Tài liệu hạn chế xem trước, để xem đầy đủ mời bạn chọn Tải xuống
1
/ 16 trang
THÔNG TIN TÀI LIỆU
Thông tin cơ bản
Định dạng
Số trang
16
Dung lượng
0,99 MB
Nội dung
Phng pháp gii mt s bài toán cc tr trong hình hc không gian ____________________________________________________________________________ Nguyn Ngc Minh - T Toán - THPT s 3 Thành ph Lào Cai SÁNG KIN KINH NGHIM " PHNG PHÁP GII MT S BÀI TOÁN CC TR TRONG HÌNH HC GII TÍCH" I - Lý do chn đ tài Trong chng trình hình hc lp 12, bài toán vit phng trình đng thng, mt phng và tìm đim là nhng bài toán chim mt v trí quan trng. Trong các đ thi đi hc luôn có vn đ này, song bài toán liên quan đn vn đ cc tr li là vn đ khó vi hc sinh và đòi hi hc sinh phi có t duy sâu sc. i vi hc sinh gii có th làm tt phn này, tuy nhiên cách gii còn ri rc, làm bài nào bit bài đy và thng tn nhiu thi gian cho các bài tp khó. Trong sách giáo khoa loi bài tp này không xut hin, trong các tài liu tham kho thì các bài tp này cha mang tính h thng, cha phân loi và cha ch ra đc đng li gii cho loi bài toán này. Trong hè nm 2008 và 2009, tôi đã có dp trao đi mt s ni dung vi lp Bi dng giáo viên thì đây cng là vn đ khó đi vi c các thy cô giáo. Vi nhng lý do trên, tôi mun hoàn thin mt lp các bài toán này nhm giúp các em hc sinh có cái nhìn tng quát và mang tính h thng cho vn đ này. Qua đó giúp hc sinh không phi e s phn này và quan trng hn là khi đng trc mt bài toán, hc sinh có th bt ngay đc cách gii, đc đnh hng khi làm bài, t đó có cách gii ti u cho mt bài toán. V vn đ này gn đây trong mt tp chí Toán hc tui tr cng có đ cp đn, nhng tôi xin trình bày vn đ vi góc nhìn ca riêng tôi, mc dù vì điu kin thi gian, kinh nghim và kin thc còn hn ch, có vn đ vic phát trin là cha nhiu, tôi s còn tip tc hoàn thin vn đ này và có thêm nhng ý tng mi trong quá trình ging dy. Rt mong nhn đc s đóng góp ý kin chnh sa đ đ tài này đc hoàn thin hn. II - Ni dung nghiên cu Trong đ tài này tôi chia thành 3 ni dung chính: Phn 1 : Bài toán vit phng trình mt phng Phn 2: Bài toán vit phng trình đng thng Phn 3: Các bài toán v đim Vi mi ni dung đc trình bày theo mt h thng lô gic cht ch t các bài toán đn gin đn phc tp, phân tích vn đ, phát trin vn đ đn phát trin bài toán. III - Phm vi nghiên cu Các kin thc trong khuôn kh chng trình toán THPT IV - i tng áp dng: 1. Ôn tp kin thc c bn cho hc sinh 12 2. Ôn thi đi hc 3. Bi dng hc sinh V - Tài liu tham kho: 1. Sách giáo khoa. 2. Các đ thi đi hc. 3. Tp chí Toán hc và tui tr Phng pháp gii mt s bài toán cc tr trong hình hc không gian ____________________________________________________________________________ Nguyn Ngc Minh - T Toán - THPT s 3 Thành ph Lào Cai 4. Mt s tài liu hình gii tích ca Phan Huy Khi. VI-NI DUNG TÀI Phn I : Vit phng trình mt phng C s lý thuyt: vit phng trình mt phng cn xác đnh hai yu t là mt đim thuc mt phng và mt véc t pháp tuyn ây cng chính là c s đ xây dng các bài toán. Ta bt đu t mt bài toán rt đn gin Bài toán 1: Cho hai đim A, B. Xác đnh mt phng (P) đi qua A và cách B mt khong ln nht. Phân tích: Gi s mt phng (P) đã đc xác đnh. Bài toán hi đn khong cách t B đn mt phng, đng nhiên ta phi xác đnh khong cách t B đn mt phng (P). xác đnh