Chuyên đề tìm GTLN, GTNN bang BDT COSI

CHUYÊN ĐỀ MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP TÌM GTLN, GTNN DỰA TRÊN CÁC PHÉP BIẾN ĐỔI BẤT ĐẲNG THỨC CÔSI MỘT SỐ DẠNG BÀI TỐN TÌM GTLN, GTNN QUA BẤT ĐẲNG THỨC CƠSI I NỘI DUNG ĐỊNH LÍ VỀ BẤT ĐẲNG THỨC CÔSI: Cho a1 , a2 , , an ≥ 0, ta có : a1 + a2 + + an ≥ n n a1.a2 an Dấu “=” xảy a1 = a2 = = an ≥ Cho a, b ≥ a + b ≥ ab (Bất đẳng thức Côsi cho số dương) Cho a, b, c ≥ a + b + c ≥ 3 abc (Bất đẳng thức Cơsi cho số dương) II VÍ DỤ MẪU VÀ BÀI TẬP: Tìm giá trị nhỏ : A = x y z + + với x, y, z > y z x Giải Áp dụng bất đẳng thức Côsi cho số dương x, y, z : A= x y z x y z + + ≥ 33 = y z x y z x Do M in A = ⇔ x y z = = ⇔x=y=z y z x Tìm giá trị nhỏ A = 3x + 3y với x + y = Giải Áp dụng bất đẳng thức Cơsi, ta có : A = 3x + 3y ≥ 3x.3y = 3x + y = 34 = 18 Vậy Min A = 18 với x = y = Cho x, y > thỏa mãn x + y ≥ Hãy tìm GTNN P = x + y + Giải + x y P= Ta có: 3x y 3x y ( x + y ) + + + + ≥ + + 2 x y 2 x y P ≥ + + = 19 3x = => x = 2 x Vậy minP = 19 x = ; y = Dấu “=” xảy y = => y = y Cho hai số thực x y thỏa mãn điều kiện : xy = x > y x + y2 Tìm GTNN x−y Giải: x + y x + y − 2xy + 2xy (x − y) + 2.1 2 = = = (x − y) + ≥ (x − y) x−y x−y x−y x−y x−y 6+ 6− − 6+ − 6− ;y= ;y= x = 2 2 Dấu “=” xảy x = Tìm GTNN A = xy yz zx + + với x, y, z > , x + y + z = z x y Giải Theo bất đẳng thức Côsi: Tương tự : Suy xy yz xy yz + ≥2 = 2y z x z x yz zx zx xy + ≥ 2z ; + ≥ 2x x y y z 2A ≥ 2(x + y + z) = Min A = với x = y = z = => A ≥ 1 Tìm giá trị lớn A = x − x Giải Điều kiện : x2 ≤  x2 x2  + + − x 2  ÷ x x A = x (9 − x ) = (9 − x ) ≤  ÷ = 4.27 = 108 2  ÷ ÷   Max A = với x = ± Giải phương trình: 36 + x−2 = 28 − x − − y − y −1 Giải 36 +4 x−2 + x−2 + y − = 28 y −1 Áp dụng BĐT Cơsi ta có: 36 +4 x−2 ≥2 x−2 + y −1 ≥ y −1 => 36 +4 x−2 + x−2 Dấu “=” xảy 36 x − = 2.6.2 = 24 x−2 y − = 2.2 = y −1 + y − = 28 y −1 36 = x − ⇔ x – = ⇔ x = 11 x−2 = y −1 y −1 ⇔ y -1 = ⇔ y=5 Vậy nghiệm phương trình x = 11 ; y = Với ≤ x ≤ 13 , tìm giá trị lớn biểu thức P = x − + 13 − x KQ: Tìm giá trị nhỏ biểu thức A = x + + x − KQ: KQ: 10 Tìm giá trị lớn biểu thức P = x + − x Dạng phân thức A B Tìm giá trị nhỏ A Lí thuyết Cách giải: Biến đổi biểu