Hệ phương trình bậc nhất 2 ẩn và ứng dụng

- Nếu d trùng với d’ thì hệ I có vô số nghiệm. Chú ý : Từ kết quả trên ta thấy, có thể đoán nhận số nghiệm của hệ phương trình bậc nhất hai ẩn I bằng cách xét vị trí tương đối của các đ

I.Nhắc lại hệ phương trình bậc nhất hai ẩn :

- Phương trình bậc nhất hai ẩn là phương trình có dạng: ax+by=c(1) (a,b,c

là các hằng số cho trước, a+b≠0)

- Phương trình (1) có vô số nghiệm trong mặt phẳng toạ độ Oxy.Tập nghiệm của nó được biểu diễn bởi một đường thẳng: ax+by=c

Hoạt

động 1 Cặp (1;-2) có phải là một nghiệm của phương trình 3x - 2y = 7 không? Phương trình đó còn những nghiệm khác nữa không?

 



Chú ý

1 Khi a = b = 0 ta có phương trình 0x + 0y = c nếu c ≠ 0 thì

phương trình này vô nghiệm, còn nếu c = 0 thì mọi cặp số (x0;y0) đều là nghiệm

2 Khi b ≠ 0, phương trình ax + by = 0 trở thành

     (2) Cặp số (x0;y0) là nghiệm của phương trình (1) khi và chỉ khi điểm

M(x0;y0) thuộc đường thẳng (2)

Tổng quát, người ta chứng minh được rằng phương trình bậc nhất hai ẩn luôn luôn có vô số nghiệm Biểu diễn hình học tập nghiệm của phương trình (1) là một đường thẳng trong mặt phẳng toạ độ Oxy

Hoạt

động 2 Hãy biểu diễn hình học tập nghiệm của phương trình 3x - 2y = 6.

II.Khái niệm hệ phương trình bậc nhất hai ẩn:

- Cho hai phương trình bậc nhất hai ẩn ax+by=c (a+b≠0) và a’x+b’y=c’ (a’+b’≠0).Khi đó, ta có hệ hai phương trình bậc nhất hai ẩn sau:

(I)

- Mỗi cặp số (x0;y0) đồng thời là nghiệm của hai phương trình trong hệ đượ gọi là một nghiệm của hệ

Nếu hai phương trình đã cho không có nghiệm chung thì ta nói hệ (I) vô nghiệm

- Giải hệ phương trình là tìm tất cả các nghiệm của nó

III.Minh hoạ hình học tập nghiệm của hệ phương trình bậc nhất hai ẩn:

- Trên mặt phẳng toạ độ, nếu gọi (d) là đường thẳng ax+by=c và (d’) là

đường thẳng a’x+b’y=c’ thì điểm chung (nếu có) của hai đường thẳng ấy có toạ độ là nghiệm chung của hai phương trình của (I)

 Vậy tập nghiệm của hệ phương trình (I) được biểu diễn bởi tập hợp các điểm chung của (d) và (d’)

Ví dụ: Xét hệ phương trình

Gọi (d): x+y=3

(d’): x-2y=0

Vẽ (d) và (d’) trong cùng một hệ toạ độ, ta thấy chúng cắt nhau tại một điểm duy nhất M Ta xác định được toạ độ điểm M(2;1).(Thử lại, ta thấy (2;1) là một nghiệm của hệ )

Hoạt

động 3 Hãy biểu diễn hình học tập nghiệm của hệ phương trình

Hoạt

động 4 Hãy biểu diễn hình học tập nghiệm của hệ phương trình .

Một cách tổng quát, ta có :

Đối với hệ phương trình (I),

- Nếu (d) cắt (d’) thì hệ (I) có một nghiệm duy nhất

- Nếu (d) song song (d’) thì hệ (I) vô nghiệm

- Nếu (d) trùng với (d’) thì hệ (I) có vô số nghiệm.

