Các bài toán liên quan đến sự tương giao của hai đồ thị

Từ đây suy ra, để giải một bài toán về tính chất giao điểm của hai đồ thị C1 và C2, ta có thể tiến hành theo các bước sau: • Lập phương trình hoành độ giao điểm của hai đồ thị C1 và C2 t

Cho hàm số y = f (x) có đồ thị là (C1) và hàm số y = g(x) có đồ thị là (C2) Khi đó, nếu

M (x, y) là giao điểm của (C1) và (C2) thì tọa độ của M là nghiệm của hệ phương trình:

sẽ tồn tại những đặc điểm tương ứng với các đặc tính đó Từ đây suy ra, để giải một bài toán

về tính chất giao điểm của hai đồ thị (C1) và (C2), ta có thể tiến hành theo các bước sau:

• Lập phương trình hoành độ giao điểm của hai đồ thị (C1) và (C2) (tức phương trình (∗))

• Biến đổi phương trình này về dạng đơn giản hơn (thường thì, sau khi biến đổi ta sẽ thuđược phương trình bậc hai, bậc ba hoặc phương trình trùng phương, )

• Dựa vào điều kiện giải tích của bài toán ban đầu, ta đưa về điều kiện đại số cho phươngtrình vừa biến đổi

Các kiến thức quan trọng cần nhớ khi giải toán:

entoan.vn

 Phương trình có hai nghiệm trái dấu khi và chỉ khi P < 0

 Phương trình có hai nghiệm dương phân biệt khi và chỉ khi

◦ Đối với phương trình trùng phương ax4 + bx2 + c = 0 (a 6= 0), ta có thể quy vềphương trình bậc hai để giải (và biện luận)

• Các công thức cần nhớ :

◦ Độ dài đoạn thẳng nối hai điểm: Với 2 điểm A(x1, y1) và B(x2, y2) tùy ý, ta có

AB =p(x2− x1)2+ (y2− y1)2

◦ Khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng cho trước: Khoảng cách

từ điểm M (x0, y0) đến đường thẳng ∆ : Ax + By + C = 0 được tính theo công thức

Trong đó:

 a, b, c là độ dài ba cạnh của tam giác và p = a+b+c

2 là nửa chu vi;

 ha, hb, hc là độ dài của đường cao tương ứng với các cạnh a, b, c;

 R, r lần lượt là bán kính của các đường tròn ngoại tiếp và nội tiếp tam giác

◦ Phương trình đường thẳng ∆ đi qua A(a, b) và có hệ số góc k cho trước có dạng

Vậy (C) cắt d tại ba điểm A, B, C có tọa độ lần lượt là A(0, 2), B(1, 0) và C(2, −2).

Ví dụ 2 Xác định tất cả các giá trị của m để đường thẳng d : y = x+m cắt đồ thị (H) : y = x+1x−1tại hai điểm phân biệt

Phân tích Bài toán này là một kiểu bài toán ngược với ví dụ 1 vì lúc này ta cần xác địnhcác giá trị của m để d cắt (H) tại hai điểm phân biệt Vậy ta sẽ đi lập phương trình hoành độgiao điểm và biến đổi phương trình này, sau đó ta chuyển bài toán từ điều kiện giải tích là “cóhai giao điểm” về điều kiện đại số là “có hai nghiệm phân biệt” Cụ thể, ở đây ta sẽ biến đổi vềphương trình bậc hai và điều kiện để phương trình này có 2 nghiệm phân biệt thì quá cơ bản!

Lời giải Phương trình hoành độ giao điểm của (H) và d:

Phân tích Yêu cầu bài toán là d cắt (Cm) tại ba điểm phân biệt nên rõ ràng ta cần phảitìm điều kiện sao cho phương trình hoành độ giao điểm của hai đồ thị này có ba nghiệm phânbiệt Ở đây ta có chú ý là hệ số tự do 3 xuất hiện ở trong cả hai phương trình hàm số, điều đócho phép ta khử hết hệ số và việc bắt được nhân tử chung x = 0 là hiển nhiên Vậy lúc này

ta chỉ cần tìm điều kiện để có thêm hai giao điểm nữa là Để ý rằng phương trình thu được làphương trình bậc ba nên sau khi rút nhân tử chung nên ta sẽ chỉ còn một phương trình bậchai và bài toán bây giờ chỉ là tìm điều kiện để phương trình bậc hai này có hai nghiệm phânbiệt khác 0 Một công việc khá đơn giản!

