Phương pháp Razumikhin nghiên cứu tính ổn định của phương trình vi phân hàm có xung

Phương pháp Razumikhin nghiên cứu tính ổn định của phương trình vi phân hàm có xung

LỜI CẢM ƠN Lời Luận văn, tác giả xin gửi lời cảm ơn sâu sắc đến người thầy hướng dẫn khoa học mình: PGS TS Đặng Đình Châu - người đưa đề tài tận tình hướng dẫn suốt trình nghiên cứu Đồng thời tác giả chân thành cảm ơn thầy, khoa Tốn - Cơ - Tin học trường Đại học Khoa học Tự nhiên, Đại học Quốc gia Hà Nội, tạo điều kiện cho tác giả tài liệu thủ tục hành để hoàn thành luận văn Tác giả gửi lời cảm ơn đến bạn bè, đặc biệt bạn nhóm Giải Tích lớp Cao học 2008 - 2010 động viên giúp đỡ tác giả tài liệu tham khảo kỹ thuật biên soạn Latex Do thời gian trình độ cịn hạn chế, chắn luận văn tránh khỏi thiếu sót, tác giả mong nhận góp ý tận tình thầy, bạn bè đồng nghiệp Tác giả xin chân thành cảm ơn! Hà nội, tháng 12 năm 2010 Học viên Ngô Quý Đăng Mục lục LỜI NÓI ĐẦU Bảng ký hiệu Chương Kiến thức chuẩn bị 1.1 Phương pháp hàm Lyapunov cho phương trình sai phân 1.1.1 Hệ phương trình sai phân tuyến tính 1.1.2 Hệ phương trình sai phân tuyến tính khơng công thức biến thiên số Lagrăng 1.1.3 Hệ phương trình sai phân tuyến tính có nhiễu phi tuyến 1.1.4 Khái niệm ổn định hệ phương trình sai phân 10 1.1.5 Phương pháp hàm Lyapunov cho hệ phương trình sai phân 10 1.2 Phương pháp hàm Lyapunov cho phương trình vi phân hàm 13 1.2.1 Khái niệm ổn định nghiệm phương trình vi phân hàm 1.2.2 Một số định lý theo phương pháp hàm Lyapunov 15 16 Chương Phương trình vi phân có xung ứng dụng 23 2.1 Khái niệm hệ phương trình vi phân có xung 23 2.1.1 Định nghĩa ví dụ hệ phương trình vi phân có xung 2.1.2 Sự tồn nghiệm phương trình vi phân có xung 23 26 2.2 Nghiên cứu tính ổn định nghiệm hệ phương trình vi phân thường có xung 29 2.2.1 Các định lý so sánh nghiệm hệ phương trình vi phân thường 2.2.2 Các định lý so sánh nghiệm phương trình vi phân có xung 2.2.3 Các định lý tính ổn định nghiệm phương trình vi phân có xung 29 30 34 2.3 Nghiên cứu tính ổn định phận nghiệm phương trình vi phân có xung 36 2.4 Sử dụng phương pháp Razumikhin nghiên cứu tính ổn định nghiệm phương trình vi phân hàm có xung 37 2.4.1 Tồn nghiệm phương trình vi phân hàm với xung 2.4.2 Các định lý kiểu Razumikhin 38 40 2.5 Áp dụng cho mơ hình quần thể 49 KẾT LUẬN 55 Tài liệu tham khảo 56 LỜI NĨI ĐẦU Phương trình vi phân có xung phát từ ứng dụng: xác định quỹ đạo vệ tinh, điều khiển máy móc, lấy mẫu liệu, quản lý hệ sinh thái, Trong thực tế, trình vật lý khác tạo thay đổi đột ngột trạng thái thời điểm định thời gian khoảng tiến hóa liên tục Thời gian thay đổi thường không đáng kể so với tồn q trình tiến hóa thay đổi đột ngột xấp xỉ tốt tức thời thay