Bất đẳng thức tích phân dạng Gronwall và ứng dựng

NGUYỄN MINH KHẢI BẤT ĐẲNG THỨC TÍCH PHÂN DẠNG GRONWALL VÀ ỨNG DỤNG Chuyên ngành : Giải Tích Mã số : 60 46 01 LUẬN VĂN THẠC SỸ TOÁN HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN: TS.. Các bất đẳng thức thuộc lo

NGUYỄN MINH KHẢI

BẤT ĐẲNG THỨC TÍCH PHÂN DẠNG GRONWALL

VÀ ỨNG DỤNG

LUẬN VĂN THẠC SỸ TOÁN HỌC

TP HỒ CHÍ MINH - 2006

NGUYỄN MINH KHẢI

BẤT ĐẲNG THỨC TÍCH PHÂN DẠNG GRONWALL

VÀ ỨNG DỤNG

Chuyên ngành : Giải Tích

Mã số : 60 46 01

LUẬN VĂN THẠC SỸ TOÁN HỌC

NGƯỜI HƯỚNG DẪN: TS TRẦN MINH THUYẾT

TP Hồ Chí Minh - 2006

Lời đầu tiên, xin trân trọng cảm ơn TS Trần Minh Thuyết, người đã tận tâm hướng dẫn, chỉ bảo cho tôi trong suốt quá trình hoàn thành luận văn

Xin trân trọng cảm ơn Quý Thầy, Cô thuộc khoa Toán –Tin trường Đại học

Sư Phạm Thành Phố Hồ Chí Minh, Đại học Khoa Học Tự Nhiên và phòng sau Đại học đã truyền đạt kiến thức và kinh nghiệm quý báu cho tôi trong suốt quá trình học tập

Xin trân trọng cảm ơn TS Nguyễn Thành Long, Th.S Võ Giang Giai, Cử nhân Phạm Thanh Sơn đã đọc luận văn và đóng góp nhiều ý kiến bổ ích

Xin chân thành cảm ơn các bạn lớp Cao học Giải tích khoá 13, đã động viên và nhiệt tình giúp đỡ tôi trong suốt thời gian qua

Vì kiến thức của học viên còn nhiều hạn chế nên trong luận văn có thể có những thiếu sót Kính mong quý Thầy, Cô và các bạn đồng nghiệp giúp đỡ

Nguyễn Minh Khải

Chương MỞ ĐẦU

Vào năm 1919, Gronwall [6] đã phát biểu và chứng minh kết quả sau:

Nếu u:[ ,α α + →h] R liên tục, thỏa

trong đó, các hằng số thực a b h, , ≥0và α > 0 là cho trước

Đây là kết quả đầu tiên để nghiên cứu nhiều bất đẳng thức tích phân dạng Volterra Dạng bất đẳng thức nầy là công cụ cần thiết trong việc đánh giá tường minh cho các ẩn hàm Từ khi bất đẳng thức nầy xuất hiện, nó đã được quan tâm nghiên cứu ở nhiều khía cạnh khác nhau Trong số nhiều kết quả thuộc chủ đề nầy, bất đẳng thức Bellman [2] quen thuộc sau:

Giả sử x t( ) và k t( ) là các hàm liên tục không âm với t≥α

Nếu a là một hằng số, a≥ 0,và

Dễ thấy rằng kết quả của Bellman tổng quát hơn kết quả của Gronwall Vì lí

do nầy mà tại sao các bất đẳng thức thuộc loại nầy được gọi là “bất đẳng thức Gronwall - Bellman” hay “bất đẳng thức Gronwall” Các bất đẳng thức thuộc loại Gronwall cung cấp một công cụ cần thiết để nghiên cứu lý thuyết phương trình

vi phân, phương trình và bất phương trình tích phân các loại (xem Gronwall [6]) Một số ứng dụng của kết quả nầy để nghiên cứu tính ổn định nghiệm của các

phương trình vi phân tuyến tính và phi tuyến có thể tìm thấy trong Bellman [2] Một số ứng dụng vào lý thuyết tồn tại và duy nhất của phương trình vi phân có thể tìm thấy trong Bihari [3] Trong thời gian qua nhiều tác giả đã thiết lập nhiều bất đẳng thức tích phân thuộc loại Gronwall theo hai hay nhiều biến độc lập (xem [4.5]) Dĩ nhiên, các kết quả như vậy còn có thể áp dụng vào việc nghiên cứu lý thuyết các phương trình vi phân đạo hàm riêng và phương trình tích phân Volterra