Lời giải Phương trình hoành độ giao điểm của d và (Cm):

Vậy, tập hợp các giá trị m thỏa mãn yêu cầu đề bài là T = (−∞, −1) ∪ −59, +∞

Ví dụ 4 Cho hàm số y = x−2x−3 có đồ thị (H) và một điểm A(0, m) (m là tham số) Tìm m đểđường thẳng d đi qua A có hệ số góc bằng 2 cắt (H) tại hai điểm phân biệt có hoành độ dương

Phân tích Ở bài toán này có một điều đáng lưu ý đó chính là phương trình đường thẳng

d chưa biết nên trước tiên ta cần xác định phương trình đường thẳng d Sau đó ta thiết lậpphương trình hoành độ giao điểm rồi đưa điều kiện giải tích về điều kiện đại số Cụ thể là ta

sẽ đưa điều kiện “có hai giao điểm phân biệt có hoành độ dương” về điều kiện “phương trình

có hai nghiệm phân biệt dương.”

Lời giải Do d là đường thẳng đi qua A(0, m) và có hệ số góc bằng 2 nên d có phương trình

⇔ m < 2

3.

Vậy, điều kiện để yêu cầu bài toán được thỏa mãn là m < 23

Ví dụ 5 Tìm tập hợp tất cả các giá trị của m để đồ thị (Cm) : y = mx3− x2 − 2x + 8m cắttrục hoành tại ba điểm phân biệt có hoành độ âm

Phân tích Như đã biết, trục hoành có phương trình y = 0 Vậy điều kiện bài toán tươngứng với tìm m để phương trình mx3− x2− 2x + 8m = 0 có ba nghiệm âm phân biệt Nhưngđiều đáng lưu ý là lúc này ta không bắt được nhân tử chung dễ dàng như các ví dụ trước màchúng ta cần khéo léo một chút Việc gặp phương trình bậc ba có chứa tham số thì tham vọng

Quả thật, đúng như dự đoán, x = −2 thực sự là nghiệm của phương trình Do đó, bằng cách sửdụng phép chia đa thức hoặc sơ đồ Horner, ta sẽ được (x + 2) · h(x, m) = 0, trong đó h(x, m)

là một tam thức bậc hai Đặc biệt, do x = −2 là một nghiệm âm nên rõ ràng bài toán sẽ hoàntoàn được giải quyết khi phương trình h(x, m) = 0 có thêm 2 nghiệm âm phân biệt khác −2

Lời giải Phương trình hoành độ giao điểm của (Cm) và trục hoành:

Để (Cm) cắt trục hoành tại ba điểm phân biệt có hoành độ âm thì phương trình f (x) = 0 phải

có hai nghiệm phân biệt có hoành độ âm khác −2 Điều đó tương thích với điều kiện:

m < 0

4 > 04m + 2(2m + 1) + 4m 6= 0

Vậy tập hợp các giá trị m thỏa mãn yêu cầu đề bài là T = 0, 12

Ví dụ 6 Tìm m để đường thẳng d : y = mx + 1 cắt đồ thị (H) : y = x+1x−1 tại hai điểm thuộchai nhánh của đồ thị (H)

Phân tích Bài toán buộc các giao điểm của hai đồ thị phải thuộc hai nhánh của đồ thị (H)nên ta tự hỏi có gì đặc biệt lúc này? Câu trả lời nằm ở chỗ dáng điệu của đồ thị (H) Thậtvậy, nếu đường thẳng d cắt (H) tại hai điểm phân biệt A có xA = a và B có xB = b bất kỳthuộc hai nhánh của đồ thị thì ta có một điều đặc biệt đó là a < 1 < b Số 1 này ở đâu ra? Đóchính là hoành độ của tiệm cận đứng

