1. Trang chủ
  2. » Luận Văn - Báo Cáo

MỘT số bài TOÁN LIÊN QUAN đến số CHÍNH PHƯƠNG của dãy TUYẾN TÍNH cấp HAI

14 2K 2

Đang tải... (xem toàn văn)

Tài liệu hạn chế xem trước, để xem đầy đủ mời bạn chọn Tải xuống

THÔNG TIN TÀI LIỆU

Thông tin cơ bản

Định dạng
Số trang 14
Dung lượng 870 KB

Nội dung

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠOCHUYÊN ĐỀ HỘI THẢO TRẠI HÈ HÙNG VƯƠNG CÁC TRƯỜNG THPT CHUYÊN MÔN TOÁN THPT Tên đề tài: MỘT SỐ BÀI TOÁN LIÊN QUAN ĐẾN SỐ CHÍNH PHƯƠNG CỦA DÃY TUYẾN TÍNH CẤP HAI Ngườ

Trang 1

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

CHUYÊN ĐỀ HỘI THẢO TRẠI HÈ HÙNG VƯƠNG

CÁC TRƯỜNG THPT CHUYÊN

MÔN TOÁN THPT

Tên đề tài: MỘT SỐ BÀI TOÁN LIÊN QUAN ĐẾN SỐ CHÍNH

PHƯƠNG CỦA DÃY TUYẾN TÍNH CẤP HAI

Người thực hiện: Trần Ngọc Thắng

Trường: THPT Chuyên Vĩnh Phúc

NĂM HỌC: ………

Trang 2

MỘT SỐ BÀI TOÁN LIÊN QUAN ĐẾN SỐ CHÍNH PHƯƠNG CỦA DÃY

TUYẾN TÍNH CẤP HAI

Trần Ngọc Thắng – THPT Chuyên Vĩnh Phúc

I LÝ THUYẾT

1 Công thức tổng quát của dãy  u n thỏa mãn u n2 au n1 bu nc.

Ta có u n2 au n1 bu n c u n2 1  a un1 u n1 1  a unc

Đặt v nu n1 1  a un ta được v n1 v nc Từ đó ta được

n

v  v nc n suy ra u n1 a 1u nv1 n 1c Do đó

u   auvnc

a 1u n a 12u n1 v a1  1  a 1 n 2c

a 12u n1 a 13u n2 v a1  12a 1 2 n 3c

a 1n1u2 a 1n u1 v a1 1n1 a 1 n1 n 1c

       

Cộng từng vế các đẳng thức trên ta được:

n

Đặt u nx n , ta sẽ chọn  sao cho dãy số  x n là dãy tuyến tính cấp hai

Ta có u n2 au n1 bu n c x n2   a xn1  b xn c

Để được dãy số  x n tuyến tính ta sẽ chọn  sao cho

1

c

a b c

a b

        

Khi đó ta được x n2 ax n1 bx n n,  1, 2,

Xét phương trình đặc trưng: t2  at b  0 (1)

+) Nếu phương trình (1) có hai thực phân biệt t t1 , 2 thì 1n 2n

n

xA tB t , trong đó A B, là các hằng số được tính theo các số hạng x x1 , 2

+) Nếu phương trình (1) có nghiệm kép t1  t2 t0 thì   0

n n

xA Bn t , trong đó A B, là các hằng số được tính theo các số hạng x x1 , 2

+) Nếu phương trình (1) có hai nghiệm phức x yi thì

n n

xr A n B n , trong đó A B, là các hằng số được tính theo các số hạng x x1 , 2 và 2 2

rab ,  là một arcgument của x yi

Trang 3

2 Tính chất cơ bản dãy tuyến tính cấp hai.

Xét dãy số  u n được xác định bởi: u n2 au n1 bu n n,  1, 2,

1

       

Do đó dãy  u n thỏa mãn 2   1 2

n

n n n

u u u bu u u

Đây là tính chất rất quan trọng về dãy tuyến tính cấp hai, tính chất này thường được sử dụng khi chứng minh các đẳng thức liên quan đến các số hạng của dãy và các tính chất số học của dãy

phương, trong đó  u n thỏa mãn u n2 au n1 bu nc.