 Chú ý :

Từ kết quả trên ta thấy, có thể đoán nhận số nghiệm của hệ phương trình bậc nhất hai ẩn (I) bằng cách xét vị trí tương đối của các đường thẳng ax+by=c và a’x+b’y=c’

IV.Hệ phương trình tương đương :

Định nghĩa: Hai hệ phương trình được gọi là tương đương nếu chúng

có cùng tập nghiệm

Ta dùng “” để chỉ sự tương đương của hai hệ phương trình

Chẳng hạn ta viết



V.Giải hệ phương trình bậc nhất hai ẩn :

1.Giải hệ phương trình bằng phương pháp thế :

a.Quy tắc thế :

Quy tắc thế dùng để biến đổi một hệ phương trình thành hệ phương trình tương đương

Quy tắc thế gồm 2 bước:

Bước 1: Từ một phương trình của hệ đã cho (coi là phương trình thứ nhất ), ta biểu diển một ẩn theo ẩn kia rồi thế vào phương trình thứ hai

để được một phương trình mới (chỉ còn một ẩn )

Bước 2: Dùng phương trình mới ấy để thay thế cho phương trình thứ hai trong hệ (phương trình thứ nhất cũng thường được thay thế bởi hệ thức biểu diễn một ẩn theo ẩn kia có được ở bước 1)

Ví dụ :

Xét hệ phương trình :

(I)

Bước 1: Từ phương trình đầu, biểu diễn x theo y, ta có

x=3y+2(*).Thế vào phương trình thứ hai ta được

Bước 2: Dùng phương trình vừa có, thay thế cho phương trình thứ hai của hệ và dùng (*) thay thế cho phương trình thứ nhất,ta được hệ phương trình

 Sau khi áp dụng quy tắc thế, có thể giải hệ (I) như sau :

(I)  

Vậy hệ (I) có nghiệm duy nhất là (-13;-5)

Cách giải như trên gọi là giải hệ phương trình bằng phương pháp thế

b Áp dụng :

i.Giải hệ phương trình :

(II)

Giải :

(II)    

Vậy hệ có nghiệm duy nhất (x;y)=(2;1)

Hoạt

động 5 Giải hệ phương trình sau bằng phương pháp thế :



Chú ý :

Nếu trong quá trình giải hệ phương trình bằng phương pháp thế, ta thấy xuất hiện phương trình có các hệ số của cả hai ẩn đều bằng 0 thì hệ phương trình

đã cho có vô số nghiệm hoặc vô nghiệm

ii.Giải hệ phương trình :

(III)

Giải :

(III)  

Phương trình 0x=0 nghiệm đúng với mọi x  R

Vậy hệ (III) có vô số nghiệm

2.Giải hệ phương trình bằng phương pháp cộng đại số :

a.Quy tắc cộng đại số :

- Quy tắc cộng đại số dùng để biến đổi một hệ phương trình thành hệ

phương trình tương đương

- Quy tắc cộng đại số gồm hai bước :

Bước 1 : Cộng hay trừ từng vế hai phương trình của hệ phương trình đã cho

để được một phương trình mới

Bước 2 : Dùng phương trình mới ấy thay thế cho một trong hai phương trình của hệ

Ví dụ : Xét hệ phương trình :

(I)

Bước 1: Cộng từng vế của hai phương trình của (I) ta được :

(2x - y) + (x + y) = 3  3x=3

Bước 2: Dùng phương trình mới thay thế cho phương trình thứ nhất, ta được

hệ :



Vậy hệ phương trình có nghiệm duy nhất (x;y)=(1;1)

Cách giải như trên gọi là giải hệ phương trình bằng phương pháp cộng

đại số.

b.Áp dụng:

i Trường hợp 1 : Các hệ số của cùng một ẩn nào đó trong hai phương trình bằng nhau hoặc đối nhau

Ví dụ : Giải hệ phương trình :

(II)

Giải:

Cộng từng vế hai phương trình của hệ (II), ta được :

3x=9  x=3

Do đó,

(II)  

Vậy hệ phương trình có nghiệm duy nhất (x;y)=(3;-3)

ii.Trường hợp 2 : Các hệ số của cùng một ẩn trong hai phương trình không bằng nhau và không đối nhau

Ví dụ : Giải hệ phương trình :

(IV)

Giải:

Nhân hai vế của phương trình thứ nhất với 2 và hai vế của phương trình thư hai với 3, ta có hệ tương đương :

(IV)   

Vậy hệ có nghiệm duy nhất (x;y)=(3;-1)

3.Giải hệ phương trình bằng phương pháp định thức :

a.Xây dựng công thức:

- Xét hệ phương trình bậc nhất hai ẩn:

(I)

+ Nhân hai vế của phương trình thứ nhất với b’, hai vế của phương trình thứ hai với -b rồi cộng vế theo vế, ta được