đổi trạng thái tức xung Ví dụ: Mơ hình tăng trưởng dân số mơ tả phương trình vi phân có xung Các xung mơ tả số yếu tố bất ngờ nhập cư, di cư, bệnh dịch Trong ứng dụng thông tin liên lạc, phương trình vi phân có xung sử dụng để mơ tả lỗi thời gian gây lỗi truyền tải xung sử dụng để ổn định Phương trình vi phân có xung thường bao gồm ba yếu tố: Hệ phương trình vi phân; hệ phương trình sai phân; tiêu chí để xác định khơng gian pha hệ thiết lập lại Do nghiệm của hệ phương trình vi phân có xung thường liên tục mảnh, nên gây số khó khăn: Ví dụ: x(t) liên tục mảnh, x(t) hàm khơng liên tục khắp nơi theo t Khi tính tồn tại, ổn định bị chặn nghiệm bị thay đổi xung Phương trình vi phân thường có xung xuất không lâu viết vào năm 1960 A.Myshkis V.Mill’man (xem [12]) Kể từ số kết cổ điển phương trình vi phân thường mở rộng cho phương trình vi phân có xung Phương trình vi phân trễ có xung ứng dụng rộng rãi nghiên cứu phương trình vi phân trễ có xung xuất Bài viết chủ đề vào năm 1986 A.Anokhin (xem [4]) Trong năm gần đây, nghiên cứu tính ổn định nghiệm ứng dụng phương trình vi phân có xung phát triển mạnh ứng dụng thực tế chúng Các công cụ nghiên cứu ổn định thường phương pháp hàm Lyapunov, kỹ thuật Razumikhin Ổn định vấn đề quan trọng phương trình vi phân trễ có xung, có ứng dụng nhiều lĩnh vực mạng thần kinh, mô hình tăng trưởng dân số, điều khiển máy móc Bố cục luận vặn gồm: Chương 1: Trình bày kiến thức chuẩn bị về: phương trình sai phân, tính ổn định nghiệm phương trình sai phân (xem [5]), phương trình vi phân hàm, tính ổn định nghiệm phương trình vi phân hàm (xem [7],[9]) Chương 2: Trình bày khái niệm phương trình vi phân có xung, tính tồn tại, nhất, tiêu chuẩn so sánh, mối liên hệ gữa hệ phương trình vi phân có xung phương trình vi phân có xung (xem [6],[10],[11]) Trình bày phương trình vi phân hàm có xung định lý ổn định kiểu Razumikhin số ứng dụng vào giải toán thực tế (xem [13],[14]) Để làm sáng tỏ vấn đề công việc người viết chủ yếu đọc hiểu khái niệm ổn định nghiệm, phương pháp hàm Lyapunov cho phương trình sai phân Tiêu chuẩn so sánh nghiệm cho phương trình vi phân thường Khái niệm tính ổn định nghiệm, phương pháp hàm Lyapunov, định lý dạng Razumikhin cho phương trình vi phân hàm Sau mở rộng khái niệm cho cho phương trình vi phân có xung phương trình vi phân hàm có xung Nghiên cứu vấn đề người viết cố gắng khai thác triệt để, xong thời gian trình độ cịn hạn chế chắn khơng tránh khỏi thiếu sót mong nhận đóng góp thầy, bạn Bảng ký hiệu N N(a) N(a, b) ¯ N R R+ Rn Rn+ lim sup Tập hợp số nguyên không âm Tập hợp số nguyên lớn a (a ∈ N) Tập hợp số nguyên lớn a, nhỏ b(a, b ∈ N) Là ba tập N, N(a), N(a, b) Tập số thực Tập hợp số thực dương Không gian