Để chứng minh dãy số  b n thỏa mãn b n là số chính phương với mọi số nguyên dương n ta thường sử dụng một số hướng sau:

Hướng 1: Ta chỉ ra tồn tại dãy số nguyên  c n thỏa mãn

2 ,

n n

bc   n Dãy số  c n thường dự đoán bằng cách tính một số giá trị đầu c c1 , , 2 và tìm ra quy luật của dãy  c n

tự nhiên n, sau đó chứng minh bằng quy nạp

n n

bc

II MỘT SỐ BÀI TẬP MINH HỌA

Bài 1 Cho dãy số  a n :a0  1,a1  2,a n2  4a n1  a n n,  0 Chứng minh rằng: a) a  n 1 là số chính phương với mọi n lẻ

6

n

a 

là số chính phương với mọi n chẵn

Lời giải

a) Cách 1: Ta dự đoán dãy số  c n sao cho 2

2n 1 1 n

a   c , ta có

1 2, 3 26, 5 362, 7 5042

aaaa  suy ra c0  1,c1  5,c2  19,c3  71 Khi đó ta thử thiết lập quan hệ truy hồi của dãy  c n theo dãy tuyến tính cấp 2, giả

sử c n 2 ac n 1 bc n và từ c0  1,c1  5,c2  19,c3  71 ta được

Trang 4

5 19 4

19 5 71 1

  

  

  Do đó ta dự đoán dãy số  c n là:

0 1, 1 5, n 2 4 n 1 n, 0,1, 2,

ccc   c   c n

Ta sẽ chứng minh bằng quy nạp 2  

a   c  n Thật vậy (1) đúng với n 0, giả sử (1) đúng đến n 0, ta sẽ chứng minh (1) đúng đến

1

n 

Ta có a2n3  1 4  a2n2  a2n1  1 4 4   a2n1  a2n a2n1  1 16  a2n1  4a2na2n1  1

15a na na n 1 14a na n 1 14 c n 1 c n 1 1 12c n c n 12

              

(2)

Theo hệ thức cơ bản của dãy tuyến tính cấp 2 ta được:

c c   c   ccc   c   cc  c c   (3)

Ta có

 

2

1

14 12 4

n n

c c

         

  

Từ (2) và (4) suy ra

2

2n 3 1 n 1

a   c

Do đó ta chứng minh được (1) đúng đến n 1 suy ra (1) đúng

n n n

a a  a    n Từ hệ thức này ta được:

a   a  a a  a   a  a    a    a  (5)

Từ hệ thức (5) bằng phương pháp quy nạp suy ra a  n 1 là số chính

phương với mọi số nguyên dương lẻ n

b) Ta chứng minh theo hướng 2 như sau:

Ta có

2 2

.

a   aa a  a   aa   a   a   

 

Trang 5

Từ đẳng thức này bằng phương pháp quy nạp suy ra 1

6

n

a 

là số chính phương

Bài 2 Cho dãy số  a n :a0  1,a1  13,a n2  14a n1  a n n,  0 Chứng minh

rằng với mỗi số tự nhiên n, tồn tại các số tự nhiên k l, sao cho

akka  ll

1 2 2 1 2 1 2 1

akk  kk  a   k

a n2  l 13 l3  3l2 3 1l  12a n2 3 6l 32

Như vậy bài toán quy về chứng minh 2a n 1, 12a n2  3 là các số chính

phương

Nếu ta chứng minh bài toán này theo cách 1 của bài 1 thì gặp phải những tính toán rất lớn và nếu không được sử dụng máy tính thì sẽ mất nhiều thời gian Ta sẽ chứng minh theo cách 2 của bài 1 Trước hết ta có hệ

