Tính ổn định nghiệm của phương trình tích phân volterra phi tuyến

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI KHOA TOÁN NGUYỄN THỊ LAN ANH TÍNH ỔN ĐỊNH NGHIỆM CỦA PHƯƠNG TRÌNH TÍCH PHÂN VOLTERRA PHI TUYẾN KHĨA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC Chuyên ngành: Giải tích Hà Nội, tháng 05 năm 2019 TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI KHOA TỐN NGUYỄN THỊ LAN ANH TÍNH ỔN ĐỊNH NGHIỆM CỦA PHƯƠNG TRÌNH TÍCH PHÂN VOLTERRA PHI TUYẾN KHĨA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC Chuyên ngành: Giải tích Người hướng dẫn: Th.S Trần Văn Tuấn Hà Nội, tháng 05 năm 2019 Lời cảm ơn Để hồn thành khóa luận này, tơi xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến ThS Trần Văn Tuấn - Người trực tiếp tận tình hướng dẫn, bảo định hướng cho tơi suốt q trình tơi làm khóa luận Đồng thời tơi xin chân thành cảm ơn thầy tổ Giải tích thầy khoa Tốn - Trường Đại học Sư phạm Hà Nội 2, Ban chủ nhiệm khoa Toán tạo điều kiện cho tơi hồn thành tốt khóa luận để có kết ngày hơm Mặc dù có nhiều cố gắng, song thời gian kinh nghiệm thân nhiều hạn chế nên khóa luận khơng thể tránh khỏi thiếu sót mong đóng góp ý kiến thầy cô giáo, bạn sinh viên bạn đọc Tôi xin chân thành cảm ơn! Hà Nội, tháng 05 năm 2019 Tác giả khóa luận Nguyễn Thị Lan Anh Lời cam đoan Tơi xin cam đoan Khóa luận cơng trình nghiên cứu riêng tơi hướng dẫn thầy giáo - ThS Trần Văn Tuấn Trong nghiên cứu, hồn thành khóa luận tơi tham khảo số tài liệu ghi phần tài liệu tham khảo Tôi xin khẳng định kết đề tài: “Tính ổn định nghiệm phương trình tích phân Volterra phi tuyến” kết việc nghiên cứu nỗ lực học tập thân, không trùng lặp với kết đề tài khác Nếu sai tơi xin chịu hồn tồn trách nhiệm Hà Nội, tháng 05 năm 2019 Tác giả khóa luận Nguyễn Thị Lan Anh Mục lục Mở đầu Bảng kí hiệu KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 1.1 Không gian metric 1.2 Không gian định chuẩn 5 TÍNH ỔN ĐỊNH NGHIỆM CỦA TÍCH PHÂN VOLTERRA 2.1 Sự tồn nghiệm toàn cục tập 2.2 Tính ổn định nghiệm 2.3 Ứng dụng 2.3.1 Nhân khả tích 2.3.2 Phương trình vi tích phân PHƯƠNG TRÌNH compact [0, T ] 10 11 14 17 17 19 Kết luận 22 TÀI LIỆU THAM KHẢO 23 Lời mở đầu Lý chọn đề tài Phương trình vi-tích phân nhánh quan trọng tốn học Các phương trình sử dụng để mô tả nhiều tượng xuất vật lý, kinh tế, Phương trình vi-tích phân nhận quan tâm nghiên cứu nhiều nhà toán học giới nước, xem tài liệu [1,4] Một lớp đặc biệt quan tâm rộng rãi phương trình tích phân Volterra loại II Các câu hỏi nghiên cứu phương trình vi-tích phân nói chung phương trình tích phân Volterra nói riêng là: Sự tồn nghiệm, tính