Chuyên đề tìm GTLN, GTNN qua phép biến đổi đại số

TÀI LIỆU BỒI DƯỠNG HỌC SINH GIỎI TOÁN CHUYÊN ĐỀ MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP TÌM GTLN, GTNN DỰA TRÊN CÁC PHÉP BIẾN ĐỔI ĐẠI SỐ A GIỚI THIỆU: Dạng toán tìm GTLN, GTNN dạng toán xem khó phức tạp, ta thường gặp đề thi HSG toán Thế SGK chương trình toán phổ thông hành lại không đề cập tới dạng toán này, không giúp em HS tiếp cận học cách giải dạng toán Do người thầy cần phải vạch hướng giải cho em, từ dễ đến khó, từ đến nâng cao Hôm buổi báo tham luận, xin giới thiệu chủ đề “Một số phương pháp tìm GTLN, GTNN dựa phép biến đổi đại số” Nội dung báo cáo sưu tầm nhiều sách, nhiều tài liệu mạng chọn lọc xếp lại theo dạng cho khoa học gần gũi với dạng đề thi toán Violympic Sưu tầm cách giải hay để có nội dung báo báo hôm Dạng tìm GTLN, GTNN tạm gọi cực trị, thường gặp dạng, dạng thông thường đơn giản dùng phương pháp biến đổi đại số, dạng cao dùng bất đẳng thức côsi Phần đơn vị THCS BL đảm trách Trong đề tài giới hạn số qua phép biến đổi đại số từ đến nâng cao Phần lớn em chưa tiếp cận với dạng toán SGK phổ thông hành đề cập đến chủ đề này, dạng toán lại gặp nhiều đề thi HSG toán Do dạy cho em phải đến nâng cao Trong chuyên đề xếp dạng từ dễ đến khó, không đưa vào dạng tìm GTLN, GTNN theo bđt côsi (BĐT Côsi viết riêng chuyên đề 2) B NỘI DUNG: MỘT SỐ DẠNG BÀI TOÁN TÌM GTLN, GTNN QUA PHÉP BIẾN ĐỔI ĐẠI SỐ A = ax2 + bx + c I Dạng : Biểu thức dạng A Lí thuyết: Cách giải 1: (Biến đổi): Nếu a > , ta biến đổi A dạng A = [f(x)]2 + k ≥ k Khi MinA = k , x = -b/2a Nếu a < , ta biến đổi A dạng A = k - [f(x)]2 ≤ k Khi MaxA = k , x = -b/2a B Các ví dụ: Ví dụ 1: Tìm giá trị lớn biểu thức: A = -x2 + 3x – A = -x2 + 3x – = -(x2 – 3x + 5) Giải: 2    3 3 3  = −  x − 2.x +  ÷ −  ÷ + 5 = −  x − 2.x +  ÷ − + 5 2 2       2   11   11 11  = −  x − ÷ +  = −  x − ÷ − ≤ − 2  2 4   Vậy Max A = − 11 x = Ví dụ 2: Tìm GTNN biểu thức B = x − x + 28 KQ MinB = Ví dụ 3: Tìm GTLN biểu thức C = − x2 + x + C= 1  −x + x + = −  x − ÷ ≤ = 2  Vậy MaxC = x = Ví dụ 4: Tìm GTLN biểu thức D = 4x – x2 Cách 1: Biến đổi 4x – x2 = – (x2 – 4x) = – (x2 – 4x + 4) = – (x – 2)2 ≤ MaxD = x = 2 II Dạng A = g(f(x)) f(x) ≥ A Lí thuyết Thông thường ta xác định phần biểu thức dương âm, sau ta nhân, chia, cộng, trừ với số có liên