khong cách ln nht ta dùng bt đng thc đánh giá d(B, (P)) nh hn mt giá tr không đi và giá tr không đi đó là giá tr đã bit AB. B A Gii: Gi H là hình chiu ca B trên (P) d(B, (P)) = BH ⇒ Ta có BH AB không đi . Du " = " xy ra ≤ ⇔ H ≡ A ⊥ (P) ⇒ AB u uur là véc t pháp tuyn ca (P). Hay max BH = AB khi H A hay AB≡ n đây mt phng (P) hoàn toàn xác đnh là mt phng qua A và có véc t pháp tuyn AB u uur Bài toán này đn gin, ta có th cho vô s ví d. Tuy nhiên, ý tng đn gin đó s gn nh xuyên sut lp các bài toán v dng này. Mt câu hi đt ra là : vy mt phng qua A và cách B mt khong nh nht có tn ti hay không? bài toán đó có đc đt ra hay không? Ta bit khong cách gia hai đi tng bt kì là không âm, vì vy giá tr nh nht (nu có) luôn ln hn 0. Trong bài toán trên, d thy min d(B,(P))= 0 ⇔ B ∈ (P) hay (P) đi qua A và B. Do đó, có vô s mt phng tha mãn. Vì th bài toán này thng không đc đt ra, nu có thng phi đi kèm mt điu kin khác . Bài toán 2 Cho mt đng thng ; Mt đim A không thuc đng thng. Vit phng trình mt phng (P) qua và cách A mt khong ln nht. Δ Δ Phân tích: Phng pháp gii mt s bài toán cc tr trong hình hc không gian ____________________________________________________________________________ Nguyn Ngc Minh - T Toán - THPT s 3 Thành ph Lào Cai Xác đnh khong cách t A ti (P) và so sánh vi khong cách không đi. T đó liên h gia khong cách t A ti , đa ti li gii sau: Δ Li gii: Gi H là hình chiu ca A trên (P), K là hình chiu ca A trên ⇒ d(A,(P)) = AH. Ta có AH Δ ≤ AK ( không đi) Du "=" xy ra H ≡ K hay max AH = AK ⇔ F H K A ⇔ H K hay (P), tc là véc t pháp tuyn ca (P). ≡ AK uuur ⊥ AK uuur Do đó, mt phng (P) hoàn toàn đc xác đnh là mt phng qua mt đim bt kì ca Δ và có véc t pháp tuyn AK uuur thi đi hc khi A nm 2008 đc cho t bài toán này. T bài toán gc này ta cng có th cho nhiu bài toán. Câu hi tng t nh bài toán trên là Vy mt phng qua Δ và cách A mt khong nh nht có tn ti không? Câu tr li là d thy chính là mt phng cha Δ và A và khong cách nh nht là 0. Do đó, thay cho cách hi vit phng trình mt phng qua Δ và A thì bài toán có th đc phát trin theo cách trên là " tìm mt phng cha và cách A mt khong nh nht" và cng có th xut hin di nhiu dng khác. Δ Ví d 1: Cho hai đng thng 12 x1t x1 1 z3 : và : y 2 2 t 122 z2t y =− − ⎧ ++− ⎪ Δ== Δ=+ ⎨ − ⎪ =− ⎩ 1 Vit phng trình mt phng (P) qua Δ và cách 2 Δ mt khong ln nht. Li gii: D thy , do vy, khong cách t 2 1 //ΔΔ 1 Δ ti (P) bng khong cách t mt đim bt kì ca ti (P). Ly A(-4; -1; 3) , bài toán tr v: " Xác đnh mt phng (P) qua 1 Δ 1 ∈Δ 2 Δ và cách A mt khong ln nht." Theo bài toán trên, ta xác đnh hình chiu H ca A trên 2 Δ , d có H(0; 0; 2). mt phng (P) có véc t pháp tuyn ⇒ AH u uur =( 4; 1; -1) uuu Vy (P) qua H và có vtpt có phng trình: 4x + y - z + 2 = 0 AH r Bài toán 3: Cho hai đng thng ct nhau ti A. Vit phng trình mt phng (P) cha 12 và ΔΔ 2 Δ và hp vi mt góc ln nht. 1 Δ Phân tích: Xác đnh góc gia và (P) và so sánh vi mt góc không đi, t đó đa đn liên h vi góc gia hai đng thng. 1 Δ Phng pháp gii mt s bài toán cc tr trong hình hc không gian ____________________________________________________________________________ Nguyn Ngc Minh - T Toán - THPT s 3 Thành ph Lào Cai Li gii: Gi s (P) đã đc xác