skkn phương pháp giải một số bài toán cực trị trong hình học giải tích

16 2K 3
skkn phương pháp giải  một số bài toán cực trị trong hình học giải tích

Đang tải... (xem toàn văn)

Tài liệu hạn chế xem trước, để xem đầy đủ mời bạn chọn Tải xuống

Thông tin tài liệu

Phng pháp gii mt s bài toán cc tr trong hình hc không gian ____________________________________________________________________________ Nguyn Ngc Minh - T Toán - THPT s 3 Thành ph Lào Cai SÁNG KIN KINH NGHIM " PHNG PHÁP GII MT S BÀI TOÁN CC TR TRONG HÌNH HC GII TÍCH" I - Lý do chn đ tài Trong chng trình hình hc lp 12, bài toán vit phng trình đng thng, mt phng và tìm đim là nhng bài toán chim mt v trí quan trng. Trong các đ thi đi hc luôn có vn đ này, song bài toán liên quan đn vn đ cc tr li là vn đ khó vi hc sinh và đòi hi hc sinh phi có t duy sâu sc. i vi hc sinh gii có th làm tt phn này, tuy nhiên cách gii còn ri rc, làm bài nào bit bài đy và thng tn nhiu thi gian cho các bài tp khó. Trong sách giáo khoa loi bài tp này không xut hin, trong các tài liu tham kho thì các bài tp này cha mang tính h thng, cha phân loi và cha ch ra đc đng li gii cho loi bài toán này. Trong hè nm 2008 và 2009, tôi đã có dp trao đi mt s ni dung vi lp Bi dng giáo viên thì đây cng là vn đ khó đi vi c các thy cô giáo. Vi nhng lý do trên, tôi mun hoàn thin mt lp các bài toán này nhm giúp các em hc sinh có cái nhìn tng quát và mang tính h thng cho vn đ này. Qua đó giúp hc sinh không phi e s phn này và quan trng hn là khi đng trc mt bài toán, hc sinh có th bt ngay đc cách gii, đc đnh hng khi làm bài, t đó có cách gii ti u cho mt bài toán. V vn đ này gn đây trong mt tp chí Toán hc tui tr cng có đ cp đn, nhng tôi xin trình bày vn đ vi góc nhìn ca riêng tôi, mc dù vì điu kin thi gian, kinh nghim và kin thc còn hn ch, có vn đ vic phát trin là cha nhiu, tôi s còn tip tc hoàn thin vn đ này và có thêm nhng ý tng mi trong quá trình ging dy. Rt mong nhn đc s đóng góp ý kin chnh sa đ đ tài này đc hoàn thin hn. II - Ni dung nghiên cu Trong đ tài này tôi chia thành 3 ni dung chính: Phn 1 : Bài toán vit phng trình mt phng Phn 2: Bài toán vit phng trình đng thng Phn 3: Các bài toán v đim Vi mi ni dung đc trình bày theo mt h thng lô gic cht ch t các bài toán đn gin đn phc tp, phân tích vn đ, phát trin vn đ đn phát trin bài toán. III - Phm vi nghiên cu Các kin thc trong khuôn kh chng trình toán THPT IV - i tng áp dng: 1. Ôn tp kin thc c bn cho hc sinh 12 2. Ôn thi đi hc 3. Bi dng hc sinh V - Tài liu tham kho: 1. Sách giáo khoa. 2. Các đ thi đi hc. 3. Tp chí Toán hc và tui tr Phng pháp gii mt s bài toán cc tr trong hình hc không gian ____________________________________________________________________________ Nguyn Ngc Minh - T Toán - THPT s 3 Thành ph Lào Cai 4. Mt s tài liu hình gii tích ca Phan Huy Khi. VI-NI DUNG  TÀI Phn I : Vit phng trình mt phng C s lý thuyt:  vit phng trình mt phng cn xác đnh hai yu t là mt đim thuc mt phng và mt véc t pháp tuyn ây cng chính là c s đ xây dng các bài toán. Ta bt đu t mt bài toán rt đn gin Bài toán 1: Cho hai đim A, B. Xác đnh mt phng (P) đi qua A và cách B mt khong ln nht. Phân tích: Gi s mt phng (P) đã đc xác đnh. Bài toán hi đn khong cách t B đn mt phng, đng nhiên ta phi xác đnh khong cách t B đn mt phng (P).  