Phương pháp giải nhanh các bài toán cực trị trong vật lí THPT

Trong chương trình trung học phổ thông việc sử dụng toán học vào giải các bài toán vật lí là rất điều không thể thiếu. Nhưng việc lựa chọn phương pháp nào cho phù hợp, ngắn gọn, hiệu quả và dễ hiểu không phải là đơn giản, nhất là đối với bài toán khó như bài toán cực trị. Học sinh thường lúng túng khi gặp các bài toán này vì đây là một dạng bài toán yêu cầu trình độ tư duy cao, học sinh có vốn kiến thức toán học vững chắc hơn thế nữa dạng bài này thường xuất hiện đơn lẻ , không có tính hệ thống, không có một phương pháp giải cụ thể nào.

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO HÀ TĨNH

TRƯỜNG THPT TRẦN PHÚ

=== ===

NGUYỄN MINH HUỆ

PHƯƠNG PHÁP GIẢI NHANH CÁC BÀI TOÁN CỰC

TRỊ TRONG VẬT LÍ THPT

SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM MÔN VẬT LÝ

Hà Tĩnh, tháng 5/ 2012

I Đặt vấn đề

Vật lí là môn khoa học cơ bản nghiên cứu các quy luật về sự vận động của

tự nhiên và nó có mối liên hệ mật thiết với các ngành khoa học khác, đặc biệt làtoán học Các lí thuyết vật lí là bất biến khi biểu diễn dưới dạng các quan hệtoán học và sự xuất hiện của toán học trong vật lí cũng thường phức tạp hơntrong các ngành khoa học khác

Trong chương trình trung học phổ thông việc sử dụng toán học vào giải cácbài toán vật lí là rất điều không thể thiếu Nhưng việc lựa chọn phương pháp nàocho phù hợp, ngắn gọn, hiệu quả và dễ hiểu không phải là đơn giản, nhất là đốivới bài toán khó như bài toán cực trị Học sinh thường lúng túng khi gặp các bàitoán này vì đây là một dạng bài toán yêu cầu trình độ tư duy cao, học sinh cóvốn kiến thức toán học vững chắc hơn thế nữa dạng bài này thường xuất hiệnđơn lẻ , không có tính hệ thống, không có một phương pháp giải cụ thể nào Nhằm giúp cho học sinh có cách nhìn tổng quát về các bài toán cực trị điểnhình trong vật lí THPT cũng như có phương pháp lựa chọn, định hướng phươngpháp giải, các bước giải cụ thể phù hợp với dạng bài đó nên tôi đã thực hiện đề

tài : “Phương pháp giải nhanh các bài toán cực trị trong Vật lí THPT” Khi

đưa các bài tập này vào hệ thống các bài tập rèn luyện và phát triển tư duy dànhcho đối tượng học sinh khá, giỏi tôi nhận thấy học sinh đã có nhiều tiến bộ,hứng thú hơn trong quá trình tìm tòi và khám phá các bài toán cực trị phức tạpkhác của vật lí

Do thời gian viết đề tài còn gấp gáp nên đề tài chắc còn nhiều thiếu sót, kínhmong sự góp ý và trao đổi từ quý đồng nghiệp để đề tài được hoàn thiện và cótác dụng hiệu quả hơn

II Giải quyết vấn đề

Bài toán cực trị là bài toán khảo sát giá trị cực đại, cực tiểu của một đạilượng vật lí nào đó Muốn có một phương pháp giải nhanh gọn, dễ hiểu trướchết ta sẽ đi tìm hiểu hệ thống các bài tập điển hình về cực trị trong chương trìnhvật lí từ lớp 10, 11 đến lớp 12 sử dụng các công thức toán học đặc biệt như bất

đẳng thức Cauchy, bất đẳng thức Bunhiacopxki, tam thức bậc hai,công thứccộng vận tốc, sử dụng định lí hàm số sin, cosin trong tam giác hoặc khảo sáthàm số Qua đó rút ra được phương hướng chọn phương pháp giải và các bước

