Sự ổn định nghiệm của phương trình vi phân và ứng dụng

TểM TT LUN VN THC S ti: S n nh nghim ca phng trỡnh vi phõn v ng dng Tỏc gi lun vn: Phm Th Hoi Khúa: 2009-2011 Ngi hng dn: PGS TS Nguyn Thiu Huy Ni dung túm tt: Xột phng trỡnh tin húa na tuyn tớnh cú dng dx = A(t)x(t) + f (t, x(t)), t J, dt (1) ú J l mt khong ca R; A(t) l mt toỏn t tuyn tớnh (cú th khụng b chn) trờn khụng gian Banach X, x(t) X v f (., ) : J ì X X l mt toỏn t phi tuyn Mt nhng hng nghiờn cu quan trng ca xem xột dỏng iu tim cn nghim cho phng trỡnh (1) l tỡm iu kin ca phng trỡnh ny nú cú a tớch phõn (n nh, khụng n nh, tõm) Nh ta ó bit iu kin ph bin nht cho s tn ti ny l dx nh phõn m (hoc tam phõn m) ca phn tuyn tớnh = A(t)x(t) v tớnh dt Lipschitz u ca f (t, x) vi hng s Lipschitz nh Ta s thit lp s tn ti a n nh, khụng n nh, a tõm n nh v a tõm khụng n nh phn tuyn tớnh ca phng trỡnh (1) cú nh phõn m (hoc tam phõn m) trờn na ng thng hoc c ng thng, ú hm f (t, x) tha iu kin tng quỏt hn nh sau: f (t, x) f (t, y) (t) x y , vi l mt hm thc dng thuc khụng gian hm chp nhn c Nh vy vi vic s dng khụng gian hm chp nhn c ta xõy dng c nhng a bt bin cho phng trỡnh (1) trng hp phn tuyn tớnh cú nh phõn m (hoc tam phõn m) m khụng s dng n iu kin Lipschitz t+1 nh ca f (t, x) Thay vo ú l iu kin nh ca sup t ( )d (nh t0 lớ 1.3.8) V ú ta thu c s tn ti ca a bt bin n nh, khụng n nh (tõm n nh, tõm khụng n nh) cho trng hp phn tuyn tớnh cú nh phõn m (tam phõn m) di iu kin tng quỏt hn ca f (t, x) Trong [2], I.D Chueshov ó xột phng trỡnh du + Au = B(u, t), t > s, u|t=s = u0 , s R, dt vi A l toỏn t dng cú ph ri rc v B(., ) l toỏn t phi tuyn liờn tc t D(A ) ì R vo khụng gian Hilbert H (0 < ) tha iu kin B(u, t) M (1 + A u ) v B(u1 , t) B(u2 , t) M (1 + A (u1 u2 ) ), vi mi u, u1 , u2 thuc D(A ) (M l mt hng s dng no ú) Vi iu kin khe h ph v s dng phng phỏp hm Lyapunov-Perron, tỏc gi ó chng minh s tn ti a quỏn tớnh ca phng trỡnh ny v ng thi ch tớnh hỳt cp m ca nú (nh lớ 3.1, [2]) Vn dng kt qu [7] v phng phỏp hm Lyapunov-Perron tng t nh [2], chỳng tụi chng minh c tớnh hỳt cp m ca a khụng n nh v a tõm khụng n nh trng hp phn tuyn tớnh cú nh phõn m hoc tam phõn m cũn phn phi tuyn tha mt s iu kin no ú (nh lớ 2.1.1 v nh lớ 2.2.1) Tip ú chỳng tụi cú a vớ d minh cho kt qu mi ny Lun c chia lm hai chng: Chng 1: a bt bin khụng gian hm: Trong chng ny, chỳng tụi trỡnh by cỏc kin thc v h tin húa, h tin húa cú nh phõn m, tam phõn m, khụng gian hm chp nhn c v cỏc tớnh cht ca nú, s tn ti ca a n nh, khụng n nh, tõm n nh v tõm khụng n nh (nhng kt qu [7]) Chng 2: Tớnh hỳt ca a khụng n nh: Trong chng ny chỳng tụi chng minh tớnh hỳt cp m ca a khụng n nh v a tõm khụng n nh, ng thi chỳng tụi cng cho vớ d minh cho kt qu