Chuyên đề biến đổi đại số ứng dụng

Chun đề 2 BIẾN ĐỔI CÁC BIỂU THỨC NGUYÊN VÀ PHÂN THỨC I. MỘT SỐ KIẾN THỨC CƠ BẢN CẦN NHỚ: 1.Các hằng đẳng thức cơ bản và mở rộng : 1. 22 2 () 2ab a abb+=+ + 2. 22 2 () 2ab a abb−=− + 3. 22 ()()ab abab−=+ − 4. 33 2 23 33 3 () 3 3 ()3()+=+ + +→+=+− +ab a ab ab b a b ab abab 5. 33 2 23 () 3 3ab a ab ab b−=− + − 6. 33 2 2 ()( )a b aba abb+=+ −+ 7. 33 2 2 ()( )ab abaabb−=− ++ 8) 2222 () 222a b c a b c ab ac bc++ = + + + + + ++ = + + + + + + + + + +++ + + + 3333 2 2 2 2 2 2 333 9) (a b c) a b c 3a b 3ab 3a c 3ac 3b c 3bc 6abc = a b c 3(a b)(b c)(c a) 333 222 2 2 2 1 3( )( = ( )10) ()() ( 2 ) ⎡ ⎤ ++− =++ ++−−− ++ − +− +− ⎣ ⎦ a b c abc a b c a b c ab ac bc a b c a b b c c a Hệ quả: Nếu abc0++= thì 333 abc3abc++= 11) 12 1 ( )( ) nn n n n ab aba ab b −− − −=− + ++ II. BÀI TẬP RÈN LUYỆN: Bài 1 : Cho 2 x2 2 24x 3xx 1 M3: 3x x1 x1 3x ⎛⎞ +−−+ ⎟ ⎜ =+− − ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎝⎠ ++ 1) Rút gọn M thành một phân thức 2) Với giá trị nào của x thì M0< 3) Tìm x ∈ ] để 1 M ∈ ] Bài giải: 1) Điều kiện của biến là: x0 x0 x10 x 1 24x 0 1 x 2 ⎧ ⎪ ⎪ ⎧ ⎪ ⎪ ≠≠ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪ +≠ ⇔ ≠− ⎨⎨ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ −≠ ⎪⎪ ⎪ ⎩ ≠ ⎪ ⎪ ⎪ ⎩ Khi đó: ()() () () () ()() () () 2 2 22 2 2 2 x2 2 24x 3xx 1 M3: 3x x1 x1 3x x 2 x 1 6x 9x x 1 2 4x 3x x 1 : 3xx1 x1 3x 28x 24x 3xx 1 : 3x x 1 x 1 3x 21 2x 1 2x x 1 3x x 1 . 3x x 1 2 1 2x 3x 12x 3xx 1 3x 3x x1 3 xx 3x ⎛⎞ +−−+ ⎟ ⎜ =+− − ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎝⎠ ++ +++− − − −+ =− ++ −−−+ =− ++ +− + −+ =− +− +−+ =− − = − = 2) Ta có: M0 x10 x1<⇔−<⇔< Kết hợp với điều kiện của biến ta có kết quả: x1 x0 x1 1 x 2 ⎧ < ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ≠ ⎪ ⎪ ⎪ ⎨ ≠− ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ≠ ⎪ ⎪ ⎩ 3) Ta có: 13 Mx1 = − Để 1 M ∈ ] khi x ∈ ] thì ta phải có: x1− là ước của 3 x11 x2 x0 x1 1 x4 x1 3 x2 x1 3 ⎡ −= ⎡ = ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ = −=− ⎢ ⎢ ⇔⇔ ⎢ ⎢ = −= ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ =− −=− ⎣ ⎣ Đối chiếu với điều