phương pháp giải một số bài toán cực trị trong hình học giải tích

Sách giáo khoa... Trong bài toán này có 2 kho ng cách không đ i là dB,P và BA.

SÁNG KI N KINH NGHI M

" PH NG PHÁP GI I M T S BÀI TOÁN C C TR

TRONG HÌNH H C GI I TÍCH"

I - Lý do ch n đ tài

Trong ch ng trình hình h c l p 12, bài toán vi t ph ng trình đ ng th ng, m t ph ng và tìm đi m là nh ng bài toán chi m m t v trí quan tr ng Trong các đ thi đ i h c luôn có v n đ này, song bài toán liên quan đ n v n đ c c tr l i là v n đ khó v i h c sinh và đòi h i h c sinh

ph i có t duy sâu s c i v i h c sinh gi i có th làm t t ph n này, tuy nhiên cách gi i còn r i

r c, làm bài nào bi t bài đ y và th ng t n nhi u th i gian cho các bài t p khó Trong sách giáo khoa lo i bài t p này không xu t hi n, trong các tài li u tham kh o thì các bài t p này ch a mang tính h th ng, ch a phân lo i và ch a ch ra đ c đ ng l i gi i cho lo i bài toán này

Trong hè n m 2008 và 2009, tôi đã có d p trao đ i m t s n i dung v i l p B i d ng giáo viên thì đây c ng là v n đ khó đ i v i c các th y cô giáo V i nh ng lý do trên, tôi mu n hoàn thi n m t l p các bài toán này nh m giúp các em h c sinh có cái nhìn t ng quát và mang tính h

th ng cho v n đ này Qua đó giúp h c sinh không ph i e s ph n này và quan tr ng h n là khi

đ ng tr c m t bài toán, h c sinh có th b t ngay đ c cách gi i, đ c đ nh h ng khi làm bài,

t đó có cách gi i t i u cho m t bài toán

V v n đ này g n đây trong m t t p chí Toán h c tu i tr c ng có đ c p đ n, nh ng tôi xin trình bày v n đ v i góc nhìn c a riêng tôi, m c dù vì đi u ki n th i gian, kinh nghi m và

ki n th c còn h n ch , có v n đ vi c phát tri n là ch a nhi u, tôi s còn ti p t c hoàn thi n v n

đ này và có thêm nh ng ý t ng m i trong quá trình gi ng d y R t mong nh n đ c s đóng góp ý ki n ch nh s a đ đ tài này đ c hoàn thi n h n

II - N i dung nghiên c u

Trong đ tài này tôi chia thành 3 n i dung chính:

Ph n 1 : Bài toán vi t ph ng trình m t ph ng

Ph n 2: Bài toán vi t ph ng trình đ ng th ng

Ph n 3: Các bài toán v đi m

V i m i n i dung đ c trình bày theo m t h th ng lô gic ch t ch t các bài toán đ n gi n đ n

ph c t p, phân tích v n đ , phát tri n v n đ đ n phát tri n bài toán

III - Ph m vi nghiên c u

Các ki n th c trong khuôn kh ch ng trình toán THPT

IV - i t ng áp d ng:

1 Ôn t p ki n th c c b n cho h c sinh 12

2 Ôn thi đ i h c

3 B i d ng h c sinh

V - Tài li u tham kh o:

1 Sách giáo khoa

2 Các đ thi đ i h c

3 T p chí Toán h c và tu i tr

4 M t s tài li u hình gi i tích c a Phan Huy Kh i

VI-N I DUNG TÀI

Ph n I : Vi t ph ng trình m t ph ng

C s lý thuy t:

vi t ph ng trình m t ph ng c n xác đ nh hai y u t là m t đi m thu c m t ph ng và

m t véc t pháp tuy n

ây c ng chính là c s đ xây d ng các bài toán

Ta b t đ u t m t bài toán r t đ n gi n

Bài toán 1:

Cho hai đi m A, B Xác đ nh m t ph ng (P) đi qua A và cách B m t kho ng l n nh t

Phân tích:

Gi s m t ph ng (P) đã đ c xác đ nh Bài toán h i đ n

kho ng cách t B đ n m t ph ng, đ ng nhiên ta ph i xác đ nh

kho ng cách t B đ n m t ph ng (P)

xác đ nh kho ng cách l n nh t ta dùng b t đ ng th c

đánh giá d(B, (P)) nh h n m t giá tr không đ i và giá tr không

đ i đó là giá tr đã bi t AB

B

A

Gi i:

G i H là hình chi u c a B trên (P) ⇒ d(B, (P)) = BH

Ta có BH AB không ≤ đ i D u " = " x y ra ⇔H≡ A

⊥(P) ⇒ ABuuur

là véc t pháp tuy n c a (P)

Hay max BH = AB khi H A hay AB≡

n đây m t ph ng (P) hoàn toàn xác đ nh là m t ph ng qua A và có véc t pháp tuy n ABuuur

Bài toán này đ n gi n, ta có th cho vô s ví d Tuy nhiên, ý t ng đ n gi n đó s g n nh xuyên su t l p các bài toán v d ng này

M t câu h i đ t ra là : v y m t ph ng qua A và cách B m t kho ng nh nh t có t n t i hay không? bài toán đó có đ c đ t ra hay không?

Ta bi t kho ng cách gi a hai đ i t ng b t kì là không âm, vì v y giá tr nh nh t (n u có) luôn l n h n 0 Trong bài toán trên, d th y min d(B,(P))= 0 ⇔B∈(P) hay (P) đi qua A và B

Do đó, có vô s m t ph ng th a mãn Vì th bài toán này th ng không đ c đ t ra, n u có

th ng ph i đi kèm m t đi u ki n khác

Bài toán 2

Cho m t đ ng th ng ; M t đi m A không thu c đ ng th ng Vi t ph ng trình m t

ph ng (P) qua và cách A m t kho ng l n nh t

Δ Δ

Phân tích:

Xác đ nh kho ng cách t A t i (P) và so sánh v i

kho ng cách không đ i T đó liên h gi a kho ng cách t

A t i Δ, đ a t i l i gi i sau:

L i gi i:

G i H là hình chi u c a A trên (P), K là hình chi u c a A

trên Δ ⇒ d(A,(P)) = AH Ta có AH≤ AK ( không đ i)

D u "=" x y ra ⇔H ≡ K hay max AH = AK

F H

K A

⇔ H K hay ≡ AKuuur (P), t c là véc t pháp tuy n c a (P)

⊥ AKuuur

Do đó, m t ph ng (P) hoàn toàn đ c xác đ nh là m t ph ng qua m t đi m b t kì c a Δ và có véc t pháp tuy n AKuuur

thi đ i h c kh i A n m 2008 đ c cho t bài toán này T bài toán g c này ta c ng có

th cho nhi u bài toán Câu h i t ng t nh bài toán trên là V y m t ph ng qua Δ và cách A

m t kho ng nh nh t có t n t i không? Câu tr l i là d th y chính là m t ph ng ch a Δ và A

và kho ng cách nh nh t là 0 Do đó, thay cho cách h i vi t ph ng trình m t ph ng qua Δ và A thì bài toán có th đ c phát tri n theo cách trên là " tìm m t ph ng ch a và cách A m t kho ng nh nh t" và c ng có th xu t hi n d i nhi u d ng khác

Δ

1

Vi t ph ng trình m t ph ng (P) qua Δ và cách Δ2m t kho ng l n nh t

L i gi i:

D th y , do v y, kho ng cách t

2

1/ /

Δ Δ Δ1 t i (P) b ng kho ng cách t m t đi m b t kì

c a Δ1 t i (P) L y A(-4; -1; 3)∈ Δ1, bài toán tr v : " Xác đ nh m t ph ng (P) qua Δ2 và cách

A m t kho ng l n nh t."

Theo bài toán trên, ta xác đ nh hình chi u H c a A trên Δ2 , d có H(0; 0; 2)

m t ph ng (P) có véc t pháp tuy n

=( 4; 1; -1) uuu

V y (P) qua H và có vtpt AHr có ph ng trình: 4x + y - z + 2 = 0

Bài toán 3:

Cho hai đ ng th ng Δ1 và Δ2 c t nhau t i A Vi t ph ng trình m t ph ng (P) ch a Δ2 và

h p v i Δ1 m t góc l n nh t

Phân tích:

Xác đ nh góc gi a và (P) và so sánh v i m t góc không đ i, t đó đ a đ n liên h v i góc gi a hai đ ng th ng 1

Δ

L i gi i:

Gi s (P) đã đ c xác đ nh G i M là đi m b t kì

và H, K t ng ng là hình chi u c a M trên (P) và

Khi đó (

1

∈ Δ

2

Δ Δ1, (P))=MAH฀ =α, (Δ Δ1; 2) = MAK฀ =ϕ

(là góc không đ i)

Ta có: sin MH, sin = MK và MK MH

nên sin α ≤ sin ϕ ⇒ α ≤ϕ ( vì hàm sin

đ ng bi n trong 0; và

2

⎣ ⎦ không đ i)

M

F3

H A

F4 M

Suy ra : maxα ϕ= khi H≡K hay MK ⊥(P) ⇒MKuuuur

là véc t pháp tuy n c a (P), hay ta có th

th y m t ph ng (Δ Δ ⊥1; 2) (P) ⇒ véc t pháp tuy n c a (P) là nr u u1; 2 ,u2

ur uur uur

1

V y (P) hoàn toàn đ c xác đ nh

Nh n xét:

1 ng th ng Δ2 khi đó là hình chi u c a Δ trên (P) Do đó bài toán có th đ c phát tri n d i d ng " Xác đ nh m t ph ng (P) sao cho Δ2 là hình chi u vuông góc c a Δ1 trên (P) Tuy nhiên khi đó m t ph ng (P) d dàng xác đ nh h n

2 Vì ta bi t góc gi a (Δ1;(P)) = ( '

1

Δ ;(P)) n u '

1/ / 1

bài toán có th thay gi thi t chéo nhau Khi đó, ta l y m t đi m A thu c

1,

toán tr v bài toán trên

'

1/ /

Δ Δ1

3 N u Δ Δ : m t ph ng ch a Δ ho c ch a Δ1 ho c song song Δ1thì góc

gi a Δ1 và (P) luông b ng 0 Do đó bài toán không đ c đ t ra cho hai v trí trên

4 N u Δ1 c t Δ2: m t ph ng ch a Δ1 và h p v i Δ2 m t góc nh nh t chính là m t

ph ng ch a 2 đ ng th ng Δ Δ1, 2

1, 2

Δ Δ

N u chéo nhau: M t ph ng ch a Δ2và h p v i Δ1m t góc nh nh t chính là m t

ph ng qua Δ2và song song Δ1

Ví d 2: Cho hai đ ng th ng 1

x+1 y+ 3 z- 2

-Δ

1 và 2

x- 2 y+1 z-1

-Δ

5

Vi t ph ng trình m t ph ng (P) qua Δ2và h p v i Δ1m t góc l n nh t

L i gi i

D th y Δ Δ1, 2 chéo nhau Ta l y đi m A(2; -1; 1) ∈ Δ2, qua A d ng đ ng th ng

có ph ng trình:

1/ / 1

Δ Δ ⇒ Δ1 x- 2 y+1 z-1

1 có vtcp (3; 2; 1), u1 2 có vtcp u2(2;3; 5)

Khi đó: ' và tr v bài toán trên

Δ ∩ Δ =

m t ph ng '