mi ny B GIO DC V O TO TRNG I HC BCH KHOA H NI PHM TH HOI PHM TH HOI TON TIN S N NH NGHIM CA PHNG TRèNH VI PHN V NG DNG LUN VN THC S KHOA HC Chuyờn ngnh: TON TIN 2009-2011 H Ni, thỏng Nm 2011 B GIO DC V O TO TRNG I HC BCH KHOA H NI PHM TH HOI S N NH NGHIM CA PHNG TRèNH VI PHN V NG DNG LUN VN THC S KHOA HC Chuyờn ngnh: TON TIN NGI HNG DN KHOA HC : PGS.TS NGUYN THIU HUY H Ni, thỏng Nm 2011 Mc lc Li cm n Li m u a bt bin khụng gian hm 1.1 H tin húa 1.1.1 Khỏi nim h tin húa 1.1.2 H tin húa cú tam phõn m 1.2 Khụng gian hm v tớnh chp nhn c 1.2.1 Khụng gian hm chp nhn c 1.2.2 Tớnh cht ca khụng gian hm chp nhn c 1.2.3 Hm Lipschitz 1.3 Nh phõn m v a n nh trờn R+ 1.3.1 a n nh a phng trờn R+ 1.3.2 a bt bin n nh trờn R+ 1.4 Tam phõn m v a tõm n nh trờn R+ 1.5 a khụng n nh trờn R 1.5.1 a khụng n nh a phng trờn R 1.5.2 a bt bin khụng n nh trờn R 1.6 a tõm khụng n nh trờn R 6 10 11 12 16 17 17 20 22 30 30 36 41 Tớnh hỳt ca a khụng n nh 43 2.1 Tớnh hỳt ca a bt bin khụng n nh 43 2.2 Tớnh hỳt ca a tõm khụng n nh 49 Kt lun 50 Danh mc ti liu tham kho 51 Li cm n Lun c thc hin v hon thnh di s hng dn ca thy giỏo PGS.TS Nguyn Thiu Huy Tỏc gi xin by t lũng bit n sõu sc ti Thy bi nhng kin thc chuyờn ngnh m Thy ó truyn t, s nhit tỡnh v tn tõm ch bo sut quỏ trỡnh nghiờn cu ti! Tỏc gi xin trõn trng cm n Khoa Toỏn Tin ng dng, Vin o to Sau i hc, Trng i hc Bỏch khoa H Ni ó to mi iu kin thun li cho tỏc gi quỏ trỡnh hc v nghiờn cu ng thi, tỏc gi xin gi li cm n chõn thnh ti cỏc thy cụ v ng nghip ó trao i cựng tỏc gi nhng kin thc v kinh nghim quý bỏu giỳp cho lun c hon thin hn Tỏc gi vụ cựng bit n gia ỡnh, bn bố v ngi thõn ó ng viờn, c v v giỳp tỏc gi sut thi gian hc tp, nghiờn cu v hon thnh lun ny Li m u Xột phng trỡnh tin húa na tuyn tớnh cú dng dx = A(t)x(t) + f (t, x(t)), t J, dt (1) ú J l mt khong ca R; A(t) l mt toỏn t tuyn tớnh (cú th khụng b chn) trờn khụng gian Banach X, x(t) X v f (., ) : J ì X X l mt toỏn t phi tuyn Mt nhng hng nghiờn cu quan trng ca xem xột dỏng iu tim cn nghim cho phng trỡnh (1) l tỡm iu kin ca phng trỡnh ny nú cú a tớch phõn (n nh, khụng n nh, tõm) Nh ta ó bit iu kin ph bin nht cho s tn ti a tớch phõn ca phng trỡnh (1) l nh phõn m (hoc tam phõn m) ca dx = A(t)x(t) v tớnh Lipschitz u ca f (t, x) vi hng phn tuyn tớnh dt s Lipschitz nh Ta s thit lp s tn ti a n nh, khụng n nh, a tõm n nh v a tõm khụng n nh phn tuyn tớnh ca phng trỡnh (1) cú nh phõn m (hoc tam phõn m) trờn na ng thng hoc c ng thng, ú hm f (t, x) tha iu kin tng quỏt hn nh sau: f (t, x) f (t, y) (t) x y , vi l mt hm thc dng thuc khụng gian hm chp nhn c Trong hu ht cỏc chng minh chỳng ta s lm chi tit cho trng hp nh phõn m, trng hp tam phõn m s c chuyn t trng hp nh