để sử dụng phương pháp đó nhanh nhất, hiệu quả nhất

v ,vật m2

chuyển động với vận tốc



' 2

v Hãy xác định tỉ số

' 1 1

v

v để góc lệch α giữa v và 1



' 1

vđạt giá trị cực đại

Giải: Do hệ kín và va chạm là đàn hồi nên:

Áp dụng định luật bảo toàn động lượng ta có :

Từ (3) và (4) suy ra:

'

2 1 2 1 '

1 2

2 1 2 1 '

v m m với m1>m2 thì góc lệch α đạt giá trị cực đại

Bài 2 Một mạch điện được mắc R1 nối tiếp (đèn Đ mắc song song R2 ) Bóngđèn ghi 6V-3W, R1 =4Ω, U=10V, R2 là biến trở

a) R2 bằng bao nhiêu để công suất tiêu thụ trên R2 đạt giá trị cực đại

b) R2 bằng bao nhiêu để công suất tiêu thụ trên đoạn mạch song song đạt giá trịcực đại

b) Công suất tiêu thụ của đoạn mạch song song là :

Vậy khi R2 = 1,5Ω thì công suất đoạn mạch song song đạt giá trị cực đại

Bài 3 Vòng dây mảnh bán kính R tích điện đều mang điện tích q>0 đặt trong

không khí Tính cường độ điện trường tại M trên trục vòng dây cách O đoạn h.Xác định h để E đạt giá trị cực đại và tính giá trị cực đại đó

Giải :

Xét hai điện tích điểm ∆q nằm

ở vị trí đối xứng qua tâm O

Cường độ điện trường do chúng

E nằm trên OM, hướng ra xa O

Có độ lớn : ∆E=2∆E1 cosα = 2k2q

r = k2 q.h3

r

- Cường độ điện trường tổng hợp gây ra tại M là : EM E

Vậy E nằm trên OM, hướng ra xa O M

RnRGiải: Áp dụng bất đẳng thức Cauchy cho n số không âm:

Rn

Dấu ‘ =’ xảy ra khi n điện trở có giá trị bằng nhau

Bài 5 Cho mạch điện xoay chiều như hình vẽ

a) Xác định R để công suất tiêu thụ trên R đạt cực đại

b) Xác định R để công suất tiêu thụ trên toàn mạch đạt cực đại

Giải: Ta có : ZL = L = 100ZC = 1 200

 , Z = (R R ) 0 2(ZL Z )C 2a) Công suất tiêu thụ trên R là :

PR đạt max khi y đạt min.

Áp dụng bất đẳng thức Cauchy : y 2 R20(ZL Z )C 2 2R 0

Dấu ‘=’ xảy ra khi R R20(ZL Z ) C 2

Vậy khi R R20(ZL Z )C 2 thì PR (max) 

Dấu ‘=’ xảy ra khi R+R =|Z -Z0 L C |=> R=|Z -ZL C | R0

Vậy khi R=|Z ZL- C | R0 thì P(max) 



2 0

Bước 1: Đại lượng cần tìm giá trị cực trị có thể biến đổi để đưa về dạng phân sốtrong đó hoặc tử số (hoặc mẫu số) là một hàm chứa biến, thành phần còn lại làhằng số

Bước 2: Xét dấu hiệu nhận biết các điều kiện của hàm chứa biến có thỏa mãnđiều kiện sử dụng bất đẳng thức Cauchy hay không

Đó là điều kiện các số hạng là không âm a1,a2, ,an  0 và tích của chúng làkhông đổi a1.a2 an = const

Bước 3: Áp dụng bất đẳng thức để tìm ra giá trị cực đại ,cực tiểu của bài toán Bước 4: Tìm điều kiện để dấu ‘=’ của bất đẳng thức xảy ra

