Bồi dưỡng học sinh giỏi Toán 9 Ôn thi tuyển sinh lớp 10 môn Toán chuyên Chuyên đề biến đổi đại số (có lời giải)

Tài liệu được WiKi Way biên soạn gồm các bài toán liên quan đến biến đổi đại số trong Toán 9 (căn bậc hai, căn bậc ba; rút gọn biểu thức; tìm gtnn, gtln; ...) + Tóm tắt kiến thức + Ví dụ (có lời giải) + Bài tập rèn luyện (có lời giải)

Chủ đề 1: Biến đổi đại số Chủ đề 1: BIẾN ĐỔI ĐẠI SỐ Chương 1: Căn thức 1.1 CĂN THỨC BẬC Kiến thức cần nhớ:  Căn bậc hai số thực a số thực x cho x  a  Cho số thực a không âm Căn bậc hai số học a kí hiệu x mà bình phương a : a  x      ax x  a   Với hai số thực khơng âm a, b ta có:  Khi biến đổi biểu thức liên quan đến thức bậc ta cần lưu ý: A0 A + A2  A   A0  A + A2 B  A B  A B với A, B  ; + A  B + + A.B  B2 a số thực không âm a  b  a  b A2 B  A B   A B với A  0; B  A.B với AB  0, B  B M M A  với A  ;(Đây gọi phép khử thức mẫu) A A   M A B M  với A, B  0, A  B (Đây gọi phép trục thức mẫu) A B A B 1.2 CĂN THỨC BẬC 3, CĂN BẬC n 1.2.1 CĂN THỨC BẬC Kiến thức cần nhớ:  Căn bậc số a kí hiệu  Cho a  R; a  x  x   Mỗi số thực a có bậc  Nếu a  a 0  Nếu a  a 0  Nếu a  a 0  a  a 3a  với b  b 3b  ab  a b với a, b  ab a  b  A B  A3 B Biên soạn: WiKi Way 3 a số x cho x3  a a 0586 237 830 www.facebook.com/wikiway1119 Chủ đề 1: Biến đổi đại số    A  B 3 AB với B  B A A  B B3 3  A3 B AB  B với A  B A B A2 1.2.2 CĂN THỨC BẬC n Cho số a  R, n  N ; n  Căn bậc n số a số mà lũy thừa bậc n a  Trường hợp n số lẻ: n  2k  1, k  N Mọi số thực a có bậc lẻ nhất: k 1 a  x  x2k 1  a , a  k 1 a  , a  k 1 a  , a  a 0 Trường hợp n số chẵn: n  2k , k  N k 1  Mọi số thực a  có hai bậc chẵn đối Căn bậc chẵn dương kí hiệu (gọi bậc 2k số học a ) Căn bậc chẵn âm kí hiệu 2k a , 2k 2k a a  x  x  x 2k  a ; 2k a  x  x  x 2k  a Mọi số thực a  khơng có bậc chẵn Một số ví dụ: Ví dụ 1: Phân tích biểu thức sau thành tích: a) P  x4  b) P  8x3  3 c) P  x4  x2  Lời giải:    x  a) P   x   x    x  x   x   b) P   x      2x    3x  c) P   x  1  x   x  x  1 x  x  1 Ví dụ 2: Rút gọn biểu thức: a) A  x  x  x  x  b) B  x  x   x  x  x  c) C     10  Lời giải: Biên soạn: WiKi Way 0586 237 830 www.facebook.com/wikiway1119 Chủ đề 1: Biến đổi đại số a) A  x  x  x  x + Nếu x 1   x  x   x 2  1  x  1   x  x x x 1  x   A 2 + Nếu 1  x   A2 x  2 b) B  4x  4x 1  4x  4x 1  4x 1  4x 1   4x 1  4x 1   Hay B   4x 1 1    4x 1   + Nếu 4x 1 1   4x 1   x  + Nếu 4x 1 1   4x 1    c) Để ý rằng:     4x 1 1  4x 1   x    x   suy B  x  1  x  2 4x 1 1  4x 1  x     x   suy B   74  2 Suy  C     10(2  3)    28 