Sự không tồn tại nghiệm dương của phương trình tích phân phi tuyến trong liên hệ với bài toán Newmann

ĐẠI HỌC QUỐC GIA THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN LÊ TRÙNG DƯƠNG SỰ KHÔNG TỒN TẠI NGHIỆM DƯƠNG CỦA MỘT SỐ PHƯƠNG TRÌNH TÍCH PHÂN PHI TUYẾN LIÊN HỆ VỚI BÀI TOÁN NEUMANN LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Chuyên ngành: Toán Giải Tích Mã số : 1.01.01 THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH – 2006 ĐẠI HỌC QUỐC GIA THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN SỰ KHÔNG TỒN TẠI NGHIỆM DƯƠNG CỦA MỘT SỐ PHƯƠNG TRÌNH TÍCH PHÂN PHI TUYẾN LIÊN HỆ VỚI BÀI TOÁN NEUMANN LUẬN VĂN THẠC SỸ TOÁN HỌC Chuyên ngành: Toán Giải Tích Mã số: 1.01.01 Người hướng dẫn: TS. Nguyễn Thành Long Đại học Khoa học Tự nhiên Tp. Hồ Chí Minh Học viên cao học: Lê Trùng Dương THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH 2006 LUẬN VĂN ĐƯỢC HOÀN THÀNH TẠI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH Người hướng dẫn: TS Nguyễn Thành Long Khoa Toán-Tin học, Đại học Khoa học Tự nhiên Tp Hồ Chí Minh Người nhận xét 1: PGS. TS Lê Hoàn Hóa Khoa Toán-Tin, Đại học Sư Phạm Tp Hồ Chí Minh Người nhận xét 2: TS. Nguyễn Công Tâm Khoa Toán-Tin học, Đại học Khoa học Tự nhiên Tp Hồ Chí Minh Ngườ i thực hiện: Lê Trùng Dương Khoa KHCB, Trường Đại Học Tiền Giang LUẬN VĂN ĐƯỢC BẢO VỆ TẠI HỘI ĐỒNG CHẤM LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH - 2006 LỜI CẢM ƠN Để hoàn thành Luận văn Thạc sỹ Toán học này, lời đầu tiên tác giả xin trân trọng cảm ơn Thầy Nguyễn Thành Long đã tận tình giảng dạy, giúp đỡ và hướng dẫn trong suốt quá trình tôi thực hiện Luận văn này. Xin trân trọng cảm ơn Thầy Lê Hoàn Hóa và Thầy Nguyễn Công Tâm đã đọc luận văn và đã cho những nhận xét quý báu và những lời phê bình bổ ích đối với luận văn. Tôi cũng xin cảm ơn quý Thầy trong hội đồng chấm luận văn đã dành cho tôi thời gian quý báu và những lời góp ý sâu sắc cho buổi bảo vệ luận văn. Xin trân trọng cảm ơn tập thể các Thầy, Cô thuộc khoa Toán − Tin học trường Đại học Khoa học Tự nhiên TP. Hồ Chí Minh đã tận tình giảng dạy trong suốt thời gian học tập. Xin trân trọng cảm ơn Lãnh đạo và Cán bộ Phòng Quản lý Khoa học và Đào Tạo sau Đại học trường Đại học Khoa học Tự nhiên TP. Hồ Chí Minh đã tổ chức, tạo điều kiện thuận lợi cho việc học tập và các thủ tục hành chính trong khóa học. Sau cùng, xin chân thành cảm ơn tập thể lớp Cao học Toán khoá 13; Ban Giám Hiệu, các phòng khoa và