thức cho thành tổng biểu thức cho tích chúng số (Tách hạng tử thành tổng nhiều hạng tử nhau) áp dụng BĐT Cơsi B Các ví dụ: 11 Cho x > 0, tìm GTNN biểu thức A = Giải: Ta có A = ( x + 7) x x + 14 x + 49 49 49 =x+ + 14 ≥ x + 14 = 2.7 + 14 = 28 x x x Dấu “=” xảy x = 49  x=7 x Vậy MinA = 28 x = 2x2 − 6x + 12 Cho x > 0, tìm GTNN biểu thức B = 2x Giải: Ta có B = x − + 5 5 = x+ − ≥ x − = − = 10 − 2x 2x 2x Dấu “=” xảy x = Vậy MinB = 10  x = 2x 10 − x = 10 x + x + 17 13 Cho x > 0, tìm GTNN biểu thức C = ( x + 1) Giải: Ta có x + x + + 16 ( x + 1) + 16 x + x +1 = = + ≥2 × =2 =4 C= ( x + 1) ( x + 1) x +1 x +1 Vậy MinC = Dấu “=” xảy (x + 1)2 = 16 ⇔ x = (x = -5 loại) x + x + 34 x +3 14 Cho x > 0, tìm GTNN biểu thức D = x + + 25 ( = Giải: Ta có D = x + x + 34 = x + x +3 x +3 D= x +3+ 25 ≥2 x +3 ( ) x +3 × ) x + + 25 x +3 25 = 10 x +3 Vậy MinD = 10 Dấu “=” xảy ( x + 1)2 = 25 ⇔ x = 16 x + 2000 15 Cho x > 0, tìm GTNN biểu thức F = x x + 2000 1000 1000 1000 1000 = x2 + + ≥ 3 x2 = 3.100 = 300 Giải: Ta có F = x x x x x Dấu “=” xảy x = 1000  x3 = 1000  x = 10 x Vậy MinF = 300 x = 10 x + 1,2 xy + y 16 Cho x > y, tìm GTNN biểu thức G = x− y biết x.y = x + 1,2 xy + y x − xy + y + 3,2 xy ( x − y ) + 3,2 xy = = Giải: Ta có G = x− y x− y x− y = x− y+ 3,2 xy 16 = x− y+ ≥2 x− y x− y ( x − y) 16 =8 x− y ( x − y ) = 16 Vậy MinG =  x = ; y =  xy = 17 x2 + y2 Cho x > y, tìm GTNN biểu thức H = x− y Giải: (x > y) biết x.y = x + y ( x − y ) + xy xy Ta có H = = = x− y+ = x− y+ x− y x− y x− y x− y ( x − y) ≥2 =4 x− y Vậy MinH = 1− x + x x 18 Cho x > 0, tìm GTNN biểu thức I = Giải: Ta có I = 1− x + x = + x −1 ≥ x x Dấu “=” xảy × x −1 = x = x  x=1 x Vậy MinI = x = 19 x +8 x +1 Cho x > 0, tìm GTNN biểu thức J = Giải: Ta có J = x + = x − + = x +1 x +1 = x +1+ Vậy MinJ = ( −2≥2 x +1 ( ) )( ) x −1 x +1 + x +1 ( ) x +1 × = x + 12 + −2=4 x +1 x +1 = ⇔ x = 20 Cho x > 9, tìm GTNN biểu thức K = Giải: Ta có K = x +1 = x −1+ 4x x −3 4x x − 36 + 36 ( x − ) + 36 = = =4 x −3 x −3 x −3 36 = x − 12 + x −3 36 + 24 = x −3 ( ( ) x +3 + ) x −3 + 36 x −3 36 + 24 x −3 ≥2 ( ) x −3 36 + 24 = 48 x −3 Vậy MinK = 48 x = 36 21 Tìm GTLN biểu thức L = x x +1 Giải: Do tử mẫu dương, nên ta qui