Ổn định nghiệm của phương trình vi phân hàm

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC BÁCH KHOA HÀ NỘI - - - - - - - - - - -o0o- - - - - - - - - - - TRIỆU KHẮC TÙNG ỔN ĐỊNH NGHIỆM CỦA PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN HÀM LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC CHUYÊN NGÀNH: TOÁN TIN Hà Nội - 2013 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC BÁCH KHOA HÀ NỘI - - - - - - - - - - -o0o- - - - - - - - - - - TRIỆU KHẮC TÙNG ỔN ĐỊNH NGHIỆM CỦA PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN HÀM Chuyên ngành: Tốn Tin LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC NGÀNH: TỐN TIN NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC PGS TS NGUYỄN THIỆU HUY Hà Nội - 2013 Mục lục Lời cảm ơn iii Lời mở đầu iv Danh mục kí hiệu chữ viết tắt vii Hệ động lực tuyến tính 1.1 Nửa nhóm liên tục mạnh 1.2 Toán tử sinh nửa nhóm Tốn tử giải 1.3 Định lý Hille-Yosida 1.4 Tháp Sobolev 1.5 Không gian Favard Holder Nhiễu nửa nhóm 12 2.1 Nhiễu bị chặn 12 2.2 Định lý nhiễu Desh-Schappacher 15 2.3 Lý thuyết phổ cho toán tử bị chặn 23 2.4 Phổ nửa nhóm tốn tử sinh 25 2.5 Định lý ánh xạ phổ cho nửa nhóm 27 2.6 Các khái niệm ổn định nửa nhóm 28 Phương pháp nửa nhóm cho phương trình có trễ 33 3.1 Nửa nhóm nghiệm 33 3.2 Nửa nhóm dương 45 3.3 Ổn định với phần dương 49 3.4 Ổn định với nhiễu nhỏ 53 i Tài liệu tham khảo 56 ii Lời cảm ơn Đầu tiên, xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành sâu sắc tới PGS.TS Nguyễn Thiệu Huy, người tận tình, nghiêm khắc hướng dẫn, bảo để luận văn hồn thành, giúp tơi tăng trưởng niềm đam mê nghiên cứu khoa học Tôi xin chân thành cảm ơn Viện Toán ứng dụng Tin học, Viện Đào tạo Sau Đại học, trường Đại học Bách khoa Hà Nội, tạo điều kiện thuận lợi cho tơi q trình học tập nghiên cứu trường Tôi xin cảm ơn dạy dỗ, bảo quan tâm thầy cô Viện Toán ứng dụng Tin học suốt thời gian theo học nghiên cứu Cuối cùng, muốn gửi lời cảm ơn chân thành tới gia đình bạn bè đồng nghiệp, người ln động viên khích lệ giúp tơi hồn thành luận văn Xin chân thành cảm ơn Học viên: Triệu Khắc Tùng Lớp: 12BTT-KH iii Lời mở đầu Hiện nay, nửa nhóm trở thành cơng cụ quan trọng cho phương trình vi tích phân phương trình hàm, học lượng tử Phương pháp nửa nhóm ứng dụng thu thành cơng phương trình biến động dân số Có nhiều lý do, hệ định tự động mô tả ánh xạ T (t), t ≥ 0, thỏa mãn phương trình hàm T (t + s) = T (t)T (s) (F E) Trong đó, t biến thời gian, T (t) ánh xạ không gian trạng thái hệ thống Những ánh xạ hồn tồn xác định thời gian phát triển hệ thống theocách sau: Nếu hệ trạng thái x0 thởi điểm t0 = 0, thời điểm t trạng thái T (t)x0 Mục đích luận văn trình bày phương pháp nửa nhóm để ổn định nghiệm phương trình vi phân hàm Dựa vào kết toán tử