n chiều Khơng gian mã phần tử có n thành phần toạ độ thực dương Giới hạn n→∞ lim inf n→∞ Giới hạn Chương Kiến thức chuẩn bị 1.1 Phương pháp hàm Lyapunov cho phương trình sai phân 1.1.1 Hệ phương trình sai phân tuyến tính Xét hệ phương trình sai phân (xem [5]): u(n + 1) = A(n).u(n), n > n0 , (1.1) u(n) = (u1 (n), u2 (n), , um (n))T ∈ Rm , A(n) = (ai j (n))mm ma trận khơng suy biến Bài tốn Cơ-si: Xét hệ phương trình sai phân: ( u(n + 1) = A(n).u(n), n > n0 , (1.2) u(n0 ) = u0 Bằng phương pháp truy hồi, tốn Cơ-si ln có nghiệm nghiệm xác định: u(n) = A(n − 1)A(n − 2) A(n0 + 1)A(n0 )u0 , n > n0 * Toán tử tiến hoá sinh ma trận không suy biến Định nghĩa 1.1.1 Với s > n0 , ký hiệu: ( A(n − 1)A(n − 2) A(s + 1)A(s), n > s, W (n, s) = I n = s (1.3) Khi đó, họ {W (n, s)}n>s>n0 gọi họ toán tử tiến hố sinh ma trận khơng suy biến A(n) * Ma trận nghiệm chuẩn tắc ( ma trận Cô-si) Định nghĩa 1.1.2 Giả sử {W (n, s)}n>s>n0 họ toán tử tiến hoá sinh ma trận hàm khơng suy biến A(n) Khi W (n, n0 ) gọi ma trận nghiệm chuẩn tắc (hay ma trận Cô-si) hệ (1.2) Nhận xét 1.1.3 Từ định nghĩa ma trận Cô-si họ toán tử tiến hoá ta thấy, với s > n0 W (n, s) = W (n, k).W (k, s), n > k > s Đặc biệt W (n, n0 ) = W (n, k).W (k, n0 ), n > k > n0 , ta có: W (n, k) = W (n, n0 ).W −1 (k, n0 ), n > k > n0 Nhận xét 1.1.4 Khi A(n) = A ma trận hằng, ta có: W (n, n0 ) = An−n0 , ∀n > n0 Nhận xét 1.1.5 Nghiệm u(n) = u(n, n0 , u0 ) tốn Cơ-si (1.2) viết dạng u(n) = W (n, n0 ).u0 với n > n0 , u(n) = W (n, s).u(s) với n > s > n0 1.1.2 Hệ phương trình sai phân tuyến tính khơng công thức biến thiên số Lagrăng Xét hệ phương trình sai phân tuyến tính khơng (xem [5]): ( v(n + 1) = A(n)v(n) + b(n), n > n0 , v(n0 ) = v0 , (1.4) b(n) ∈ Rm Định lý 1.1.6 Nghiệm v(n) = v(n, n0 , v0 ) hệ (1.4) xác định công thức n v(n) = W (n, n0 )v0 + ∑ W (n, k)b(k − 1) (1.5) k=n0 +1 Chứng minh Ta tìm nghiệm v(n) 1.4 dạng v(n) = W (n, n0 ).C(n) cho v(n0 ) = v0 , phương pháp biến thiên số Vì v(n0 ) = W (n0 , n0 )C(n0 ) = C(n0 ) nên C(n0 ) = v0 Từ v(n) = W (n, n0 )C(n), (1.6) suy v(n + 1) = W (n + 1, n0 )C(n + 1) (1.7) Mà v(n + 1) = A(n)v(n) + b(n) = A(n)W (n, n0 )C(n) + b(n), ta có: v(n + 1) = W (n + 1, n0 )C(n) + b(n) (1.8) Kết hợp (1.7) (1.8) ta W (n + 1, n0 )C(n + 1) = W (n + 1, n0 )C(n) + b(n), suy W (n + 1, n0 )∆C(n) = b(n), hay ∆C(n) = W −1 (n + 1, n0 )b(n) Do n−1 ∑ n−1 ∑ W −1 (k + 1, n0 )b(k), ∆C(k) = k=no (1.9) k=no ta n−1 C(n) −C(n0 ) = ∑ W −1 (k + 1, n0 )b(k) (1.10) k=no Thay (1.10) vào (1.6) ta nhận kết (1.5) Hệ 1.1.7 Nếu A(n) = A ma trận n v(n) = An−no vo + ∑ An−k b(k − 1), (1.11) k=no +1 với n > n0 1.1.3 Hệ phương trình sai phân tuyến tính có nhiễu phi tuyến Xét hệ phương trình sai phân tuyến tính có nhiễu phi