Bài 6 Người ta quấn một sợi dây không giãn và khối lượng không đáng kể

quanh một khối trụ khối lượng m Hỏi phải kéo dây bằng một lực Fmin, dưới góc

α bằng bao nhiêu để khối trụ quay tại chỗ Cho biết hệ số ma sát giữa khối trụ

và sàn là k

Giải: Các lực tác dụng được biểu trên hình

Do khối trụ không chuyển động tịnh tiến nên

tổng hình chiếu các lực trên phương 0x, 0y bằng 0

1 k khi tg k

Bài 7 Kéo một vật lên đều trên mặt phẳng nghiêng có góc nghiêng α, hệ số ma

sát k Hỏi góc β giữa vec tơ lực kéo 

F và mặt nghiêng là bao nhiêu để lực kéo làcực tiểu

Giải: Áp dụng định luật II Newton ta có :

β

α

yx

O

Hình b.7

Nhận xét: Trong biểu thức của F : tử số là không đổi, mẫu số thay đổi

F đạt min khi mẫu số đạt max Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki ta có :

để nhận biết có thể sử dụng bất đẳng thức này là tích (a +b ).(x +y ) phải bằnghằng số Cụ thể các trường hợp trên ta thấy xuất hiện 2  2 

Các bước giải bài toán loại này:

Bước 1: Biến đổi đưa đại lượng cần tìm giá trị cực trị về dạng phân số trong đóhoặc tử số (hoặc mẫu số) là một hàm chứa biến, thành phần còn lại là hằng số Bước 2: Xét hàm chứa biến sao cho tích (a +b ).(x +y )=const, có xuất hiện

II.3 Vận dụng công thức cộng vận tốc và định lí hàm số sin, cosin

II.3.1 Công thức cộng vận tốc và định lí hàm số sin, cosin

a ) Công thức cộng vận tốc

v13v12 v23

Trong đó :v là vận tốc vật 1 đối với vật 3 (vận tốc tuyệt đối)13

v là vận tốc vật 1 đối với vật 2 (vận tốc tương đối)12

v là vận tốc vật 2 đối với vật 3 (vận tốc kéo theo )23

b) Định lí hàm số sin, cosin

Định lí hàm số sin trong tam giác: = =

Định lí hàm số Cosin trong tam giác : a = b + c- 2b.c.cosA

Hình b.10

Thay (2) vào (1) => dmin=  

2 2

21 1 2 1 2

BHt

Bài 10 Hai vật nhỏ chuyển động trên hai trục tọa độ vuông góc với nhau Ox,Oy

và qua O cùng một lúc Vật thứ nhất chuyển động trên Ox theo chiều dương vớigia tốc 2m/s2, vận tốc khi qua O là 8m/s Vật 2 chuyển động chậm dần đều vớigia tốc 4m/s2, vận tốc khi qua O là 10m/s Xác định vận tốc nhỏ nhất của vật thứnhất đối với vật thứ hai trong khoảng thời gian từ lúc qua O đến khi vật thứ 2dừng lại

Nhận xét : f(t) là hàm bậc 2 của t với hệ số a>0

=> f(t) min tại t= = s < 2,5s và có giá trị

Vậy v12 có giá trị cực tiểu bằng m/s tại thời điểm t = s

Bài 11 Hai chiếc tàu biển chuyển động với cùng vận tốc hướng tới điểm O trên

hai đường thẳng hợp nhau một góc 600 Hãy xác định khoảng cách nhỏ nhấtgiữa hai con tàu Cho biết lúc đầu chúng cách O những khoảng cách d1=60km,

Xét chuyển động tương đối của vật 1 đối với vật 2 ta có :

12 1 2 1 2

Dmin=BH, ∆OAK là tam giác đều (vì tốc độ hai tàu là như nhau)

Dmin=KB.sinα mà KB=l2 - l1 =20 km => Dmin=20.sin600 =10 km

Bài 12 Một vật trượt từ đỉnh dốc, cho trước l, góc α có thể thay đổi được Vận

tốc ban đầu bằng 0 Hệ số ma sát giữa vật và mặt phẳng nghiêng là k Mặt phẳngnghiêng là đứng yên Tính α để thời gian đi từ đỉnh dốc tới chân dốc là nhỏ nhất.Tính t khi đó?