Hầu hết các vấn đề trình bày trong luận văn nầy là các kiến thức đã được biết hay đã được nghiên cứu nên nội dung luận văn không có gì mới Tuy nhiên các kiến thức và kết quả trình bày trong luận văn được hệ thống lại một cách cơ bản Hơn nữa các chứng minh trong luận văn được trình bày chi tiết hơn và có những giải thích rõ ràng mà trong các tài liệu khác không chứng minh hoặc bỏ qua

Luận văn nầy ngoài phần mở đầu, kết luận, tài liệu tham khảo, luận văn được chia thành 4 chương

Chương 1 các kiến thức chuẩn bị

Chương 2 chúng tôi thiết lập một số bất đẳng thức tích phân thuộc loại Gronwall cho hàm theo hai biến độc lập, mà những tích phân nầy đều tồn tại trên miền xác định của chúng

Trong chương 3 chúng tôi giới thiệu một số dạng bất đẳng thức tích phân thuộc loại Gronwall liên quan đến tích phân lặp mà hàm u trong bất đẳng thức Gronwall được thay thế bởi hàm p

u , và hằng số a được thay thế bởi hàm a

không âm, không giảm Tùy theo giá trị p thay đổi mà chúng tôi thu được các kết quả đánh giá địa phương hay toàn cục, bằng các phương pháp xử lý khác nhau

Trong chương 4 chúng tôi giới thiệu một số bất đẳng thức tích phân khác đối với hàm cho hàm theo hai biến độc lập Sau cùng, chúng tôi xét một số ví dụ áp dụng các bất đẳng thức tích phân ở trên để đánh giá tính bị chận và chứng minh sự duy nhất nghiệm của một bài toán biên

Chương 1 CÁC KIẾN THỨC CHUẨN BỊ

Trong chương nầy chúng tôi trình bày và chứng minh một số bổ đề sẽ được áp dụng trong các chương sau

Bổ đề 1.1 (Gronwall)

Nếu u:[ ,α α + →h] R liên tục, thỏa

Bổ đề 1.2 ( Bellman)

Nếu u k, :[ ,α +∞ →) [0,+∞) liên tục, thỏa

Bổ đề 1.4

Cho u x y( , ), ( , ), ( , )a x y b x y là những hàm liên tục không âm với mọix y, ∈R+ (i) Giả sử a x y( , ) là hàm không giảm theox, không tăng theo y, với mọix y, ∈R+ Nếu

Đặt

0

1 ( , ) 1 ( , ) ( , )

( , ) ε

( , ) ε

a x y

1 ( , ) ( , ) ( , )

( , ) ε

a x y

1 ( , ) ( , ) ( , )

Vậy (ii) được chứng minh

Bổ đề 1.4 được chứng minh

Chương 2 BẤT ĐẲNG THỨC TÍCH PHÂN CHO HÀM HAI BIẾN

Trong phần nầy chúng tôi thuyết lập một số bất đẳng thức tích phân thuộc

loại Gronwall cho hàm hai biến độc lập, mà những tích phân nầy đều tồn tại trên

miền xác định của chúng

Áp dụng bổ đề 1.3, chọn v0 =v( )α =0, ta được

Phần (ii) được chứng minh

Bổ đề 2.1 được chứng minh

Định lý 2.1

Cho u x y( , ) , ( , ), ( , ), ( , ) , ( , ),a x y b x y c x y d x y f x y( , ) là hàm thực liên tục không âm trên x≥0, y≥0 Cho H x( ) là hàm thực dương, liên tục, không giảm trên x≥0, W x( ) là hàm thực dương, liên tục, tăng và thỏa điều kiện

