Điều kiện đủ để ổn định mũ của phương trình vi phân phi tuyến theo biến thời gian

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC VINH LÊ VIẾT CHIẾN ĐIỀU KIỆN ĐỦ ĐỂ ỔN ĐỊNH MŨ CỦA PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN PHI TUYẾN THEO BIẾN THỜI GIAN Chuyên ngành: GIẢI TÍCH Mã số : 60.46.01 LUẬN VĂN THẠC SÜ TOÁN HỌC Người hướng dẫn khoa học: TS. PHAN LÊ NA VINH – 2009 1 MỤC LỤC Trang MỞ ĐẦU .3 Chương 1. Các khái niệm cơ bản của lý thuyết ổn định phương trình vi phân…………………………………………………………………………………….……………… .5 1.1.Các định nghĩa .5 1.2. Sự ổn định của hệ vi phân tuyến tính 6 1.3. Sự ổn định của hệ vi phân tuyến tính thuần nhất 7 1.4. Sự ổn định của hệ vi phân tuyến tính thuần nhất với hệ số hằng……………………………………………………………………………………… ….……….….9 1.5. Hàm có dấu xác định .12 1.6. Tính ổn định và ổn định tiệm cận của nghiệm .14 1.7. Sự ổn định mũ 16 Chương 2. Tính ổn định mũ của phương trình vi phân phi tuyến theo biến thời gian…………… … 18 2.1. Hàm Lyapunov .18 2.2. Hàm tựa Lyapunov……………………………………………………………….22 2.3. Các điều kiện ổn định mũ ……………………………………………… .… .25 KẾT LUẬN 34 TÀI LIỆU THAM KHẢO 35 MỞ ĐẦU 2 Trong thực tế khi khảo sát các hoạt động xung quanh chúng ta như hệ động lực học, hệ sinh thái học, môi trường hay khảo sát sự ổn định dân số .thì chúng ta hay quan tâm đến tác động ban đầu của hệ. Để khảo sát sự ổn định của những quá trình trên người ta thường mô hình hoá toán học các hệ đó. Thông qua các hệ toán học con người muốn can thiệp vào hoạt động của hệ thống, giữ cho hệ thống không thoát ly quá xa trạng thái cân bằng được thiết lập trước. Do đó lý thuyết ổn định đã và đang được quan tâm nghiên cứu một cách sâu rộng, mạnh mẽ và nó được ứng dụng trong nhiều lĩnh vực khác nhau như kinh tế, khoa học kỹ thuật, tính toán…Như vậy lý thuyết ổn định đóng một vai trò quan trọng của lý thuyết định tính phương trình vi phân. Chúng ta đã biết đến hai phương pháp nghiên cứu đem lại thành công lớn của lý thuyết ổn định của nhà toán học người Nga Liapunov. Đây là hai phương pháp giúp việc nghiên cứu tính ổn định của hệ phương trình vi phân đạt hiệu qủa nhất. Trên cơ sở các tài liệu về phương trình vi phân và lý thuyết ổn định chúng tôi nghiên cứu đề tài " Điều kiện đủ để ổn định mũ của phương trình vi phân phi tuyến theo biến thời gian″. Trong khuôn khổ của luận văn này chúng tôi trình bày điều kiện đủ cho tính ổn định mũ của phương trình vi phân phi tuyến theo biến thời gian, nhờ sử dụng phương pháp Lyapunov với hàm số không nhất thiết khả vi. Với mục đích đó luận văn đươc trình bày gồm hai chương sau: Chương 1. Các khái niệm cơ bản của lý thuyết ổn định phương trình vi phân. Dựa trên các cơ sở đã có về lý thuyết ổn định, trong chương này chúng tôi trình bày các khái niệm cơ bản, các định nghĩa, các định lý về tính ổn định, æn định mũ của lý thuyết ổn định phương trình vi phân đã được trình bày trong các tài liệu tham khảo ([1],[2],[3]). Các kiến thức ở chương này hỗ trợ cho các kết quả chương 2 của luận văn. Chương 2. Tính ổn định mũ của phương trình vi phân phi tuyến theo biến thời gian. 3 Đây là phần chính của luận văn. Với mục đích