tập thể giáo viên trường Đại học Tiền Giang; Gia đình và những người thân;… đã luôn động viên, luôn nhiệt tình giúp đỡ và tạo mọi điều kiện tốt nhất để tôi có thể có thể hoàn thành khoá học. Tiền Giang, ngày tháng năm 2006 Lê Trùng Dương 3 CHƯƠNG 1. TỔNG QUAN Trong luận văn này, chúng tôi nghiên cứu sự không tồn tại nghiệm dương của phương trình tích phân phi tuyến thuộc dạng sau đây (1.1) () ( ) ( ) N N N IR gx,y,uy u x b dy, x IR , yx σ =∀∈ − ∫ trong đó ()() 1 1NN 1Nb − + ω−= với 1N+ ω là diện tích của mặt cầu đơn vò trong IR N +1 , N;2N <σ≥ là một hằng số dương cho trước và IRIRIR:g N2 →× + là hàm liên tục cho trước thoả điều kiện: Tồn tại các hằng số 00 >≥ γ β α M,,, sao cho (1.2) () ,u,IRy,x,uyxMu,y,xg N 0≥∀∈∀≥ α γβ và một số điều kiện bổ sung thêm. Trong trường hợp phương trình (1.1) với ,1N − = σ =))y(u,y,x(g )),y(u,y(g (độc lập với biến không lấy tích phân x), phương trình tích phân (1.3) () ( )() N IR 1N N IRx,dy xy yu,yg bxu N ∈∀ − = ∫ − được thành lập từ bài toán Neumann phi tuyến sau đây (1.4) () ,0x,IRx,x,0vv 1N 1N 1N 1N 1i xx ii >∈==Δ + + + + = ∑ (1.5) () ( ) ( ) ,IRx,0,xv,xg0,xv N x 1N ∈=− + mà giá trò biên u(x) = v(x, 0) là ẩn hàm của (1.3). Trong [1] các tác giả Bunkin, Galaktionov, Kirichenko, Kurdyumov, Samarsky đã nghiên cứu bài toán (1.4), (1.5) với N = 2 với phương trình Laplace (1.4) theo tọa độ trụ 4 (1.6) 0z,0r,0vv r 1 v zzrrr >∀>∀=++ , và với điều kiện phi tuyến có dạng cụ thể như sau (1.7) () ( ) ( ) ,0r,0,rvr/rexpI0,rv 2 0 2 0z ≥∀+−=− α trong đó I 0 , r 0 , α là các hằng số dương cho trước. Bài toán (1.6), (1.7) là trường hợp dừng của bài toán liên quan đến sự đốt cháy bởi bức xạ. Trong trường hợp 0 < α ≤ 2 bài báo [1] đã chứng minh rằng phương trình tích phân phi tuyến (1.8) () () 2 22 00 22 00 1d v r,0 I exp s / r v (s,0) sds r 0, 2 rs2rscos +∞ π α θ ⎡⎤ =−+ ∀≥ ⎣⎦ π +− θ ∫∫ liên hệ bài toán (1.6), (1.7) không có nghiệm dương. Từ khi bài báo [1] xuất hiện đã có nhiều tác giả nghiên cứu và mở rộng theo nhiều hướng khác nhau [1 − 11]. Các tác giả Long, Ruy [7] đã mở rộng một kết quả trong [1] với (1.7) được thay bởi điều kiện biên phi tuyến tổng quát (1.9) () ( )() 0r,0,rv,rg0,rv z ≥ ∀ =− . Trong [8] Ruy, Long, Bình đã xét bài toán (1.4), (1.5) với N = 2 và hàm g liên tục, không giảm và bò chận dưới bởi một hàm luỹ thừa bậc α đối với biến thứ ba trong [8] đã chứng minh rằng nếu 20 ≤ α < thì bài toán (1.4), (1.5) không có nghiệm dương. Các tác giả Bình, Diễm, Ruy, Long [2] và Bình, Long [3] đã xét bài toán (1.4), (1.5) với 2N ≥ . Hàm số ++ →× IRIRIR:g N là liên tục, không giảm đối với biến u, thoả điều kiện (1.10) () ,0u,IRy,Muu,yg N ≥∀∈∀≥ α (1.11) Tích phân ( ) ∫ + N IR dy y1 0,yg tồn tại và dương, và thêm một số điều kiện phụ. Trong trường hợp ( ) 2N,1N/N0 ≥− ≤ α ≤ các tác giả trên đã chứng minh rằng phương trình tích phân phi tuyến (1.3) tương ứng với bài toán (1.4), (1.5) không có nghiệm dương [2, 3]. 5 Trong [5, 6] các tác giả đã chứng minh rằng bài toán (1.4), (1.5) không có nghiệm dương với g(x, v) có dạng cụ thể độc lập với x (1.12) () .1,vv,xg ≥α= α Trong [5] Hu, Yin đã chứng minh với ( ) 2N,1N/N1 ≥ − < α ≤ và trong [6] Hu đã chứng minh với ( ) ( ) 2N,1N/1N1 ≥ − + < α ≤ . Cũng cần chú ý rằng hàm ( ) α = vv,xg không thoả các điều kiện (1.10), (1.11) trong các bài báo [2, 7, 8, 10]. Trong luận văn này, chúng tôi xét phương trình tích phân phi tuyến (1.1) với hai trường hợp: IRIRIR:g N →× + và IRIRIR:g N2 →× + là hàm liên tục cho trước thoả điều kiện (1.2) tương ứng. Với các điều kiện trên hàm g tương ứng luận văn sẽ chứng minh rằng phương trình (1.1) không có nghiệm liên tục dương. Các điều kiện cho hàm g trong luận văn nầy cũng không sử dụng tính không giảm của hàm g đối với biến u và các điều kiện (1.10), (1.11) như trong một số công trình trước đây [2, 7, 8, 10, 11]. Luận văn này ngoài phần kết luận và phần tài liệu tham khảo sẽ được trình bày trong 4 chương: Trong chương 1, là phần trình bày xuất phát điểm của bài toán cùng với một số kết quả đã có trước đây và giới thiệu các nội dung sẽ trình bày trong các chương kế tiếp của luận văn. Trong chương 2, nhằm mục đích thiết lập phương trình tích phân phi tuyến (1.3) mà ẩn hàm là giá trò biên xuất phát từ phương trình Laplace (N + 1) − chiều (1.4) trong nửa không gian trên ( ) 0,, 1 1 1 >∈ + + + N N N xIRxx , liên kết với điều kiện biên Neumann phi tuyến (1.5) tương ứng với 2,1 ≥ − = N N σ . Trong chương 3, chúng tôi nghiên cứu sự không tồn tại nghiệm dương của phương trình tích phân phi tuyến (1.3) cụ thể với 2,1 = = N σ , như sau 6 (1.13) () ( ) ( ) ()() () ∫∫ ∈∀ηξ η−+ξ− η ξ η ξ π = 2 IR 2 22 ,IRy,xdd yx ,u,,g 2 1 y,xu với ++ →× IRIRIR:g 2 thoả các điều kiện: (1.14) g là hàm liên tục và tồn tại 3 hằng số 0,0,0M ≥ γ ≥ α > sao cho: (1.15) () () .0v,IRy,x,v.yxMv,y,xg 22 ≥∀∈∀+≥ α γ Với một số điều kiện phụ bổ sung, luận văn sẽ chứng minh rằng nếu 20 ≤ γ − α< thì phương trình tích phân phi tuyến (1.13) không có nghiệm dương liên tục. Kết quả trong [8] là một trường hợp riêng của chương này với .0 = γ Trong chương 4, chúng tôi xét phương trình tích phân phi tuyến (1.1) với 2N,N,N0 ≥<σ+ γ <σ< . Hàm [ ) IR,0IR:g N2 →∞× là hàm liên tục cho trước thoả điều kiện (1.2) và một số điều kiện phụ sau đó. Bằng cách xây dựng một dãy hàm thích hợp chúng tôi chứng minh rằng nếu ( )( ) β−σ γ + ≤ α ≤ / N0 phương trình (1.1) không có nghiệm liên tục dương. 7 CHƯƠNG 2. THIẾT LẬP PHƯƠNG TRÌNH TÍCH PHÂN PHI TUYẾN Trong chương này, với σ = N – 1, chúng tôi muốn chỉ ra rằng phương trình tích phân phi tuyến (1.1) ở trên mà ẩn hàm u(x) = v(x, 0) là hàm giá trò biên của bài toán Neumann phi tuyến cho phương trình Laplace (N + 1)−chiều trong nửa không gian trên . N1 IR + + Trước hết, ta đặt các ký hiệu sau () {} () {} ()() () .x'xxx ,x,'xx,,x,xx,IRx ,0x,IR'x:IRx,'xxIR ,0x,IR'x:IRx,'xxIR ,1Nn 2 1 2 n 2 2 1 n 1i 2 i nn21 n n 1nn n n n 1nn n n += ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ = ==∈ ≥∈∈== >∈∈== += ∑ = − + − + K Xét bài toán : tìm một hàm v có tính chất (S 1 ) () ( ) ( ) ,IRCv,IRCIRCv n x nn2 n +++ ∈∩∈ (S 2 ) () () ,0x v supRxvsuplim 0x,Rx0x,Rx R nn = ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ ν∂ ∂ + >=>= +∞→ và thoả phương trình Laplace (2.1) ( ) { } ,0x,IR'x:x,'xIRx,0v n 1n n n >∈=∈=Δ − + và điều kiện biên Neumann (2.2) ,IR'x),'x(G)0,'x( v 1n− ∈= ν∂ ∂ trong đó ν∂ ∂. chỉ đạo hàm theo hướng vectơ pháp tuyến đơn vò ν trên nửa mặt cầu 0x,Rx n >= , hướng ra ngoài và G là hàm số cho trước liên tục trên . 1n IR − Xét hàm Green cho phương trình Laplace với điều kiện Neumann 8 (2.3) () () [ ] ,x ~ axa n x,a nn n −− −+− ω− =γ 22 2 1 trong đó ( ) ( ) ,IRa,x,'xx ~ ,IRx,'xx n n n n + ∈−=∈= là diện tích của mặt cầu đơn vò trong IR n ω n . Chú ý rằng với cố đònh, hàm n IRa + ∈ ( ) ,.a γ thuộc lớp trong ∞ C { a } ~ ,a\IR n và (2.4) () ,a ~ x,ax,0x,a x n 1i 2 i 2 ≠≠∀=γ ∂ ∂ =γΔ ∑ = (2.5) () .xtrên ,'x,a nx n 000 = = γ Cố đònh và số thực R > 0. Chọn n IRa + ∈ 0> ε đủ nhỏ sao cho { } ,BIRax:IRxS RR nn Ω≡∩⊂ε≤−∈= ++ε với { } Rx:IRxB n R <∈≡ . p dụng công thức Green trên miền ε Ω S\ R , ta viết được (2.6) () .dSv v dSv v dxvv ax S\ R R ∫∫∫ ε=− Ω Ω∂ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ ν∂ γ∂ − ν∂ ∂ γ− ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ ν∂ γ∂ − ν∂ ∂ γ=γΔ−Δγ ε Ta có bổ đề sau. Bổ đề 2.1. Với giả thiết (S 1 ) ta có (2.7) () ∫ ε=− →ε = ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ ν∂ γ∂ − ν∂ ∂ γ + ax 0 avdSv v lim . Chứng minh. Ta viết hàm Green ( ) x,a γ dưới dạng (2.8) ()() ( ) ,x,ax,asx,a Φ += γ () () () () () x ~ ,asx ~ a 2n 1 x,a,xa 2n 1 x,as n2 n n2 n =− ω− =Φ− ω− = −− . Ta có [...]