MỘT ĐỊNH LÝ VỀ TÍNH ỔN ĐỊNH MŨ CỦA HỌTIẾN HÓA TUẦN HOÀN TRÊN KHÔNG GIAN BANACH

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP HỒ CHI MINH LÊ HỮU THỨC MỘT ĐỊNH LÝ VỀ TÍNH ỔN ĐỊNH MŨ CỦA HỌ TIẾN HÓA TUẦN HOÀN TRÊN KHÔNG GIAN BANACH Chuyên ngành : Toán Giải tích Mã số : 60 46 01 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC: PGS TS LÊ HOÀN HÓA Thành phố Hồ Chí Minh – 2008 LỜI CẢM ƠN Đầu tiên xin bày tỏ lòng tri ân sâu sắc Thầy PGS TS Lê Hoàn Hóa – Khoa toán – Tin học, Trường Đại học Sư Phạm TP.HCM hướng dẫn, động viên giúp đỡ tận tình suốt trình học tập thực luận văn Tôi xin gởi lời cảm ơn đến quý Thầy, Cô Hội đồng chấm luận văn dành thời gian đọc, chỉnh sửa đóng góp ý kiến giúp hoàn thành luận văn cách hoàn chỉnh Tôi chân thành cảm ơn Ban chủ nhiệm Khoa Toán – Tin học Trường Đại học Sư phạm TP.Hồ Chí Minh, Thầy Cô tận tình tham gia giảng dạy lớp Cao học Giải tích khoá 15 Phòng KHCN - SĐH Trường Đại học Sư phạm TP.Hồ Chí Minh Tôi gởi lời cảm ơn đến Ban giám hiệu, Bộ môn Toán trường Dự Bò Đại học TP.HCM, Trường THPT DL An Đông tạo điều kiện thuận lợi cho công tác để tham gia đầy đủ khóa học hoàn thành luận văn Đặc biệt lời cảm ơn sâu sắc Thầy TS Chu Đức Khánh góp ý cho luận văn động viên nhiều suốt trình học tập Tôi gởi lời cảm ơn đến tất bạn lớp Cao học khoá 15 Cuối cùng, trình viết luận văn này, khó tránh khỏi thiếu sót, mong nhận ý kiến đóng góp bạn đọc Mọi ý kiến đóng góp xin gởi email: lehuuthuc74@gmail.com Xin chân thành cảm ơn MỤC LỤC Trang phụ bìa Lời cảm ơn Mục lục MỞ ĐẦU Chương 1: MỘT SỐ KIẾN THỨC CƠ BẢN 1.1 Nửa nhóm liên tục toán tử tuyến tính bò chặn 1.2 Nửa nhóm liên tục mạnh toán tử tuyến tính bò chặn 10 1.3 Đònh lý Hille – Yosida 14 1.4 Nửa nhóm toán tử tuyến tính toán Cauchy 15 1.5 Họ tiến hóa tuần hoàn không gian Banach 18 Chương 2: MỘT ĐỊNH LÝ VỀ TÍNH ỔN ĐỊNH MŨ CỦA HỌ TIẾN HÓA TUẦN HOÀN TRÊN KHÔNG GIAN BANACH 21 2.1 Giới thiệu 21 2.2 Kết 25 Chương 3: ỨNG DỤNG 36 KẾT LUẬN VÀ KIẾN NGHỊ 39 TÀI LIỆU THAM KHẢO 40 MỞ ĐẦU Lý chọn đề tài Hiện nay, vấn đề nửa nhóm họ tiến hóa không gian Banach hướng nghiên cứu lớn toán học đại Nhiều nhà toán học giới tiếp tục nghiên cứu, phát triển vấn đề theo nhiều hướng khác nghiên cứu mối quan hệ nửa nhóm tiến hóa với toán Cauchy nhiều nhà toán học quan tâm Vì chọn đề tài làm nội dung nghiên cứu luận văn nhằm học tập phát triển đề tài theo hướng nghiên cứu Mục đích: Luận văn nghiên cứu tính ổn đònh nghiệm phương trình vi phân thông qua lý thuyết phổ nửa nhóm tiến hóa Đối tượng phạm vi nghiên cứu: Trong luận văn này, nghiên cứu tính tuần hoàn nghiệm yếu phương trình vi phân không với tính ổn đònh mũ họ tiến hóa tuần hoàn Ý