phõn m bng quỏ trỡnh i t xớch (rescaling) Trong quỏ trỡnh chng minh ta cng s dng phng phỏp Lyapunov-Perron v c trng húa nh phõn m ca phng trỡnh tin húa khụng gian hm chp nhn c xỏc nh trờn R+ (hoc R) xõy dng cu trỳc nghim ca phng trỡnh (1) dng tt Nh vy vi vic s dng khụng gian hm chp nhn c ta xõy dng c nhng a bt bin cho phng trỡnh (1) trng hp phn tuyn tớnh cú nh phõn m (hoc tam phõn m) m khụng s dng n iu kin Lipschitz nh ca f (t, x) Thay vo ú l iu kin nh ca t+1 sup t ( )d (nh lớ 1.3.8) V ú ta thu c s tn ti ca a t0 bt bin n nh, khụng n nh (tõm n nh, tõm khụng n nh) cho trng hp phn tuyn tớnh cú nh phõn m (tam phõn m) di iu kin tng quỏt hn ca f (t, x) Trong [2], I.D Chueshov ó xột phng trỡnh du + Au = B(u, t), t > s, u|t=s = u0 , s R, dt vi A l toỏn t dng cú ph ri rc v B(., ) l toỏn t phi tuyn liờn tc t D(A ) ì R vo khụng gian Hilbert H (0 < ) tha iu kin B(u, t) M (1 + A u ) v B(u1 , t) B(u2 , t) M (1 + A (u1 u2 ) ), vi mi u, u1 , u2 thuc D(A ) (M l mt hng s dng no ú) Vi iu kin khe h ph v s dng phng phỏp hm Lyapunov-Perron, tỏc gi ó chng minh s tn ti a quỏn tớnh ca phng trỡnh ny v ng thi ch tớnh hỳt cp m ca nú (nh lớ 3.1, [2]) Vn dng kt qu [7] v phng phỏp hm Lyapunov-Perron tng t nh [2], chỳng tụi chng minh c tớnh hỳt cp m ca a khụng n nh v a tõm khụng n nh trng hp phn tuyn tớnh cú nh phõn m hoc tam phõn m cũn phn phi tuyn tha mt s iu kin no ú (nh lớ 2.1.1 v nh lớ 2.2.1) Tip ú chỳng tụi cú a vớ d minh cho kt qu mi ny Lun c chia lm hai chng: Chng 1: a bt bin khụng gian hm: Trong chng ny, chỳng tụi trỡnh by cỏc kin thc v h tin húa, h tin húa cú nh phõn m, tam phõn m, khụng gian hm chp nhn c v cỏc tớnh cht ca nú, s tn ti ca a n nh, khụng n nh, tõm n nh v tõm khụng n nh (nhng kt qu [7]) Chng 2: Tớnh hỳt ca a khụng n nh: Trong chng ny chỳng tụi chng minh tớnh hỳt cp m ca a khụng n nh v a tõm khụng n nh, ng thi chỳng tụi cng cho vớ d minh Mc dự ó nhn c nhiu s giỳp v cng rt c gng, song thi gian cú hn, kin thc tớch ly cha nhiu nờn bn lun khụng trỏnh nhng thiu sút Tỏc gi rt mong s nhn c cỏc ý kin úng gúp ca Quý Thy cụ v cỏc bn ng nghip bn lun c hon chnh hn H Ni, ngy 07 thỏng nm 2011 Hc viờn : Phm Th Hoi Chng a bt bin khụng gian hm 1.1 H tin húa 1.1.1 Khỏi nim h tin húa nh ngha 1.1.1 Kớ hiu J l R hoc R+ , mt h cỏc toỏn t (U (t, s))ts,t,sJ trờn khụng gian Banach X c gi l mt h tin húa (liờn tc mnh, b chn m) trờn J nu: (i) U (t, t) = Id v U (t, r)U (r, s) = U (t, s) vi mi t r s, t, r, s J, (ii) nh x (t, s) U (t, s)x liờn tc trờn J ì J vi mi x X, (iii) U (t, s)x Ke(ts) x vi mi t s, t, s J v x X, ú K, l cỏc hng s no ú Khỏi nim h tin húa c phỏt trin mt cỏch t nhiờn t lớ thuyt v phng trỡnh tin húa c t chnh Ngha l, nu bi toỏn Cauchy du(t) = A(t)u(t), t