Giả sử a x y( , ), f x y( , )là hàm không giảm theo biến x, trên x≥0,cho trước

∞+∫∫x

Hàm G xác định bởi (2.5) là hàm liên tục và tăng ngặt trên [0,+∞ , do đó )

tồn tại hàm ngược 1

G− xác định trên một khoảng tương ứng

Chứng minh

0( , ) ( , ) ( , ) ( , ) ( , )

Ta có z x y là hàm liên tục không âm theo biến ( , ) x≥0 Cố định y≥0 trong

(2.7) áp dụng (i) của bổ đề 2.1 vào (2.7), ta được

∞+∫∫x

y

0 0( , ) ( , ) ( , )

d s t W p s t a s t dt ds

∞ ∞

( ) ( ( ) )

0( , ) ( , ) ( , ) ( , )

Ta có z x y là hàm liên tục không âm theo biến ( , ) x≥0 Cố định y∈R +

trong (2.21) áp dụng (ii) của bổ đề 2.1 vào (2.21), ta được

Chú ý rằng W là hàm tăng, từ (2.23) ta được

x y

( )

0 0( , ) ( , ) ( , )

trong đó M x y v( , , ) là hàm thực liên tục không âm trên x y v, , ≥0.

Hàm φ: R+ →R+ liên tục và tăng ngặt, φ( )0 =0, hàm ngược φ− 1 của φ thỏa

trong đó ( , )e x y là hàm liên tục không âm, không giảm theo x∈R và không +

tăng theo y∈R , như trong (2.33) +

Áp dụng (i) của bổ đề 1.4 vào (2.38), ta được

0( , ) ( , ) exp⎛ ∞ , , ( , ) ( , ) φ− ( , ) ( , ) ⎞

Định lý 2.3 được chứng minh.

trong đó M x y v( , , ) là hàm thực liên tục, không âm xác định trên x y v, , ≥0

Hàm φ: R+→R+ liên tục, tăng ngặt với φ(0)=0, φ− 1 là hàm ngược của φthỏa điều kiện 1 1 1

( ) ( ) ( )

φ− u v ≤φ− u φ− v , với mọi u v, ∈R+ Giả sử a x y( , ), f x y( , ) là không tăng theo x∈R+, cho β ≥0 cố định, nếu hàm u x y( , ) thỏa

Ta có z x y( ), là hàm liên tục không âm theo x∈R+ Cố định y∈R+ trong

(2.45) và sử dụng (i) của bổ đề 2.1 vào (2.45), ta được

x y

Do đó

Chương 3 MỘT SỐ DẠNG BẤT ĐẲNG THỨC GRONWALL

Trong phần nầy chúng tôi xét các bất đẳng thức tích phân phi tuyến với số

hạng phi tuyến u pthay cho utrong dấu tích phân Ta xét riêng trong từng trường

hợp p> 1 và p> 0,p≠ 1. Sau đây là trường hợp đầu

1 Trường hợp p> 1

Định lý 3.1

Cho u t( ), ( ), ( ), ( , ), ( , , )b t a t k t s h t sτ là những hàm liên tục không âm với mọi

α τ≤ ≤ ≤ ≤ ≤σ β Giả sử a t( ) là hàm không giảm trên [ , ]α β , cho p>1 cố

định, nếu hàm u t( ) thỏa

v( )α =0, v t( )là hàm không giảm trên [ , ]α β và

Chứng minh

1 ( ) ( ) exp ( ) ( ) α

1 1

1 1 1

Cho u t( ), ( ), ( )a t b t là những hàm liên tục không âm, trên J=[ , ]α β và p>1

là hằng số Giả sử ( )

1 1

( )

( )

p t

( ) ( , ) ( ) ( , , , ) ( ) ,

n

t t

( ) α

Định lý 3.3 được chứng minh.

