Phương pháp sai phân hữu hạn monte carlo nhiều chiều cho phương trình vi phân dạng elliptic và ứng dụng

ĐẠI HỌC QUỐC GIA THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH TRƯỜNG ĐẠI HỌC BÁCH KHOA TRẦN THỊ VÂN ANH PHƯƠNG PHÁP SAI PHÂN HỮU HẠN MONTE CARLO NHIỀU CHIỀU CHO PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN DẠNG ELLIPTIC VÀ ỨNG DỤNG Chuyên ngành: Toán ứng dụng Mã số: 60460112 LUẬN VĂN THẠC SĨ TP HỒ CHÍ MINH, năm 2019 CƠNG TRÌNH ĐƯỢC HỒN THÀNH TẠI: Trường Đại học Bách Khoa – ĐHQG – HCM Cán hướng dẫn khoa học: PGS.TS NGUYỄN ĐÌNH HUY Cán chấm nhận xét 1: TS Nguyễn Bá Thi Cán chấm nhận xét 2: PGS TS Nguyễn Huy Tuấn Luận văn thạc sĩ bảo vệ Trường Đại học Bách Khoa, ĐHQG Tp.HCM ngày 07 tháng 01 năm 2019 Thành phần Hội đồng đánh giá luận văn thạc sĩ gồm: Chủ tịch: PGS TS Nguyễn Bích Huy Thư ký: TS Đặng Văn Vinh Phản biện 1: TS Nguyễn Bá Thi Phản biện 2: PGS TS Nguyễn Huy Tuấn Ủy viên: TS Nguyễn Tiến Dũng Xác nhận Chủ tịch Hội đồng đánh giá LV Trưởng Khoa quản lý chuyên ngành sau luận văn sửa chữa (nếu có) CHỦ TỊCH HỘI ĐỒNG TRƯỞNG KHOA ĐẠI HỌC QUỐC GIA TP.HCM CỘNG HÒA XÃ HỘI CHỦ NGHĨA VIỆT NAM TRƯỜNG ĐẠI HỌC BÁCH KHOA Độc lập - Tự - Hạnh phúc NHIỆM VỤ LUẬN VĂN THẠC SĨ Họ tên học viên : TRẦN THỊ VÂN ANH MSHV:1670238 Ngày, tháng, năm sinh: 02/10/1992 Nơi sinh: Thanh Hóa Chuyên ngành: Toán ứng dụng Mã số: 60460112 I TÊN ĐỀ TÀI: PHƯƠNG PHÁP SAI PHÂN HỮU HẠN MONTE CARLO NHIỀU CHIỀU CHO PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN DẠNG ELLIPTIC VÀ ỨNG DỤNG - Kiến thức chuẩn bị - Trình bày phương pháp Monte Carlo số ứng dụng - Phương pháp sai phân hữu hạn Monte Carlo nhiều chiều cho phương trình vi phân dạng elliptic ứng dụng II NGÀY GIAO NHIỆM VỤ: 29/06/2017 III NGÀY HOÀN THÀNH NHIỆM VỤ: 07/01/2019 IV CÁN BỘ HƯỚNG DẪN: PGS.TS NGUYỄN ĐÌNH HUY Thành phố Hồ Chí Minh, ngày CÁN BỘ HƯỚNG DẪN tháng 01 năm 2019 CHỦ NHIỆM BỘ MÔN ĐÀO TẠO TRƯỞNG KHOA Lời cảm ơn Luận văn thực Trường Đại học Bách Khoa - Đại học Quốc gia TP HCM Để hoàn thành luận văn nhận nhiều động viên, giúp đỡ quý thầy cô gia đình Đầu tiên, tơi xin chân thành bày tỏ lịng biết ơn sâu sắc đến Thầy PGS TS Nguyễn Đình Huy, người tận tình hướng dẫn, khuyến khích tạo điều kiện thuận lợi tối đa để tơi hồn thành luận văn Tôi xin gửi lời cảm ơn tới quý thầy cô hội đồng chấm luận văn dành thời gian công sức để đọc, chỉnh sửa đóng góp ý kiến giúp tơi hồn thành tốt luận văn Tơi xin bày tỏ lịng biết ơn chân thành tới tập thể quý thầy