sinh Hille-Yosida, lý thuyết phổ cho toán tử bị chặn để thu kết cho phương trình vi phân có trễ Cụ thể nội dung cảu luận văn trình bày ba chương sau: Chương 1: Hệ động lực tuyến tính Chương dành để giới thiệu lý thuyết sở để thực luận văn Khái niệm nửa nhóm liên tục mạnh (T (t))t≥0 , tốn tử sinh A Với nửa nhóm liên tục mạnh, chúng tơi đưa đánh giá tồn số w M ≥ cho ||T (t)|| ≤ M ewt Định lý Hille-Yosida cho ta đánh giá nửa nhóm tốn tử sinh Chương 2: Nhiễu nửa nhóm Chương trình bày nhiễu bị chặn, xử lý nhiễu với nửa nhóm Ngồi chúng tơi trình bày lý thuyết phổ cho toán tử bị chặn, chúng tơi trình bày mối liên hệ cận tăng tốn tử sinh biên phổ nửa nhóm Một số khái niệm ổn định nửa nhóm trình bày cuối chương Chương 3: Phương pháp nửa nhóm cho phương trình vi phân có trễ Đây phần luận văn, chương trình phương pháp nửa nhóm cho phương trình vi phân có trễ thơng qua bước cụ thể Từ việc đưa toán dạng toán Cauchy khơng gian Banach X tốn tử tuyến tính A, chúng tơi chứng minh tốn iv tử A sinh nửa nhóm nghiệm Sau chúng tơi sử dụng lý thuyết trình bày Chương để tính ổn định nửa nhóm với phần dương Và cuối mở rộng ổn định với nhiễu nhỏ v Luận văn hoàn thành Viện Toán ứng dụng Tin học, trường Đại học Bách khoa Hà Nội, hướng dẫn PGS.TS Nguyễn Thiệu Huy Mặc dù cố gắng, song luận văn khơng tránh khỏi thiếu sót Rất mong nhận góp ý thầy bạn Xin chân thành cảm ơn Hà Nội, ngày 23 tháng 12 năm 2013 vi Danh mục kí hiệu chữ viết tắt (ACP) Bài toán Cauchy (ADDE) phương trình vi phân có trễ (DE) phương trình vi phân (FE) phương trình hàm (SMT) định lý ánh xạ phổ (WSMT) định lý ánh xạ phổ yếu C k (J) không gian hàm khả vi liên tục k lần C(Ω) không gian hàm liên tục D(A) miền A ∥ · ∥ Fα chuẩn Favard cấp α ∥ · ∥n chuẩn Sobolev cấp n Fα không gian Favard cấp α L(X), L(X, Y ) khơng gian tốn tử tuyến tính bị chặn ω0 (T) cận tăng nửa nhóm T R(λ, A) giải A λ ρ(A) tập giải A s(A) biên phổ A σ(A) phổ A (T (t))t≥0 nửa nhóm tham số tốn tử tuyến tính vii Chương Hệ động lực tuyến tính Bài tốn Tìm tất ánh xạ T (·) : R+ → C thỏa mãn phương trình hàm (FE)   T (t + s) = T (t)T (s) với t, s ≥  T (0) = (F E) Hiển nhiên, hàm mũ t → eta thỏa mãn phương trình hàm với a ∈ C Chúng ta quan tâm đến trường hợp tổng qt, C thay khơng gian Banach tùy ý Khi đó, việc nghiên cứu (FE) dẫn đến lý thuyết nửa nhóm tham số 1.1 Nửa nhóm liên tục mạnh Tính liên tục điều kiện chặt cho nửa nhóm tự nhiên xác định không gian hàm cụ thể, thay vào tính liên tục mạnh phù hợp Định nghĩa : Một họ (T (t))t≥0 toán tử tuyến tính bị chặn khơng gian Banach X gọi nửa nhóm (một tham số) liên tục mạnh (hay C0 nửa nhóm) thỏa mãn phương trình hàm (FE) liên tục mạnh Tức là, (T (t))t≥0 nửa nhóm liên tục mạnh phương trình hàm   T (t + s) = T (t)T (s) với t, s ≥  T (0) = 1 (F E) wt