tìm GTNN biểu thức x +1 x = = + ≥2 L x 2 x Vậy Min =1 L x 1 × =2 =1 2 x => MaxL = x = 22 Cho x > 0, tìm GTLN biểu thức M = x ( x + 8) ( x + 8) Giải: Ta qui tìm GTNN biểu thức = M x x + 64 + 16 x 64 64 = = x+ + 16 ≥ x × + 16 = 32 M x x x Vậy Min 1 = 32 => MaxM = 32 M 23 Tìm giá trị nhỏ y=x+ − (với x>1) x −1 KQ: 24 Với x > 1, tìm giá trị nhỏ biểu thức A = x + 180 x −1 KQ: 65 25 Cho biểu thức P = 1− x + x Tìm giá trị nhỏ P x KQ: 26 Cho biểu thức A = x+ x +4 Tìm giá trị nhỏ A x +1 KQ: 27 Tìm giá trị lớn biểu thức x x +1 KQ: 28 Tìm GTNN GTLN biểu thức A = − − x2 Giải Dễ thấy A > | A | ≤ Ta xét biểu thức : B = = − − x Ta có : A ≤ − x2 ≤ ⇒ − ≤ − − x2 ≤ ⇒ − ≤ − − x2 ≤ M in B = − ⇔ = − x ⇔ x = Khi max A = = + max B = ⇔ − x = ⇔ x = ± 2− Khi A = 29 Tìm giá trị nhỏ biểu thức 30 Tìm giá trị lớn biểu thức 31 Tìm GTNN, GTLN : A = 1 + − x2 y= KQ: − − x2 + − x2 KQ: KQ: A = - với x = 0; max A = với x = ± 32 Tìm GTNN, GTLN : B = − x + 2x + KQ: B = với x = ± ; max B = với x = Dạng A+ B ( A + B = k (hằng số)) A Lí thuyết: Để tìm GTNN ta dùng bất đẳng thức A + B ≥ A + B (A ≥ ; B ≥ 0) Dấu “=” xảy A = B = Để tìm GTLN ta dùng bất đẳng thức Côsi: Với A ≥ ; B ≥ A + B ≥ A.B hay A.B ≤ A + B dấu “=” xảy A = B A + B , ta bình phương biểu thức đó, Phương pháp tìm GTLN biểu thức dạng sau áp dụng BĐT Cơsi A.B ≤ A + B Chú ý: - Nếu A.B = k (khơng đổi) Min(A+B) = k  A=B k2 - Nếu A + B = k (khơng đổi) Max(A.B) =  A=B 33 Tìm GTNN biểu thức A = x − + − x Giải: ĐKXĐ ≤ x ≤ Ta có A = x − + − x ≥ ( x − 3) + ( − x ) = Dấu “=” xảy x = x = Vậy MinA = x = x = 34 Tìm GTNN, GTLN biểu thức B = 3x − + − 3x Giải: ≤x≤ 3 ĐKXĐ: Tìm GTNN: Cách 1: B= 3x − + − 3x ≥ 3x - + - 3x = Cách 2: B2 = 3x − + − x + B2 ≥ => B ≥ Vậy minB = ( 3x − 5) ( − 3x ) =2+2 ( 3x − ) ( − 3x ) x = , y = 3 Tìm GTLN: Theo bđt Côsi B2 ≤ + (3x - 5) + (7 – 3x) = => D ≤ Dấu “=” xảy 3x – = – 3x  x = Vậy MaxD = x = 35 Tìm GTNN, GTLN A = − x + + x Giải Xét A2 = + − x Do ≤ − x ≤ ⇒ ≤ + − x ≤ ⇒ ≤ A2 ≤ A = với x = ± ; max A = với x = 36 Tìm giá trị nhỏ biểu thức : A = x − x + + x + x + Giải Do A tổng hai biểu thức dương nên ta áp dụng bất đẳng thức Cơsi: A = x2 − x +1 + x2 + x +1 ≥ x − x + x + x + A ≥ (x − x + 1)(x + x + 1) = x + x + ≥ Đẳng thức xảy : x + x + = x − x + ⇔ x = Vậy : A = ⇔ x = ( ) 2 Cách : A = x + + x + x + ≥ A = với x = 37 Cho hàm số y = x + x − x + Tìm giá trị nhỏ hàm số 10 KQ: x−2 + 4−x ≤ 38 Chứng minh 39 Tìm giá trị lớn S = x − + y − , biết x + y = x −1 = y − KQ: max S = ⇔  x + y = 40 Tìm GTLN biểu thức E = ⇔ x = ;y = 2 x − + 21 − x 41 Cho x + y = 15 Tìm GTLN biểu thức F = x − + y − Dạng phân thức A B Cách giải: Nhân chia A với số (khác 0) sau áp dụng BĐT Côsi A.B ≤ ( A + B) 42 Tìm GTLN biểu thức A = Giải: x −9 5x ĐKXĐ x ≥ (Ta cần xác định số cần nhân chia thêm Ta có A = x −9 = 5x Dấu “=” xảy Vậy MaxA = 1 x−9  x−9 + 3÷ x − +  3 = ≤  = 5x 5x 10 x 30 x −9 =  x = 18 x = 18 30 43 Tìm GTLN biểu thức : B = 3x − 25 7x 44 Tìm GTLN biểu thức C = 10 x − 49 2014 x 11 = 3) 45 Tìm GTLN biểu thức D = 2x − 3x 46 Với số thực a, tìm giá trị nhỏ biểu thức P = KQ: a2 + a2 + Dạng A.B (bậc A bậc B) Cách giải: Nếu tìm GTLN ta - Biến đổi A + B = k (hằng số) - Áp dụng BĐT Côsi ( A + B) A.B ≤ - Dấu “=” xảy A = B Nếu tìm GTNN ta biến đổi biểu thức cho thành tổng biểu thức cho tích chúng số (Nghĩa tách hạng tử chứa biến thánh tổng số với hạng tử nghịch đảo hạng tử khác có biểu thức cho) 47 Tìm GTLN biểu thức A = x3(16 – x3)  x + ( 16 − x )  162 3 Giải: Ta có A = x (16 – x ) ≤ = = 64 4 Dấu “=” xảy x3 = 16 – x3  x3 =  x = Vậy MaxA = x = 48 Tìm GTLN biểu thức B = (1 – x)(2x – 1) với ≤ x ≤1 1 ( − x + x − 1) Giải: Ta có B = (1 – x)(2x – 1) = ( − x ) ( x − 1) ≤ × = 2 Dấu “=” xảy – 2x = 2x –  x = 12 Vậy MaxB = x = 49 Tìm GTLN biểu thức sau: C = (2x2 –1)(2 – x2) ; 50 Tìm GTNN biểu thức E = Giải: Ta có E = D = (3x + 5)(2 – x) 9x + với < x < 2− x x 9x 9x 2−x 9x − x + = + +1≥ × + = 2.3 + = 2− x x 2− x x 2− x x Vậy MinE = 51 Tìm GTNN biểu thức F = x + Giải: Ta có F = x + với x > x −1 1 = x −1+ +1≥ x −1 x −1 +1= x −1 ( x − 1) × Vậy MinF = (x – 1)2 = ⇔ x = 52 Tìm GTNN biểu thức G = x + Giải: Ta có G = x + 25 với x > x −1 25 25 25 = ( x − 1) + + ≥ ( x − 1) × + = 24 x −1 x −1 x −1 Vậy MinG = 24 ( x − 1) = 25 25 ⇔ ( x − 1) = ⇔ x= x −1 PHƯƠNG PHÁP MIỀN GIÁ TRỊ 53 Tìm GTNN GTLN biểu thức A = − 4x x2 + Giải * Tìm GTNN x − x + ) − ( x + 1) − 4x x2 − x + − x2 − ( A = = = x +1 x2 + x2 + 13 ( x − 2) x2 + = = − x + x2 + ( x − 2) − ≥ −1 x2 + Vậy minA = - ⇔ x – = ⇔ x = * Tìm GTLN A = − 4x (2 x + 1) (4 x + 4) − (4 x + x + 1) 4x2 + − 4x2 − 4x − ≤ = = = x2 + x2 + x2 + x2 + Vậy maxA = ⇔ 2x + = ⇔ x = − Cách giải theo phương pháp miền giá trị : A = − 4x x2 + ⇔ Ax2 + A = – 4x - Nếu A = (1) có nghiệm x = ⇔ Ax2 + 4x + A - = - Nếu A ≠ (1) có nghiệm ∆’ = – A(A – 3) ≥ A2 - 3A – ≤ ⇔ Vậy MinA = - ⇔ x = MaxA = ⇔ x = − 54 Tìm GTLN, GTNN A = -1 ≤ A ≤ (Thay A = -1 vào (1) để tìm x) x2 + 2x + x2 + Giải Biểu thức A nhận giá trị a phương trình sau có nghiệm a= x2 + 2x + ⇔ ax + a = x + x + x +1 ⇔ ( a − 1) x − x + a − = ( 1) Nếu a = phương trình (1) có nghiệm x = − Nếu a ≠ phương trình (1) có nghiệm ∆’ ≥ ⇔ - (a – 1)(a – 3) = –a2 + 4a +5 ≥ ⇔ −1 ≤ a ≤ Vậy minA = -1 x = − 14 (1) maxA = x = 2 55 Giá trị nhỏ biểu thức A= 3x + x +1 56 Tìm giá trị lớn biểu thức B = -1 4x+1 x2 + 57 Trong tất hình chữ nhật có đường chéo , tìm hình chữ nhật có diện tích lớn Giải Gọi kích thước hình chữ nhật x, y Với x, y ta có : x2 + y2 ≥ 2xy Nhưng x2 + y2 = (8 )2 = 128, nên xy ≤ 64 Do : max xy = 64 ⇔ x = y = BÀI TẬP ÔN VÀ NÂNG CAO Phương pháp vận dụng bất đẳng thức Côsi, bất đẳng thức Bu-nhi-a-cốp-xki để tìm GTLN, GTNN Giới thiệu bất đẳng thức Côsi, bất đẳng thức Bu-nhi-a-cốp-xki a) Bất đẳng thức Côsi Với a ≥ 0, b ≥ a+b ≥ ab (Dấu “=” xảy ⇔ a = b ) Vài dạng khác bất đẳng thức Cơsi: Dạng có thức: a + b ≥ ab Với a ≥ 0, b ≥ ab ≥ Với a > 0, b > a+b Dạng khơng có dấu ( a + b) 2 ≥ ab; ( a + b) ≥ 4ab; a + b ≥ 2ab 2) Bất đẳng thức Bu-nhi-a-cốp-xki Cho hai số ( a1 , a ) ; ( b1 , b2 ) Ta có ( a1 b1 + a b2 ) ≤ ( a12 + a 22 )( b12 + b22 ) 15 a a Dấu “=” xảy b = b II Các ví dụ: *Ví dụ 1: Tìm GTLN cảu biểu thức A = 3x − + − 3x Nhận xét: Biểu thức A cho dạng tổng hai thức Hai biểu thức lấy có tổng khơng đổi Vì ta bình phương biểu thức A ta xuất hạng tử hai lần tích hai thức Đến vận dụng bất đẳng thức Côsi: ab ≤ a + b Giải: ĐKXĐ: ≤x≤ 3 A = ( x − 5) + ( − x ) + ( x − 5)( − 3x ) Mà ( 3x − 5)( − 3x ) ≤ 3x − + − 3x = Nên A ≤ + = , dấu “=” xảy ⇔ 3x − = − 3x ⇔ x = Vậy maxA = x = *Ví dụ 2: Cho x > Tìm GTNN biểu thức A = 3x + 16 x3 16 có tích khơng phải số