s, t, s J dt u(s) = x X, s t = t0 U (t0 , )P ( )f (, x( ))d = G(t, )f (, x( ))d = y(t0 ) õy chỳng ta ó s dng tớnh cht U (t0 , t)U (t, )| (IP ( )) = U (t0 )(I P ( )) vi t t0 Vy chỳng ta cú t0 y(t0 ) = U (t0 , t)y(t) + U (t0 , )f (, x( ))d t Mt khỏc ta li cú t0 x(t0 ) = U (t0 , t)x(t) + U (t0 , )f (, x( ))d t nờn x(t0 ) y(t0 ) = U (t0 , t)[x(t) y(t)] Ta cũn phi chng minh x(t0 ) y(t0 ) (I P ( ))X Tỏc ng toỏn t P (t0 ) vo biu thc x(t0 ) y(t0 ) = U (t0 , t)[x(t) y(t)] ta cú P (t0 )[x(t0 ) y(t0 )] = U (t0 , t)P (t)[x(t) y(t)] N e(t0 t) P (t) x(t) y(t) Vỡ sup P (t) < + v x(t) y(t) x(.) + y(.) < +, cho tR t ta thu c P (t0 )[x(t0 ) y(t0 )] = iu ú cú ngha l v1 := x(t0 ) y(t0 ) (I P (t0 ))X = X1 (t0 ) Nh vy ta cú iu phi chng minh Chỳ ý: Bng cỏch tớnh toỏn trc tip ta thy iu ngc li ca b trờn cng ỳng B 1.5.3 Cho h tin húa (U (t, s))ts cú nh phõn m vi h phộp chiu tng ng (P (t))tR v cỏc hng s nh phõn N, > t k := (1 + H)N (N1 e 33 + N2 T1+ ) (1.34) Khi ú, vi mi s dng v M ta cú: Nu f thuc lp (M, , ) vi } thỡ cú tng ng mi mt hm dng ER tha k < min{1, 2M phn t v1 B 2N X1 (t0 ) vi mt v ch mt nghim x(t) ca phng trỡnh (1.27) trờn (, t0 ] tha iu kin (I P (t0 ))x(t0 ) = v1 v esssuptt0 u(t) Chng minh Trong khụng gian L ((, t0 ], X] xột hỡnh cu B := {x(.) L ((, t0 ], X] : x(.) = esssuptt0 u(t) } Vi mi v1 B 2N X1 (t0 ) ta s chng minh phộp bin i T xỏc nh bi t0 G(t, )f (, x( ))d, t t0 (T x)(t) = U (t, t0 )| v1 + i t B vo B l ỏnh x co Tht vy, vi x(.) B ta cú f (t, x(t)) M (t) t t0 G(t, )f (, x( ))d, t t0 , y(t) = U (t, t0 )| v1 + ta cú y(t) N e(t0 t) v1 + (1 + H)N M t0 G(t, )f (, x( ))d Suy y(.) L v y(.) N v1 + Mt khỏc v1 2N (1 + H)N M (N1 e + N2 T1+ ) v (1 + H)N (N1 e ta thu c y(.) + N2 T1+ ) < 2M Do ú T l ỏnh x i t B vo B ng thi ta cng cú T (x) T (y) (1 + H)N x(.) y(.) e = k x(.) y(.) 34 (N1 + N2 T1+ ) Kt hp vi gi thit k < ta suy T l ỏnh x co Nh vy b ó c chng minh T B 1.5.2, 1.5.3 v s dng lp lun ging nh nh lớ 3.8 [6] ta thu c nh lớ sau nh lớ 1.5.4 Cho h tin húa (U (t, s))ts cú nh phõn m vi h phộp chiu tng ng (P (t))tR v cỏc hng s nh phõn N, > Khi ú vi mi > v M > ta cú: Nu f l hm -Lipschitz lp (M, , ) vi mt hm dng ER tha k < min{ N1+1 , 2M }, ú k c xỏc nh nh (1.34) Khi ú tn ti a khụng n nh a phng cho nghim ca phng trỡnh (1.27) Hn na, vi hai nghim x1 (.) v x2 (.) bt kỡ thuc a ta cú x1 (t) x2 (t) Ceà(tt0 ) (IP (t0 ))x1 (t0 )(IP (t0 ))x2 (t0 ) , t t0 (1.35) ú C, l nhng hng s dng khụng ph thuc vo t0 , x1 (.), x2 (.) Chng minh Chng minh nh lớ ny tng t nh chng minh nh lớ 3.8 [6] ta thay th R+ bi R v s dng cu trỳc nghim b chn nh B 1.5.2 v 1.5.3 Ta cn chỳ ý rng h cỏc ỏnh x Lipschitz (ht )tR xỏc nh a khụng n nh a phng l ht :B 2N X1 (t) B X0 (t) t ht (y) = G(t, )f (, x( ))d vi y B 2N X1 (t) v x(.) l nghim nht L ((, t], X] ca phng trỡnh (1.27) trờn (, t] tha (I P (t))x(t) = y (chỳ ý rng s tn ti v nht ca x(.) thu c t B 1.5.3) Hn na, hng s Lipschitz ca ht l Nk 1k < 35 1.5.2 a bt bin khụng n nh trờn R Trc ht ta cho mt nh ngha v a bt bin khụng n nh trờn R cho nghim ca phng trỡnh (1.27) nh ngha 1.5.5 Mt U R ì X c gi l a bt bin khụng n nh cho nghim ca phng trỡnh (1.27) nu vi mi t R khụng gian pha X c biu din thnh tng trc tip X = X0 (t) X1 (t) cho: inf Sn(X0 (t), X1 (t)) := inf inf{ x0 + x1 : xi Xi (t), xi = 1, i = 0, 1} > tR tR v tn ti mt h cỏc ỏnh x Lipschitz liờn tc: ht : X1 (t) X0 (t), t R, vi cỏc hng s Lipschitz khụng ph thuc vo t tha món: (i) U = {(t, x + ht (x)) Rì (X1 (t) X0 (t))|t R, x X1 (t)} v ta kớ hiu Ut := {x + ht (x) : (t, x + ht (x)) U}, (ii) Ut ng phụi vi X1 (t) vi mi t R, (iii) vi mi x0 Ut0 tng ng vi mt v ch mt nghim x(t) ca phng trỡnh (1.27) tha iu kin x(t0 ) = x0 v esssuptt0 x(t) < +, (iv) U bt bin i vi phng trỡnh (1.27) theo ngha, nu x(.) l mt nghim ca phng trỡnh (1.27) tha x(t0 ) Ut0 v esssuptt0 x(t) < + thỡ x(t) Ut vi mi t t0 36 Tng t nh nhng phn trc u tiờn chỳng ta s xõy dng dng nghim b chn trờn (, t0 ] ca phng trỡnh (1.27) thụng qua b sau, cỏch chng minh hon ton tng t nh B 1.5.2 B 1.5.6 Cho h tin húa (U (t, s))ts cú nh phõn m vi h phộp chiu tng ng (P (t))tR v cỏc hng s nh phõn N, > Gi s l mt hm dng thuc ER Cho f : R ì B X l -Lipschitz Gi x(t) l nghim ca phng trỡnh (1.27) cho esssuptt0 u(t) < + vi mi t0 c nh Khi ú vi t t0 x(t) cú th c vit di dng t0 G(t, )f (, x( ))d, t t0 x(t) = U (t, t0 )| v1 + (1.36) vi mi v1 X1 (t0 ) = (I P (t0 ))X, ú G(t, ) l hm Green c xỏc nh nh (1.32) Chỳ ý: Bng cỏch tớnh toỏn trc tip ta thy iu ngc li ca b trờn cng ỳng Tng t nh B 1.5.3, b sau ch s tn ti v nht ca cỏc nghim b chn ca phng trỡnh (1.27) B 1.5.7 Cho h tin húa (U (t, s))ts cú nh phõn m vi h phộp chiu tng ng (P (t))tR v cỏc hng s nh phõn N, > Gi s rng l mt hm dng thuc ER , f : RìX X l -Lipschitz tha k < 1, k c xỏc nh nh cụng thc (1.34) Khi ú cú tng ng mi phn t v1 X1 (t0 ) vi mt v ch mt nghim x(t) ca phng trỡnh (1.27) trờn (, t0 ) tha iu kin (I P (t0 ))x(t0 ) = v1 v esssuptt0 u(t) < + Chng minh Vi mi t0 R, v1 X1 (t0 ), ta xột toỏn t T : L ((, t0 ], X] L ((, t0 ], X] 37 t0 x (T x)(t) = U (t, t0 )| v1 + G(t, )f (, x( ))d, t t0 T c lng ca G v U (t, s) ta cú T (x) T (y) (1 + H)N x(.) y(.) e = k x(.) y(.) (N1 + N2 T1+ ) Kt hp vi gi thit k < suy T l ỏnh x co T nh lớ ỏnh x co Banach, ta cú iu phi chng minh! Kt hp B 1.5.6, 1.5.7 v s dng lp lun ging nh nh lớ 4.7 [6] ta thu c s tn ti a bt bin khụng n nh chớnh l ni dung ca nh lớ sau: nh lớ 1.5.8 Cho h tin húa (U (t, s))ts cú nh phõn m vi h phộp chiu tng ng (P (t))tR v cỏc hng s nh phõn N, > Gi s f l hm -Lipschitz, ú l hm dng thuc ER tha k < N +1 , (k c xỏc nh nh (1.34)) Khi ú tn ti a bt bin khụng n nh cho nghim ca phng trỡnh (1.27) Hn na, vi hai nghim x1 (.) v x2 (.) bt kỡ thuc a ta cú x1 (t) x2 (t) Ceà(tt0 ) (I P (t0 ))x1 (t0 ) (I P (t0 ))x2 (t0 ) , t t0 (1.37) ú C, l nhng hng s dng khụng ph thuc vo t0 , x1 (.), x2 (.) Chng minh Chng minh ca nh lớ ny tng t nh nh lớ 4.7 [6] bng cỏch thay th R+ bng R v s dng cu trỳc nghim b chn ca phng trỡnh (1.27) c nờu B 1.5.6 v 1.5.7 Ta ch 38 chỳ ý rng h ỏnh x Lipschitz (ht )tR xỏc nh a khụng n nh l ht :X1 (t) X0 (t) t ht (y) = G(t, )f (, x( ))d tha vi y X1 (t) v x(.) l nghim nht L ((, t], X] ca phng trỡnh (1.27) trờn (, t] tha (I P (t))x(t) = y (chỳ ý rng s tn ti v nht ca x(.) thu c t B 1.5.7) Hn na, ht cú hng s Lipschitz Nk 1k khụng ph thuc vo t Vớ d 1.5.9 Xột h phng trỡnh sau u(t, x) = nk,l=1 Dk akl (t, x)Dl u(t, x) + u(t, x) + (t) sin(u(t, x)), t t s 0, x (1.38) n k,l=1 nk (x)akl (t, x)Dl u(t, x) = 0, t s 0, x u(s, x) = f (x), x ú Dk := xk v l mt b chn RN vi biờn trn, nh hng bi cỏc vec t phỏp tuyn n v ngoi n(x) Cỏc h s akl (t, x) Cbà (R+ , L ()), > 21 , c gi thit l thc, i xng v elliptic u theo ngha n akl (t, x)vk vl |v|2 vi x h.k.n v hng s > k,l=1 Hng s := 21 , < l giỏ tr riờng ln nht ca toỏn t Neumann Laplacian N trờn Vi hng s c > hm bc thang (t) c xỏc nh nh sau n nu t [ 2n+1 n+c , 2n+1 2 + (t) = trng hp cũn li 39 2n+c ] vi n = 0, 1, 2, (1.39) Ta thy hm cú th cú giỏ tr ln tựy ý Tuy nhiờn, ta cú 2n+1 + 2n+c t+1 |( )|d sup sup tt0 n n+c2 nN 2n+1 2n+c nN t ndt = sup 2c1 Do ú, M (R+ ) l mt khụng gian hm chp nhn c Bõy gi chỳng ta chn X = L2 () v xỏc nh toỏn t C(t) thụng qua tớch vụ hng chun X nh sau n (C(t)f, g) = akl Dk f (x)(t, x)Dl g(t, x)dx k,l=1 vi n D(C(t)) = {f W 2,2 nk (x)akl (t, x)Dl f (x) = 0, x } () : k,l=1 Ta vit li bi toỏn (1.38) thnh bi toỏn Cauchy d u(t, ) = A(t)u(t, ) + F (t, u(t, )), t s dt (t) = u(s, ) = f (.) X ú A(t) := C(t) + v F : R+ ì X X xỏc nh bi F (t, f )(x) := (t) sin(f (x)) vi (t, f ) R+ ì X T ú ta cú: A(t) sinh mt h tin húa cú nh phõn m (xem [12], Chng 2, nh lớ 2.8, Vớ d 2.3) vi cỏc hng s nh phõn N v cho hng s Hă older ca akl l nh Cng nh vy, h cỏc phộp chiu nh phõn P (t), t tha supt0 P (t) N D thy F l -Lipschitz, trng hp ny cỏc hng s N1 , N2 nh ngha 1.2.2 l N1 = N2 = V ta cú t+1 (t) = t ( )d, T1+ (t) t = ( )d t1 40 Do ú, T1+ (t) = (t) 2c1 Nh vy, theo nh lớ 1.5.8 ta thu c, nu 2c1 e e < min{ , } 2N (N + 1) 2N (N + 1)2 thỡ tn ti a bt bin khụng n nh U ca phng trỡnh (1.38) 1.6 a tõm khụng n nh trờn R S dng nh lớ 1.5.8 v quỏ trỡnh i t xớch tng t nh nh lớ 1.4.1 chuyn t trng hp tam phõn