Và như vậy, ta chỉ cần tìm điều kiện tương thích sao cho phương trình hoành độ giao điểm cóhai nghiệm phân biệt x1, x2 thỏa mãn x1 < 1 < x2 là được

Nhưng đến đây một vấn đề đặt ra là làm sao tìm điều kiện để phương trình bậc hai mà phươngtrình hoành độ giao điểm cho có nghiệm thỏa điều kiện x1 < 1 < x2? Thật ra, để giải quyếtđiều này cũng khá đơn giản, các bạn hãy để ý rằng điều kiện trên có thể được viết dưới dạng

x1− 1 < 0 < x2− 1

entoan.vn

Do vậy, ta có thể xử lý nó bằng một trong hai cách sau:

• Cách 1 Đặt ẩn mới t = x − 1 và chuyển bài toán về dạng tìm điều kiện để phương trìnhbậc hai có hai nghiệm t1 < 0 < t2, một dạng toán cơ bản

• Cách 2 Ta có thể viết điều kiện trên dưới dạng tương đương (x1 − 1)(x2− 1) < 0, rồisau đó sử dụng định lý Viette suy ra để điều kiện thích hợp cho tham số

Lời giải Phương trình hoành độ giao điểm của (d) và (H):

Bây giờ, ta sẽ khai thác ý thứ hai của bài toán, đó là độ dài BC = 4 Ở đây ta sử dụng kiếnthức đã nhắc ở phần 1 Cùng với định lý Viette, kết hợp lại, ta sẽ tìm được m Kiểm tra giátrị m này với điều kiện thu được từ ý thứ nhất, ta sẽ có kết luận cho bài toán.

Lời giải Phương trình hoành độ giao điểm của d và (Cm):

có x1, x2 là hai nghiệm của phương trình f (x) = 0 Đồng thời, do B, C thuộc d nên

y1 = x1+ m + 2, y2 = x2+ m + 2

Từ đây, ta tính được

BC2 = (x2− x1)2+ (y2− y1)2 = 2(x2− x1)2 = 2(x1+ x2)2− 8x1x2.Mặt khác, theo định lý Viette thì

Vậy, có duy nhất một giá trị m thỏa mãn yêu cầu đề bài là m = −1

Ví dụ 8 Tìm m để đường thẳng d : y = 2x + 3m cắt đồ thị hàm số (H) : y = x+2x−2 tại haiđiểm phân biệt sao cho khoảng cách giữa hai điểm đó là ngắn nhất

Phân tích Bài toán này lại hướng điều kiện của giao điểm của hai đồ thị về khoảng cáchnhỏ nhất Để giải nó, ta tiến hành theo hai bước Trước hết, chúng ta sẽ tìm điều kiện của m

để hai đồ thị cắt nhau tại hai điểm A, B phân biệt Sau bước này, ta sẽ tìm được một miềngiá trị cụ thể cho m, tạm gọi là miền (F)

Tiếp theo, bằng cách gọi tọa độ của A, B, sử dụng công thức khoảng cách kết hợp với định

lý Viette, ta sẽ biểu diễn được AB dưới dạng một biểu thức theo m Bài toán được giải quyếtxong khi ta khảo sát tìm cực trị của biểu thức này trên miền (F)

Để d cắt (H) tại hai điểm phân biệt thì phương trình f (x) = 0 có hai nghiệm phân biệt khác

2 Điều đó tương thích với điều kiện:

(

∆ > 0

f (2) 6= 0 ⇔

((3m − 5)2+ 8(6m + 2) > 0

8 + 2(3m − 5) − (6m + 2) = 0 ⇔

(9(m + 1)2+ 32 > 0

− 4 6= 0

Vì hệ này được thỏa mãn với mọi giá trị của m nên d và (H) luôn cắt nhau tại hai điểm phânbiệt A, B Lúc này, giả sử A, B có tọa độ lần lượt là A(x1, y1) và B(x2, y2) thì ta có x1, x2 làhai nghiệm của phương trình f (x) = 0 Đồng thời, do A, B thuộc d nên