Giải: Đường đi từ đỉnh đến chân dốc là 



lScos

II.3.3 Kết luận

Phương pháp vận dụng công thức cộng vận tốc kết hợp các công thức lượnggiác là một cách giải quyết vấn đề khá nhanh gọn đối với bài toán chuyển độngthay cho cách làm lập phương trình chuyển động thông thường Phương phápnày có nét đặc trưng chính hình thành các bước giải cụ thể như sau :

Bước 1 : Tính vận tốc tương đối của các vật với nhau v12 qua biểu thức vectơcộng vận tốc

Bước 2 : Dựa vào phương chiều của các vecto vận tốc thành phần để xác định

độ lớn của v12

Bước 3 Tìm sự phụ thuộc đại lượng tìm cực trị với độ lớn v12

II.4 Vận dụng tam thức bậc hai

II.4.1 Tam thức bậc hai

Cho hàm y = f (x) = ax2 + bx + c

+ Nếu a > 0 thì ymin tại đỉnh Parabol

+ Nếu a < 0 thì ymax tại đỉnh Parabol

+ Tọa độ đỉnh : x = - b ; y

 

 ( = b2 - 4ac)+ Nếu  = 0 thì phương trình y = ax2= bx + c = 0 có nghiệm kép

+ Nếu  > 0 thì phương trình có 2 nghiệm phân biệt

II.4.2 Bài tập vận dụng

Bài 13 Có 20g khí Heli chứa trong xilanh đậy kín bằng pittông biến đổi chậm từ

(1)=>(2) theo đồ thị mô tả bởi hình :

Cho V1=30 lít , p1=5 atm, V2 =10 lít , p2=15 atm Hãy tìm nhiệt độ cao nhất màkhí đạt được trong quá trình biến đổi

2 (lít) và Tmax= 400 

Vậy Tmax=487,8K

Bài 14 Một người đứng trên bờ hồ tại điểm A Người đó phải tới được điểm B

trên bờ hồ trong khoảng thời gian ngắn nhất Cho biết khoảng cách từ B tới bờ

hồ là d , khoảng cách AH=S ,vận tốc người đi trên bờ hồ là v1 , vận tốc ngườibơi trong nước là v2 (v1 > v2 ) Hỏi người đó phải đi theo kiểu nào từ A tới B:Bơi thẳng từ A tới B hay đi một đoạn nào đó trên bờ sau đó bơi ra B?

B

xHình b.14

v v





Nếu x≥S thì cần phải bơi thẳng đến B

Nếu x≤S thì phải đi trên bờ một đoạn AD=S-x, sau đó mới bơi về B

Bài 15 Một hạt điện tích âm q có khối lượng m, vận tốc ban đầu , bay vào

khoảng không gian giữa hai bản kim loại phẳng song song, tích điện đều nhưnhau và trái dấu qua một lỗ nhỏ O ở bản dương, vận tốc lập với bản dươngmột góc α Khoảng cách giữa hai bản là d, hiệu điện thế U

Viết phương trình quỹ đạo của electron, tính khoảng cách h gần bản âm nhất

a

2v cosGọi H là độ cao mà hạt đạt tới



2 2 0

2 2

C C

C min 2 2 L max

Vậy khi L= (H) thì ULmax=200 (V)

Bài 17 Cho mạch điện xoay chiều như hình vẽ

(H), tụ điện có điện dung C thay đổi được

Xác định C để hiệu điện thế hai đầu tụ điện đạt giá trị cực đại

Hình b.16

Hình b.17

Giải: Cảm kháng : ZL = L=100Ω, Dung kháng : ZC =



1C

2 2

L L

L min 2 2 C max

Bước 2: Dùng dấu hiệu nhận biết của tam thức bậc hai để suy ra cực trị ví dụnhư nếu a > 0 thì ymin tại đỉnh Parabol,nếu a < 0 thì ymax tại đỉnh Parabol

