Một vài tiêu chuẩn tường minh cho tính ổn định mũ của các phương trình vi phân phiến hàm

ĐẠI HỌC QUỐC GIA TP HỒ CHÍ MINH TRƯỜNG ĐẠI HỌC BÁCH KHOA KHOA KHOA HỌC ỨNG DỤNG NGUYỄN TRẦN ĐỨC MỘT VÀI TIÊU CHUẨN TƯỜNG MINH CHO TÍNH ỔN ĐỊNH MŨ CỦA CÁC PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN PHIẾM HÀM Chuyên ngành: Toán ứng dụng Mã số: 60460112 LUẬN VĂN THẠC SĨ Thành Phố Hồ Chí Minh, tháng 01 năm 2018 ĐẠI HỌC QUỐC GIA TP HỒ CHÍ MINH TRƯỜNG ĐẠI HỌC BÁCH KHOA KHOA KHOA HỌC ỨNG DỤNG NGUYỄN TRẦN ĐỨC MỘT VÀI TIÊU CHUẨN TƯỜNG MINH CHO TÍNH ỔN ĐỊNH MŨ CỦA CÁC PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN PHIẾM HÀM LUẬN VĂN THẠC SĨ Chuyên ngành: Toán ứng dụng Mã số: 60460112 GIẢNG VIÊN HƯỚNG DẪN TS Cao Thanh Tình Thành Phố Hồ Chí Minh, tháng 01 năm 2018 CƠNG TRÌNH ĐƯỢC HỒN THÀNH TẠI TRƯỜNG ĐẠI HỌC BÁCH KHOA - ĐHQG - HCM Cán hướng dẫn khoa học : TS Cao Thanh Tình Cán chấm nhận xét : TS Nguyễn Bá Thi Cán chấm nhận xét : PGS TS Nguyễn Văn Kính Luận văn thạc sĩ bảo vệ Trường Đại học Bách Khoa, ĐHQG Tp HCM ngày 11 tháng 01 năm 2018 Thành phần Hội đồng đánh giá luận văn thạc sĩ gồm: Chủ tịch: PGS TS NGUYỄN ĐÌNH HUY Thư ký: TS Huỳnh Thị Hồng Diễm Phản biện 1: TS Nguyễn Bá Thi Phản biện 2: PGS TS Nguyễn Văn Kính Ủy viên: TS Lê Xuân Đại Xác nhận Chủ tịch Hội đồng đánh giá LV Trưởng Khoa quản lý chuyên ngành sau luận văn sửa chữa (nếu có) CHỦ TỊCH HỘI ĐỒNG TRƯỞNG KHOA KHOA HỌC ỨNG DỤNG PGS TS NGUYỄN ĐÌNH HUY PGS TS HUỲNH QUANG LINH ĐẠI HỌC QUỐC GIA TP HCM CỘNG HÒA XÃ HỘI CHỦ NGHĨA VIỆT NAM Độc lập - Tự - Hạnh Phúc TRƯỜNG ĐẠI HỌC BÁCH KHOA NHIỆM VỤ LUẬN VĂN THẠC SĨ Mã số học viên: 1670239 Họ tên học viên: NGUYỄN TRẦN ĐỨC Ngày, tháng, năm sinh: 10/03/1989 Chuyên ngành: Toán ứng dụng Nơi sinh: Bà Rịa - Vũng Tàu Mã số: 60460112 I TÊN ĐỀ TÀI: MỘT VÀI TIÊU CHUẨN TƯỜNG MINH CHO TÍNH ỔN ĐỊNH MŨ CỦA CÁC PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN PHIẾM HÀM II NHIỆM VỤ VÀ NỘI DUNG: - Kiến thức sở - Ổn định mũ hệ phương trình vi phân phiếm hàm III NGÀY GIAO NHIỆM VỤ: 04/07/2017 IV NGÀY HOÀN THÀNH NHIỆM VỤ: 04/12/2017 V CÁN BỘ HƯỚNG DẪN: TS CAO THANH TÌNH CÁN BỘ HƯỚNG DẪN DỤNG (Họ tên chữ ký) TS CAO THANH TÌNH Tp HCM, Ngày tháng năm CHỦ NHIỆM NGÀNH TOÁN ỨNG (Họ tên chữ ký) PGS TS NGUYỄN ĐÌNH HUY TRƯỞNG KHOA (Họ tên chữ ký) PGS TS HUỲNH QUANG LINH LỜI CẢM ƠN Lời xin bày tỏ lịng biết ơn sâu sắc tới Thầy hướng dẫn TS Cao Thanh Tình – Trường Đại học Công Nghệ Thông Tin, Đại học Quốc Gia Tp Hồ Chí Minh, người ln tận tụy, nhiệt tình hướng dẫn, giảng dạy, quan tâm giúp đỡ, truyền đạt kiến thức tạo điều kiện thuận lợi giúp tơi hồn thành luận văn Tơi xin gửi lời cảm ơn Thầy, Cơ Bộ mơn Tốn Ứng Dụng, khoa Khoa học ứng dụng, Trường Đại học Bách Khoa thành phố Hồ Chí Minh hết lịng giảng dạy, truyền thụ kiến thức tạo điều kiện tốt để tơi hồn thành luận văn Tôi xin cảm ơn anh chị, bạn lớp Cao học ngành Tốn Ứng Dụng khóa 2016 động viên, giúp đỡ tơi suốt q trình học q trình thực luận văn Tơi xin gửi lời cảm ơn đến gia