Luận văn thạc sỹ toán học:nghiên cứu 1 số phương trình nhiệt phi tuyến trong không gian Sobolev có trọng

ĐẠI HỌC QUỐC GIA TP. HỒ CHÍ MINH TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN CHÂU ANH DŨNG NGHIÊN CỨU MỘT SỐ PHƯƠNG TRÌNH NHIỆT PHI TUYẾN TRONG KHÔNG GIAN SOBOLEV CÓ TRỌNG Luận văn thạc sỹ khoa học Chuyên ngành Toán giải tích Mã số 1. 01. 01 Thành phố HỒ CHÍ MINH 2003 ĐẠI HỌC QUỐC GIA TP. HỒ CHÍ MINH TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN CHÂU ANH DŨNG NGHIÊN CỨU MỘT SỐ PHƯƠNG TRÌNH NHIỆT PHI TUYẾN TRONG KHÔNG GIAN SOBOLEV CÓ TRỌNG Luận văn thạc sỹ khoa học Chuyên ngành Toán giải tích Mã số 1. 01. 01 Người hướng dẫn Tiến sy õ NGUYỄN THÀNH LONG Tiến sy õ NGUYỄN CÔNG TÂM ( Khoa Toán – Trường Đại học Khoa học Tự nhiên Tp HỒ CHÍ MINH ) Người nhận xét Thành phố HỒ CHÍ MINH 2003 Luận văn được hoàn thành tại: Trường Đại học Khoa học Tự Nhiên Người hướng dẫn: TS. Nguyễn Thành Long và TS. Nguyễn Công Tâm Khoa Toán – Tin học, Đại học Khoa học Tự Nhiên Tp. Hồ Chí Minh. Người nhận xét 1: Người nhận xét 2: Học viên cao học: Châu Anh Dũng Luận văn sẽ được bảo vệ tại Hội Đồng chấm luận văn cấp Trường tại Đại học Khoa học Tự Nhiên Tp. Hồ Chí Minh vào lúc giờ ngày tháng năm 2003 Có thể tìm hiểu luận văn tại Phòng Sau Đại học, thư viện Trường Đại học Khoa học Tự Nhiên Tp. Hồ Chí Minh. Thành phố HỒ CHÍ MINH - 2003- LỜI CẢM ƠN Lời đầu tiên, xin trân trọng cảm ơn hai Thầy hướng dẫn tôi là Tiến só Nguyễn Thành Long và Tiến só Nguyễn Công Tâm, các thầy đã tận tình giúp đỡ tôi trong quá trình học tập cũng như trong việc hoàn thành luận văn. Xin trân trọng cảm ơn các Thầy, Cô thuộc thuộc Khoa Toán-Tin Học trường Đại học Khoa học Tự nhiên đã tận tình giảng dạy cho tôi trong thời gian học tập. Xin trân trọng cảm ơn các Tiến só Nguyễn Đình Phư, Tiến só Nguyễn Hội Nghóa, Tiến só Đặng Đức Trọng và Tiến só Nguyễn Văn Nhân đã đọc luận văn và cho tôi những nhận xét quý báu. Xin trân trọng cảm ơn Thạc sỹ Bùi Tiến Dũng đã đọc và sửa chữa giúp những sai sót trong bản thảo luận văn. Xin trân trọng cảm ơn Phòng Quản lý Khoa học- Hợp tác Quốc tế- Sau Đại học Trường Đại Học Khoa Học Tự Nhiên TP. Hồ Chí Minh, Ban Giám Hiệu trường THPT Võ Thò Sáu đã động viên và tạo mọi điều kiện thuận lợi cho tôi hoàn tất chương trình học. Xin chân thành cảm bạn bè đồng nghiệp, các bạn học lớp Cao học khóa 10 đã luôn động viên và nhiệt tình giúp đỡ tôi trong quá trình học. Châu Anh Dũng MỤC LỤC Trang Chương 1: Phần tổng quan…………………………………………………… 1 Chương 2: Các kết quả chuẩn bò – Các không gian hàm…………………… 4 Chương 3: Nghiệm bài toán điều kiện đầu phi tuyến……………………… 16 Chương 4: Nghiệm T – tuần hoàn của bài toán phi tuyến………………… 28 Chương kết luận …………………………………………………………… 39 Tài liệu tham khảo ……………………………………………………………40 1 CHƯƠNG 1 PHẦN TỔNG QUAN Trong luận văn này, chúng tôi nghiên cứu một số phương trình nhiệt phi tuyến trong một hình trụ thuộc dạng: (1.1) 1 ()()(,),01,0, trr r uu u Fufrt r tT r ε −+ + = <<<< (1.2) () 0 lim ( , ) , (1, ) ( ) (1, ) 0, rr o r ru rt u t ht u t u + → < +∞ + − = % (1.3) 0 (,0) (),ur u r= hoặc / (1.3 ) ( , 0) ( , ),ur urT= (1.4) 1 2 () ,Fu uu ε ε = trong đó ,0 o u ε > % là các hằng số cho trước, ),(),( trfth là các hàm số cho trước thỏa một số điều kiện ta sẽ chỉ ra sau. Phương trình (1.1) mô tả quá trình truyền nhiệt trong một dóa tròn đơn vò 1,r < trong đó • (,)urt là nhiệt độ tại mọi điểm trên đường tròn {} 222 (,)/ r Cxyxyr=+= tại thời điểm t, với 1, 0 .rtT < << • (,) () f rt F u ε − là nguồn nhiệt. • Điều kiện biên (1.2) trên đường tròn r = 1 mô tả sự trao đổi nhiệt với môi trường bên ngoài, mà môi trường bên ngoài có nhiệt độ không đổi là , o u % ở đây hàm h(t) là hệ số trao đổi nhiệt với môi trường bên ngoài. 2 Trong (1.2), điều kiện 0 lim ( , ) r r ru rt + → < +∞ sẽ tự động thỏa nếu (,)urt là nghiệm cổ điển của bài toán, chẳng hạn [ ] [ ] ( ) ( ) 12 0,1 0, (0,1) (0, ) .uC T C T∈×∩ × Việc đưa điều kiện này vào có liên quan đến việc sử dụng không gian Sobolev có trọng và chuyển đổi về bài toán biến phân. ( xem [5,7]). Với 0 () 0, 0Fu u ε = = % , Minasjan [6] đã nghiên cứu phương trình (1.5) ),,() 1 )(( trfu r utau rrrt =+− ,0,10 Ttr < < < < với điều kiện biên (1.6) ,0),1()(),1(),0( = + = tuthtutu rr và với điều kiện − T tuần hoàn (1.7) ),,()0,( Truru = ở đây các hàm a(t), h(t), f(r,t ) là − T tuần hoàn theo thời gian t. Ý nghóa vật lý của bài toán (1.5) – (1.7) là một dòng nhiệt tuần hoàn trong một hình trụ vô hạn với giả thiết rằng hình trụ phụ thuộc vào sự trao đổi nhiệt một cách tuần hoàn ở bề mặt )1( = r với môi trường bên ngoài có nhiệt độ zéro, phía trong hình trụ, nguồn nhiệt đối xứng trục và thay đổi một cách tuần hoàn, Minasjan [6] đã tìm một nghiệm cổ điển của bài toán này bằng cách dùng biến đổi Fourier. Phương pháp này dẫn đến một hệ giả chính quy vô hạn các phương trình đại số tuyến tính. Tuy nhiên tính giải được của hệ này không được chứng minh chi tiết trong [6]. 