nghiệm phụ thuộc liên tục nghiệm vào kiện đầu Những câu hỏi cho phương trình vi phân trả lời nhiều tài liệu chuyên khảo phương trình vi phân, xem tài liệu [1,4] Tuy nhiên kết tương tự cho phương trình tích phân, đặc biệt tích phân Volterra loại II chưa biết đến nhiều Trong khố luận chúng tơi nghiên cứu tính đặt đúng, tính ổn định phương trình tích phân Volterra loại II dạng t a(t − s)g x(s) ds, t ≥ 0, x(t) = f (t) + a ma trận cấp n × n, g : Rn → Rn hàm phi tuyến, f : [0, +∞) → Rn Với mục đích tìm hiểu phương trình tích phân Volterra, tơi chọn đề tài “Tính ổn định nghiệm phương trình tích phân Volterra phi tuyến” thầy giáo - ThS Trần Văn Tuấn hướng dẫn 2 Mục đích nghiên cứu ❼ Nghiên cứu tồn tại, tính ổn định nghiệm phương trình tích phân Volterra phi tuyến Nhiệm vụ nghiên cứu ❼ Nghiên cứu tính ổn định nghiệm phương trình tích phân Volterra phi tuyến Đối tượng phạm vi nghiên cứu ❼ Đối tượng nghiên cứu: Phương trình tích phân Volterra phi tuyến ❼ Phạm vi nghiên cứu: Sự tồn nghiệm, tính nghiệm, tính ổn định nghiệm Phương pháp nghiên cứu Các phương pháp nghiên cứu sủ dụng khóa luận là: Tìm kiếm, tổng hợp, tham khảo tài liệu từ giáo trình, sách vở, Sau phân tích, tích cực nghiên cứu bảo thầy giáo hướng dẫn, tổng hợp trình bày vấn đề cho rõ ràng, hợp logic Cấu trúc đề tài Khóa luận trình bày hai chương ❼ Chương Kiến thức chuẩn bị ❼ Chương Tính ổn định nghiệm phương trình tích phân Volterra Hà Nội, tháng 05 năm 2019 Tác giả khóa luận Nguyễn Thị Lan Anh Bảng kí hiệu C[a, b] Tập hàm liên tục đoạn [a, b] L1 (0, T ) Tập hàm f đo |f (t)|dt < +∞ T không gian hàm khả tích bậc (0, T ) T p L (0, T ) Tập hàm f đo |f (t)|p dt < +∞, ≤ p ≤ +∞ Rn Không gian Euclide n chiều với x = (x1 , x2 , , xn ) phần tử Rn  1/2 n |xi |2  chuẩn Euclide x =  i=1 Rn×m Tập tất ma trận cấp n × m BC[0, ∞) Không gian hàm liên tục bị chặn ≤ t < ∞ với chuẩn h = sup |h(t)| 0≤t Định nghĩa 1.3 Cho không gian metric M = (X, d), a ∈ X, số r > Ta gọi ❼ Tập S(a, r) = x ∈ X : d(x, a) < r hình cầu mở tâm a, bán kính r ¯ r) = x ∈ X : d(x, a) ≤ r hình cầu đóng tâm a, bán kính ❼ Tập S(a, r Định nghĩa 1.4 Không gian metric M = (X, d) gọi không gian metric đầy dãy không gian hội tụ Định nghĩa 1.5 Cho hai không gian metric M1 = (X, d1 ), M2 = (y, d2 ) Ánh xạ không gian M1 vào không gian M2 gọi ánh xạ co, tồn số α, ≤ α < cho d2 (Ax, Ax ) ≤ αd1 (x, x ), ∀x, x ∈ X Định lí 1.1 (Nguyên lý Banach ánh xạ co) Mọi ánh xạ co A ánh xạ không gian metric đầy M = (X, d) vào có điểm bất động x¯ nhất, nghĩa x¯ ∈ X thỏa mãn hệ thức A¯ x = x¯ Chứng minh Lấy điểm x0 ∈ X lập dãy xn = Axn−1 , 2) (∀x ∈ A)(∀α ∈ P ) Aαx = αAx Ta thường gọi ánh xạ tuyến tính tốn tử tuyến tính Định nghĩa 1.9 Cho không gian định chuẩn X Y Tốn tử tuyến tính A từ khơng gian X vào không gian Y gọi bị chặn tồn số C > cho Ax ≤ C x , ∀x ∈ X (1.1) Định nghĩa 1.10 Cho A tốn tử tuyến tính bị chặn từ không gian định chuẩn X vào không gian định chuẩn Y Hằng số C > nhỏ thỏa mãn hệ thức (1.1) gọi chuẩn toán tử A kí hiệu A Từ định nghĩa dễ thấy chuẩn tốn tử có tính chất: 1) (∀x ∈ X) Ax ≤ A x , 2) (∀ε > 0)(∃xε ∈ X) ( A − ε) xε < Aε Định lí 1.2 Cho tốn tử tuyến tính A từ khơng gian định chuẩn X vào khơng gian định chuẩn Y Nếu tốn tử A bị chặn A = sup Ax x ≤1 hay A = sup Ax x =1 Chương TÍNH ỔN ĐỊNH NGHIỆM CỦA PHƯƠNG TRÌNH TÍCH PHÂN VOLTERRA Trong chương nghiên cứu tồn nghiệm, tính ổn định số ứng dụng phương trình tích phân Volterra loại II có dạng t a(t − s)g x(s) ds, t ≥ 0, x(t) = f (t) + (2.1) x, f, g vectơ n chiều, a(t) = aij (t) ma trận cấp n × n với phần tử hàm số liên tục Trong phần sau chúng tơi nghiên cứu phương trình (2.1) giả thiết sau (i) g : Rn → Rn thoả mãn g(0) = hàm số liên tục Lipschitz tức g(x) − g(y) ≤ L x − y , ∀x, y ∈ Rn , (ii) f : [0, +∞) → Rn hàm số liên tục 10 2.1 Sự tồn nghiệm toàn cục tập compact [0, T ] Trong phần này, nghiên cứu tồn nghiệm (2.1) [0, T ], T > tùy ý Định nghĩa 2.1 Hàm x ∈ C [0, T ], Rn nghiệm (2.1) thỏa mãn phương trình (2.1) [0, T ] thỏa mãn x(0) = f (0) Để nghiên cứu tồn nghiệm toán (2.1) ta chứng minh toán tử S : C [0, T ], Rn → C [0, T ], Rn cho t a(t − s)g x(s) ds, t ∈ [0, T ] có điểm bất động Sx(t) = f (t) + Định lý sau phát biểu kết tồn nghiệm tốn (2.1) Định lí 2.1 Giả sử điều kiện (i), (ii) thỏa mãn Khi tốn (2.1) có nghiệm Chứng minh Ta chứng minh định lý qua bước sau Bước Ta chứng minh Sx(t) xác định khắp nơi liên tục Thật t n vậy, với x ∈ C [0, T ], R , f (t) liên tục, a(t − s)g x(s) ds khả vi nên t a(t − s)g x(s) ds liên tục Sx(t) = f (t) + Bước Với α > ta xét chuẩn tương đương C [0, T ], Rn cho x α = sup e−αt x(t) , x ∈ C [0, T ], Rn Ta chứng minh S toán tử t∈[0,T ] co C [0, T ], Rn với chuẩn · α 11 Thật ∀x1 , x2 ∈ C [0, T ], Rn ta có Sx1 − Sx2 α = sup e−αt Sx1 (t) − Sx2 (t) t∈[0,T ] t = sup e−αt t∈[0,T ] g x1 (s) − g x2 (s) a(t − s) ds Mặt khác, với t ∈ [0, T ] ta có t g x1 (s) − g(x2 (s) a(t − s) ds Sx1 (t) − Sx2 (t) = t g x1 (s) − g x2 (s) a(t − s) ds ≤ t g x1 (s) − g x2 (s) ≤ a(t − s) ds t ≤ L x1 (s) − x2 (s) a(t − s) ds t ≤L a x1 (s) − x2 (s) ds, ∞ 12 với a ∞ = sup a(t) Suy t∈[0,T ] t e−αt Sx1 (t) − Sx2 (t) ≤ L a e−αt x1 (s) − x2 (s) ds sup ∞ t∈[0,T ] t =L a e−αt eαs e−αs x1 (s) − x2 (s) ds sup ∞ t∈[0,T ] t ≤L a e−α(t−s) x1 − x2 sup ∞ t∈[0,T ] α ds Ta tính t t e−α(t−s) ds = − e−α(t−s) d(t − s) t = α e−α(t−s) d(−α(t − s)) t = e−α(t−s) α 1 = (1 − e−αt ) ≤ α α Khi e−αt Sx1 (t) − Sx2 (t) ≤ L a Sx1 − Sx2 α ∞ x1 − x2 α α , ∀t ∈ [0, T ] Từ = sup e−αt Sx1 (t) − Sx2 (t) t∈[0,T ] ≤ Chọn α > cho L a ∞ L a α ∞ x1 − x2 α (2.2) < α Do từ (2.2) ta suy S ánh xạ co từ C [0, T ], Rn vào Hay tốn (2.1) tồn nghiệm 13 Nhận xét Nếu x nghiệm phương trình (2.1) x phụ thuộc liên tục vào điều kiện ban đầu Thật vậy, cố định α > L a ∞ gọi x1 , x2 hai nghiệm tương ứng với f1 , f2 Lặp lại đánh chứng minh Định lý 2.1 ta có đánh giá x1 − x2 = Sx1 − Sx2 ≤ f1 − f2 L a α x phụ thuộc liên tục vào f Do x1 − x2 ≤ − ∞ C([0,T ]) + L a α ∞ x1 − x2 α f1 − f2 → f1 → f2 Vậy nghiệm Nếu f “nhỏ” phương trình (2.1) thay phương trình tuyến tính phân tích dễ sau t a(t − s)Jy(s)ds, y(t) = f (t) + (2.3) J ma trận Jacobian g 0, g (0) = (∂gi (0)/∂xj ) 2.2 Tính ổn định nghiệm Để nghiên cứu tính ổn định phương trình (2.1) ta đặt giả thiết sau: (A1) a ∈ L1 (0, T ) với T > 0, (A2) f (t) ∈ C[0, ∞), (A3) g(x) ∈ C (Rn ), (A4) ma trận Jacobian J khả nghịch 14 Từ giả thiết ma trận J khả nghịch, không tính tổng qt giả thiết J ma trận I cấp n × n Chúng ta cần thay a(t) a(t)J g(x) J −1 g(x) Khi phương trình (2.3) viết lại dạng t a(t − s)y(s)ds y(t) = f (t) + (2.4) Như ta có nghiệm phương trình (2.4) có dạng t y(t) = f (t) − b(t − s)f (s)ds, (t ≥ 0) (2.5) ma trận b ma trận nhân suy biến xác định phương trình ma trận t b(t − s)a(s)ds b(t) = −a(t) + (2.6) Chúng ta giả thiết (A5) ma trận b xác định (2.6) tồn với t > b(t) ∈ L1 (0, ∞) Định lý sau kết phần Định lí 2.2 Nếu giả sử (A1)-(A5) thỏa mãn tồn > cho nghiệm y(t) (2.4) thỏa mãn y ≤ (2.1) tồn với t ≥ x ≤ 0, >0 nghiệm x(t) Chứng minh Vì b ∈ L1 (0, ∞) nên phương trình (2.1) tương đương với t x(t) = y(t) − b(t − s) G x(s) ds, 15 (2.7) y định nghĩa (2.5) G(x) = g(x) − x = o(|x|), ( x → 0) Chọn > cho x ≤ 1, ∞ b(s) ds ≤ x , G(x) ∞ b(s) ds g (x) − I < Chọn = /2 Đặt T x(t) hàm định nghĩa vế bên phải phương trình (2.7) Đặt S(0, ) = {h ∈ BC[0, ∞); h Với ≤ } đủ bé ta suy T ánh xạ co S(0, ) Định lí 2.2 chứng minh Hệ Nếu (A1)-(A5) thỏa mãn, tồn > cho f ≤ t ≥ thỏa mãn x Chứng minh Chọn cho ≤ 2, > nghiệm x(t) (2.1) tồn với ∞ y ≤ 1+ b(s) ds ≤ , số cho Định lí 2.2 Từ phương trình (2.5) ta có Do Hệ suy ta từ Định lí 2.2 Định lí 2.3 Giả sử (A1)-(A5) thoả mãn cố định Định lí 2.2 Nếu y ≤ 0, cho y(t) → t → ∞, x(t) → t → ∞ 16 Chứng minh Đặt Γ tập giới hạn dương nghiệm x(t), nghĩa Γ tập nhỏ cho x(t) → Γ t → ∞ Vì x(t) bị chặn nên dễ thấy Γ khác rỗng, compact liên thơng Từ phương trình (2.7) giải