nghóa khoa học thực tiễn: Kết luận văn sở để tiếp tục nghiên cứu tính tính chất khác nghiệm yếu phương trình vi phân không với tính ổn đònh mũ họ tiến hóa tuần hoàn 5 Cấu trúc luận văn Luận văn gồm có chương: Chương 1: Trình bày kiến thức liên quan đến nửa nhóm, họ tiến hóa tuần hoàn số phương trình vi phân Chương 2: Chúng trình bày chứng minh đònh lý tính ổn đònh mũ họ tiến hóa tuần hoàn không gian Banach Chương 3: Chúng giới thiệu số ứng dụng đònh lý Cuối tài liệu tham khảo mà có trích dẫn số đònh lý chứng minh chúng CHƯƠNG 1: MỘT SỐ KIẾN THỨC CƠ BẢN 1.1 NỬA NHÓM LIÊN TỤC ĐỀU CỦA CÁC TOÁN TỬ TUYẾN TÍNH BỊ CHẶN Đònh nghóa 1.1.1: Cho X không gian Banach Họ tham số T(t), ≤ t < , toán tử tuyến tính bò chặn từ X vào X gọi nửa nhóm toán tử tuyến tính bò chặn X (i) T(0) = I, ( I toán tử đồng X ) (ii) T(t+s) =T(t).T(s) với t, s  Một nửa nhóm toán tử tuyến tính bò chặn T(t) gọi liên tục lim T (t )  I  t 0 (1.1) Từ đònh nghóa rõ ràng ta có : Nếu T(t), ≤ t < , nửa nhóm liên tục toán tử tuyến tính bò chặn lim T ( s )  T (t )  s t (1.2) Đònh nghóa 1.1.2: Cho {T(t)}t0 nửa nhóm toán tử tuyến tính bò chặn xác đònh X Với h > ta đònh nghóa toán tử tuyến tính Ah xác đònh sau: Ah x  T (h) x  x , x X h (1.3) Ah x tồn tại, ta Kí hiệu D(A) tập tất xX cho giới hạn lim h 0 xác đònh toán tử A D(A) sau: Ax  lim Ah x , x  D ( A) h 0 (1.4) Ta gọi toán tử A xác đònh toán tử sinh cực vi ( hay ngắn gọn toán tử sinh) nửa nhóm T(t) D(A) tập xác đònh A Đònh lý 1.1.3: Một toán tử tuyến tính A toán tử sinh nửa nhóm liên tục A toán tử tuyến tính bò chặn Chứng minh: Cho A toán tử tuyến tính bò chặn X đặt (tA) n T (t )  e   n! n 0 tA  (1.5) Vế phải (1.5) hội tụ theo chuẩn với t  xác đònh với t toán tử tuyến tính bò chặn T(t) Rõ ràng T(0) = I với cách tính trực tiếp chuỗi lũy thừa ta thấy T(t+s) = T(t).T(s) Tiến hành đánh giá chuỗi lũy thừa ta có: T (t )  I  t A et A T (t )  I  A  A T (t )  I t Từ suy T(t) nửa nhóm liên tục toán tử tuyến tính bò chặn xác đònh X A toán tử sinh T(t) Mặt khác cho T(t) nửa nhóm liên tục toán tử tuyến tính bò chặn xác đònh X Cố đònh  >0, đủ nhỏ, cho I Suy  1  0 T (s)ds 1 1   0 T (s)ds khả nghòch 0 T (s)ds khả nghòch Bây    0 h (T (h)  I )  T ( s )ds = h (  T ( s  h)ds   T ( s )ds ) 1 1 = 1 h (  h h 0 T ( s)ds  0 T ( s)ds) Vì h (T (h)  I ) = [h 1 1  h h  0 T (s)ds  h 0 T (s)ds](0 T (s)ds) 1 1 (1.6) Cho h  (1.6) ta thấy h 1 (T (h)  I ) hội tụ theo chuẩn  đủ mạnh để toán tử tuyến tính bò chặn (T (  )  I )(  T ( s )ds ) 1 toán tử sinh T(t)