đình bạn bè mình, người ln bên cạnh động viên, tạo điều kiện tốt cho suốt thời gian học tập Cuối cùng, trình thực luận văn khó tránh khỏi thiếu sót, mong nhận góp ý q Thầy, Cơ bạn đọc để bổ sung hoàn thiện đề tài tốt Tp Hồ Chí Minh, tháng 12 năm 2017 Tác giả Nguyễn Trần Đức i TÓM TẮT LUẬN VĂN Trong luận văn này, nghiên cứu vấn đề sau: Hệ phương trình vi phân phiếm hàm phụ thuộc thời gian Một vài điều kiện tường minh cho tính ổn định mũ phương trình vi phân phiếm hàm phụ thuộc thời gian Áp dụng vào mạng nơ ron nhân tạo Cách tiếp cận luận văn dựa Định lý Perron-Frobenius nguyên lý so sánh nghiệm Kết thu điều kiện đủ tường minh cho tính ổn định mũ vài lớp hệ phương trình vi phân phiếm hàm phụ thuộc thời gian ABSTRACT In this thesis, we research these following subjects: General functional differential systems with time-varying Several new explicit criteria for exponential stability of general functional differential systems with time-varying An application to neural networks The approach utilized in this thesis is based on the celebrated PerronFrobenius theorem and the comparison principle After all, we get new explicit criteria for exponential stability of functional differential systems with time-varying ii LỜI CAM ĐOAN Tôi tên Nguyễn Trần Đức, mã học viên: 1670239, học viên cao học chuyên ngành Toán Ứng Dụng trường Đại học Bách Khoa thành phố Hồ Chí Minh khóa 2016 - 2018 Tơi xin cam đoan ngoại trừ kết tham khảo từ cơng trình khác ghi rõ luận văn, cơng việc trình bày luận văn tơi thực hướng dẫn TS Cao Thanh Tình tơi hồn tồn chịu trách nhiệm tính trung thực đề tài nghiên cứu Tp Hồ Chí Minh, ngày 04 tháng 12 năm 2017 Học viên thực Nguyễn Trần Đức iii DANH MỤC CHỮ VIẾT TẮT VÀ KÍ HIỆU Ký hiệu Ý nghĩa ES Exponentially stable: ổn định mũ GES Globally exponentially stable: ổn định mũ toàn cục N Tập số tự nhiên m m := {1, 2, , m}, với m ∈ N m0 m0 := {0, 1, 2, , m}, với m ∈ N R Trường số thực R+ Tập hợp số thực không âm Rm Không gian véc tơ thực m-chiều Rl×q Vành ma trận thực, cỡ l × q C Trường số phức z Phần thực số phức z C+ C+ := {z ∈ C : z ≥ 0} K K = R K = C X Bao đóng tập X JF (x) Ma trận Jacobi hàm F x det(M ) Định thức ma trận vuông M M −1 Nghịch đảo ma trận vuông M |x| |x| := (|x1 |, |x2 |, , |xm |)T , x = (x1 , x2 , , xm )T ∈ Rm |M | |M | := (|mij |) với M = (mij ) ∈ Rl×q x Chuẩn véc tơ x M Chuẩn ma trận M Im Ma trận đơn vị cấp m Số không/ véc tơ không/ ma trận không x≥y xi ≥ yi (∀i ∈ m), với x = (x1 , x2 , , xm )T ∈ Rm y = (y1 , y2 , , ym )T ∈ Rm iv x y xi > yi (∀i ∈ m), với x = (x1 , x2 , , xm )T ∈ Rm y = (y1 , y2 , , ym )T ∈ Rm A≥B aij ≥ bij (∀i ∈ l, j ∈ q), với A = (aij ) ∈ Rl×q B = (bij ) ∈ Rl×q A B aij > bij (∀i ∈ l, j ∈ q), với A = (aij ) ∈ Rl×q B = (bij ) ∈ Rl×q M (A) M (A):= (ˆ aij ) ∈ Rn×n , với a ˆij := |aij |, i = j, i, j ∈ n; a ˆii := aii , i ∈ n A = (aij ) ∈ Rn×n cho trước σ(M ) σ(M ) := {λ ∈ C : det(λIm − M ) = 0}, phổ ma trận vng M µ(M ) µ(M ) := max{ λ : λ ∈ σ(M )}, hoành độ phổ ma trận