Sự không tồn tại nghiệm dương của phương trình tích phân phi tuyến trong miền nhiều chiều

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐẠI HỌC CẦN THƠ VÕ NGỌC ĐĂNG KHOA SỰ KHÔNG TỒN TẠI NGHIỆM DƯƠNG CỦA PHƯƠNG TRÌNH TÍCH PHÂN PHI TUYẾN TRONG MIỀN NHIỀU CHIỀU LUẬN VĂN THẠC SỸ TOÁN HỌC Chuyên ngành: Toán Giải tích Mã số: 60. 46. 01 Thành phố Cần Thơ 2007 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐẠI HỌC CẦN THƠ SỰ KHÔNG TỒN TẠI NGHIỆM DƯƠNG CỦA PHƯƠNG TRÌNH TÍCH PHÂN PHI TUYẾN TRONG MIỀN NHIỀU CHIỀU LUẬN VĂN THẠC SỸ TOÁN HỌC Chuyên ngành: Toán Giải tích Mã số: 60. 46. 01 Người hướng dẫn: TS. Nguyễn Thành Long Đại học Khoa học Tự nhiên Tp. Hồ Chí Minh Học viên cao học: Võ Ngọc Đăng Khoa Thành phố Cần Thơ 2007 Lời cảm ơn Qua thời gian học tập và nghiên cứu, đến nay luận văn này đã hoàn thành. Lời đầu tiên, tác giả xin trân trọng cảm ơn Thầy Nguyễn Thành Long đã tận tình giảng dạy, giúp đỡ và hướng dẫn việc hoàn thành luận văn. Xin trân trọng cảm ơn Quý Thầy đã đọc luận văn và cho những nhận xét quý báu. Xin trân trọng cảm ơn Quý Thầy, Cô thuộc Khoa Toán – Tin học trường Đại học Khoa học Tự nhiên TP. Hồ Chí Minh và Quý Thầy, Cô trường Đại học Cần Thơ đã tận tình giảng dạy chúng tôi trong suốt thời gian học tập. Xin trân trọng cảm ơn Lãnh đạo và Cán bộ Phòng Quản lý Khoa học và Đào tạo sau Đại học Cần Thơ đã tổ chức, tạo điều kiện thuận lợi cho chúng tôi học tập và hoàn tất việc bảo vệ luận văn. Sau cùng, xin cảm ơn tậ p thể lớp Cao học Toán khóa 11; Sở Giáo dục và Đào tạo tỉnh Vĩnh Long; Ban Giám hiệu và tập thể giáo viên trường THPT chuyên Nguyễn Bỉnh Khiêm - Vĩnh Long; gia đình và người thân; . . . đã luôn động viên và nhiệt tình giúp đỡ tác giả trong suốt thời gian học tập. TP. Cần Thơ, ngày tháng năm 2007. Võ Ngọc Đăng Khoa Mục lục Trang Chương 1: Phần tổng quan. 1 Chương 2: Thiết lập phương trình tích phân trong miền hai chiều. Bổ đề 2.1. Bổ đề 2.2. Bổ đề 2.3. Định lý 2.4. Định lý 2.5. 5 6 10 14 14 15 Chương 3: Sự không tồn tại nghiệm dương của phương trình tích phân phi tuyến với 22 1 (,,) (,) ( ) .gug u β α ξη ξη ξ η =++ Bổ đề 3.1. Định lý 3.2. 16 16 21 Chương 4: Sự không tồn tại nghiệm dương của phương trình tích phân phi tuyến với 22 22 (, ,) ( )(1 ) .gxyu M x y x y u β γα − ≥+++ Định lý 4.1. 