Tài liệu trình bày lý thuyết và lời giải chi tiết các bài tập của chuyên đề Cấp số nhân và Giới hạn dãy số, trong đề cương của trường THPT Trần Văn Giàu (quận Bình Thạnh, TPHCM).Tài liệu được sưu tầm và biên soạn kỹ lưỡng bởi WiKi Way Chuyển phát nhanh sách và tài liệu
GIẢI ĐỀ CƯƠNG TOÁN Lớp 11 - Học kỳ II - Năm học 2018 - 2019 Trường THPT Trần Văn Giàu (TPHCM) WiKi Way Ngày 20 tháng năm 2019 CẤP SỐ NHÂN A LÝ THUYẾT Định nghĩa Cấp số nhân dãy số (hữu hạn vô hạn), kể từ số hạng thứ hai trở đi, số hạng tích số hạng đứng trước với số khơng đổi q Số q gọi công bội cấp số nhân Nếu (un ) cấp số nhân với công bội q, ta có cơng thức truy hồi un+1 = un q, ∀n ∈ N∗ Số hạng tổng quát CSN: un = u1 q n−1 , ∀n ≥ Tính chất số hạng CSN: u2k = uk−1 uk+1 , ∀k ≥ Tổng n số hạng đầu CSN: Sn = u1 + u2 + + un Khi đó: Sn = u1 (1 − q n ) , q = 1−q B BÀI TẬP Bài Xác định số hạng đầu công bội cấp số nhân sau a) u4 + u2 = 60 u5 + u3 = 180 b) u7 − u1 = 728 u1 + u3 + u5 = 91 c) u7 + u1 = 1460 u1 + u3 = 20 d) u7 + u1 = 325 u1 − u3 + u5 = 65 Lời giải: Thay uk uk = u1 q k−1 , ∀k ≥ ta hệ hai phương trình hai ẩn u1 , q Giải hệ ta tìm u1 , q Giải đề cương a) Toán 11 học kỳ u4 + u2 = 60 u5 + u3 = 180 Gọi công bội q Theo đề ta có q u1 + qu1 = 60 ⇔ q u1 + q u1 = 180 (q + 1)qu1 = 60 (1) (q + 1)q u1 = 180 (2) Lấy (2) chia cho (1) vế theo vế ta q=3 Thay q = vào (1) ta (32 + 1).3u1 = 60 ⇔ u1 = Vậy cấp số nhân có số hạng đầu u1 = công bội q = b) u7 − u1 = 728 u1 + u3 + u5 = 91 Gọi công bội q Theo đề ta có q u1 − u1 = 728 ⇔ u1 + q u1 + q u1 = 91 (q − 1)u1 = 728 (1) (1 + q + q )u1 = 91 (2) Lấy (1) chia cho (2) vế theo vế ta (q − 1)(q + q + 1) = ⇔ q − = ⇔ q = ±3 1+q +q Thay q = ±3 vào (1) ta (36 − 1).u1 = 728 ⇔ u1 = Vậy cấp số nhân có số hạng đầu u1 = công bội q = ±3 c) u7 + u1 = 1460 u1 + u3 = 20 Gọi công bội q Theo đề ta có q u1 + u1 = 1460 ⇔ u1 + q u1 = 20 (q + 1)u1 = 1460 (1) (1 + q )u1 = 20 (2) Lấy (1) chia cho (2) vế theo vế ta (q + 1)(q − q + 1) = 73 ⇔ q − q + = 73 1+q ⇔ q = hay q = −8 (loại) ⇔ q = ±3 Thay q = ±3 vào (1) ta (36 + 1).u1 = 1460 ⇔ u1 = Vậy cấp số nhân có số hạng đầu u1 = công bội q = ±3 WiKi Way Giải đề cương d) Toán 11 học kỳ u7 + u1 = 325 u1 − u3 + u5 = 65 Tương tự câu b), ta q = ±2, u1 = Bài Xác định số hạng đầu công bội cấp số nhân sau a) u5 = 96 u9 = 192 b) u3 + u5 = 90 u2 − u6 = 240 c) u20 = 8u17 u3 + u5 = 272 d) 6u2 + u5 = 3u3 + 2u4 = −1 Lời giải a) u5 = 96 u9 = 192 Gọi cơng bội q Theo đề ta có q u1 = 96 (1) q u1 = 192 (2) Lấy (2) chia cho (1) vế theo vế ta √ q4 = ⇔ q = ± √ Thay q = ± vào (1) ta 2u1 = 96 ⇔ u1 = 48 √ Vậy cấp số nhân có số hạng đầu u1 = 48 công bội q = ± b) u3 + u5 = 90 u2 − u6 = 240 Gọi cơng bội q Theo đề ta có q u1 + q u1 = 90 (1) ⇔ qu1 − q u1 = 240 (2) (1 + q )q u1 = 90 (1) (1 − q )qu1 = 240 (2) Lấy (2) chia cho (1) vế theo vế ta (1 + q )(1 − q ) = ⇔ 3(1 − q ) = 8q ⇔ 3q + 8q − = ⇔ q = hay q = −3 (1 + q )q 3 Thay q = vào (1) ta 1+ WiKi Way u1 = 90 ⇔ u1 = 729 Giải đề cương Toán 11 học kỳ Thay q = −3 vào (1) ta (1 + 9) 9.u1 = 90 ⇔ u1 = 1 Vậy cấp số nhân có số hạng đầu u1 = 729 công bội q = ; cấp số nhân có số hạng đầu u1 = công bội q = −3 c) u20 = 8u17 u3 + u5 = 272 Gọi công bội q Theo đề ta có q 19 u1 − 8q 16 u1 = (1) ⇔ q u1 + q u1 = 272 (2) (q − 8)q 16 u1 = (1) (1 + q )q u1 = 272 (2) Do q = 0, u1 = nên (1) ⇔ q − = ⇔ q = Thay q = vào (2) ta (1 + 22 ).22 u1 = 272 ⇔ u1 = Vậy cấp số nhân có số hạng đầu u1 = d) 68 68 công bội q = 6u2 + u5 = 3u3 + 2u4 = −1 Gọi công bội q Theo đề ta có 6qu1 + q u1 = ⇔ 3q u1 + 2q u1 = −1 (6 + q )qu1 = (1) (3 + 2q)q u1 = −1 (2) Lấy (2) chia cho (1) vế theo vế ta (3 + 2q)q = −1 ⇔ + q = −2q − 3q ⇔ q + 2q + 3q + = ⇔ q = −2 + q3 Thay q = −2 vào (1) ta (6 − 8).(−2).u1 = ⇔ u1 = công bội q = −2 Bài Tìm số lập thành cấp số nhân Biết công bội số hạng tổng số hạng đầu 24 Lời giải Vậy cấp số nhân có số hạng đầu Gọi số cần tìm u1 , u2 , , u5 công bội cấp số nhân q Ta có 1 q = u1 q = u1 q = u1 ⇔ ⇔ 4 u1 + u2 = 24 u1 = hay u1 = −12 u1 + u1 u1 = 24 WiKi Way Giải đề cương Toán 11 học kỳ ⇔ ⇒ q=2 u1 = hay q = −3 u1 = −12 u1 = 8, u2 = 16, u3 = 32, u4 = 64, u5 = 128 u1 = −12, u2 = 36, u3 = −108, u4 = 324, u5 = −972 Bài Cho tứ giác ABCD có góc tạo thành cấp số nhân có cơng bội Tìm góc Lời giải Khơng tính tổng qt ta giả sử A = u1 , B = u2 , C = u3 , D = u4 , với (un ) cấp số nhân có cơng bội Khi B = u2 = 2u1 = 2A, C = u3 = 22 u1 = 4A, D = u4 = 23 u1 = 8A Do ABCD tứ giác nên A + B + C + D = 360 (độ) ⇔ A + 2A + 4A + 8A = 360 ⇔ 15A = 360 ⇔ A = 24 (độ) Suy B = 48o , C = 96o , D = 192o Vậy góc cần tìm 24o , 48o , 96o , 192o Bài Một cấp số nhân có số hạng đầu 9, số hạng cuối 2187, công bội q = Hỏi cấp số nhân có số hạng? Lời giải Giả sử cấp số nhân có n số hạng u1 , u2 , , un Theo giả thiết ta có u1 = 9, un = 2187 Hơn un = q n−1 u1 ⇔ 2187 = 3n−1 ⇔ 3n−1 = 243 = 35 ⇔ n − = ⇔ n = Vậy cấp số nhân có số hạng Bài Xác định cấp số nhân có cơng bội q = 3, số hạng cuối 486 tổng số hạng 728 Lời giải Do tổng số hạng cấp số nhân 728 nên cấp số nhân có hữu hạn số hạng Ta giả sử cấp số nhân có n số hạng u1 , u2 , , un Ta có 3n−1 u1 = 486 un = 486 3n u1 = 486.3 = 1458 n ⇔ ⇔ u (1 − ) Sn = 728 u1 − 3n u1 = −1456 = 728 1−3 ⇔ 3n u1 = 1458 ⇔ u1 − 1458 = −1456 3n = 1458 ⇔ u1 = n=6 u1 = Vậy cấp số nhân cần tìm u1 = 2, u2 = 6, u3 = 18, u4 = 54, u5 = 162, u6 = 486 WiKi Way Giải đề cương Toán 11 học kỳ Bài Tìm cấp số nhân có số hạng, biết tổng số hạng đầu 31 tổng số hạng sau 62 Lời giải Giả sử