của chương này là đưa ra điều kiện đủ cho sự ổn định mũ của một dạng phương trình vi phân phi tuyến theo biến thời gian. Đưa ra một dạng ổn định của hàm tựa hàm Lyapunov, chứng minh chi tiết điều kiện đủ cho tính ổn định mũ của phương trình vi phân phi tuyến theo biến thời gian. Chương này được cấu tạo như sau: Trong phần một giới thiệu hàm Lyapunov. Phần hai giới thiệu hàm tựa Lyapunov. Phần ba đưa ra điều kiện đủ cho sự ổn định mũ, với những hàm tựa Lyapunov mở rộng. Luận văn được hoàn thành tại trường Đại học Vinh dưới sự hướng dẫn tận tâm, tận tình của cô giáo, TS. Phan Lê Na. Nhân dịp này tác giả xin được tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới cô giáo hướng dẫn, các thầy giáo, cô giáo trong khoa Toán- trường Đại học Vinh nói chung và tổ giải tích nói riêng. Xin cảm ơn các thầy giáo, cô giáo trong khoa Sau Đại học – Trường Đại học Vinh và các bạn bè, đồng nghiệp, gia đình đã quan tâm giúp đỡ chỉ bảo cho tác giả trong suốt thời gian học tập và nghiên cứu. Cuối cùng tác giả xin gửi lời cảm ơn sâu sắc tới trung tâm GDTX-DN Nông Cống và UBND Huyện Nông Cống đã tạo điều kiện về tinh thần cũng như về vật chất cho tác giả trong suốt thời gian học tập và nghiên cứu tại trường Đại học Vinh. Mặc dù tác giả đã rất cố gắng nhưng do còn hạn chế về mặt kiến thức và thời gian không nhiều nên luận văn chắc chắn không tránh khỏi có những thiếu sót. Tác giả rất mong nhận được những góp ý, chỉ bảo của các thầy giáo, cô giáo, bạn bè và các đồng nghiệp để từ đó có thể bổ sung, sửa chữa và hoàn thành luận văn tốt hơn. Vinh, tháng 11 năm 2009 Tác giả CHƯƠNG 1 CÁC KHÁI NIỆM CƠ BẢN CỦA LÝ THUYẾT ỔN ĐỊNH 4 PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN Trong chương này sẽ trình bày một số khái niệm và tính chất cơ bản của hệ phương trình vi phân tuyến tính (xem trong tài liệu tham khảo [1] , [2], [3]). 1.1 CÁC ĐỊNH NGHĨA Xét hệ phương trình vi phân: ,, .,2,1),, .,,,( 21 njyyytf dt dy nj == (1.1) với t là biến độc lập, y 1 ,y 2 ….,y n là các hàm cần tìm, f j là các hàm nhận giá trị thực, xác định trong bán trụ, , ),( y DaT ×∞= D y là một miền mở thuộc R n , a ∈ R ∪ {- ∞ }. Ta đưa vào các ma trận cột như sau: Y = colon(y 1 ,y 2 ,….,y n ). F(t,Y) = colon    dt dy 1 ,…,    dt dy n , F(t,Y) = colon(f 1 (t,Y),… ,f n (t,Y)). Khi đó hệ phương trình (1.1) được viết dưới dạng phương trình ma trận: ).,( YtF dt dY = (1.2) Hàm véc tơ Y(t) ∈ C 1 (a,b), thỏa mãn phương trình (1.2) được gọi là nghiệm của phương trình (1.1) trên (a,b). Để cho ngắn gọn ta gọi hệ (1.1) là hệ vi phân. 1.1.1 Định nghĩa. Nghiệm )(t η , (a < t < ∞ ) của hệ (1.2) (nếu có) được gọi là ổn định ( theo nghĩa Liapunov ) khi t → ∞ ( nói ngắn gọn là ổn định ) nếu với mọi ε > 0, với mọi t 0 thuộc (a , ∞ ) tồn tại δ = δ ( ε ,t 0 ) > 0 sao cho tất cả các nghiệm Y(t) của hệ (1.2) nếu thỏa mãn điều kiện )()( 00 ttY η − < δ thì xác định trong khoảng [t 0 , ∞ ) và )()( ttY η − < ε khi t 0 ≤ t < ∞ . 