(1)

+ Nhân hai vế của phương trình thứ nhất với -a’, hai vế của phương trình thứ hai với a rồi cộng vế theo vế, ta được

(2)

+ Đặt Khi đó, ta có hệ phương trình hệ quả

Đối với hệ (II), ta xét các trường hợp:

i) , hệ (II) có một nghiệm duy nhất

Đây cũng là nghiệm của hệ (I)

ii) , hệ (II) trở thành

-Nếu hoặc thì hệ (II) vô nghiệm nên hệ (I) vô nghiệm

-Nếu thì hệ (II) có vô số nghiệm

Theo giả thiết, hai số a và b không cùng bằng 0 nên không mất tính tổng

quát ta có thể giả sử a≠0.Ta có

Hệ (I) trở thành

Do đó, tập nghiệm của hệ (I) trùng với tập nghiệm của phương trình

b.Giải và biện luận:

Bước 1:Tính các định thức

Bước 2: Biện luận

-Nếu thì hệ có nghiệm duy nhất (x;y):

+ Nếu hoặc thì hệ (II) vô nghiệm nên hệ (I) vô nghiệm + Nếu thì hệ (II) có vô số nghiệm.Tập nghiệm của hệ là tập nghiệm của phương trình

c.Ví dụ :

i).Giải hệ phương trình

Giải:

Vậy hệ phương trình có nghiệm duy nhất

Hoạt

động 6 Bằng định thức, giải hệ phương trình

ii).Giải và biện luận hệ phương trình

Giải:

Xét các trường hợp :

Hệ có một nghiệm duy nhất

2

-Nếu m=1 thì và hệ trở thành  x+y=2 

- Nếu m=-1 thì , nhưng nên hệ vô nghiệm



Kết luận:

Với m=-1, hệ vô nghiệm

Với m=1, hệ có vô số nghiệm (x;y) tính theo công thức

VI.Ứng dụng của hệ phương trình bậc nhất hai ẩn:

1.Giải bài toán bằng cách lập hệ phương trình:

Ví dụ 1 : Tìm số tự nhiên có hai chữ số, biết rằng hai lần chữ số hàng đơn vị lớn hơn chữ số hàng chục 1 đơn vị, và nếu viết hai chữ số theo thứ tự ngược lại thì được một số mới (có hai chữ số) bé hơn số cũ 27 đơn vị

Hướng dẫn:

Trong bài toán trên, ta thấy có hai đại lượng chưa biết là chữ số hàng chục

và chữ số hàng đơn vị của số cần tìm.Theo giả thiết, khi viết hai chữ số ấy theo thứ tự ngược lại, ta vẫn được một số có hai chữ số.Điều đó chứng tỏ rằng cả hai chữ số ấy đều phải khác 0

Giải:

Gọi chữ số hàng chục của số cần tìm là x, chữ số hàng đơn vị là y(x và y là những số nguyên, , ) Khi đó, số cần tìm là 10x+y

Khi viết hai chữ số theo thứ tự ngược lại, ta được số 10y+x

Theo điều kiện đầu, ta có : 2y-x=1  -x+2y=1 (1)

Theo điều kiện sau, ta có :

 9x-9y=27  x-y=3 (2)

Từ (1) và (2) ta có hệ phương trình

(I)   (thoả điều kiện)

Vậy số cần tìm là 74

Ví dụ 2 : Một chiếc xe tải đi từ TP.Hồ Chí Minh đến TP.Cần Thơ, quãng đường dài 189 km Sau khi xe tải xuất phát 1 giờ, một chiếc xe khách bắt đầu đi từ TP.Cần Thơ về TP.Hồ Chí Minh và gặp xe tải sau khi đã đi được 1 giờ 48 phút Tính vận tốc của mỗi xe, biết rằng mỗi giờ xe khách đi nhanh hơn xe tải 13 km

Hướng dẫn :

Từ giả thiết của bài toán, ta thấy khi hai xe gặp nhau thì :

- Thời gian xe khách đã đi là 1giờ 48 phút, tức là giờ

- Thời gian xe tải đã đi là 1 giờ + giờ = giờ (vì xe tải khởi hành trước

xe khách 1 giờ)

Giải :

Gọi vận tốc xe tải là x (km/h) và vận tôc xe khách là y (km/h) (x, y nguyên dương)

