Một vài tiêu chuẩn tường minh cho tính ổn định mũ của các hệ phi tuyến

ĐẠI HỌC QUỐC GIA THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH TRƯỜNG ĐẠI HỌC BÁCH KHOA  TÔ THỊ THÙY TRANG MỘT VÀI TIÊU CHUẨN TƯỜNG MINH CHO TÍNH ỔN ĐỊNH MŨ CỦA CÁC HỆ PHI TUYẾN CHUYÊN NGÀNH: TOÁN ỨNG DỤNG MÃ SỐ : 604636 LUẬN VĂN THẠC SĨ THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH – NĂM 2014 CƠNG TRÌNH ĐƯỢC HỒN THÀNH TẠI TRƯỜNG ĐẠI HỌC BÁCH KHOA – ĐHQG TP HCM Cán hướng dẫn khoa học: PGS.TS Phạm Hữu Anh Ngọc Cán nhận xét 1: Cán nhận xét 2: Luận văn Thạc sĩ bảo vệ Trường Đại học Bách Khoa, ĐHQG Tp.HCM ngày 31 tháng 07 năm 2014 Thành phần Hội đồng đánh giá luận văn Thạc sĩ gồm: Chủ tịch: PGS.TS Nguyễn Đình Huy Thư kí: TS Nguyễn Quốc Lân Phản biện 1: TS Nguyễn Bá Thi Phản biện 2: PGS.TS Mai Đức Thành Ủy viên: PGS.TS Phạm Hữu Anh Ngọc Xác nhận Chủ tịch Hội đồng đánh giá LV Trưởng khoa quản lý chuyên ngành sau luận văn sửa chữa CHỦ TỊCH HỘI ĐỒNG TRƯỞNG KHOA ĐẠI HỌC QUỐC GIA TP.HCM CỘNG HÒA XÃ HỘI CHỦ NGHĨA VIỆT NAM TRƯỜNG ĐẠI HỌC BÁCH KHOA Độc lập – Tự – Hạnh phúc Thành phố Hồ Chí Minh, ngày 20 tháng 01 năm 2014 NHIỆM VỤ LUẬN VĂN THẠC SĨ Họ tên học viên : Tô Thị Thùy Trang Phái Ngày sinh Nơi sinh : Bình Thuận : 11/11/1988 Chun ngành : Tốn ứng dụng : Nữ MSHV : 12240589 I – TÊN ĐỀ TÀI: MỘT VÀI TIÊU CHUẨN TƯỜNG MINH CHO TÍNH ỔN ĐỊNH MŨ CỦA CÁC HỆ PHI TUYẾN II – NHIỆM VỤ VÀ NỘI DUNG:  Nghiên cứu điểu kiện cần, điều kiện đủ cho tính ổn định mũ số lớp hệ phương trình vi phân phụ thuộc thời gian  Nghiên cứu toán ổn định vững cho hệ phương trình vi phân tuyến tính chịu nhiễu phi tuyến phụ thuộc thời gian III – NGÀY GIAO NHIỆM VỤ: 01/2014 IV – NGÀY HOÀN THÀNH NHIỆM VỤ: 06/2014 V – CÁN BỘ HƯỚNG DẪN KHOA HỌC: PGS.TS Phạm Hữu Anh Ngọc CÁN BỘ HƯỚNG DẪN KHOA HỌC CHỦ NHIỆM NGÀNH ĐÀO TẠO PGS.TS Phạm Hữu Anh Ngọc PGS.TS Nguyễn Đình Huy TRƯỞNG KHOA TS Huỳnh Quang Linh Lời cảm ơn Lời cảm ơn xin chân thành gởi tới TS Phạm Hữu Anh Ngọc, Thầy hướng dẫn nhiệt tình, động viên tơi suốt q trình thực hồn thành luận văn Tôi xin chân thành cảm ơn thầy cô Bộ Mơn Tốn Ứng Dụng, Khoa Khoa Học Ứng Dụng, Trường Đại Học Bách Khoa giảng dạy, truyền thụ kiến thức giúp đỡ tơi q trình học tập, nghiên cứu trường Tôi xin cảm ơn bạn lớp cao học Toán Ứng Dụng - Khóa 2012 có đóng góp, trao đổi q trình học tập thực luận văn Tơi xin gởi lời cảm ơn đến gia đình bạn bè mình, người ln bên cạnh động viên, giúp đỡ tơi suốt q trình học tập Cuối cùng, trình thực hiện, luận văn khó tránh khỏi thiếu sót, mong nhận góp ý q Thầy Cơ bạn đọc để bổ sung hoàn thiện đề tài tốt Xin chân thành cảm ơn Tp.HCM, ngày 18 tháng 06 năm 2014 Tác giả Tô Thị Thùy