kiện của x ta có đáp số là: x2;x2;x4=− = = Bài 3: Cho biểu thức 3x 9x 3 1 1 1 P2: xx2 x1x2 x1 ⎛⎞ +− ⎟ ⎜ ⎟ =++− ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ +− − + − ⎝⎠ Bài giải: Điều kiện của biến là : x0 x1 ≥ ⎧ ⎪ ⎪ ⎨ ≠ ⎪ ⎪ ⎩ Đặt: xa= với a0 a1 ≥ ⎧ ⎪ ⎪ ⎨ ≠ ⎪ ⎪ ⎩ . Khi đó: () ()( ) ()( ) () ()( ) () () 2 22 22 2 2 2 2 2 3a 3a 3 1 1 1 P2: aa2 a1a2 a1 3a 3a 3 a 2 a 1 2 a a 2 1 : a1a2 a 1 a3a2 1 : a1a2a 1 a2(a1) .a 1 a 1 a1a2 + =++ + + ++++ + = + ++ = + ++ ==+ + Vy: () 2 Px1=+ BI TP T GII: Bi 1: Cho biu thc: xx 1 x 1 x M:x x1 x1 x1 + = + Tỡm cỏc giỏ tr ca x M cú ngha, khi ú hóy rỳt gn M. ỏp s: x0 2x ;M x1 x > = Bi 2: Cho biu thc: x2 x3 x2 x M:2 x5x62 x x3 x1 +++ = + + Tỡm cỏc giỏ tr ca x M cú ngha, khi ú hóy rỳt gn M. ỏp s: x0 x1 x4;M x4 x9 + = Bi 3: Cho biu thc: ()() xx1x 2x 1 x 2x x x x M1 . 1x 1xx 2x1 + + = + + Tỡm cỏc giỏ tr ca x M cú ngha, khi ú hóy rỳt gn M. ỏp s: x0 1 x1;M xx1 1 x 4 = + Bi 4: Cho biu thc: 2x 9 2x 1 x 3 M x5x 6 x3 2 x ++ =++ + Tỡm cỏc giỏ tr ca x M cú ngha, khi ú hóy rỳt gn M. ỏp s: x0 x1 x4;M x3 x9 + = Bi 2: Cho 111 0 abc ++=. Tớnh giaự trũ cuỷa bieồu thửực : 222 ab bc ca S cab =++ Bi gii: S dng kt qu: Neỏu abc0++= thỡ 333 abc3abc++= Từ giả thiết 111 0 abc ++= ta suy ra được 333 111 111 3 3. . . abc abcabc ++= = Khi đó: 222 3 3 3 333 111 3 .3 ⎛⎞ =++= + + = ++ = = ⎜⎟ ⎝⎠ ab bc ca abc abc abc S abc abc abc cab c a b abc Bài 3: Cho 333 3a b c abc++= . Tính giá trò của biểu thức : 111 abc S bca ⎛⎞⎛⎞⎛⎞ =+++ ⎜⎟⎜⎟⎜⎟ ⎝⎠⎝⎠⎝⎠ Bài giải: Sử dụng kết quả 333 222 2 2 2 1 3( )( ) = ( )()()() 2 ⎡⎤ ++− =++ ++−−− ++ − +− +− ⎣⎦ a b c abc a b c a b c ab ac bc a b c a b b c c a Do 333 3a b c abc++= ta suy ra được 222 0 ( )()()()0 ++= ⎡ ⎡⎤ ++ − + − + − =⇒ ⎢ ⎣⎦ == ⎣ abc abc ab bc ca abc Nếu abbcca cba abc0 P . . . . 1 cab cba +++−−− ++=⇒ = = =− Nếu a b c P (1 1)(1 1)(1 1) 8==⇒=+++= BÀI TẬP TỰ LUYỆN Bài 1: Cho 0 x ≠ và 1 x a x += là một hằng số . Tính theo a các biểu thức : 3 3 1 Ax x =+ ; 6 6 1 Bx x =+ ; 7 7 1 Cx x =+ Bài giả i: Ta ln có hệ thức: n1 n n1 n1 n n1 111 1 xxxx xxxx +− +− ⎛⎞⎛⎞⎛ ⎞ ⎟⎟ ⎟ ⎜⎜⎜ +=+ +−+ ⎟⎟ ⎟ ⎜⎜⎜ ⎟⎟ ⎟ ⎜⎜⎜ ⎝⎠⎝⎠⎝ ⎠ với n1> Cho n2= ta sẽ có: 32 32 1111 xxxx xxxx ⎛ ⎞⎛⎞⎛⎞ ⎟⎟ ⎟ ⎜⎜ ⎜ += + +−+ ⎟⎟ ⎟ ⎜⎜ ⎜ ⎟⎟ ⎟ ⎜⎜ ⎜ ⎝ ⎠⎝⎠⎝⎠ Với 2 22 2 11 xx2a2 xx ⎛⎞ ⎟ ⎜ +=+ −=− ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎝⎠ Ta tính được: 3 Aa 3a=− () 2 2 33642 3 43 753 43 1 B x 2 a 3a 2 a 6a 9a 2 x 11 1 C x x x a 7a 14a 7a xx x ⎛⎞ ⎟ ⎜ =+ −=− −=−+− ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎝⎠ ⎛⎞⎛⎞⎛⎞ ⎟⎟ ⎟ ⎜⎜ ⎜ =+ +−+=−+ − ⎟⎟ ⎟ ⎜⎜ ⎜ ⎟⎟ ⎟ ⎜⎜ ⎜ ⎝⎠⎝⎠⎝⎠ Bài 2 : Cho 0 x > thỏa mãn 2 2 1 7x x += . Chứng minh rằng 5 5 1 x x + là một số ngun. Tìm số ngun đó Bài giả i: Ta có: 54 3 54 3 1111 xxxx xxxx ⎛⎞⎛⎞⎛⎞ ⎟⎟ ⎟ ⎜⎜ ⎜ += + +−+ ⎟⎟ ⎟ ⎜⎜ ⎜ ⎟⎟ ⎟ ⎜⎜ ⎜ ⎝⎠⎝⎠⎝⎠ Do: 2 2 2 11 1 xx2729x3 xx x ⎛⎞ ⎟ ⎜ +=++=+=⇒+= ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎝⎠ (do x > 0) Mặt khác: 32 32 1111 x x x x 7.3 3 18 xxxx ⎛ ⎞⎛⎞⎛⎞ ⎟⎟ ⎟ ⎜⎜ ⎜ += + +−+=−= ⎟⎟ ⎟ ⎜⎜ ⎜ ⎟⎟ ⎟ ⎜⎜ ⎜ ⎝ ⎠⎝⎠⎝⎠ Và 2 42 42 11 xx249247 xx ⎛⎞ ⎟ ⎜ += + −=−= ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎝⎠ Nên 54 3 54 3 1111 x x x x 47.3 18 123 xxxx ⎛⎞⎛⎞⎛⎞ ⎟⎟ ⎟ ⎜⎜ ⎜ += + +−+ = −= ⎟⎟ ⎟ ⎜⎜ ⎜ ⎟⎟ ⎟ ⎜⎜ ⎜ ⎝⎠⎝⎠⎝⎠ Bài 2: Cho ba số x,y,z thỏa mãn đồng thời : 2 2 2 210 210 210 xy yz zx ⎧ ++= ⎪ ⎪ ++= ⎨ ⎪ ++= ⎪ ⎩ Tính giá trò của biểu thức : 2009 2009 2009 Ax y z=++ Bài giải: Cộng từng vế các đẳng thức đã cho và biến đổi ta được; () () () 2 22 x10 x1 y1 z1 0 y10 x y x 1 z10 ⎧ ⎪ += ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ +++++=⇒+=⇒===− ⎨ ⎪ ⎪ ⎪ += ⎪ ⎪ ⎩ Vậy () () () 2009 2009 2009 A1 1 1 3=− +− +− =− Bài 3: Chứng minh rằng nếu a+b+c = 0 thì : 222 222 222 111 0 bca cab abc + += +− +− +− Bài giải: Từ giả thiết: () 2 22 22 222 abc0 ab c ab c a 2abb c abc 2ab ++=⇒+=−⇒ + = ⇒ + + = ⇒+−=− Tương tự: 222 222 bca 2bc cab 2ca +− =− +−=− Do đó: 111abc Q0 2ab 2bc 2ca 2abc ++ =++= = −−− − Bài 4: Cho 4 432 16 4 8 16 16 a M aaa a − = −+−+ . Tìm các giá trò nguyên của a để M có giá trò nguyên Bi gii: Rỳt gn biu thc M () () () ()() ()() () 4 432 4 32 2 2 16 4 8 16 16 16 2248 422 22 4 a M aaa a a aaaa aaa aaa = ++ = + ++ = + V i a2 thỡ a2 A a2 + = Tỡm a ] A ] Tip tc bin i A thnh a2 4 A1 a2 a2 + ==+ A ] khi a ] thỡ ta phi cú: a2 l c ca 4 a21 a3 a2 1 a1 a2 2 a4 a22 a2 a2 