3 Trong [3] Lauerova đã chứng minh rằng với dữ kiện − T tuần hoàn, bài toán (1.5) – (1.7) có một nghiệm yếu T- tuần hoàn theo t. Trong trường hợp ,0,0 ~ 0 = = fu ),( 1 IRCF ∈ ε ,)( / β ε −≥uF 0> β đủ nhỏ, các tác giả trong [4] đã chứng minh rằng bài toán (1.1), (1.6), (1.7) có duy nhất một nghiệm yếu − T tuần hoàn trong các không gian Sobolev thích hợp. Hơn nữa, nghiệm này cũng phụ thuộc liên tục theo hàm h(t). Trong luận văn này, chúng tôi nghiên cứu bài toán phi tuyến với điều kiện đầu (1.1) – (1.4) và bài toán điều kiện − T tuần hoàn (1.1), (1.2), (1.4), (1.7). Nội dung luận văn được trình bày theo thứ tự như sau: Chương 1 là phần giới thiệu bài toán và nói qua một số kết quả trước đó và trình bày bố cục của luận văn. Chương 2 là phần trình bày một số ký hiệu, công cụ, các không gian hàm Sobolev có trọng, tính chất các phép nhúng có liên quan. Chương 3, chúng tôi trình bày chứng minh sự tồn tại và duy nhất nghiệm yếu của bài toán (1.1)-(1.4) trong các không gian Sobolev có trọng thích hợp bằng phương pháp Galerkin. Chương 4, chúng tôi trình bày chứng minh sự tồn tại và duy nhất nghiệm yếu − T tuần hoàn của bài toán (1.1), (1.2), (1.4), (1.7) trong đó bài toán xấp xỉ hữu hạn chiều cho bài toán tìm nghiệm − T tuần hoàn có thể tìm được nhờ vào bài toán điều kiện đầu thông qua một đònh lý ánh xạ co. Phần cuối cùng là tóm lược các phần đã trình bày trong luận văn, sau đó là phần tài liệu tham khảo. 4 CHƯƠNG 2 CÁC KẾT QUẢ CHUẨN BỊ CÁC KHÔNG GIAN HÀM II.1. CÁC KHÔNG GIAN HÀM Đặt (0,1)Ω= , ta bỏ qua đònh nghóa các không gian hàm thông dụng: , (), (), (), (). mp m mp CLHWΩΩ Ω Ω Với mỗi hàm 0 ()vC∈Ω ta đònh nghóa v như sau (2.1) 1/2 1 2 0 () . H vv rvrdr ⎛⎞ ≡= ⎜⎟ ⎜⎟ ⎝⎠ ∫ Ta đònh nghóa H là đầy đủ hóa của không gian 0 ()C Ω đối với chuẩn Tương tự, với mỗi hàm 1 ()vC ∈ Ω ta đònh nghóa . V như sau (2.2) 1/2 2 2 / V vvv ⎛⎞ =+ ⎜⎟ ⎝⎠ và đònh nghóa V là đầy đủ hóa của không gian 1 ()C Ω đối với chuẩn V Chú ý rằng các chuẩn . và . V lần lượt được sinh ra từ các tích vô hướng (2.3) 1 0 ,()(),uv rurvrdr= ∫ (2.4) 1 // / / 0 ,,[()()()()].uv u v rurvr u rv r dr+= + ∫ Khi đó, ta dễ dàng chứng minh rằng H, V là các không gian Hilbert. 5 Bổ đề 2.1. V trù mật trong H với phép nhúng liên tục. Chứng minh. Hiển nhiên rằng , V vv vV ≤ ∀∈ do đó phép nhúng từ V vào H là liên tục. Mặt khác 1 ()CV Ω ⊂ và trù mật trong H, do đó V trù mật trong H. Bổ đề sau cho một số đánh giá thường sử dụng. Bổ đề 2.2. Với mọi 1 (), 0vC ε ∈ Ω> và [0,1],r ∈ ta có : (2.5) 2 2 /2 (1),vvv≤+ (2.6) (1) 3 , V vv≤ (2.7) () 2 , V rvr v≤ (2.8) 2 2 2/ 1 (1) (2 ) .vv v ε ε ≤++ Chứng minh. Nghiệm lại (2.5). Dùng tích phân từng phần và chú ý rằng 2 01,rr≤<≤ ta có 11 2 222/ 00 1 () (1) () () 2 v rv r dr v r v r v r dr==− ∫∫ 1 2/ 0 1 (1) ( ) ( ) 2 vrvrvrdr≤+ ∫ 2/ 1 (1) 2 vvv≤+ 2 2 2/ 11 (1) . 