Bước 3 Tìm giá trị của biến x để đạt giá trị cực trị

II.5.Vận dụng phương pháp khảo sát hàm số

II.5.1 Khảo sát hàm số

Xét hàm y=f(x)

+ Đạo hàm y theo biến x

+ Lập bảng biến thiên hàm số, tìm giá trị cực trị của hàm

II.5.2.Bài tập vận dụng

Bài 18 Cho 10g khí Hiđro thực hiện quá trình chuyển trạng thái tuân theo quy

luật sau: P = aV2 - b Tìm nhiệt độ cực tiểu của lượng khí

Giải: a) Số mol khí Hiđrô là : n = = 5 mol

V 0

b3a + ∞T’(V) - 0 +

Bài 19 Cho mạch điện xoay chiều như hình vẽ

Đặt vào hai đầu mạch với nguồn

điện xoay chiều có hiệu điện thế

U = const nhưng tần số thay đổi được

Xác định giá trị ω để hiệu điện thế hai đầu cuộn cảm đạt giá trị cực đại

Z(1)

M

Hình b.19

Lấy đạo hàm của A theo biến số x ta thu được:     

Bài 20 Cho mạch điện xoay chiều như hình vẽ

Đặt vào hai đầu đoạn mạch hiệu điện thế:

UAB = 200 2 cos(100πt- 

4 )(V)Cuộn dây thuần cảm,điện dung C có thể thay đổi được Xác định giá trị của C để

UAM đạt cực đại

Giải: Do đoạn mạch AM có R và C mắc nối tiếp nhau suy ra

M A

B

Hinh b.20

II.5.3 Kết luận

Phương pháp khảo sát hàm số chính là phương pháp dùng đạo hàm để tìm cựctrị của một đại lượng vật lí mà các bước tiến hành của nó như sau:

Bước 1: Tính đạo hàm hàm cần tìm cực trị theo biến x

Bước 2: Lập bảng biến thiên

Bước 3: Dựa vào bảng biến thiên suy ra vị trí cực trị

Bước 4: Thay giá trị của biến mà tại đó hàm đạt cực trị để tìm giá trị cực trị

III Kết luận

Hệ thống các bài tập tôi đã đưa ra trên đây đã phần nào đem lại cho học sinh

có cách nhìn bao quát hơn về các dạng bài tập cực trị điển hình trong chươngtrình vật lí trung học phổ thông và các phương pháp giải nhanh các dạng bài tập

đó Bằng thực tế giảng dạy, khi đưa các bàì tập này cho học sinh rèn luyện đãthu được kết quả khả quan, hầu như các dạng bài này học sinh đều biết vận dụng

và cho kết quả nhanh Đề tài còn nhiều thiếu sót, rất mong được sự góp ý củaquý thầy cô để đề tài được mở rộng, phát triển và có hiệu quả hơn

Danh mục tài liệu tham khảo

[1] GS.TS Nguyễn Quang Báu - Nguyễn Cảnh Hòe Bài tập Vật lí 10 nâng cao,

NXB Đại học quốc gia Hà Nội, 2004

[2] Bùi Quang Hân - Trần Văn Bồi - Phạm Văn Tiến - Nguyễn Thành Tương

Giải toán Vật lí 10 (tập I,tập II),Giải toán Vật lí 11(tậpI), NXB Giáo dục, 2001.

[3] Lưu Đình Tuân Bài tập Vật lí 10 nâng cao, NXB trẻ, 1997

[4] Phạm Văn Thiều - Đoàn Văn Ro - Nguyễn Văn Phán Các phương pháp

vàng giải bài tập Vật lí THPT, NXB Giáo dục, 2009

[5] Ths.Hoàng Danh Tài Hướng dẫn giải nhanh các dạng bài tập trắc nghiệm

Vật lí (tập II) ,NXB Đại học quốc gia Hà Nội, 2009

[6] Vũ Thanh Khiết Kiến thức cơ bản nâng cao Vật lí THPT (tậpI,II,III), NXB

Hà Nội , 2003