m v trng hp nh phõn m chỳng ta d dng thu c s tn ti ca a tõm khụng n nh, ú chớnh l ni dung ca nh lớ sau nh lớ 1.6.1 Cho h tin húa (U (t, s))ts cú tam phõn m vi cỏc hng s tam phõn dng N, , ( < ), v h cỏc phộp chiu (Pj (t))tR , j = 1, 2, 3, nh nh ngha 1.1.3 Gi s rng f : R ì X X l Lipschitz, vi l hm dng thuc ER Kớ hiu N := max{N, 2N H}, := () ,H := 2H v k := (1 + H )N (N1 e Khi ú nu k < N +1 + N2 T1+ ) (1.40) thỡ tn ti a tõm khụng n nh Cu = {(t, Cut )|t R v Cut X} cho nghim ca phng trỡnh (1.27), v h (Cut )tR l th ca h cỏc ỏnh x Lipschitz liờn tc (ht )tR (ngha l, Cut := graph(ht ) = {x + ht (x)|x Im(P2 (t) + P3 (t))}, vi mi t R), ú ht : Im(P2 (t) + P3 (t)) ImP1 (t) cú hng s Lipschitz ph thuc vo t, ng thi cỏc tớnh cht sau c tha món: 41 Nk 1k khụng (i) Vi mi x0 Cut0 cú tng ng mt v ch mt nghim u(t) ca phng trỡnh (1.27) trờn (, t0 ] tha u(t0 ) = x0 v esssuptt0 et u(t) < +, ú := + , (ii) Cut ng phụi vi X2 (t) X3 (t), vi mi t R, X2 (t) = P2 (t)X, X3 (t) = P3 (t)X, (iii) Cu bt bin i vi phng trỡnh (1.27) theo ngha, nu u(t) l mt nghim ca phng trỡnh (1.27) vi u(t0 ) = x0 Cut0 v esssuptt0 et u(t) < +, thỡ us Cus vi mi s t0 , (iv) Hai nghim x(t), y(t) bt kỡ nm trờn a tõm khụng n nh Cu hỳt cp m theo ngha, tn ti cỏc hng s dng > v Cà khụng ph thuc vo t0 R cho x(t) y(t) Cà e(à)(tt0 ) (P2 (t0 ) + P3 (t0 ))x(t0 ) (P2 (t0 ) + P3 (t0 ))y(t0 ) , t t0 (1.41) 42 Chng Tớnh hỳt ca a khụng n nh 2.1 Tớnh hỳt ca a bt bin khụng n nh Trong mc ny chỳng ta vit li phng trỡnh (1.27) nh sau: t U (t, )f (, u())d vi t s h.k.n u(t) = U (t, s)u(s) + (2.1) s nh lớ 1.5.8 khng nh: Nu h tin húa (U (t, s))ts cú nh phõn m vi h phộp chiu tng ng (P (t))tR v cỏc hng s nh phõn N, > 0; hm f : R ì X X l -Lipschitz, ú l hm dng thuc khụng gian ER tha iu kin k < N1+1 (k c xỏc nh nh (1.34)); thỡ tn ti a bt bin khụng n nh U = (Ut )tR cho nghim ca phng trỡnh (1.27), c th l, vi mi t R Ut = {y + ht y : y KerP (t) = (I P (t))X}, t hm ht (y) = G(t, s)f (s, u(s))ds ImP (t) l ỏnh x Lipschitz vi Nk hng s Lipschitz 1k khụng ph thuc vo t, cũn u(.) l nghim b chn ca phng trỡnh (1.27) trờn (, t] tha (I P (t))u(t) = y nh lớ sau chng minh tớnh hỳt cp m ca a bt bin khụng n nh U nh lớ 2.1.1 Cho h tin húa (U (t, s))ts cú nh phõn m vi h phộp chiu tng ng (P (t))tR v cỏc hng s nh phõn N, > 0; hm f : R ì X X l -Lipschitz, ú l hm dng thuc khụng gian ER 43 tha iu kin k < N +1 (k c xỏc nh nh (1.34)); ú tn ti a bt bin khụng n nh U = (Ut )tR cho nghim ca phng trỡnh (1.27) Hn na, nu l := (1 + H)N N1 T1+ 1e +2 N2 1e cho sup u(t) u (t) < M e (tt0 ) tt0 Tht vy, Trc ht xột khụng gian Banach C([t0 , +), |.