Hướng dẫn học sinh giải một số bài tập về dãy số, giới hạn của dãy số và một số bài toán của số liên quan đến dãy số

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠOCHUYÊN ĐỀ HỘI THẢO TRẠI HÈ HÙNG VƯƠNG CÁC TRƯỜNG THPT CHUYÊN MÔN TOÁN THPT Tên đề tài: Hướng dẫn học sinh giải một số bài tập về dãy số, giới hạn của dãy số và một

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

CHUYÊN ĐỀ HỘI THẢO TRẠI HÈ HÙNG VƯƠNG CÁC

TRƯỜNG THPT CHUYÊN MÔN TOÁN THPT Tên đề tài: Hướng dẫn học sinh giải một số bài tập về dãy số, giới hạn của dãy số và một số bài toán của số liên quan đến dãy số

Người thực hiện: Bùi Thị Lan Anh Bùi Thị Thúy Hà

Phạm Thị Lan

Trường: THPT VÙNG CAO VIỆT BẮC

NĂM HỌC: ………

LỜI NÓI ĐẦU

Dãy số là phần kiến thức không thể thiếu trong chương trình dạy toán cho các trườngchuyên Các bài tập phần dãy số, giới hạn của dãy số, bài tập về số liên quan đến dãy sốcũng là những bài tập thường gặp trong các kì thi HSG cấp tỉnh, trại hè Hùng Vương,Olimpic 30-4, quốc gia, quốc tế, Olimpic Toán khu vực

Dãy số được trình bày trong chương trình toán bậc phổ thông như là là cầu nối giữa đại

số và giải tích Lần đầu tiên học sinh làm quen với khái niệm dãy số, giới hạn, tính liên tục

mà được sử dụng nhiều về sau này Tuy nhiên, do hạn chế về thời gian nên thời lượng dànhcho việc dạy và học dãy số và giới hạn của dãy số trong chương trình toán PT không đượcnhiều, bởi vậy học sinh chỉ học một số khái niệm ban đầu và làm quen với một số bài tậphết sức đơn giản Vì vậy mà các bài tập về dãy số và số là các bài toán tương đối khó vớicác em học sinh và ngay cả với các thầy cô giáo ít quan tâm với những bài tập này

Trong sách giáo khoa của lớp 11 có rất ít các bài tập về dãy số và giới hạn và hiện naykhông có nhiều tài liệu tham khảo về phần này Điều đó gây không ít khó khăn cho việc dạy

và học đối giáo viên và học sinh trong quá trình ôn luyện các đội tuyển HSG các cấp

Trong sáng kiến kinh nghiệm này mục đích của chúng tôi tổng hợp và đưa ra một số dạngbài toán về dãy số, giới hạn và các bài toán của số liên quan đến dãy số nhằm phục vụ choquá trình ôn luyện nhóm chuyên, ôn luyện đội tuyển HSG các cấp của tổ bộ môn Toán Vìvậy, việc trang bị những kiến thức cơ bản về số và dãy số cho học sinh trong các đội tuyểnHSG là hết sức cần thiết, việc bồi dưỡng cho học sinh một phương pháp giải có hiệu quả làmột việc rất bổ ích

Trên quan điểm hoạt động, chúng tôi muốn nghiên cứu cách hướng dẫn học sinh giảimột số bài tập về dãy số, giới hạn của dãy số và một số bài toán của số liên quan đến dãy số

Đối tượng nghiên cứu là học sinh các lớp chuyên toán, học sinh ôn thi HSG các cấp

về môn Toán của Trường PT Vùng cao Việt Bắc

I MỘT SỐ BÀI TOÁN ÁP DỤNG

Dạng 1: Xác định công thức tổng quát của dãy số :

Bài 1 : Cho ( ) xác định bởi:

B1: Dự đoán công thức của

B2: Chứng minh công thức đúng với n = 1 (n = n0)

B3: Giả sử công thức đúng với n = k ta chứng minh công thức đúng với n = k+1

Dự đoán: (2)

Ta chứng minh bằng quy nạp:

+) Kiểm tra (2) với n = 1 đúng

+) Giả sử (2) đúng với n = k tức ta phải cm (2) đúng với n = k+ 1

a) Suy ra theo quy nạp

Bài 19 : Cho trước số dương a, xét dãy số :

+ Nếu bị chặn trên thì có giới hạn hữu hạn L Khi đó

Vậy không bị chặn trên nên

+ Xét :

Dạng 3:Một số bài toánliên hệ giữa dãy số và phần nguyên :

Bài 1 : Dãy số được xác định như sau :

CMR :

Giải :

(1)Chú ý:

Thay (7) vào (2) ta có :