1.1.2 Định nghĩa. Nếu số δ trong Định nghĩa 1.1.1 có thể chọn không phụ thuộc vào t 0 , tức là δ = δ ( ε ) thì nghiệm )(t η được gọi là ổn định đều. 5 1.1.3 Định nghĩa. Nghiệm η = η (t), (a < t < ∞ ) của hệ (1.2) được gọi là ổn định tiệm cận (theo nghĩa Liapunov ) khi t → ∞ (nói ngắn ngọn là ổn định tiệm cận ) nếu: i) Nghiệm η ổn định. ii) Với mọi t 0 ∈ (a, ∞ ) tồn tại ∆ = ∆ (t 0 ) sao cho tất cả các nghiệm Y = Y(t), t ≤ t 0 < ∞ nếu thỏa mãn điều kiện )()( 00 ttY η − < ∆ thì: ∞→ t lim )()( ttY η − = 0. 1.1.4 Nhận xét ([1]). Nghiệm tầm thường )(t η ≡ 0 của hệ (1.2) (nếu có) ổn định và ∞→ t lim Y(t) = 0 khi )( 0 tY < ∆ với mọi nghiệm )(tY . Hình cầu )(tY < ∆ = )( 0 t∆ với t 0 cố định, được gọi là miền hút của vị trí cân bằng 0. 1.2 SỰ ỔN ĐỊNH CỦA HỆ VI PHÂN TUYẾN TÍNH Xét hệ vi phân tuyến tính: dt dY = A(t)Y + F(t), (1.3) với ma trận hàm A(t) = [ a jk (t) ] và F(t) = colon{f 1 (t), .,f n (t)}. Hệ vi phân: dt dY = A(t)Y, (1.4) được gọi là hệ vi phân tuyến tính thuần nhất tương ứng với hệ (1.3). 1.2.1 Định nghĩa. Hệ vi phân tuyến tính (1.3) được gọi là ổn định (tương ứng không ổn định) nếu tất cả các nghiệm Y = Y(t) của nó ổn định (tương ứng không ổn định). 1.2.2 Định lý ([1]). Điều kiện cần và đủ để (1.3) hệ vi phân tuyến tính ổn định là nghiệm tầm thường X(t) ≡ 0 (t o < t < ∞) của hệ thuần nhất tương ứng (1.4) ổn định. 1.2.3 Hệ qủa ([1]). Hệ vi phân tuyến tính ổn định nếu và chỉ nếu một nghiệm nào đó của hệ ổn định. 6 1.2.4 Hệ quả ([1]). Ba mệnh đề sau tương đương: a) Hệ vi phân tuyến tính không thuần nhất (1.3) ổn định. b) Hệ vi phân tuyến tính thuần nhất (1.4) ổn định. c) Nghiệm tầm thường của hệ vi phân tuyến tính thuần nhất (1.4) ổn định. 1.2.5 Định nghĩa ([1]). Hệ vi phân tuyến tính (1.3) được gọi là ổn định đều nếu tất cả các nghiệm của hệ là ổn định đều. 1.2.6 Định nghĩa ([1]). Hệ vi phân tuyến tính (1.3) được gọi là ổn định tiệm cận nếu tất cả các nghiệm Y(t) của hệ là ổn định tiệm cận khi t . ∞→ 1.2.7 Định lý ([1]). Hệ vi phân tuyến tính (1.3) ổn định đều (tương ứng với ổn định tiệm cận ) khi và chỉ khi nghiệm tầm thường X(t) ≡ 0 của hệ vi phân tuyến tính thuần nhất tương ứng (1.4) ổn định đều (tương ứng ổn định tiệm cận). 1.3 SỰ ỔN ĐỊNH CỦA HỆ VI PHÂN TUYẾN TÍNH THUẦN NHẤT Xét hệ phương trình vi phân tuyến tính thuần nhất: = A(t)Y, (1.5) trong đó A(t) được giả thiết là liên tục trên (a, ∞ ). Định lý sau chứng tỏ tính ổn định của hệ vi phân tuyến tính thuấn nhất tương đương với tính bị chặn của mọi nghiệm của nó. 1.3.1 Định lý ([1]). Hệ vi phân tuyến tính thuần nhất (1.5) ổn định khi và chỉ khi mỗi một nghiệm X = X(t) (a < t 0 ≤ t < ∞ ) của hệ bị chặn trên bán trục [t 0 , ∞ ). 1.3.2 Hệ quả ([1]). Nếu hệ vi phân tuyến tính = A(t)Y + F(t) ổn định thì mọi nghiệm của nó hoặc cùng bị chặn hoặc cùng không bị chặn. 7 1.3.3 Ví dụ. Xét tính ổn định của phương trình sau và tính bị chặn của các nghiệm của nó: 242 )( ++−= ty dt tdy . Phương trình thuần nhất tương ứng x dt tdx 2 )( −= có nghiệm tổng quát là x(t) = e -2t x(0). Các nghiệm này đều bị chặn trên [0, ∞ ). Vì hệ thuần nhất ổn định nên hệ đã cho cũng ổn định. Mặt khác hệ đã cho có nghiệm y(t) =2t không bị chặn. Vậy mọi nghiệm của phương trình đã cho không bị chặn. 1.3.4 Định lý ([1]). Hệ vi phân tuyến tính (1.5) ổn định tiệm cận khi và chỉ khi mọi nghiệm X = X(t) của hệ dần về 0 khi t dần tới ∞ . 