quan đến biểu thức biểu thức với biểu thức cho B Các ví dụ: Bài 1: Tìm giá trị lớn biểu thức: A = 10 − x − Giải Ta có x − ≥ ⇒−4 x −2 ≤ ⇒10 − x − ≤ 10 Vậy MaxA = 10 x = Bài 2: Tìm giá trị lớn biểu thức: B = − 3(2 x − 1) Giải Ta có (2 x − 1) ≥ => −3(2 x − 1) ≤ => − 3(2 x − 1) ≤ Vậy MaxB = x = Bài 3: Tìm giá trị lớn biểu thức C = ( x − 6) + Giải Ta có ⇒ ( x − 6) + ≥ ( x − 6) ≥ 1 => ( x − 6)2 + ≤ Vậy MaxC = x = 3 Bài 4: Tìm giá trị lớn biểu thức: D = ( x + 2)2 + Giải Ta có ( x + 2) ≥ => ( x + 2) + ≥ => ( x + 2)2 + ≤ Vậy Max D = x = −2 Bài 5: Tìm giá trị nhỏ biểu thức: E = ( x − 1) ( x + ) ( x + 3) ( x + ) E = ( x − 1) ( x + ) ( x + ) ( x + 3) Giải: E = ( x2 + 5x − 6) ( x2 + 5x + ) E = ( x + x ) − 36 ≥ −36 Vậy MinE = -36 x = x = -5 III Dạng Dạng phân thức A B A Lí thuyết Cách giải: Biến đổi phân thức dạng cho có chứa bình phương biểu thức chứa x Khi biểu thức chứa x không âm B Các ví dụ: Bài 1: Tìm giá trị lớn biểu thức: A = A= có x +8 x2 + x +8 x + + x + 6 = = + = 1+ 2 x +2 x +2 x +2 x +2 x +2 2 x ≥ => x + ≥ 6 => ≤ + ≤ +1 = x +2 x +2 Vậy MaxA = x = Bài 2: Tìm giá trị nhỏ biểu thức: C = Giải: x + 15 x + 16 3x với x > Ta biến đổi theo hướng: 1) Hằng đẳng thức bình phương tổng: x + x + 16 + x ( x + ) + x ( x + ) C= = = + 3x 3x 3x Biểu thức (x + 4)2 nhỏ x = -4 < (loại) 2) Hằng đẳng thức bình phương hiệu: x − x + 16 + 23x ( x − ) + 23 x ( x − ) 23 23 (do 3x > 0) C= = = + ≥ 3x 3x 3x 3 23 Vậy MinC = x = 2 3x + x + 10 Bài 3: Tìm giá trị lớn biểu thức: D = x + 2x + Giải: (Chia đa thức tử cho đa thức mẫu) ta được: 3x + x + 10 1 D= =3+ = 3+ x + 2x + x + 2x + ( x + 1) + Xét tiếp (x + 1)2 ≥ => (x + 1)2 + ≥ => với x > 1 ≤ (x + 1) + 2 1 ≤ + = (x + 1) + 2 Vậy MaxD = x = -1 => + IV Dạng : Dạng tổng nhiều giá trị tuyệt đối: A Lý thuyết: Dùng tính chất: (1) x + y ≥ x + y để tìm GTNN Dấu xảy x.y ≥ (2) Nếu có P = x − a + x − b Thì MinP = b – a (a < b) a ≤ x ≤ b (3) Nếu có Q = ax − b + ax − c Thì MinQ = c – b b c ≤x≤ a a (4) Nếu có R = ax + b + ax + c Thì MinR = c – b (b < c) (b < c) b c − ≤ x ≤ − a a B Các ví dụ: Bài 1: Tìm GTNN biểu thức A = x − + x − Giải: A = x − + x − = x − + − x ≥ x − + − x = −4 = Vậy MinA = Bài 2: Tìm GTNN biểu thức B = x − + x − + x − Giải: Ta có x − + x − = x − + − x ≥ x − + − x = Dấu “=” xảy (x – 1)(3 – x) ≥ x−2 ≥0 Suy  1≤x≤3 ( x − nhỏ x = 2) x −1 + x − + x − ≥ Vậy MinB = x = Bài 3: Tìm GTNN biểu thức C = x − + x − + x − + x − Giải: Ta có x −1 + x − = x −1 + − x ≥ x −1+ − x = Dấu “=” xảy (x – 1)(4 – x) ≥  1≤x≤4 x − + x − = x − + 3− x ≥ x − + 3− x =1 Dấu “=” xảy (x – 2)(3 – x) ≥  2≤x≤3 x − + x − + x − + x − ≥ + = ≤ x ≤ Vậy MinC = ≤ x ≤ Bài 4: Tìm GTNN biểu thức D = Giải: D = 25 x − 20 x + + 25 x = 25 x − 20 x + + 25 x ( 5x − 2) + ( 5x ) = 5x − + 5x = − 5x + 5x ≥ − 5x + 5x = Vậy MinD = Bài 5: Tìm GTNN biểu thức E = x − + x − Theo (3) ta có MinE = – = ≤x≤ 2 Bài 6: Tìm GTNN biểu thức F = 3x + + 3x + 7 Theo (4) ta có MinF = – = − ≤ x ≤ − 2 Bài 7: Tìm GTNN biểu thức G = − x + x + x − 12 x + Giải: G = ( 3x − 1) + ( 3x − ) = 3x − + 3x − = 3x − + − 3x ≥ 3x − + − 3x = Vậy MinG = Bài 8: Tìm GTNN biểu thức H = x − + x − + + x − 2014 Giải: Ta có H = ( x − + x − 2014 ) + ( x − + x − 2013 ) + + ( x − 1007 + x − 1008 ) H = ( x − + 2014 − x ) + ( x − + 2013 − x ) + + ( x − 1007 + 1008 − x ) MinH = 2013 + 2011 + … + = 10072  k +1 HĐT + + + … + k =  ÷   V Dạng 5: Dạng hiệu hai giá trị tuyệt đối: A Lí thuyết: Dùng tính chất: x − y ≤ x − y để tìm GTLN Dấu xảy x ≥ y ≥ x ≤ y ≤ B Các ví dụ: Bài 1: Tìm GTLN biểu thức A = 3x + − 3x + Giải: Ta có A = 3x + − 3x + ≤ ( x + ) − ( x + ) = Vậy MaxA = Bài 2: Tìm GTLN biểu thức B = x + − x − Giải: Ta có B = x + − x − ≤ ( x + ) − ( x − ) = Vậy MaxB = 2 Bài 3: Tìm GTLN biểu thức C = x − 1975 − −4 x + 2025 2 Giải: Ta có C = x − 1975 − −4 x + 2025 2 2 C = x − 1975 − x − 2025 ≤ ( x − 1975 ) − ( x − 2025 ) = 50 Vậy MaxC = 50 Bài 4: Tìm GTLN biểu thức (Giải tương tự) a) D = ( 19 x + 5) − ( 19 x − 8) 5 b) E = 19 x + 1890 − 19 x + 2014 VI Dạng 6: Dạng tổng hai thức: A+ B A Lí thuyết: Để tìm GTNN ta dùng bất đẳng thức A + B ≥ A + B (A ≥ ; B ≥ 0) Dấu “=” xảy A = B = Để tìm GTLN ta dùng bất đẳng thức Côsi: Với A ≥ ; B ≥ A + B ≥ A.B hay A.B ≤ A + B dấu “=” xảy A = B Phương pháp tìm GTLN biểu thức dạng A + B , ta bình phương biểu thức đó, sau áp dụng BĐT Côsi A.B ≤ A + B Chú ý: - Nếu a.b = k (không đổi) Min(a+b) = k - Nếu a + b = k (không đổi) Max(a.b) = k2 B Các ví dụ: Bài 1: Tìm GTNN biểu thức A = x − + − x Giải: ĐKXĐ ≤ x ≤  a=b  a=b Ta có A = x − + − x ≥ ( x − 3) + ( − x ) = Dấu “=” xảy x = x = Vậy MinA = x = x = Bài 2: Tìm giá trị nhỏ biểu thức A = x + 12 + x − Giải: ĐK x ≥ Thay x = vào biểu thức A = + = Vậy MinA = Bài 3: Tìm giá trị nhỏ biểu thức B = x − 12 + x − Giải: ĐK x ≥ 12 Thay x = 12 vào biểu thức B = + = Vậy MinB = Bài 4: Tìm GTNN biểu thức B = 20 x − 414 + 2014 − 20 x Bài 5: Cho x + y = 15 Tìm GTNN biểu thức C = x − + y − VII Dạng 7: Dạng hiệu hai thức: A− B A Lí thuyết: Dùng bất đẳng thức a − b ≤ a − b (a ≥ b ≥ 0) để tìm GTLN Dấu “=” xảy b = a = b B Các ví dụ: Bài 1: Tìm GTLN biểu thức A = x + − x − Giải: Ta có A = x + − x − ≤ ( x + 1) − ( x − 8) = =3 Dấu “=” xảy x – =  x = Vậy MaxA = x = Bài 2: Tìm GTLN biểu thức B = 12 x + 1012 − 12 x − 1013 Giải: Ta có ( 12 x + 1012 ) − ( 12 x − 1013) B = 12 x + 1012 − 12 x − 1013 ≤ = 2025 = 45 Vậy MaxB = 45 VIII Dạng : Dạng hai biến a Dạng hai biến đơn giản Cách giải: Biến đổi biểu thức cho dạng tổng bình phương đa thức 2 Bài 1: Tìm giá trị nhỏ biểu thức: A = x + y − x + y + 11 Giải : A = x + y − x + y + 11 = x − x + + y + y + + = ( x − 1) + ( y + 3) + ≥ Vậy MinA = x = y = -3 2 Bài 2: Tìm giá trị nhỏ biểu thức: B = x + y − x − y + Giải tương tự, kết MinB = x = y = 2 Bài 3: Tìm giá trị lớn biểu thức: C = − x + x − y − y 2 2 Giải: C = − x + x − y − y = − ( x − x + y + y ) C = − ( x − x + + y + y + 1) = − ( x − 1) − ( y + 1) ≤ Vậy MaxC = x = y = − 2 2 Bài 4: Tìm giá trị nhỏ biểu thức: D = x + y − xy + y + Giải: D = x + y − xy + y + D = x − xy + y + y + y + + D = ( x − y ) + ( y + 1) + ≥ 2 Vậy MinD = x = y = − 2 Bài 5: Tìm giá trị nhỏ biểu thức: E = ( x − x ) ( x − x + ) Giải: Đặt t = x2 – 2x Ta có E = t(t + 2) = t2 + 2t = t2 + 2t +1 – = (t + 1)2 – ≥ -1 MinE = -1 t = -1  x2 – 2x = -1  (x – 1)2 =  x = Vậy MinE = -1 x = 2 Bài 6: Tìm giá trị nhỏ biểu thức: F = x + y − xy + 10 x − 22 y + 28 10 2 Giải: F = x + y − xy + 10 x − 22 y + 28 F = x − xy + y + y − y + + 10 x − 20 y + 27 F = ( x − y ) + ( y − 1) + 10 ( x − y ) + 27 2 F = ( x − y ) + 2.5 ( x − y ) + 25 + ( y − 1) + 2 F = ( x − y + ) + ( y − 1) + ≥ 2 MinF = y = x – 2.1 + = Hay MinF = x = -3 y = b Dạng hai biến phức tạp A Lí thuyết: Qui ước hệ số biểu thức sau f(x,y) = ax2 + bxy + cy2 + dx + ey + g Tính Δ = b2 – 4ac a) Nếu Δ > biểu thức GTLN GTNN b) Nếu ∆ < : ae − bde + cd ∆ 2cd − be 2ae − bd ; y0 = Và x0 = ∆ ∆ ae − bde + cd + Nếu a, c < : maxf(x, y ) = g + ∆ 2cd − be 2ae − bd ; y0 = Và x0 = ∆ ∆ c) Nếu ∆ = 0: d2 − NÕu b ≠ , 2ae = bd vµ a > : minf(x, y ) = g − 4a 2ax o + d vµ x o tuú ý ; y o = − b d2 − NÕu b ≠ , 2ae = bd vµ a < : maxf(x, y ) = g − 4a 2ax o + d vµ x o tuú ý ; y o = − b e2 − NÕu a = b = , 2cd = be vµ c > : minf(x, y ) = g − 4c2 e − NÕu a = b = , 2cd = be vµ ce < : maxf(x, y ) = g − vµ x o tuú ý ; y o = − 4c 2c 11 e vµ x o tuú ý ; y o = − 2c + Nếu a, c > : minf(x, y ) = g + d2 − NÕu b = c = , 2cd = be vµ a > : minf(x, y ) = g − 4a d vµ y o tuú ý ; x o = − 2a d2 − NÕu b = c = , 2cd = be vµ a < : maxf(x, y ) = g − 4a d vµ y o tuú ý ; x o = − 2a B Các ví dụ 1) Tìm x, y để biểu thức sau có giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ Tìm giá trị A = 2x2 - 3xy + y2 + 5x - 7y +1 Giải Ta có a = ; b = -3 ; c = ; d = ; e = -7 ; g = ∆ = b2 - 4ac = (-3)2 - 4.2.1 = > Vậy A GTLN GTNN 2) Tìm x, y để biểu thức sau có giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ Tìm giá trị B = x2 - 2xy + 3y2 - 4x + 8y – Giải Ta có a = ; b = -2 ; c = ; d = -4 ; e = ; g = -7 ∆ = b2 - 4ac = (-2)2 + 4.1.3 = -8 < Vì ∆ < a,c > ae − bde + cd minf(x, y ) = g + ∆ 1.8 − (−2).( −4).8 + 3.( −4) = −7 + = −13 −8 2cd − be 2.3.(−4) − (−2).8 = =1 ∆ −8 2ae − bd 2.1.8 − (−2).( −4) y0 = = = −1 ∆ −8 x0 = minf(x,y)= - 13 ; x = y = -1 3) Tìm x, y để biểu thức sau có giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ Tìm giá trị C = -4x2 +12x - 9y2 - 4x + 6y + Giải Ta có a = - ; b = 12 ; c = -9 ; d = -4 ; e = ; g = 12 ∆ = b2 - 4ac = (12)2 + 4.(-4).(-9) = 144-144 = Vì ∆ = a,c < ; 2ac = bd = -48 nên: d2 ( −4) max f ( x, y ) = g − =8− − ( −1) = 4a 4.( −4) xo tùy ý 2axo + d 2.(−4).xo + (−4) xo + =− = b 12 x + 2.1 + = =1 Chọn x o = ⇒ y o = o 3 yo = − C LỜI KẾT Trên số dạng toán tìm GTLN, GTNN mức độ dùng để giúp em buổi đầu thực hành làm quen với dạng toán Trong tài liệu giới thiệu đến số dạng tập tìm GTLN, GTNN qua phép biến đổi đại số, không sử dụng đến BĐT Côsi nên có phần đơn giản hóa dạng tập Tuy nhiên tài liệu thể cụ thể hóa dạng tập xếp theo phần có cách giải gần giống Do thời gian có hạn nên nghiên cứu đào sâu dạng nâng cao Tài liệu soạn chưa thật kỹ nên có nhiều thiếu sót, mong đồng nghiệp vui lòng góp ý để viết sau hay Xin chân thành cảm ơn Cái dầu, ngày 15/10/2016 GV soạn Trương Hùng Phương 13 [...]