Một số định lí liapunov để nghiên cứu tính ổn định của các hệ vi phân

1 Trờng đại học vinh Khoa toán ========== Tô Thị Vân một số định lý LIAPUNOV để nghiên cứu tính ổn định của các hệ vi phân Khoá luận tốt nghiệp đại học Ngành cử nhân khoa học toán Mở đầu ======= Tính ổn định là một trong những tính chất chủ yếu của lí thuyết định tính. Các hệ động lực mà bắt đầu từ cuối thế kỉ XIX, bằng những công trình xuất sắc của nhà toán học Nga A.M. Lyapunov(14). Mỗi khi phân tích và thiết kế các hệ thông kĩ thuật hoặc các mô hình kinh tế mô tả bằng các hệ phơng trình toán học ngời ta cần nghiên cứu tính ổn định của hệ thống đó. Nói một cách hình tợng, một hệ thống đợc gọi là ổn định tại một trạng thái cân bằng nào đó, nếu các nhiễu bé trong điều kiện ban đầu hoặc trong cấu trúc của hệ thống không làm cho hệ thống đó bị thay đổi quá nhiều so với trạng thái cân bằng đó. Cho đến nay, tính ổn định đã đợc nghiên cứu và phát triển nh một lí thuyết toán học độc lập có rất nhiều ứng dụng hữu hiệu trong kinh tế, khoa học và kĩ thuật. Đặc biệt từ các năm 60 của thế kỷ XX, bằng sự ra đời của lí thuyết điều khiển hệ thống, tính ổn định ngay càng đợc quan tâm nghiên cứu và ứng dụng vào các mô hình điều khiển kĩ thuật. Từ đó xuất hiện bài toán nghiên cứu tính ổn định hoá các hệ điều khiển toán. Khoá luận gồm có 3 chơng: Ch ơng I: Trình bày tính ổn định của các hệ vi phân. Ch ơng II : Trình bày tính ổn định của các hệ sai phân. Ch ơng III : Một số định lý ổn định Liapunov để nghiên cứu tính ổn định của các hệ vi phân. Khoá luận đợc hoàn thành dới sự hớng dẫn của PGS TS Phan Đức Thành. Nhân dịp này tác giả xin bày tỏ lòng cảm ơn sâu sắc tới thầy vì sự nhiệt tình và tận tâm đẫ giành cho tác giả trong suốt quá trình học tập và nghiên cứu. Em cũug xin chân thành cảm ơn các ý kiến đóng góp quý báu và bổ ích của các thầy PGS TS Nguyễn Văn Quảng, PGS TS Trần Xuân Sinh, TS Nguyễn Trung Hoà cùng các thày cô trong tổ xác suất thống kê và toán ứng dụng. Vinh, tháng 5 năm 2007 Ngời thực hiện: Tô Thị Vân 2 Ch ơngI: Tính ổn định của các hệ vi phân Chơng này trình bày một số khái niệm cơ bản và một số tính chất chủ yếu về tính ổn định của các hệ phơng trình vi phân( gọi tắt là các hệ vi phân) bao gồm các nội dung: - Bài toán ổn định Liapunov - Tính ổn định của các hệ tuyến tính - Tính ổn định của các hệ phi tuyến I. Bài toán ổn định Lyapunov Xét một hệ thống mô tả bởi phơng trình vi phân: x = f(t, x) t 0 ( x = dt d ) (1.1). x(t 0 ) = x 0 Trong đó: - x(t) R n Là vectơ trạng thái của hệ - f: R + x R n R n Là hàm vectơ cho trớc - Giả thiết f(t, x) là hàm thoả mãn các điều kiện sao cho nghiệm của bài toán Cauchy hệ (1.1) với điều kiện ban đầu x(t 0 ) = x 0 , t 0 0 luôn có nghiệm . Khi đó dạng tích phân của nghiệm đợc cho bởi công thức: x(t) = t t 0 f(s,x,(s))ds Định nghĩa 1.1: Nghiệm x(t) của hệ (1.1) gọi là ổn định nếu với mọi số > 0, t 0 0 sẽ tồn tại số > 0 ( phụ thuộc vào , t 0 ) sao cho bất kỳ nghiệm y(t), y(t 0 ) = y 0 của hệ thoả mãn: y 0 - x 0 < Thì nghiệm sẽ đúng bất đẳng thức: y(t) - x(t) < t > t 0 3 - Nói cách khác