10    5   Hay C    5(5  3)   25     Ví dụ 3) Chứng minh: a) A     số nguyên 84 84 số nguyên (Trích đề TS vào lớp 10 chuyên Trường THPT  1 9 chuyên ĐHQG Hà Nội 2006) b) B   c) Chứng minh rằng: x  a   a  8a  a  8a  1  a với a  số tự nhiên 3 3 d) Tính x  y biết x  x  2015  y   y  2015  2015 Lời giải: a) Dễ thấy A  0, Tacó A2   72  72          14  2.5  Suy A  2 Biên soạn: WiKi Way 0586 237 830 www.facebook.com/wikiway1119 Chủ đề 1: Biến đổi đại số b) Áp dụng đẳng thức:  u  v   u  v3  3uv  u  v  Ta có: 3   84 84  84 84 84 84    1  B3     1 1  3  1   9  9 9       84 84   1  Hay  1  9     84  84  84 3 1 B3   3 1   B  B   B  B3   B  B3  B       9 81    1    B  1  B  B    mà B  B    B     suy B  Vậy B số nguyên 2  c) Áp dụng đẳng thức:  u  v   u  v3  3uv  u  v  Ta có x3  2a  1  2a  x  x3   2a  1 x  2a    x  1  x  x  2a   Xét đa thức bậc hai x2  x  2a với    8a  + Khi a  1 ta có x    8 1 + Khi a  , ta có    8a âm nên đa thức (1) có nghiệm x  Vậy với a  ta 8 có: x  a  a  8a  a  8a   a  số tự nhiên 3 3 d) Nhận xét:  x  2015  x Kết hợp với giả thiết ta suy    x  2015  x  x  2015  x  2015 x  2015  x  y  2015  y y  2015  y  x  2015  x  x  2015  x  y  2015  y  x  y  Ví dụ 4) a) Cho x   10    10  Tính giá trị biểu thức: x  x3  x  x  12 P x  x  12 b) Cho x   Tính giá trị biểu thức B  x5  x4  x3  3x2  1942 (Trích đề thi vào lớp 10 Trường PTC Ngoại Ngữ - ĐHQG Hà Nội năm 2015-2016) c) Cho x    Tính giá trị biểu thức: P  x5  4x4  x3  x2  2x  2015 Giải: Biên soạn: WiKi Way 0586 237 830 www.facebook.com/wikiway1119 Chủ đề 1: Biến đổi đại số   a) Ta có: x    10    10      10   10     x2        1     1        x   Từ ta suy  x  1   x  x  x Ta biến đổi: P   x    x  x   12 x  x  12 42  3.4  12    12 b) Ta có x     x  1   x3  3x  3x   Ta biến đổi biểu thức P thành: P  x ( x3  3x  3x  3)  x  x3  3x  3x  3   x  3x  3x  3  1945  1945 c) Để ý rằng: x  22   ta nhân thêm vế với a  b   a  b   a  ab  b  Khi ta có: 3   1    1    1 x   x  x   x  1 x  3  để tận dụng đẳng thức: 2 3   x  1  x3  3x  3x   Ta biến đổi: P  x5  x  x3  x  x  2015   x  x  1 x3  3x  3x  1  2016  2016 Ví dụ 5) Cho x, y, z  xy  yz  zx  1  y 1  z   y 1  z 1  x   z 1  x 1  y  a) Tính giá trị biểu thức: P  x b) Chứng minh rằng: 2  x2 x y z    2 1 x 1 y 1 z2 2 1 y2 1 z2 xy 1  x 1  y 1  z  2 Lời giải: a) Để ý rằng:  x2  x2  xy  yz  zx  ( x  y)( x  z) Tương tự  y ;1  z ta có: 1  y 1  z   x  y  x  y  z  z  x  z  y   x  y  z  x  x2  x  y  x  z  Suy P  x  y  z   y  z  x   z  x  y    xy  yz  zx   b) Tương tự câu a) Biên soạn: WiKi Way 0586 