Vậy nửa nhóm T(t) có toán tử sinh A có không? Trả lời câu hỏi ta xem đònh lý sau Đònh lý 1.1.4: Cho T(t) S(t) nửa nhóm liên tục toán tử tuyến tính bò T (t )  I S (t )  I  A  lim t 0 t 0 t t chặn Nếu lim T(t) = S(t) với t  Chứng minh: (1.7) Cho T > 0, S(t) = T(t), với ≤ t ≤ T Cố đònh T > 0, t  T (t ) t  S (t ) liên tục tồn số C cho T (t ) S ( s )  C với ≤ t, s ≤ T Từ (1.7), cho  > 0, tồn số  > cho h 1 T (h)  S (h)   TC Cho ≤ t ≤ T chọn n  cho với 0≤ h ≤  (1.8) t   Từ tính chất nửa nhóm (1.8) n ta có: t t T (t )  S (t )  T (n )  S (n ) n n n 1 t kt t (k  1)t   T ((n  k ) ) S ( )  T ((n  k  1) ) S ( ) n n n n k 0 n 1 t t t kt  t   T ((n  k  1) ) T ( )  S ( ) S ( )  Cn  n n n n TC n k 0 Vậy T(t) = S(t) với ≤ t ≤ T
Do hai đònh lý ta có kết sau Cho T(t) nửa nhóm liên tục toán tử tuyến tính bò chặn Ta có a) Tồn số   cho T (t )  et b) Tồn toán tử tuyến tính bò chặn A cho T (t )  etA c) Toán tử A phần b) toán tử sinh T(t) d) t  T (t ) khả vi với chuẩn dT (t )  AT (t )  T (t ) A dt 27 v Ở v1 = q q K1  MKe e v q Cho t  [0,q) (  v1 ) q U (t ,0)  K 2e  v t Ở K  Me Cho  ≥ t ≥  + q rõ ràng ta có p  s  [0,q) cho  = pq + s thì: U (t ,  )  U (t ,( p  1)q ) U (( p  1)q, s )  Me q ( K1  K ) e v ( t  ) Chiều ngược lại hiển nhiên
Bổ đề 2.2.3: Cho T  L(X) Nếu sup t 0 n ei  k T k  k 0  M   ,    r(T) < Chứng minh: Chúng ta sử dụng đồng n e  T i k k (e i T  Id )  e i ( n1)T n 1  Id k 0 (2.6) Từ (4.10) ta có : eiμ(n+1)T n+1  1+ M μ (1+ T ) n   (2.7) suy r(T)  1.Giả sử   (T ) Thì với m = 1, 2, …, tồn xm  X với xm  ( Id  T ) xm  m   Từ (2.7) ta có kết T k ( Id  T ) xm  m   cho k  Cho N  , N > 2M0 m  cho 28 T k ( Id  T ) xm  , k  0,1, N 2N N k 1 k 1 j 0 M  xm   ( xm   T j (T  Id ) xm ) N k 1  ( N  1) xm   T j (T  Id ) xm k 1 j 0  ( N  1)  N ( N  1) N   M0 4N điều mâu thuẫn với   (T ) Bây dễ thấy e i   (T ) với   Vậy r(T) <
Đònh lý 2.2.4: Cho U = {U(t,s)}t ≥ s ≥ họ tiến hóa tuần hoàn chu kỳ q không gian Banach X Nếu t sup  e iU (t ,  ) f ( )d  , f  Pq (  , X ),    t 0 (2.8) U ổn đònh mũ Chứng minh: Cho V = U(q,0), x  X, n = 0, 1, 2, … g  Pq(   ,X) cho g() = (q-)U(,0)x ,   [0,q] Từ (4.12), cho t = (n+1)q ta có: sup nN n ( k 1) q   k 0 kq U ((n  1)q,  )e i g ( )d  ,    (2.9) 29 Trong đònh nghóa họ tiến hóa tuần hoàn chu kỳ q, có tính chất: p   , u  [0,q] U(pq+q,pq+u) = U(q,u), U(pq,jq) = U((p-j)q,0) = Vp-j, p   , j   , p ≥ j Với k = 0,1,… ta có: ( k 1) q kqU ((n  1)q, )e i g ( )d  =V ( k 1) q kqU ((n  1)q, (k  1)q)U ((k  1)q, )e q 0 U ((k  1)q, u  kq)e n k =e ikq n k =e ikq n k =e ikq V V q 0 e q 0 e i ( u  kq ) iu U (q, u ) g (u )du iu u (q  u )U (q, u )U (u ,0) xdu (  e iu u (q  u )du )V n k 1 x = M (  , q )e  i ( n 1) q e i ( nk 1) qV n k 1 x Ở M (  , q )   e iu u (q  u )du  0 Trở lại (4.13) , ta thu n 1 sup  e ijqV nN j  j 0 ta có r(V) < U ổn đònh mũ