|t0 ,+ ) := Ct0 , nhng hm liờn tc trờn [t0 , +) tha |w|t0 ,+ = sup e (tt0 ) w(t) < + tt0 Gi s ta cú u(t) l nghim cho trc ca phng trỡnh (2.1), ta s tỡm nghim u (t) ca phng trỡnh (2.1) cho u (t) = u(t) + w(t), t t0 vi w(t) Ct0 , t + Bt+0 [w](t) = U (t, t0 )q(w) + G(t, )F (w( ), )d t0 V xột phng trỡnh + w(t) = Bt+0 [w](t) = U (t, t0 )q(w) + G(t, )F (w( ), )d t0 44 (2.2) vi F (w( ), ) = f (u( ) + w( ), ) f (u( ), ), v q(w) ImP (t0 ) c chn cho u (t0 ) = u(t0 ) + w(t0 ) Ut0 T phng trỡnh (2.2) ta cú + w(t0 ) = q(w) U (t0 , )| Q( )F (w( ), )d, t0 suy P (t0 )w(t0 ) = P (t0 )q(w) = q(w), q(w) = P (t0 )u (t0 ) P (t0 )u(t0 ) + = P (t0 )u(t0 ) + ht0 Q(t0 )u(t0 ) U (t0 , )| Q( )F (w(t), )d t0 (2.3) Nh vy, nu ta chn w(t) v q(w) cú mi liờn h nh trờn thỡ ta cú: w(t0 ) = q(w) + U (t0 , )| Q( )F (w( ), )d ; t0 u(t0 ) + w(t0 ) Ut0 Ta cú F (w( ), ) = f (u( ) + w( ), ) f (u( ), ) ( ) w( ) e ( t0 ) ( )|w|t0 ,+ , F (w( ), ) F (w( ), ) e ( t0 ) ( ) |w w|t0 ,+ , ht0 (y1 ) ht0 (y2 ) Nk y1 y2 1k Bõy gi ta s i chng minh hai khng nh sau: 45 1) sup e (tt0 ) Bt+0 [w](t) < + vi Ct0 , tc l Bt+0 : Ct0 , tt0 Ct0 , , 2) Tn ti s l > cho sup e (tt0 ) (Bt+0 [w](t) Bt+0 [w](t) l|w tt0 w|t0 ,+ Tht vy, 1) T phng trỡnh (2.2) ta cú + Bt+0 [w](t) U (t, t0 )q(w) + G(t, )F (w( ), )d t0 N e(tt0 ) q(w) + + + (1 + H)N e ( t0 ) e|t | ( )|w|t0 ,+ d t0 Suy e (tt0 ) Bt+0 [w](t) N e (tt0 ) q(w) + + e (t ) e|t | ( )d + (1 + H)N |w|t0 ,+ t0 Ta cú + e (t ) t |t | e ( ) t0 e (t ) + ( )d + t0 e ( t) t0 N1 T1+ 1e + N2 1e T phng trỡnh (2.3) ta cú q(w) + P (t0 )u(t0 ) ht0 (Q(t0 )u(t0 )) = 46 ( )d + = ht0 Q(t0 )u(t0 ) U (t0 , )| Q( )F (w( ), )d ht0 (Q(t0 )u(t0 )) t0 + Nk U (t0 , )| Q( )F (w( ), )d k t0 + (1 + H)N k |w|t0 ,+ e(t0 ) e ( t0 ) ( )d 1k t0 (1 + H)N k N2 |w|t0 ,+ 1k e T ú suy sup e (tt0 ) Bt+0 [w](t) < + tt0 Vy ta chng minh xong khng nh 1) chng minh 2) ta ỏnh giỏ Bt+0 [w](t) Bt+0 [w](t) U (t, t0 )(q(w) q(w)) + + G(t, )(F (w( ), ) F (w( ), ))d + t0 N e(tt0 ) q(w) q(w) + + + (1 + H)N e ( t0 ) e|t | ( )|w w|t0 ,+ d t0 Suy e (tt0 ) (Bt+0 [w](t) Bt+0 [w](t)) N q(w) q(w) + + N2 1e N1 T1+ 1e |w w|t0 ,+ Mt khỏc q(w) q(w) U (t0 , )| Q( )(F (w( ), ) F (w( ), ))d + (1 + H)e ( t0 ) e(t0 ) ( )|w w|t0 ,+ d t0 (1 + H) N2 1e 47 |w w|t0 ,+ + ... ng vi: nu l mt na chun liờn tc ca W thỡ tn ti mt s cho (x) x V vi mi x V c bit nu W cng l khụng gian nh chun (vi chun W ) thỡ quan h V W tng ng vi V W v tn ti s > cho x W x V vi mi... B X thuc lp (M, , ) vi cỏc hng s dng M, Gi u(t) l nghim ca phng trỡnh (1.8) cho esssuptt0 u(t) vi mi t0 Khi ú vi t t0 , u(t) cú th c vit di dng + G(t, )f (, u( ))d, vi mi v0 X0 (t0 ) =... , vi < cho cỏc iu kin sau c tha món: (i) suptJ Pj (t) < +, j = 1, 2, 3, (ii) P1 (t) + P2 (t) + P3 (t) = Id vi mi t J, v Pj (t)Pi (t) = vi mi j = i, (iii) Pj (t)U (t, s) = U (t, s)Pj (s), vi