đnh. Gi M là đim bt kì và H, K tng ng là hình chiu ca M trên (P) và . Khi đó ( 1 ∈Δ 2 Δ 112 ,(P)) MAH , ( ; ) = MAK α ϕ Δ= =ΔΔ = (là góc không đi) Ta có: MH MK sin , sin = và MK MH MK MA αϕ =≥ nên sin sin α ϕα ≤⇒≤ ϕ ( vì hàm sin đng bin trong 0; và 2 π ϕ ⎡⎤ ⎢⎥ ⎣⎦ không đi) M F 3 H A F 4 M Suy ra : max = khi H K α ϕ ≡ hay MK ⊥ (P) ⇒ MK u uuur là véc t pháp tuyn ca (P), hay ta có th thy mt phng véc t pháp tuyn ca (P) là 12 (; ) (P)ΔΔ ⊥ ⇒ 12 2 ;,nuuu r ⎡ ⎤ ⎡⎤ = ⎣⎦ ⎣ ⎦ ur uuruur 1 Vy (P) hoàn toàn đc xác đnh. Nhn xét: 1. ng thng khi đó là hình chiu ca 2 Δ Δ trên (P). Do đó bài toán có th đc phát trin di dng " Xác đnh mt phng (P) sao cho 2 Δ là hình chiu vuông góc ca 1 Δ trên (P). Tuy nhiên khi đó mt phng (P) d dàng xác đnh hn. 2. Vì ta bit góc gia ( ;(P)) = ( 1 Δ ' 1 Δ ;(P)) nu ' 11 // Δ Δ⇒ 2 2 bài toán có th thay gi thit chéo nhau. Khi đó, ta ly mt đim A thuc 1 , ΔΔ Δ , qua đó vit phng trình thì bài toán tr v bài toán trên. ' 1 //ΔΔ 1 12 1 2 // ∨Δ≡Δ 2 3. Nu ΔΔ : mt phng cha Δ hoc cha 1 Δ hoc song song 1 Δ thì góc gia và (P) luông bng 0. Do đó bài toán không đc đt ra cho hai v trí trên. 1 Δ 4. Nu ct : mt phng cha 1 Δ 2 Δ 1 Δ và hp vi 2 Δ mt góc nh nht chính là mt phng cha 2 đng thng . 12 ,ΔΔ 12 ,ΔΔ Nu chéo nhau: Mt phng cha 2 Δ và hp vi 1 Δ mt góc nh nht chính là mt phng qua và song song . 2 Δ 1 Δ Ví d 2: Cho hai đng thng 1 x+1 y+3 z-2 : = = 3-2- Δ 1 và 2 x- 2 y+1 z-1 : = = 23- Δ 5 Vit phng trình mt phng (P) qua 2 Δ và hp vi 1 Δ mt góc ln nht. Li gii D thy chéo nhau. Ta ly đim A(2; -1; 1) 12 ,ΔΔ 2 ∈ Δ , qua A dng đng thng có phng trình: '' 11 // ΔΔ⇒Δ 1 x- 2 y+1 z-1 == 32- 1 11 2 2 có vtcp (3; 2; 1), có vtcp (2;3; 5) uuΔ−−Δ −⇒ ur uur . Khi đó: và tr v bài toán trên. ' 12 AΔ∩Δ = mt phng ' 12 (, ) Δ Δ có véc t pháp tuyn là , chn . Áp dng kt qu bài toán trên ta có véc t pháp tuyên ca mt phng (P) là : . 112 [ ; ] (13;13;13)nuu== ur ur uur 1 (1;1;1)n = ur 12 [; ] (8;7;1)nnu==− ruruur Phng pháp gii mt s bài toán cc tr trong hình hc không gian ____________________________________________________________________________ Nguyn Ngc Minh - T Toán - THPT s 3 Thành ph Lào Cai Mt phng (P) qua A và có véc t pháp tuyn n r có phng trình: 8(x - 2) - 7(y + 1) - (z - 1) = 0 8x - 7y - z - 22 = 0 ⇔ Chú ý: 1. Vi li gii ví d này, khi ta áp dng kt qu bài toán trên thì không nht thit phi xác đnh song đ trình bày li gii c th mt bài toán khi xut hin đc lp ta phi ch ra đy đ c s nh bài toán trên thì phi vit phng trình ' 1 Δ ' 1 Δ . 2. Vi bài toán này, khi ging dy các thy cô giáo có th đt ra rt nhiu bài toán c th t hai đng thng ct nhau hoc chéo nhau. Bài toán 4: Cho đng thng và mt phng (P) ct nhau. Xác đnh mt phng (Q) cha và hp vi (P) mt góc nh nht. Δ Δ Phân tích: Vì theo mt giao tuyn. Vn theo ý tng đu tiên, ta xác đnh góc gia (P) và (Q) và so sánh vi góc không đi trong bài toán này là góc gia và (P). ( ) (Q) (P)PAΔ∩ = ⇒ ∩ Δ Li gii: Gi A ( ; M là đim bt kì trên P)=Δ∩ Δ . Gi s (Q) đã xác đnh đc . (Q) (P) = d⇒∩ Gi H, K tng ng là hình chiu ca M trên (P) và d F A M H K ⇒ d góc gia hai mt phng (P) và (Q) là và góc gia HK d ⇒⊥ MKH ϕ = Δ và (P) là ( không đi).Ta có: = MAH α MH MH , sin = MA MK αϕ =sin và MA ≥ MK sin