Muốn khử x tử x3 Nhận xét: 3x phải có x = x.x.x phải biểu diễn 3x = x + x + x dùng bất đẳng thức Côsi cho số dương 3x + 16 16 16 16 = x + = x + x + x + ≥ 44 x.x.x = 4.2 = x x x x 16 Dấu “=” xảy x = ⇔ x=2 x Giải: A = Vậy minA = x=2 x + y = 10 Tìm GTNN x + y *Ví dụ 3: Cho Nhận xét: ( x) + ( y) 2 = x+ y Giải: Do áp dụng bất đẳng thức Bu-nhi-a-cốp-xki cho hai số (1;2) ( x; y ) Ta được: (1 x +2 y ) ≤ (1 2 ) + 22 ( x + y) 10 ≤ 5( x + y ) ( x + y ) ≥ 20 Dấu “=” xảy y x = ⇔ x = 4, y = 16 Vậy min( x + y) = 20 x = 4, y = 16 IV Bài tập có hướng dẫn: 16 Bài 1: Cho x > ; y > x + y = 2a (a > 0) 1 + x y Tìm giá trị nhỏ biểu thức A = HD Giải: x + y 2a = = a ⇒ xy ≤ a 2 a x + y 2a a ≥ = A= (dấu “=” xảy ⇔ x = y = a) xy a a Vậy A = (khi x = y = a) xy ≤ Bài 2: Tìm giá trị lớn biểu thức A = x − + 23 − x HD Giải: ĐKXĐ: ≤ x ≤ 23 max A2 = 36 ⇔ max A = (khi x = 14) Bài 3: Cho x + y = 15 , tìm giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn biểu thức: B = x−4 + y −3 HD Giải: ĐKXĐ: x ≥ ; y ≥ B ≥ ⇒ B = (khi x = 4; y = 11 x = 12; y = 3) max B2 = 16 ⇒ max B = (khi x = 8; y = 7) 2x − 6x + Bài 4: Tìm giá trị nhỏ biểu thức A = x > 2x HD Giải: A = x+ 5 −3≥ x⋅ − = 10 − (dấu “=” xảy ⇔ x = 2x 2x 2x ⇔ x= (khi x = Vậy A = 10 − 10 ) 10 ) Bài 5: Cho a, b, x số dương Tìm giá trị nhỏ biểu thức: P= ( x + a )( x + b ) x HD Giải: P= x+ ab ab + ( a + b) ≥ x ⋅ + ( a + b) = x x Vậy P = ( a+ b ) ( a+ b ) (dấu “=” xảy ⇔ x = ab ) (khi x = ab ) x + x + 17 Bài 6: Cho x ≥ , tìm giá trị nhỏ biểu thức Q = 2( x + 1) HD Giải: 17 ( x + 1) + 16 = x + + ≥ Q= 2( x + 1) x +1 x +1 = x +1 (dấu “=” xảy ⇔ Vậy Q = x +1 ⋅ =4 x +1 ⇔ x = 3) (khi x = 3) Bài 7: Tìm giá trị nhỏ biểu thức M = HD Giải: ĐKXĐ: x ≥ ( M= ) x + + 25 x +3 = x +3+ (dấu “=” xảy ⇔ Vậy M = 10 x + x + 34 x +3 25 x +3 x +3= ≥ 25 = 10 25 x +3 ⇔ x = 4) (khi x = 4) Bài 8: Cho x > 0, tìm giá trị nhỏ biểu thức N = x + 2000 x HD Giải: 2000 1000 1000 1000 1000 = x2 + + ≥ 3 x2 ⋅ ⋅ = 100 = 300 x x x x x 1000 ⇔ x = 10) (dấu “=” xảy ⇔ x = x N= x + Vậy N = 300 (khi x = 10) Bài 9: Cho x > ; y > x + y ≥ Tìm giá trị nhỏ biểu thức: P = 5x + y + 12 16 + x y HD Giải: 12   16  12 16  +  y +  ≥ 12 + x ⋅ + y ⋅ x  y x y 16 12 ⇔ 3x = = 12 + 