định nghĩa tương tự (1.2) Bây đặt x(t) := wt với t ≥ Thì x(t) ∈ C ([−r, 0], Y ) với t ≥ 0, (wt )′ (0) = w(t) ˙ = Bw(t) + Φwt có x(t) ∈ D(A) Hơn wt+ϑ (s) − wt (s) ϑ→0 ϑ wt (s + ϑ) − wt (s) = lim ϑ→0 ϑ (x(t))(s) ˙ = lim = (wt )′ (s) = (Awt )(s) với s ∈ [−r, 0] Do đó, x(·) lời giải cho toán Cauchy   x(t) ˙ = Ax(t) t≥0  x(0) = (1.12) Tuy nhiên, A tốn tử sinh, phương trình (1.12) có nghiệm x(t) = wt = 0, u = v b Dáng điệu tiệm cận Khi thiết lập tính đặt chỉnh cho phương trình vi phân có trễ (ADDE), quan tâm tới tính chất tiệm cận nghiệm Nghiệm cho ánh xạ t → u(t) = [T (t)h](0), chuyển động thời gian dài xác định nửa nhóm (T (t))t≥0 Tuy nhiên, muốn áp dụng tiêu chuẩn ổn định Định lý 1.7, cần tính liên tục chuẩn cuối cho nửa nhóm Bổ đề 1.4 : Nửa nhóm (T (t))t≥0 X nửa nhóm (S(t))t≥0 Y sinh A B, có ∫ t S(t − s)ΦT (s)f ds [T (t)f ](0) = S(t)[f (0)] + (1.13) với t ≥ f ∈ X Cơng thức (1.13) hữu ích để xác định quy luật (S(t))t≥0 thừa hưởng từ (T (t))t≥0 Đặc biệt, với (S(t))t≥0 nửa nhóm liên tục chuẩn trực tiếp thu kết sau Định lý 1.5 : Nếu S = (S(t))t≥0 nửa nhóm liên tục chuẩn trực tiếp, T = (T (t))t≥0 42 liên tục chuẩn với t > r Chứng minh Cho t > r ϑ ∈ (0, t) Thì từ (1.13) tính chất chuyển (TP), thu với s ∈ [−r, 0] f ∈ X ((T (t + ϑ) − T (t))f )(s) =[(T (t + ϑ + s) − T (t + s))f ](0) =[S(t + ϑ + s) − S(t + s)][f (0)] + [(S ∗ ΦT )(t + ϑ + s) − (S ∗ ΦT )(t + s)]f kí hiệu tích chập giới thiệu (1.5) mục II.1 (S(t))t≥0 liên tục chuẩn trực tiếp, kéo theo từ phần (i) Bổ đề II.1.4 tích chập S ∗ ΦT liên tục chuẩn trực tiếp Vì vậy, ánh xạ S(·) (S ∗ ΦT )(·) liên tục chuẩn khoảng compact [t − r, 2t], điều suy ∥ (T (t + ϑ)−T (t))f ∥= sup ∥ [S(t + ϑ + s) − S(t + s)][f (0)] s∈[−r,0] + [(S ∗ ΦT )(t + ϑ + s) − (S ∗ ΦT )(t + s)]f ∥ ≤ sup ∥ S(t + ϑ + s) − S(t + s) ∥ · ∥ f ∥ s∈[−r,0] + sup ∥ (S ∗ ΦT )(t + ϑ + s) − (S ∗ ΦT )(t + s) ∥ · ∥ f ∥ s∈[−r,0] hội tụ tới không ϑ → cho ∥ f ∥≤ Tiếp đến để mô tả hướng (T (t))t≥0 , cần thông tin lời giải phổ toán tử sinh A điều kiện B Φ Chúng ta giới thiệu λ ∈ C toán tử ∫ Hλ ∈ L(X), (Hλ )(s) := eλ(s−τ ) f (τ )dτ, s Φλ ∈ L(Y ), Φλ y := Φ(ελ ⊗ y) ελ (s) := eλs với λ ∈ C s ∈ [−r, 0] Mệnh đề 1.6 : Với λ ∈ C ta có λ ∈ σ(A) λ ∈ σ(B + Φλ ) Hơn với λ ∈ ρ(A), lời giải A cho R(λ, A)f = [ελ ⊗ R(λ, B + Φλ )](f (0) + ΦHλ f ) + Hλ f, f ∈ X Chứng minh 43 (1.14) Từ định nghĩa, λ ∈ ρ(A) f ∈ X, tồn nghiệm f ∈ D(A) phương trình λf − f ′ = g Giải phương trình vi phân này, ta thấy thỏa mãn f = ε λ ⊗ y + Hλ g với y ∈ Y Mặt khác, f ∈ D(A) y ∈ D(B) f ′ (0) = Bf (0) + Φf , tức λy − g(0) = By + Φλ y + ΦHλ g Điều λ ∈ ρ(A) với g ∈ X tồn tai y ∈ Y cho (λ − B − Φλ )y = Sλ g Sλ := δ0 + ΦHλ ∈ L(X, Y ) Vì vậy, chứng minh hồn thành ta Sλ toàn ánh từ X tới Y Điều suy từ Sλ (εµ ⊗ I) = I + ΦHλ (εµ ⊗ I) ∈ L(X) ∥ ΦHλ (εµ ⊗ I) ∥→ µ → ∞, Sλ (εµ ⊗ I) song ánh với µ đủ lớn Điều mơ tả phổ A với Định lý 1.5 đặc trưng ổn định mũ nửa nhóm (T (t))t≥0 nghiệm u (ADDE) Tuy nhiên, khó để xác định λ ∈ C thỏa mãn λ ∈ σ(B + Φλ ) để có σ(A) Bổ đề 1.7 : Nếu B có giải compact, R(λ, A)T (r) compact với λ ∈ ρ(A) Chứng minh Cho tùy ý cố định λ, định nghĩa tập C := {R(λ, A)T (r)f : f ∈ U } ⊂ X U hình cầu đơn vị X Thì ta suy từ d (R(λ, A)T (r)f ) ≤∥ AR(λ, A)T (r) ∥ ds với f ∈ U tập C hàm liên tục X Mặt khác, tính chất chuyển (TP) biểu diễn R(λ, A) (3.10) suy với 44 s ∈ [−r, 0] f ∈ X có (R(λ, A)T (r)f )(s) = [R(λ, A)T (r + s)f ](0) = ([ελ ⊗ R(λ, B + Φλ )][(T (r + s)f )(0) + ΦHλ T (r + s)f ]) (0) = R(λ, B + Φλ )(δ0 + ΦHλ )T (r + s)f R(λ, B + Φλ ) compact, điều tập C(s) := {g(s) : g ∈ C} ⊂ Y compact tương s ∈ [−r, 0] Vì vậy, có thẻ áp dụng Định lý ArzelaAscoli kết luận C compact tương đối, điều có nghĩa R(λ, A)T (r) tốn tử compact Mệnh đề 1.8 : Nếu (S(t))t≥0 compact trực tiếp (T (t))t≥0 compact cuối với t > r c Ổn định cho phương trình vi phân có trễ 3.2 Nửa nhóm dương Trong mơ hình phát sinh từ sinh học hay vật lý, có khái niệm tự nhiên tính dương, kết dương phương trình có ý nghĩa Tương đương với nửa nhóm (T (t))t≥0 tốn tử T (t) phải dương Trên không gian Banach X := Lp (Ω, µ) C0 (Ω) gọi hàm f ∈ X dương f (s) ≥ với s ∈ Ω Với hàm giá trị thực f, g ∈ X ta viết f ≥ g g − f ≥ thu xếp có thứ tự X vào dàn vector Hơn nữa, với hàm tùy ý f ∈ X xác định |f | sau |f |(s) := |f (s)| với s ∈ Ω Từ định nghĩa chuẩn X, thấy |f | ≤ |g| ⇒ ∥ f ∥ ≤ ∥ g ∥ 45 với f, g ∈ X (2.1) Các tính chất biến khơng gian X thành dàn Banach Định nghĩa 2.1 : Nửa nhóm liên tục mạnh (T (t))t≥0 dàn Banach X gọi dương toán tử T (t) dương, tức ≤ f ∈ X ⇒ ≤ T (t)f với t ≥ Định lý 2.2 Nửa nhóm liên tục mạnh T := (T (t))t≥0 dàn Banach dương toán tử giải R(λ, A) toán tử sinh A dương với λ đủ lớn Bổ đề 2.3 : Cho nửa nhóm liên tục mạnh dương (T (t))t≥0 với toán tử sinh A dàn Banach X có ∫ R(λ, A)f = ∞ e−λs T (s)ds, f ∈X (2.2) với Reλ > s(A) Hơn khẳng định sau tương đương với λ0 ∈ ρ(A) (a) ≤ R(λ0 , A) (b) s(A) < λ0 Chứng minh Biểu diễn tích phân (2.2) có với Reλ > ω0 (A), thu từ tính dương (T (t))t≥0 , tính dương R(λ, A) với λ > ω0 (A) Khai triển chuỗi (3.3) Mệnh đề II.3.2 nghiệm thu ≤ R(λ, A) với λ > s(A) Từ giả thiết s(A) < Bổ đề I.2.2.(iv) suy ∫ t ≤ V (t) := T (s)ds = R(0, A) − R(0, A)T (t) ≤ R(0, A) ∥ V (t) ∥≤ M với t ≥ số M Từ đánh giá suy ∫ ∞ e−λs V (s)ds, Reλ > 0 tồn tốn tử chuẩn Phép lấy tích phân phần ta thu ∫ t ∫ t −λs −λt e T (s)ds = e V (t) + λ e−λs V (s)ds hội tụ tới λ ∫∞ 0 e−λs V (s)ds t → ∞ Từ Định lý I.2.6.