1 2

(Δ Δ, )có véc t pháp tuy n là , ch n Áp d ng k t qu bài toán trên ta có véc t pháp tuyên

1 [ ;1 2] (13;13;13)

nur= u uur uur = nur1=(1;1;1)

1 2

[ ; ] ( 8; 7;1)

n= n u = −

r ur uur

M t ph ng (P) qua A và có véc t pháp tuy n n có ph ng trình:

8(x - 2) - 7(y + 1) - (z - 1) = 0 ⇔ 8x - 7y - z - 22 = 0

Chú ý:

1 V i l i gi i ví d này, khi ta áp d ng k t qu bài toán trên thì không nh t thi t ph i xác

đ nh song đ trình bày l i gi i c th m t bài toán khi xu t hi n đ c l p ta ph i ch ra đ y đ

c s nh bài toán trên thì ph i vi t ph ng trình

'

1

Δ

' 1

Δ

2 V i bài toán này, khi gi ng d y các th y cô giáo có th đ t ra r t nhi u bài toán c th

t hai đ ng th ng c t nhau ho c chéo nhau

Bài toán 4:

Cho đ ng th ng và m t ph ng (P) c t nhau Xác đ nh m t ph ng (Q) ch a và h p v i (P) m t góc nh nh t

Phân tích:

tuy n V n theo ý t ng đ u tiên, ta xác đ nh góc gi a

(P) và (Q) và so sánh v i góc không đ i trong bài toán

này là góc gi a và (P)

( )P A (Q) (P)

Δ

L i gi i:

G i A= Δ ∩(P); M là đi m b t kì trên Δ Gi s (Q)

đã xác đ nh đ c ⇒ (Q)∩(P) = d

G i H, K t ng ng là hình chi u c a M trên (P) và d

F

A

M

H

K

⇒

d

góc gi a hai m t ph ng (P) và (Q) là và góc gi a

HK d

( không đ i).Ta có:

฀

= MAH

α

MH, sin = MH

sin và MA ≥ MK ⇒ sin α ≥ sin ϕ Vì hàm sin đ ng bi n trên

0;

2

π

⎡

⎢⎣ ⎦

⎤

⎥ nên α ϕ≥ (không đ i)

minϕ α khi K A

⇒ = ≡ , hay d ⊥ Δ Suy ra, m t ph ng (Q) c t (P) theo m t giao tuy n vuông góc v i Δ thì góc ϕ là góc nh nh t

G i véc t pháp tuy n c a (P) là nr

và véc t ch ph ng c a Δ là ur

thì (Q) có véc t pháp tuy n

là uu u r r

V y m t ph ng (Q) hoàn toàn xác đinh là m t ph ng qua m t đi m c a

[[u; n]; u]

Q

có véc t pháp tuy n nuurQ

Ví d : Cho đ ng th ng : x- 3= y =z-1

2 -1 3

Δ và m t ph ng (P) : x + y + z = 0

Vi t ph ng trình m t ph ng (Q) ch a Δ và h p v i (P) m t góc nh nh t

L i gi i:

Áp d ng bài toán trên, ta g i vtcp c a Δlà ur(2; -1;3), véc t pháp tuy n c a (P) là nuurP

(1; 1;1) thì giao tuyên d c a (P) và (Q) có véc t ch ph ng là u = [u; n ]uurd r uurP

= ( -4; 1; 3)

Véc t pháp tuy n c a m t ph ng (Q) là n = [u ; u]uurQ uur rd

= (6; 18; 2) ch n véc t pháp tuy n là (3; 9; 1) M t ph ng (Q) qua M(3; 0; 1)

⇒

1

nur

∈ Δ và có véc t pháp tuy n nuur1 có ph ng trình là: 3(x - 3) + 9y +z -1 = 0 ⇔ 3x + 9y + z - 10 = 0

Nh n xét:

1 Giao tuy n c a 2 m t ph ng là m t trong nh ng bài toán vi t ph ng trình đ ng

th ng r t c b n: đ ng th ng qua giao đi m, n m trong m t ph ng và vuông góc v i đ ng

th ng cho tr c Tuy nhiên khi đ c nâng lên m t b c nh bài toán này đã đ c tích h p nhi u

ki n th c h n, đòi h i h c sinh hi u sâu h n các v n đ đã bi t

2 M t ph ng qua và h p v i (P) m t góc l n nh t có t n t i hay không? D th y đó là bài toán quen thu c: " m t ph ng qua

Δ

Δ và vuông góc v i (P) " ( góc l n nh t b ng 90 o )

3 V i Δ n m trong m t ph ng (P) hay song song v i (P) thì m t ph ng (Q) ch a Δ và

h p v i (P) m t góc nh nh t là 0 0 , và góc l n nh t là 90 0

4 V i bài toán g c trên, ta có th đ a ra nhi u bài t p cùng n i dung cho h c sinh làm t

m t đ ng th ng và 1 m t ph ng c t nhau

Ph n II: Bài toán vi t ph ng trình đ ng th ng

Bài toán 5:

Cho m t ph ng (P), đi m A thu c (P) và đi m B không thu c (P) Tìm đ ng th ng Δ

n m trong (P), Δqua A và cách B m t kho ng l n nhât, nh nh t

Phân tích:

V n ý t ng t bài toán h i kho ng cách t B t i

, ta xác đ nh kho ng cách t B t i

kho ng cách không đ i Trong bài toán này có 2

kho ng cách không đ i là d(B,(P)) và BA

L i gi i:

G i H, K t ng ng là hình chi u c a B trên (P) và Δ

⇒ d(B, (P)) = BH và d(B, Δ) = BK

F H

D

A

M

Ta luôn có BK ≤AB không đ i nên BK = AB khi K≡A, t c là kho ng cách t B t i

đ ng th ng l n nh t khi qua A và vuông góc v i AB Δ Δ

M t khác BK≥ BH không đ i ⇒minBK = BH khi K≡ H hay kho ng cách t B t i

đ ng th ng nh nh t khi qua A Δ Δ

Nh n xét:

1 Nh v y, cách cho bài toán này khá đ n gi n: cho m t ph ng (P) b t kì, l y m t đi m

A thu c (P) và m t đi m B không thu c (P) V i câu h i trên ta đã co 1 bài toán Tuy nhiên đ

t a đ đi m H không l , ta nên b t đ u t vi c l y H trong (P) Thông th ng, ta l y H có t a đ nguyên, sau đó vi t ph ng trình đ ng th ng d qua H và vuông góc v i (P); trên d ta m i l y B

có t a đ nguyên thi s đ a đ n m t k t qu đ p h n

2 thi i h c kh i B n m 2009 là m t d ng c a bài toán này Ta s xem xét m t vài ví

d sau d i d n khác nhau c a bài toán trên, t vi c t o ra m t ph ng (P) ho c thay th (P)

b ng các d ki n t ng đ ng, ta có th có cái nhìn đa chi u cho 1 bài toán

Ví D 1: ( đ thi tuy n sinh đ i h c cao đ ng n m 2009 - kh i B)

Cho m t ph ng (P) : x - 2y + 2z - 5 = 0 và hai đi m A(-3; 0; 1) và B(1; -1; 3) Trong các

đ ng th ng đi qua A và song song v i (P), vi t ph ng trình đ ng th ng d sao cho kho ng cách t B đ n d là nh nh t

Phân tích:

Rõ ràng t ý t ng c a bài toán trên cùng v i bài toán qua 1 đi m t n t i duy nh t m t

m t ph ng song song v i m t ph ng cho tr c, ta đã đ a đ n m t bài toán c th và ít t ng minh h n

L i gi i:

G i (Q) là m t ph ng song song v i m t ph ng (P) và qua A ⇒ (Q) có ph ng trình :

x + 3 - 2y + 2(z-1) = 0 ⇔ x - 2y + 2z + 1 = 0

Áp d ng k t qu bài toán trên, g i H là hình chi u c a B trên (P)

D dàng tính toán đ c H ⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛ −

9

7

; 9

11

; 9

1

⎠

⎞

⎜

⎝

9

2

; 9

11

; 9 26

V y đ ng th ng c n tìm có ph ng trình :

2

1 z 11

y 26

3 x

− + = = −

Ví d 2: Cho đ ng th ng và hai đi m A(2; -1; 1), B(0; 1;2)

⎪

⎩

⎪

⎨

⎧ +

=

−

=

= Δ

t z

t y

t x

2 1

2 :

Vi t ph ng trình đ ng th ng d qua A, vuông góc v i Δ và cách B m t kho ng l n

nh t, nh nh t

Phân tích:

M t ph ng (P) chính là m t ph ng qua A và vuông góc v i Δ Khi đó bài toán tr v bài toán 5 Áp d ng bài toán trên, ta có l i gi i

L i gi i

G i (P) là m t ph ng qua A và vuông góc v i Δ ⇒ (P) có ph ng trình:

⇔ 2x - y + z -6 = 0

2 (x -2) - (y + 1) + (z-1) = 0

G i H, K l n l t là hình chi u c a B trên (P) vàΔ, ta có d(B,d) = BK

1, BK ≤BA ⇒ max BK = AB ⇔ K≡A hay d qua A

và vuông góc v i AB

Có AB(-2; 2; 1) và véc t pháp tuy n c a (P) là n(2;

-1; 1)

⇒ d có véc t ch ph ng u=[AB;n]= ( 3; 4; -2)

ng th ng d cách B m t kho ng l n nh t là đ ng

th ng qua A và có véc t ch ph ng u( 3; 4; -2)

d

H

Ph ng trinh d là :

2

1 z 4

1 y 3

2 x

−

−

=

+

=

−

2, BK≥ BH (không đ i) ⇒minBK = BH khi K≡ H hay d là đ ng th ng qua A và H

G i Δ1 là đ ng th ng qua B và vuông góc v i (P) Δ1có ph ng trình:

⎪

⎩

⎪

⎨

⎧ +

=

−

=

=

t z

t y

t x

2 1 2

H = Δ1∩(P) nên t a đ H th a mãn h :

⎪

⎪

⎩

⎪

⎪

⎨

⎧

⎪

⎪

⎩

⎪

⎪

⎨

⎧

=

=

=

=

⇔

=

− +

−

+

=

−

=

=

6 / 17

6 / 1

3 / 5

6 / 5

0 6 z y x 2

t 2 z

t 1 y

t 2 x

z y x t

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

6

17

;

6

1

;

3

5

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛ − −

6

11

; 6

7

; 3

1

⇒ ch n véc t ch ph ng c a d là ud(2; -14; -11)

ng th ng d cách B m t kho ng nh nh t có ph ng trình:

11

1 z 14

1 y 3

2 x

−

−

=

−

+

=

−

Ví d 3:

Cho A(1; 4; 2) , B(-1;2;4) và đ ng th ng d có ph ng trình

⎪

⎩

⎪

⎨

⎧

=

+

−

=

−

=

t z

t y

t x

2 2 1

Trong các đ ng th ng qua A và c t d, vi t ph ng trình đ ng th ng cách B m t kho ng

l n nh t, nh nh t

Phân tích:

M t ph ng (P) trong ví d này là m t ph ng qua d và A Nh v y ví d đ c xây d ng t bài toán trên và cách xác đ nh m t ph ng qua 1 đi m và 1 đ ng th ng

L i gi i:

ng th ng d qua M(1; -2; 0) và có véc t ch ph ng u(-1; 1; 2) ; MA(0; 6; 2)