vuông M C([a, b], Kn ) Không gian Banach hàm liên tục [a, b], nhận giá trị Kn với chuẩn ϕ = maxt∈[a,b] ϕ(t) C := C([−h, 0], Rn ) Không gian Banach hàm liên tục [−h, 0], nhận giá trị Rn với chuẩn ϕ = maxt∈[−h,0] ϕ(t) C+ C+ := {ϕ ∈ C : ϕ ≥ 0} Cr Cr := {ϕ ∈ C : ϕ ≤ r}, với r > C(R+ , Rn ) Không gian véc tơ hàm liên tục [0, +∞), nhận giá trị Rn C(R, Rn×n ) Khơng gian véc tơ hàm liên tục R, nhận giá trị Rn×n BV ([α, β], Km×n ) Khơng gian Banach hàm có biến phân bị chặn [α, β], nhận giá trị Km×n thỏa mãn η(α) = trang bị với chuẩn η = V ar[α,β] η(·) N BV ([α, β], Km×n ) := {η ∈ BV ([α, β], Km×n ); η liên tục trái (α, β)} N BV0 ([α, β], Km×n ) := {η ∈ BV ([α, β], Km×n ); η liên tục trái [α, β]} v LỜI MỞ ĐẦU Từ 100 năm trước, lý thuyết ổn định hệ động lực sơ khai hình thành nói cơng trình tiên phong nhà toán học người Nga, Aleksandr Lyapunov (1857-1918): - On the stability of ellipsoidal figures of equilibrium of a rotating fluid (in 1884, Russian) - General problem of the stability of motion (1892, in Russian) Đồng hành với thành tựu, phát triển lý thuyết Tối ưu lý thuyết Điều khiển, lý thuyết ổn định hệ động lực nói chung hệ phương trình vi phân phiếm hàm nói riêng phát triển khơng ngừng Các phương trình vi phân phiếm hàm xuất nhiều lĩnh vực khoa học khác như: Sinh học, Khoa học máy tính, Lý thuyết điều khiển, Vật lý, Kinh tế học, (xem phần tài liệu tham khảo) Các toán ổn định hệ phương trình vi phân phiếm hàm nghiên cứu suốt nhiều thập kỷ trước Gần đây, toán ổn định mũ hệ phương trình vi phân phiếm hàm có phát triển vượt bậc đối tượng nghiên cứu nhiều nhà khoa học nhiều lĩnh vực khác Phương pháp truyền thống để nghiên cứu toán ổn định hệ phương trình vi phân phiếm hàm (đặc biệt hệ phụ thuộc thời gian) xây dựng hàm Lyapunov biến dạng hàm Lyapunov-Krasovskii, Lyapunov-Razumikhin Các kết thu cách tiếp cận thường cho dạng bất đẳng thức ma trận phức tạp khó sử dụng Cho đến bây giờ, khơng có nhiều tiêu chuẩn tường minh cho tính ổn định mũ hệ phương trình vi phân phiếm hàm phi tuyến vi Toán ứng dụng Luận văn Thạc sĩ (ii) f (·, ·) : R+ × Rn → Rn , hàm liên tục cho trước Lipschitz (địa phương) theo biến thứ hai, theo t đoạn compact R+ f (t, 0) = 0, với t ∈ R+ ; (iii) g(·; ·) : R+ × C → Rn , hàm liên tục cho trước cho g(t; 0) = 0, ∀t ∈ R+ g(t; ϕ) Lipschitz (địa phương) theo ϕ tập compact R+ × C Khi đó, với σ ∈ R+ cố định hàm ϕ ∈ C cho trước, hệ (2.7) có nghiệm (địa phương), kí hiệu x(·; σ, ϕ), thỏa mãn điều kiện đầu xσ (s) = ϕ(s), s ∈ [−h, 0] (2.8) Nghiệm xác định liên tục [σ − h, γ) với γ > σ thỏa mãn (2.7) với t ∈ [σ, γ) (xem [10, trang 44]) Hơn nữa, [σ − h, γ) khoảng lớn tồn nghiệm x(·; σ, ϕ) x(·; σ, ϕ) gọi nghiệm khơng thể kéo dài Sự tồn nghiệm kéo dài suy từ Bổ đề Zorn khoảng lớn tồn phải khoảng mở Định nghĩa 2.2.1 Nghiệm không (2.7) gọi ổn định mũ toàn cục tồn số thực dương K, β cho với σ ∈ R+ ϕ ∈ C , nghiệm x(·; σ, ϕ) (2.7)-(2.8) xác định [σ − h, +∞) thỏa mãn x(t; σ, ϕ) ≤ Ke−β(t−σ) ϕ , ∀t ≥ σ Định lý 2.2.1 Với t ∈ R+ , f (t, ·) khả vi liên tục Rn Giả sử tồn ma trận A := (aij ) ∈ Rn×n tốn tử tuyến tính dương L : C → Rn , Lϕ := −h d[η(θ)]ϕ(θ), với η(·) ∈ NBV([−h, 0], Rn×n ), thỏa mãn điều kiện ∂fi (t, x) ≤ aii , ∀i ∈ n; ∂xi Nguyễn Trần Đức ∂fi (t, x) ≤ aij , ∀i, j ∈ n, i = j, ∂xj (2.9) 19 Toán ứng dụng Luận văn Thạc sĩ với t ∈ R+ , x ∈ Rn |g(t; ϕ)| ≤ L|ϕ|, ∀t ∈ R+ , ∀ϕ ∈ C (2.10) Nghiệm không (2.7) ổn định mũ hệ (2.1) ổn định mũ Nói riêng, nghiệm không (2.7) ổn định mũ µ (A + η(0)) < Nhận xét 2.2.1 Định lý 2.2.1 "bản sao" tiêu chuẩn hội tụ chuỗi hàm lý thuyết chuỗi (xem [26, Định lý 7.10, trang 134]) Nếu hệ phương trình vi phân phiếm hàm phi tuyến (2.7) bị chặn hệ phương trình vi phân phiếm hàm tuyến tính dương (2.1) nghiệm khơng (2.7) ổn định mũ (2.1) Chứng minh (Định lý 2.2.1) Ta có A ∈ Rn×n ma trận Metzler L tốn tử tuyến tính dương bị chặn, hệ (1) hệ dương Do ta có η(0) ≥ η(−h) = A + η(0) ma trận Metzler Từ µ (A + η(0)) < suy (A + η(0)) p (2.11) với p := (α1 , α2 , , αn )T ∈ Rn , αi > 0, ∀i ∈, Định lý 1.1.2 Với ϕ ∈ C, gọi x(t) := x(t; σ, ϕ), t ∈ [σ − h, γ) nghiệm kéo dài (2.7)-(2.8) Gọi y(t) := y(t, |ϕ|), t ∈ [0, ∞) nghiệm (2.1) thỏa mãn điều kiện đầu y(s) = |ϕ| (s), s ∈ [−h, 0] Ta chứng minh |x(t + σ)| ≤ y(t), ∀t ∈ [−h, γ − σ) Cho ζ > cố định đặt u(t) := y(t) + ζp, ∀t ∈ [−h, ∞) Rõ ràng |x(t + σ)| = |ϕ(t)| = y(t) y(t) + ζp = u(t), ∀t ∈ [−h, 0) Ta chứng minh |x(t + σ)| ≤ u(t), ∀t ∈ [0, γ − σ) Nguyễn Trần Đức 20 Toán ứng dụng Luận văn Thạc sĩ Giả sử ngược lại, tức tồn t∗ ∈ [0, γ − σ) cho |x(t∗ + σ)| u(t∗ ) Đặt tb := inf {t ∈ [0, γ − σ) : |x(t + σ)| u(t)} Bởi tính liên tục, tb > tồn i0 ∈ n cho |x(t + σ)| ≤ u(t), ∀t ∈ [0, tb ) ; |xi0 (tb + σ)| = ui0 (tb ); (2.12) |xi0 (τk + σ)| > ui0 (τk ), τk ∈ (tb , tb + ), k ∈ N k Theo định lý giá trị trung bình [3] với t ∈ [σ, γ) i ∈ n, ta có x˙ i (t) = (fi (t, x(t)) − fi (t, 0)) + gi (t; xt ) n = j=1 dfi (t, sx(t))ds xj (t) + gi (t; xt ) dxj Vì vậy, d |xi (t)| = sgn(xi (t))x˙ i (t) ≤ dt n j=1,j=i 0 dfi (t, sx(t))ds |xi (t)|+ dxi dfi (t, sx(t)) ds |xj (t)| + |gi (t; xt )|, dxj với hầu khắp t ∈ [σ, γ) Kết hợp (2.9) (2.10), ta có n d |xi (t)| ≤ aii |xi (t)| + aij |xj (t)| + dt j=1,j=i n j=1 −h d[ηij (θ)]|xj (t + θ)|, với hầu khắp t ∈ [σ, γ) Từ ta suy với t ∈ [σ, γ) + D |xi (t)| := lim sup |xi (t + )| − |xi (t)| = lim sup →0+ →0+ n n ≤ aii |xi (t)| + aij |xj (t)| + j=1,j=i Nguyễn Trần Đức t+ t d ds |xi (s)|ds d[ηij (θ)]|xj (t + θ)|, j=1 −h 21 Toán ứng dụng Luận văn Thạc sĩ với D+ đạo hàm Dini bên phải Khi từ (2.11) (2.12), ta có n + D |xi0 (tb + σ)| ≤ n ai0 j |xj (tb + σ)| + j=1 j=1 n (2.12) ≤ n j=1 n −h ai0 j (yj (tb ) + ζαj ) + j=1 n + ≤ D yi0 (tb ) + ζ ai0 j αj + j=1 −h d[ηi0 j (θ)]|xj (tb + σ + θ)| d[ηi0 j (θ)](yj (tb + θ) + ζαj ) ηi0 j (0)αj j=1 (2.11) < D+ yi0 (tb ) Tuy nhiên, điều mâu thuẫn với (2.12) Do đó, |x(t + σ)| ≤ y(t) + ζp, ∀t ∈ [0, γ − σ) Khơng tính tổng qt, giả sử Rn đơn điệu với chuẩn vectơ, ta suy x(t + σ) = |x(t + σ)| ≤ u(t) = y(t) + ζp ≤ y(t) + ζ p , ∀t ∈ [0, γ − σ) (2.13) Cho ζ dần (2.13), ta thu x(t + σ) = |x(t + σ)| ≤ y(t) , ∀t ∈ [0, γ − σ) (2.14) Do (2.1) ổn định mũ, với K ≥ α > ta có y(t) ≤ Ke−αt ϕ , ∀t ≥ 0, ϕ ∈ C (2.15) Từ (2.14) (2.15) suy x(t) ≤ Ke−α(t−σ) ϕ , ∀t ∈ [σ, γ), ∀ϕ ∈ C (2.16) Cuối ta chứng minh γ = ∞ nghiệm khơng (2.7) ổn định mũ Giả sử ngược lại, tức γ < ∞ Khi đó, từ (2.16) suy x(·; σ, ϕ) bị chặn [σ, γ) Hơn nữa, điều kết hợp với (2.7), (2.9) (2.10) Nguyễn Trần Đức 22 Toán ứng dụng Luận văn Thạc sĩ suy x(·) ˙ bị chặn [σ, γ) Do đó, x(·) liên tục [σ, γ) Khi đó, limt→γ − x(t) tồn x(·) mở rộng đến hàm liên tục [σ, γ] Hơn nữa, bao đóng {xt : t ∈ [σ, γ)} tập compact C Định lý Arzela-Ascoli [3] Chú ý rằng, {(t, xt ) : t ∈ [σ, γ)} ⊂ [σ, γ] × {xt : t ∈ [σ, γ)} Do đó, {(t, xt ) : t ∈ [σ, γ)} tập compact R × C Do (γ, xγ ) thuộc tập compact nên ta tìm nghiệm (2.7) qua điểm phía bên phải γ Điều mâu thuẫn với giả thiết khơng thể kéo dài x(·) Do γ = ∞ Nguyễn Trần Đức 23 Toán ứng dụng 2.3 Luận văn Thạc sĩ Thảo luận số ví dụ minh họa áp dụng vào mạng nơron nhân tạo Xét phương trình vi phân tuyến tính có chậm cho x(t) ˙ = −ax(t) + b(t)x(t − h), t ∈ R+ , (2.17) đó, a > 0, h > b(·) hàm liên tục bị chặn R+ Áp dụng định lý Razumikhin-type cho phương trình (2.17), người ta (2.17) ổn định mũ b := supt∈R+ |b(t)| < a, xem [13, ví dụ 5.1, trang 74] Lưu ý (2.17) bị chặn hệ phương trình vi phân tuyến tính dương có chậm x(t) ˙ = −ax(t) + bx(t − h), t ∈ R+ (2.18) Do −a + b < nên (2.18) ổn định mũ, Định lý 2.1.1 Tuy nhiên, điều suy từ định lý 2.1.3 Một cách tổng qt hơn, hệ phương trình vi phân tuyến tính với chậm cho x(t) ˙ = −a(t)x(t) + b(t)x(t − h1 ) + c(t)x(t − h2 ), t ∈ R+ , h1 , h2 > ổn định mũ, Định lý 2.1.3 a(·) ∈ C(R+ , R) thỏa mãn a(t) < −a, t∈ R+ với a > b(·), c(·) ∈ C(R+ , R) hàm bị chặn cho sup |b(t)| + sup |c(t)| < a t∈R+ t∈R+ Tiếp theo, sử dụng phương pháp hàm Lyapunov-Krasovskii, chứng minh [9, trang 154], ta có nghiệm khơng hệ phương trình vi phân phi tuyến có chậm x(t) = Ax(t) + f (x(t − h)), ổn định tiệm cận với ma trận cho A ∈ Rn×n ma trận Metzler f (·) : Rn → Rn Lipschitz địa phương cho f (0) = 0, f (x) ≥ 0, ∀x ∈ Nguyễn Trần Đức 24 Toán ứng dụng Luận văn Thạc sĩ Rn f (x) ≤ γx, ∀x ∈ Rn+ µ(A + γIn ) < 0, với γ > (so với Định lý 2.2.1) Hơn nữa, xét hệ phương trình vi phân phi tuyến có chậm x(t) ˙ = Ax(t) + F (t; x(t − h1 ), , x(t − hm )), t ∈ R+ (2.19) với h1 , , hm > 0, A ∈ Rn×n F (·) liên tục với đối số Người ta [12, Định lý 3.1] (2.19) ổn định mũ m F (t; u1 , , um ) ≤ ∀t ∈ R+ , ∀u1 , , um ∈ Rn , βi ui , (2.20) i=1 m βi < 0, γ(A) + i=1 với γ(A) : lim+ ε→0 εA+In −1 ε độ đo ma trận A Kết gần với ý tưởng Chú ý (2.20) có nghĩa (2.19) bị chặn hệ phương trình vi phân tuyến tính dương có chậm vơ hướng m βi y(t − hi ), y(t) ˙ = γ(A)y(t) + t ∈ R+ , y(t) ∈ R (2.21) i=1 Rõ ràng, (2.21) hệ dương ổn định mũ, Định lý 2.1.1 Điều đảm bảo (2.19) ổn định mũ Nếu thay điều kiện (2.20) điều kiện khác m |F (t; u1 , , um )| ≤ βi |ui |, ∀t ∈ R+ , ∀u1 , , um ∈ Rn , (2.22) i=1 [12, Định lý 3.1] suy trực tiếp từ Định lý 2.2.1 Để kết thúc phần này, minh họa Định lý 2.2.1 ví dụ mà Định lý 3.1 [12] khơng thể áp dụng Ví dụ 2.3.1 Xét phương trình vi phân vơ hướng với chậm cho x(t) ˙ = −2x(t) + sin(t + x(t)) + r(t, s, x(t + s))ds, t ≥ 0, (2.23) −h Nguyễn Trần Đức 25 Toán ứng dụng Luận văn Thạc sĩ với r(·, ·, ·) : R+ × [−h, 0] × R → R hàm liên tục cho trước r(t, s, u) liên tục Lipschitz ứng với thành phần u tập compact R+ × [−h, 0] × R r(t, s, 0) = 0, ∀(t, s) ∈ R+ × [−h, 0] Giả sử tồn hàm liên tục m(·) : [−h, 0] → R+ thỏa mãn r(t, s, u) ≤ m(s) |u| , ∀t ∈ R+ , ∀s ∈ [−h, 0], ∀u ∈ R Đặt f (t, x) := −2x(t) + sin(t + x), ∀t ∈ R+ , x ∈ R, g(t; ϕ) := r(t, s, ϕ(s))ds, t ∈ R+ , s ∈ [−h, 0], ϕ ∈ C([−h, 0], R) −h ∂f (t, x) = −2 + cos(t + x) ≤ −1, ∂x t ∈ R+ , x ∈ R, |g(t; ϕ)| ≤ m(s) |ϕ(s)|ds, ϕ ∈ C([−h, 0], R) −h Do đó, nghiệm khơng (2.23) ổn định mũ −h m(s)ds < 1, Định lý 2.2.1 Ví dụ đưa ứng dụng Định lý 2.2.1 Ví dụ 2.3.2 ([2]) Xét mạng thần kinh trí nhớ liên kết hai chiều (bidirectional associative memory) mô tả n u˙ i (t) = −di ui (t) + eij rj (uj (t − τij )) + Ii , i ∈ n, (2.24) j=1 với di > 0, Ii ∈ R, i ∈ n, E := (eij ) ∈ Rn×n với j ∈ n, rj : R+ → R bị chặn địa phương Lipschitz với số Lj (sao cho, |rj (uj ) − rj (vj )| ≤ Lj |uj − vj | với uj , vj ) Đặt D := diag(− Ld11 , − Ld22 , , − Ldnn ) ∈ Rn×n Chúng ta chứng minh µ(D + |E|) < hệ (2.24) có điểm cân u∗ ổn định mũ tồn cục Nguyễn Trần Đức 26 Tốn ứng dụng Luận văn Thạc sĩ Xét hàm F : Rn → Rn xác định u := (u1 , u2 , , un )T → F (u) := (ξ1 , ξ2 , , ξn )T ,   n ξi :=  eij rj (uj ) + Ii  , i ∈ n di j=1 Với j ∈ n, rj : R+ → R bị chặn, tồn Mi > 0, i ∈ n cho với u := (u1 , u2 , , un )T ∈ Rn   n 1 eij rj (uj ) + Ii  ≤ Mi , di j=1 ∀i ∈ n Bởi Định lý Brouwer’s fixed-point, tồn u∗ ∈ Rn : F (u∗ ) = u∗ Vì vậy, u∗ điểm cân (2.24) Do D + |E| ma trận Metzler µ (D + |E|) < 0, suy từ Định lý 1.1.2 di − ζi + Li n |eij | ζi < 0, ∀i ∈ n, j=1 với (ζ1 , ζ2 , , ζn )T ∈ Rn , ζi > 0∀i ∈ n Do đó, n − di ζi + Li |eij | ζj < 0, i ∈ n (2.25) j=1 Tịnh tiến tọa độ z(t) = u(t) − u∗ , (2.24) viết thành n z˙i (t) = −di zi (t) + eij sj (zj (t − τij )), i ∈ n, (2.26) j=1 với sj (x) := rj (x + u∗j ) − rj (u∗j ), x ∈ R, j ∈ n Hơn nữa, u∗ ổn định mũ với hệ (2.24) nghiệm tầm thường (2.26) ổn định mũ Chú ý với j ∈ n, |sj (x)| = rj (x + u∗j ) − rj (u∗j ) ≤ Lj |x| , ∀x ∈ R từ (2.25) suy nghiệm tầm thường (2.26) ổn định mũ toàn cục, Định lý 2.2.1 Rõ ràng, u∗ điểm cân (2.24) ổn định mũ tồn cục Nguyễn Trần Đức 27 Tốn ứng dụng Luận văn Thạc sĩ Trong thực tế, Định lý 2.2.1 sử dụng để nghiên cứu tiêu chuẩn ổn định mũ cho điểm cân vài lớp mạng nơ ron nhân tạo mạng nơ ron Cohen–Grossberg, mạng nơ ron kiểu Hopfield mạng nơ ron di động, Ngoài ra, Định lý 2.2.1 dạng khác bao gồm nhiều kết có tài liệu "Ổn định mũ cho điểm cân vài lớp mạng nơ ron nhân tạo" (xem [2, 4, 27, 28]) Kết trình bày ví dụ đưa [2], chứng minh dựa phần hàm Lyapunov Nguyễn Trần Đức 28 Toán ứng dụng Luận văn Thạc sĩ KẾT LUẬN