(i) chứng minh (2.2) kéo theo (b) ⇒ (a) 46 Hơn Định lý I.2.6, biểu diễn tích phân (2.2) suy s(A) ∈ σ(A) Do có bán kính phổ lời giải r(R(λ, A)) = λ − s(A) (2.3) với λ > s(A) Trong phần chứng minh (a) ⇒ (b) giả sử R(λ0 , A) ≥ điều cho λ0 thực R(λ, A) dương với λ > max{λ0 , s(A)} Vì R(λ0 , A) = R(λ, A) + (λ − λ0 )R(λ, A)R(λ0 , A) ≥ R(λ, A) ≥ với λ > max{λ0 , s(A)} Sau từ (2.3) (2.1) = r(R(λ, A)) ≤∥ R(λ, A) ∥≤∥ R(λ0 , A) ∥ λ − s(A) với λ > max{λ0 , s(A)} Điều suy λ0 lớn s(A) Định lý 2.4 Cho nửa nhóm liên tục mạnh dương (T (t))t≥0 với toán tử sinh A dàn Banach X Nếu s(A) > −∞, s(A) ∈ σ(A) Chứng minh Tính dương toán tử T (t) nghĩa |T (t)f | ≤ T (t)|f | với f ∈ X, t ≥ Từ biểu diễn tích phân (2.2) thu ∫ ∞ |R(λ, A)f | ≤ e−Reλ·s T (s)|f |ds với Reλ > s(A) f ∈ X Dùng bất đẳng thức (2.1) ta suy ∥ R(λ, A) ∥≤∥ R(Reλ, A) ∥ với Reλ > s(A) (2.4) tồn λn ∈ ρ(A) cho Reλn ↓ s(A) ∥ R(λn , A) ∥↑ ∞ Đánh giá (2.4) suy ∥ R(Reλn , A) ∥↑ ∞ s(A) ∈ σ(A) Mệnh đề II.3.2.(iii) Hệ 2.5 : A tốn tử sinh nửa nhóm liên tục mạnh dương (T (t))t≥0 B ∈ L(X) toán tử dương dàn Banach X Ta suy 47 (i) A + B sinh nửa nhóm dương (S(t))t≥0 thỏa mãn ≤ T (t) ≤ S(t) với t ≥ (ii) s(A) ≤ s(A + B) R(λ, A) ≤ R(λ, A + B) với λ > s(A + B) Tiếp theo sử dụng kết Perron-Frobenius liên quan đến phân tách phổ σ+ (A) := σ(A) ∩ (s(A) + iR) Định lý 2.6 Cho (T (t))t≥0 nửa nhóm liên tục mạnh dương với tốn tử sinh A dàn Banach X cho σ+ (A) bao gồm cực trị lời giải Ta có khẳng định sau (i) σ+ (A) cyclic, tức s(A) + iα ∈ σ(A) với α ∈ R} ⇒ {s(A) + ikα ∈ σ(A) ∀α ∈ Z (ii) Giả sử, để đơn giản, X := L1 (Ω, µ) (T (t))t≥0 bất khả quy   (R(λ, A)f )(s) > với hầu hết f ∈X⇒  s ∈ Ω λ > s(A) Thì • s(A) cực trị R(λ, A) với phần dư chiều P cho < P f f > 0, • σ+ (A) = s(A) + iαZ với α ∈ R Hệ 2.7 : Nếu nửa nhóm liên tục mạnh dương (T (t))t≥0 liên tục chuẩn cuối tốn tử sinh có lời giải compact, σ+ (A) tốn tử sinh A {s(A)} Mệnh đề 2.8 : Cho (T (t))t≥0 nửa nhóm liên tục mạnh dương với tốn tử sinh A dàn Banach X biên phổ s(A) thỏa mãn s(A) < (T (t))t≥0 ổn định mũ Chứng minh Cho s(A) < −ε < f ∈ D(A).Từ (2.8) Bổ đề I.2.5 có ∫ t εt e T (t)t = f + eεt T (s)(A + ε)f ds t ≥ 0 48 Biểu diễn tích phân Bổ đề 2.3 ta suy ∫ ∞ εt lim e T (t)f = f + eεt T (s)(A + ε)f ds t→∞ tồn tại, lim e t→∞ εt / T (t)f = với f ∈ D(A) Định lý 2.9 Cho (T (t))t≥0 nửa nhóm liên tục mạnh dương với tốn tử sinh A dàn Banach Lp (Ω, µ), ≤ p < ∞ Thì s(A) = ω0 3.3 Ổn định với phần dương Chúng ta giả sử Y dàn Banach, X := C([−r, 0], Y ) Đầu tiên cung cấp đầy đủ diều kiện B Φ để A sinh nửa nhóm dương (T (t))t≥0 không gian Banach Định lý 3.1 Nếu B sinh nửa nhóm dương Y tốn tử trễ Φ ∈ L(X, Y ) dương, nửa nhóm sinh A X dương Chứng minh Từ Định lý 2.2 đủ cho thấy R(λ, A) dương với λ ∈ R đủ lớn Để chứng minh, ta lưu ý Φλ = Φ(ελ ⊗ I) ≥ với λ ∈ R, ta sử dụng khai triển Neumann R(λ, B + Φλ ) = R(λ, A) ∞ ∑ [Φλ R(λ, A)]n n=0 kết luận R(λ, B +Φλ ) dương với λ lớn Từ toán tử Hλ (1.14) dương với λ ∈ R, điều