30 30 Chương 5: Sự không tồn tại nghiệm dương của phương trình tích phân phi tuyến với 1 22 22 (,,,,) ( )( ) .gxy u M x y u β β α ξη ξ η ≥+ + Định lý 5.1. Phần kết luận. Tài liệu tham khảo. 40 41 49 50 1 Chương 1 Phần tổng quan Trong luận văn này, chúng tôi xét sự không tồn tại nghiệm liên tục không âm, không đồng nhất bằng không ( , )uxy của phương trình tích phân phi tuyến (1.1) 2 2 222 1(,;(,)) (, ) (, ) , 2 ()()() R gu d uxy xy IR xyz ξ ηξηξη π ξηζ =∀∈ −+−+− ∫∫ trong đó số hạng phi tuyến ( , , )gu ξ η xác định bởi hàm liên tục 2 :gIR IR IR + + × → thỏa điều kiện: Tồn tại các hằng số 0, 0, 0, 0 M α βγ >≥≥≥ sao cho (1.2) ( ) 22 22 2 (,;) (1 ) , (,,) ,guM u uIRIR β γα ξη ξ η ξ η ξη − + ≥+++ ∀∈× cùng với một số điều kiện khác. Phương trình tích phân phi tuyến được thành lập từ bài toán Neumann phi tuyến dưới đây (1.3) 2 0, ( , ) , 0, xx yy zz vv v v xy IR zΔ≡ + + = ∀ ∈ > (1.4) 2 (, ,0) (,;(, ,0)),(, ) , z vxy gxyvxy xy IR−= ∈ mà giá trị biên ( , ) ( , ,0)uxy vxy= cùng với một số điều kiện phụ sẽ là nghiệm của phương trình (1.1) Trong [1], các tác giả F. V. Bunkin, V. A. Galaktionov, N. A. Kirichenko, S.P. Kurdyumov, A. A. Samarsky, đã nghiên cứu bài toán (1.3), (1.4) và phương trình Laplace (1.3) trong tọa độ trụ (1.5) 1 0, 0, 0, rr r zz uuu r z r ++=∀>∀> 2 và với điều kiện biên phi tuyến cụ thể (1.6) 22 00 (,0) exp( / ) (,0) 0, z ur I r r u r r α − −=−+ ∀> trong đó I 0 , r 0 , α là các hằng số dương cho trước. Bài toán (1.3), (1.4) là bài toán dừng của bài toán liên hệ sự đốt cháy bởi bức xạ. Giá trị biên ( ) ( ,0) wr ur= của bài toán (1.5), (1.6) cũng là nghiệm của phương trình tích phân phi tuyến. (1.7) 2 22 00 22 00 1 () exp( / ) () 0. 2 2cos d wr I s r w s sds r rs rs π α θ π θ +∞ − =−+ ∀> ⎡⎤ ⎣⎦ +− ∫∫ Trong trường hợp 02, α <≤ các tác giả trong [1] đã chứng minh rằng phương trình tích phân phi tuyến (1.7) không tồn tại nghiệm liên tục dương. Từ khi bài báo [1] xuất hiện đã có nhiều tác giả nghiên cứu và mở rộng theo nhiều hướng khác nhau [1- 11]. Để tổng quát hóa kết quả trong [1], các tác giả trong [7] đã nới rộng cho phương trình tích phân (1.8) 2 22 00 1 () (, ()) 0, 2 2cos d wr gsws sds r rs rs +∞ =∀> +− ∫∫ π θ π θ mà (1.6) là một trường hợp riêng. Trong [11], các tác giả xét phương trình tích phân phi tuyến (1.1) 2 :gIR IR IR ++ ×→ liên tục thỏa điều kiện Tồn tại các hằng số: 0, 0 M α >≥sao cho (1.9) 2 (,;) , (,,) ,guMu uIRIR α ξ ηξη + ≥∀ ∈× (1.10) ( ) 2 (,;) (,;)( ) 0, (,) , , ,gugvuv IRuvIR ξ ηξη ξη + −−≥∀∈∀∈ (1.11) tích phân 2 22 1(,;0) 2 ()() IR gdd xy ξ ηξη π ξ η −+− ∫∫ tồn tại và dương. Với các điều kiện (1.9) – (1.11), trong [11] đã chứng minh rằng nếu 02, α < ≤ thì phương trình tích phân phi tuyến (1.7) không tồn tại nghiệm liên tục dương. Một số công trình về sau đã cải tiến chứng minh để bỏ bớt các giả thiết (1.10), (1.11) hoặc nới rộng cho bài toán với miền có chiều cao hơn [2–6, 8–10]. Chú ý rằng hàm (,;)guu α ξ η = không thỏa điều kiện (1.11) như trong các bài báo [2, 7, 11]. 