<(1996-n)+1 (8)

1996-n <(1996-n)+1 (Đpcm)

Bài 2: Cho dãy số

:

Cho dãy số nguyên dương xác định như sau:

chia hết cho 2 và thương là số chính phương

Giải:

Ta có: Rõ ràng kết luận đúng khi n = 0; n = 1 Xét với

theo cách xây dưng dãy, ta có:

Bình phương hai vế đẳng thức trên ta có:

Trong (1) lần lượt thay n = 2,3,… k ta có:

Bài 5 : (Đề thi HSG lớp 10 năm 2006- 2007 Tỉnh Thái Nguyên)

Hãy xác định các số hạng của dãy số là số chính phương

Vậy trong dãy chỉ có 2 số chính phương là

Bài 6 : (Đề thi HSG lớp 11 năm 2007- 2008 Tỉnh Thái Nguyên)

CMR : vừa là cấp số cộng, vừa là cấp số nhân

Hướng dẫn : CM bằng phương pháp quy nạp chứng tỏ suy ra đpcm

Bài 7 :

Gọi là một nghiệm của pt : được xác định :

Tìm số dư của khi chia cho 2010?

thay vào (1) có hệ pt sau:

Vậy dãy xác định bởi công thức tổng quát sau:

Vì p là số nguyên tố nên theo ĐL nhỏ Fecma có:

Vậy suy ra (Đpcm).

BÀI TẬP RÈN LUYỆN :

Tìm tất cả các giá trị của n để là số chính phương

Bài 2 : Lập dãy số nguyên (n = 1,2,3, ) như sau : số bằng tổng các lũy thừa bậc 10 của tất cả các chữ số của với n = 1,2, 3, Chứng minh rằng trong dãy số đó tồn tại hai số hạng bằng nhau

Bài 3 : Hãy xác định tất cả các dãy số nguyên dương (n = 1,2,3 ) thỏa mãn :

Bài 4: Cho , CMR: có nghiệm duy nhất kí hiêu là Tìm ?

Bài 5: Cho (un) : Chứng minh rằng

Bài 6: Cho 2 số tự nhiên k, n , k≤n Chứng minh rằng:

Bài 7: Cho

(Đề thi HSG Olimpic 30- 4 năm 2009- 2010)

Bài 8 : Tìm giới hạn của dãy số có số hạng tổng quát

(Đề thi HSG khối 11- Thái Nguyên 2010-2011)

Bài 9 : Cho

(Đề thi HSG khối 11- Thái Nguyên 2008-2009)

Bài 10: Cho

KẾT LUẬN

Chuyên đề chúng tôi đã vận dụng vào việc ôn luyện đội tuyển HSG cấp tỉnh, thi trại

hè Hùng Vương , phần lớn các em đều nắm vững các kiến thức cơ bản, vận dụng được vàocác bài tậpnày

Chúng tôi tổng hợp một số bài tập mục đích để dạycho học sinh nhóm chuyên, ônluyện HSG, chuyên đề này là một tài liệu tham khảo hữu ích cho giáo viên và học sinh ônthi HSG các cấp bộ môn Toán của trường PT Vùng cao Việt Bắc Bài viết này không tránhnhững thiếu sót rất mong sự góp ý của thầy cô và các em học sinh

MỤC LỤC

Lời nói đầu

Nội dung

I KIẾN THỨC CƠ BẢN VỀ SỐ VÀ DÃY SỐ:……… 3

1.1.Dãy số………3

1.2 Lý thuyết đồng dư:……… 3

II MỘT SỐ BÀI TOÁN ÁP DỤNG……… 5

Dạng 1: Xác định công thức tổng quát của dãy số :……… 5

Dạng 2 : Tìm giới hạn của dãy số………11

Dạng 3: Một số bài toán liên hệ giữa dãy số và phần nguyên ………19

Dạng 4: Một số bài toán liên hệ giữa dãy số và đồng dư ………24

Bài tập rèn luyện ….29

Kết luận ….30

Tài liệu tham khảo………33

TÀI LIỆU THAM KHẢO

[1] Phan Huy Khải 10.000 Bài toán sơ cấp dãy số và giới hạn.

[2] Hà Huy Khoái Chuyên đề bồi dưỡng học sinh giỏi toán THPT Số học.

[3] Tuyển tập đề thi olimpic 30 tháng 4.

[4] Diễn dàn toán học.

[5] Olimpic toán học Châu Á Thái Bình Dương.

[6] Sách giáo khoa đại số và giải tích 11- Nâng cao.

[7] Đề thi học sinh giỏi cấp tỉnh khối 10, 11, 12 tỉnh Thái Nguyên các năm.