trình vi phân thường có xung
Để thuận tiện, cho việc trình bày những kết quả cơ bản về tính ổn định của phương trình vi phân có xung, trước hết chúng tôi xin nhắc lại một số kết quả về phương pháp so sánh nghiệm của phương trình vi phân thường (xem [10], [11]).
2.2.1. Các định lý so sánh nghiệm của hệ phương trình vi phânthường thường
Xét phương trình vi phân với điều kiện ban đầu:
(
˙
u(t) =g(t,u(t)),
u(t0) =u0, t0 ≥0, (2.14) trong đóg∈C[R2+,R],g(t,u)là hàm không giảm theo uvới mỗit ∈R+.
Định nghĩa 2.2.1. (xem [11] trang 11.) Giả sửr(t)là nghiệm của (2.14) trên[t0,t0+ a).r(t)được gọi là nghiệm cực đại của (2.14) nếu với mọi nghiệm u(t)của (2.14) tồn tại trên[t0,t0+a),thỏa mãn:
u(t)≤r(t), t ∈[t0,t0+a). (2.15) Gọi là nghiệm cực tiểu của (2.14) nếu bất đẳng thức (2.15) đổi chiều.
Định lý 2.2.2. (xem [11] trang 11.) Giả sửg∈C[R0,R],R0 ={(t,u):t ∈[t0,t0+ a],|u−u0| ≤b}, và|g(t,u)| ≤M trên R0. Khi đó tồn tại nghiệm cực đại, cực tiểu của (2.14) trên [t0,t0+α], α =min{a,2Mb+b}.
Định lý 2.2.3. (xem [10])Vớig∈C[R2+,R]vàr(t)là nghiệm cực đại của (2.14) tồn tại trên [t0,∞). Giả sửm∈C[R+,R+] vàDm(t)≤g(t,m(t)),
t ≥ t0, ở đó D là đạo hàm Dini (xem [11] trang 7). Nếu m(t0)≤ u0 thì m(t)≤ r(t), t ≥t0.
Xét hệ phương trình vi phân với điều kiện ban đầu:
( ˙ x(t) = f(t,x(t)), x(t0) =x0, t0 ≥0, (2.16) trong đó f ∈C[R+×S(ρ),Rn], S(ρ) ={x∈Rn :||x||<ρ}, giả sử nghiệmx(t) = x(t,t0,x0)của (2.16) tồn tại trên khoảng[t0,∞),liên tục, khả vi.
Xét phương trình vi phân với điều kiện ban đầu:
(
˙
u(t) =g(t,u(t)),
trong đóg∈C[R2+,R],giả sử nghiệm cực đại r(t)của hệ (2.17) tồn tại trên[t0,∞).
Định lý 2.2.4. Giả sửV(t,x)∈C[R+×S(ρ),R+],là Lipschitz địa phương theo x, thỏa mãn:
D+V(t,x)≤g(t,V(t,x)),(t,x)∈R+×S(ρ), (2.18)
Nếu x(t) nghiệm của (2.16) tồn tại trên[t0,∞),sao choV(t0,x0)≤u0, thìV(t,x(t))≤ r(t), t ≥t0.
Chứng minh. Đặt m(t) =V(t,x(t)), x(t) là nghiệm của (2.16) trên [t0,∞)sao cho V(t0,x0)≤u0. Khi đóm(t)liên tục, và vớih>0đủ nhỏ ta có:
m(t+h)−m(h) =V(t+h,x(t+h))
−V(t+h,x(t) +h f(t,x(t)))
+V(t+h,x(t) +h f(t,x(t)))−V(t,x(t)) DoV(t,x)là Lipschitz địa phương theoxvà (2.18) ta có:
D+m(t)≤g(t,m(t)),m(t0)≤u0,
theo định lý (2.2.3) ta có:
V(t,x(t))≤r(t),∀t ≥t0.
Vậy ta có điều phải chứng minh.
Hệ quả 2.2.5. Khi g(t,u) =0với (t,u)∈[t0,∞)×R+ thìV(t,x(t)) là hàm không giảm vàV(t,x(t))≤V(t0,x(t0))), t ≥t0