3 Trong luận văn này, chúng tôi xét sự không tồn tại nghiệm liên tục không âm, không đồng nhất bằng không của phương trình tích phân phi tuyến (1.1) với hàm (,;) gu ξ η thỏa điều kiện (1.2). Ngoài ra một số dạng nới rộng của phương trình tích phân phi tuyến (1.1) cũng được khảo sát. Luận văn ngoài phần kết luận và tài liệu tham khảo sẽ được trình bày trong 5 chương. Chương 1 là phần tổng quan về nguồn gốc của bài toán, quá trình phát triển và sơ nét về nội dung sẽ trình bày trong luận văn. Trong chương 2, luận văn thiết lập phương trình tích phân (1.1) từ bài toán Neumann phi tuyến (1.3) và (1.4). Trong chương 3, chúng tôi khảo sát phương trình tích phân phi tuyến (1.1) với (,,) gu ξ η cụ thể: (1.12) 22 1 (,,) (,) ( ) ,gug u=++ β α ξη ξη ξ η trong đó 2 1 :gIR IR + → liên tục sao cho (1.13) tích phân 2 1 22 (,) ()() IR gdd xy ξ ηξη ξ η −+− ∫∫ tồn tại và dương, và , 0, α β ≥ là các hằng số cho trước thỏa một số điều kiện nào đó. Trong phần này, luận văn thiết lập một bổ đề đánh giá sự hội tụ, phân kỳ của một biểu thức tích phân và một số bất đẳng thức tích phân có liên quan ( Bổ đề 3.1). Bổ đề này cũng được vận dụng một cách phù hợp cho các chương sau. Vẫn trong chương này, bằng phương pháp thiế t lập một dãy qui nạp các hàm, luận văn chứng minh rằng, nếu các hằng số ,0, α β ≥ thỏa điều kiện 0 2, α β ≤≤+ thì phương trình tích phân phi tuyến (1.1), (1.12), (1.13) không tồn tại nghiệm liên tục không âm, không đồng nhất bằng không. Trong chương 4 chúng tôi xét phương trình tích phân (1.1) với ( , ; )gu ξ η thỏa điều kiện (1.2). Bằng phản chứng, chúng tôi chứng minh rằng nếu các hằng số 0, 0, 0 α βγ ≥≥≥ thỏa điều kiện 0 2, 1 0, ≤ ≤−+ −+> α βγ βγ thì phương trình 4 tích phân phi tuyến (1.1) sẽ không tồn tại nghiệm liên tục không âm, không đồng nhất bằng không. Trong chương 5 chúng tôi xét phương trình tích phân phi tuyến hai chiều tổng quát (1.14) 2 2 22 1(,,,;(,)) (, ) (, ) 2 ()() IR gxy u d d uxy xy IR xy ξ ηξηξη π ξη =∀∈ −+− ∫∫ , trong đó số hạng phi tuyến (,,,,)gxy u ξ η được xác định bởi hàm 4 :gIR IR IR + + × → phụ thuộc vào cả biến không lấy tích phân (x,y) và thỏa điều kiện: Tồn tại các hằng số 1 0, 0, 0, 0 1M α ββ >≥≥≤<, sao cho (1.15) 