thức cơ bản sau : 2

2 1 12, 0,1, 2,

n n n

a a  a    n

Xét

2a n  1 2a n 1  4a a nn  2 a n a n   1 4 a n  12  28a n   1 2a n  7

 2   2   2  2 2

12a n  3 12a n 3  144 a a nn  36 a n a n  9

144 a a nn 36 a na n 72a a nn 9 144 a a nn 36 14a n 72a a nn 9

144 a a nn 36.14 a a nn 12 72a a nn 9 144 a a nn 36.194a a nn 291

12a a n2 n 2912

Từ các hệ thức trên và phương pháp quy nạp ta được 2a n 1, 12a n2  3 là các

số chính phương

1 1, 2 2011, n 2 4022 n 1 n, 1, 2,

xxx   x  x n

Chứng minh rằng 2012 1

2012

x

là một số chính phương

dương lẻ và dãy số  x n được xác định như sau:

1 1, 2 , n 2 2 n 1 n, 1, 2,

xxp x   px   x n Chứng minh rằng 2 1

1

n

x p

 là số chính phương với mọi số nguyên dương n

Trang 6

Cách 1 Ta sẽ chứng minh theo hướng 1 của bài 1 Ta tính một vài giá trị

đầu tiên

1, 2 1 , 4 2 1 ,

x

 

Ta dự đoán được 2 1 2

1

n

n

x

y p

 , trong đó dãy số  y n được xác định như sau:

1 1, 2 2 1, , n 2 2 n 1 n, 1, 2,

yypy   py   y n

Ta sẽ chứng minh kết quả trên bằng phương pháp quy nạp

y   py   yp y   py y y

4p y n 2 y ny n 2p 2 y n 4p 2 y ny n 4p 4

          

2

Suy ra 2 4 2

2

1 1

n

n

x

y p

Cách 2 Ta sẽ chứng minh theo hướng 2 của bài 1 Trước hết ta có hệ

thức cơ bản sau:

Ta có

2

               

Từ đẳng thức này bằng phương pháp quy nạp ta được 2 1

1

n

x p

 là số chính phương với mọi số nguyên dương n

1

n

x p

 là số chính phương với mọi số nguyên dương n

xác định như sau: a1 a2  1,a n1  7a na n1 , n 2,3, Chứng minh rằng với mọi số nguyên dương n ta có a na n1  2 là một số chính phương

Lời giải

Trang 7

Cách 1 Tính một vài giá trị đầu tiên ta được: 2 2

1 2 2 2 , 2 3 2 3

aa   aa   ,

3 4 2 7 , 4 5 2 18

aa   aa   Từ đó ta dự đoán 2

1 2

aa   b , trong đó dãy số  b n được xác định như sau: b1  2,b2  3,b n1  3b nb n1 , n 2,3,

Ta sẽ chứng minh dự đoán này bằng phương pháp quy nạp

b b   b   bbb  b   b b b b

aa a aaa a

        

Theo công thức truy hồi của dãy  b n ta được:

b  bb  bb  b b  aa  a  a

Do đó 2

b a  a   hay bài toán được chứng minh

a  aaa a  a   Xét

a na n1  2 a n1 a n2  2 a n1a na n2a a n n2 a n21  2a na n2 4a n1  4

7a na n 5 a n 14a n 4a n 4 9a n 18a n 9 3a n 3

           

Từ đẳng thức này bằng phương pháp quy nạp ta suy ra a na n1  2 là số chính phương với mọi số nguyên dương n

Bài 5 Cho dãy số  a n :a0  0,a1  1,a n2  3a n1  a n 2,n 0 Chứng minh rằng: a a n n2 là số chính phương với mọi số tự nhiên n

Lời giải Ta sẽ tìm x sao cho dãy số  b n :a nb nx là dãy tuyến tính cấp hai Thay vào hệ thức truy hồi của dãy  a n ta được:

b  x b  x b  x  b  bx

Ta chọn x sao cho x 2x  2 x 2 suy ra a nb n 2

Như vậy bài toán đã cho sẽ tương đương với bài toán sau:

Cho dãy  b n :b1  2,b2  3,b n2  3b n1  b n Chứng minh rằng b n 2 b n2  2

là số chính phương với mọi số nguyên dương n

b b  b   b b b   và b n2 b n  3b n1

Do đó b n 2 b n2  2b b n2 n 2b n2 b n  4 b n21   5 6b n1   4 b n1  32 Vậy a a n n2 là số chính phương với mọi số nguyên dương n

Bài 6 Cho dãy số  a n :a0  1,a1  1,a n2  7a n1  a n 2,n 0 Chứng minh rằng mọi số hạng của dãy đều là số chính phương

Trang 8

Lời giải Ta sẽ tìm x sao cho dãy số  b n :a nb nx là dãy tuyến tính cấp hai

Thay vào hệ thức truy hồi của dãy  a n ta được:

b  x b  x b  x  b  bx

Ta chọn x sao cho 6 2 2

5

xx  x suy ra 2

5

n n

ab  Như vậy bài toán đã cho sẽ tương đương với bài toán sau:

Cho dãy   1 2 2 1

b bbb  b  b Chứng minh rằng 2

5

n

b  là số chính phương với mọi số nguyên dương n

5

n

b  :

b   b   b   b   …Khi đó ta dự đoán 2 2

5

b  c , trong đó  c n được xác định như sau: c1 c2  1,c n2  3c n1  c n n,  1, 2,

Ta chứng minh dự đoán này bằng phương pháp quy nạp:

c c  c   c   c cc   c c c  c

c  c  cc   c c  cc   c  c  c

Suy ra 2

2 5

c  b  Từ đó suy ra dự đoán là đúng hay bài toán được chứng minh

9 5

n n n

b b  b  và b n2 b n  7b n1 Khi đó

2 2

14 49 7

5 25 5

bb b 

     

 

Suy ra

2

     

   

     

      Từ đẳng thức này bằng phương pháp quy nạp suy ra 2

5

n

b  là số chính phương với mọi số nguyên dương n

Bài 7 Cho dãy số  a n xác định bởi:

Trang 9

2 1

2

4 15 60, 0,1, 2,

a

   

Chứng minh rằng số  2 

1

8 5

ba  có thể biểu diễn thành tổng của ba số nguyên duơng liên tiếp với mọi n  1

Lời giải Từ giả thiết suy ra dãy số  a n là dãy số dương

a   aa   a  aa

aa aa

     (1)

Từ (1) ta được: 2 2

a   a a  a    (2)

Từ (1) và (2) suy ra a a n, n2 là hai nghiệm của phương trình:

8 n n 60 0

xxa  a  

Do đó theo định lí Viet ta được: a na n2  8a n1  a n2  8a n1  a n Khi đó dãy số  a n được xác định như sau: a0  2,a1  8,a n2  8a n1  a n n,  0,1, 2,

Nhận xét Giả sử  2   2 2  2  2  2

2

15

n

a

k

Như vậy yêu cầu chứng minh của bài toán quy về chứng minh 2 2

15

n

a 

số chính phương với mọi số nguyên dương n

Cách 1 Ta tính một vài giá trị đầu tiên:

Khi đó ta dự đoán 2 2 2

15

n

n

a

b

 , trong đó dãy số  b n được xác định như sau:

0 0, 1 2, 2 16, 3 126,

bbbb  và thử xác định dãy  b n dưới dạng dãy số tuyến tính như sau: b n 2 xb n 1 yb n n,  0,1, 2,

Trang 10

Từ b0  0,b1  2,b2  16,b3  126 ta được 2 16 8

16 2 126 1

  