cấp số nhân cần tìm gồm số hạng u1 , u2 , , u6 có cơng bội q Theo giả thiết, u1 + u2 + u3 + u4 + u5 = 31 ⇔ u2 + u3 + u4 + u5 + u6 = 62 u1 + qu1 + q u1 + q u1 + q u1 = 31 qu1 + q u1 + q u1 + q u1 + q u1 = 62 (1 + q + q + q + q )u1 = 31 (1) (1 + q + q + q + q )qu1 = 62 (2) ⇔ Lấy (2) chia cho (1) vế theo vế ta q = Thay q = vào (1) ta (1 + + 22 + 23 + 24 ).u1 = 31 ⇔ u1 = Vậy cấp nhân cần tìm u1 = 1, u2 = 2, u3 = 4, u4 = 8, u5 = 16, u6 = 32 Bài Tìm cấp số nhân có số hạng, biết tổng số hạng đầu số hạng cuối 27 tích hai số hạng lại 72 Lời giải Giả sử cấp số nhân cần tìm gồm số hạng u1 , u2 , u3 , u4 có công bội q Theo giả thiết, u1 + u4 = 27 ⇔ u2 u3 = 72 ⇔ q u1 = 27 − u1 ⇔ q u21 = 72 q u1 = 27 − u1 ⇔ (27 − u1 )u1 = 72 q u1 = 27 − u1 u21 − 27u1 + 72 = q u1 = 27 − u1 u1 = 24, q = ⇔ u1 = 24 hay u1 = u1 = 3, q = ⇔ u1 + q u1 = 27 qu1 q u1 = 72 Vậy cấp nhân cần tìm 24, 12, 6, 3, 6, 12, 24 Bài Cho số x, y, z theo thứ tự lập thành cấp số nhân, đồng thời chúng số hạng đầu, số hạng thứ thứ cấp số cộng Tìm số đó, biết tổng chúng 13 Lời giải Giả sử cấp số nhân x, y, z có cơng bội q cấp số cộng cho có cơng sai d Khi y = qx, z = q x; y = x + (3 − 1)d = x + 2d, z = x + (9 − 1)d = x + 8d Suy qx = x + 2d ⇔ q x = x + 8d WiKi Way (q − 1)x = 2d (1) (q − 1)x = 8d (2) Giải đề cương Toán 11 học kỳ Lấy (2) chia cho (1) vế theo vế ta q2 − = ⇔ q + = ⇔ q = q−1 Lại có x + y + z = 13 ⇔ x + qx + q x = 13 ⇔ 13x = 13 ⇔ x = ⇒ y = 3, z = Vậy số cần tìm 1, 3, Bài 10 Cho cấp số nhân có số hạng với công bội dương Biết số hạng thứ số hạng thứ Hãy tìm số hạng lại cấp số nhân Lời giải Giả sử cấp số nhân có số hạng u1 , u2 , u3 , u4 , u5 công bội q > Ta có u2 = ⇔ u4 = qu1 = (1) q u1 = (2) √ √ Lấy (2) chia cho (1) vế theo vế ta q = 2, q = (vì q > 0) Với q = 2, √ √ thay vào (1) ta suy u1 = √ Khi u3 = qu2 = 2, u5 = qu4 = 2 GIỚI HẠN DÃY SỐ A LÝ THUYẾT Các giới hạn đặc biệt 1 • lim = 0; lim k = 0(k ∈ N∗ ) n n • lim nk = +∞, k ∈ N • lim q n = 0(|q| < 1), lim q n = +∞(q > 1) • Nếu un = c lim un = lim c = c Tính chất • Nếu lim un = u; lim = v với u, v hữu hạn, + lim(un ± ) = u ± v + lim(un ) = uv un u + lim = ,v = v √ √ + Nếu un ≥ 0∀n ∈ N u ≥ lim un = u • Giới hạn vơ hạn un + Nếu lim un = a; lim = ±∞ lim =0 un = +∞ + Nếu lim un = +∞; lim = a > lim un = +∞ + Nếu lim un = a > 0; lim = 0; > 0∀n lim WiKi Way Giải đề cương Toán 11 học kỳ ∞ : Chia tử mẫu cho số hạng chứa mũ cao tử mẫu, sử dụng công ∞ thức lim k = 0, với k ∈ N∗ n Dạng ∞ − ∞ ∞ • Biến đổi dạng ∞ • Nếu hàm số chứa nhân với biểu thức liên hợp Lưu ý số công thức Dạng A±B = A2 − B ; A∓B A±B = A3 ± B A2 ∓ AB + B B BÀI TẬP Bài Tìm giới hạn sau: a) b) c) d) e) f) g) h) i) j) lim(n2 − n + 1) lim(−n2 + n + 1) √ lim 2n2 − 3n − √ lim + 2n − n3 