1 22 22 4 (,,,,) ( )( ) , (,,,,) .gxy u M x y u xy u IR IR + ≥+ + ∀ ∈× β βα ξη ξ η ξη Chú ý rằng phương trình (1.14) không xuất phát từ việc thiết lập phương trình tích phân từ bài toán Neumann (1.3), (1.4). Vẫn bằng phương pháp phản chứng, chúng tôi chứng minh rằng nếu các hằng số 1 ,, α ββ trong (1.15) thỏa điều kiện 0, α ≥ 1 0, 0 1, β β ≥≤< 1 2 0, 1 β α β + ≤≤ − thì phương trình tích phân phi tuyến (1.14) sẽ không tồn tại nghiệm liên tục không âm, không đồng nhất bằng không. Kế đến là phần kết luận và sau cùng là danh mục các tài liệu tham khảo. Nhìn chung các kết quả trình bày trong các chương 4, 5 là một nới rộng nhỏ kết quả trong [7, 11]. 5 Chương 2 Thiết lập phương trình tích phân trong miền hai chiều. Trong chương này, chúng ta muốn thiết lập phương trình tích phân phi tuyến (2.1) 2 2 22 1(,;(,)) (, ) (, ) , 2 ()() IR gu dd uxy xy IR xy ξ ηξηξη π ξη =∀∈ −+− ∫∫ mà ẩn hàm ( , ) ( , ,0)uxy vxy= là giá trị biên của bài toán Neumann phi tuyến cho phương trình Laplace trong nửa không gian trên 3 . I R + Trước hết ta đặt các ký hiệu { } {} 33 33 (,,) : 0, (,,) : 0. IR x y z IR z IR x y z IR z + + =∈> =∈≥ Với mỗi 0 R > , ta đặt { } {} {} {} 3222 33222 322 3222 (, ,) : , (, ,) : , 0, ,(,,0): , (, ,) : , 0. R RR RRRR R BxyzIRxyzR BIR xyzIR xyzRz DSD xy IR xyR SxyzIRxyzRz + =∈++< Ω= ∩ = ∈ + + < > ∂Ω = ∪ = ∈ + < =∈++=> Xét bài toán: Tìm một hàm ( , , )vvxyz = có tính chất (S 1 ) 23 3 3 () (), (), z v C IR CIR v CIR ++ + ∈∩ ∈ (S 2 ) (,,) (,,) lim sup ( , , ) . sup ( , , ) 0, RR R xyz S xyz S v vxyz R xyz n →+∞ ∈∈ ∂ ⎛⎞ + = ⎜⎟ ∂ ⎝⎠ và thỏa phương trình Laplace 6 (2.2) 3 0, ( , , ) ,vxyzIR + Δ= ∈ với điều kiện biên Neumann (2.3) 2 1 (,,0) (,),(,) , z v xy g xy xy IR−= ∈ trong đó, . n ∂ ∂ chỉ đạo hàm theo hướng vectơ pháp tuyến đơn vị n r trên nửa mặt cầu R S hướng ra ngoài và 1 g là hàm số cho trước liên tục trên 2 . I R Xét hàm Green cho phương trình Laplace với điều kiện Neumann (2.4) 222 222 11 (,,;,, ) 4 ()()() 11 . 4 ()()() Gxyz xyz xyz = −+−+− + −+−++ ξηζ π ξηζ π ξ ηζ Chú ý rằng cố định 3 (,,) x yz IR + ∈ , hàm ( , , ) ( , , ; , , )Gxyz ξ ηζ ξηζ a thuộc lớp C ∞ trong { } 3 (,,) \(,,),(, , ) x yz IR xyz xy zΩ= − và (2.5) 0, ( , , ) ( , , ),GG G G xyzΔ= + + = ∈Ω ξξ ηη ζζ ξ ηζ (2.6) (,,;,,0) 0,Gxyz ζ ξ η = trên 0. = ζ Cố định 3 (,,) x yz IR + ∈ , và số thực R > 0, chọn ε đủ nhỏ sao cho { } 3 222 3 (,,) :( )( )( ) . RR SIRxyzIRB ε ξηζ ξ η ζ ε + = ∈ −+−+− ≤⊂∩≡Ω Áp dụng công thức Green trên miền \ R S ε Ω , ta viết được (2.7) \ (. . ) . . . . . R R S S vG vG G v v Gddd G v dS G v dS nn nn ∂Ω Ω ∂ ∂∂ ∂∂ ⎛⎞⎛⎞ Δ− Δ = − − − ⎜⎟⎜⎟ ∂∂ ∂∂ ⎝⎠⎝⎠ ∫∫∫ ∫∫ ∫∫ ε ε ξηζ Ta có bổ đề sau Bổ đề 2.1 . Với giả thiết (S 1 ), ta có (2.8) 0 lim . . ( , , ). R S vG GvdSvxyz nn ε + → ∂ ∂∂ ⎛⎞ −= ⎜⎟ ∂∂ ⎝⎠ ∫∫ Chứng minh Bổ đề 2.1. Ta viết hàm Green dưới dạng [...]