22 vvv ⎛⎞ ≤+ + ⎜⎟ ⎝⎠ Suy ra 2 2 2/ (1)vv v≤+ và do đó (2.5) được chứng minh. Nghiệm lại (2.6). Ta có 1 222/ 0 (1) ( ( ))vrvrdr= ∫ [...]... Bước 1 Phương pháp Galerkin Lấy {w j }, j = 1, 2, là một cơ sở trực chuẩn trong không gian Hilbert tách được V Ta tìm um (t ) theo dạng m um (t ) = ∑ cm j (t ) w j , (3.8) j =1 trong đó cm j (t ), 1 ≤ j ≤ m thỏa hệ phương trình vi phân phi tuyến (3.9) / um (t ), w j + um r (t ), w j r + h(t ) um (1, t ) w j (1) % + F1 (um (t )), w j = f (t ), w j + uo h(t ) w j (1) ,1 ≤ j ≤ m, (3 .10 ) um (0) = uom , trong. .. của (2.9) có được là do 2 V v = v/ 2 + v 2 2 ≤ v/ + v/ 2 + v 2 (1) 2 ≤ 2 ⎛ v / + v 2 (1) ⎞ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ Bất đẳng thức còn lại của (2.9) được suy ra từ v/ 2 2 + v 2 (1) ≤ v / +3 v 2 V ≤4 v 2 V Ta chú ý rằng (2 .10 ) lim r →0+ r v(r ) = 0, ∀v ∈V (xem [1] trang 12 8 ) C 0 ([ε ,1] ) , 0 < ε < 1 và Mặt khác, do H 1 (ε ,1) (2 .11 ) ε v ≤ v H 1 (ε ,1) V , ∀v ∈V Ta suy ra rằng (2 .12 ) v ⎢ [ε ,1] ∈ C 0 ([ε ,1] ) , ∀ε... )) = u m (t ) 1/ 2 u m (t ) tham gia vào phương trình do đó việc đánh giá tính bò chặn và qua giới hạn của số hạng này cũng là một khó khăn Tuy nhiên, với số hạng phi tuyến cụ thể trong trường hợp này không gây ra nhiều trở ngại so với số hạng phi tuyến tổng quát a) Đánh giá 1 Nhân phương trình thứ j của hệ (3.9) với cm j (t ) và tổng theo j, ta có (3 .12 ) d um (t ) dt 2 2 + 2 um r (t ) 1 + 2 ∫ r um... + 1 + 2(2 + 1/ β ) (1 + h L∞ (0,T ) ) ⎤ um (t ) ⎣ ⎦ Lấy tích phân (3 .16 ) theo t, và sử dụng (3 .10 ), (3 .11 ) ta có t t 1 1 2 2 5/ 2 (3 .17 ) um (t ) + ∫ um ( s ) V ds + 2 ∫ ds ∫ r um (r , s ) dr 20 0 0 ≤ ≤ uom 3t % + uo 2β 2 2 h ∞ L (0,T ) ≤M (2) T + (1) M T ∫ um ( s ) + ∫ f (s) L∞ (0,T ) 2 ds 0 t + 1 + 2(2 + 1/ β ) (1 + h ⎣ t t 2 ) ⎤ ∫ um ( s ) ⎦ 2 ds 0 2 ds, 0 trong đó (1) (2) MT , MT là các hằng số. .. t ) trong QT = (0 ,1) × (0, T ) Do F1 (u ) = u (3.37) p 1/ 2 u liên tục, nên F1 (um (r , t )) → F1 (u (r , t )) a.e (r , t ) trong QT dụng bổ đề 2 .12 , Gm = r 3 / 5 F1 (um ) = r 3 / 5 um 1/ 2 với N = 2, q um , G = r 3 / 5 F1 (u ) = r 3 / 5 u = 1/ 2 5/3, u Từ (3.29), (3.37) suy ra (3.38) r 3 / 5 um 1/ 2 um → r 3 / 5 u 1/ 2 u trong L5 / 3 (QT ) yếu Giả sử ϕ ∈ C1 ( [0, T ] ), ϕ (T ) = 0 Nhân phương trình. .. ) ∂t ∂t ∂ r2 15 u (r , t ), CHƯƠNG 3 NGHIỆM BÀI TOÁN ĐIỀU KIỆN ĐẦU PHI TUYẾN Trong chương này, chúng tôi nghiên cứu bài toán giá trò biên và ban đầu (1. 