Trang MỤC LỤC Phần mở đầu Chương I Kiến thức sở Chương II Tiêu chuẩn ổn định hệ tuyến tính phụ thuộc thời gian Chương III Ổn định mũ hệ chịu nhiễu 22 Chương IV Phỏng đoán Aizerman 32 Kết luận 34 Tài liệu tham khảo 35 PHẦN MỞ ĐẦU Được thúc đẩy nhiều ứng dụng nhiều ngành khoa học, kĩ thuật khác toán ổn định ổn định vững hệ động lực vấn đề trung tâm lí thuyết điều khiển hệ động lực nhà Kĩ thuật, Toán học, Cơ học, , quan tâm nghiên cứu Lý thuyết ổn định hệ động lực bắt đầu với cơng trình nhà Tốn học tiếng người Nga Aleksandr Lyapunov (1857-1918): - On the stability of ellipsoidal figures of equilibrium of a rotating fluid (in 1884, Russian) - General problem of the stability of motion (1892, in Russian) Nói chung, lý thuyết ổn định hệ phương trình vi phân tuyến tính dừng (linear time-invariant differential systems) phát triển cách gần hồn chỉnh Khác với tốn ổn định hệ phương trình vi phân tuyến tính dừng, tốn ổn định hệ phương trình vi phân (tuyến tính, phi tuyến) phụ thuộc thời gian dừng (time-varying differential systems) thường khó phức tạp, với loại hệ tuyến tính đơn giản x(t) ˙ = A(t)x(t), t ≥ 0, xem [5], [35], [38] Cách tiếp cận truyền thống toán xây dựng hàm Lyapunov, xem [1], [5], [15] Tuy nhiên, viêc xây dựng hàm Lyapunov khó kết thu thường cho điều kiện dạng bất đẳng thức ma trận (matrix inequalities) phức tạp khó sử dụng Các tiêu chuẩn tường minh cho tính ổn định hệ phương trình vi phân phụ thuộc thời gian khơng có nhiều thơng thường, để tìm điều kiện ổn định cho phương trình vi phân phụ thuộc thời gian địi hỏi phải có ý tưởng vài đột phá mặt kỹ thuật, xem [25]-[26] Mục đích luận văn trình bày số kết gần tính ổn định hệ phương trình vi phân phụ thuộc thời gian Cụ thể hơn, chúng tơi trình bày điều kiện đủ đơn giản cho tính ổn định mũ số lớp hệ phương trình vi phân (tuyến tính phi tuyến) phụ thuộc thời gian tìm biên ổn định cho hệ phương trình chịu nhiễu Một số ví dụ cho nhằm minh họa kết thu Luận văn gồm lời nói đầu, bốn chương danh mục tài liệu tham khảo Cấu trúc luận văn trình bày sau: Lời nói đầu Chương 1: Kiến thức sở Chương 2: Ổn định hệ phương trình vi phân phụ thuộc thời gian Chương 3: Ổn định hệ chịu nhiễu Chương 4: Phỏng đoán AIZERMAN Phần kết luận Tài liệu tham khảo Một cách cụ thể hơn, Chương dành để trình bày số kiến thức bổ trợ dùng chương sau Chương trình bày điều kiện đủ đơn giản, dễ sử dụng cho tính ổn định mũ số lớp hệ phương trình vi phân (tuyến tính, phi tuyến) phụ thuộc thời gian Chương trình bày biên ổn định cho số lớp phương trình vi phân chịu nhiễu phi tuyến phụ thuộc thời gian Như ứng dụng kết thu chương trước, Chương trình bày lời giải cho đốn