chứng minh R(λ, A) dương với λ lớn Trước làm để tính dương dùng để có tiêu chí ổn định đơn giản cho nghiệm (ADDE), chứng minh bổ đề toán 49 tử giá trị hàm R : ρ ⊂ C2 → L(Y ) định nghĩa (λ, µ) → R(λ, µ) := R(λ, B + Φµ ) với (λ, µ) ∈ ρ := {(r, s) ∈ C2 : r ∈ ρ(B + Φs )} Bổ đề 3.2 : Các khẳng định sau (i) Tập ρ ⊂ C2 mở (ii) Ánh xạ R(·, ·) giải tích Chứng minh (i) Cho (λ0 , µ0 ) ∈ ρ và(λ, µ) ∈ C Thì (λ − B − Φµ ) − (λ0 − B − Φµ0 ) = (λ − λ0 ) + Φ((εµ − εµ0 ) ⊗ I) = ∆λ,µ Từ lim(λ,µ)→(λ0 ,µ0 ) ∥ ∆λ,µ ∥= (λ − B − Φµ ) = (I + ∆λ,µ R(λ0 , µ0 ))(λ0 − B − Φµ0 ) (3.1) suy (λ − B − Φµ ) khả nghịch với ∥ (λ, µ) − (λ0 , µ0 ) ∥ đủ nhỏ, tức (λ, µ) ∈ ρ (ii) Từ (3.1) ta có, với ∥ (λ, µ) − (λ0 , µ0 ) ∥ đủ nhỏ R(λ, µ) = R(λ0 , µ0 ) ∞ ∑ [∆λ,µ R(λ0 , µ0 )]n n=0 chuỗi hội tụ hình cầu nhỏ ánh xạ C2 ∋ (λ, µ) → ∆λ,µ ∈ L(Y ) giải tích, (·, ·) giải tích Với bổ đề này, mơ tả hướng hàm biên phổ s : R → R ∪ {−∞} xác định s(λ) := s(B + Φλ ) với λ ∈ R Mệnh đề 3.3 : Cho B sinh nửa nhóm dương Y giả sử Φ ∈ L(X, Y ) dương Thì hàm biên phổ s(·) giảm dần liên tục từ bên trái R Nếu s(B + Φµ0 ) điểm lập σ(B + Φµ0 ) ∩ R, s(·) liên tục µ0 ∈ R Chứng minh Cho µ0 ≤ µ1 có Φµ1 ≤ Φµ0 s(B + Φµ1 ) ≤ s(B + Φµ0 ) Hệ 2.5 Điều hàm s(·) giảm dần Để s(·) liên tục trái, sử dụng phản chứng s(µ0 ) < s− := lim s(µ0 − ε) ε↓0 50 với µ0 ∈ R Thì s− ∈ ρ(B + Φµ0 ), (s− , µ0 ) ∈ ρ Điều mâu thuẫn với giả thiết ρ ∈ C2 mở, từ Định lý 2.4 có s(µ0 − ε) ∈ σ(B + Φµ0 −ε ), tức (s(µ0 − ε), µ0 − ε) ∈ / ρ với ε > 0, (s(µ0 − ε), µ0 − ε) → (s− , µ0 ) ε ↓ Bây giờ, giả sử thêm s(B + Φµ0 ) bị lập σ(B + Φµ0 ) ∩ R Để s(·) liên tục phải, dùng phản chứng s+ := lim s(µ0 + ε) < s(µ0 ) (3.2) ε↓0 Từ giả thiết, tồn λ ∈ ρ(B + Φµ0 ) ∩ R thỏa mãn s+ < λ < s(µ0 ) Đặc biệt, (λ, µ0 ) ∈ ρ, kết luận từ Bổ đề 3.2.(ii) R(λ, µ0 ) = lim R(λ, µ0 + ε) ≥ ε↓0 Điều mâu thuẫn với Bổ đề 2.3, s(·) phải liên tục phải Định lý 3.4 Cho B sinh nửa nhóm dương Y giả sử Φ ∈ L(X, Y ) dương Thì (i) Nếu s(B + Φλ ) < λ s(A) < λ (ii) s(B + Φλ ) = λ s(A) = λ (iii) Ngồi ra, giả sử σ(B) ̸= ∅ Nếu B có tốn tử giải compact Φ compact, biên phổ s(A) nghiệm phương trình đặc trưng tổng quát λ = s(B + Φλ ) λ∈R (3.3) Hơn trường hợp s(B + Φλ ) λ ⇐⇒ s(A) λ (3.4) Chứng minh (i) Cho λ > s(B + Φλ ) Thì thu từ tính đơn điệu s(·) µ ≥ λ > s(B + Φλ ) ≥ s(B + Φµ ) với µ > λ Suy µ ∈ ρ(B + Φµ ) µ ∈ ρ(A) với µ > λ Mệnh đề 1.6 Mặt khác, từ Định lý 2.4 suy s(A) ∈ σ(A), λ > s(A) 51 (ii) Nếu λ = s(B +Φλ ), từ Định lý 2.4 có λ ∈ σ(B +Φλ ) λ ∈ σ(A) Mặt khác, giống (i) ta µ ∈ ρ(A) với µ > λ, từ điều suy λ = s(A) (iii) Nếu σ(B) ̸= ∅, từ Hệ 2.5.(ii) có −∞ < s(B) ≤ s(λ) với λ ∈ R, ánh xạ s(·) liên tục giảm dần Do đó, phương trình (3.3) có nghiệm λ0 , từ (ii) với s(A) Ta có đánh giá (3.4) Đặc biệt, từ giả thiết Định lý 3.4.