nghiệm x(t) là ổn định khi mọi nghiệm khác của hệ có giá trị ban đầu đủ gần với giá trị ban đầu của x(t) thì vẫn đủ gần nó trong suốtthời gian t t 0 . Định nghĩa 1.2: Nghiệm x(t) của hệ (1.1) gọi là ổn định tiệm cận nếu nó là ổn định và có một số >0) sao cho với: y 0 - x 0 < thì: t lim y (t) - x (t) = 0 *Nghĩa là, nghiệm x(t) là ổn định tiệm cận, nếu nó ổn định và mọi nghiệm y(t) khác có giá trị ban đầu y 0 gần với giá trị ban đầu x 0 sẽ tiến dần tới x(t) khi t tiến tới vô cùng. * Nhận xét rằng; bằng phép biến đổi ( x y) Z (t t 0 ) Hệ phơng trình (1.1) sẽ đa về dạng: Z = F ( ,Z ) (1. 2) * Trong đó: F ( ,Z ) = 0, và khi đó sự ổn định của một nghiệm x(t) nào đó của hệ (1.1) sẽ đợc đa về nghiên cứu tính ổn định của nghiệm 0 của hệ (1.2) Để ngắn gọn, từ nay ta nói hệ hệ (1.2) là ổn định thay vào nói nghiệm 0 của hệ là ổn định. Do đó từ bây giờ ta xét hệ (1.1) với giả thiết có nghiệm 0, tức là: f(t,0) = 0, t R + . * Ta nói: - Hệ (1.1) là ổn định, nếu với bất kì, > 0, t 0 R + sẽ tồn tại số >0 (phụ thuộc vào , t 0 ) sao cho bất kì nghiệm x(t): x(t 0 ) = x 0 thoả mãn x < thì x (t) < , t t 0 - Hệ (1.1) là ổn định tiệm cận nếu: + Hệ là ổn định + Và có một số >0 sao cho nếu x < thì t lim x(t) = 0 4 * Nếu số >0 trong các định nghĩa trên không phụ thuộc vào thời gian ban đầu t 0 thì tính ổn định ( hay ổn định tiệm cận ) đợc gọi là ổn định đều ( hay ổn định tiệm cận đều). Định nghĩa 1.3: Hệ (1.1) là ổn định mũ, nếu tồn tại các số M > 0, >0, sao cho mọi nghiệm của hệ (1.1) với x(t 0 ) = x 0 , thoả mãn: x (t) < M. )( 0 tt e t t 0 Tức là nghiệm 0 của hệ không những ổn định tiệm cận mà mọi nghiệm của nó tiến tới 0 nhanh với tốc độ theo hàm số mũ. Ví dụ 1.1: Xét phơng trình vi phân sau trong R: x = ax, t 0 Nghiệm x(t), với x(t 0 ) = x 0 cho bởi công thức: x(t) = x 0 .e at , t 0. Khi đó: Hệ là ổn định ( tiệm cận, mũ) nếu: a < 0 Nếu a = 0, thì hệ là ổn định Hơn nữa, hệ sẽ là ổn định đều( hoặc ổn định tiệm cận đều ) vì số >0 chọn đợc sẽ không phụ thuộc vào trạng thái ban đầu t 0 . Ví dụ 1.1: Xét phơng trình vi phân: x (t) = a(t)x. Trong đó: + a(t): R + R là hàm liên tục + nghiệm x(t) của hệ điều kiện ban đầu x(t 0 ), cho bởi: 5 t to dta )( X(t) = x 0 .e Do đó kiểm tra đợc rằng: - Hệ là ổn định, nếu t to dta )( à (t 0 ) < + - Là ổn định, nếu số à (t 0 ) là hằng số không phụ thuộc vào t 0 . - Là ổn định tiệm cận, nếu : lim t t to dta )( = - Ii. ổn định các hệ tuyến tính: Xét hệ tuyến tính: x (t) = Ax(t) t 0 (1.4) Trong đó: A là (n x n) - ma trận. Nghiệm của hệ(1.4) xuất phát từ trạng thái ban đầu x(t 0 ) cho bởi: x(t) = x o .e A(t - to) t 0 Định lý dới đây cho một tiêu chuẩn đầu tiên về tính ổn định của hệ (1.4), Thờng gọi là tiêu chuẩn ổn định đại số Liapunov. Định lý 1.2.1 : Hệ (1.4) là ổn định mũ khi và chỉ khi phần thực của tất cả các giá trị riêng của A là âm, tức là: Re < 0, với mọi (A) Ví dụ 1.3 : Xét tính ổn định của hệ: = = 22 11 2xx xx 6 Ta thấy: A = 20 01 Ta có : 20 01 = 0 (1 + )(2 + ) = 0 2 + 3 + 2 = 0 = -1; -2 Giá trị riêng của A là: = -1; -2 Vậy hệ là ổn định tiệm cận. Nh vậy để xét một hệ tuyến tính