xác đnh khong cách ln nht ta dùng bt đng thc đánh giá d(B, (P)) nh hn mt giá tr không đi và giá tr không đi đó là giá tr đã bit AB. B A Gii: Gi H là hình chiu ca B trên (P) d(B, (P)) = BH ⇒ Ta có BH AB không đi . Du " = " xy ra ≤ ⇔ H ≡ A ⊥ (P) ⇒ AB u uur là véc t pháp tuyn ca (P). Hay max BH = AB khi H A hay AB≡ n đây mt phng (P) hoàn toàn xác đnh là mt phng qua A và có véc t pháp tuyn AB u uur Bài toán này đn gin, ta có th cho vô s ví d. Tuy nhiên, ý tng đn gin đó s gn nh xuyên sut lp các bài toán v dng này. Mt câu hi đt ra là : vy mt phng qua A và cách B mt khong nh nht có tn ti hay không? bài toán đó có đc đt ra hay không? Ta bit khong cách gia hai đi tng bt kì là không âm, vì vy giá tr nh nht (nu có) luôn ln hn 0. Trong bài toán trên, d thy min d(B,(P))= 0 ⇔ B ∈ (P) hay (P) đi qua A và B. Do đó, có vô s mt phng tha mãn. Vì th bài toán này thng không đc đt ra, nu có thng phi đi kèm mt điu kin khác . Bài toán 2 Cho mt đng thng ; Mt đim A không thuc đng thng. Vit phng trình mt phng (P) qua và cách A mt khong ln nht. Δ Δ Phân tích: Phng pháp gii mt s bài toán cc tr trong hình hc không gian ____________________________________________________________________________ Nguyn Ngc Minh - T Toán - THPT s 3 Thành ph Lào Cai Xác đnh khong cách t A ti (P) và so sánh vi khong cách không đi. T đó liên h gia khong cách t A ti , đa ti li gii sau: Δ Li gii: Gi H là hình chiu ca A trên (P), K là hình chiu ca A trên ⇒ d(A,(P)) = AH. Ta có AH Δ ≤ AK ( không đi) Du "=" xy ra H ≡ K hay max AH = AK ⇔ F H K A ⇔ H K hay (P), tc là véc t pháp tuyn ca (P). ≡ AK uuur ⊥ AK uuur Do đó, mt phng (P) hoàn toàn đc xác đnh là mt phng qua mt đim bt kì ca Δ và có véc t pháp tuyn AK uuur  thi đi hc khi A nm 2008 đc cho t bài toán này. T bài toán gc này ta cng có th cho nhiu bài toán. Câu hi tng t nh bài toán trên là Vy mt phng qua Δ và cách A mt khong nh nht có tn ti không? Câu tr li là d thy chính là mt phng cha Δ và A và khong cách nh nht là 0. Do đó, thay cho cách hi vit phng trình mt phng qua Δ và A thì bài toán có th đc phát trin theo cách trên là " tìm mt phng cha và cách A mt khong nh nht" và cng có th xut hin di nhiu dng khác. Δ Ví d 1: Cho hai đng thng 12 x1t x1 1 z3 : và : y 2 2 t 122 z2t y =− − ⎧ ++− ⎪ Δ== Δ=+ ⎨ − ⎪ =− ⎩ 1 Vit phng trình mt phng (P) qua Δ và cách 2 Δ mt khong ln nht. Li gii: D thy , do vy, khong cách t 2 1 //ΔΔ 1 Δ ti (P) bng khong cách t mt đim bt kì ca ti (P). Ly A(-4; -1; 3) , bài toán tr v: " Xác đnh mt phng (P) qua 1 Δ 1 ∈Δ 2 Δ và cách A mt khong ln nht." Theo bài toán trên, ta xác đnh hình chiu H ca A trên 2 Δ , d có H(0; 0; 2). mt phng (P) có véc t pháp tuyn ⇒ AH u uur =( 4; 1; -1) uuu Vy (P) qua H và có vtpt có phng trình: 4x + y - z + 2 = 0 AH r Bài toán 3: Cho hai đng thng ct nhau ti A. Vit phng trình mt phng (P) cha 12 và ΔΔ 2 Δ và hp vi mt góc ln nht. 1 Δ Phân tích: Xác đnh góc gia và (P) và so sánh vi mt góc không đi, t đó đa đn liên h vi góc gia hai đng thng. 1 Δ Phng pháp gii mt s bài toán cc tr trong hình hc không gian ____________________________________________________________________________ Nguyn Ngc Minh - T Toán - THPT