Ta sẽ chứng minh bằng phương pháp quy nạp 2 2 2

15

n

n

a

b

 , trong đó  b n là dãy số thỏa mãn b0  0,b1  2,b n2  8b n1  b n n,  0,1, 2,

b b   b   bbb  b   b b b b

4

15 15 15

b   bb  b

2n 2 8 2n 1 2n 8 8 2n 2n 1 2n 63 2n 2n 2n 2 62 2n 2n 2

a   a   aaa   aaaa   aa

Theo công thức truy hồi của dãy  b n và các đẳng thức trên ta được:

aa   a  

Do đó 2 2 2

1

2 15

n n

a

 hay bài toán được chứng minh

Cách 2

2n 2 2n 2n 1 60 2n 2 2n 2n 1 60

aaa    aaa  

2

2

2 1 8

15

n

a  

 

 

 

Từ đẳng thức này bằng phương pháp quy nạp ta được

15

n

a 

là số chính phương với mọi số nguyên dương n

1 20, 2 30, n 2 3 n 1 n, 1, 2,

uuu   u   u n

Tìm tất cả các số nguyên dương n sao cho 1 5  u u n n1 là một số chính phương

Lời giải Dễ thấy dãy  u n là dãy số tăng suy ra với

n  uuuuuu  (1)

Trang 11

+) n 1, 2 không thỏa mãn

+) n 3 thì 2

3 4

1 5  u u  251 suy ra n 3 thỏa mãn

+) n 4, theo tính chất cơ bản của dãy tuyến tính cấp hai ta có:

u u uu u u u

5u u nn 1 u nu n 501

    

Giả sử 1 5  u u n n1 là số chính phương, 2 *

1

1 5  u u n n a a,   Khi đó ta có:

1 501 1 1 501 1.501 3.167

u  u  aa u   u a u  u    Ta xét các trường hợp sau:

1 1

501 251

250 1

n n

n n

n n

u u

a u u

   

 

   

1 1

167 85

82 3

n n

n n

n n

u u

a u u

   

 

   

Do đó với n 4 thì 1 5  u u n n1 không phải là số chính phương

Vậy n 3 là số nguyên dương thỏa mãn yêu cầu bài toán

III BÀI TẬP TƯƠNG TỰ

1 Cho dãy số  a n :a0  1,a1  13,a n2  14a n1  a n n,  0 Chứng minh rằng a) 2

1 2 12 0, 0

n n n

a   a a     n

b) 48a  n2 12 là số chính phương với mọi số tự nhiên n

c) 2 1, 2 1

3

n n

a

a   là số chính phương với mọi số tự nhiên n

2 Cho dãy số  a n :a0  0,a1  11,a n2  10a n1  a n  10,n 0 Chứng minh rằng:

1

n

a  là số chính phương với mọi n chẵn

3 Cho dãy số  a n :a0  0,a1  1,a n2  2a n1  a n 1,n 0 Chứng minh rằng: 2

4a a n n  1 là một số chính phương

4 Cho dãy số  a n :a0  0,a1  1,a n2  3a n1  a n  2,n 0 Chứng minh rằng: 2

n n

a a  là số chính phương với mọi số tự nhiên n

5 Cho dãy số  a n :a0  0,a1  1,a n2  3a n1  2 ,a n n  0 Chứng minh rằng:

2 2n 2

n

 là bình phương của một số nguyên lẻ

Trang 12

6 Cho dãy số  a n :a0  1,a1  1,a n2  7a n1  a n 2,n 0 Chứng minh rằng mọi số hạng của dãy đều là số chính phương

7 (VMO1997) Cho dãy số  a n :a0  1,a1  45,a n2  45a n1  7 ,a n n  0 a) Tính số các ước nguyên dương của số 2

n n n

a  a a  theo n;

b) Chứng minh rằng 1997 2 4.7n 1

n

 là số chính phương với mọi số tự nhiên n

8 (Kiểm tra đội tuyển IMO 2013) Cho dãy số

 a n :a1  1,a2  11,a n2 a n1  5 ,a n n  1 Chứng minh rằng a n không là số chính phương với mọi n 3