... + 1 =− = b 12 3 2 x + 1 2.1 + 1 = =1 Chọn x o = 1 ⇒ y o = o 3 3 yo = − C LỜI KẾT Trên đây là một số dạng bài toán tìm GTLN, GTNN ở mức độ cơ bản dùng để giúp các em buổi đầu thực hành làm quen với dạng toán này Trong tài liệu này chỉ giới thiệu đến một số dạng bài tập tìm GTLN, GTNN qua phép biến đổi đại số, không sử dụng đến BĐT Côsi nên có phần đơn giản hóa các dạng bài tập Tuy nhiên tài liệu cũng... 4a d vµ y o tuú ý ; x o = − 2a B Các ví dụ 1) Tìm x, y để biểu thức sau có giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất Tìm giá trị đó A = 2x2 - 3xy + y2 + 5x - 7y +1 Giải Ta có a = 2 ; b = -3 ; c = 1 ; d = 5 ; e = -7 ; g = 1 ∆ = b2 - 4ac = (-3)2 - 4.2.1 = 1 > 0 Vậy A không có GTLN cũng không có GTNN 2) Tìm x, y để biểu thức sau có giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất Tìm giá trị đó B = x2 - 2xy + 3y2 - 4x + 8y... + 5 ) + ( y − 1) + 2 ≥ 2 2 2 MinF = 2 khi y = 1 và x – 2.1 + 5 = 0 Hay MinF = 2 khi x = -3 và y = 1 b Dạng hai biến phức tạp A Lí thuyết: Qui ước các hệ số trong biểu thức như sau f(x,y) = ax2 + bxy + cy2 + dx + ey + g Tính Δ = b2 – 4ac a) Nếu Δ > 0 thì biểu thức không có GTLN cũng không có GTNN b) Nếu ∆ < 0 : ae 2 − bde + cd 2 ∆ 2cd − be 2ae − bd ; y0 = Và x0 = ∆ ∆ 2 ae − bde + cd 2 + Nếu a, c < 0... 1.8 − (−2).( −4).8 + 3.( −4) 2 = −7 + = −13 −8 2cd − be 2.3.(−4) − (−2).8 = =1 ∆ −8 2ae − bd 2.1.8 − (−2).( −4) y0 = = = −1 ∆ −8 x0 = minf(x,y)= - 13 ; x = 1 và y = -1 3) Tìm x, y để biểu thức sau có giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất Tìm giá trị đó C = -4x2 +12x - 9y2 - 4x + 6y + 8 Giải Ta có a = - 4 ; b = 12 ; c = -9 ; d = -4 ; e = 6 ; g = 8 12 ∆ = b2 - 4ac = (12)2 + 4.(-4).(-9) = 144-144 = 0 Vì ∆ = ... KẾT Trên số dạng toán tìm GTLN, GTNN mức độ dùng để giúp em buổi đầu thực hành làm quen với dạng toán Trong tài liệu giới thiệu đến số dạng tập tìm GTLN, GTNN qua phép biến đổi đại số, không... giải 1: (Biến đổi) : Nếu a > , ta biến đổi A dạng A = [f(x)]2 + k ≥ k Khi MinA = k , x = -b/2a Nếu a < , ta biến đổi A dạng A = k - [f(x)]2 ≤ k Khi MaxA = k , x = -b/2a B Các ví dụ: Ví dụ 1: Tìm giá... 3: Tìm giá trị nhỏ biểu thức B = x − 12 + x − Giải: ĐK x ≥ 12 Thay x = 12 vào biểu thức B = + = Vậy MinB = Bài 4: Tìm GTNN biểu thức B = 20 x − 414 + 2014 − 20 x Bài 5: Cho x + y = 15 Tìm GTNN