(a) Ba điểm phân biệt

(b) Một điểm duy nhất

Phân tích Đây là dạng toán về sự tương giao giữa đồ thị (Cm) và trục hoành với đòi hỏiquen thuộc Nhưng cái không quen thuộc khác biệt với các ví dụ cùng dạng mà ta đã từng đềcập đó chính là ở phương trình hoành độ giao điểm, ta không dự đoán được nghiệm để phântích nhân tử và làm đơn giản hóa vấn đề Vậy chúng ta sẽ giải quyết nó như thế nào?

Ở đây, hãy để ý rằng hàm số được cho là hàm bậc ba Vậy những hiểu biết về dáng điệu đồthị hàm bậc ba liệu có giúp ích gì cho ta chăng? Câu trả lời là có đó các bạn ạ!

• (C) cắt trục hoành tại ba điểm phân biệt khi và chỉ khi y(x1) · y(x2) < 0.

• (C) cắt trục hoành tại một điểm duy nhất khi và chỉ khi y(x1) · y(x2) > 0.”

Và như thế, bài toán có thể được giải quyết hoàn toàn bằng cách sử dụng kết quả này

Ngoài ra, chúng ta cũng có thể giải quyết bài toán theo cách khác là viết lại phương trìnhhoành độ giao điểm dưới dạng

f (x) = g(m)

Sau đó, ta tiến hành khảo sát hàm số y = f (x), lập bảng biến thiên của nó rồi từ đó suy rakết luận cho bài toán (cơ sở của cách này chính là biện luận số nghiệm bằng đồ thị)

Lời giải Ta có hai cách giải cho bài toán này như sau:

Cách 1 Phương trình hoành độ giao điểm của (C) và trục hoành:

& −∞

Từ đây, ta thấy:

(a) (C) cắt trục hoành tại ba điểm phân biệt khi và chỉ khi phương trình (1) có ba nghiệmphân biệt Điều này tương thích với điều kiện là đường thẳng (d) : y = m (chạy vuônggóc Oy) cắt đồ thị hàm số y = −x33 + x tại ba điểm phân biệt Từ bảng biến thiên, ta có

T = −23, 23
là tập hợp các giá trị thỏa mãn yêu cầu

(b) (C) cắt trục hoành tại một điểm duy nhất khi chỉ khi phương trình (1) có nghiệmduy nhất Điều này tương thích với điều kiện là đường thẳng (d) : y = m cắt đồ thịhàm số y = −x33 + x tại một điểm duy nhất Và kết quả từ bảng biến thiên cho thấy

T = −∞, −23
∪ 2

3, +∞
là tập hợp các giá trị thỏa mãn yêu cầu

Rõ ràng hàm số đạt cực trị lần lượt tại x = 1 và x = −1 Từ đây, ta thấy:

(a) (C) cắt trục hoành tại ba điểm phân biệt khi và chỉ khi

y(−1)y(1) < 0 ⇔



m − 23

 

m +23

Vậy tập hợp các giá trị m thỏa mãn ý (a) là T = −23, 23

(b) (C) cắt trục hoành tại một điểm duy nhất khi và chỉ khi

y(−1)y(1) > 0 ⇔



m − 23

 

m +23

Như thế, tập hợp các giá trị m thỏa mãn ý này là T = −∞, −23
∪ 2

3, +∞

Ví dụ 10 Cho hàm số y = x+3x−1 có đồ thị (H) Gọi A(x1, y1) và B(x2, y2) là hai điểm nằmtrên (H) sao cho 2x1− y1− 3 = 2x2− y2− 3 = −m Tìm m để hai điểm A, B đối xứng vớiqua đường thẳng ∆ : x + 2y − 6 = 0