9 Cho dãy số  a n :a0  0,a1  3,a n2  6a n1  a n 2,n 0 Chứng minh rằng

n n

aa  là số chính phương với mọi số tự nhiên n

10.Cho dãy số  a n :a0 a a, 1 b a, n2  3a n1  a n n,  0; ,a b  Chứng minh rằng tồn tại số nguyên k sao cho 5a n2 k là số chính phương với mọi số

tự nhiên n

11.Cho dãy số  a n :a0  1,a1  6,a n2  6a n1  a n n,  0 Chứng minh rằng:

a   a a  a  với mọi số tự nhiên n;

b) Với mọi số tự nhiên n, tồn tại số nguyên dương k sao cho 2  1

2

n

k k

a  

12.Cho dãy số  a n :a0  1,a1  2,a n2 a n1  a n n,  0 Tìm n để a  n 1 là số chính phương

13.Cho dãy số  a n :a1  1,a2  1,a n2 a n1  2 ,a n n  1 Chứng minh rằng

2012 2

2010

2  7a là một số chính phương

14.Cho dãy số  a n :a0  1,a1  2,a n2  4a n1  a n n,  0 Tìm n để a  n 1 là số chính phương

15.Cho dãy số  a n :a1  1,a2  2,a n2  4a n1  a n n,  1 Chứng minh rằng: a) 2 2

aa   a a    n

b) 2 1

3

n

a 

là một số chính phương

16.Cho dãy số  a n :a1  1,a2  2,a n2  4a n1 a n n,  1 Chứng minh rằng

2 1 5n

n n

a a    là số chính phương với mọi số nguyên dương n Chứng minh phương trình x2  4xy y 2  5 có vô số nghiệm nguyên dương

Trang 13

17.(TSTVN2012) Cho dãy số  a n :a1  1,a2  2011,a n2  4022a n1  a n n,  1 Chứng minh rằng 2012 1

2012

a

là một số chính phương

18.Cho dãy số  : 3 5 3 5 2, 1

n n

x x        n

   

Chứng minh rằng

2n 1

x  là số chính phương với mọi số tự nhiên n

TÀI LIỆU THAM KHẢO

1 Titu Andreescu and Zuming Feng, 102 Combinatorial Problems from the

Training of the USA IMO Team Bikhauser, 2002.

2 Titu Andreescu and Zuming Feng, A path to combinatorics for

undergraduates counting strategies Bikhauser, 2004.

3 Titu Andreescu, Razvan Gelca, Mathematical Olympiad Challenges.

Bikhauser, 2000

4 Titu Andreescu and Zuming Feng, Mathematical Olympiads 1998-1999

Problems and Solutions From Around the World Published and distributed by

The Mathematical Association of America, 2000

5 Titu Andreescu and Zuming Feng, Mathematical Olympiads 1999-2000

Problems and Solutions From Around the World Published and distributed by

The Mathematical Association of America, 2002

6 Arthur Engel, Problem - Solving Strategies Springer, 1998.

7 Loren C Larson, Problem - Solving Through Problems Springer, 1983.

8 Vũ Dương Thụy - Nguyễn Văn Nho, 40 năm Olympiad Toán Học Quốc Tế,

tập 1 và tập 2, NXB Giáo dục, 2001

9 Vũ Dương Thụy - Nguyễn Văn Nho, Tuyển tập các bài toán từ những cuộc

thi tại Mĩ và Canada, NXB Giáo dục, 2002.

10 Nguyễn Văn Nho, Tuyển tập các bài toán từ những cuộc thi tại Trung Quốc,

NXB Giáo dục, 2002

11 Nguyễn Sinh Nguyên - Nguyễn Văn Nho - Lê Hoành Phò, Tuyển tập các

bài toán dự tuyển IMO 1991-2001, NXB Giáo dục, 2003.