Mỗi giờ xe khách đi nhanh hơn xe tải 13 km/h nên ta có phương trình y-x

=13  -x+y=13 (1)

Đến lúc gặp nhau:

- Xe khách đi hết 1 giờ 48 phút = giờ nên quãng đường xe khách đi được là

y (km)

- Xe tải đi hết 1 giờ + giờ = giờ nên quãng đường xe tải đi được là

x (km)

Vì cả quãng đường là 189 km nên ta có phương trình y+x=189 (2)

Từ (1) và (2) ta có hệ phương trình

   (thoả điều kiện)

Vậy vận tốc xe tải là 36 km/h và vận tốc xe khách là 49 km/h

2.Xét vị trí tương đối giữa hai đường thẳng:

- Cho hai đường thẳng (d) và (d’) lần lượt có phương trình: ax+by=c và a’x+b’y=c’

i.(d) cắt (d’) khi và chỉ khi hệ phương trình có một nghiệm duy nhất

ii.(d) song song với (d’) khi và chỉ khi hệ phương trình vô nghiệm

iii.(d) trùng (d’) khi và chỉ khi hệ phương trinh có vô số nghiệm

Ví dụ: Cho hai đường thẳng (d): x+my=3 và (d’): mx+4y=6.Với giá trị nào của m thì :

i Hai đường thẳng cắt nhau ?

ii Hai đường thẳng song song với nhau ?

iii Hai đường thẳng trùng nhau ?

Giải :

Xét hệ phương trình : (I)

i Hai đường thẳng (d) và (d’) cắt nhau khi và chỉ khi hệ (I) có một

nghiệm duy nhất D≠0   m=  2.

ii Hai đường thẳng (d) và (d’) song song khi và chỉ khi hệ (I) vô

nghiệm   m=-2

iii Hai đường thẳng (d) và (d’) trùng nhau khi và chỉ khi hệ (I) có vô số

nghiệm

I Mục tiêu bài học :

- Học sinh nắm vững các cách giải một hệ phương trình bậc nhất hai ẩn bằng phương pháp thế, phương pháp cộng đại số, phương pháp định thức -Học sinh biết cách giải một hệ phương trình bậc nhất hai ẩn bằng phương pháp thế, phương pháp cộng đại số và phương pháp định thức

-Học sinh biết ứng dụng cách giải hệ phương trình bậc nhất hai ẩn

II.Tiến trình thực hiện :

Nội dung Hoạt động giáo viên Hoạt động học sinh

I.Nhắc lại hệ phương

trình bậc nhất hai ẩn -giáo viên nêu định nghĩa phương trình bậc

nhất hai ẩn

-giáo viên gọi học sinh cho ví dụ về phương trình bậc hai

-giáo viên nêu cách biểu diễn tập nghiệm

phương trình bậc nhất hai ẩn

-giáo viên yêu cầu học sinh thực hiện hoạt động 1 &2

-học sinh liên hệ sang bài cũ

-học sinh cho ví dụ phương trình bậc nhất hai ẩn

-học sinh đọc và thực hiện hoạt động 1 & 2

II.Khái niệm hệ phương

trình bậc nhất hai ẩn -giáo viên nêu khái niệmhệ phương trình bậc -học sinh nắm vững kiến thức về khái niệm

nhất hai ẩn.

-giáo viên trình bày nghiệm của hệ phương trình bậc nhất hai ẩn

-giáo viên gọi học sinh cho ví dụ về hệ phương trình bậc nhất hai ẩn

và nghiệm của hệ phương trình bậc nhất hai ẩn

-học sinh cho ví dụ về

hệ phương trình bậc nhất hai ẩn

III.Minh họa hình học

của hệ phương trình

bậc nhất hai ẩn

-giáo viên trình bày cách biểu diễn tập nghiệm của hệ phương trình bậc nhất hai ẩn

-giáo viên đưa ra ví dụ

và yêu cầu học sinh tìm hiểu bài toán

-giáo viên yêu cầu học sinh thực hiện hoạt động 3 & 4

-giáo viên trình bày cách xét vị trí tương đối của đường thẳng để đoán nhận số nghiệm của hệ phương trình bậc nhất hai ẩn

-học sinh nắm vững cách biểu diễn tập nghiệm của hệ phương trình bậc nhất hai ẩn để tìm hiểu ví dụ của giáo viên