s 3 Thành ph Lào Cai Li gii: Gi s (P) đã đc xác đnh. Gi M là đim bt kì và H, K tng ng là hình chiu ca M trên (P) và . Khi đó ( 1 ∈Δ 2 Δ ฀ ฀ 112 ,(P)) MAH , ( ; ) = MAK α ϕ Δ= =ΔΔ = (là góc không đi) Ta có: MH MK sin , sin = và MK MH MK MA αϕ =≥ nên sin sin α ϕα ≤⇒≤ ϕ ( vì hàm sin đng bin trong 0; và 2 π ϕ ⎡⎤ ⎢⎥ ⎣⎦ không đi) M F 3 H A F 4 M Suy ra : max = khi H K α ϕ ≡ hay MK ⊥ (P) ⇒ MK u uuur là véc t pháp tuyn ca (P), hay ta có th thy mt phng véc t pháp tuyn ca (P) là 12 (; ) (P)ΔΔ ⊥ ⇒ 12 2 ;,nuuu r ⎡ ⎤ ⎡⎤ = ⎣⎦ ⎣ ⎦ ur uuruur 1 Vy (P) hoàn toàn đc xác đnh. Nhn xét: 1. ng thng khi đó là hình chiu ca 2 Δ Δ trên (P). Do đó bài toán có th đc phát trin di dng " Xác đnh mt phng (P) sao cho 2 Δ là hình chiu vuông góc ca 1 Δ trên (P). Tuy nhiên khi đó mt phng (P) d dàng xác đnh hn. 2. Vì ta bit góc gia ( ;(P)) = ( 1 Δ ' 1 Δ ;(P)) nu ' 11 // Δ Δ⇒ 2 2 bài toán có th thay gi thit chéo nhau. Khi đó, ta ly mt đim A thuc 1 , ΔΔ Δ , qua đó vit phng trình thì bài toán tr v bài toán trên. ' 1 //ΔΔ 1 12 1 2 // ∨Δ≡Δ 2 3. Nu ΔΔ : mt phng cha Δ hoc cha 1 Δ hoc song song 1 Δ thì góc gia và (P) luông bng 0. Do đó bài toán không đc đt ra cho hai v trí trên. 1 Δ 4. Nu ct : mt phng cha 1 Δ 2 Δ 1 Δ và hp vi 2 Δ mt góc nh nht chính là mt phng cha 2 đng thng . 12 ,ΔΔ 12 ,ΔΔ Nu chéo nhau: Mt phng cha 2 Δ và hp vi 1 Δ mt góc nh nht chính là mt phng qua và song song . 2 Δ 1 Δ Ví d 2: Cho hai đng thng 1 x+1 y+3 z-2 : = = 3-2- Δ 1 và 2 x- 2 y+1 z-1 : = = 23- Δ 5 Vit phng trình mt phng (P) qua 2 Δ và hp vi 1 Δ mt góc ln nht. Li gii D thy chéo nhau. Ta ly đim A(2; -1; 1) 12 ,ΔΔ 2 ∈ Δ , qua A dng đng thng có phng trình: '' 11 // ΔΔ⇒Δ 1 x- 2 y+1 z-1 == 32- 1 11 2 2 có vtcp (3; 2; 1), có vtcp (2;3; 5) uuΔ−−Δ −⇒ ur uur . Khi đó: và tr v bài toán trên. ' 12 AΔ∩Δ = mt phng ' 12 (, ) Δ Δ có véc t pháp tuyn là , chn . Áp dng kt qu bài toán trên ta có véc t pháp tuyên ca mt phng (P) là : . 112 [ ; ] (13;13;13)nuu== ur ur uur 1 (1;1;1)n = ur 12 [; ] (8;7;1)nnu==− ruruur Phng pháp gii mt s bài toán cc tr trong hình hc không gian ____________________________________________________________________________ Nguyn Ngc Minh - T Toán - THPT s 3 Thành ph Lào Cai Mt phng (P) qua A và có véc t pháp tuyn n r có phng trình: 8(x - 2) - 7(y + 1) - (z - 1) = 0 8x - 7y - z - 22 = 0 ⇔ Chú ý: 1. Vi li gii ví d này, khi ta áp dng kt qu bài toán trên thì không nht thit phi xác đnh song đ trình bày li gii c th mt bài toán khi xut hin đc lp ta phi ch ra đy đ c s nh bài toán trên thì phi vit phng trình ' 1 Δ ' 1 Δ . 2. Vi bài toán này, khi ging dy các thy cô giáo có th đt ra rt nhiu bài toán c th t hai đng thng ct nhau hoc chéo nhau. Bài toán 4: Cho đng thng và mt phng (P) ct nhau. Xác đnh mt phng (Q) cha và hp vi (P) mt góc nh nht. Δ Δ Phân tích: Vì theo mt giao tuyn. Vn theo ý tng đu tiên, ta xác đnh góc gia (P) và (Q) và so sánh vi góc không đi trong bài toán này là góc gia và (P). ( ) (Q) (P)PAΔ∩ = ⇒ ∩ Δ Li gii: Gi A ( ; M là đim bt kì trên P)=Δ∩ Δ . Gi s (Q) đã xác đnh đc . (Q) (P) = d⇒∩ Gi H, K tng ng là hình chiu ca M trên (P) và d F A M H K ⇒ d góc gia hai mt phng (P) và (Q) là và góc gia HK d ⇒⊥ ฀ MKH ϕ = Δ và (P) là ( không đi).Ta có: ฀ = MAH α MH MH , sin = MA MK αϕ =sin và MA ≥ MK sin sin α ϕ ⇒≥ . Vì hàm sin đng bin trên 0; 2 π ⎡ ⎢ ⎣⎦ ⎤ ⎥ nên α ϕ ≥ (không đi). min khi K A ϕ α ⇒= ≡ , hay d ⊥ Δ . Suy ra, mt phng (Q) ct (P) theo mt giao tuyn vuông góc vi Δ thì góc ϕ là góc nh nht. Gi véc t pháp tuyn ca (P) là n r và véc t ch phng ca Δ là u r thì (Q) có véc t pháp tuyn là uu u r r . Vy mt phng (Q) hoàn toàn xác đinh là mt phng qua mt đim ca [[u; n];u] Q n = r r Δ và có véc t pháp tuyn Q n uur Ví d: Cho đng thng x-3 y z-1 : = = 2-13 Δ và mt phng (P) : x + y + z = 0 Vit phng trình mt phng (Q) cha Δ và hp vi (P) mt góc nh nht. Li gii: Áp dng bài toán trên, ta gi vtcp ca là uΔ r (2; -1;3), véc t pháp tuyn ca (P) là P n u ur (1; 1;1) thì giao tuyên d ca (P) và (Q) có véc t ch phng là d u=[u;n] P u urruur = ( -4; 1; 3) Phng pháp gii mt s bài toán cc tr trong hình hc không gian ____________________________________________________________________________ Nguyn Ngc Minh - T Toán - THPT s 3 Thành ph Lào Cai Véc t pháp tuyn ca mt phng (Q) là Qd n=[u;u] u ur u urr = (6; 18; 2) chn véc t pháp tuyn là (3; 9; 1). Mt phng (Q) qua M(3; 0; 1) ⇒ 1 n ur ∈ Δ và có véc t pháp tuyn có phng trình là: 1 n uur 3(x - 3) + 9y +z -1 = 0 3x + 9y + z - 10 = 0 ⇔ Nhn xét: 1. Giao tuyn ca 2 mt phng là mt trong nhng bài toán vit phng trình đng thng rt c bn: đng thng qua giao đim, nm trong mt phng và vuông góc vi đng thng cho trc. Tuy nhiên khi đc nâng lên mt bc nh bài toán này đã đc tích hp nhiu kin thc hn, đòi hi hc sinh hiu sâu hn các vn đ đã bit. 2. Mt phng qua và hp vi (P) mt góc ln nht có tn ti hay không? D thy đó là bài toán quen thuc: " mt phng qua Δ Δ và vuông góc vi (P) " ( góc ln nht bng 90 o ). 3. Vi Δ nm trong mt phng (P) hay song song vi (P) thì mt phng (Q) cha Δ và hp vi (P) mt góc nh nht là 0 0 , và góc ln nht là 90 0 4. Vi bài toán gc trên, ta có th đa ra nhiu bài tp cùng ni dung cho hc sinh làm t mt đng thng và 1 mt phng ct nhau. Phn II: Bài toán vit phng trình đng thng Bài toán 5: Cho mt phng (P), đim A thuc (P) và đim B không thuc (P). Tìm đng thng Δ nm trong (P), Δ qua A và cách B mt khong ln nhât, nh nht. Phân tích: Vn ý tng t bài toán hi khong cách t B ti , ta xác đnh khong cách t B ti Δ Δ và so sánh vi khong cách không đi. Trong bài toán này có 2 khong cách không đi là d(B,(P)) và BA. Li gii: Gi H, K tng ng là hình chiu ca B trên (P) và Δ ⇒ d(B, (P)) = BH và d(B, ) = BK. Δ F H D A M Ta luôn có BK ≤AB không đi nên BK = AB khi K ≡ A, tc là khong cách t B ti đng thng ln nht khi qua A và vuông góc vi AB. Δ Δ Mt khác BK≥ BH không đi minBK = BH khi K⇒ ≡ H hay khong cách t B ti đng thng nh nht khi qua A. Δ Δ Nhn xét: 1. Nh vy, cách cho bài toán này khá đn gin: cho mt phng (P) bt kì, ly mt đim A thuc (P) và mt đim B không thuc (P). Vi câu hi trên ta đã co 1 bài toán. Tuy nhiên đ ta đ đim H không l, ta nên bt đu t vic ly H trong (P). Thông thng, ta ly H có ta đ nguyên, sau đó vit phng trình đng thng d qua H và vuông góc vi (P); trên d ta mi ly B có ta đ nguyên thi s đa đn mt kt qu đp hn. 2.  