Aizerman suy rộng Các vấn đề trình bày luận văn mới, có ý nghĩa khoa học thời Các kết trình bày luận văn vừa công bố thời gian gần người hướng dẫn Các kết đóng góp có ý nghĩa lý thuyết ổn định hệ phương trình vi phân nguồn tài liệu tham khảo bổ ích cho quan tâm lý thuyết ổn định hệ phương trình vi phân CHƯƠNG I KIẾN THỨC CƠ SỞ Cho N tập số tự nhiên Với m ∈ N cho trước, ta định nghĩa m := {1, 2, , m} Kí hiệu K = C R, tập hợp tất số phức, số thực Với số nguyên l, q ≥ 1, Kl không gian vectơ l chiều trường số K, Kl×q khơng gian l × q ma trận trường số K Các bất đẳng thức hai ma trận thực (vectơ thực) hiểu theo thành phần Điều có nghĩa là, với hai ma trận thực cho trước A = (aij ) , B = (bij ) ∈ Rl×q , A ≥ B aij ≥ bij với i = 1, , l, j = 1, , q Hơn aij > bij với i = 1, , l, j = 1, , q, ta viết A B thay cho A ≥ B Cuối Rl×q + , tập ma trận khơng âm Rl×q Cho x ∈ Kn P ∈ Kl×q cho trước, ta định nghĩa |x| := (|xi |) |P | := (|pij |) Một chuẩn · Kn gọi đơn điệu x ≤ y với x, y ∈ Kn , |x| < |y| Rõ ràng rằng, p-chuẩn Kn : x p := (|x1 |p + |x2 |p + + |xn |p ) p , ≤ p < ∞ and x ∞ = max |xi | i=1,2, ,n đơn điệu Trong luận văn này, không phát biểu thêm ln giả sử chuẩn vectơ Kn đơn điệu chuẩn ma trận P ∈ Kl×q hiểu chuẩn toán tử liên kết với cặp chuẩn vectơ đơn điệu Kl Kq Điều có nghĩa là: P = max { Py : y = 1} Chú ý rằng, ta có: P ∈ Kl×q , Q ∈ Rl×q + , |P | ≤ Q ⇒ P ≤ |P | ≤ Q , xem chẳng hạn [33] Nói riêng, Kn trang bị chuẩn · hay · ∞, A = |A| , với A = (aij ) ∈ Kn×n Cụ thể, ta có: n A = |A| = max 1≤j≤n i=1 |aij |; A = |A| ∞ = max ta có n 1≤i≤n j=1 |aij | Đặt Br := {x ∈ Rn : x ≤ r} với r > cho trước Với ma trận M ∈ Kn×n cho trước, hồnh độ phổ M định nghĩa µ(M ) := max { λ : λ ∈ σ (M )}, σ (M ) := {z ∈ C : det (zIn − M ) = 0} phổ M Một ma trận A ∈ Kn×n gọi ổn định (Hurwitz) µ (A) < Ma trận M ∈ Rn×n gọi ma trận Metzler phần tử nằm ngồi đường chéo khơng âm Dưới vài tính chất ma trận Metzler Định lý 1.1 [13] Giả sử M ma trận Metzler Khi đó: (i) (Perron-Frobenius) µ (M ) giá trị riêng M tồn vectơ riêng không âm x = cho M x = µ (M ) x (ii) Cho α ∈ R, tồn vectơ khác không x ≥ cho M x ≥ αx µ (M ) ≥ α (iii) (tIn − M )−1 tồn không âm ch nu t > (M ) nìn (iv) Cho B ∈ Rn×n Khi đó: + , C ∈C |C| ≤ B ⇒ µ (M + C) ≤ µ (M + B) Định lý sau đóng vai trò quan trọng chứng minh kết Chương Vì A ma trận Metzler Dk , Ek , Pk ma trận không âm với N k ∈ N nên A + Dk Pk Ek ma trận Metzler Ta k=1 N Dk Pk Ek µ0 := µ A + < k=1 Giả sử điều ngược lại µ0 ≥ Theo định lý Perron-Frobenius (Định lý 1.1), tồn x ∈ Rn+ , x = cho N Dk Pk Ek A+ x = µ0 x k=1 Đặt Q (t) = tIn − A, t ∈ R Do µ (A) < nên Q (µ0 ) khả nghịch Từ ta có N −1 (µ0 In − A) Dk Pk Ek x = x (3.5) k=1 Gọi i0 số mà Ei0 x = maxk∈N Ek x Nhân hai vế (3.5) bên trái Ei0 , ta có : N Ei0 Q(µ0 )−1 Dk Pk Ek x = Ei0 x k=1 Từ (3.5), ta suy Ei0 x > Hơn nữa, (3.6) kéo theo: N Ei0 Q(µ0 )−1 Dk Pk k=1 24 Ek x ≥ Ei0 x (3.6) Suy ra, N −1 Pk max Ei Q(µ0 ) Dj i,j∈N Ei0 x ≥ Ei0 x (3.7) (3.8) k=1 Như thế, ta có: N Pk ≥ −1 max Ei Q(µ0 ) Dj k=1 i,j∈N Mặt khác, phương trình giải thức cho ta đẳng thức sau: Q(0)−1 − Q(µ0 )−1 = µ0 Q(0)−1 Q µ0 −1 (3.9) Vì A ma trận Metzler với µ (A) < µ0 ≥ Theo Định lý 1.1 (iii), ta có: Q(0)−1 ≥ 0; Q(µ0 )−1 ≥ Khi đó, từ (3.9) ta có: Q(0)−1 ≥ Q(µ0 )−1 ≥ Vì Ei Q(0)−1 Dj ≥ Ei Q(µ0 )−1 Dj ≥ 0, i, j ∈ N Do vậy, Ei Q(0)−1 Dj ≥ Ei Q(µ0 )−1 Dj , i, j ∈ N Từ (3.8), ta suy ra: N Pk ≥ k=1 maxi,j∈N Ei Q(0)−1 Dj 25 Điều mâu thuẫn với (3.4) Bước 2: Chứng minh bước tương tự chứng minh Định lý 2.2.2 Lấy x0 ∈ Rn gọi x (t) := x (t; σ, x0 ) , t ∈ [σ, γ) nghiệm kéo dài (3.1) thỏa điều kiện đầu (2.2) Đầu tiên ta tồn β > cho với σ ≥ r > x0 ∈ Br , ta có x (t; σ, x0 ) ≤ Ke−β(t−σ) , ∀t ∈ [σ, γ) K độc lập với t, σ, x0 Theo (ii) Định lý 1.1, tồn p := (α1 , α2 , .αn )T với αi > 0, ∀i ∈ n cho N A+ Dk Pk Ek p k=1 Do tính liên tục, điều kéo theo: N A+ Dk Pk Ek p −βp = −β(α1 , , αn )T , k=1 với β > đủ nhỏ Cố định r > chọn K > cho |x0 | Kp với x0 ∈ Br Ta định nghĩa u (t) := Ke−β(t−σ) p, t ∈ [σ, ∞) x (t) := x (t; σ, x0 ) , t ∈ [σ, γ) Chú ý |x (σ)| = |x0 | Chúng ta |x (t)| ≤ u (t) với t ∈ [σ, γ) Đặt N k=1 Dk Pk Ek := (bij ) ∈ Rn×n 26 u (σ) = Kp Tương tự chứng minh Định lý 2.2.2, thu đánh giá sau: d |xi (t)| ≤ aii |xi (t)| + dt n n |aij | |xj (t)| + bij |xj (t)|, t ∈ [σ, γ) j=1 j=1,j=i Phần lại chứng minh định lý tương tự chứng minh Định lý 2.2.2 Bây giờ, xét vài trường hợp đặc biệt Định lý 3.7 Giả sử điều kiện Định lý 2.1.4 (2.1) ổn định mũ Xét hệ chịu nhiễu có dạng: N Dk (t, x (t)) Pk (t, Ek (t, x (t))) , t ≥ σ ≥ (3.10) x(t) ˙ = A (t) x (t) + k=1 Ở Dk , Pk , Ek , (k ∈ N ) Định lý 3.7 Hệ 3.8 Giả sử điều kiện Định lý 2.1.4 Gọi A ∈ Rn×n ma trận thỏa mãn (2.3) Định lý 2.1.4 (H1)-(H2) Khi (3.10) ổn định mũ bất đẳng thức (3.4) thỏa mãn Hệ 3.9 Cho A ∈ Rn×n ma trận Metzler ổn định Giả sử Dk : R+ → Rn×lk , Ek : R+ → Rqk ×n (k ∈ N ) hàm liên tục cho trước Pk : R+ → Rlk ×qk hàm liên tục chưa biết Nếu tồn Dk ∈ qk ×n lk ×qk k Rn×l Pk ∈ R+ (k ∈ N ) cho + , E k ∈ R+ |Dk (t)| ≤ Dk ; |Ek (t)| ≤ Ek ; |Pk (t)| ≤ Pk , ∀t ≥ (3.4) thỏa mãn hệ chịu nhiễu N x(t) ˙ = A+ Dk (t) Pk (t) Ek (t) x (t) k=1 27 t≥σ≥0 ổn định mũ Chú ý 3.10 Khi A ∈ Rn×n ma trận Metzler hệ x(t) ˙ = Ax(t), t ≥ 0, (3.11) hệ dương Nói riêng tốn ổn đinh vững hệ (3.11) chịu nhiễu có cấu trúc bất biến thời gian A → A + D∆E nghiên