Bằng cách tiếp cận mới, luận văn trình bày tốn ổn định mũ hệ phương trình vi phân phiếm hàm Các kết trích từ tài liệu tham khảo [24] "Ngoc, P.H.A., Tinh, C.T.: Exponential stability of functional differential systems, Vietnam Journal of Mathematics, Volume 44 Issue 4, 727–738 (2016)." Mục đích luận văn trình bày vài tiêu chuẩn so sánh tiêu chuẩn tường minh cho tính ổn định mũ hệ phương trình vi phân phiếm hàm Các kết thu được dùng để nghiên cứu tính ổn định mũ điểm cân mạng nơ ron nhân tạo Cuối cùng, cách tiếp cận sử dụng luận văn phát triển để nghiên cứu toán ổn định lớp phương trình vi phân khác như: phương trình vi phân Volterra, phương trình vi phân Volterra-Stieltjes, phương trình vi phân ngẫu nhiên, Nguyễn Trần Đức 29 Toán ứng dụng Luận văn Thạc sĩ Tài liệu tham khảo [1] Berezansky, L., Braverman, E.: On stability of some linear and nonlinear delay differential equations, J Math Anal Appl 314, 391–411 (2006) [2] Cao, J., Wang, L.: Exponential stability and periodic oscillatory solution in BAM networks with delays, IEEE Trans Neural Netw 13, 457–463 (2002) [3] Dieudonne, J.: Foundations of Modern Analysis, Academic Press, New York (1988) [4] van den Driessche, P., Zou, X.: Global attractivity in delayed Hopfield neural network models, SIAM J Appl Math 58, 1878–1890 (1998) [5] Driver, R.D.: Existence and stability of solutions of a delay differential system, Arch Ration Mech Anal 10, 401–426 (1962) [6] Elaydi, S.: An Introduction to Difference Equations, Springer Verlag (2005) [7] Fridman, E.: Stability of systems with uncertain delays: a new “complete” Lyapunov-Krasovskii functional, IEEE Trans Autom Control 51, 885–890 (2006) [8] Erneux, T.: Applied Delay Differential Equations Surveys and Tutorials in the Applied Mathematical Sciences, vol Springer, New York (2009) Nguyễn Trần Đức 30 Toán ứng dụng Luận văn Thạc sĩ [9] Haddad, W.M., Chellaboina, V., Hui, Q.: Nonnegative and Compartmental Dynamical Systems, Princeton University Press, New Jersey (2010) [10] Hale, J., Lunel, S.M.V.: Introduction to Functional Differential Equations, Springer, New York (1993) [11] Hewitt, E., Stromberg, K R.: Real and Abstract Analysis, SpringerVerlag, New York (1965) [12] Idels, L., Kipnis, M.: Stability criteria for a nonlinear nonautonomous system with delays, Appl Math Model 33, 2293–2297 (2009) [13] Kolmanovskii, V.B., Nosov, V.R.: Stability of Functional Differential Equations, Academic Press (1986) [14] Kolmanovskii, V.B., Richard, J.P.: Stability of some linear systems with delays, IEEE Trans Autom Control 44, 984–989 (1999) [15] Kuang, Y.: Delay Differential Equations with Applications in Population Dynamics, Mathematics in Science and Engineering, vol 191 Academic Press (1993) [16] Liu, X., Yu, W., Wang, L.: Stability analysis for continuous-time positive systems with time-varying delays, IEEE Trans Autom Control 55, 1024–1028 (2010) [17] Ngoc, P.H.A., Naito, T., Shin, J.S.: Characterizations of positive