... Chương 3 Sự không tồn tại nghiệm dương của phương trình tích phân phi tuyến với g (ξ ,η , u (ξ ,η )) = g1 (ξ ,η ) + ( ξ 2 + η 2 ) β u α (ξ ,η ) Chương nầy chúng tôi xét sự không tồn tại nghiệm liên tục không âm, không đồng nhất bằng không u ( x, y ) của phương trình tích phân phi tuyến (2.46) tương ứng với số hạng phi tuyến cụ thể g (ξ ,η , u (ξ ,η )) = g1 (ξ ,η ) + ( ξ 2 + η 2 ) β u α (ξ ,η ), (3.1) trong. .. 0, thì phương trình tích phân phi tuyến (4.1) sẽ không tồn tại nghiệm liên tục không âm, không đồng nhất bằng không 30 Chứng minh định lý 4.1 Ta chứng minh bằng phương pháp phản chứng Giả sử rằng phương trình tích phân (4.1) có nghiệm u = u ( x, y ) là hàm liên tục không âm, không đồng nhất bằng không Do đó tồn tại ( x0 , y0 ) ∈ IR 2 , sao cho u ( x0 , y0 ) > 0 Do u ( x, y ) liên tục, nên tồn tại r0... phân phi tuyến (3.23) không tồn tại nghiệm liên tục không âm, không đồng nhất bằng không 21 Chứng minh định lý 3.2 Ta chứng minh bằng phương pháp phản chứng Giả sử rằng tồn tại một hàm liên tục không âm, không đồng nhất bằng không u ( x, y ) đồng thời là nghiệm của phương tình tích phân (3.23) Do đó tồn tại ( x0 , y0 ) ∈ IR 2 sao cho u ( x0 , y0 ) > 0 Do u ( x, y ) liên tục nên tồn tại r0 > 0, sao cho... hoàn tất 29 Chương 4 Sự không tồn tại nghiệm dương của phương trình tích phân phi tuyến với g ( x, y, u ) ≥ M ( x 2 + y 2 ) β (1 + x 2 + y 2 ) −γ uα Chương nầy chúng tôi xét phương trình tích phân sau (4.1) u ( x, y ) = H [ g (ξ ,η , u (ξ ,η )) ] ( x, y ), ∀( x, y ) ∈ IR 2 , (4.2) H [G (ξ ,η ) ] ( x, y ) = 1 2π ∫∫ IR 2 G (ξ ,η )d ξ dη ( x − ξ )2 + ( y − η )2 , trong đó số hạng phi tuyến g (ξ ,η , u )... × IR+ → IR+ liên tục và thỏa các điều kiện Tồn tại các hằng số M > 0, α ≥ 0, β ≥ 0, γ ≥ 0 sao cho (4.3) g (ξ ,η , u ) ≥ M ( ξ 2 + η 2 ) β (1 + ξ 2 + η 2 ) −γ u α , ∀(ξ ,η , u ) ∈ IR 2 × [ 0, +∞ ) Chương này sẽ chứng minh rằng với α ≥ 0, β ≥ 0, γ ≥ 0 thích hợp thì phương trình tích phân (4.1) sẽ không tồn tại nghiệm liên tục không âm, không đồng nhất bằng không Khi đó ta có kết quả sau Định lý 4.1... lại phương trình tích phân phi tuyến (2.46) theo dạng (3.23) u ( x, y ) = H [g (ξ ,η ,u (ξ ,η )]( x, y ), ∀( x, y ) ∈ IR 2 , (3.24) H [G (ξ ,η )]( x, y ) = 1 2π ∫∫ IR 2 G (ξ ,η ) ( x − ξ )2 + ( y − η )2 d ξ dη Khi đó, ta có định lý sau Định lý 3.2 Cho g : IR 2 × IR+ → IR+ là hàm liên tục có dạng (3.1), (3.2) Nếu các hằng số α , β ≥ 0, thỏa điều kiện 0 ≤ α ≤ β + 2, thì phương trình tích phân phi tuyến. .. đó, v thỏa phương trình tích phân phi tuyến sau (2.45) v ( x, y , z ) = 1 2π g (ξ ,η ; v(ξ ,η ,0))d ξη ∫∫ (x − ξ ) + ( y − η) + z 2 R2 2 2 3 , ∀( x, y, z ) ∈ IR+ Giả sử v là nghiệm của bài toán (2.43), (2.44) thỏa các điều kiện (S1), (S2), với g : IR 2 × IR+ → IR+ là hàm liên tục Giả sử rằng giá trị biên u ( x, y ) = v ( x, y,0) của bài toán (2.43), (2.44) thỏa thêm điều kiện (S3) tích phân 1 2π ∫∫... phân 1 2π ∫∫ g (ξ ,η ; v(ξ ,η ,0))d ξ dη ( x − ξ )2 + ( y − η )2 IR 2 tồn tại ∀( x, y ) ∈ IR 2 Khi đó, ta có định lý sau Định lý 2.5 Cho g : IR 2 × IR+ → IR+ là hàm liên tục Giả sử v là nghiệm của bài toán (2.43), (2.44) thỏa các điều kiện (S1), (S2), (S3) Khi đó, giá trị biên u ( x, y ) = v( x, y,0) thỏa một phương trình tích phân phi tuyến sau (2.46) u ( x, y ) = 1 2π ∫∫ R2 g (ξ ,η ; u (ξ ,η ))d ξη... tuyến (2.46) tương ứng với số hạng phi tuyến cụ thể g (ξ ,η , u (ξ ,η )) = g1 (ξ ,η ) + ( ξ 2 + η 2 ) β u α (ξ ,η ), (3.1) trong đó g1 : IR 2 → IR+ liên tục sao cho (3.2) tích phân ∫∫ IR 2 g (ξ ,η )d ξ dη ( x − ξ )2 + ( y − η )2 tồn tại và dương, và α , β ≥ 0 , là các hằng số cho trước thỏa một số điều kiện nào đó sẽ được chỉ rõ sau Đầu tiên ta cần bổ đề sau Bổ đề 3.1 Với mỗi p ≥ 0, q ≥ 0, ( x, y ) ∈ IR... 0 Do u ( x, y ) liên tục nên tồn tại r0 > 0, sao cho 1 u ( x, y ) > u ( x0 , y0 ) = L, ∀( x, y ) ∈ Br ( x0 , y0 ) , 2 (3.25) 0 trong đó Br ( x0 , y0 ) = {( x, y ) : ( x − x0 ) 2 + ( y − y0 ) 2 ≤ r02 } 0 Ta suy ra từ giả thiết (3.1), (3.2) và tính đơn điệu của toán tử tích phân rằng (3.26) u ( x, y ) = H [ g (ξ ,η , u (ξ ,η ) ] ( x, y ) = 1 = 2π 1 ≥ 2π Lα ≥ 2π ∫∫ g (ξ ,η , u (ξ ,η ))d ξ dη ( x − ξ . hướng dẫn: TS. Nguyễn Thành Long Đại học Khoa học Tự nhiên Tp. Hồ Chí Minh Học viên cao học: Võ Ngọc Đăng Khoa Thành phố Cần Thơ 20 07 Lời cảm ơn Qua thời gian học. văn và cho những nhận xét quý báu. Xin trân trọng cảm ơn Quý Thầy, Cô thuộc Khoa Toán – Tin học trường Đại học Khoa học Tự nhiên TP. Hồ Chí Minh và Quý Thầy, Cô trường Đại học Cần Thơ đã tận. tình giúp đỡ tác giả trong suốt thời gian học tập. TP. Cần Thơ, ngày tháng năm 20 07. Võ Ngọc Đăng Khoa Mục lục Trang Chương 1: Phần tổng quan. 1 Chương 2: Thiết lập phương trình