(iii) có s(A) < s(B + Φ0 ) < Bổ đề 3.5 : Cho B sinh nửa nhóm dương Y giả sử Φ ∈ L(X, Y ) dương Nếu σ(B + Φλ ) ̸= ∅ với λ ∈ R, s(A) = sup{λ ∈ R : s(B + Φλ ) ≥ λ} (3.5) Trong trường hợp khác s(A) = −∞ Chứng minh Nếu σ(B + Φλ ) ̸= ∅ với λ ∈ R, s(A) = −∞ Định lý 3.4.(i) Giả sử σ(B + Φλ ) ̸= ∅ với λ ∈ R, kí hiệu vế phải phương trình (3.16) µ Thì kéo theo từ tính liên tục trái s(·) s(B + Φµ ) ≥ µ Theo đó, có hai trường hợp Trường hợp 1: s(B + Φµ ) = µ Thì s(A) = µ Định lý 3.4.(ii), (3.5) Trường hợp 2: s(B + Φµ ) > µ Chúng ta thấy điều bao gồm (µ, s(B + Φµ )] ⊂ σ(B + Φµ ) (3.6) Giả sử phản chứng tồn r ∈ (µ, s(B + Φµ )] ∩ ρ(B + Φµ ) Thì (r, µ) ∈ ρ, từ định nghĩa µ, có r + ε > µ + ε > s(B + Φµ+ε ) với ε > Tiếp theo, dùng Bổ đề 2.3 Bổ đề 1.10 ta có R(r, B + Φµ ) = lim R(r + ε, B + Φµ+ε ) ≥ ε↓0 Trở lại Bổ đề 2.3, điều mâu thuẫn vớ thực tế r ≤ s(B + Φµ ) Vì (3.6) chứng minh, từ tính đóng phổ suy µ ∈ σ(B + Φµ ) Do µ ∈ s(A) Mệnh đề 1.6, s(A) ≥ µ 52 Vẫn phải s(A) > µ khơng thể xảy Chúng ta giả sử phản chứng s(A) > µ Thì từ định nghĩa µ, suy s(B + Φs(A) ) < s(A), s(A) ∈ ρ(B + Φs(A) ) Từ Mệnh đề 1.6 điều suy s(A) ∈ ρ(A), mâu thuẫn với Định lý 2.4 Hệ 3.6 : Cho B sinh nửa nhóm dương Y giả sử Φ ∈ L(X, Y ) dương Thì có với tốn tử vi phân có A X s(A) < ⇐⇒ s(B + Φ0 ) < Cuối kết hợp Hệ 3.6 với kết Chương trước để điều kiện đơn giản cho ổn định nửa nhóm (T (t))t≥0 sinh A Hệ 3.7 : Cho B sinh nửa nhóm dương Y , giả sử Φ ∈ L(X, Y ) dương, (T (t))t≥0 nửa nhóm sinh tốn tử vi phân có trễ tương ứng (i) Nửa nhóm (T (t))t≥0 ổn định mũ biên phổ s(B + Φ0 ) nhỏ (ii) Nếu (S(t))t≥0 liên tục chuẩn trực tiếp, nửa nhóm (T (t))t≥0 ổn định mũ biên phổ s(B + Φ0 ) nhỏ 3.4 Ổn định với nhiễu nhỏ Ở phần nghiên cứu phương trình (ADDE) khoảng nhiễu nhỏ [−r, 0]   u(t) ˙ = Bu(t) + Φut t ≥  u0 = φ ∈ X (4.1) Chúng ta chuẩn hóa lại khơng gian X := C([−r, 0], Y ) Với số dương w, chuẩn ∥ · ∥w xác định ∥ f ∥w := sup ∥ f (s)e−ws ∥Y , f ∈ X −r≤s≤0 (4.2) tương đương với chuẩn sup Chúng ta kí hiệu Xw không gian C([−r, 0], Y ) trang bị chuẩn ∥ · ∥w Định lý 4.1 53 Với tốn tử B sinh nửa nhóm liên tục mạnh Y toán tử (G, D(G)) xác định bởi: Gf := f ′     f (0) ∈ D(B) D(G) := f ∈ C([−r, 0], Y ) ∩ C ([−r, 0], Y ) :  f ′ (0) = Bf (0) + Φf  toán tử sinh nửa nhóm liên tục mạnh (T (t))t≥0 X Chứng minh: Gọi Cw không gian C([−r, 0], Y ) chuẩn hóa lại với chuẩn ∥ · ∥w với w Tương tự chứng minh Định lý 1.1, ta thấy toán tử (G, D(G)) xác định trù mật thỏa mãn đánh giá Hille-Yosida, nên sinh nửa nhóm liên tục mạnh Hệ 4.2 : Với φ ∈ D(G), tồn nghiệm ut (·, φ) phương trình (4.1), cho ut (·, φ) = T (t)φ, nửa nhóm liên tục (T (t))t≥0 sinh toán tử G Định lý 4.1 Hơn nữa, với dãy (φn )n∈N ⊂ D(G) thỏa mãn limn→∞ φn = 0, ta có limn→∞ ut (·, φn ) = khoảng compact Hệ 4.3 : Nếu giả thiết Định lý 4.1 thỏa mãn, ngồi