... CHƯƠNG 4 SỰ KHÔNG TỒN TẠI NGHIỆM DƯƠNG CỦA PHƯƠNG TRÌNH TÍCH PHÂN PHI TUYẾN VỚI 0 < σ < γ + N, σ < N, N ≥ 2 4.1 GIỚI THIỆU Trong chương này, chúng tôi xét sự không tồn tại nghiệm dương của phương trình tích phân phi tuyến (4.1) u (x ) = b N ∫ g(x , y, u (y )) y−x IR N trong đó b N = ((N − 1)ωN+1 ) −1 σ dy, ∀x ∈ IR N , với ωN+1 là diện tích của mặt cầu đơn vò trong IR n +1 , N ≥ 2; σ < N là một số dương. .. IR n + 15 CHƯƠNG 3 SỰ KHÔNG TỒN TẠI NGHIỆM DƯƠNG CỦA PHƯƠNG TRÌNH TÍCH PHÂN PHI TUYẾN VỚI N = 2 Xét sự không tồn tại nghiệm dương của phương trình tích phân phi tuyến sau (tương ứng với N = 2) (3.1) u (x, y ) = g(ξ, η, u (ξ, η)) 1 ∫∫ 2π IR 2 ∀(x , y ) ∈ IR 2 , dξdη (x − ξ ) + ( y − η ) 2 2 với g : IR 2 × [0,+∞ ) → [0,+∞ ) thoả các điều kiện: (G1) g là hàm tuyến tính, (G2) Tồn tại 3 hằng số M > 0,... g thoả các giả thuyết (G1), (G2) với điều kiện 0 < α − γ ≤ 2 Khi đó phương trình tích phân phi tuyến (3.1) không có nghiệm dương liên tục Chứng minh đònh lý 3.2 : Bằng phương pháp phản chứng, ta giả sử rằng phương trình tích phân phi tuyến (3.1) có nghiệm liên tục dương u = u(x, y) Giả sử rằng tồn tại (xo, yo) ∈ IR2 sao cho u(xo, yo) > 0 Do u liên tục, khi đó, tồn tại r0 > 0 sao cho: (3.25) u (x ,... ∈ IR 2 , trong đó A là một toán tử tuyến tính xác đònh bởi công thức (3.7) A[G (ξ, η)](x , y ) = 1 ∫∫ 2π IR 2 G (ξ, η) (x − ξ ) + ( y − η ) 2 2 dξdη, ∀(x , y ) ∈ IR 2 Như vậy phương trình tích phân (3.6) được thiết lập từ bài toán Neumann phi tuyến (3.2), (3.3) Để chứng minh rằng phương trình tích phân (3.6) không có nghiệm dương liên tục, trước hết ta cần một bổ đề sau đây 17 Bổ đề 3.1 Với mọi (x... 3.1 : Giả sử v nghiệm của bài toán (3.2), (3.3) với * g : IR 2 × [0,+∞ ) → [0,+∞ ) là hàm liên tục thoả các tính chất ( S1 ) , ( S* ) Khi đó v là 2 nghiệm của phương trình tích phân phi tuyến sau (3.4) v(x , y, z ) = g(ξ, η, v(ξ, η,0)) 1 ∫∫ 2π IR ( x − ξ ) + ( y − η) 2 2 2 +z 2 dξdη, ∀(x , y, z ) ∈ IR 3 + Ta cũng giả sử rằng giá trò biên u (x , y ) = v(x , y,0 ) của nghiệm v của bài toán (3.2), (3.3)... đònh lý 4.1 Ta chứng minh bằng phản chứng Giả sử rằng tồn tại một nghiệm dương liên tục u(x) của phương trình tích phân (4.3) Giả sử rằng tồn tại x 0 ∈ IR N sao cho u (x 0 ) > 0 Vì u liên tục, do đó tồn tại r0 > 0 sao cho (4.22) u (x ) > 1 u (x 0 ) ≡ L, ∀x ∈ IR N , 2 x − x 0 ≤ r0 Ta suy ra từ (4.3), (4.4), (4.22) và tính đơn điệu của toán tử tích phân rằng (4.23) u (x ) = Tu (x ) ≥ M x β ∫ IR N y γ... là hàm liên tục cho trước thoả điều kiện: Tồn tại các hằng số α, β, γ ≥ 0 và M > 0 sao cho (4.2) g(x, y, u ) ≥ M x y u α , ∀x, y ∈ IR N , ∀u ≥ 0, β γ và một số điều kiện bổ sung thêm 4.2 ĐỊNH LÝ VỀ SỰ KHÔNG TỒN TẠI NGHIỆM DƯƠNG Không làm mất tính tổng quát, chúng ta có thể giả sử rằng b N = 1 với việc thay đổi hằng số M trong giả thiết (4.2) của g Phương trình tích phân (4.1) được viết lại với b N... 2.2 Bổ đề 2.3 Giả sử v là nghiệm của (2.1), (2.2) thoả các điều kiện (S1), (S2) ta có (2.34) v(a) = − ∫ γv x dx' = IR n −1 n ∫ γ(a; x' ,0)G(x')dx' , IR n−1 n ∀a ∈ IR + 14 Ta có đònh lý sau Đònh lý 2.1 Nếu nghiệm v của bài toán (1.1), (1.2) với g : IR n −1 × [0,+∞ ) → [0,+∞ ) là hàm liên tục thoả các tính chất (S1), (S2), khi đó v là nghiệm của phương trình tích phân phi tuyến sau (2.35) v(a' , a n... thoả điều kiện (S ) * 3 g (ξ, η, v(ξ, η,0 )) ∫∫ Tích phân (x − ξ ) 2 IR 2 + ( y − η) 2 dξdη tồn tại ∀ ( x,y ) ∈ IR 2 Khi đó, ta dùng đònh lý hội tụ bò chận, cho z → 0+ trong phương trình tích phân (3.4), nhờ vào ( S* ) , ta thu được 3 (3.5) v(x , y,0 ) = 1 g(ξ, η, v(ξ, η,0)) 2 ∫∫ (x − ξ)2 + (y − η)2 dξdη, ∀(x, y ) ∈ IR 2π IR 2 Khi đó, phương trình tích phân (3.5) được viết lại theo ẩn hàm u (x , y... ∀x ∈ IR N , trong đó 0 < σ < γ + N, σ < N, N ≥ 2 Khi đó ta có kết quả chính như sau 31 Đònh lý 4.1 Giả sử g : IR 2 N × IR + → IR là hàm liên tục thoả điều kiện: Tồn tại các hằng số α, β, γ ≥ 0 và M > 0, 0 < σ < γ + N, σ < N, N ≥ 2 sao cho g ( x , y, u ) ≥ M x y u α β (4.4) γ ∀x , y ∈ IR N , ∀u ≥ 0 Nếu 0 ≤ α ≤ (N + γ ) / (σ − β ) thì phương trình tích phân (4.1) không có nghiệm liên tục dương Trước . 0 + = , ε ∂ =+εω→ −ω ∂ν ∫ ε→ (2 .12) ()() ∫∫ ε=−= − ωε+ ν∂ ∂ ε+ε−= ν∂ ∂ − axy n dya,a s yavdS s v 1 1 () () ∫ = + →ε→ωε+ ω = 1y n .avdyav 1 0 khi Vậy (2.11), (2 .12) dẫn đến (2.13) () ( ) .av,aIlim 2 0 = ε + →ε . −=ε −=ε ∂∂γ ∂∂Φ ∂∂ ⎛⎞⎛ ⎞⎛ γ− = Φ− + − ⎜⎟⎜ ⎟⎜ ∂ν ∂ν ∂ν ∂ν ∂ν ∂ν ⎝⎠⎝ ⎠⎝ ∫∫ ∫ s S ⎞ ⎟ ⎠ ( ) ( ) 12 Ia, Ia,. = ε+ ε * Do giả thiết (S 1 ), hàm ()()() ( x,ax,avx,a v x,ax ν∂ ) Φ ∂ − ν∂ ∂ Φa liên. rằng bài toán (1.4), (1.5) không có nghiệm dương với g(x, v) có dạng cụ thể độc lập với x (1 .12) () .1,vv,xg ≥α= α Trong [5] Hu, Yin đã chứng minh với ( ) 2N,1N/N1 ≥ − < α ≤ và trong