thi i hc khi B nm 2009 là mt dng ca bài toán này. Ta s xem xét mt vài ví d sau di dn khác nhau ca bài toán trên, t vic to ra mt phng (P) hoc thay th (P) bng các d kin tng đng, ta có th có cái nhìn đa chiu cho 1 bài toán. Phng pháp gii mt s bài toán cc tr trong hình hc không gian ____________________________________________________________________________ Nguyn Ngc Minh - T Toán - THPT s 3 Thành ph Lào Cai Ví D 1: ( đ thi tuyn sinh đi hc cao đng nm 2009 - khi B) Cho mt phng (P) : x - 2y + 2z - 5 = 0 và hai đim A(-3; 0; 1) và B(1; -1; 3). Trong các đng thng đi qua A và song song vi (P), vit phng trình đng thng d sao cho khong cách t B đn d là nh nht. Phân tích: Rõ ràng t ý tng ca bài toán trên cùng vi bài toán qua 1 đim tn ti duy nht mt mt phng song song vi mt phng cho trc, ta đã đa đn mt bài toán c th và ít tng minh hn. Li gii: Gi (Q) là mt phng song song vi mt phng (P) và qua A ⇒ (Q) có phng trình : x + 3 - 2y + 2(z-1) = 0 x - 2y + 2z + 1 = 0 ⇔ Áp dng kt qu bài toán trên, gi H là hình chiu ca B trên (P). D dàng tính toán đc H ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ − 9 7 ; 9 11 ; 9 1 ⇒ AH ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ − 9 2 ; 9 11 ; 9 26 Vy đng thng cn tìm có phng trình : 2 1z 11 y 26 3x − + − == Ví d 2: Cho đng thng và hai đim A(2; -1; 1), B(0; 1;2). ⎪ ⎩ ⎪ ⎨ ⎧ += −= = Δ tz ty tx 2 1 2 : Vit phng trình đng thng d qua A, vuông góc vi Δ và cách B mt khong ln nht, nh nht. Phân tích: Mt phng (P) chính là mt phng qua A và vuông góc vi Δ . Khi đó bài toán tr v bài toán 5. Áp dng bài toán trên, ta có li gii. Li gii. Gi (P) là mt phng qua A và vuông góc vi Δ ⇒ (P) có phng trình: ⇔ 2x - y + z -6 = 0. 2 (x -2) - (y + 1) + (z-1) = 0 Gi H, K ln lt là hình chiu ca B trên (P) và Δ , ta có d(B,d) = BK 1, BK ≤BA max BK = AB K⇒ ⇔ ≡ A hay d qua A và vuông góc vi AB Có AB (-2; 2; 1) và véc t pháp tuyn ca (P) là n (2; - 1; 1) ⇒ d có véc t ch phng ]n;AB[u = = ( 3; 4; -2) ng thng d cách B mt khong ln nht là đng thng qua A và có véc t ch phng u ( 3; 4; -2). d F B H A K Phng trinh d là : 2 1z 4 1y 3 2x − − = + = − 2, BK ≥ BH (không đi) ⇒minBK = BH khi K ≡ H hay d là đng thng qua A và H Gi Δ là đng thng qua B và vuông góc vi (P). 1 1 Δ có phng trình: ⎪ ⎩ ⎪ ⎨ ⎧ += −= = tz ty tx 2 1 2 Phng pháp gii mt s bài toán cc tr trong hình hc không gian ____________________________________________________________________________ Nguyn Ngc Minh - T Toán - THPT s 3 Thành ph Lào Cai H = (P) nên ta đ H tha mãn h: 1 Δ ∩ ⎪ ⎪ ⎩ ⎪ ⎪ ⎨ ⎧ ⎪ ⎪ ⎩ ⎪ ⎪ ⎨ ⎧ = = = = ⇔ =−+− += −= = 6/17 6/1 3/5 6/5 06zyx2 t2z t1y t2x z y x t ⇒ H ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ 6 17 ; 6 1 ; 3 5 ⇒ AH ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ −− 6 11 ; 6 7 ; 3 1 ⇒ chn véc t ch phng ca d là d u (2; -14; -11) ng thng d cách B mt khong nh nht có phng trình: 11 1z 14 1y 3 2x − − = − + = − Ví d 3: Cho A(1; 4; 2) , B(-1;2;4) và đng thng d có phng trình . ⎪ ⎩ ⎪ ⎨ ⎧ = +−= −= tz ty tx 2 2 1 Trong các đng thng qua A và ct d, vit phng trình đng thng cách B mt khong ln nht, nh nht. Phân tích: Mt phng (P) trong ví d này là mt phng qua d và A. Nh vy ví d đc xây dng t bài toán trên và cách xác đnh mt phng qua 1 đim và 1 đng thng. Li gii: ng thng d qua M(1; -2; 0) và có véc t ch phng u (-1; 1; 2) ; MA (0; 6; 2) Gi (P) là mt phng qua A và d ⇒ (P) có véc t pháp tuyn ]MA;u[n = =(-10;2;-6) (5; -1; 3) , khi đó (P) có phng trình: Chn véc t pháp tuyn ca (P) là P n 5(x-1) - (y - 4) + 3 (z - 2) = 0 ⇔ 5x - y + 3z -7 = 0 ng thng qua A và ct d Δ Δ nm trong (P). Theo kt qu bài toán trên ta có: ⇒ 1, Δ cách B mt khong ln nht ⇔ Δ vuông góc vi AB BA (-2; -2; 2) ⇒ có véc t ch phng Δ Δ u = ]n;AB[ P = (-4; 16; 12) Chn 1 u (-1;4;3) là véc t ch phng ca Δ ( 1 u không cùng phng u ) ng thng ct d và tha mãn bài toán có phng trình : Δ 3 2z 4 4y 1 1x − = − = − − 2, ng thng cách B mt khong ln nht Δ ⇔ Δ qua A và H ⇒ Xác đnh H : Gi Δ là đng thng qua B và vuông góc vi (P). 1 1 Δ có phng trình: ⎪ ⎩ ⎪ ⎨ ⎧ += −= +−= tz ty tx 34 2 51 H = (P) nên ta đ H tha mãn h: 1 Δ ∩ ⎪ ⎪ ⎩ ⎪ ⎪ ⎨ ⎧ =−+− += −= +−= 07z3yx5 t34z t2y t51x Phng pháp gii mt s bài toán cc tr trong hình hc không gian ____________________________________________________________________________ Nguyn Ngc Minh - T Toán - THPT s 3 Thành ph Lào Cai ⇒ H ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ − 35 146 ; 35 68 ; 7 5 ⇒ AH ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ −− 35 76 ; 35 72 ; 35 60 Chn véc t ch phng ca là Δ 2 u (15; 18; -19) ( 2 u không cùng phng u ) ng thng ct d và tha mãn bài toán có phng trình : Δ 19 2z 18 4y 15 1x − − = − = − Bài toán 6: Cho mt phng (P), đim A thuc (P) và đng thng d ct (P). Xác đnh đng thng Δ nm trong (P), đi qua A và hp vi d mt góc ln nht, nh nht. Phân tích: T cách xác đnh góc gia hai đng thng trong không gian là góc gia hai đng thng cùng đi qua 1 đim ta xác đinh d' qua A và song song vi d. Khi đó (d, ) = (d', ). Vy phi xác đnh góc gia d' và Δ Δ Δ , sau đó liên h vi góc không đi là góc gia d' và (P). Li gii: Gi d' là đng thng qua A và song song vi d , ta có (d, ) = (d', ) và (d,(P)) = (d',(P)) Δ Δ F d' O d H A M Gi M là đim bt kì trên d', H và K tng ng là hình chiu ca M trên (P) và Δ ⇒ góc gia d' và Δ là = α ∠ MAK, góc gia d' và (P) là = ϕ ∠ MAH 1, Ta luôn có: sin MA MK = α , sin MA HM = ϕ và MK ≥MH ⇒ sin α ≥sin ϕ ⇒ α ≥ ϕ ⇒ min α = ϕ khi H K hay là đng thng qua A và H. Khi đó, véc t ch phng ca ≡ Δ Δ là: Δ u = ]n];n;u[[ PPd . Vy là đng thng hoàn toàn xác đnh qua A và có véc t ch phng Δ Δ u . 2, α ≤90 0 max⇒ α =90 0 khi Δ vuông góc vi d' ⇒Véc t ch phng ca Δ là: Δ u = ]n;u Pd [ . Vy là đng thng hoàn toàn xác đnh. Δ Ví d: Cho đng thng d : 3 2z 1 y 2 1x − + == − và mt phng (P) : 2x + y + z +1 = 0. im A(0;2;1) thuc (P). Vit phng trình đng thng Δ nm trong (P), đi qua A và hp vi d mt góc ln nht, nh nht. Li gii: d có véc t ch phng u (2;1;-3); (P) có véc t pháp tuyn n (2;1;1). Theo kt qu bài toán trên: 1, Δ hp vi d mt góc ln nht khi Δ vuông góc vi d véc t ch phng ca ⇒ Δ là: = Δ u ]n;u[ = (4; -8; 0). Chn 1 u =(1;-2;0 ) là véc t ch phng ca Δ . Ta có phng trình : Δ ⎪ ⎩ ⎪ ⎨ ⎧ = −= = 1 22 z ty tx 2, Δ hp vi d mt góc nh nht khi Δ song song vi hình chiu ca d trên (P) ⇒véc t ch phng ca là: Δ 2 u = ]n;u[ 1 = (2; -1; 5). Vy phng trình là: Δ Phng pháp gii mt s bài toán cc tr trong hình hc không gian ____________________________________________________________________________ Nguyn Ngc Minh - T Toán - THPT s 3 Thành ph Lào Cai 5 1z 1 2y 2 x − = − = − Chú ý: Nu d//(P) hoc d nm trong (P) thì đng thng nm trong (P), đi qua A và hp vi d mt góc ln nht là 90 0 , góc nh nht là 0 0 . Bài toán 7: Cho mt phng (P) và đim A thuc (P). ng thng d ct (P) ti mt đim khác A. Xác đnh đng thng nm trong (P), đi qua A sao cho khong cách gia và d là ln nht. Δ Δ Phân tích: T khong cách gia hai đng thng là khong cách gia đng thng và mt phng cha đng thng còn li và song song vi đng đng thng xác đnh đng thng d' qua A và d'//d mt phng cha và d' song song d ⇒ ⇒ Δ ⇒ d(d, Δ ) = d(d;(d'; )). Δ Vn t ý tng : bài toán hi khong cánh gia d và , ta xác đnh khong cánh đó và so sánh vi khong cách không đi. Δ d' d J M F C B Li gii: Gi d' là đng thng qua A và d'//d. Gi s đã xác đnh ⇒ d' và cùng nm trong mt mt phng (Q). Δ ⇒ Δ Gi H, K ln lt là hình chiu ca B trên (Q) và d' BH ≤ BK ⇒ max BH = BK ⇔ H ≡ K hay (Q) nhn B K làm véc t pháp tuyn. Hoc gi I là hình chiu ca A trên d AI // BK ⇒ ⇒ AI là véc t pháp tuyn ca mt phng (Q) (Q) hoàn toàn xác đnh là giao tuyn ca (Q) và (P) ⇒ ⇒ ⇒ Δ Δ hoàn toàn xác đnh. Ví d : Cho mt phng (P) : 2x + y - z +1 = 0 và đng thng d : 1 z 2 1y 3 3x = − + = − . im A(0;2;3) nm trong (P). Vit phng trình đng thng Δ đi qua A sao cho khong cách gia d và là ln nht. Δ Li gii: Theo kt qu bài toán trên: Gi B = d (P), d xác đnh đc B(-3; 3; -2) ∩ ≠ A ( hoc thay ta đ A và phng trình d A ∉d). ⇒ (P) có véc t pháp tuyn P n (2; 1;-1). Gi I là hình chiu ca A trên d ⇒ I ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ − 7 6 ; 7 5 ; 7 3 ⇒ IA ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ − 7 27 ; 7 9 ; 7 3 Chn véc t pháp tuyn ca (Q) là Q n (1; -3;9). Vì Δ là giao tuyn ca (Q) và (P) nên ⇒ véc t ch phng ca là: Δ u = ]n;[ Q P n =(-12; 19; 7) ⇒ Δ qua A và có véc t ch phng ca u có phng trình: 7 3z 19 2y 12 x − = − = − [...]... tr trong hình h c gi i tích, t ó có k n ng gi i thành th o các bài toán thu c ch này và h n th có th làm công c gi i m t s lo i bài toán khác nh b t ng th c, gi i ph ng trình… 2 Gi i quy t c t ng i tri t bài toán c c tr hình h c trong hình h c gi i tích 3 Thông qua vi c phân tích, tìm con ng t i u cho bài toán, m r ng bài toán t o cho các em kh n ng làm vi c c l p, sáng t o, phát huy t i a tính tích. .. ng pháp gi i m t s bài toán c c tr trong hình h c không gian Nh n xét: 1, T t c 7 bài toán trên có th gi i b ng ph ng pháp gi i tích, tìm giá tr l n nh t, nh nh t t công th c tính kho ng cách, góc Ph ng pháp thì r t rõ ràng nhung tính toán l i r t ph c t p Con ng s d ng y u t hình h c không gian nh trên làm cho bài toán tr nên d dàng và thú v h n 2 T các bài toán g c ó không nh ng ta có th cho các bài. .. theo b t ng th c véc t vào bài toán tìm giá tr l n nh t nh nh t trong gi i tích, gi i ph ng trình hay b t ph ng trình… L I K T: Trên ây là m t v n nh v n i dung bài toán c c tr hình h c mà tôi mu n c p n i u tôi mu n làm ây là m t s ph ng pháp tìm l i gi i cho bài toán, qua ó xây d ng các bài toán m i T ó giúp các em h c sinh hi u sâu, hi u rõ v n và th y r ng vi c gi i các bài toán nh trên nh nhàng h... tr v bài toán ta ã bi t tr ng h p 1.Nh ng vi c m r ng ý t ng ó A1 và B khác phía, cho nh ng bài toán khác trong không gian không ph i h c sinh nào c ng th c hi n c N u m r ng bài toán này sang không gian, thay ng th ng b i m t ph ng (P) thì bài toán t ng t , không h