Đònh lý 2.2.5: g ( )d g (kq  u )du q q i 30 Cho U  {U (t , s ) : t  s} họ tiến hóa 1_tuần hoàn không gian banach X, V:=U(1,0) toán tử đơn đạo S nửa nhóm tiến hóa liên kết với U không gian AP(, X ) (được cho (*)) mệnh đề sau tương đương: (i) U ổn đònh mũ; (ii) r(V) g  A0 (   , X ) cho f  g S ( ) g  A0 (  , X ) BUC (   , X )  , 32 S ( ) f  S ( ) g BUC (   , X )  sup U ( s, s   )[ f ( s   )  g ( s   )] s   Me sup f ( s   )  g ( s   )  Me  s  Vậy bổ đề chứng minh
Bây ta dễ dàng thấy họ S ( ) :   0 nửa nhóm toán tử tuyến tính bò chặn AP0 (  , X ) Bổ đề 2.2.7: Cho U họ tiến hóa tuần hoàn chu kỳ toán tử tuyến tính bò chặn X Nửa nhóm S = {S(t):t ≥ 0} liên kết với U AP0 (  , X ) ( đònh nghóa (2.10)) liên tục mạnh Chứng minh: Với f  AP0 (   , X )   có S ( ) f  f AP0 (   , X ) ( S ( ) f )( s )  F f ( s )  sup f ( s )  sup  sup f ( s )  S ( ) F f  Ff s[ t f ,  t f ] s[ t f ,  t f ] s[  t f ,  ) AP (  , X ) Giới hạn cuối tiến đến   nửa nhóm S ( mà ta đònh nghóa (2.10)) liên tục mạnh , hàm f liên tục + f(tf)=0
Nửa nhóm S gọi nửa nhóm tiến hóa liên kết đến U không gian AP0 (  , X ) Bổ đề 2.2.8: Cho U  {U (t , s ) : t  s  } họ tiến hóa tuần hoàn chu kỳ toán tử tuyến tính bò chặn X Nửa nhóm tiến hóa S = { S(t) : t ≥ } liên kết với U 33 AP0 (  , X ) ( đònh nghóa (2.10)), (G,D(G)) là toán tử sinh S u, f  AP0 (  , X ) Hai mệnh đề sau tương đương: (j) u  D(G) Gu = -f ; t (jj) u (t )   U (t , s ) f ( s )ds , t  0 Chứng minh: t j)  jj) Với t ≥ 0, S (t )u  u   S ( )Gud  ; Vì t u (t )  ( S (t )u )(t )  (  S ( )Gud  )(t ) t  U (t , 0)u (0)   U (t , t   )(Gu )(t   ) d  t t 0   U (t , t   ) f (t   ) d    U (t , ) f ( )d jj)  j) Cho t > cho trước Chúng ta chứng minh t 1 (  S (t )u  u )   S ( r ) fdr t t0 (2.11) Nếu s ≥ t ta có: 1 ( S (t )u  u )( s )  [U ( s, s  t )u ( s  t )  u ( s )] t t s  [  U ( s, ) f ( )d  t s t  U (s, ) f ( )d ] 34 t   U ( s, s  r ) f ( s  r )dr t0 t  (  S (r ) fdr )( s ) t Nếu  s < t, ta có : s 1 (  S (t )u  u )( s )  u ( s)   U ( s, ) f ( )d t t t0 s   U ( s, s  r ) f ( s  r )dr t0 s  (  S ( r ) fdr )( s ) t t  (  S (r ) fdr )( s ) t Qua giới hạn t  (2.11) có kết (j)
Nhắc lại  ( L) phổ toán tử tuyến tính bò chặn L tác động lên X Và  ( L) :  \  ( L) tập giải (the resolvent set) L Bán kính phổ L r ( L) : sup{  :    ( L)} Biên phổ L (spectral bound) s ( L ) : sup{Re(  ) :    ( L )} Đònh lý 2.2.9: Cho U  {U (t , s ) : t  s  } họ tiến hóa tuần hoàn chu kỳ toán tử tuyến tính bò chặn X Hai mệnh đề sau tương đương: (i) U ổn đònh mũ 35 (ii) v f (., 0)  AP0 (  , X ) với f  AP0 (   , X ) Chứng minh: i)  ii) Cho S nửa nhóm tiến hóa liên kết với U không gian APo (  , X ) (G,D(G)) toán tử sinh U ổn đònh mũ, tức (**) với