237 830 www.facebook.com/wikiway1119 Chủ đề 1: Biến đổi đại số Ta có:  x y z x y z      2 1 x 1 y 1 z  x  y  x  z   x  y  y  z   z  y  z  x  x  y  z  y  z  x  z  x  y xy    x  y  y  z  z  x   x  y  y  z  z  x  xy 1  x 1  y 1  z  2 Ví dụ 6) a) Tìm x1 , x2 , , xn thỏa mãn: x1  x2   xn   x12  12  x2  22   n xn  n2  4n  4n2  b) Cho f (n)  với n nguyên dương Tính f (1)  f (2)   f (40) 2n   n  Lời giải: a) Đẳng thức tương đương với:     x12  12   x22  22     xn  n2  n  0 Hay x1  2, x2  2.22 , , xn  2.n2  x  y  4n  b) Đặt x  2n  1, y  2n    xy  4n   x2  y   Suy f (n)  x  xy  y x3  y 3    x  y3   x y x y 2 toán ta có: f 1  f     f  40      1     33  13    2n 1   53  33     2n  1  Áp dụng vào  813  793   813  13  364 Ví dụ 7) a) Chứng minh rằng: b) Chứng minh rằng: 1     Đề thi chuyên ĐHSP 2011 1 3 79  80 1 1        1   2 3 n n 1 n 1   c) Chứng minh: n   1 1       n  với số nguyên dương n n  Lời giải: a) Xét A  1 1 1       , B 1 3 79  80 2 4 80  81 Biên soạn: WiKi Way 0586 237 830 www.facebook.com/wikiway1119 Chủ đề 1: Biến đổi đại số Dễ thấy A  B 1 1      1 2 3 79  80 80  81 Ta có A  B  Mặt khác ta có: k  k 1  Suy A  B    2     k 1  k k 1  k        k 1  k   k 1  k  81  80  81   Do A  B suy 2A  A  B   A  1 1 với k nguyên dương    k k 1 2k k  k (k  1) k   k b) Để ý rằng:     1         Suy VT  1        1     2 2  3 n 1  n 1    n  c) Đặt P  Ta có: n  n 1 Từ suy 2  1 1      n   n 1  n   T     Do đó:   2 với số tự nhiên n    n n n  n 1   n 1  n  2 n  2   2 n 1  n n n  n 1 n  n 1   n  n  hay         n   n   T  1       n  n    2  Hay n   T  n 1 Ví dụ 8) a) Cho ba số thực dương a, b, c thỏa mãn a  b  b  c  c  a  a  b2  c  Chứng minh rằng: a) Tìm số thực x, y, z thỏa mãn điều kiện: x  y  y  z  z  x  (Trích đề thi tuyến sinh vào lớp 10 chuyên Toán- Trường chuyên ĐHSP Hà Nội 2014) Lời giải: Biên soạn: WiKi Way 0586 237 830 www.facebook.com/wikiway1119 Chủ đề 1: Biến đổi đại số a) Áp dụng bất đẳng thức Cauchy cho hai số khơng âm ta có a  b2  b  c  c  a  a   b2 b2   c c   a    2 2 a   b a   b    Đẳng thức xảy b   c  b   c  a  b  c  (đpcm)  c   a 2 c   a   b) Ta viết lại giả thiết thành: x  y  y  z  z  x  Áp dụng bất đẳng thức : 2ab  a2  b2 ta có: x  y  y  z  z  x  x   y  y   z  z   x  Suy VT  VP Dấu xảy  x  y  z  3; x, y, z   x, y , z  x  1 y2   2   x  y  x  y    x  1; y  0; z  Ví dụ 9) Cho khi:  y   z    2 y  z  y  z     2  z   x  z  x2    z  x  A x  x4 x4  x4 x4 x  x  16  với x  a) Rút gọn A Tìm x để A đạt giá trị nhỏ b) Tìm giá trị ngun x để A có giá trị nguyên Lời giải: a) Điều