1
1 5 u u n n a a, Khi đó ta có:
1 501 1 1 501 1.501 3.167
u u a a u u a u u Ta xét các trường hợp sau:
1 1
501 251
250 1
n n
n n
n n
u u
a u u
1 1
167 85
82 3
n n
n n
n n
u u
a u u
Do đó với n 4 thì 1 5 u u n n1 không phải là số chính phương
Vậy n 3 là số nguyên dương thỏa mãn yêu cầu bài toán
III BÀI TẬP TƯƠNG TỰ
1 Cho dãy số a n :a0 1,a1 13,a n2 14a n1 a n n, 0 Chứng minh rằng a) 2
1 2 12 0, 0
n n n
a a a n
b) 48a n2 12 là số chính phương với mọi số tự nhiên n
c) 2 1, 2 1
3
n n
a
a là số chính phương với mọi số tự nhiên n
2 Cho dãy số a n :a0 0,a1 11,a n2 10a n1 a n 10,n 0 Chứng minh rằng:
1
n
a là số chính phương với mọi n chẵn
3 Cho dãy số a n :a0 0,a1 1,a n2 2a n1 a n 1,n 0 Chứng minh rằng: 2
4a a n n 1 là một số chính phương
4 Cho dãy số a n :a0 0,a1 1,a n2 3a n1 a n 2,n 0 Chứng minh rằng: 2
n n
a a là số chính phương với mọi số tự nhiên n
5 Cho dãy số a n :a0 0,a1 1,a n2 3a n1 2 ,a n n 0 Chứng minh rằng:
2 2n 2
n
là bình phương của một số nguyên lẻ
Trang 126 Cho dãy số a n :a0 1,a1 1,a n2 7a n1 a n 2,n 0 Chứng minh rằng mọi số hạng của dãy đều là số chính phương
7 (VMO1997) Cho dãy số a n :a0 1,a1 45,a n2 45a n1 7 ,a n n 0 a) Tính số các ước nguyên dương của số 2
n n n
a a a theo n;
b) Chứng minh rằng 1997 2 4.7n 1
n
là số chính phương với mọi số tự nhiên n
8 (Kiểm tra đội tuyển IMO 2013) Cho dãy số
a n :a1 1,a2 11,a n2 a n1 5 ,a n n 1 Chứng minh rằng a n không là số chính phương với mọi n 3
9 Cho dãy số a n :a0 0,a1 3,a n2 6a n1 a n 2,n 0 Chứng minh rằng
n n
a a là số chính phương với mọi số tự nhiên n
10.Cho dãy số a n :a0 a a, 1 b a, n2 3a n1 a n n, 0; ,a b Chứng minh rằng tồn tại số nguyên k sao cho 5a n2 k là số chính phương với mọi số
tự nhiên n
11.Cho dãy số a n :a0 1,a1 6,a n2 6a n1 a n n, 0 Chứng minh rằng:
a a a a với mọi số tự nhiên n;
b) Với mọi số tự nhiên n, tồn tại số nguyên dương k sao cho 2 1
2
n
k k
a
12.Cho dãy số a n :a0 1,a1 2,a n2 a n1 a n n, 0 Tìm n để a n 1 là số chính phương
13.Cho dãy số a n :a1 1,a2 1,a n2 a n1 2 ,a n n 1 Chứng minh rằng
2012 2
2010
2 7a là một số chính phương
14.Cho dãy số a n :a0 1,a1 2,a n2 4a n1 a n n, 0 Tìm n để a n 1 là số chính phương
15.Cho dãy số a n :a1 1,a2 2,a n2 4a n1 a n n, 1 Chứng minh rằng: a) 2 2
a a a a n
b) 2 1
3
n
a
là một số chính phương
16.Cho dãy số a n :a1 1,a2 2,a n2 4a n1 a n n, 1 Chứng minh rằng
2 1 5n
n n
a a là số chính phương với mọi số nguyên dương n Chứng minh phương trình x2 4xy y 2 5 có vô số nghiệm nguyên dương
Trang 1317.(TSTVN2012) Cho dãy số a n :a1 1,a2 2011,a n2 4022a n1 a n n, 1 Chứng minh rằng 2012 1
2012
a
là một số chính phương
18.Cho dãy số : 3 5 3 5 2, 1
n n
x x n
Chứng minh rằng
2n 1
x là số chính phương với mọi số tự nhiên n
TÀI LIỆU THAM KHẢO
1 Titu Andreescu and Zuming Feng, 102 Combinatorial Problems from the
Training of the USA IMO Team Bikhauser, 2002.
2 Titu Andreescu and Zuming Feng, A path to combinatorics for
undergraduates counting strategies Bikhauser, 2004.
3 Titu Andreescu, Razvan Gelca, Mathematical Olympiad Challenges.
Bikhauser, 2000
4 Titu Andreescu and Zuming Feng, Mathematical Olympiads 1998-1999
Problems and Solutions From Around the World Published and distributed by
The Mathematical Association of America, 2000
5 Titu Andreescu and Zuming Feng, Mathematical Olympiads 1999-2000
Problems and Solutions From Around the World Published and distributed by
The Mathematical Association of America, 2002
6 Arthur Engel, Problem - Solving Strategies Springer, 1998.
7 Loren C Larson, Problem - Solving Through Problems Springer, 1983.
8 Vũ Dương Thụy - Nguyễn Văn Nho, 40 năm Olympiad Toán Học Quốc Tế,
tập 1 và tập 2, NXB Giáo dục, 2001
9 Vũ Dương Thụy - Nguyễn Văn Nho, Tuyển tập các bài toán từ những cuộc
thi tại Mĩ và Canada, NXB Giáo dục, 2002.
10 Nguyễn Văn Nho, Tuyển tập các bài toán từ những cuộc thi tại Trung Quốc,
NXB Giáo dục, 2002
11 Nguyễn Sinh Nguyên - Nguyễn Văn Nho - Lê Hoành Phò, Tuyển tập các
bài toán dự tuyển IMO 1991-2001, NXB Giáo dục, 2003.