tuyến: ( z(n + 1) = A(n)z(n) + g(n, z(n)), n > n0 , z(n0 ) = z0 , (1.12) g : N(n0 ) × Rm → Rm Định lý 1.1.8 Nghiệm z(n) = z(n, n0 , z0 ) của(1.12)được cho công thức n z(n) = W (n, n0 )z0 + ∑ W (n, k)g(k − 1, z(k − 1)) n0 +1 Chứng minh Từ công thức (1.5) lấy b(n) = g(n, z(n)), ta có (1.13) (1.13) 1.1.4 Khái niệm ổn định hệ phương trình sai phân Với phương trình vi phân, phương pháp hàm Lyapunov sử dụng từ năm 1892, phương trình sai phân sử dụng gần (xem [5]) Xét hệ phương trình sai phân: ¯ u(k + 1) = f (k, u(k), k ∈ N, (1.14) u f vectơ (1 × n) với thành phần ui fi , i n Giả sử f (k, 0) = với k ∈ N(a) hệ (1.14) có nghiệm tầm thường Định nghĩa 1.1.9 Nghiệm tầm thường (1.14) gọi là: (i) Ổn định, với ε > tồn δ = δ (a, ε) > cho, với nghiệm u(k) = u(k, a, u0 ) (1.14) thỏa mãn ||u0 || < δ , ||u(k, a, u0 )|| < ε, ∀k ∈ N(a) (ii) Ổn định đều, δ (i) không phụ thuộc vào a (iii) Ổn định tiệm cận, ổn định tồn δ = δ (a) > với nghiệm u(k) = u(k, a, u0 ) (1.14), thỏa mãn ||u0 || < δ ||u(k, a, u0 )|| → k → ∞ (iv) Ổn định tiệm cận đều, ổn định tồn δ > không phụ thuộc vào a với nghiệm u(k) = u(k, a, u0 ) (1.14), thỏa mãn ||u0 || < δ , ||u(k, a, u0 )|| → k → ∞ (v) Ổn định tiệm cận mũ, tồn số λ > với ε > 0, tồn δ = δ (ε) cho: với nghiệm u(k) = u(k, a, u0 ) (1.14) thỏa mãn ||u(k1 )|| < δ với k1 ∈ N(a), ||u(k, a, u0 )|| < ε exp(−λ (k − k1 )), với k ∈ N(k1 ) 1.1.5 Phương pháp hàm Lyapunov cho hệ phương trình sai phân Trong phần này, mở rộng phương pháp hàm Lyapunov để nghiên cứu tính ổn định nghiệm hệ phương trình sai phân.(xem [5]) Xét hệ phương trình sai phân (1.14): ¯ u(k + 1) = f (k, u(k), k ∈ N, Giả sử Sρ = {u ∈ Rn : kuk ρ}, u(k) = u(k, a, u0 ) nghiệm (1.14) cho ku(k)k < ρ, ∀k ∈ N(a) Cho Ω tập mở Rn chứa gốc tọa độ Giả sử V(k,u) hàm liên tục vô hướng xác định Ω,V ∈ C[Ω, R] V (k, 0) = Định nghĩa 1.1.10 Hàm φ (r) gọi thuộc vào lớp K, φ ∈ C([0, ρ), R+ ), φ (0) = 0, φ (r) tăng chặt theo r Định nghĩa 1.1.11 Hàm vô hướng V(k, u) xác định N(a) × Sρ gọi xác định dương V (k, 0) = với k ∈ N(a) tồn hàm φ (r) ∈ K cho φ (r) V (k, u), kuk = r, (k, u) ∈ N(a) × Sρ Và xác định âm V (k, u) −φ (r) 10 ... phương trình sai phân, tính ổn định nghiệm phương trình sai phân (xem [5]), phương trình vi phân hàm, tính ổn định nghiệm phương trình vi phân hàm (xem [7],[9]) Chương 2: Trình bày khái niệm phương. .. phương trình vi phân có xung, tính tồn tại, nhất, tiêu chuẩn so sánh, mối liên hệ gữa hệ phương trình vi phân có xung phương trình vi phân có xung (xem [6],[10],[11]) Trình bày phương trình vi phân. .. hệ phương trình vi phân thường 2.2.2 Các định lý so sánh nghiệm phương trình vi phân có xung 2.2.3 Các định lý tính ổn định nghiệm phương trình vi phân có xung 29 30 34 2.3 Nghiên