tốn tử B sinh C0 nửa nhóm ổn định mũ chuẩn tốn tử Φ đủ nhỏ, nghiệm nửa nhóm (T (t))t≥0 sinh (G, D(G)) ổn định mũ Chứng minh: Toán tử eλ : Y → X định nghĩa (eλ x)(t) := eλt x t ≤ 0, x ∈ Y với λ ∈ C định nghĩa tốt Do tốn tử B sinh nửa nhóm (etB )t≥0 ổn định mũ Y tồn số M ≥ w1 < ta có ∥ etB ∥≤ M ew1 t , đặt K := max{M, M e−w1 r }, tương tự chứng minh Định lý 1.1, tốn tử sinh (G, D(G)) sinh nửa nhóm liên tục mạnh (T (t))t≥0 với số P thỏa mãn ∥ T (t) ∥≤ P ew0 t , t ≥ với số w0 w0 := w1 + K ∥ Φ ∥ Do ∥ Φ ∥< −w1 K nửa nhóm nghiệm ổn định mũ 54 Kết luận chung Luận văn nghiên cứu áp dụng lý thuyết nửa nhóm để giải phương trình vi phân có trễ (ADDE) Cụ thể luận văn thực cơng việc sau: i) Trình bày lý thuyết nửa nhóm tham số, Định lý sinh nửa nhóm Hille-Yosida từ tốn tử sinh khơng gian Banach tùy ý Trình bày lớp khơng gian trừu tượng khơng gian Favard Holder ii) Trình bày nhiễu nửa nhóm, Định lý nhiễu Desch-Schappacher, ứng dụng để chứng minh tốn tử có nhiễu sinh nửa nhóm nghiệm.Trình bày lý thuyết ánh xạ phổ cho nửa nhóm tốn tử sinh, mối liên hệ biên phổ toán tử sinh A cận tăng nửa nhóm sinh A iii) Trình bày phương pháp nửa nhóm giải phương trình (ADDE), từ việc đặt phương trình tiến hóa từ giá trị ban đầu tốn, sau xác định khơng gian Banach X tốn tử tuyến tính A cho phương trình ban đầu viết lại dạng toán Cauchy, A sinh nửa nhóm nghiệm thu nghiệm tốn ban đầu, sau tìm hiểu phổ A dáng điệu tiệm cận nửa nhóm nghiệm Trình bày ổn định cho phần dương vốn mang nhiều ý nghĩa vật lý, sinh học chứng minh ổn định nghiệm phương trình (ADDE) khoảng nhiễu nhỏ Mặc dù cố gắng song hạn chế thời gian, kiến thức kinh nghiệm nên luận văn khơng tránh khỏi thiếu sót Tác giả mong nhận quan tâm đóng góp ý kiến thầy bạn để luận văn hoàn thiện Trân trọng cảm ơn Hà Nội, ngày 23 tháng 12 năm 2013 55 Tài liệu tham khảo [1] K.J Engle, R Nagel "One-parameter Semigroup for Linear Evolution Equations" Springer-Varlag, Berlin-Heidelberg 2000 [2] K.J Engle, R Nagel "A Short Course on Operator Semigroups", Springer 2006 [3] R Nagel and N.T.Huy, Linear neutral partial differential equations, a semigroup approach, Int.Math.Math.Sci.42(2001), 301-311 56 ... 12 năm 2013 vi Danh mục kí hiệu chữ vi? ??t tắt (ACP) Bài tốn Cauchy (ADDE) phương trình vi phân có trễ (DE) phương trình vi phân (FE) phương trình hàm (SMT) định lý ánh xạ phổ (WSMT) định lý ánh... luận văn trình bày phương pháp nửa nhóm để ổn định nghiệm phương trình vi phân hàm Dựa vào kết toán tử sinh Hille-Yosida, lý thuyết phổ cho toán tử bị chặn để thu kết cho phương trình vi phân có... tích phân phương trình hàm, học lượng tử Phương pháp nửa nhóm ứng dụng thu thành cơng phương trình biến động dân số Có nhiều lý do, hệ định tự động mô tả ánh xạ T (t), t ≥ 0, thỏa mãn phương trình