1) – (1. 4) như sau: (3 .1) (3.2) (3.3) 1 ut − (ur r + ur ) + Fε (u ) = f (r , t ) , 0 < r < 1, 0 < t < T , r lim r → 0+ % r ur (r , t ) < +∞ , ur (1, t ) + h(t )(u (1, t ) − uo ) = 0 , u (r ,0) = uo (r ), (3.4) Fε (u ) = ε u 1/ 2 u, % trong đó ε > 0... w j , j =1 trong đó cm j (t ) thỏa hệ phương trình vi phân phi tuyến (4.8) / um (t ), w j + um r (t ), w j r + h(t ) um (1, t ) w j (1) + F1 (um (t )), w j % = f (t ), w j + uo h(t ) w j (1) ,1 ≤ j ≤ m , và điều kiện T – tuần hoàn (4.9) um (0) = um (T ) Đầu tiên, ta xét hệ phương trình (4.8) và điều kiện đầu (4.9/ ) um (0) = uom , trong đó uom thuộc không gian sinh bởi các hàm {w j }, j = 1, 2, , m... ta được d um (t ) (4 .10 ) dt 2 2 + 2 um r (t ) 1 + 2 ∫ r um ( r , t ) 5/ 2 2 + 2 h(t ) um (1, t ) dr 0 % = 2 f (t ), um (t ) + 2uo h(t ) um (t ) / Từ giả thiết ( H 3 ) và bất đẳng thức (2.9), suy ra (4 .11 ) 2 um r (t ) 2 2 + 2 h(t ) um (1, t ) ≥ C1 um (t ) 2 V trong đó C1 = min {1, ho } Do đó, từ (4 .10 ), (4 .11 ) suy ra (4 .12 ) d um (t ) dt 2 + C1 um (t ) 2 V 1 + 2 ∫ r um ( r , t ) δ 1 δ δ f (t ) 2 với mọi... um (1, t ) w j (1) ϕ (t ) dt + ∫ F1 (um (t )), w j ϕ (t ) dt 0 0 T T 0 0 % = ∫ f (t ), w j ϕ (t ) dt + uo ∫ h(t ) w j (1) ϕ (t ) dt , 1 ≤ j ≤ m Để qua giới hạn của số hạng phi tuyến F1 (um (t )) trong (3.39) ta sử dụng bổ đề sau Bổ đề 3 .1 Ta có T lim m → +∞ ∫ T F1 (um (t )), w j ϕ (t ) dt = ∫ F1 (u (t )), w j ϕ (t ) dt 0 0 Chứng minh Chú ý rằng (3.38) tương đương với (3.40) T 1 ∫ dt ∫ r 0 3/5 um 1/ ... h( s ) w2 (1, s)] ds 0 1/ 2 u ( s ) − v( s ) 1/ 2 v( s ), w( s ) ds ≤ 0 , 0 do tính chất đơn điệu tăng của u 1/ 2 u Từ (3.55) ta suy ra rằng w = 0 Tính duy nhất được chứng minh Vậy đònh lý (3 .1) được chứng minh xong 27 CHƯƠNG 4 NGHIỆM T – TUẦN HOÀN CỦA BÀI TOÁN PHI TUYẾN Trong chương này, chúng tôi nghiên cứu nghiệm T – tuần hoàn của bài toán giá trò biên phi tuyến như sau: (4 .1) (4.2) 1 ut − (urr . thành cảm bạn bè đồng nghiệp, các bạn học lớp Cao học khóa 10 đã luôn động viên và nhiệt tình giúp đỡ tôi trong quá trình học. Châu Anh Dũng MỤC LỤC Trang Chương 1: Phần tổng quan……………………………………………………. CHÍ MINH 2003 ĐẠI HỌC QUỐC GIA TP. HỒ CHÍ MINH TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN CHÂU ANH DŨNG NGHIÊN CỨU MỘT SỐ PHƯƠNG TRÌNH NHIỆT PHI TUYẾN TRONG KHÔNG GIAN SOBOLEV CÓ TRỌNG. học Tự Nhiên Tp. Hồ Chí Minh. Người nhận xét 1: Người nhận xét 2: Học viên cao học: Châu Anh Dũng Luận văn sẽ được bảo vệ tại Hội Đồng chấm luận văn cấp Trường tại