4 a6 a2 4 = = = = = = = = = = = i chiu vi iu kin ca a ta cú ỏp s l: a 1;a 3;a 4;a 6==== Baứi 5: Chửựng minh raống neỏu a,b,c khaực nhau thỡ : 222 ()()()()()() bc ca ab abac bcba cacb ab bc ca ++=++ Bi gii: Bin i v trỏi: ( ) ( ) ( )( ) () ( ) ()()()()()()()() ()() ()() 111111 ac ab ba bc cb ca bc ca ab abac bcba cacb abac bcba cacb ab ac bc ba ca cb ++= + + =++ 222 ab bc ca =++ Bi 6: Chng minh rng: 1) 111 x(x1) x x1 = ++ 2) ()() 1111 3x 1 3x 2 3 3x 1 3x 2 = + + 3) ()() () 1111 x1xx1 2x1x x(x1) = + + Áp dụng: Tính các tổng sau: 1) () 111 1 1.2 2.3 3.4 . 1 n S nn =++++ + 2) ()() n 11 1 S 2.5 5.8 3n 1 3n 2 =+++ −+ 3) 111 1 1.2.3 2.3.4 3.4.5 ( 1)( 2) n S nn n =++++ + + III. MỘT SỐ VÍ DỤ VỀ ỨNG DỤNG BIẾN ĐỔI ĐẠI SỐ TRONG GIẢI TOÁN: Bài 1: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức 2 A2x 6x1=−+ Bài giải: Biến đổi biểu thức A () 2 2 2 A2x 3x 1 99 2x 3x 1 42 37 7 2x 22 2 =−+ ⎛⎞ ⎟ ⎜ =−++− ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎝⎠ ⎛⎞ ⎟ ⎜ =−−≥− ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎝⎠ Dấu đẳng thức xảy ra khi 3 x 2 = . Vậy 7 min A 2 =− Bài 2: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức ()( )( )( ) A x 1x 2x 3x 6=− + + + Bài giải: Biến đổi biểu thức A ()( )( )( ) ()() () 22 2 2 Ax1x6x2x3 x5x6x5x6 x5x 36 36 =− + + + =+− ++ =+ −≥− Dấu đẳng thức xảy ra khi x0= hoặc x5=− . Vậy min A 36=− Bài 3 : Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức 22 A x xy y 3x 3y 2012=++−−+ Bài giải: Biến đổi biểu thức 4A () ()( ) 22 2222 2 4A 4x 4xy 4y 12x 12y 4.2012 x 2xy y 3 x y 4 2xy 4x 4y 4.2012 12 x y 3 x y 2 4.2009 A 2009 =++−−+ =+ ++ +++ −− + − =− + +−+ ⇒≥ Dấu đẳng thức xảy ra khi xy 0 x1 xy20 y1 −= ⎧ =⎧ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⇔ ⎨⎨ +−= ⎪⎪= ⎪⎪ ⎩ ⎩ . Vậy min A 2009= Bài 4: Chứng minh rằng với mọi số nguyên dương n n2 2n1 11 12 ++ + chia hết cho 133 Bài giải: () n n2 2 n n A 11 .11 12 .12 121.11 12.144=+ = + Nhận xét rằng: 144 11 133−= nên ta thêm và bớt n 12.11 vào biểu thức A ta được: () nnn nnn A 133.11 12.144 12.11 133.11 12 144 11 =+− =+− Do () nn 144 11 (144 11) 133−−=# nên ta suy ra A 133# (đpcm) BÀI