cứu [13], [33] Chẳng hạn Định lý [13] (3.11) hệ dương, ổn định mũ D, E ma trận khơng âm hệ chịu nhiễu x(t) ˙ = (A + D∆E)x(t), t≥0 ổn định mũ độ lớn nhiễu thỏa mãn điều kiện ∆ < EA−1 D Kết mở rộng cho nhiều lớp hệ dương khác hệ phương trình vi phân tuyến tính có chậm dương, hệ phương trình vi phân tuyến tính dương, hệ phương trình vi tích phân Voltera dương, (xem Tài liệu [18]-[22]) Hơn nữa, toán ổn định vững hệ dương (26) chịu nhiễu bội bất biến thời gian N A →A+ Di ∆i Ei , i=1 phân tích [13] Mặc dù có nhiều cơng trình nghiên cứu tính ổn định vững 28 hệ phương trình vi phân, theo hiểu biết chúng tơi tốn ổn định vững hệ dương chịu nhiễu bội phụ thuộc thời gian N A →A+ Dk (t)Pk (t)Ek (t), k=1 chưa nghiên cứu kết Hệ 3.9 khơng thể tìm thấy tài liệu tham khảo lĩnh vực Bây giờ, chúng tơi trình bày số ví dụ minh họa kết Ví dụ 3.11 Ở ví dụ 2.2.4, biết phương trình vi phân phi tuyến 2t x(t) ˙ = − x (t) + sin x (t) , t +1 t ≥ σ ≥ (3.12) ổn định mũ Xét hệ nhiễu x (t) = 2t − + be−t x (t)+sin x (t) +sin (ax (t)) , t +1 t ≥ σ ≥ 0, (3.13) với a, b ∈ R Chú ý be−t x ≤ |b| |x| |sin (ax)| ≤ |a| |x| , với t ≥ 0, x ∈ R Theo Định lý 3.7, (3.13) ổn đinh mũ |a| + |b| ≤ 29 Ví dụ 3.12 Xét hệ phương trình vi phân tuyến tính R2 có dạng t ≥ 0, x (t) = Ax (t) , (3.14) A := −1 1 −2 Rõ ràng, hệ (3.14) dương ổn định mũ Xét hệ nhiễu có dạng x(t) ˙ = (A + D1 (t) P1 (t) E1 (t) + D2 (t) P2 (t) E2 (t)) x (t) , (3.15) D1 (t) := E1 (t) := − sin t t ≥ 0; D2 (t) := , −e−t − t22t+1 , t ≥ 0; E2 (t) := cos2 t+1 1+t2 −1 t+1 , t≥0 , t≥0 Và P1 (t) := (a (t) , b (t)) ∈ R1×2 , t ≥ P2 (t) := (c (t) , d (t)) ∈ R1×2 , t ≥ chưa biết Với t ≥ ta có |D1 (t)| ≤ D1 := |E1 (t)| ≤ E1 := 1 1 ; |D2 (t)| ≤ D2 := ; |E2 (t)| ≤ E2 := 30 ; 1 0 E1 A−1 D1 = E1 A−1 D2 = E2 A−1 D1 = E2 A−1 D2 = −2 −1 1 −1 −1 1 −2 −1 1 −1 −1 1 −2 −1 1 −1 −1 1 −2 −1 0 −1 −1 −3 = −5 −1 = −2 −3 = −2 ; ; ; −1 = −1 Giả sử R2 dược trang bị 2-chuẩn Theo Hệ 3.9, (3.15) ổn định mũ a(·), b(·), c(·), d(·) liên tục bị chặn thỏa sup |a (t)| t∈R+ 2 + sup |b (t)| + sup |c (t)| t∈R+ t∈R+ 0, hệ tuyến tính x(t) ˙ = (A + D∆E)x(t), ∆ ∈ Rl×q , ∆ < ρ, (4.1) ổn định tiệm cận nghiệm không tất hệ phi tuyến sau ổn định tiệm cận toàn cục: x(t) ˙ = Ax(t) + DN (t, Ex(t)), (4.2) N : R+ × Rq → Rl , N (t, 0) = 0, ∀t ≥ liên tục Lipchitz địa phương theo t khoảng compact R+ thỏa mãn |N (t, y)| ≤ P |y| , ∀t ≥ 0, ∀y ∈ Rq ; P ∈ Rl×q , P < ρ (4.3) Chú ý 4.13 Trong trường hợp đặc biệt, N : R → R, y → N (y) hàm vô hướng D, E T ∈ Rn đốn trỏ thành dạng tương đương đoán Aizerman cổ điển (xem Tài liệu tham khảo [12] trang 702) Phỏng đoán Aizerman cổ điển phát biểu đẩu tiên tài liệu tham khảo [3] Phỏng đoán