sin α ϕ ⇒≥ . Vì hàm sin đng bin trên 0; 2 π ⎡ ⎢ ⎣⎦ ⎤ ⎥ nên α ϕ ≥ (không đi). min khi K A ϕ α ⇒= ≡ , hay d ⊥ Δ . Suy ra, mt phng (Q) ct (P) theo mt giao tuyn vuông góc vi Δ thì góc ϕ là góc nh nht. Gi véc t pháp tuyn ca (P) là n r và véc t ch phng ca Δ là u r thì (Q) có véc t pháp tuyn là uu u r r . Vy mt phng (Q) hoàn toàn xác đinh là mt phng qua mt đim ca [[u; n];u] Q n = r r Δ và có véc t pháp tuyn Q n uur Ví d: Cho đng thng x-3 y z-1 : = = 2-13 Δ và mt phng (P) : x + y + z = 0 Vit phng trình mt phng (Q) cha Δ và hp vi (P) mt góc nh nht. Li gii: Áp dng bài toán trên, ta gi vtcp ca là uΔ r (2; -1;3), véc t pháp tuyn ca (P) là P n u ur (1; 1;1) thì giao tuyên d ca (P) và (Q) có véc t ch phng là d u=[u;n] P u urruur = ( -4; 1; 3) Phng pháp gii mt s bài toán cc tr trong hình hc không gian ____________________________________________________________________________ Nguyn Ngc Minh - T Toán - THPT s 3 Thành ph Lào Cai Véc t pháp tuyn ca mt phng (Q) là Qd n=[u;u] u ur u urr = (6; 18; 2) chn véc t pháp tuyn là (3; 9; 1). Mt phng (Q) qua M(3; 0; 1) ⇒ 1 n ur ∈ Δ và có véc t pháp tuyn có phng trình là: 1 n uur 3(x - 3) + 9y +z -1 = 0 3x + 9y + z - 10 = 0 ⇔ Nhn xét: 1. Giao tuyn ca 2 mt phng là mt trong nhng bài toán vit phng trình đng thng rt c bn: đng thng qua giao đim, nm trong mt phng và vuông góc vi đng thng cho trc. Tuy nhiên khi đc nâng lên mt bc nh bài toán này đã đc tích hp nhiu kin thc hn, đòi hi hc sinh hiu sâu hn các vn đ đã bit. 2. Mt phng qua và hp vi (P) mt góc ln nht có tn ti hay không? D thy đó là bài toán quen thuc: " mt phng qua Δ Δ và vuông góc vi (P) " ( góc ln nht bng 90 o ). 3. Vi Δ nm trong mt phng (P) hay song song vi (P) thì mt phng (Q) cha Δ và hp vi (P) mt góc nh nht là 0 0 , và góc ln nht là 90 0 4. Vi bài toán gc trên, ta có th đa ra nhiu bài tp cùng ni dung cho hc sinh làm t mt đng thng và 1 mt phng ct nhau. Phn II: Bài toán vit phng trình đng thng Bài toán 5: Cho mt phng (P), đim A thuc (P) và đim B không thuc (P). Tìm đng thng Δ nm trong (P), Δ qua A và cách B mt khong ln nhât, nh nht. Phân tích: Vn ý tng t bài toán hi khong cách t B ti , ta xác đnh khong cách t B ti Δ Δ và so sánh vi khong cách không đi. Trong bài toán này có 2 khong cách không đi là d(B,(P)) và BA. Li gii: Gi H, K tng ng là hình chiu ca B trên (P) và Δ ⇒ d(B, (P)) = BH và d(B, ) = BK. Δ F H D A M Ta luôn có BK ≤AB không đi nên BK = AB khi K ≡ A, tc là khong cách t B ti đng thng ln nht khi qua A và vuông góc vi AB. Δ Δ Mt khác BK≥ BH không đi minBK = BH khi K⇒ ≡ H hay khong cách t B ti đng thng nh nht khi qua A. Δ Δ Nhn xét: 1. Nh vy, cách cho bài toán này khá đn gin: cho mt phng (P) bt kì, ly mt đim A thuc (P) và mt đim B không thuc (P). Vi câu hi trên ta đã co 1 bài toán. Tuy nhiên đ ta đ đim H không l, ta nên bt đu t vic ly H trong (P). Thông thng, ta ly H có ta đ nguyên, sau đó vit phng trình đng thng d qua H và vuông góc vi (P); trên d ta mi ly B có ta đ nguyên thi s đa đn mt kt qu đp hn. 2. thi i hc khi B nm 2009 là mt dng ca bài toán này. Ta s xem xét mt vài ví d sau di dn khác nhau ca bài toán trên, t vic to ra mt phng (P) hoc thay th (P) bng các d kin tng đng, ta có th có