Ngày đăng: 24/09/2016, 14:03

Nguồn tham khảo

Tài liệu tham khảo Loại Chi tiết
1. Titu Andreescu and Zuming Feng, 102 Combinatorial Problems from the Training of the USA IMO Team. Bikhauser, 2002 Sách, tạp chí
Tiêu đề: 102 Combinatorial Problems from theTraining of the USA IMO Team
2. Titu Andreescu and Zuming Feng, A path to combinatorics for undergraduates counting strategies. Bikhauser, 2004 Sách, tạp chí
Tiêu đề: A path to combinatorics forundergraduates counting strategies
3. Titu Andreescu, Razvan Gelca, Mathematical Olympiad Challenges.Bikhauser, 2000 Sách, tạp chí
Tiêu đề: Mathematical Olympiad Challenges
4. Titu Andreescu and Zuming Feng, Mathematical Olympiads 1998-1999 Problems and Solutions From Around the World. Published and distributed by The Mathematical Association of America, 2000 Sách, tạp chí
Tiêu đề: Mathematical Olympiads 1998-1999Problems and Solutions From Around the World
5. Titu Andreescu and Zuming Feng, Mathematical Olympiads 1999-2000 Problems and Solutions From Around the World. Published and distributed by The Mathematical Association of America, 2002 Sách, tạp chí
Tiêu đề: Mathematical Olympiads 1999-2000Problems and Solutions From Around the World
6. Arthur Engel, Problem - Solving Strategies. Springer, 1998 Sách, tạp chí
Tiêu đề: Problem - Solving Strategies
7. Loren C. Larson, Problem - Solving Through Problems. Springer, 1983 Sách, tạp chí
Tiêu đề: Problem - Solving Through Problems
8. Vũ Dương Thụy - Nguyễn Văn Nho, 40 năm Olympiad Toán Học Quốc Tế, tập 1 và tập 2, NXB Giáo dục, 2001 Sách, tạp chí
Tiêu đề: 40 năm Olympiad Toán Học Quốc Tế
Nhà XB: NXB Giáo dục
9. Vũ Dương Thụy - Nguyễn Văn Nho, Tuyển tập các bài toán từ những cuộc thi tại Mĩ và Canada, NXB Giáo dục, 2002 Sách, tạp chí
Tiêu đề: Tuyển tập các bài toán từ những cuộcthi tại Mĩ và Canada
Nhà XB: NXB Giáo dục
10. Nguyễn Văn Nho, Tuyển tập các bài toán từ những cuộc thi tại Trung Quốc, NXB Giáo dục, 2002 Sách, tạp chí
Tiêu đề: Tuyển tập các bài toán từ những cuộc thi tại Trung Quốc
Nhà XB: NXB Giáo dục
11. Nguyễn Sinh Nguyên - Nguyễn Văn Nho - Lê Hoành Phò, Tuyển tập các bài toán dự tuyển IMO 1991-2001, NXB Giáo dục, 2003 Sách, tạp chí
Tiêu đề: Tuyển tập cácbài toán dự tuyển IMO 1991-2001
Nhà XB: NXB Giáo dục
12. Các bài toán thi Olympiad toán trung học phổ thông 1990-2006, NXB Giáo dục, 2007 Sách, tạp chí
Tiêu đề: Các bài toán thi Olympiad toán trung học phổ thông 1990-2006
Nhà XB: NXB Giáodục
13. Nguyễn Quý Dy - Nguyễn Văn Nho - Vũ Văn Thỏa, tuyển tập 200 bài thi vô địch toán, tập 3: Giải tích, NXB Giáo dục, 2001 Sách, tạp chí
Tiêu đề: tuyển tập 200 bài thivô địch toán
Nhà XB: NXB Giáo dục
15. Nguyễn Văn Nho, Tuyển tập các bài toán từ những cuộc thi tại một số nước Đông Âu, NXB Giáo dục Sách, tạp chí
Tiêu đề: Tuyển tập các bài toán từ những cuộc thi tại một số nướcĐông Âu
Nhà XB: NXB Giáo dục
16. Các trang Website về toán: www.mathlinks.ro , www.diendantoanhoc.net , www.mathscope.org Khác

TỪ KHÓA LIÊN QUAN

TÀI LIỆU CÙNG NGƯỜI DÙNG

TÀI LIỆU LIÊN QUAN

w