Aizerman cổ điển khơng (xem [8]) Vì câu hỏi tự nhiên đặt với điều kiện D, E hàm N Phỏng đốn Aizerman 32 Định lý 4.14 Nếu A ∈ Rn×n ma trận Metzler D ∈ Rn×l + ,E ∈ Rq×n Phỏng đốn Aizerman suy rộng Nói cách khác + q×n D ∈ Rn×l Phỏng đốn Aizerman cho hệ tuyến + , E ∈ R+ tính dương Chứng minh: Giả sử (4.1) ổn định tiệm cận với ∆ ∈ Rl×q , ∆ < ρ, với ρ > Nói riêng, hệ x(t) ˙ = A (t) x (t) ổn định tiệm cận Theo Hệ 3.9 hệ (4.1) ổn định tiệm cận với ∆ ∈ Rl×q , ∆ < tồn ∆0 ∈ Rl×q + , ∆0 = EA−1 D EA−1 D Hơn cho (4.1) không ổn định tiệm cận với ∆ := ∆0 (xem tài liêu tham khảo [33]) Và thế, việc (4.2) ổn định tiệm cận với N thỏa (4.3) với ρ := EA−1 D Giả sử N thỏa (4.3) với ρ := EA−1 D EA−1 D Bởi P ∈ Rl×q , P < , (4.3) ổn định tiệm cận, theo Hệ 3.8 Ngược lại, giả sử (4.2) ổn định tiệm cận với N thỏa (4.3) với ρ > Khi đó, hệ x(t) ˙ = A (t) x (t) ổn định tiệm cận Như nói (4.1) ổn định tiệm cận với ∆ ∈ Rl×q , ∆ < EA−1 D = EA1−1 D ta giả sử ρ ≥ ∆0 ∈ Rl×q + , ∆0 EA−1 D Vì Ta có (4.1) khơng ổn định tiệm cận với Do (4.2) khơng ổn định tiệm cận với N (t, y) := ∆0 y, t ≥ 0, y ∈ Rq Điều kết thúc chứng minh 33 KẾT LUẬN Luận văn trình bày kết tốn ổn định mũ hệ phương trình vi phân tuyến tính phi tuyến phụ thuộc thời gian Các kết trích từ tài liệu tham khảo [27]: "PHA Ngoc, New criteria for exponential stability of nonlinear timevarying differential systems Internat J Robust Nonlinear Control 24 (2014), no 2, 264–275" Đóng góp luận văn việc kết báo khơng đảm bảo tính ổn định mũ địa phương mà tính ổn định mũ tồn cục hệ xét tìm ví dụ minh họa Hướng phát triển luận văn nghiên cứu toán ổn định mũ cho lớp hệ phụ thuộc thời gian khác như: Phương trình vi phân có chậm, phương trình vi phân phiếm hàm, phương trình vi tích phân 34 TÀI LIỆU THAM KHẢO [1] D Aeyels D, J Peuteman, A new asymtopic stability criterion for nonlinear time-variant differential equations IEEE Transactions on Automatic Control 1998; 43: 968-971 [2] D Aeyels D, J Peuteman, On exponential stability of nonlinear time-varying differential equations Automatica 1999; 35:1091-1100 [3] MA Aizerman, On one problem concerning the stability in "Large" of Dynamic Systems Uspekhi Matematiccheskikh Nauk 1949; 4:186188 [4] R Amato, G Celentano, F Garofalo, New sufficient conditions for the stability of slowly varying linear systems IEEE Transactions on Automatic Control 1993; 38:1409-1411 [5] WA Coppel, Dichoromies in Stability Theory, Lecture Notes in Mathematics No 629, Springer, Berlin-New York, 1978 [6] J Dieudonne, Foundations of Modern Analysis Academic Press: New York, 1988 [7] L Farina, S Rinaldi, Positive Linear Systems: Theory and Applications John