kiện để biểu thức A xác định x   x A  x   x4 2     x  4 x4 2 x4 2 2  x4 2  x    x4 2  x4 2 x4   x4 + Nếu  x  x    nên A  x  x4 22 x4 x4  4x 16  4 x4 x4 Do  x  nên  x    A  Biên soạn: WiKi Way 0586 237 830 www.facebook.com/wikiway1119 Chủ đề 1: Biến đổi đại số + Nếu x  x  x    nên x4 2 x4 2   2x x4  x4 2x  x4   16  (Theo bất đẳng x4 x4 x4 thức Cô si) Dấu xảy x    x4 4 x 8 x4 A Vậy GTNN A x  16 16 , ta thấy A  Z  Z  x  ước số x4 x4 nguyên dương 16 Hay x   1; 2; 4;8;16  x  5;6;8;12; 20 đối chiếu điều kiện suy b) Xét  x  A   x  x  + Xét x  ta có: A  A  m2   m  2m  2x , đặt x4  x  m2  x4  m  ta có: m  suy m  2; 4;8  x  8; 20;68 m Tóm lại để A nhận giá trị nguyên x  5;6;8; 20;68 MỘT SỐ BÀI TẬP RÈN LUYỆN Câu (Đề thi vào lớp 10 thành phố Hà Nội – năm học 2013-2014) Với x  , cho hai biểu thức A  2 x B  x x 1 x 1  x x x 1) Tính giá trị biểu thức A x  64 2) Rút gọn biểu thức B A 3) Tính x để  B Câu (Đề thi năm học 2012 -2013 thành phố Hà Nội) 1) Cho biểu thức A  x 4 Tính giá trị biểu thức A x 2  x  x  16 2) Rút gọn biểu thức B   (với x  0, x  16 )  : x   x   x 4 3) Với biểu thức A B nói trên, tìm giá trị ngun x để giá trị biểu thức B  A  1 số nguyên Câu (Đề thi năm học 2011 -2012 thành phố Hà Nội) Cho A  x 10 x   , với x  0, x  25 x  x  25 x 5 Biên soạn: WiKi Way 0586 237 830 www.facebook.com/wikiway1119 Chủ đề 1: Biến đổi đại số 10 1) Rút gọn biểu thức A 2) Tính giá trị A x  3) Tìm x để A  Câu (Đề thi năm học 2010 -2011 thành phố Hà Nội) Cho P  x x 3x    , với x  0, x  x 3 x 3 x 9 1) Rút gọn P 2) Tìm giá trị x để P  3) Tìm giá trị lớn P Câu (Đè thi năm học 2014 – 2015 Thành phố Hồ Chí Minh) Thu gọn biểu thức sau: A 5 5   52 1  x     B    : 1   x 3  x x3 x   x3 x  x  0 Câu (Đề thi năm học 2013 – 2014 TPHCM) Thu gọn biểu thức sau:  x  x 3 với x  0, x  A     x   x   x 3  B  21   3   6 2  3  15 15 Câu (Đề thi năm 2014 – 2015 TP Đà Nẵng) Rút gọn biểu thức P  x 2x   , với x  0, x  x2 xx Câu (Đề thi năm 2012 – 2013 tỉnh BÌnh Định) Cho A  1 1     1 2 3 120  121 Biên soạn: WiKi Way 0586 237 830 www.facebook.com/wikiway1119 Chủ đề 1: Biến đổi đại số B  1 11 1   35 Chứng minh B  A Câu (Đề thi năm 2014 – 2015 tỉnh Ninh Thuận) Cho biểu thức P  x3  y x y ,x  y 2 x  xy  y x  y 1) Rút gọn biểu thức P 2) Tính giá trị P x   y   Câu 10 (Đề thi năm 2014 – 2015 , ĐHSPHN) Cho số thực dương a, b ; a  b Chứng minh rằng:   a  b a b   b b  2a a  a a b b 3a  ab 0 ba Câu 11 (Đề thi năm 2014 – 2015 chuyên Hùng Vương Phú Thọ) A x  x  x  x  19 x  x   ; x  0, x  x 9 x  x  12 x  x Câu 12 (Đề thi năm 