cô giáo mơn Tốn Ứng Dụng khoa Khoa học Ứng Dụng, Phòng đào tạo Sau đại học Trường Đại học Bách Khoa - Đại học Quốc gia TP HCM tận tình truyền đạt kiến thức tạo điều kiện tốt tơi suốt khóa học Do kiến thức thân hạn chế cần phải học tập thêm, kính mong nhận đóng góp ý kiến quý báu quý thầy cô đọc chấm luận văn Cuối xin gửi lời cám ơn chân thành đến gia đình, bạn bè, người ln bên tơi, động viên khuyến khích tơi q trình thực đề tài nghiên cứu Tơi xin chân thành cảm ơn! Thành phố Hồ Chí Minh, ngày tháng 01 năm 2019 Học viên thực Trần Thị Vân Anh Tóm tắt luận văn Luận văn bao gồm chương: • Chương 1: Trình bày khái niệm • Chương 2: Trình bày phương pháp Monte Carlo số ứng dụng • Chương 3: Trình bày phương pháp Monte Carlo nhiều chiều cho phương trình vi phân dạng elliptic Abstract The thesis contains three chapters Chapter 1: presents the basic concept Chapter 2: presents a modes Monte Carlo and applications Chapter 3: presents a multi-modes Monte Carlo method for elliptic diffierential equations and applications Lời cam đoan Tôi tên Trần Thị Vân Anh, MSHV: 1670238, học viên cao học chuyên ngành Toán ứng dụng Trường Đại học Bách Khoa TP.HCM khóa 2016 – 2018 Tơi xin cam đoan rằng, ngoại trừ kết tham khảo từ cơng trình khác ghi rõ luận văn, cơng việc trình bày luận văn tơi thực chưa có phần nội dung luận văn nộp để lấy cấp trường trường khác Thành phố Hồ Chí Minh, ngày tháng 01 năm 2019 Học viên thực Trần Thị Vân Anh Mục lục Lời cảm ơn Tóm tắt luận văn Abstract Lời cam đoan Mở đầu 13 Bảng ký hiệu 15 Chương Kiến thức chuẩn bị 16 1.1 Các không gian hàm 16 1.1.1 Không gian Banach 16 1.1.2 Không gian Hilbert 16 1.1.3 Không gian L∞ (Ω) 17 1.1.4 Không gian Sobolev Wm,p (Ω) 18 1.1.5 Không gian Hilbert H01 không gian đối ngẫu H −1 22 1.2 Đại lượng ngẫu nhiên 24 1.2.1 Kỳ vọng, phương sai đại lượng ngẫu nhiên 25 1.2.2 Bất đẳng thức Tchebyshev 26 1.2.3 Luật số lớn 27 1.3 Sai phân 27 1.3.1 Định nghĩa 27 1.3.2 Các tính chất sai phân 28 Chương Phương pháp Monte Carlo số ứng dụng 30 2.1 Phương pháp Monte Carlo 30 2.2 Số ngẫu nhiên số tựa ngẫu nhiên 32 2.2.1 Khái niệm số ngẫu nhiên 32 2.2.2 Số tựa ngẫu nhiên 33 2.2.3 Mối liên hệ số ngẫu nhiên số tựa ngẫu nhiên 34 2.2.4 Các phương pháp tạo số tựa ngẫu nhiên 35 2.3 Biểu diễn đại lượng ngẫu nhiên 36 2.3.1 Phương pháp nghịch đảo hàm phân bố 36 2.3.2 Phương pháp biến đổi đại lượng ngẫu nhiên 39 2.4 Một số ứng dụng phương pháp Monte Carlo 41 2.4.1 Tính tích phân theo phương pháp