x(t), y(t) → b ∈ L1 (0, ∞) Γ hợp nghiệm t z(t) = − b(t − s) G z(s) ds, (2.8) −∞ z(t) ≤ (−∞ < t < ∞) (2.9) Đặt T z(t) hàm định nghĩa với vế bên phải (2.8) z ∈ BC(R) z ≤ Các ước tính chứng minh Định lí 2.2 T ánh xạ co Do z(t) ≡ nghiệm (2.8-2.9) Điều nghĩa Γ = {0} Suy x(t) → Định lí 2.3 chứng minh Sử dụng Hệ Định lí 2.3 thu kết sau Hệ Giả sử (A1)-(A5) thoả mãn lấy Hệ Nếu f ≤ 2.3 2.3.1 cho y(t) → t → ∞, x(t) → Ứng dụng Nhân khả tích Mục đích phần áp dụng lí thuyết phần 2.2 với giả thuyết bổ sung a ∈ L1 (0, ∞) Chúng ta cần kết sau Định lí 2.4 ( Paley Wiener) Cho a ∈ L1 (0, ∞) Khi nghiệm b 17 phương trình (2.6) L1 (0, ∞) định thức ∞ e−st a(t)dt det I − = 0, (2.10) nửa mặt phẳng bên phải Re ≥ Nhận xét Định lí chứng minh thay đổi đơn giản chứng minh Paley Wiener Paley Wiener sử dụng Định lí 2.4 để nghiên cứu dáng điệu tiệm cận nghiệm phương trình (2.4) trường hợp f (t) → t → ∞ Kết họ có khái qt phi tuyến tính sau Định lí 2.5 Giả sử (A1)-(A4) thỏa mãn với Re ≥ Hệ Nếu f ≤ 2 cho f (t) → t → ∞, x(t) → Chứng minh Nghiệm phương trình tuyến tính (2.4) cho (2.5) Vì f (t) → t → ∞ b ∈ L1 (0, ∞), định lí hội tụ trội Lebesgue (xem [3,tr.186]) y(t) → Từ Hệ ta có điều phải chứng minh Định lí 2.5 Nhận xét Levin thu khái quát phi tuyến khác kết Paley Wiener Kết ông không mạnh không yếu Định lí 2.5 Levin nghiên cứu phương trình vơ hướng (n = 1) cho phép n > Giả thiết a(t) yếu Levin giả thiết g(x) mạnh Định lí 2.4 kết cục kết Levin tổng quát Điều kiện f (t) → điều kiện cần để chứng minh định lí 2.5 Nếu f có loại dáng điệu tiệm cận khác, phân tích dáng điệu địa phương nghiệm phương trình (2.1) Trong ví dụ Định lí 2.6 f (t) số khơng thiết phải khác 18 2.3.2 Phương trình vi tích phân Mục đích phần áp dụng lí thuyết phần 2.2 để nghiên cứu dáng điệu địa phương phương trình tích phân dạng t k(t − s)g x(s) ds, x(0) = x0 , (t ≥ 0), (2.11) x (t) = mg x(t) + k khả tích địa phương m số Chúng ta cho phép m = Hệ viết dạng phương trình (2.1) tập f (t) ≡ x0 t k(s)ds a(t) = m + Để kiểm tra dáng điệu tiệm cận nghiệm phương trình (2.11) x0 nhỏ Chúng ta nhận xét định nghĩa tính ổn định ổn định tiệm cận nghiệm tầm thường x = (2.11) giống phương trình vi phân thơng thường khác Định lí 2.6 Cho f a định nghĩa Nếu (A3)-(A4) cố định, a ∈ L1 (0, ∞) (2.10) với Re ≥ 0, với x0 đủ nhỏ (i) nghiệm tầm thường (2.11) ổn định, (ii) nghiệm (2.11) tiến tới số t → ∞ Chứng minh Xuất phát từ chứng minh Hệ với , 0< < 1, tồn δ > cho x phần (ii) ý x0 ≤ ≤ x0 ≤ δ Để chứng minh x(t) ≤ 19 với t ≥ Hơn t x(t) = I− t b(s)ds x0 − b(t − s)G x(s) ds Vì b ∈ L1 (0, ∞), ∞ t lim I − b(s)ds x0 = t→∞ I− b(s)ds x0 , tồn Tập giới