1.3.5 Chú ý ([1]). Đối với hệ vi phân không tuyến tính, sự dần về không của tất cả các nghiệm nói chung không suy ra được tính ổn định tiệm cận của nghiệm tầm thường của nó. 1.3.6 Ví dụ. Cho hệ phương trình tuyến tính sau:      −= −= , 22 t y dt dy xyt t x dt dx t ≥ 1. Xét tính ổn định nghiệm tầm thường của hệ trên. Giải. Hệ đã cho có nghiệm tầm thường Z(t) = (x(t), y(t)) ≡ (0,0). Nghiệm tổng quát của hệ trên là:      = = − t C y teCx tC 2 1 2 2 (trong đó cc 21 , là những hằng số) đặt t 0 = 1, ta có:      ⋅= = −− t ty y tetxtx tty )( )()( 0 )1)(( 0 0 2 8 Ta có )(lim tx t ∞→ = )(lim ty t ∞→ = 0, nhưng nghiệm tầm thường không ổn định (vì vậy không ổn định tiệm cận). Thật vậy, ta chỉ ra tồn tại 0 1 >= − e ε , với mọi 0> δ tồn tại t 1 1≥ sao cho )Z(1 < δ nhưng )1(Z > ε . Chọn δ > 0 là số dương sao cho 22,4, δδδ <+ khi đó với x(1) = 2, δ , y(1)= , δ thì: )1(Z = 2,4, δδ + < . δ Với t 1 = 1 + 2 1 δ > 1 thì : x(t 1 ) = x(1 + 2 1 δ ) = 2 δ (1 + 2 1 δ )e 2 2 1 δ δ − = (1+ 2 δ )e -1 > e -1 . Do đó )( 1 tZ > e -1 , vậy nghiệm Z(t) ≡ 0 không ổn định khi t ∞→ . 1.4 SỰ ỔN ĐỊNH CỦA HỆ VI PHÂN TUYẾN TÍNH THUẦN NHẤT VỚI HỆ SỐ HẰNG Xét hệ phương trình vi phân: = AX, (1.6) với A = [a jk ] là ma trận hằng số vuông cấp n. Nghiệm tổng quát của hệ (1.6) là: X(t) = C , At e (1.7) trong đó C là ma trận hằng cỡ (n × n). 1.4.1 Định lý ([3]). Hệ vi phân tuyến tính thuần nhất (1.6) với ma trận hằng số A là ổn định khi và chỉ khi tất cả các nghiệm đặc trưng j λ = j λ (A) của ma trận A có phần thực không dương, trong đó các nghiệm đặc trưng có phần thực bằng không là các ước sơ cấp đơn. 1.4.2 Định lý ([3]). Hệ vi phân tuyến tính thuần nhất (1.6) với ma trận hằng số A là ổn định tiệm cận khi và chỉ khi tất cả các nghiệm đặc trưng j λ = j λ (A) của ma trận A có phần thực âm, tức là Re j λ (A) < 0, (j= 1, .,n ). 1.4.3 Định nghĩa ([1]). Đa thức của biến phức z: 9 f(z) = a 0 + a 1 z + a 2 z 2 + .a n z n , ( n ≥ 1) với các hệ số thực hoặc phức được gọi là đa thức Hurwitz nếu tất cả các nghiệm ( không điểm ) z 1 , ., z n của đa thức đều có phần thực âm. Đa thức f n (z) được gọi là đa thức chuẩn bậc n nếu tất cả các hệ số của nó thực, a n ≠ 0 và a 0 > 0. 1.4.4 Định lý ([1]). Nếu đa thức chuẩn là đa thức Hurwitz thì tất cả các hệ số của nó đều dương. 1.4.5 Chú ý. Mệnh đề đảo của Định lý 1.4.4 nói chung là không đúng, nhưng đối với đa thức bậc hai thì mệnh đề đảo của Định lý 1.4.4 vẩn đúng. 1.4.6 Ví dụ. Xét f(z) = 2 + 4z + 3z 2 +z 3 có mọi hệ số dương nhưng có các nghiệm của nó là -1, -1+ i, -1- i, do nó không là đa thức Hurwitz. 1.4.7 Định nghĩa. Cho đa thức f(z) = a 0 + a 1 z + a 2 z 2 + . . . +a n z n (n ≥ 1) trong đó a 0 > 0, a n ≠ 0, ( n ≥ 1). Khi đó ma trận H =                 −−−− nnnnn aaaaa aaaa aaaa aa      42322212 2345 0123 01 0 0 000 với a k = 0 khi k > n, được gọi là ma trận Huwitz của đa thức f n (z). 1.4.8 Định lý ([1]) (Tiêu chuẩn Hurwitz). Điều kiện cần và đủ để đa thức chuẩn f n (z) là đa thức Hurwitz là tất cả các định thức con chính của ma trận Hurwitz của f n (z) đều dương, tức là: 1 ∆ = a 1 > 0, 2 ∆ = 23 01 aa aa ,  , n ∆ = a n 1− ∆ n > 0. 10