lim(2n + cos n) n − sin 2n + lim lim(−3n3 + 4n2 − 5n + 6) √ lim 3n4 + 5n3 − 6n + √ lim 3.4n − 2n + √ lim n3 + n2 + n + Lời giải: Đặt nhân tử chung số mũ cao nhất, sau áp dụng tính chất phần A.2 cách tính giới hạn đặc biệt phần A.1 1 1 a) lim(n2 − n + 1) = lim n2 − + = lim n2 lim − lim + lim = +∞ n n n n 1 (vì lim n2 = +∞; lim = 1; lim = lim = 0) n n 1 b) lim(−n2 + n + 1) = lim n2 −1 + + = −∞ (vì lim n2 = +∞ n n 1 lim −1 + + = −1) n n √ c) lim 2n2 − 3n − = lim n2 − − n n √ = lim n2 lim 2− − n n − = +∞ (ta có |n| = n n số tự nhiên dương, n n √ lim n = +∞, lim − − = 2) n n √ √ 2 3 d) lim + 2n − n3 = lim n3 + − = lim n3 + −1 3 n n n n √ 2 3 = lim n lim + − = −∞ (vì lim n = +∞, lim + − = −1 = n3 n n3 n −1) = lim |n| lim WiKi Way 2− Giải đề cương Toán 11 học kỳ cosn = tử số có giá n cos n trị khoảng [−1, +1] mẫu số tiến đến vơ cực, lim + = 2, n lim n = +∞) sin 2n sin 2n lim n − sin 2n + = lim n2 − + = +∞ (lim = 2 n n n2 tử số có giá trị khoảng [−1, +1] mẫu số tiến đến vô cực, sin 2n − + = , lim n2 = +∞) lim 2 n n lim(−3n3 + 4n2 − 5n + 6) = lim n3 −3 + − + = −∞ (vì lim n3 = n n n +∞, lim = lim = lim = 0) n n n √ lim 3n4 + 5n3 − 6n + = lim n4 + − + n n n √ 6 5 = lim n4 + − + = lim n2 lim + − + = +∞ n n n n n n (vì lim n = +∞, lim = lim = lim = 0) n n n √ 2n 2n lim 3.4n − 2n + = lim 4n − n + n = lim (2n )2 lim − n + n 4 4 e) lim(2n + cos n) = lim n + f) g) h) i) = lim 2n lim − lim cos n n = +∞ (ta thấy lim 2n + lim n n 4 Ta có • lim 2n = +∞ • lim = n n 2n 2n = Áp dụng định lý kẹp ta • Vì ≤ n ≤ n , lim = 0, lim n = lim 4 n suy lim n = • lim n = tử số tiến đến 1, mẫu số tiến đến vơ cực Do √ 2n lim 3.4n − 2n + = lim 2n lim − lim n + lim n = +∞ 4 j) lim √ n3 + n2 + n + = lim √ 3 n3 + 1 + 2+ n n n 1 1 1 + + = lim n lim + + + = +∞ n n n n n n 1 (vì lim n = +∞, lim = lim = lim = 0) n n n Bài Tìm giới hạn sau: = lim n3 1+ n3 + n + a) lim n2 + n + 2n + b) lim n7 + WiKi Way Giải đề cương Toán 11 học kỳ 4n2 − n + 6n2 − 2n3 + n + d) lim n2 + 2n + e) lim n + 4n2 + n2 + f) lim 2n + n + 2n2 − n + g) lim 3n + 2n + 3n3 + 2n2 + n h) lim n3 + ∞ , áp dụng phần A.3 Lời giải: Dạng ∞ 1 1 n3 + + 1+ + 3 n +n+1 n n n n = +∞ (vì lim a) lim = lim = lim 2 n2 + n + n3 + n n n n 1 lim = lim = lim = 0) n n n 4 + + n7 + + n + 2n + n n n n n n7 = (vì lim b) lim = lim = lim 2 n7 + n4 1+ n7 + n n lim = lim = lim = 0) n n n 1 1 n2 − + − + 4n − n + n n n n2 = = (vì lim = lim c) lim = lim 5 6n − n 6− n2 − n n lim = 0) n 2 n3 + + 2+ + 3 2n + n + n n n n = +∞ (vì lim d) lim = lim = lim 4 n +4 n + n3 + n n n n lim = lim = lim = 0) n n n 2 n3 + + 2 2n + n n n = lim n e) lim = lim = (vì lim 4 n + 4n + n 1+ + n3 + + n n n n lim = lim = lim = 0) n n n 1 1 n4 + + 2 n +1 n n n f) lim = lim = lim n = (vì lim 1 1 2n + n + n 2+ + n4 + + n n n n 1 lim = lim = 0) n n c) lim WiKi Way = = = = = = 10 Giải đề cương Toán 11 học kỳ + 2n − n + n n = lim g) lim 2 3n + 2n + n2 + + n n lim = lim = lim = 0) n n n n3 + + 3n + 2n + n n n h) lim = lim n3 + n3 + n 1 lim = lim = 0) n n Bài Tìm giới hạn sau: 3n3 (2n + 1)6 a) lim (2n − 1)2 (n + 1)7 (3n + 1)(n − 1)2 b) lim n3 + 3n − n3 + n − c) lim (4n + 7)(n + 2)2 n4 d) lim (n + 1)(2 + n)(n2 + 1) ∞ Lời giải: (Dạng ) ∞ 3n3 (2n + 1)6 = lim a) lim (2n − 1)2 (n + 1)7 3n3 n6 + = lim n2 b) lim 2− n n 3+ n n3 c) lim WiKi Way n7 n 3n n 2− n 2− = lim n 2+ n 1+ n n 3+ n n3 + n − = lim (4n + 7)(n + 2)2 2− n n 1− n n 1+ n = 3.26 = 48 22 17 − n n 1 3+ 1− n n = lim 1+ − n n 1 n3 + − n n n3 + n 1− n 1+ − n n n 1+ n 2+ = lim + n n = (vì lim = n 1+ n 3+ (3n + 1)(n − 1)2 = lim n3 + 3n − = lim + n n = (vì lim = = lim n 3+ + n n n2 − 2 n 4+ n n 1+ n =3 11 Giải đề cương Toán 11 học kỳ n3 + = lim 1 − n n 1+ = lim n2 + n n n = lim d) lim (n + 1)(2 + n)(n2 + 1) 4+ n 4+ = lim +1 n n 1+ n = n4 n 1+ 1 1+ n 1 − n n 1+ n n n + n2 + n n =1 Bài Tính giới hạn sau √ n2 + 2n + n − √ a) lim n2 + n √ b) lim √ n + 2n + n2 + √ + n3 + c) lim 5(3n + 1) √ √ n2 + 2n − 2n + d) lim 3n + √ n3 − 5n + e) lim √ 3n − 9n2 + − 2n f) lim 6n + ∞ Lời giải: (Dạng ) ∞ √ a) lim n2 + 2n + n − √ = lim n2 + √ n2 + n +n 1− n2 + n n2 2 2 +n 1− n 1+ +n 1− n n n n = lim = lim √ 2 n2 + n 1+ n n 2 2 n 1+ +1− √ 1+ +1− n n 1+1 n n = lim = lim = √ =2 2 n + 1+ n n n n √ b) lim √ = lim 2 n + 2n + n + n2 + + n2 + n n n n = lim = lim √ √ 2 n2 + + n2 + n 1+ +n 1+ n n n n WiKi Way n2 1+ 12 Giải đề cương Toán 11 học kỳ n = lim n + n 1+ √ = lim n 1+ 3+ n3 1+ n3 + 3+ +1 c) lim = lim 5(3n + 1) 1 √ = =√ 1+ 1 1+ n + n n3 √ n3 3+ 1+ n3 = lim 1 5n + 5n + n n 3 1 n + 1+ + 1+ n + n + n n n n n n = lim = lim = = lim 1 15 5n + 5n + 3+ n n n √ d) lim √ n2 + 2n − 2n + = lim 3n + √ n2 = lim n √ − n n n 3+ n 2 + 1+ − n n 1+ = lim n 3+ √ 2 + n n n2 − n n 1+ −n n = lim n 3+ n2 1+ = lim − n 3+ − 5n + = lim 3n − 2 n n 3+ 2 + n n n n3 n2 + n3 − √ n + n n f) lim 9n2 + − 2n = lim 6n + n2 √ 9+ = lim −2 n2 n 6+ n √ = 1 = 3 + n n n 3− n n3 √ − 2n n 6+ n n − 2n n2 = lim n 6+ n n 9+ = lim n2 + n 2 + n n = lim n 3− n 9 n3 1− + 1− + n n n n = lim = lim = 2 3− n 3− n n e) lim 2 + n n 1− − 2n n2 n 6+ n n2 9+ −2 n2 = 6+ n 9+ = lim Bài Tính giới hạn sau: √ n + − n2 − a) lim √ 4n2 + − 2n + WiKi Way 13 Giải đề cương Toán 11 học kỳ √ √ n2 + + n b) lim √ √ n2 + n − n √ c) lim √ n2 + − n2 + √ 4n2 + − 2n − d) lim √ n2 + 4n + − n ∞ Lời giải: Dạng , ta thực nhân với lượng liên hợp để đưa toán dạng , ∞ sau áp dụng phần A.3 √ n + − n2 − a) lim √ 4n2 + − 2n √ √ √+1 (n + − n2 − 1)(n + + n2 − 1)( 4n2 + + 2n − 1) √ √ = lim √ ( 4n2 + − 2n + 1)(n + + n2 − 1)( 4n2 + + 2n − 1) √ [(n + 4)2 − (n2 − 1)]( 4n2 + + 2n − 1) √ = lim [4n2 + −√(2n − 1)2 ](n + + n2 − 1) (8n + 17)( 4n2 + + 2n − 1) √ = lim (4n + 4)(n + + n2 − 1) 17 4+ +2− 8+ √ n n n 8.