Monte Carlo 42 2.4.2 Tính tích phân bội theo phương pháp Monte Carlo 45 Chương Phương pháp Monte Carlo nhiều chiều cho phương trình vi phân dạng elliptic ứng dụng 47 3.1 Phương trình elliptic 47 3.1.1 Phương trình elliptic 47 3.1.2 Khái niệm nghiệm theo nghĩa rộng 48 3.1.3 Sự tồn nghiệm 49 3.1.4 Nghiệm số phương pháp sai phân hữu hạn 49 3.2 Biểu diễn nghiệm không gian hữu hạn chiều 58 3.3 Phương pháp Monte Carlo nhiều chiều 61 3.3.1 Thuật toán số độ phức tạp thuật toán 61 3.3.2 Phân tích tính hội tụ 64 3.4 Ứng dụng cho toán phương trình vi phân dạng elliptic với biên tùy ý 67 3.4.1 Bài toán elliptic chiều 68 3.4.2 Bài toán elliptic hai chiều (phẳng) 70 Kết luận 75 Tài liệu tham khảo 77 Lý lịch trích ngang 78 10 Inputs: f, η, ε, h, M, N h Set ψN (.) = (initializing) For j = 1, 2, , M Set UNh (ωj , ·) = (initializing) For n = 0, 1, , N − Solve for uhn (ωj , ·) ∈ Vnh such that a0 ∇uh0 (ωj , ·) , ∇v h a0 ∇uh0 (ωj , ·) , ∇v h D D = f (ωj , ·) , v h D ∀vh ∈ Vrh = − η (ωj , ·) ∇uhn−1 (ωj , ·) , ∇v h ∀vh ∈ Vrh if D n≥1 Set UNh (ωj , ·) ← UNh (ωj , ·) + εn uhn (ωj , ·) End For h h (.) + (.) ← ψN Set ψN h M UN (ωj , ·) End For h (.) Output ψN 3.3.2 Phân tích tính hội tụ Trong phần này, ước tính sai số cho thuật toán đề xuất Giả sử N −1 UNε (ω, x) := εn un (ω, x) (3.65) εn uhn (ωj , ) (3.66) n=0 h ψN = M M N −1 j=1 n=0 h Khi đó, E (uε ) − ψN phân tích thành: h E (uε ) − ψN = (E (uε ) − E (UNε )) + E (UNε ) − E UNh Trong N −1 UNh εn uhn (ω, x) (ω, x) := n=0 Ta thấy phương trình (3.67): 64 h + E UNh − ψN (3.67) • Vế thứ (E (uε ) − E (UNε )) số sai số đo xảy khai triển đa chiều • Vế thứ hai E (UNε ) − E UNh sai số rời rạc hóa khơng gian h • Vế thứ ba E UNh − ψN đại diện cho sai số thống kê áp dụng phương pháp Monte Carlo Theo định lí (3.3), sai số biểu diễn chiều hữu hạn xác định bởi: uε − UNε E Đặt φhn = M M j=1 H 1+σ (D) ≤ C0N +1 ε2N E H −1+σ (D) f (3.68) uhn (ωj , ) Khi đó, ta có: N −1 E UNh − h ψN εn E uhn − Φhn = n=0 Với ước lượng sai số cho phương pháp Monte Carlo, sai số thống kê bị chặn bởi: E h E UNh − ψN H (D) N −1 ≤ ε2n E n=0 N −1 ≤ M ε2n E h E UNh − ψN H (D) 2C0 M ≤ uhn n=0 Theo định lí (3.4), chọn ε ≤ 1, √ C0 E E uhn − Φhn N −1 n=0 H (D) ta có: ε2n C0n E 2C0 ≤ (1 − C0 ε2 ) M H (D) N −1 n=0 ε2n E f H −1+σ (D) f H −1+σ (D) (3.69) Để ước tính sai số rời rạc hóa khơng gian chiều E (UNε ) − E UNh , gọi hàm bổ trợ u ˜hn ∈ Vrh nghiệm cho toán rời rạc sau: a0 ∇˜ uhn (ωj , ) , ∇v h D = − η (ωj , ) ∇un−1 (ωj , ) , ∇v h D (3.70) với vh ∈ Vrh n ≥ Tuy nhiên, để đơn giản cho việc tính tốn, ta khảo sát phương trình trường hợp r = Khi đó, v h đa thức tuyến tính với K ∈ Th Trong trường hợp r > 1, suy tương tự 65 Tiếp theo, ta sử dụng kỹ thuật đánh giá sai số tiêu chuẩn phương pháp phần tử hữu hạn ước lượng cho : E un − u˜hn ≤ Chσ E un H 1+σ (D) √ n+1 σ ≤ C C0 h E f H (D) Bây giờ, tiến hành đánh giá sai số E (3.71) H −1+σ (D) u˜hn − uhn H (D) Với n ≥ 1, ∀v h ∈ Vrh ∀uhn ∈ Vrh xác định : a0 ∇uhn (ωj , ·) , ∇v h D = η (ωj , ·) ∇uhn−1 (ωj , ·) , ∇v h (3.72) D So sánh trực tiếp (3.70) (3.72) suy ra: a0 ∇˜ uhn − ∇uhn , ∇v h D = − η ∇un−1 − ∇uhn−1 , ∇v h ∀v h ∈ Vrh D Đặt vh = u ˜hn − uhn sử dụng bất đẳng thức Cauchy – Schwarz Khi : α u˜hn − uhn L2 (D) uhn − ∇uhn D ≤ a0 ∇˜ uhn − ∇uhn , ∇˜ uhn − ∇uhn D = η ∇un−1 − ∇uhn−1 , ∇˜ ≤ b0 ∇un−1 − ∇uhn−1 L2 (D) ∇˜ uhn − ∇uhn L2 (D) Trong α = a0 (x) Từ suy : ¯ x∈D E L2 (D) u˜hn − uhn ≤ b0 E α ∇un−1 − ∇uhn−1 L2 (D) (3.73) Ứng dụng bất đẳng thức Poincare – Friedrichs ta có ước lượng : E u˜hn − uhn H (D) ≤ βE ∇un−1 − ∇uhn−1 L2 (D) (3.74) TRong β số phụ thuộc vào α, b0 miền D Từ (3.71) (3.74), thấy rằng: √ n+1 σ C0 h E ˜hn H (D) ≤ E un − u f H −1+σ (D) + C + β E ∇un−1 − ∇uhn−1 L2 (D) √ n+1 σ ≤ C C0 h E f H −1+σ (D) + β1 E un−1 − uhn−1 H (D) Áp dụng bất đẳng thức cách đệ quy, ta có : n−1 √ h σ E un − u ˜n H (D) ≤ Ch E f H −1+σ (D) β j C0 + βE un−1 − 66 j=0 h un−1 H (D) n+1−j (3.75) Lưu ý u0 uh0 nghiệm tương ứng giải (3.53) (3.61) Mặt khác : E u0 − uh0 ≤ Chσ E H (D) u0 H 1+σ (D) C0 hσ E ≤C f H −1+σ (D) (3.76) Bằng cách (3.76) vào (3.75), đạt : E un − uhn H (D) ≤ Chσ E u0 H 1+σ (D) C hσ E ≤C f H −1+σ (D) (3.77) Tương ứng với : UNε − UNh E H (D) ≤ Chσ E N −1 n f H −1+σ (D) ≤ C1 (ε, N ) hσ E f n=0 j=0 εn β1j √ C0 n+1−j H −1+σ (D) (3.78) Trong : √ C C0 C1 (ε, N ) := √ C0 − β1 √ N − ε C0 − (εβ1 )N √ C0 − β1 − εβ1 − ε C0 Kết hợp (3.68),(3.69) (3.78), ta có ước tính sai số cho tồn thuật tốn Định lý 3.5 Với hàm số gốc cho f ∈ L2 Ω · H −1+σ (D) với σ ∈ (0, 1], h nghiệm số có từ thuật tốn với r = Khi cho ψN E h E (uε ) − ψN H (D) ≤ C ε N + hσ + M − E f H −1+σ (D) Đối với số C số dương không phụ thuộc vào ε , h, M N 3.4 Ứng dụng cho toán phương trình vi phân dạng elliptic với biên tùy ý Trong phần giới thiệu số kết nghiên cứu đạt nhà khoa học thông qua báo khoa học công bố.[6] 67 3.4.1 Bài toán elliptic chiều Xét toán giá trị biên sau: duε (ω, x) d (1 + εY (ω)) dx dx uε (ω, 0) = 0, = Y (ω) , 0