số số âm cho cặp (t , s) với t ≥ s, Vì o(S) số âm  (G) Khi G toán tử khả nghòch Theo f  APo (  , X ) , ta có u  D(G) cho Gu = -f Theo bổ đề (2.2.8) ta có u = vf(.,0) Vậy vf(.,0)  APo (  , X ) ii)  i) Cho    i t f  P1 (   , X ) Hàm t  e f (t ) thuộc không gian t APo (   , X ) Vì hàm t   U (t , s )e  i s f ( s )ds bò chặn   thuộc APo (   , X ) Sử dụng đònh lý 2.2.5 ((iv)  (i)) ta có U ổn đònh mũ
Lưu ý : kết hợp mệnh đề tương đương (i) (iv) đònh lý (2.2.5) với kết từ đònh lý (2.2.9) ta dễ dàng thấy họ tiến hóa U (trong đònh lý 2.2.9) ổn đònh mũ f  APo (   , X ) , nghiệm vf(.,0) bò chặn   36 CHƯƠNG 3: ỨNG DỤNG Ta có kết từ đònh lý (2.2.9) đònh lý ánh xạ phổ nửa nhóm tiến hóa S không gian APo (  , X ) Kết tương tự thấy ([7] đònh lý 2.2) cho nửa nhóm tiến hóa C00 (  , X ) ([2] đònh lý 5), cho nửa nhóm tiến hóa AAPo (   , X ) Ở C00 (   , X ) f (t )  không gian hàm liên tục f từ    X cho f (0)  lim t  AAPo (  , X ) không gian hàm h từ    X cho h(0)=0 tồn f  C0 (  , X ) g  AP(   , X ) cho h = f+g Đònh lý 3.1: Cho U họ tiến hóa tuần hoàn chu kỳ toán tử tuyến tính bò chặn X S nửa nhóm tiến hóa liên kết với U không gian APo (   , X ) thỏa đònh lý ánh xạ phổ sau đây: et (G )   ( S (t )) \{0}, t  Hơn nữa,  (G )  {   : Re( )  s(G )}  (S (t ))  {   :   r ( S (t ))}, t  Ứng dụng khác đònh lý 2.2.9 bất đẳng thức kiểu LandauKallman-Rota’s Chi tiết đònh lý kiểu thấy [4] , [2] Cho  không gian C00 (  , X ) , AAPo (   , X ) , APo (  , X ) Đònh lý 3.2: 37 Cho U  {U (t , s ) : t  s  0} họ tiến hóa tuần hoàn chu kỳ toán tử tuyến tính bò chặn X cho f   Giả sử điều kiện sau thỏa mãn: (i) v f (., 0)   U (., s ) f ( s )ds thuộc  (ii) w f (.) :  (  s )U (., s ) f ( s )ds thuộc  Nếu sup  U (t , s ) : t  s  0  M   v f (., 0)   4M f  w f (.)  Để chứng minh cho đònh lý trường hợp  không gian C00 (  , X ) AAPo (  , X ) ta tham khảo [4], [2] Trường hợp  không gian APo (  , X ) tương tự Giả thiết từ đònh lý Neerven-Vu ta trình bày sau: Tồn số dương K cho t sup  T ( )ei xd  K ei x t 0 BUC ( R , X ) , x  X kết sau tự nhiên Đònh lý 3.3: Cho U  {U (t , s ) : t  s  } họ tiến hóa tuần hoàn chu kỳ toán tử tuyến tính bò chặn X Hai mệnh đề sau tương đương: U ổn đònh mũ 38 Với p  TPo (  , X ) , nghiệm v p (., 0)  APo (   , X ) tồn số dương K cho v p (.,0) AP0 ( R , X ) K p AP0 ( R , X ) (3.1) Chứng minh: 1)  2) : Hiển nhiên 2)  1) : Cho f  APo (  , X ) pn  TPo (  , X ) cho dãy (pn) hội tụ f APo (  , X ) Từ (3.1) ta có (v pn (., 0)) hội tụ APo (   , X ) Mặt khác , dễ thấy (v pn (., 0)) hội tụ điểm tới v f (., 0) Vậy v f (.,0) nằm APo (  , X ) theo đònh lý (2.2.9) ta có điều cần chứng minh