Tiếp theo ta xét trường hợp thứ hai

Cho u t( ),b t( )là hàm liên tục không âm trên J = [ , ],α β k t t i( , , , )1 t i là hàm

liên tục không âm trên J i+1, các đạo hàm riêng i( , , , )1

k k

Định lý 3.6 được chứng minh.

Hệ quả 3.7

Cho u t( ) là hàm liên tục không trên [ , ],α β k t s( , ), ( , , )h t sσ là hàm liên tục

không âm với mọiα σ≤ ≤ ≤ ≤s t β Giả sử k( , ),t s h( , , )t s

Chương 4 MỘT SỐ BẤT ĐẲNG THỨC TÍCH PHÂN VÀ ỨNG DỤNG

Chú thích : Bổ đề 4.1 ở trường hợp (i) vẫn còn đúng với

ƒ g là hàm dương, không tăng, k hàm không dương,

ƒ g là hàm âm, không giảm, k hàm không âm,

ƒ g là hàm âm, không tăng, k hàm không dương,

và trong trường hợp (ii) vẫn đúng với

ƒ g là hàm dương, không tăng, k hàm không âm,

ƒ g là hàm âm, không giảm, k hàm không dương,

ƒ g là hàm âm, không tăng, k hàm không âm

∫t v s ds ∫t k s ds

g v s

( )

( ( )) ( ) ( )

αα

Vậy (4.2) được chứng minh

ii Với giả thiết g là hàm âm, không giảm, k hàm không âm

Hàm g: [0, ) ∞ → [0, ) ∞ được gọi là thuộc lớp S, nếu

i g u( ) là hàm dương liên tục không giảm với mọi u≥ 0,

Cố định y∈R+ trong (4.19) và sử dụng (i) của bổ đề 3.1 vào (4.19), ta được

1 ( , ) 1 ( , ) ( ( , ))

trong đó e x y( , ) là hàm không âm, liên tục, không tăng trên x y, ≥0, như trong

(4.27) Áp dụng (ii) của bổ đề 1.4 vào (4.34), ta được

vàK x y v( , , ) là hàm liên tục không âm trên x y v, , ≥0, hàm g∈S và z x y( , ) là hàm

không giảm theo x z x y, ( , )≥1 trên x y, ≥0, nếu u x y( , ) thỏa

Định lý 4.4

Cho u x y( , ), ( , ), ( , ), ( , )a x y b x y c x y là các hàm liên tục không âm trên x y, ≥0

và hàm F R: +3→R+ liên tục thỏa điều kiện

0≤F x y u( , , )−F x y v( , , )≤ K x y v u( , , )( −v), ∀x y, ≥0,u≥ ≥v 0, (4.49)vàK x y v( , , )là hàm liên tục không âm trên x y v, , ≥0, hàm g∈S, hàm z x y( , )không tăng trên x≥0, z x y( , )≥1 trên x y, ≥0, nếu u x y( , ) thỏa

(4.53) Áp dụng (ii) của bổ đề 1.4 vào (4.61), ta được

Định lý 4.4 được chứng minh.

Ứng dụng vào một bài toán biên

Xét bài toán

số cho trước

Chúng tôi không đề cập đến sự tồn tại nghiệm bài toán (4.63), (4.64) Ở đây

chúng tôi sẽ áp dụng trực tiếp kết quả về bất phương trình tích phân ở trên để

chứng minh tính bị chận và tính duy nhất nghiệm bài toán (4.63), (4.64)

Trước hết chúng tôi thành lập các giả thiết của các hàm h r, ,σ τ∞, như sau (A1) Giả sử tồn tại các hàm a b c d g, , , , liên tục (trong miền tương ứng) sao cho

( , , ) ( , , ) ( , ) ( , ) ,

Khi đó ta có kết quả sau

Định lý 4.5

Xét bài toán (4.63), (4.64)