( + 2) √ =4 = = lim 4.(1 + 1) 4 4+ 1+ + 1− n n n √ √ √ √ √ √ n2 + + n ( n2 + + n)( n2 + − n) b) lim √ √ = lim √ √ √ √ n2√+ n − n ( n + n − n)( n2 + − n) √ ( n2 + 1)2 − ( n)2 n2 − n + = lim √ = lim √ ( n2 + n − n)2 1 n 1+ −n n n 1 n2 − + n n = lim = 1 n2 1+ − n n √ √ n2 + + n2 + √ √ √ √ c) lim √ = lim √ n2 + − n2 + ( n2 + − n2 + 4)( n2 + + n2 + 4) 4 1+ + 1+ n n 1+ +n 1+ n n n n √ = lim √ = lim = +∞ −2 ( n2 + 2)2 − ( n2 + 4)2 √ 4n2 + − 2n − d) lim √ + 4n + − n n√ √ √ ( 4n2 + − 2n − 1)( 4n2 + + 2n + 1)( n2 + 4n + + n) √ √ = lim √ ( n2 + 4n + − n)( √ 4n2 + + 2n + 1)( n2 + 4n + + n) 4n2 + − (2n + 1)2 ( n2 + 4n + + n) √ = lim )( 4n2 + + 2n + 1) (n2 + 4n + − n √ −4n( n2 + 4n + + n) √ = lim (4n + 1)( 4n2 + + 2n + 1) WiKi Way 14 Giải đề cương Toán 11 học kỳ −4 1+ + +1 n n = lim = 4+ n 4+ 1 +2+ n n −1 −4.2 = 4.4 Bài Tính giới hạn sau: √ n2 + 2n − − n a) lim √ √ b) lim n+1− n √ √ c) lim n2 + − n2 − √ n2 + 2013 − n + d) lim √ e) lim n2 + 2n − n − √ f) lim + n2 − n4 + 3n + √ g) lim 4n2 + n + − 2n + √ h) lim n + − n2 + 3n + √ i) lim n2 − 2n + − n + Lời giải: Dạng ∞ − ∞, áp dụng phần A.4 √ √ n2 + 2n − − n n2 + 2n − + n √ √ a) lim n + 2n − − n = lim n2 + 2n − + n n 2− 2 n + 2n − − n n = lim = lim = =1 1+1 2 n 1+ − +n n 1+ − +1 n n n n √ √ √ √ n+1− n n+1+ n √ √ √ b) lim n + − n = lim √ n+1+ n √ √ n+1 − n √ = lim = lim √ √ √ =0 n+1+ n n+1+ n √ √ √ √ n2 + − n2 − n2 + + n2 − √ √ √ √ c) lim n2 + − n2 − = lim n2 + + n2 − 2 √ √ n2 + − n2 − = lim = lim =0 2 n 1+ +n 1− n 1+ + 1− n n n n √ √ n2 + 2013 − n + n2 + 2013 + n − √ √ d) lim n + 2013 − n + = lim n2 + 2013 + n − √ n2 + 2013 − (n − 5)2 n2 + 2013 − n2 − 10n + 25 = lim = lim 2013 2013 n 1+ +n−5 n 1+ +n−5 n n WiKi Way 15 Giải đề cương Toán 11 học kỳ n = lim n 2013 25 + 10 − n n 1+ = 2013 +1− n n √ e) lim n2 + 2n − n − = lim √ n2 + 2n 10 =5 √ √ n2 + 2n − n − n2 + 2n + n + √ n2 + 2n + n + − (n + 1)2 = lim −1 = lim 1 1 n + + n + n n 1+ +1+ n n n n √ f) lim + n2 − n4 + 3n + √ √ + n2 − n4 + 3n + 1 + n2 + n4 + 3n + √ = lim + n2 + n4 + 3n + (1 + n2 )2 − (n4 + 3n + 1) √ = lim = lim + n2 + n4 + 3n + n2 − = lim n2 +1+ n2 n 1+ 2n2 − n2 n2 = + n3 n4 + n2 + n2 n2 =0 n 1+ + n3 n4 √ =1 1+ √ 4n2 + n + − 2n + √ √ 4n2 + n + − 2n + 4n2 + n + + 2n − √ = lim 4n2 + n + + 2n − (4n + n + 1) − (2n − 1)2 5n = lim = lim 1 1 1 n + + + 2n − n n 4+ + +2− n n n n n n 5 =√ = 4+2 √ h) lim n + − n2 + 3n + √ √ n + − n2 + 3n + n + + n2 + 3n + √ = lim n + + n2 + 3n + −n (n + 1)2 − (n2 + 3n + 1) = lim = lim 1 n + n + n + + n 1+ + 1+ + n n n n n n −1 −1 √ = = 1+ √ i) lim n2 − 2n + − n + √ √ n2 − 2n + − n + n2 − 2n + + n − √ = lim n2 − 2n + + n − g) lim WiKi Way 16 Giải đề cương Toán 11 học kỳ 2 n 2− (n − 2n + 3) − (n − 2) = lim 2 n − + + n − n n n n n = lim √ =1 1+1 = lim 1− n + +1− n n n Bài Tính giới hạn sau: √ a) lim 2n − n3 + n − √ b) lim n3 − 2n2 − n √ n3 + n2 − n c) lim n d) lim √ n+2− √ n √ n3 + n2 − n √ f) lim n + − n3 + 2n + √ g) lim 2n + − 8n3 √ h) lim n3 + 8n + − n e) lim Lời giải: Dạng ∞ − ∞, áp dụng phần A.4 a) lim √ 2n − n3 + n − = lim √ 2n − n3 2n − n3 + (n − 1)3 √ − 2n − n3 (n − 1) + (n − 1)2 2n − 3n2 + 3n − = lim n2 = lim 2 −1 n2 − n − n − n n −3 + − n n 2 −1 n2 − − − n2 n −3 = −1 1+1+1 √ b) lim n3 − 2n2 − n = lim √ + 1− + n n2 1− n 2 = −2n2 = lim n2 1− n WiKi Way + n2 1− n −2 = lim c) lim n n3 − 2n2 − n3 √ n3 − 2n2 + n3 − 2n2 n + n2 1− n = + √ n3 + n2 − n + n2 1− n −2 +1 = lim n √ n3 + n2 − n3 √ n3 + n2 + n3 + n2 n + n2 17 Giải đề cương Toán 11 học kỳ n2 = lim n n2 1+ n n + n2 n 1+ + n2 = +∞ 1 1+ + 1+ +1 n n √ √ n+2−n d) lim n + − n = lim √ √ √ 2 √ n+2 + 3n+2 3n+ 3n =0 = lim √ √ √ √ 3 3 n+2 + n+2 n+ n = lim e) lim √ n3 + n2 − n = lim √ n3 + n2 − n3 √ n3 + n2 + n3 + n2 n + n2 n2 = lim n2 1+ n + n 1+ = lim n = 1 + 1+ +1 n n √ f) lim n + − n3 + 2n + = lim n + n2 1+ (n + 2)3 − (n3 + 2n + 6) √ √ (n + 2)2 + (n + 2) n3 + 2n + + n3 + 2n + 6n2 + 10n + = lim n2 + n = lim 2 +n 1+ n n + + + n2 n n 10 6+ + n n 3 1+ + n n 2 = 2 2 6 1+ + 1+ 1+ + + 1+ + n n n n n n √ 8n3 + (1 − 8n3 ) g) lim 2n + − 8n3 = lim √ √ 4n2 − 2n − 8n3 + − 8n3 = lim = 1 4n2 − 2n2 3 − + n2 3 − n n √ n3 + 8n + − n3 h) lim n3 + 8n + − n = lim √ √ n3 + 8n + + n3 + 8n + 1.n + n2 8n + = lim 8 n2 1+ + + n2 + + + n2 n n n n WiKi Way 18 Giải đề cương Toán 11 học kỳ + n n = lim 1+ + n n + =0 1+ + +1 n n Bài Tính giới hạn sau: √ √ a) lim n3 + − n2 + √ √ 4n2 + n3 + − 2n2 b) lim Lời giải: Ta thêm bớt lượng trung gian sau: √ √ √ √ 3 a) A = lim n3 + − n2 + = lim n3 + − n + n − n2 + √ A1 = lim n3 + − n = √ A2 = lim n − n2 + = Vậy A = A1 + A2 = √ √ 4n2 + n3 + − 2n2 b) B = lim √ √ √ √ = lim 4n2 + n3 + − 4n2 + 1.n + 4n2 + 1.n − 2n2 √ √ √ √ √ 3 4n2 + n3 + − 4n2 + 1.n = lim 4n2 + n3 + − n B1 = lim √ = lim 4n2 + √ √ n3 + + n3 + 2.n + n2 + n n =0 2 + 1+ +1 1+ n n √ √ B2 = lim 4n2 + 1.n − 2n2 = lim n 4n2 + − 2n = lim n √ 4n2 + + 2n 1 = lim = 4+ +2 n Vậy B = B1 + B2 = Bài Tính giới hạn sau: 2n + 3n a) lim n + 5.3n 2n 3n+1 − b) lim n + 5.3n 2n+1 + 4n c) lim n + 2.4n 2n + 3n d) lim n−1 + 4n+1 Lời giải: = lim 2n + 3n a) lim n = lim + 5.3n WiKi Way 3n 3n 2n +1 3n 2n +5 3n = lim n +1 = n +5 19 Giải đề cương Toán 11 học kỳ 2 3− n −2 6n = lim b) lim n = lim n + 5.3n 6n + n + n n +1 4n n + n+1 n +4 c) lim