39 KẾT LUẬN VÀ KIẾN NGHỊ Luận văn thu số kết sau: Trong chương 1, giới thiệu kiến thức tảng để xây dựng chương chương Trong chương 2, cung cấp số chứng minh chi tiết cho kết báo [3] bổ sung bổ đề, đònh lý chứng minh chúng để làm rõ kết báo [3] Trong chương 3, có nêu số ứng dụng kết lấy từ chương 2, qua cho thấy kết đònh lý chương mở rộng nhiều Quá trình thực luận văn giúp bước đầu làm quen với nghiên cứu khoa học tiếp cận với hướng phát triển toán học đại, đồng thời dòp để vận dụng kiến thức Thầy, Cô truyền dạy vào toán nghiên cứu cụ thể Tôi hy vọng có hội tiếp tục nghiên cứu phát triển tiếp kết từ luận văn tương lai 40 TÀI LIỆU THAM KHẢO Tiếng Anh [1] Constantin Buse (2000), Exponential Stability for Periodic Evolution Families of Bounded Linear Operators, Rend Sem Univ Pol Torino, 58 [2] Constantin Buse (2002), The spectral mapping theorem for evolution semigroups on the space of asymtotically almost periodic functions defined on the half-line, Electronic Journal of Differential Equations, Vol 2002, No 70, pp 1-11 [3] Constantin Buse & Oprea Jitianu (2003), A new theorem on exponential stability of periodic evolution families on Banach spaces, Electronic Journal of Differential Equations, Vol 2003, No 14, pp 1-10 [4] Constantin Buse & S S Dragomir (2004), A Kallman-Rota Inequality for Evolution Semigroups, Mathematical Inequalities & Applications, Vol 7, Number I, 95-101 [5] Constantin Buse & A Pogan (2001), Individual Exponential Stability for Evolution Families of Linear and Bounded Operators, New Zealand Journal of Mathematics, Volume 30, 15-24 [6] S Clark, Yu Latushkin, S.Montgomery-Smith and T Randolph (1999), Stability radius and intenal versus external stability in Banach spaces: An evolution semigroup approach, SIAM: Society for Industrial and Applied Mathematics 38,1757-1793 41 [7] Nguyen Van Minh, Frank Rabiger and Roland Schnaubelt (1998), Exponential stability, exponential expansiveness, and exponential dichotomy of evolution, equations on the half-line, Integral, Equations Operator Theory, 32, 332-353 [8] Toshiki Naito, Nguyen Van Minh, Jong Son Shin (1991), New Spectral Criteria for Almost Periodic solutions of Evolution Equations AMS: American Mathematical Society [9] J van Neerven (1996), Characterization of exponential stability of operators in terms of its action by convolution on vector valued function space over +, Journal of Differential Equations, 124, 155-161 [10] J van Neerven (1996), Individual stability of C0-semigroups with uniformly bounded local resolvent, Semigroup Forum, 53, 155-161 [11] A Pazy (1983), Semigroups of Linear Operators and Application to Partial Differential Equations, Springer – Verag , New York [12] Roland Schnaubelt (1996), Exponential bounds and hyperbolicity of evolution families, Ph D thesis, Tubingen [13] Roland Schnaubelt (2001), Well-posedness and asymptotic behaviour of non-autonomous linear evolution equations, Evolutions Equations and Semigroups http://mathematik.uni-halle.de/reports/ [...]