-học sinh đọc và thực hiện hoạt động 3 & 4

IV.Giải hệ phương trình

bậc nhất hai ẩn:

-giải hệ phương trình

bằng phương pháp thế

-giải hệ phương trình

bằng phương pháp

cộng đại số

-giải hệ phương trình

bằng phương pháp định

thức

-giáo viên yêu cầu học sinh nêu các phương pháp giải hệ phương trình bậc nhất hai ẩn đã được học ở THCS

-học sinh nghe và thực hiện yeu cầu của giáo viên:phương pháp thế

và phương pháp cộng đại số

-giải hệ phương trình bậc nhất hai ẩn bằng phương pháp thế

+giáo viên định nghĩa quy tắc thế?và nêu các bước của quy tắc thế

+giáo viên đưa qui tắc thế lên bảng

+giáo viên đưa ra ví

dụ minh họa và yêu cầu học sinh thực hiện bài toán

+giáo viên gọi học sinh nêu từng bước trong quy tắc thế và yêu cầu học sinh giải hệ

+giáo viên nêu bài tập

áp dụng và gọi học sinh thực hiện hoạt động 5

-học sinh nắm vững định nghĩa quy tắc thế, các bước của quy tắc thế để biết cách giải một

hệ phương trình bậc nhất hai ẩn bằng phương pháp thế

-từ lí thuyết đã được học, học sinh đọc và thực hiện bài toán mà giáo viên đưa ra

-học sinh áp dụng các bước thế đã được học

và giải hệ sau khi áp dụng các bước thế -học sinh đọc và thực hiện hoạt động 5

-giải hệ phương trình -học sinh nắm vững

bằng phương pháp

cộng đại số

+giáo viên định

nghĩa quy tắc cộng đại

số

+giáo viên giới thiệu

qui tắc cộng đại số gồm

2 bước thông qua ví

dụ :cộng từng vế hai

phương trình của hệ ta

có pt ?

-dùng pt mới này cùng

với một trong hai

phương trình của hệ ta

có hệ mới tương đương

là ?

 qui tắc cộng đsgồm

hai bước?

Hãy giải hệ phương

trình mới này và kết

luận nghiệm duy nhất

+giáo viên đưa ra ví

dụ minh họa và yêu cầu

học sinh thực hiện bài

toán

+giáo viên trình bày

các trường hợp xảy ra

khi giải hệ phương trình

bậc nhất hai ẩn bằng

phương pháp cộng đại

số

+giáo viên gọi học sinh

nêu từng bước trong

quy tắc cộng đại số và

yêu cầu học sinh giải

hệ

định nghĩa quy tắc cộng đại số và các bước của quy tắc cộng đại số thông qua ví dụ của giáo viên

-học sinh biết các trường hợp(các dạng của quy tắc cộng đại số)

-học sinh trả lời từng bước trong quy tắc cộng đại số và giải hệ

-giải hệ phương trình

bậc nhất hai ẩn bằng

phương pháp định thức

+giáo viên xây dựng

công thức tìm nghiệm

của hệ phương trình

+giáo viên trình bày

cách giải và biện luận

tập nghiệm của hệ

+giáo viên đưa ra ví

dụ minh họa giải hệ

-học sinh nắm vững công thức tìm nghiệm của hệ phương trình bậc nhất hai ẩn bằng phương pháp định thức -từ công thức tìm

nghiệm rút ra cách giải

và biện luận tập nghiệm của hệ

-từ lí thuyết đã được giáo viên trình bày, học

bằng phương pháp định thức và yêu cầu học sinh thực hiện bài toán

+giáo viên trình bày cách biện luận một hệ phương trình có chứa tham số

sinh tìm hiểu ví dụ của giáo viên và thực hiện bài toán

-học sinh biết cách biện luận một hệ phương trình bậc nhất hai ẩn có chứa tham số

V.Ứng dụng của hệ

phương trình bậc nhất

hai ẩn

1.giải bài toán bằng cách lập hệ phương trình bậc nhất hai ẩn

III.Hướng dẫn học ở nhà :

-Học sinh làm tất cả các bài tập trong sách giáo khoa và làm thêm ở sách bài tập

-Học sinh học tất cả các định nghĩa, các cách giải hệ phương trình bậc nhất hai ẩn