cái nhìn đa chiu cho 1 bài toán. Phng pháp gii mt s bài toán cc tr trong hình hc không gian ____________________________________________________________________________ Nguyn Ngc Minh - T Toán - THPT s 3 Thành ph Lào Cai Ví D 1: ( đ thi tuyn sinh đi hc cao đng nm 2009 - khi B) Cho mt phng (P) : x - 2y + 2z - 5 = 0 và hai đim A(-3; 0; 1) và B(1; -1; 3). Trong các đng thng đi qua A và song song vi (P), vit phng trình đng thng d sao cho khong cách t B đn d là nh nht. Phân tích: Rõ ràng t ý tng ca bài toán trên cùng vi bài toán qua 1 đim tn ti duy nht mt mt phng song song vi mt phng cho trc, ta đã đa đn mt bài toán c th và ít tng minh hn. Li gii: Gi (Q) là mt phng song song vi mt phng (P) và qua A ⇒ (Q) có phng trình : x + 3 - 2y + 2(z-1) = 0 x - 2y + 2z + 1 = 0 ⇔ Áp dng kt qu bài toán trên, gi H là hình chiu ca B trên (P). D dàng tính toán đc H ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ − 9 7 ; 9 11 ; 9 1 ⇒ AH ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ − 9 2 ; 9 11 ; 9 26 Vy đng thng cn tìm có phng trình : 2 1z 11 y 26 3x − + − == Ví d 2: Cho đng thng và hai đim A(2; -1; 1), B(0; 1;2). ⎪ ⎩ ⎪ ⎨ ⎧ += −= = Δ tz ty tx 2 1 2 : Vit phng trình đng thng d qua A, vuông góc vi Δ và cách B mt khong ln nht, nh nht. Phân tích: Mt phng (P) chính là mt phng qua A và vuông góc vi Δ . Khi đó bài toán tr v bài toán 5. Áp dng bài toán trên, ta có li gii. Li gii. Gi (P) là mt phng qua A và vuông góc vi Δ ⇒ (P) có phng trình: ⇔ 2x - y + z -6 = 0. 2 (x -2) - (y + 1) + (z-1) = 0 Gi H, K ln lt là hình chiu ca B trên (P) và Δ , ta có d(B,d) = BK 1, BK ≤BA max BK = AB K⇒ ⇔ ≡ A hay d qua A và vuông góc vi AB Có AB (-2; 2; 1) và véc t pháp tuyn ca (P) là n (2; - 1; 1) ⇒ d có véc t ch phng ]n;AB[u = = ( 3; 4; -2) ng thng d cách B mt khong ln nht là đng thng qua A và có véc t ch phng u ( 3; 4; -2). d F B H A K Phng trinh d là : 2 1z 4 1y 3 2x − − = + = − 2, BK ≥ BH (không đi) ⇒minBK = BH khi K ≡ H hay d là đng thng qua A và H Gi Δ là đng thng qua B và vuông góc vi (P). 1 1 Δ có phng trình: ⎪ ⎩ ⎪ ⎨ ⎧ += −= = tz ty tx 2 1 2 Phng pháp gii mt s bài toán cc tr trong hình hc không gian ____________________________________________________________________________ Nguyn Ngc Minh - T Toán - THPT s 3 Thành ph Lào Cai H = (P) nên ta đ H tha mãn h: 1 Δ ∩ ⎪ ⎪ ⎩ ⎪ ⎪ ⎨ ⎧ ⎪ ⎪ ⎩ ⎪ ⎪ ⎨ ⎧ = = = = ⇔ =−+− += −= = 6/17 6/1 3/5 6/5 06zyx2 t2z t1y t2x z y x t ⇒ H ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ 6 17 ; 6 1 ; 3 5 ⇒ AH ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ −− 6 11 ; 6 7 ; 3 1 ⇒ chn véc t ch phng ca d là d u (2; -14; -11) ng thng d cách B mt khong nh nht có phng trình: 11 1z 14 1y 3 2x − − = − + = − Ví d 3: Cho A(1; 4; 2) , B(-1;2;4) và đng thng d có phng trình . ⎪ ⎩ ⎪ ⎨ ⎧ = +−= −= tz ty tx 2 2 1 Trong các đng thng qua A và ct d, vit phng trình đng thng cách B mt khong ln nht, nh nht. Phân tích: Mt phng (P) trong ví d này là mt phng qua d và A. Nh vy ví d đc xây dng t bài toán trên và cách xác đnh mt phng qua 1 đim và 1 đng thng. Li gii: ng thng d qua M(1; -2; 0) và có véc t ch phng u (-1; 1; 2) ; MA (0; 6; 2) Gi (P) là mt phng qua A và d ⇒ (P) có véc t pháp tuyn ]MA;u[n = =(-10;2;-6) (5; -1; 3) , khi đó (P) có phng trình: Chn véc t pháp tuyn ca (P) là P n 5(x-1) - (y - 4) + 3 (z - 2) = 0 ⇔ 5x - y + 3z -7 = 0 ng thng qua A và ct d Δ Δ nm trong (P). Theo kt qu bài toán trên ta có: ⇒ 1, Δ cách B mt khong ln nht ⇔ Δ vuông góc vi AB BA (-2; -2; 2) ⇒ có véc t ch phng Δ Δ u = ]n;AB[ P = (-4; 16; 12) Chn 1 u (-1;4;3) là véc t ch phng ca Δ ( 1 u không cùng phng u ) ng thng ct d và tha mãn bài toán có phng trình : Δ 3 2z 4 4y 1 1x − = − = − − 2, ng thng cách B mt khong ln nht Δ ⇔ Δ qua A và H ⇒ Xác đnh H : Gi Δ là đng thng qua B và vuông góc vi (P). 1 1 Δ có phng trình: ⎪ ⎩ ⎪ ⎨ ⎧ += −= +−= tz ty tx 34 2 51 H = (P) nên ta đ H tha mãn h: 1 Δ ∩ ⎪ ⎪ ⎩ ⎪ ⎪ ⎨ ⎧ =−+− += −= +−= 07z3yx5 t34z t2y t51x Phng pháp gii mt s bài toán cc tr trong hình hc không gian ____________________________________________________________________________ Nguyn Ngc Minh - T Toán - THPT s 3 Thành ph Lào Cai ⇒ H ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ − 35 146 ; 35 68 ; 7 5 ⇒ AH ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ −− 35 76 ; 35 72 ; 35 60 Chn véc t ch phng ca là Δ 2 u (15; 18; -19) ( 2 u không cùng phng u ) ng thng ct d và tha mãn bài toán có phng trình : Δ 19 2z 18 4y 15 1x − − = − = − Bài toán 6: Cho mt phng (P), đim A thuc (P) và đng thng d ct (P). Xác đnh đng thng Δ nm trong (P), đi qua A và hp vi d mt góc ln nht, nh nht. Phân tích: T cách xác đnh góc gia hai đng thng trong không gian là góc gia hai đng thng cùng đi qua 1 đim ta xác đinh d' qua A và song song vi d. Khi đó (d, ) = (d', ). Vy phi xác đnh góc gia d' và Δ Δ Δ , sau đó liên h vi góc không đi là góc gia d' và (P). Li gii: Gi d' là đng thng qua A và song song vi d , ta có (d, ) = (d', ) và (d,(P)) = (d',(P)) Δ Δ F d' O d H A M Gi M là đim bt kì trên d', H và K tng ng là hình chiu ca M trên (P) và Δ ⇒ góc gia d' và Δ là = α ∠ MAK, góc gia d' và (P) là = ϕ ∠ MAH 1, Ta luôn có: sin MA MK = α , sin MA HM = ϕ và MK ≥MH ⇒ sin α ≥sin ϕ ⇒ α ≥ ϕ ⇒ min α = ϕ khi H K hay là đng thng qua A và H. Khi đó, véc t ch phng ca ≡ Δ Δ là: Δ u = ]n];n;u[[ PPd . Vy là đng thng hoàn toàn xác đnh qua A và có véc t ch phng Δ Δ u . 2, α ≤90 0 max⇒ α =90 0 khi Δ vuông góc vi d' ⇒Véc t ch phng ca Δ là: Δ u = ]n;u Pd [ . Vy là đng thng hoàn toàn xác đnh. Δ Ví d: Cho đng thng d : 3 2z 1 y 2 1x − + == − và mt phng (P) : 2x + y + z +1 = 0. im A(0;2;1) thuc (P). Vit phng trình đng thng Δ nm trong (P), đi qua A và hp vi d mt góc ln nht, nh nht. Li gii: d có véc t ch phng u (2;1;-3); (P) có véc t pháp tuyn n (2;1;1). Theo kt qu bài toán trên: 1, Δ hp vi d mt góc ln nht khi Δ vuông góc vi d véc t ch phng ca ⇒ Δ là: = Δ u ]n;u[ = (4; -8; 0). Chn 1 u =(1;-2;0 ) là véc t ch phng ca Δ . Ta có phng trình : Δ ⎪ ⎩ ⎪ ⎨ ⎧ = −= = 1 22 z ty tx 2, Δ hp vi d mt góc nh nht khi Δ song song vi hình chiu ca d trên (P) ⇒véc t ch phng ca là: Δ 2 u = ]n;u[ 1 = (2; -1; 5). Vy phng trình là: Δ Phng pháp gii mt s bài toán cc tr trong hình hc không gian ____________________________________________________________________________ Nguyn Ngc Minh - T Toán - THPT s 3 Thành ph Lào Cai 5 1z 1 2y 2 x − = − = − Chú ý: Nu d//(P) hoc d nm trong (P) thì đng