Chủ đề 3: HỆ PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT HAI ẨN Kiến thức cần nhớ Hệ phương trình bậc hai ẩn hệ phương trình có dạng: ax by c a ' x b ' y c ' + Cặp số x0 ; y0 gọi nghiệm hệ phương trình nghiệm chung hai phương trình + Hệ có nghiệm nhất, vô nghiệm vô số nghiệm tùy theo vị trí tương đối hai đường thẳng biểu diễn nghiệm hai phương trình + Phương pháp giải hệ: Chúng ta thường dùng phương pháp phương pháp cộng đại số để khử bớt ẩn, từ giải hệ Một số ví dụ Ví dụ Xác định hệ số a, b hàm số y ax b để: 1) Đồ thị qua hai điểm A 1;3 , B 2; 2) Đồ thị cắt trục tung điểm có tung độ 4 cắt trục hồnh điểm có hồnh độ Lời giải: 1) Thay tọa độ điểm A, B vào phương trình đường thẳng ta được: 3 a b b a a Vậy a 1, b 2a b 2a a b a 4 a.0 b b 4 a 2) Tương tự phần (1) ta có hệ: 0 a b 2a b b 4 Vậy a 2, b 4 http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi, tài liệu file word Ví dụ Giải hệ phương trình sau: 1 x y a) 1 x y x x 1 b) x x 1 y 3 2x 1 x y y 1 c) 3y 2 x 1 y 1 x y Lời giải: 1 a) Đặt u ; v Theo đề ta có hệ phương trình: x y v u u v 5u u 3u 2v 1 3u u 1 v u v Từ suy ra: x b) Đặt u 1 1; y u v x y Theo ta có hệ phương trình: ;v x 1 y 1 u v u v u v u u 3v 1 3 v 3v 1 4v 4 v 1 x x 2 x x 2x Từ suy ra: y y y y 1 y 1 c) Điều kiện x , x y Đặt a x ta có hệ phương trình b x y http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi, tài liệu file word 2x 1 a b a x 1 2a b b y x y Vậy hệ có nghiệm x 1; y x y Ví dụ Cho hệ phương trình: mx y 1 2 a) Giải hệ phương trình với m b) Tìm m để hệ phương trình có nghiệm x, y x, y trái dấu c) Tìm m để hệ phương trình có nghiệm x; y thỏa mãn x y Giải: a) Với m ta có hệ phương trình: x y x y x x y 2 x y 3 y 6 y 2 2 y y b) Từ phương trình (1) ta có x y Thay x y vào phương trình (2) ta được: m y y 2m 1 y 5m (3) Hệ có nghiệm (3) có nghiệm Điều 5m tương đương với: 2m m Từ ta được: y ; 2m 5m x 5 2y Ta có: x y Do 2m 2m 1 x, y 5m m (thỏa mãn điều kiện) http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi, tài liệu file word c)Ta có: x y 5m 2m 2m Từ (4) suy 2m m (4) 1 Với điều kiện m ta có: 2 m l m Vậy m 5m 5m 3 m x my m 1 Ví dụ Cho hệ phương trình: mx y 3m a) Khơng giải hệ phương trình trên, cho biết với giá trị m hệ phương trình có nghiệm nhất? b) Giải biện luận hệ phương trình theo m c) Tìm số ngun m cho hệ phương trình có nghiệm x, y mà x, y số nguyên d) Chứng minh hệ có nghiệm x, y điểm M x, y chạy đường thẳng cố định e) Tìm m để hệ có nghiệm cho x y đạt giá trị nhỏ Lời giải: a) Từ phương trình (2) ta có y 3m mx Thay vào phương trình (1) ta được: x m 3m mx m m2 1 x 3m2 2m (3) Hệ có nghiệm phương trình (3) có nghiệm , tức m m 1 Ta lập luận theo cách khác: Hệ có nghiệm m m2 m 1 : m http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi, tài liệu file word b) Từ phương trình (2) ta có y 3m mx Thay vào phương trình (1) ta được: x m 3m mx m m2 1 x 3m2 2m (3) Trường hợp 1: m 1 Khi hệ có nghiệm 3m2 2m m 1 3m 1 3m x m2 m 1 m 1 m 3m m y 3m m m m Trường hợp 2: m Khi phương trình (3) thành: 0.x Vậy hệ có vơ số nghiệm dạng x; x , x Trường hợp 3: m 1 phương trình (3) thành: 0.x (3) vơ nghiệm, hệ vơ nghiệm c) Hệ cho có nghiệm m 1 3m x m m Ta có: Vậy x, y nguyên m 1 y m 1 1 m 1 m 1 nguyên Do m 2; 1;1; Vậy m 3; 2;0 (thỏa mãn) m (loại) Vậy m nhận giá trị 3; 2;0 d) Khi hệ có nghiệm x, y ta có: x y 2 1 2 m 1 m 1 Vậy điểm M x; y ln chạy đường thẳng cố định có phương trình y x http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi, tài liệu file word e) Khi hệ có nghiệm x; y theo (d) ta có: y x Do đó: xy x x x x x 1 1 Dấu xảy khi: 2 x 1 3 1 m 1 m m 1 m 1 Vậy với m x y đạt giá trị nhỏ Chú ý: Ta tìm quan hệ x y theo cách khác: Khi hệ x my m 1 phương trình có nghiệm m 1 lấy mx y 3m phương trình (2) trừ phương trình (1) hệ ta thu được: m 1 x m 1 y m 1 x y x my 4m Ví dụ Cho hệ phương trình: Chứng minh với mx y 3m m hệ phương trình ln có nghiệm Gọi x0 ; y0 cặp nghiệm phương trình: Chứng minh: x0 y0 x0 y0 10 (Trích đề tuyển sinh vào lớp 10 chuyên Toán - ĐHSP Hà Nội 2015) Lời giải: Từ phương trình (2) hệ phương trình ta có y 3m mx thay vào phương trình 1 hệ ta có: m2 1 x 3m2 3m Do m với m nên phương trình ln có nghiệm x0 Suy hệ ln có nghiệm với m Gọi x0 ; y0 nghiệm hệ: Từ hệ phương trình ta có: x0 m y0 Nhân hai vế phương trình thứ với x0 , y0 m x0 http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi, tài liệu file word phương trình thứ hai với y0 trừ hai phương trình cho ta được: x0 x0 y0 y0 1 x0 y0 x0 y0 10 Ngoài ta giải theo cách khác sau: d : x my 4m 0, d ' : mx y 3m Ta dễ dàng chứng minh đường thẳng d qua điểm cố định: A 2; đường thẳng d ' qua điểm cố định : B 3;1 Mặt khác ta dễ chứng minh đường thẳng ( d ) đường thẳng ( d ') vng góc với nên hai đường thẳng cắt Gọi M x0 ; y0 giao điểm hai đường thẳng tam giác M AB vuông M Gọi I trung điểm AB 5 5 I ; , AB 10 suy 2 2 2 5 5 2 IM AB IM AB x0 y0 10 2 x0 y0 x0 y0 10 (1) x my Ví dụ Cho hệ phương trình: mx y 2m (2) Hệ có nghiệm x, y , tìm giá trị nhỏ biểu thức sau đây: a) P x y (1) b) Q x y (2) Lời giải: Từ phương trình (2) ta suy ra: y 2m mx Thay vào phương trình (1) ta được: x m 2m mx m2 1 x 2m2 m (3) http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi, tài liệu file word Hệ có nghiệm phương trình (3) có nghiệm nhất, điều xảy khi: m m 1 2m2 m m 1 2m 3 2m x 2 m 1 m 1 m 1 m 1 m Khi 2m y 2m m m m a) Ta có: P x x x 12 x 12 x 3 P x 2m 3 4m 3m m 3 m 1 Vậy giá trị nhỏ P b) Ta có: Q x y x x đặt t x Khi Q t 1 t 1 t 4t 6t 4t t 4t 6t 4t 2t 12t 4 Q t x 1 2m 2m m m 2 m 1 Vậy giá trị nhỏ Q mx m 1 y Ví dụ 7): Cho hệ phương trình: Chứng minh hệ m 1 x my 8m ln có nghiệm x; y tìm GTLN biểu thức P x2 y y Lời giải: http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi, tài liệu file word Xét hai đường thẳng d1 : mx m 1 y 0; d : m 1 x my 8m + Nếu m d1 : y d : x suy d1 ln vng góc với d d1 : x + Nếu m 1 d2 : y 11 suy d1 vng góc với d + Nếu m 0;1 đường thẳng d1 , d có hệ số góc là: a1 m m 1 suy a1.a2 1 d1 d , a2 m 1 m Tóm lại với m hai đường thẳng d1 ln vng góc với d Nên hai đường thẳng ln vng góc với Xét hai đường thẳng d1 : mx m 1 y 0; d : m 1 x my 8m ln vng góc với nên cắt nhau, suy hệ có nghiệm Gọi giao điểm I x; y , đường thẳng d1 qua A 1;1 cố định, đường thẳng d qua B 3; 5 cố định suy I thuộc đường tròn đường kính AB Gọi M 1; 2 trung điểm AB MI AB 2 x 1 y 13 (*) P x 1 y x y x y 2 x y hay P 10 x y Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki ta có: x y 1 3 x 12 y 2 52 x y 52 13 Vậy P 10 13 http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi, tài liệu file word ... giải: Từ phương trình (2) hệ phương trình ta có y 3m mx thay vào phương trình 1 hệ ta có: m2 1 x 3m2 3m Do m với m nên phương trình ln có nghiệm x0 Suy hệ ln có nghiệm với... chuyên đề thi, tài liệu file word b) Từ phương trình (2) ta có y 3m mx Thay vào phương trình (1) ta được: x m 3m mx m m2 1 x 3m2 2m (3) Trường hợp 1: m 1 Khi hệ. .. mx y 3m a) Khơng giải hệ phương trình trên, cho biết với giá trị m hệ phương trình có nghiệm nhất? b) Giải biện luận hệ phương trình theo m c) Tìm số ngun m cho hệ phương trình có