2014 – 2015 tỉnh Tây Ninh) Cho biểu thức A  1 x   2 x 2 x 4 x  x  0, x   Rút gọn A tìm x để A  Câu 13 (Đề thi năm 2014 – 2015 chuyên Lê Khiết Quảng Ngãi) 1) Cho biểu thức P  3 x xx   Tìm tất giá trị x để x 3  x x 3  x x 1 P2 2) Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho  P  : y   x đường thẳng  d  : y  mx  ( m tham số) chứng minh với giá trị m , đường thẳng  d  cắt  P  hai điểm phân biệt có hồnh độ x1 , x2 thỏa mãn x1  x2  Câu 14 (Đề thi năm 2014 – 2014 chuyên Lam Sơn Thanh Hóa) Biên soạn: WiKi Way 0586 237 830 www.facebook.com/wikiway1119 Chủ đề 1: Biến đổi đại số Cho biểu thức C  12 a 2   a  16 a 4 a 4 1) Tìm điều kiện a để biểu thức C có nghĩa rút gọn C 2) Tính giá trị biểu thức C a   Câu 15 (Đề thi năm 2014 – 2015 chuyên Thái Bình tỉnh Thái BÌnh)  x 7  x 3 Cho biểu thức A      :  x  2 x  x  x   x 10 x  x  0, x   1) Rút gọn biểu thức A 2) Tìm x cho A nhận giá trị số nguyên Câu 16 (Đề năm 2014 – 2015 Thành Phố Hà nội) 1) Tính giá trị biểu thức A  x 1 , x  x 1  x 1  x2 2) Cho biểu thức P   với x  x    x   x 1  x2 x a) Chứng minh P  x 1 x b) Tìm giá trị x để 2P  x  Câu 17) Cho a       Chứng minh a2  2a   Câu 18) Cho a   10    10  Tính giá trị biểu thức: T  a  4a  a  6a  a  2a  12 Câu 19) Giả thiết x, y, z  xy  yz  zx  a  a  y  a  z   y  a  z   a  x  Chứng minh rằng: x 2 a  x2 a  y2  a  x  a  y   2a z a  z2 Câu 20 Cho a    61  46  a) Chứng minh rằng: a4 14a2   b) Giả sử f  x   x5  x  14 x  28 x  x  19 Tính f  a  Câu 21 Cho a  38  17  38  17 Biên soạn: WiKi Way 0586 237 830 www.facebook.com/wikiway1119 Chủ đề 1: Biến đổi đại số 13 Giả sử có đa thức f  x    x3  3x  1940  Câu 22 Cho biểu thức f  n   2016 Hãy tính f  a  2n   n  n  1 n  n 1 Tính tổng S  f 1  f    f  3   f  2016  Câu 23) Chứng minh với số nguyên dương n , ta có: 1 1 1      2 n Câu 24) Chứng minh với số nguyên dương n  , ta có 1 1 65      3 n 54 Câu 25) Chứng minh rằng: 43 1 44      44   2002 2001  2001 2002 45 (Đề thi THPT chuyên Hùng Vương Phú Thọ năm 2001-2002) Câu 26) Chứng minh với số nguyên dương n , ta có: 1 1     1 2 1 3  2 n 1  n  1 n   n n Câu 27) Chứng minh với số nguyên dương n  , ta có: 10 3n  3n  1  12 3n 3n  3 n  LỜI GIẢI BÀI TẬP RÈN LUYỆN CHỦ ĐỀ 1) Lời giải: 1) Với x  64 ta có A  B      64    64  x 1 x  x  x 1 x  x x  x Với x  , ta có:   x x  2x  1  x xx x 1 A 2 x 2 x   :   B x x 1 x 2 x 1 x 1  x  x   x  x    x  (do x  ) Biên soạn: WiKi Way 0586 237 830 www.facebook.com/wikiway1119 Chủ đề 1: Biến đổi đại số 14 Lời giải: 36  10   36  1) Với x  36 , ta có A  2) Với x  0, x  