thng nm trong (P), đi qua A và hp vi d mt góc ln nht là 90 0 , góc nh nht là 0 0 . Bài toán 7: Cho mt phng (P) và đim A thuc (P). ng thng d ct (P) ti mt đim khác A. Xác đnh đng thng nm trong (P), đi qua A sao cho khong cách gia và d là ln nht. Δ Δ Phân tích: T khong cách gia hai đng thng là khong cách gia đng thng và mt phng cha đng thng còn li và song song vi đng đng thng xác đnh đng thng d' qua A và d'//d mt phng cha và d' song song d ⇒ ⇒ Δ ⇒ d(d, Δ ) = d(d;(d'; )). Δ Vn t ý tng : bài toán hi khong cánh gia d và , ta xác đnh khong cánh đó và so sánh vi khong cách không đi. Δ d' d J M F C B Li gii: Gi d' là đng thng qua A và d'//d. Gi s đã xác đnh ⇒ d' và cùng nm trong mt mt phng (Q). Δ ⇒ Δ Gi H, K ln lt là hình chiu ca B trên (Q) và d' BH ≤ BK ⇒ max BH = BK ⇔ H ≡ K hay (Q) nhn B K làm véc t pháp tuyn. Hoc gi I là hình chiu ca A trên d AI // BK ⇒ ⇒ AI là véc t pháp tuyn ca mt phng (Q) (Q) hoàn toàn xác đnh là giao tuyn ca (Q) và (P) ⇒ ⇒ ⇒ Δ Δ hoàn toàn xác đnh. Ví d : Cho mt phng (P) : 2x + y - z +1 = 0 và đng thng d : 1 z 2 1y 3 3x = − + = − . im A(0;2;3) nm trong (P). Vit phng trình đng thng Δ đi qua A sao cho khong cách gia d và là ln nht. Δ Li gii: Theo kt qu bài toán trên: Gi B = d (P), d xác đnh đc B(-3; 3; -2) ∩ ≠ A ( hoc thay ta đ A và phng trình d A ∉d). ⇒ (P) có véc t pháp tuyn P n (2; 1;-1). Gi I là hình chiu ca A trên d ⇒ I ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ − 7 6 ; 7 5 ; 7 3 ⇒ IA ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ − 7 27 ; 7 9 ; 7 3 Chn véc t pháp tuyn ca (Q) là Q n (1; -3;9). Vì Δ là giao tuyn ca (Q) và (P) nên ⇒ véc t ch phng ca là: Δ u = ]n;[ Q P n =(-12; 19; 7) ⇒ Δ qua A và có véc t ch phng ca u có phng trình: 7 3z 19 2y 12 x − = − = − [...]... tr trong hình h c gi i tích, t ó có k n ng gi i thành th o các bài toán thu c ch này và h n th có th làm công c gi i m t s lo i bài toán khác nh b t ng th c, gi i ph ng trình… 2 Gi i quy t c t ng i tri t bài toán c c tr hình h c trong hình h c gi i tích 3 Thông qua vi c phân tích, tìm con ng t i u cho bài toán, m r ng bài toán t o cho các em kh n ng làm vi c c l p, sáng t o, phát huy t i a tính tích. .. ng pháp gi i m t s bài toán c c tr trong hình h c không gian Nh n xét: 1, T t c 7 bài toán trên có th gi i b ng ph ng pháp gi i tích, tìm giá tr l n nh t, nh nh t t công th c tính kho ng cách, góc Ph ng pháp thì r t rõ ràng nhung tính toán l i r t ph c t p Con ng s d ng y u t hình h c không gian nh trên làm cho bài toán tr nên d dàng và thú v h n 2 T các bài toán g c ó không nh ng ta có th cho các bài. .. theo b t ng th c véc t vào bài toán tìm giá tr l n nh t nh nh t trong gi i tích, gi i ph ng trình hay b t ph ng trình… L I K T: Trên ây là m t v n nh v n i dung bài toán c c tr hình h c mà tôi mu n c p n i u tôi mu n làm ây là m t s ph ng pháp tìm l i gi i cho bài toán, qua ó xây d ng các bài toán m i T ó giúp các em h c sinh hi u sâu, hi u rõ v n và th y r ng vi c gi i các bài toán nh trên nh nhàng h... tr v bài toán ta ã bi t tr ng h p 1.Nh ng vi c m r ng ý t ng ó A1 và B khác phía, cho nh ng bài toán khác trong không gian không ph i h c sinh nào c ng th c hi n c N u m r ng bài