n = lim = lim n 2n + 2.4n n + +2 4n 2n n +1 n 2n + 3n 3n = lim d) lim n−1 = lim 3n + 4n+1 n + n 3.4 n n+1 6n − n =3 = 3 n +1 n + = =0 Bài 10 Tính tổng cấp số nhân lùi vô hạn 1 a) S = + + + + 12 1 (−1)n − + + n−1 + b) S = + 10 10 10 + + 22 + + 2n c) lim + + 32 + + 3n 1 1 d) S = + + + + + n + e) S = + 2x + 3x2 + 4x3 + với |x| ≤ 1 + a + a2 + an f) L = lim với |a|, |b| ≤ n→∞ + b + b2 + + bn Lời giải: 1 a) S = + + + + 12 n 1− 1 = + lim =2+ = 3 1− 2 1 (−1)n b) S = + − + + n−1 + 10 102 10 n −1 1− 1 12 10 = + lim =1+ = 11 −1 10 10 11 1− 10 10 + + 22 + + 2n c) lim + + 32 + + 3n 2n − n n+1 (2 − 1)(3 − 1) = lim =0 = lim n+1 (2 − 1)(3 − 1) 3n − n 1 1 d) S = + + + + + n + 1 1− n 2 = + lim =3+1=4 1− WiKi Way 20 Giải đề cương Toán 11 học kỳ e) S = + 2x + 3x2 + 4x3 + với |x| < 1 S1 = + x + x2 + x3 + x4 + = 1−x S2 = x + x + x + x + = x 1−x S3 = x + x + x + = x 1−x 1 S = S1 + S2 + S3 + = + x + x2 + = 1−x 1−x 1−x = (1 − x)2 + a + a2 + an f) L = lim n→∞ + b + b2 + + bn 1−b = = 1−a (1 − a) 1−b Bài 11 Tính giới hạn sau:(Áp dụng định lý kẹp) (−1)n n2 + cos 4n b) lim −6 5n (−1)n sin n2 + cos n √ c) lim 23n+1 (−1)n d) lim − n+1 n+1 nπ n + cos √5 e) lim √ n n+ n 2n sin n f) lim n +1 Lời giải: a) lim + (−1)n n2 + −1 (−1)n ≤ ≤ Ta có n +1 n +1 n +1 −1 lim =0 n +1 lim =0 n +1 (−1)n =0 Theo định lý kẹp ta có lim n +1 Vậy A = + = cos 4n b) B = lim −6 5n −1 cos 4n Ta có ≤ ≤ 5n 5n 5n −1 lim =0 5n lim =0 5n a) A = lim + WiKi Way 21 Giải đề cương Theo định lý kẹp ta có lim c) d) e) f) WiKi Way Toán 11 học kỳ cos 4n =0 5n Vậy B = − = −6 (−1)n sin n2 + cos n √ C = lim 23n+1 −2 (−1)n sin n2 + cos n √ Ta có √ ≤ ≤ √ 3 n+1 n+1 n+1 −2 lim √ =0 23n+1 lim √ =0 n+1 Theo định lí kẹp ta có C = (−1)n − n+1 D = lim n+1 n −1 (−1) Ta có n+1 ≤ n+1 ≤ n+1 2 −1 lim n+1 = lim n+1 = (−1)n Theo định lí kẹp ta có lim n+1 = Vậy D = − = nπ cos nπ n + cos 1+ n √5 = lim E = lim √ √ n n+ n n 1+ n nπ cos −1 ≤ Ta có ≤ n n n −1 lim =0 n lim = n nπ cos =0 Theo định lý kẹp ta có lim n Vậy E=0 sin n 2n sin n n F = lim = lim n +1 1+ n −1 sin n Ta có ≤ ≤ n n n −1 lim =0 n lim = n sin n Theo định lý kẹp ta có lim =0 n Vậy F = = 22 ... Vậy cấp số nhân có số hạng Bài Xác định cấp số nhân có cơng bội q = 3, số hạng cuối 486 tổng số hạng 728 Lời giải Do tổng số hạng cấp số nhân 728 nên cấp số nhân có hữu hạn số hạng Ta giả sử cấp. .. tìm 24o , 48o , 96o , 192o Bài Một cấp số nhân có số hạng đầu 9, số hạng cuối 2187, công bội q = Hỏi cấp số nhân có số hạng? Lời giải Giả sử cấp số nhân có n số hạng u1 , u2 , , un Theo... cần tìm 1, 3, Bài 10 Cho cấp số nhân có số hạng với công bội dương Biết số hạng thứ số hạng thứ Hãy tìm số hạng lại cấp số nhân Lời giải Giả sử cấp số nhân có số hạng u1 , u2 , u3 , u4 , u5 công