gây khó kh n ngay c v i h c sinh trung bình Nh ng n u m r ng trong không gian mà v n là ng th ng thì bài toán s tr nên khó kh n h n trong. .. là lý lu n chung cho các bài toán t ng t , v m t tính toán c ng khá nhi u (Tính to hai hình chi u c a A, B, tính dài các o n th ng AH, BI, tính to i m chia, khi hai hình chi u có to không nguyên thì tính toán khá n ng n so v i cách gi i tr c 2 Cách gi i tr c ng n g n h n, m r ng c sang nhi u bài toán nh bài toán tìm GTNN và bài toán gi i ph ng trình hay b t ph ng trình Nên trong quá trình gi i thi... c ó không nh ng ta có th cho các bài toán c th mà còn nhi u i u ta có th t p cho h c sinh có cái nhìn a chi u c a m t bài toán ho c sáng t o các bài toán khác t vi c thay th các gi thi t t ng ng Ph n III: Các bài toán v i m Ta ã biêt bài toán r t c b n sau trong m t ph ng: i m M sao cho MA+MB t giá tr "Cho ng th ng và hai i m A,B Tìm trên nh nh t." L i gi i bài toán c chia 2 tr ng h p: Ta d dàng ch... Nguy n Ng c Minh - T Toán - THPT s 3 Thành ph Lào Cai Ph ng pháp gi i m t s bài toán c c tr trong hình h c không gian Ta có | KA KB | | u | | v | 6t 1 6 t 2 2 1 t t 2 1 2 u v , d u “=” x y ra khi hai véc t 2 t=1 2 u ; v cùng h ng K(3;0;1) tho mãn bài toán Cách 2: (Ph n 3) Theo k t qu bài toán trên G i H và I t H(1;1;0) ; AH c ng xác nh ng ng là hình chi u c a A và B trên 2 ; BI 1 AH... c m giác s bài toán c c tr trong hình h c gi i tích, nhi u em còn sôi n i phát bi u, th o lu n và tìm ra nhi u i u m i m t tài này Các em có cái nhìn t ng quát và có h th ng nên v n d ng m t cách linh ho t trong t ng bài toán c th i u quan tr ng là các em nh h ng cách gi i ngay t u và u phát hi n ra l i gi i ng n g n và t i u cho m i bài toán Th ba: Khi áp d ng xong tài này, kh n ng v hình c a các... c c a h c sinh theo úng tinh th n i m i ph ng pháp c a B giáo d c và ào t o i u quan trong là t o cho các em ni m tin, kh c ph c c tâm lý s bài toán c c tr hình h c Qua th c t gi ng d y chuyên này tôi th y các em h c sinh không nh ng n m v ng v ph ng pháp, bi t cách v n d ng vào nh ng bài toán c th mà còn r t h ng thú khi h c chuyên này M ts xu t M i bài toán th ng có nhi u cách gi i, vi c h c sinh... khuy n khích Song trong nh ng cách gi i ó c n phân tích rõ u i m và h n ch t ó ch n c cách gi i t i u c bi t c n chú ý t i nh ng cách gi i bài b n, có ph ng pháp và có th áp d ng ph ng pháp ó cho nhi u bài toán khác V i tinh th n nh v y và theo h ng này các th y cô giáo và các em h c sinh có th tìm ra c nhi u kinh nghi m hay v i tài khác nhau Ch ng h n, các bài toán v ng d ng ph ng pháp tìm giá tr l . quyt đc tng đi trit đ bài toán cc tr hình hc trong hình hc gii tích. 3. Thông qua vic phân tích, tìm con đng ti u cho bài toán, m rng bài toán to cho các em kh nng làm. KINH NGHIM " PHNG PHÁP GII MT S BÀI TOÁN CC TR TRONG HÌNH HC GII TÍCH" I - Lý do chn đ tài Trong chng trình hình hc lp 12, bài toán vit phng trình đng. có h thng v bài toán cc tr trong hình hc gii tích, t đó có k nng gii thành tho các bài toán thuc ch đ này và hn th có th làm công c đ gii mt s loi bài toán khác nh bt

Ngày đăng: 23/12/2014, 15:13

Từ khóa liên quan

Tài liệu cùng người dùng

  • Đang cập nhật ...

Tài liệu liên quan