toán này sang không gian, thay ng th ng b i m t ph ng (P) thì bài toán t ng t , không h gây khó kh n ngay c v i h c sinh trung bình Nh ng n u m r ng trong không gian mà v n là ng th ng thì bài toán s tr nên khó kh n h n trong. .. là lý lu n chung cho các bài toán t ng t , v m t tính toán c ng khá nhi u (Tính to hai hình chi u c a A, B, tính dài các o n th ng AH, BI, tính to i m chia, khi hai hình chi u có to không nguyên thì tính toán khá n ng n so v i cách gi i tr c 2 Cách gi i tr c ng n g n h n, m r ng c sang nhi u bài toán nh bài toán tìm GTNN và bài toán gi i ph ng trình hay b t ph ng trình Nên trong quá trình gi i thi... c ó không nh ng ta có th cho các bài toán c th mà còn nhi u i u ta có th t p cho h c sinh có cái nhìn a chi u c a m t bài toán ho c sáng t o các bài toán khác t vi c thay th các gi thi t t ng ng Ph n III: Các bài toán v i m Ta ã biêt bài toán r t c b n sau trong m t ph ng: i m M sao cho MA+MB t giá tr "Cho ng th ng và hai i m A,B Tìm trên nh nh t." L i gi i bài toán c chia 2 tr ng h p: Ta d dàng ch... Nguy n Ng c Minh - T Toán - THPT s 3 Thành ph Lào Cai Ph ng pháp gi i m t s bài toán c c tr trong hình h c không gian Ta có | KA KB | | u | | v | 6t 1 6 t 2 2 1 t t 2 1 2 u v , d u “=” x y ra khi hai véc t 2 t=1 2 u ; v cùng h ng K(3;0;1) tho mãn bài toán Cách 2: (Ph n 3) Theo k t qu bài toán trên G i H và I t H(1;1;0) ; AH c ng xác nh ng ng là hình chi u c a A và B trên 2 ; BI 1 AH... c m giác s bài toán c c tr trong hình h c gi i tích, nhi u em còn sôi n i phát bi u, th o lu n và tìm ra nhi u i u m i m t tài này Các em có cái nhìn t ng quát và có h th ng nên v n d ng m t cách linh ho t trong t ng bài toán c th i u quan tr ng là các em nh h ng cách gi i ngay t u và u phát hi n ra l i gi i ng n g n và t i u cho m i bài toán Th ba: Khi áp d ng xong tài này, kh n ng v hình c a các... c c a h c sinh theo úng tinh th n i m i ph ng pháp c a B giáo d c và ào t o i u quan trong là t o cho các em ni m tin, kh c ph c c tâm lý s bài toán c c tr hình h c Qua th c t gi ng d y chuyên này tôi th y các em h c sinh không nh ng n m v ng v ph ng pháp, bi t cách v n d ng vào nh ng bài toán c th mà còn r t h ng thú khi h c chuyên này M ts xu t M i bài toán th ng có nhi u cách gi i, vi c h c sinh... khuy n khích Song trong nh ng cách gi i ó c n phân tích rõ u i m và h n ch t ó ch n c cách gi i t i u c bi t c n chú ý t i nh ng cách gi i bài b n, có ph ng pháp và có th áp d ng ph ng pháp ó cho nhi u bài toán khác V i tinh th n nh v y và theo h ng này các th y cô giáo và các em h c sinh có th tìm ra c nhi u kinh nghi m hay v i tài khác nhau Ch ng h n, các bài toán v ng d ng ph ng pháp tìm giá tr l . quyt đc tng đi trit đ bài toán cc tr hình hc trong hình hc gii tích. 3. Thông qua vic phân tích, tìm con đng ti u cho bài toán, m rng bài toán to cho các em kh nng làm. KINH NGHIM " PHNG PHÁP GII MT S BÀI TOÁN CC TR TRONG HÌNH HC GII TÍCH" I - Lý do chn đ tài Trong chng trình hình hc lp 12, bài toán vit phng trình đng. có h thng v bài toán cc tr trong hình hc gii tích, t đó có k nng gii thành tho các bài toán thuc ch đ này và hn th có th làm công c đ gii mt s loi bài toán khác nh bt