(i) Nếu (A1) đúng thì nghiệm u x y( , ) của bài toán (4.63), (4.64) thỏa một đánh giá

với e x y p x y( , ), ( , ) được xác định như trong định lý 4.1

(ii) Nếu (A2) đúng thì bài toán (4.63), (4.64) có nghiệm duy nhất

với mọi x y, ∈R+ , với e x y p x y( , ), ( , ) được xác định như trong định lý 4.1

(ii) Nếu u x y( , ), ( , )v x y là hai nghiệm của bài toán (4.63), (4.64) Từ (4.67), (4.68),

u x y( , ) −v x y( , ) ≡ 0,

hay

( , )≡ ( , )

u x y v x y

Suy ra bài toán (4.63), (4.64) có nghiệm duy nhất

Định lý 4.5 được chứng minh.

PHẦN KẾT LUẬN

Qua luận văn nầy, tác giả thực sự bắt đầu làm quen với công việc đọc tài liệu khoa học một cách nghiêm túc và có hệ thống Tác giả cũng học tập được phương pháp học thuật do thầy hướng dẫn tổ chức Tác giả cũng học tập được một số dạng bất đẳng thức tích phân thuộc loại Gronwall mà các bất đẳng thức tích phân nầy có thể áp dụng như là công cụ đánh giá tính bị chận và chứng minh sự duy nhất nghiệm của phương trình vi phân đạo hàm riêng Tuy nhiên với sự hiểu biết hạn chế của bản thân, tác giả rất mong học hỏi từ sự đóng góp và chỉ bảo của Quý Thầy Cô, các bạn trong và ngoài Hội Đồng

TÀI LIỆU THAM KHẢO

1 D Bainov and P Simeonov, Integral Inequalities and Applications, Kluwer Academic Pudlishers, Dordrecht, 1992

2 R.Bellman, The stability of solutions of linear differential equations , Duke Math J 10 (1943), 643 – 647

3 I Bihari, A generalization of a lemma of Bellman and its application to uniqueness problems of differential equation, Acta Math Acad Sci Hungar 7 (1956), 71 – 94

4 S.S Dragomir and Y H Kim, On certain new integral inequalities and their application, J Inequel Pure and Appl Math 3 (4), Issue 4, Article 65, (2002), 1 –8

5 S.S Dragomir and Y H Kim, Some integral inequalities for function of two variables, Electron.J Differ Equat 2003, No 10, 1 – 13

6 T H Gronwall, Note on the derivatives with respect to a paramater of solutions of a system of differential equation, Ann Math 20 (1919), 292 – 296

MỤC LỤC

Trang

Chương MỞ ĐẦU 1

Chương 1 CÁC KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 4

Bổ đề 1.1 (Gronwall) 4

Bổ đề 1.2 ( Bellman) 5

Bổ đề 1.3 6

Bổ đề 1.4 7

Chương 2 BẤT ĐẲNG THỨC TÍCH PHÂN CHO HÀM HAI BIẾN 11

Bổ đề 2.1 11

Định lý 2.1 12

Định lý 2.2 16

Định lý 2.3 19

Định lý 2.4 22

Chương 3 MỘT SỐ DẠNG BẤT ĐẲNG THỨC GRONWALL 25

1 Trường hợp p> 1 25

Định lý 3.1 25

Định lý 3.2 28

Định lý 3.3 31

2 Trường hợp p > 0(p≠ 1 ) 35

Bổ đề 3.1 35

Định lý 3.4 35

Định lý 3.5 36

Định lý 3.6 38

Hệ quả 3.7 40

Chương 4 MỘT SỐ BẤT ĐẲNG THỨC TÍCH PHÂN VÀ ỨNG DỤNG 41

Bổ đề 4.1 41

Định nghĩa 4.1 44

Định lý 4.1 44

Định lý 4.2 47

Định lý 4.3 49

Định lý 4.4 52

Ứng dụng vào một bài toán biên 54

Định lý 4.5 55

PHẦN KẾT LUẬN 57

TÀI LIỆU THAM KHẢO 58