16 ta có:     x x 4 x 4 B   x  16 x  16      x   x  16  x  x 2    x  16  x  16  x  16  x  16  x 2 x 4 x 2    x  16  x 2  x  16 3) Biểu thức B  A  1  B  A  1 nguyên, x nguyên x  16 ước , mà U    1; 2 Ta có bảng giá trị tương ứng: Kết hợp điều kiện, để B  A  1 nguyên x  14;15;16;17 3) Lời giải:  x  5  x  5 x  5  x  5  A  x  x  10 x  x  25 x  10 x  25     x  5 x  5  x  5 x  5  x  5 x  5 A x 10 x    x  x  25 x 5 x   x   10 x  x  Vậy A  có: x 5 Với x  ta x 5  2   35 4) Lời giải: 1) P  x   x 3  x  x 3    x   3x  x 3   x 3   x    x  36 (thỏa mãn ĐKXĐ) x 3 3 3) Với x  0, P     Pmax  x  (TM) x 3 03 2) P   Lời giải: A  5 5   52 1  5     2   2  2 Biên soạn: WiKi Way   1  1   3   3  3   1 0586 237 830 www.facebook.com/wikiway1119 Chủ đề 1: Biến đổi đại số  5 15   15    15   5 4  55  x     B    : 1    x  0 x 3  x x3 x   x3 x   x   x 2      : x 3  x x x 3  x 3   x 1  : x 3            x  3      x  x  3  x 1 x 2  x  x x  Lời giải: Với x  x  ta có:   x 3 x 3 x 9  x 3 A    x 3 x x 3  x 9          2 21         15 15 2 2 21 15      3     15 15    15 15  60 2 B       7) Lời giải: Với điều kiện cho thì: P 2x  x 2 x     x x   x   x   2 x x Lời giải: Ta có: A    1 1     1 2 3 120  121 1  1  1    2 2  2     120  121 120  121  120  121  1 2 120  121     1     121  120  1  121  10 (1) 1 1 1 Biên soạn: WiKi Way 0586 237 830 www.facebook.com/wikiway1119 Chủ đề 1: Biến đổi đại số Với k  B  1 * 16 2   2 k k k k  k 1 , ta có: 1   35 B2   k 1  k   Do          36  35  B    36   1    10 (2) Từ (1) (2) suy B  A Lời giải: x3  y x y x y  2 x  xy  y  x  y  x  y  x  y 1) P  2) Với x     y     Thay vào P ta được: P    1 2  3    1  3  3 10.Lời giải: Ta có: Q       a b   a b a b   b b  2a a  a a b b a b  a  b   3  b b  2a a  a  b a  ab  b  a  b a  ab  b a   a a  3a b  3b a  b b  2a a  3a  ab ba     a b a a b 3a a  3a b  3b a  3a a  3a b  3b a   a  b a  ab  b   a b   a b  0   (ĐPCM) 11 Lời giải: A  x  x  x  x  19 x  x    x 9 x  x  12 x  x x  x   x  x  19  x   x 3  x 4  x 2  x 3 x  x  19   x  3 x  4 x 1 x  15  x  1 x      x  3 x  4 x  x 5 x 4 12 Lời giải: Biên soạn: WiKi Way 0586 237 830 www.facebook.com/wikiway1119 Chủ đề 1: Biến đổi đại số 17   1 x x 2 x 2       Với A    4 x 2 x 2 x 4 x 4 x 4 x 2 x 2 x  x   x  16 (nhận) Vậy A  x  16 A 13 Lời giải: 1) ĐKXĐ: x  P    3 x x  x x   3  x   x x x 1      x  3  x x 1 x 3  x x 3  x x 1 x 3  x  x2 x3 3 Vì P   x  x     x  3  x       x     x     x    x  Vậy x  x  2) Phương trình hồnh độ giao điểm  P   d  là: x2  mx 1  có   m2   với m , nên phương trình ln có hai