Phân tích Đọc đề bài toán ta thấy sự tương giao giữa hai đồ thị hình như không hiện trên

đề Nhưng nếu để ý kỹ chúng ta sẽ thấy có một điều lạ mắt xuất hiện ở đề toán Đó chính là:

2x1− y1− 3 = 2x2− y2− 3 = −m ⇔

(2x1− y1− 3 = −m2x2− y2− 3 = −m ⇔

Tiếp theo, để A, B đối xứng qua ∆ thì ta cần có AB ⊥ ∆ và trung điểm I của AB phải thuộc

∆ Nhưng để ý một chút, ta thấy d ⊥ ∆ nên ở đây chỉ cần có thêm điều kiện I ∈ ∆ nữa là bàitoán được giải quyết

Lời giải Ta có

2x1− y1− 3 = 2x2− y2− 3 = −m ⇔

(2x1− y1− 3 = −m2x2− y2− 3 = −m ⇔

Từ đây, ta thấy d và (H) cắt nhau tại hai điểm phân biệt khi và chỉ khi phương trình f (x) = 0

có hai nghiệm phân biệt khác 1 Điều này tương thích với điều kiện:

(

∆ > 0

f (1) 6= 0 ⇔

((m − 6)2+ 8m > 0

2 + m − 6 − m 6= 0 ⇔

((m − 2)2+ 34 > 0

Phân tích Đầu tiên, hãy lưu ý đến yêu cầu bài toán là hoành độ của 4 giao điểm phải thỏađiều kiện nhỏ hơn 2 Bây giờ, ta hãy để ý tới phương trình hoành độ giao điểm của hai đồ thị

mà bài toán cho Quan sát các hệ số 1, −3m − 2, 3m + 1 một chút, ta dễ thấy tổng của chúngbằng 0 và như thế, ta có thể dễ dàng suy ra nghiệm của phương trình Việc này sẽ giúp chúng

ta hạn chế được khá nhiều tính toán (do không phải tính biệt thức)

Lời giải Phương trình hoành độ giao điểm của (Cm) và đường thẳng d:

entoan.vn

Ví dụ 12 Cho hàm số y = x3− 3x2− 9x + m có đồ thị (Cm) (m là tham số) Tìm m để (Cm)cắt trục hoành tại ba điểm phân biệt có hoành độ lập thành một cấp số cộng

Phân tích Đây là bài toán về giao điểm có liên quan đến cấp số cộng nên trước hết ta cầnnhớ lại một số kiến thức về cấp số cộng Ta có ba số a, b, c cho trước theo thứ tự đó lập thànhmột cấp số cộng khi và chỉ khi a + c = 2b Do đó, để các nghiệm x1, x2, x3 của phương trìnhhoành độ giao điểm theo thứ tự đó lập thành cấp số cộng thì ta cần có

x1+ x3 = 2x2

Đến đây, hãy lưu ý thêm tính chất sau: Nếu phương trình ax3+ bx2+ cx + d = 0 (a 6= 0) có

ba nghiệm phân biệt x1, x2, x3 thì ta phân tích được

ax3+ bx2+ cx + d = a(x − x1)(x − x2)(x − x3)

= ax3− a(x1+ x2+ x3)x2+ a(x1x2+ x2x3+ x2x3)x − ax1x2x3

Sự phân tích này kết hợp với tính chất ở trên sẽ giúp chúng ta tìm được giá trị đích thực củamột trong ba nghiệm của phương trình hoành độ giao điểm, rồi từ đó suy ra lời giải cho bàitoán Lưu ý rằng các lập luận ở đây mới chỉ là “điều kiện cần” nên sau khi ra được m, các bạncần thử lại kết quả xem có thỏa hay không Nếu thỏa thì ta mới được phép kết luận đáp số

Lời giải Phương trình hoành độ giao điểm của (Cm) và trục hoành:

x3− 3x2− 9x + m = 0 (1)(a) Điều kiện cần Giả sử (1) có ba nghiệm phân biệt x1, x2, x3, khi đó ta phân tích được

x3− 3x2− 9x + m = (x − x1)(x − x2)(x − x3)