TẬP TỰ LUYỆN Bài 1: Chứng minh phương trình sau vô nghiệm 4 xx20++= Bài 2: Tìm giá trò nhỏ nhất của biểu thức 1) 22 Ax 2 y 2x y 2x 10 y =+ − +− 2) 22 B(x1) (x3)=+ +− Bài 3: Chứng minh rằng với mọi số thực x,y,z ta luôn có 222 x y zx yy zxz0++−−−≥ Bài 4: Phân tích biểu thức sau thành nhân tử 333 (a b) (b c) (c a)−+−+− Bài 5: Chứng minh rằng với mọi số nguyên dương n 3 n11n + chia hết cho 6 Hết Chuyên đề 3: BIẾN ĐỔI CÁC BIỂU THỨC CÓ CHỨA CĂN THỨC I. MỘT SỐ PHÉP BIẾN ĐỔI CĂN THỨC CƠ BẢN: 1. Biến đổi căn thức bậc lẻ: • 21 21 k k A A + + = • 21 21 21 kk k A BAB ++ + = • 21 21 21 (B 0) k k k AA B B + + + =≠ • 21 21 21 k k k A BA B + + + = 2. Biến đổi căn thức bậc chẵn: • 2 2 k k A A= • 2 22 . . (A.B 0) k kk AB A B=≥ • 2 2 2 (A.B 0 , B 0) k k k A A B B =≥≠ • 2 2 2 . . (B 0) k k k AB A B=≥ • (A 0) m nmn AA=≥ Trong đó : k, m, n là những số nguyên dương Chú ý: 2k A có nghóa khi 0 A ≥ Biến đổi căn thức bậc hai: • 2 A A= • . . (A.B 0)AB A B=≥ • (A.B 0 , B 0) A A B B =≥≠ • 2 . . (B 0)AB A B=≥ Chú ý: A có nghóa khi 0 A ≥ Biến đổi căn thức bậc ba: • 3 3 A A= • 33 3 A BAB= • 3 3 3 (B 0) AA B B =≠ • 3 3 3 A BAB= • II. BÀI TẬP RÈN LUYỆN: Bài 1: Chứng minh đẳng thức : 23 5 13 48 1 62 +− + = + (1) Bài giải: () () 2 23 5 23 5 13 48 (1) 62 62 23 5 23 1 62 23 4 23 62 23 1 VT +− +− + == ++ +− + = + +− = + + () () 2 2 23 62 23 31 22 3 8 43 6 2 1 62 62 62 62 6 3 62 2 1+ = + +− + + + − + ==== == +++ ++ Bài 2: Chứng minh đẳng thức : 2 3 1 1 3 2 1 33 11 11 22 + − + = ++ −− (1) Bài giải: () () 22 33 3 3 11 1 1 22 2 2 (1) 33423423 11 11 1 1 224 4 33 11 22 13 31 11 44 33 11 22 13 11 2 VT +− + − =+= + +− ++ −− + − +− =+ +− +− +− =+ + + 2323 22 31 3 3 3 3 222 2 3 2 3 (2 3)(3 3) (2 3)(3 3) 3 3 3 3 1 66 3333 +− =+ −+ − − +− +−+−+ ++− =+= = = +− [...]... rằng x = 3 3 + 9 + 125 3 125 − −3 + 9 + là một số nguyên 27 27 Hướng dẫn: Giải tương tự bài 12 Bài 14: Chứng minh rằng số : x0 = 2 + 2 + 3 − 6 − 3 2 + 3 là một nghiệm của phương trình : x 4 − 16 x 2 + 32 = 0 Bài giải: Biến đổi phương trình: ( x 4 − 16 x 2 + 32 = 0 ⇔ x 2 − 8 ) 2 = 32 (1) 2 Ta sẽ chứng minh: (x2 − 8) = 32 0 Thật vậy: ( 2 x0 = 2 + 2 + 3 − 6 − 3 2 + 3 ⇒ x0 = 8 − 2 2 + 3 − 2 3 2 − 3 ( )... vào A Bài 12: Cho số x = 3 9 + 4 5 + 3 9 − 4 5 1) Chứng tỏ x là nghiệm của phương trình x3 − 3x − 18 = 0 2) Tính x Hướng dẫn: 1) Ta có: x = 3 9+4 5 + 3 9−4 5 ⇔ x3 = 18 + 3.x ( 3 9+4 53 9−4 5 ) ⇔ x3 = 18 + 3x ⇔ x3 − 3x − 18 = 0 Suy ra x là nghiệm của phương trình x3 − 3x − 18 = 0 2) Giải phương trình (1) được x = 3 Bài 13: Chứng minh rằng x = 3 3 + 9 + 125 3 125 − −3 + 9 + là một số nguyên 27 27 Hướng...Bài 3: Chứng minh đẳng thức : 4 49 + 20 6 + 4 49 − 20 6 = 3 (1) 2 Bài giải: 4 49 + 20 6 + 4 49 − 20 6 VT(1) = = 2 4 = (5 + 2 6 ) 2 ( + 4 5 − 20 6 ) 4 (5 + 2 6 ) 2 ( + 4 5 − 20 6 ) 2 2 2 2 4 = ( 3+ 2 ) 4 +4 ( 3− 2 ) 4 2 3+ 2+ 3− 2 = =2 3 2 a2 − a a2 + a Bài 4: Cho a ≥ 0 Chứng minh rằng : 2 − 2 + a + 1 = ( a − 1)2 a + a +1 a − a +1 Hướng dẫn:... phụ: a = x Bài 5: Xét biểu thức P = 3a + 9a − 3 a −2 1 − + − 1 Tìm a để P = 1 a+ a −2 a −1 a +2 Hướng dẫn: Đặt ẩn phụ: a = x Bài 6: Rút gọn biểu thức : A = Đáp số: A = 1 Bài 7: Thu gọn biểu thức : P = 5 − 3 − 29 − 12 5 2+ 3+ 6+ 8+4 2+ 3+ 4 Đáp số: P = 1 + 2 x2 − x x2 + x − + x +1 x + x +1 x − x +1 Rút gọn M với 0 ≤ x ≤ 1 Hướng dẫn: + Đặt x = a + Kết quả: M = 1 − x Bài 8: Cho M = Bài 9: Tính giá trò của... x0 = 8 − 2 2 + 3 − 2 3 2 − 3 ( ) 2 ⇒ x0 − 8 = −2 2 + 3 − 2 3 2 − 3 ( 2 ⇒ x0 − 8 ) 2 ( ) = 4 2 + 3 + 6 − 3 3 − 3 3 ( 4 − 3) = 32 Vậy x 0 là nghiệm của phương trình x 4 − 16 x 2 + 32 = 0 ) Bài 18: 1) Chứng minh rằng : 2) Tính tổng: S= 1 1 1 = − n n +1 (n + 1) n + n n + 1 1 1 1 1 + + + + 2+ 2 3 2 +2 3 4 3 +3 4 100 99 + 99 100 -Hết - . 9 4 5 9 4 5 x183.x .94 594 5 x183x x3x180 =+ +− ⇔=+ + − ⇔=+ ⇔−−= Suy ra x là nghiệm của phương trình 3 x3x180−−= 2) Giải phương trình (1) được x3= Bài 13: Chứng minh rằng 33 125 125 x 39. thức : 4 2 2007 P(x 4x 3)=−+ với giá trò 310 9 x(103) 6 196 10 − =+ +− Hướng dẫn: + Rút gọn x + Thay x vào A Bài 12: Cho số 33 x94 594 5=+ +− 1) Chứng tỏ x là nghiệm của phương trình. = +− Bài 3: Chứng minh đẳng thức : 44 49 20 6 49 20 6 3 2 ++− = (1) Bài giải: ()() ()() ()() 22 44 44 22 44 44 44 526 5206 49 20 6 49 20 6 VT(1) 22 526 5206 2 32 32 2 3232