linear functional differential equations, Funkc Ekvacioj 50, 1–17 (2007) [18] Ngoc, P.H.A.: On exponential stability of nonlinear differential systems with time-varying delay, Appl Math Lett 25, 1208–1213 (2012) [19] Ngoc, P.H.A.: Novel criteria for exponential stability of functional differential equations, Proc Am Math Soc 141, 3083–3091 (2013) Nguyễn Trần Đức 31 Toán ứng dụng Luận văn Thạc sĩ [20] Ngoc, P.H.A.: Stability of positive differential systems with delay, IEEE Trans Autom Control 58, 203–209 (2013) [21] Ngoc, P.H.A., Tinh, C.T.: New criteria for exponential stability of linear time-varying differential systems with delay, Taiwan J Math 18, 1759–1774 (2014) [22] Ngoc, P.H.A.: Stability of nonlinear differential systems with delay, Evol Equ Control Theory 4, 493–505 (2015) [23] Ngoc, P.H.A.: Novel criteria for exponential stability of nonlinear differential systems with delay, IEEE Trans Autom Control 60, 485–490 (2015) [24] Ngoc, P.H.A., Tinh, C.T.: Exponential stability of functional differential systems, Vietnam Journal of Mathematics, Volume 44 Issue 4, 727–738 (2016) [25] Son, N.K., Hinrichsen, D.: Robust stability of positive continuous-time systems, Numer Funct Anal Optim 17, 649–659 (1996) [26] Rudin, W.: Principles of Mathematical Analysis, McGraw-Hill Science, New York (1976) [27] Zhang, J.: Globally exponential stability of neural networks with variable delays, IEEE Trans Circuits Syst I Fundam Theory Appl 50, 288–290 (2003) [28] Zeng, Z., Wang, J., Liao, X.: Global exponential stability of a general class of recurrent neural networks with time-varying delays, IEEE Trans Circuits Syst I: Fundam Theory Appl 50, 1353–1358 (2003) Nguyễn Trần Đức 32 Toán ứng dụng Luận văn Thạc sĩ LÝ LỊCH TRÍCH NGANG I Sơ lược cá nhân: Họ tên: NGUYỄN TRẦN ĐỨC Ngày, tháng, năm sinh: 10/03/1989 Nơi sinh: Bà Rịa - Vũng Tàu Địa liên lạc: 5/8 Lê Cảnh Tuân, Phường Phú Thọ Hòa, Quận Tân Phú, Tp Hồ Chí Minh II Q trình đào tạo: Thời gian Tên trường Chuyên ngành Hình thức đào tạo Giảng dạy mơn Đại Học Bách Khoa 2016 - 2018 Tốn Ứng Dụng học luận văn Tp Hồ Chí Minh thạc sĩ Đại Học Sư Phạm 2007 - 2011 Toán Chính Quy Tp Hồ Chí Minh III Q trình cơng tác: Thời gian Cơ quan Chức vụ 01/09/2011 - Hiện Trường THPT Nguyễn Thượng Hiền Giảng dạy Nguyễn Trần Đức 33 ... TÊN ĐỀ TÀI: MỘT VÀI TIÊU CHUẨN TƯỜNG MINH CHO TÍNH ỔN ĐỊNH MŨ CỦA CÁC PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN PHIẾM HÀM II NHIỆM VỤ VÀ NỘI DUNG: - Kiến thức sở - Ổn định mũ hệ phương trình vi phân phiếm hàm III NGÀY... (1.4) ổn định (ổn định tiệm cận) ổn định (ổn định tiệm cận đều) Nguyễn Trần Đức 12 Toán ứng dụng Luận văn Thạc sĩ Chương ỔN ĐỊNH MŨ CỦA CÁC HỆ PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN PHIẾM HÀM Các toán ổn định hệ phương. .. đưa vài tiêu chuẩn tường minh cho tính ổn định mũ hệ phương trình vi phân phiếm hàm Kết chương (Định lý 2.2.1) : "Nếu hệ phương trình vi phân phi tuyến (phụ thuộc thời gian) bị chặn hệ phương trình