hạn dương x(t) hợp nghiệm ∞ z(t) = I− t b(s)ds x0 − b(t − s)G z(s) ds, (2.12) (−∞ < t < ∞) (2.13) −∞ z(t) ≤ 1, Đặt S(0, ) hình cầu đóng BC(R) với tâm gốc tọa độ bán kính Đặt S0 tập S(0, ) gồm hàm Các ước tính chứng minh Định lí 2.2 vế phải (2.12) định nghĩa ánh xạ co S(0, ) S0 Do nghiệm (2.12) hàm z(t) ≡ z0 Suy giới hạn dương tập x(t) điểm đơn z0 , x(t) → z0 t → ∞ Định lí 2.6 chứng minh Nhận xét Với x0 nhỏ, giới hạn z0 thu cách giải phương trình ∞ z0 = I− ∞ b(s)ds x0 − b(s)ds G(z0 ) 0 Đặt nghiệm z0 = F (x0 ) Suy F (0) = ánh xạ F vùng lân 20 cận điểm x0 khác lên vùng lân cận điểm z0 = Điều nghĩa nghiệm tầm thường ổn định tiệm cận 21 Kết luận Trên tồn nội dung khố luận đề tài “Tính ổn định nghiệm phương trình tích phân Volterra phi tuyến” Trong khóa luận này, ngồi kiến thức mở đầu chúng tơi nghiên cứu tốn xác định tính ổn định nghiệm phương trình tích phân Volterra phi tuyến Kết nói lên kiện đầu nhỏ phương trình tích phân Volterra phi tuyến tồn nghiệm Đồng thời nghiệm ổn định tiệm cận t tiến đến vô Mặc dù cố gắng song hạn chế thời gian, kiến thức kinh nghiệm nên luận văn không tránh khỏi thiếu sót Tơi mong nhận quan tâm đóng góp ý kiến Thầy, Cơ bạn để khóa luận đươc đầy đủ hồn thiện Trước kết thúc khóa luận này, lần tơi xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc Thầy, Cô giáo Khoa Toán, đặc biệt thầy giáo - ThS Trần Văn Tuấn tận tình hướng dẫn giúp đỡ tơi để hồn thành khóa luận Tơi xin chân thành cảm ơn! Tài liệu tham khảo [A] Tài liệu tiếng Việt [1] Cung Thế Anh, Cơ sở lý thuyết phương trình vi phân, Nhà xuất Đại học Sư phạm, 2015 [2] Nguyễn Phụ Hy, Giải tích hàm, Nhà xuất Khoa học Kỹ thuật, 2005 [3] Nguyễn Xuân Liêm, Topo đại cương - độ đo tích phân, Nhà xuất Giáo dục, 1994 [B] Tài liệu tiếng Anh [4] V Barbu, Differential Equations, Springer, 2016 URL https://doi.org/10.1007/978-3-319-45261-6 [5] R K Miller, On the linearization of Volterra integral equations J Math Anal Appl , 23(1968), 198-208 URL https://doi.org/10.1016/0022-247X(68)90127-3 23 ... Nghiên cứu tồn tại, tính ổn định nghiệm phương trình tích phân Volterra phi tuyến Nhiệm vụ nghiên cứu ❼ Nghiên cứu tính ổn định nghiệm phương trình tích phân Volterra phi tuyến Đối tượng phạm... tài Tính ổn định nghiệm phương trình tích phân Volterra phi tuyến Trong khóa luận này, ngồi kiến thức mở đầu chúng tơi nghiên cứu tốn xác định tính ổn định nghiệm phương trình tích phân Volterra. .. n, g : Rn → Rn hàm phi tuyến, f : [0, +∞) → Rn Với mục đích tìm hiểu phương trình tích phân Volterra, tơi chọn đề tài Tính ổn định nghiệm phương trình tích phân Volterra phi tuyến thầy giáo