Wiley and Sons: New York, 2000 [8] RE Fitts, Two counterexamples to Aizernam’s conjection.IEEE Transactions on Automatic Control 1966; 11:553-556 [9] WM Haddad, V Chellaboina, Q Hui, Nonnegative and compartmental Dynamical Systems Princeton University Press: New York, 2010 [10] P Hartman, Ordinary Differential Equations, Second Edition SIAM Society for Industrial and Applied Mathematics: Philadephia, 2002 35 [11] D Hinrichsen, A Pritchard, Robust exponential stability of timevarying linear systems under time-varying parameter perturbations.International Journal of Robust and Nonlinear Control 1993; 3:63-83 [12] D Hinrichsen, ẠJ Pritchard, Mathematical Systems Theory I Springer-Verlag: Berlin-Heidelberg,2005 [13] D Hinrichsen, NK Son, µ-analysis and robust stability of positive linear systems.International Journal of Applied Mathematics and Computer Science 1998; 8:253-268 [14] J Kato, AA Martynyuk, AA Shestakov, Stability of Motion of Nonautonomous Systems ( Method of Limiting Equations) Gordon and Breach: Amsterdam, 1996 [15] NM Linh, VN Phat, Exponentional stability of nonlinear timevarying differential equations and applications Electronic Journal of Differential Equations 2001; 2001(34):1-13 [16] F Mazenc, Strict Lyapunov functions for time-varying systems Automatica 2003; 39:349-353 [17] F Mazenc, M Malisoff, Z Lin, Further result on input-to-state stability for nonlinear systems with delayed feedbacks.Automatica 2008; 44:2415-2421 [18] T Naito, JS Shin, S Murakami, PHA Ngoc, Characterizations of positive linear Volterra integro-differential systems Integral Equations and Operator Theory 2007; 58:255-272 [19] PHA Ngoc, Stability radii of positive linear Volterra-Stieltjes equations Journal of Differential Equation 2007; 243: 101-122 [20] PHA Ngoc, On positivity and stability of linear Volterra systems with delay.SIAM Journal on Control and Optimization 2009; 48:1939-1960 36 [21] PHA Ngoc, Stability of linear Volterra-Stieltjes differential equations SIAM Journal on Control and Optimization 2011; 49:205-226 [22] PHA Ngoc, T Naito, JS Shin, S Murakami, On stability and robust stability of positive linear Volterra equations SIAM Journal on Control and Optimization 2008; 47:975-996 [23] PHA Ngoc, NK Son, Stability radii of linear systems under multiperturbations Numerical Functional Analysis and Optimization 2004; 25(2):221-238 [24] PHA Ngoc, NK Son, Stability radii of positive linear functional differential equations under multi-perturbations SIAM Journal on Control and Optimization 2005; 43:2278-2295 [25] PHA Ngoc, On exponential stability of nonlinear differential systems