dừng có ổn định hay không ta chỉ cần tìm nghiệm phơng trình đa thức đặc trng hay giá trị riên của ma trận A của hệ. Đôi khi việc tìm các giá trị riêng của A nếu ma trận A có số chiều lớn là khó (Khi đó đa thức đặc trng cũng có bậc cao) nên việc tìm nghiệm đa thức đặc trng cũng sẽ gặp khó khăn. Dới đây sẽ giới thiệu một phơng pháp khác của Routh- Hurwitz để xác định tính ổn định của hệ trong nhiều trờng hợp thuận tiện hơn. Định lý 1.2.2 : . Giả sử đa thức đặc trng mà phơng trình vi phân (1.1) đã cho là: f(Z) = Z n + a 1 Z n-1 + . + a n 7 . Khi đó nếu định thức tất cả các ma trận con D k , k = 1,2, .,n là dơng thì phần thực của tất cả các nghiệm của f(Z) là âm, tức là hệ đã cho là ổn định tiệm cận, trong đó: det D 1 = a 1 det D 2 = det 2 31 1 a aa det D k = k k k k a aaa aaa aaaa .000 .0 .1 . 3231 2242 12531 k =1,2, ,n và a r = 0, nếu r > n. Ví dụ 1.4: . Xét tính ổn định của phơng trình vi phân: x 4 + 2x 3 + 9x 2 + x + 4 = 0 . Ta có phơng trình đặc trng là: f( ) = 4 + 2 3 + 9 2 + + 4 = 0 . Dễ kiểm tra đợc rằng: det D 1 = 2 > 0 det D 2 = 91 12 = 16 > 0 8 det D 3 = 120 491 012 = 137 > 0 det D 4 = 4000 0120 0491 0012 = 76 > 0 Vậy hệ đã cho là ổn định tiệm cận. . Tính ổn định của hệ tuyến tính dừng (1.4) có quan hệ tơng đơng với sự tồn tại nghiệm của một phơng trình ma trận, thờng gọi là phơng trình Liapunov dạng: AX + XA = -Y (LE) . Trong đó: X,Y là các ma trận (n x n ) chiều và gọi là cặp nghiệm của (LE) . Xét hệ (1.4), từ bây giờ ta nói ma trận A là ổn định nếu phần thực tất cả các giá trị riêng của A là âm.Theo định lý 3.1, điều này tơng đơng hệ (1.4) là hệ ổn định tiệm cận. Định lý 1.2.3 : Ma trận A là ổn định khi và chỉ khi với bất kì ma trận Y đối xứng xác định d- ơng, phơng trình (LE) có nghiệm là ma trận đối xứng, xác định dơng X. Chứng minh: . Giả sử (LE) có nghiệm là ma trận X > 0 với Y > 0. Với x(t) là một nghiệm tuỳ ý của (1.4) với x(t 0 ) = x 0 , t 0 R + . Ta xét hàm số: V(x(t)) = )().( txtXx t t 0 Ta có: dt d V(x(t)) = X,x + Xx,x = (XA + A , X)x,x 9 . . = Yx(t),x(t) .Do đó: V(x(t)) - V(x(t 0 )) = - > t t dssxY 0 )(. . Vì X là xác định dơng nên V(x(t)) 0, với mọi t t 0 và do đó: > t t dssxY 0 )(. < V(x 0 ) = Xx 0 ,x 0 . Mặt khác, vì Y là xác định dơng, nên tồn tại số > 0 sao cho: Yx,x > x 2 x R n x )(s 2 ds 00 , xXx Cho t + ta đợc: 0 )( t xx 2 ds < + (1.6) . Ta sẽ chứng minh rằng Re. < 0, với mọi (A) . Thật vậy : + Giả sử có một 0 (A) mà Re 0 0 + Lấy x 0 R n ứng với giá trị riêng 0 này thì nghiệm của hệ (1.4) sẽ cho bởi x 1 (t) = 0 . 0 xe t và do đó: 0 )( 1 t tx 2 dt = 0 0 0 Re2 t t xe 2 dt = + Vì Re > 0. Vô lý với điều kiện (1.6) + Ngợc lại, giả sử A là ma trận ổn định, tức là Re < 0 với mọi (A) Với bất kì ma trận Y đối xứng xác định dơng, xét phơng trình ma trận sau đây: 10 . II : Trình bày tính ổn định của các hệ sai phân. Ch ơng III : Một số định lý ổn định Liapunov để nghiên cứu tính ổn định của các hệ vi phân. Khoá luận. dung: - Bài toán ổn định Liapunov - Tính ổn định của các hệ tuyến tính - Tính ổn định của các hệ phi tuyến I. Bài toán ổn định Lyapunov Xét một hệ thống mô