= x3− (x1+ x2+ x3)x2+ (x1x2 + x2x3+ x1x3)x − x1x2x3 (2)Đồng nhất hệ số của x2 ở hai vế phương trình (2), ta được

x1+ x2+ x3 = 3 (3)

Mặt khác, do x1, x2, x3 theo thứ tự đó lập thành một cấp số cộng nên ta có

x1+ x3 = 2x2 (4)

Từ (3) và (4), ta suy ra x2 = 1 Thay x2 = 1 vào phương trình (1), ta được m = 11

(b) Điều kiện đủ Với m = 11, ta có phương trình (1) trở thành

Dễ thấy 3 nghiệm vừa tìm được lập thành một cấp số cộng Vậy m = 11 là giá trị cần tìm

Chú ý Bài toán này còn có thể được phát biểu dưới dạng khác như sau: “Tìm m để đồ thịhàm số y = f (x) chắn trên trục hoành hai đoạn bằng nhau.”

Ví dụ 13 Tìm m để đồ thị (Cm) của hàm số y = x4− 2(m + 1)x2+ 2m + 1 (m là tham số)cắt trục hoành tại bốn điểm phân biệt có hoành độ lập thành một cấp số cộng

entoan.vn

Phân tích Yêu cầu của bài toán này cũng giống như ở ví dụ trên nhưng hàm số ta đang xét

là hàm trùng phương nên ở đây ta sẽ đưa về phương trình bậc hai để giải Chú ý rằng khi biếnđổi phương trình như vậy thì việc có bốn giao điểm mà đề bài yêu cầu sẽ ứng với việc phươngtrình bậc hai có hai nghiệm dương phân biệt

Lời giải Phương trình hoành độ giao điểm của (Cm) và trục hoành:

x4− 2(m + 1)x2+ 2m + 1 = 0 (1)Cách 1 Đặt t = x2, t > 0 Khi đó, phương trình (1) trở thành

Cách 2 Cách giải này xuất phát từ sự tinh ý trong giải toán, ta quan sát và nhận thấy các

hệ số của phương trình thỏa mãn a + b + c = 0 Do đó,

2 < m 6= 0.

Lúc này, ta tìm được hoành độ của bốn giao điểm lần lượt là −√

2m + 1, √

2m + 1, −1, 1.Quan sát một chút, ta thấy có hai trường hợp:

Vậy có hai giá trị thỏa mãn yêu cầu đề bài là m = 4 và m = −49

Chú ý Qua bài toán này, chúng ta có một số lưu ý quan trọng sau đây:

• Bài toàn này còn có thể được phát biểu dưới dạng khác là: “Tìm m để đồ thị hàm số

y = f (x) chắn trên trục hoành ba đoạn thẳng bằng nhau.”

• Điều kiện t2 = 9t1 trong cách 1 là hết sức quan trọng

• Cách 1 có thể sử dụng để giải cho mọi bài toán cùng dạng, cách 2 được ứng dụng chotrường hợp bài toán có dạng phương trình “đẹp” như trên

Ví dụ 14 Tìm m, n để đường thẳng d : y = mx + 3n − 9 cắt đồ thị (H) của hàm số y = 3x+1x−1tại hai điểm phân biệt A, B đối xứng qua gốc tọa độ O

Phân tích Điều kiện của hai giao điểm là phải đối xứng qua O nên rõ ràng đường thẳng điqua chúng, tức d, phải đi qua O Từ đây ta tìm được n Mặt khác vì hai giao điểm đối xứngqua O nên tổng hoành độ của hai điểm phải bằng 0 Với chú ý này, ta sẽ tìm m và bài toánđược giải quyết

Lời giải Do A, B đối xứng qua O nên đường thẳng d phải đi qua O, tức 3n − 9 = 0 Lúcnày, ta viết được phương trình đường thẳng d dưới dạng