... tuyến tính ( có thể không bò chặn ) (1.21) 20 Nghiệm yếu của (1.21) dẫn đến một họ tiến hóa trên  U = U (t , s ) : t  s  0  L( X ) Lưu ý : Nếu bài toán Cauchy (1.21) là tuần hoàn chu kỳ 1 tức là : A(t  1)  A(t ), t  0 thì họ tiến hóa U tương ứng là tuần hoàn chu kỳ 1 21 CHƯƠNG 2: MỘT ĐỊNH LÝ VỀ TÍNH ỔN ĐỊNH MŨ CỦA HỌ TIẾN HÓA TUẦN HOÀN TRÊN KHÔNG GIAN BANACH 2.1 GIỚI THIỆU Chúng ta xem xét một. .. nghóa một số ký hiệu sau: * Ký hiệu X là không gian Banach phức, L(X) là đại số Banach các toán tử tuyến tính, bò chặn trên X Chuẩn của vectơ trong X và chuẩn của toán tử trong L(X) được ký hiệu là * Ký hiệu là tập hoặc , BUC( , X) là không gian Banach của các hàm bò chặn và liên tục đều từ vào X 22 * Ký hiệu AP( ,X) là không gian Banach tất cả các hàm tuần hoàn hầu hết từ vào X AP( ,X) là không gian. .. tục trên ]0,T [ Nếu (1.20) có nghiệm u trên [0,T [ với một x  D(A) nào đó thì v(t) sẽ thỏa cả 2 điều kiện (i), (ii) Hệ quả 1.4.6: Cho A là toán tử sinh của nửa nhóm_C0 T(t) Nếu f(s) là khả vi liên tục trên [0,T] thì Bài toán (1.20) có nghiệm mạnh u trên [0,T[ với mọi x  D(A) 1.5 HỌ TIẾN HÓA TUẦN HOÀN TRÊN KHÔNG GIAN BANACH Đònh nghóa: 19 Cho X là không gian Banach Ta ký hiệu L(X) là không gian Banach. .. TỤC MẠNH CỦA CÁC TOÁN TỬ TUYẾN TÍNH BỊ CHẶN Trong suốt chương này, X là không gian Banach Đònh nghóa 1.2.1: Một nửa nhóm T(t), 0 ≤ t < , của các toán tử tuyến tính bò chặn trên X là nửa nhóm liên tục mạnh nếu lim T (t ) x  x với mọi x  X (1.9) t 0 Một nửa nhóm liên tục mạnh của các toán tử tuyến tính bò chặn trên X sẽ được gọi là một nửa nhóm của lớp C0 hay gọi tắt là nửa nhóm_C0 Đònh lý 1.2.2:...  e ijqV nN j  j 0 ta có r(V) < 1 và U là ổn đònh mũ
Đònh lý 2.2.5: g ( )d g (kq  u )du q q i 30 Cho U  {U (t , s ) : t  s} là họ tiến hóa 1 _tuần hoàn trên không gian banach X, V:=U(1,0) là toán tử đơn đạo và S là nửa nhóm tiến hóa liên kết với U trên không gian AP(, X ) (được cho ở (*)) 4 mệnh đề sau đây là tương đương: (i) U là ổn đònh mũ; (ii) r(V) 0 và v > 0 sao cho T (t )  Ne , t  0 ) nếu 24 p và chỉ nếu nó bò chặn trên không gian L (   , X ) hoặc C0 (  , X ) bởi tích chập ” (Tham khảo [9]) (2.2) p Nói một cách khác, nếu X là không gian L (   , X ) hoặc C0 (  , X ) thì nửa nhóm liên tục mạnh T là ổn đònh mũ  f  X, nghiệm uf(.,0)  X, ở đây C0 (  , X ) là không gian gồm