12 + = 32 (dấu “=” xảy y = ) y x ⇔ x = y = ) Vậy P = 32 (khi x = ; y = ) P   = 2( x + y ) +  x + Bài 10: Cho x > y xy = 5, tìm giá trị nhỏ biểu thức Q = HD Giải: x + 1,2 xy + y x− y ( x − y ) + 3,2 xy = ( x − y ) + 16 ≥ 16 = x− y x− y 16 ⇔ x − y = , kết hợp điều kiện xy = ta (dấu “=” xảy ⇔ x − y = x− y Q= x = ; y = x = -1 ; y = -5) Vậy Q = (khi x = ; y = x = -1 ; y = -5) 18 Bài 11: Cho x > 1, tìm giá trị lớn biểu thức A = x + HD Giải: 25 x −1 25 25 + ≥ 4( x − 1) + = 2.10 + = 24 x −1 x −1 25 ⇔x= ) (dấu “=” xảy ⇔ 4( x − 1) = x −1 Vậy A = 24 (khi x = ) A = 4( x − 1) + Bài 12: Cho < x < , tìm giá trị nhỏ biểu thức B = HD Giải: B= + 1− x x 3x 4(1 − x ) 3x 4(1 − x ) + +7≥2 ⋅ +7 = 7+4 = 2+ 1− x x 1− x x 3x 4(1 − x ) = ⇔ x = −1 ) (dấu “=” xảy ⇔ 1− x x ( ( ( ) Vậy B = + (khi x = Chú ý: Làm để biểu diễn được: + 1− x + 1− x Ta đặt ( ) ) ) −1 ) 3x 4(1 − x ) = + +7 ? x 1− x x 3ax 4b(1 − x ) = + +c x 1− x x Sau dùng phương pháp đồng hệ số, ta tìm a = b = ; c = Bài 13: Cho x, y, z ≥ thỏa mãn điều kiện x + y + z = a a) Tìm giá trị lớn biểu thức A = xy + yz + zx b) Tìm giá trị nhỏ biểu thức B = x + y + z HD Giải: a) xy ≤ x2 + y2 y2 + z2 z2 + x2 ; yz ≤ ; zx ≤ 2 xy + yz + zx ≤ x + y + z ; xy + yz + zx ≤ ( x + y + z ) − 2( xy + yz + zx ) 3A ≤ a ; A ≤ a2 (dấu “=” xảy ⇔ x = y = z = a a2 (khi x = y = z = ) 3 2 2 b) B = x + y + z = ( x + y + z ) − 2( xy + yz + zx ) B = a − 2( xy + yz + zx ) a2 ⇔ ⇔ ( ) xy + yz + zx xy + yz + zx = B max (theo câu a) a 2a a = Lúc B = a − (khi x = y = z = ) 3 Vậy max A = 19 a ) Bài 14: Cho x, y, z số dương thỏa mãn điều kiện x + y + z ≥ 12 x Tìm giá trị nhỏ biểu thức P = y + y z + z x HD Giải: x y z 2x y y z 2z x + + + + + P = y z x z x y Áp dụng bất đẳng thức Cô-si cho số dương, ta được: x2 x y x y x x y.z + + + z ≥ 44 = 4x y yz z z y2 y z y z y y z x + + +x≥4 = 4y z xz x x z2 z x z x z z x y + + + y ≥ 44 = 4z x yx y y P2 ≥ 4( x + y + z ) − ( x + y + z ) = 3( x + y + z ) P2 ≥ 3.12 = 36 (dấu “=” xảy ⇔ x = y = z = 4) Vậy P = (khi x = y = z = 4) Do Bài 15: Cho x, y, z số dương thỏa mãn điều kiện x + y + z = a  a  a  a  Tìm giá trị nhỏ biểu thức Q = 1 + 1 + 1 +   HD Giải: x  y  z 1+ 2 a x + x + y + z x + yz 44 x yz ; = ≥ ≥ x x x x 1+ 2 a y + y + x + z y + xz 44 y xz ; = ≥ ≥ y y y y 2 a z + z + x + y z + yx 44 z yx ; 1+ = ≥ ≥ z z z z Do Q ≥ 644 ( xyz ) = 64 xyz a (dấu “=” xảy ⇔ x = y = z = ) Vậy Q = 64 (khi x = y = z = a ) Bài 16: Cho a, b, c số dương thoả mãn điều kiện a + b + c = Tìm giá trị nhỏ biểu thức A = HD Giải: Tương tự Mặt khác (1 + a )(1 + b )(1 + c ) (1 − a )(1 − b )(1 − c ) a + b + c = ⇒ 1− a = b + c > 1− b > ; 1− c > + a = + (1 − b − c ) = (1 − b ) + (1 − c ) ≥ (1 − b )(1 − c ) Tương tự + b ≥ (1 − a )(1 − c ) ; + c ≥ (1 − a )(1 − b ) Suy (1 + a )(1 + b )(1 + c ) ≥ (1 − a ) (1 − b ) (1 − c ) = 8(1 − a )(1 − b )(1 − c ) 20 A = (1 + a )(1 + b )(1 + c ) ≥ (1 − a )(1 − b )(1 − c ) (dấu “=” xảy ⇔ − a = − b = − c ⇔ a = b = c = ) Vậy A = (khi a = b = c = ) Bài 17: Cho x, y thỏa mãn điều kiện x + y = x > Tìm giá trị lớn biểu thức: B = x2 y3 HD Giải: Nếu y ≤ B ≤ (1) Nếu y > thì: 1= x+ y = x x y y y x x y y y x2 y3 + + + + ≥ 55 ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ = 55 2 3 2 3 108 x2 y3   108 ≤   ⇒ x2 y3 ≤ 108   3125 Suy (2) Vậy B≤ 108 3125 x y = ⇔ x = ;y = ) 5 (khi x = ; y = ) 5 (dấu “=” xảy ⇔ Từ (1) (2) suy ra: max B = 108 3125 III Bài tập tự luyện 1) Cho x > 0, y > 0, x + y = 2a (a > 0) 1 Tìm GTNN biểu thức A = x + y 2) Tìm GTLN biểu thức A = x − + 23 − x 3) Cho x + y = 15 Tìm GTNN; GTLN biểu thức B = x − + y − 2x − 6x + ,x > 4) Tìm GTNN biểu thức A = 2x 5) Cho a, b, x số dương Tìm GTNN biểu thức P = 6) Cho x ≥ Tìm GTNN Q = 7) Tìm GTNN biểu thức M = ( x + a )( x + b ) x x + x + 17 2( x + 1) x + x + 34 x +3 x + 2000 8) Cho x > Tìm GTNN biểu thức P = x 12 16 9) Cho x > 0, y > 0, x + y ≥ Tìm GTNN thức sau P = x + y + x + y 10) Cho x > y, x.y = Tìm GTNN biểu thức Q = 21 x + 1,2 xy + y x− y 25 x −1 + 12) Cho 0 Tìm GTNN biểu thức P =... 0, x + y = 2a (a > 0) 1 Tìm GTNN biểu thức A = x + y 2) Tìm GTLN biểu thức A = x − + 23 − x 3) Cho x + y = 15 Tìm GTNN; GTLN biểu thức B = x − + y − 2x − 6x + ,x > 4) Tìm GTNN biểu thức A = 2x... z ≥ Thỏa điều kiện x+y+z =a 11) Cho x>1 Tìm GTLN A = 4x + a) Tìm GTLN biểu thức A= xy+yz+xz b) Tìm GTNN B= x +y +z LỜI KẾT Trên số dạng tốn tìm GTLN, GTNN biến đổi bất đẳng thức Côsi mức độ dùng