G i (P) là m t ph ng qua A và d ⇒ (P) có véc t pháp tuy n n=[u;MA]=(-10;2;-6)

(5; -1; 3) , khi đó (P) có ph ng trình:

Ch n véc t pháp tuy n c a (P) là nP

5(x-1) - (y - 4) + 3 (z - 2) = 0 ⇔ 5x - y + 3z -7 = 0

ng th ng Δ qua A và c t d ⇒Δ n m trong (P) Theo k t qu bài toán trên ta có:

1, Δ cách B m t kho ng l n nh t ⇔ Δ vuông góc v i AB

B

A (-2; -2; 2) ⇒Δ có véc t ch ph ng uΔ=[AB;nP]= (-4; 16; 12)

Ch n u1(-1;4;3) là véc t ch ph ng c a Δ (u1 không cùng ph ng u)

ng th ng Δ c t d và th a mãn bài toán có ph ng trình :

3

2 z 4

4 y 1

1

x = − = −

−

−

2, ng th ngΔ cách B m t kho ng l n nh t ⇔ Δ qua A và H ⇒ Xác đ nh H :

G i Δ1 là đ ng th ng qua B và vuông góc v i (P) Δ1có ph ng trình:

⎪

⎩

⎪

⎨

⎧

+

=

−

=

+

−

=

t z

t y

t x

3 4 2

5 1

H = Δ1∩(P) nên t a đ H th a mãn h :

⎪

⎪

⎩

⎪

⎪

⎨

⎧

=

− +

−

+

=

−

=

+

−

=

0 7 z 3 y x 5

t 3 4 z

t 2 y

t 5 1 x

⇒ H ⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛−

35

146

; 35

68

;

7

5

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛− −

35

76

; 35

72

; 35

60

Ch n véc t ch ph ng c a Δ là u2 (15; 18; -19) (u2 không cùng ph ng u)

ng th ng Δ c t d và th a mãn bài toán có ph ng trình :

19

2 z 18

4 y 15

1 x

−

−

=

−

=

−

Bài toán 6:

Cho m t ph ng (P), đi m A thu c (P) và đ ng th ng d c t (P) Xác đ nh đ ng th ng Δ

n m trong (P), đi qua A và h p v i d m t góc l n nh t, nh nh t

Phân tích:

T cách xác đ nh góc gi a hai đ ng th ng trong

không gian là góc gi a hai đ ng th ng cùng đi qua 1

đi m ta xác đinh d' qua A và song song v i d Khi đó

(d, Δ) = (d', Δ) V y ph i xác đ nh góc gi a d' và Δ,

sau đó liên h v i góc không đ i là góc gi a d' và (P)

L i gi i:

G i d' là đ ng th ng qua A và song song v i d , ta

có (d, Δ) = (d', Δ) và (d,(P)) = (d',(P))

F d'

O d

H A

M

G i M là đi m b t kì trên d', H và K t ng ng là hình chi u c a M trên (P) và Δ

⇒ góc gi a d' và Δ là α=∠MAK, góc gi a d' và (P) là ϕ ∠= MAH

1, Ta luôn có: sin

MA

MK

=

MA

H M

=

ϕ và MK ≥MH ⇒ sinα ≥sinϕ ⇒α ≥ϕ

⇒ minα=ϕ khi H K hay ≡ Δ là đ ng th ng qua A và H Khi đó, véc t ch ph ng c a Δ là: Δ

u =[[ud;nP];nP] V y Δ là đ ng th ng hoàn toàn xác đ nh qua A và có véc t ch ph ng uΔ

2, α ≤900 ⇒ maxα=900 khi Δ vuông góc v i d' ⇒Véc t ch ph ng c a Δ là: Δ

u =[ud;nP] V y Δ là đ ng th ng hoàn toàn xác đ nh

Ví d :

Cho đ ng th ng d :