nghiệm phân biệt x1 , x2 Theo hệ thức Viet ta có: x1  x2  m x1 x2  1   x1  x2    m   x12  x22  x1 x2  m   x1  x2   x1 x2  m   x1  x2    1  m 2 2   x1  x2   m   với m  x1  x2  với m (ĐPCM) 14 Lời giải: a  a  a  16  a  16     a  0, a  16 1) Biểu thức C có nghĩa khi:   a   a  16  a   a   Rút gọn C  a 2    a  16 a 4 a 4  a a 4  a 4  a  4   a  4  a  a   a    a  4 a  4  a  4 a  4  a  a  4 a   a  a  a      a2   2  a 4 a 4 a4 a a 4  a 4  2) Giá trị C a    Ta có: a  a        Vậy C   a a 4   Biên soạn: WiKi Way   a 2    2 2 2   94 24 2 0586 237 830 www.facebook.com/wikiway1119 Chủ đề 1: Biến đổi đại số 18 15 Lời giải: 1) Với x  0, x  biểu thức có nghĩa ta có:  x 7  3 A      : x  2 x  x  x    x  10 x    : x 3 x  x  2  x  2 x  1 x  x  2 x 3 x   x  x  x  2 x         2 x 1  x 2  x 7 Vậy với x  0, x  A  2) Ta có A x x 1 x  0, x  0, x  nên A  x  0, x  0, x  x 1 x 5 5    , x  0, x    A  , kết hợp với A nhận giá trị số 2 x 1 2 x 1   nguyên A  1, 2 A   x  x 1  x  1  x  thỏa mãn điều kiện A   x  x   x   x  không thỏa mãn điều kiện Vậy với x  A nhận giá trị nguyên 16 Lời giải: 1) Với x  ta có A  1  1 2) a)  x2 x P  x x 2       x 1    x 1    b) Theo câu a) P   2P  x       x 1 x   x   x 1    x 1 x 2   x 1 x x 1 x x 2  x  x   2x  x  2x  x   x  x  1 1  x 2  x  0 x   x  2  17 Giải: Biên soạn: WiKi Way 0586 237 830 www.facebook.com/wikiway1119 Chủ đề 1: Biến đổi đại số 19    Do a  nên a  a2              62   a  1  hay a2  2a    1      1      Do 18 Giải:   a   16  10         1  8      Vì a  nên a   Do  a  1  hay a2  2a  Biểu diễn a T  2a    a  2a   a  2a  12  42  3.4    12 19 Giải: Ta có: a  x  x  xy  yz  zx   x  y  x  z  Tương tự ta có: a  y   y  x  y  z  ; a  z   z  x  z  y   a  y  a  z   x  x  y  y  z  z  x  z  y   x  x  y  Tương tự: Từ ta có: x  x  y  x  z  a  x2  a  z  a  x   y  z  x  ; z  a  x  a  y   z  x  y  Vậy y 2 a  y2 a  z2 VT  x  y  z   y  z  x   z  x  y    xy  yz  zx   2a 20 Giải: a) Vì  61  46     1 Từ a         a2   2   a   10  a  14a   b) Do f  x    x  14 x    x    x4 14a2   nên ta f  a   21 Giải: Vì a  38  17  38  17  3.3 38  17 38  17  a  76  3a  a  3a  76  f  a    76  1940  22 Nhân tử mẫu f  n  với Biên soạn: WiKi Way 2012  20162016 n   n , ta được: 0586 237 830 www.facebook.com/wikiway1119 Chủ đề 1: Biến đổi đại số 20 f  n    n  1 n   n n Cho n từ đến 2016 , ta được: f 1  2  1; f    3  2; ; f  2016   2017 2017  2016 2016 Từ suy ra: S  f 1  f    f  3   f  2016   2017 2017  23 Giải: Vì n số nguyên dương nên:  1 1       (1) Mặt khác, với k  ta 2 n có: 4    2  2   Cho k  