with time-varying delay, Applied Mathematics Letters 25 (2012) 1208-1213 [26] PHA Ngoc, Novel criteria for exponential stability of functional differential equations, Proceedings of the American Mathematical Society 141 (2013), 3083-3091 [27] PHA Ngoc, New criteria for exponential stability of nonlinear timevarying differential systems Internat J Robust Nonlinear Control 24 (2014), no 2, 264–275 [28] J Peuteman, D Aeyels, Averaging results and the study of uniform asymptotic stability of homogeneous differential equations that are not fast time-varying.SIAM Journal on Control and Optomization 1999; 37:997-1010 [29] J Peuteman, D Aeyels, Exponetial stability of nonlinear time varying differential equations and partial averaging Mathamatics of Control, Signals, and Systems 2002; 71:6265-6275 37 [30] VN Phat, On the stability of time varying differential equations Optimization 1999; 45:237-254 [31] VN Phat VN, P Niamsup, Stability analysis for a class of functional differential equations and application Nonlinear Analysis: Theory Methods and Application 2009; 71: 6265-6275 [32] V Solo, On the stability of slowly time varying linear systems.Mathamatics of Control, Signals, and Systems 1994; 7:331-350 [33] NK Son, D Hinrichsen, Robust stability of positive continuous-time systems Numerical Functional Analysis and Optimization 1996; 17:649-659 [34] B Shafai, J Chen, M Kothandaraman, Explicit formulas for stability radii of nonnegative and Metzlerian matrices.IEEE Transactions on Automatic Control 1997; 42:265-270 [35] M Wu, A note on stability of linear time-varying systems, IEEE Transactions on Automatic Control 1974; 19 , Issue: 2, 1962 [36] M Wu, On Stability of Linear Time-Varying Systems, Int J Systems Sci., 1984: 15, No.2, 137-150 [37] A Zevin, Exponential stability and solution bounds for systems with bounded nonlinearities IEEE Transactions on Automatic Control 2003; 48:1799-1804 [38] J.J Zhu, A note on extension of the eigenvalue concept , IEEE Control Systems, 1993; 13, Issue: 6, 68-70 38 ... TÊN ĐỀ TÀI: MỘT VÀI TIÊU CHUẨN TƯỜNG MINH CHO TÍNH ỔN ĐỊNH MŨ CỦA CÁC HỆ PHI TUYẾN II – NHIỆM VỤ VÀ NỘI DUNG:  Nghiên cứu điểu kiện cần, điều kiện đủ cho tính ổn định mũ số lớp hệ phương trình... theo sau Định lý 1.1 (i) CHƯƠNG II TIÊU CHUẨN ỔN ĐỊNH CỦA CÁC HỆ TUYẾN TÍNH PHỤ THUỘC THỜI GIAN 2.1 Tiêu chuẩn ổn định hệ tuyến tính phụ thuộc thời gian Xét hệ phương trình vi phân tuyến tính phụ... Để cho tiện, nghiệm khơng (2.6) ổn định mũ ta nói (2.6) ổn định mũ Bài tốn tìm điều kiện đặt hàm f cho (2.6) ổn định mũ Định lý sau cho ta lời giải toán kết mở rộng Định lý 2.1.4 cho hệ phi tuyến