3

2 z 1

y 2

1 x

−

+

=

=

−

và m t ph ng (P) : 2x + y + z +1 = 0 i m A(0;2;1) thu c (P) Vi t ph ng trình đ ng th ng Δ n m trong (P), đi qua A và h p v i d m t góc l n nh t,

nh nh t

L i gi i:

d có véc t ch ph ng u(2;1;-3); (P) có véc t pháp tuy n n(2;1;1)

Theo k t qu bài toán trên:

1, Δ h p v i d m t góc l n nh t khi Δ vuông góc v i d ⇒véc t ch ph ng c a Δ là:

=

Δ

u [u;n]= (4; -8; 0) Ch n u1=(1;-2;0 ) là véc t ch ph ng c a Δ

Ta có ph ng trình Δ:

⎪

⎩

⎪

⎨

⎧

=

−

=

= 1

2 2

z

t y

t x

2, Δ h p v i d m t góc nh nh t khi Δsong song v i hình chi u c a d trên (P)

⇒véc t ch ph ng c a Δ là: u2=[u1;n]= (2; -1; 5) V y ph ng trình Δ là:

1 z 1

2 y 2

x = − = −

−

Chú ý:

N u d//(P) ho c d n m trong (P) thì đ ng th ng n m trong (P), đi qua A và h p v i d

m t góc l n nh t là 90 0 , góc nh nh t là 0 0

Bài toán 7:

Cho m t ph ng (P) và đi m A thu c (P) ng th ng d c t (P) t i m t đi m khác A Xác đ nh đ ng th ng n m trong (P), đi qua A sao cho kho ng cách gi a và d là l n

nh t

Phân tích:

T kho ng cách gi a hai đ ng th ng là kho ng

cách gi a đ ng th ng và m t ph ng ch a đ ng

th ng còn l i và song song v i đ ng đ ng th ng

xác đ nh đ ng th ng d' qua A và d'//d m t

ph ng ch a và d' song song d

Δ

⇒d(d, Δ) = d(d;(d'; Δ))

V n t ý t ng : bài toán h i kho ng cánh gi a d

và , ta xác đ nh kho ng cánh đó và so sánh v i

kho ng cách không Δ đ i

d'

d J

M

F C

B

L i gi i: G i d' là đ ng th ng qua A và d'//d

Gi s Δ đã xác đ nh ⇒ d' và cùng n m trong m t m t ph ng (Q)

⇒

Δ

G i H, K l n l t là hình chi u c a B trên (Q) và d' BH ≤BK ⇒ max BH = BK ⇔ H≡K hay (Q) nh n BKlàm véc t pháp tuy n

Ho c g i I là hình chi u c a A trên d ⇒ AI // BK ⇒ AI là véc t pháp tuy n c a m t ph ng (Q) (Q) hoàn toàn xác đ nh là giao tuy n c a (Q) và (P) ⇒

Ví d :

Cho m t ph ng (P) : 2x + y - z +1 = 0 và đ ng th ng d :

1

z 2

1 y 3

3

−

+

=

−

i m A(0;2;3) n m trong (P) Vi t ph ng trình đ ng th ng Δ đi qua A sao cho kho ng cách gi a d

và Δlà l n nh t

L i gi i: Theo k t qu bài toán trên:

G i B = d∩(P), d xác đ nh đ c B(-3; 3; -2) ≠A ( ho c thay t a đ A và ph ng trình d

A∉d)

⇒

(P) có véc t pháp tuy n nP (2; 1;-1)

G i I là hình chi u c a A trên d ⇒ I ⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

7

6

; 7

5

; 7

3

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛ −

7

27

; 7

9

; 7 3

Ch n véc t pháp tuy n c a (Q) là nQ(1; -3;9) Vì Δ là giao tuy n c a (Q) và (P) nên

⇒

véc t ch ph ng c a Δ là: u=[n P;nQ]=(-12; 19; 7)

⇒Δ qua A và có véc t ch ph ng c a u có ph ng trình:

7

3 z 19

2 y 12

x = − = −

−