2,3, 4, , n ta có: k 4k 4k   2k  2k   4 2 2 4 2 2             2 2 2 4.2 4.2  2.2  2.2  4.3 4.3  2.3  2.3  4 2 2       2 4.4 4.4  2.4  2.4  ………… 4 2 2  2     n 4n 4n  n  n  n  n  Cộng vế với vế ta được: 1 1 2         1  (2) Từ (1) (2) suy điều phải chứng minh 2 n 2n  3 24 Giải: Đặt P  1 1     Thực làm trội phân số vế trái cách làm giảm mẫu, ta 3 n có: 2 1     , k  k k  k  k  1 k  1  k  1 k k  k  1 Cho k  4,5, , n  1   1   1 1  2P                    3.4 4.5   4.5 5.6    n  1 n n  n  1  65 251 1 251 65       Do P  (đpcm) 64 108 3.4 n  n  1 108 3.4 27 25 Giải: Đặt Sn  1    1   n  1 n  n n  Biên soạn: WiKi Way 0586 237 830 www.facebook.com/wikiway1119 Chủ đề 1: Biến đổi đại số 21 Để ý :  k  1  k  1 k  k k    k  1 k  k k    , k  1  k  k  1 k  k k   k  1 k  k  k  1 k k 1 Cho k  1, 2, , n cộng vế với vế ta có: 1 1 1        1 2 n n 1 n 1 Sn  Do S2001   2002 Như ta phải chứng minh: 43 44 1  1     44 45 2002 45 2002 44  44  2002  45  1936  2002  2025 Bất đẳng thức cuối nên ta có điều phải chứng minh 26 Giải: Để giải tốn ta cần có bổ đề sau: Bổ đề: với số thực dương x, y ta có: x y  y x  x x  y y Chứng minh: Sử dụng phương pháp biến đổi tương đương x y  y x  x x y y  x x y y x y y x 0 x      x y y x y   y  x    x  y x y    x y 0  Bổ đề chứng minh Áp dụng bổ đề ta có:  n  1  n   n n  n n    n  1 n  n  1 1  n   n n n n    n  1 n Biên soạn: WiKi Way 0586 237 830 www.facebook.com/wikiway1119 Chủ đề 1: Biến đổi đại số Vì thế:  22 1     2 1 3  2  n  1 n   n n 1 Mà theo kết câu 25    n 1 1   n  1 n  n thì: 1 1     1 Vậy toán chứng minh 1  n 1  n  1 n  n n  Câu 27) Giải: Để ý phân số có tử mẫu đơn vị, nên ta nghĩ đến đẳng thức n n 1 10 3n  3n    n  n  n   n   Kí hiệu P  Ta có:  n2 n 12 3n 3n   10 3n  3n   10 3n  3n   P     3n 3n   12 3n 3n    12  3n  3n  10 3n  3n       3n 3n    10 3n  3n   12 1 3n  3n  3n 3n  1    3 10 3n  3n 3n  3n  3  3n  3  n  1 Từ suy P  Bất đẳng thức chứng minh n 1 Biên soạn: WiKi Way 0586 237 830 www.facebook.com/wikiway1119 ... www.facebook.com/wikiway11 19 Chủ đề 1: Biến đổi đại số   a) Ta có: x    10    10      10   10     x2        1     1        x   Từ ta suy  x  1   x  x  x Ta biến đổi: ... chuyên Toán- Trường chuyên ĐHSP Hà Nội 2014) Lời giải: Biên soạn: WiKi Way 0586 237 830 www.facebook.com/wikiway11 19 Chủ đề 1: Biến đổi đại số a) Áp dụng bất đẳng thức Cauchy cho hai số không âm...   10( 2  3)    28 ? ?10    5   Hay C    5(5  3)   25     Ví dụ 3) Chứng minh: a) A     số nguyên 84 84 số nguyên (Trích đề TS vào lớp 10 chuyên Trường THPT  1 9 chuyên