Möc löc Mð ¦u 3 1 Sû döng c¡c ph÷ìng ph¡p Lyapunov º nghi¶n cùu t½nh ên ành nghi»m cõa c¡c h» ph÷ìng tr¼nh vi ph¥n. 5 1.1 Kh¡i ni»m v· t½nh ên ành nghi»m cõa c¡c h» ph÷ìng tr¼nh vi ph¥n 6 1.1.1 Sü tçn t¤i duy nh§t nghi»m cõa ph÷ìng tr¼nh vi ph¥n tuy¸n t½nh . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 1.1.2 H» rót gån . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 1.1.3 C¡c kh¡i ni»m v· ên ành . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10 1.2 ành ngh¾a v c¡c t½nh ch§t ch½nh cõa sè mô °c tr÷ng Lyapunov 12 1.3 Sè mô °c tr÷ng cõa h m ma trªn . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17 1.4 Phê Lyapunov v ph²p bi¸n êi Lyapunov èi vîi h» ph÷ìng tr¼nh vi ph¥n tuy¸n t½nh . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 1.4.1 Phê cõa h» tuy¸n t½nh . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 1.4.2 B§t ¯ng thùc Lyapunov . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 1.4.3 Ph²p bi¸n êi Lyapunov . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 1.4.4 Mët sè v½ dö v· ph÷ìng ph¡p sè mô . . . . . . . . . . . . . 24 1.5 Ph÷ìng ph¡p h m Lyapunov trong Rn . . . . . . . . . . . . . . . . 27 1.5.1 C¡c h m x¡c ành d§u . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 1.5.2 ành lþ thù nh§t cõa Lyapunov v· sü ên ành . . . . . . . 28 1.5.3 ành lþ thù hai cõa Lyapunov v· sü ên ành ti»m cªn . . . 30 1.5.4 ành lþ thù ba cõa Lyapunov v· sü khæng ên ành . . . . . 32 1.6 C¡c v½ dö v· ph÷ìng ph¡p h m Lyapunov . . . . . . . . . . . . . . 33 2 Sû döng ph÷ìng ph¡p sè °c tr÷ng Lyapunov Badanov º nghi¶n cùu t½nh ên ành cõa c¡c h» ëng lüc 36 2.1 ành ngh¾a h» ëng lüc tr¶n thang thíi gian ·u v mët v i kh¡i ni»m mð ¦u . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 2.1.1 ành ngh¾a h» ëng lüc tr¶n thang thíi gian ·u . . . . . . 37 2.1.2 ành ngh¾a tªp b§t bi¸n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 2.1.3 Tªp giîi h¤n cõa h» ëng lüc . . . . . . . . . . . . . . . 38 2.1.4 Chuyºn ëng ên ành theo Lagrange . . . . . . . . . . . . . 40 2.1.5 iºm ùng y¶n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 2.2 Kh¡i ni»m sè °c tr÷ng têng qu¡t Lyapunov Badanov. . . . . . 41 2.2.1 Mët sè kh¡i ni»m cì b£n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 2.2.2 T½nh ên ành cõa tªp V cõa h» ëng lüc f(p; t) . . . . . . . 44 2.2.3 C¡c v½ dö minh håa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51
ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN - - - - - - - - - o0o - - - - - - - - - HÀ THỊ LY SỬ DỤNG PHƯƠNG PHÁP LYAPUNOV ĐỂ NGHIÊN CỨU TÍNH CHẤT NGHIỆM CỦA PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN TUYẾN TÍNH BỊ NHIỄU LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC Hà Nội - 2015 ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN - - - - - - - - - o0o - - - - - - - - - HÀ THỊ LY SỬ DỤNG PHƯƠNG PHÁP LYAPUNOV ĐỂ NGHIÊN CỨU TÍNH CHẤT NGHIỆM CỦA PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN TUYẾN TÍNH BỊ NHIỄU Chuyên ngành: TOÁN GIẢI TÍCH Mã số: 60460102 LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC: PGS.TS ĐẶNG ĐÌNH CHÂU Hà Nội - 2015 Mục lục Mở đầu Sử dụng phương pháp Lyapunov để nghiên cứu tính ổn định nghiệm hệ phương trình vi phân 1.1 Khái niệm tính ổn định nghiệm hệ phương trình vi phân 1.1.1 Sự tồn nghiệm phương trình vi phân tuyến tính 1.1.2 Hệ rút gọn 1.1.3 Các khái niệm ổn định 1.2 Định nghĩa tính chất số mũ đặc trưng Lyapunov 1.3 Số mũ đặc trưng hàm ma trận 1.4 Phổ Lyapunov phép biến đổi Lyapunov hệ phương trình vi phân tuyến tính 1.4.1 Phổ hệ tuyến tính 1.4.2 Bất đẳng thức Lyapunov 1.4.3 Phép biến đổi Lyapunov 1.4.4 Một số ví dụ phương pháp số mũ 1.5 Phương pháp hàm Lyapunov Rn 1.5.1 Các hàm xác định dấu 1.5.2 Định lý thứ Lyapunov ổn định 1.5.3 Định lý thứ hai Lyapunov ổn định tiệm cận 1.5.4 Định lý thứ ba Lyapunov không ổn định 1.6 Các ví dụ phương pháp hàm Lyapunov Sử dụng phương pháp số đặc trưng Lyapunov- Badanov để nghiên cứu tính ổn định hệ động lực 2.1 Định nghĩa hệ động lực thang thời gian vài khái niệm mở đầu 2.1.1 Định nghĩa hệ động lực thang thời gian 2.1.2 Định nghĩa tập bất biến 2.1.3 Tập ω− giới hạn hệ động lực 2.1.4 Chuyển động ổn định theo Lagrange 2.1.5 Điểm đứng yên 6 10 12 17 20 20 22 23 24 27 27 28 30 32 33 36 37 37 37 38 40 40 2.2 Khái niệm số đặc trưng tổng quát Lyapunov - Badanov 2.2.1 Một số khái niệm 2.2.2 Tính ổn định tập V hệ động lực f (p, t) 2.2.3 Các ví dụ minh họa 41 41 44 51 Mở đầu Trong mô hình ứng dụng lý thuyết phương trình vi phân, thường gặp toán liên quan đến hệ phương trình vi phân phi tuyến tập nghiệm phương trình vi phân Trong trường hợp sử dụng phương pháp thông thường để nghiên cứu hệ động lực tuyến tính hệ phương trình vi phân tuyến tính gặp nhiều khó khăn, phức tạp Từ lâu, người ta xây dựng nhiều phương pháp khác để vượt qua khó khăn ( xem [4], [8], [1]) Mục đích luận văn trình bày lại số kết liên quan tới việc phát triển cải tiến phương pháp quen thuộc biết lý thuyết định tính phương trình vi phân ( chẳng hạn phương pháp số mũ Lyapunov hay phương pháp tập bất biến hệ động lực ) sử dụng chúng cho việc nghiên cứu tính ổn định chuyển động theo Lyapunov theo Lagrange Nội dung luận văn chia làm hai phần - Phần thứ trình bày lại kết phương pháp số mũ Lyapunov phương pháp hàm Lyapunov - Phần thứ hai luận văn dành cho việc trình bày lý thuyết số mũ đặc trưng tổng quát Lyapunov - Badanov tính ổn định hệ động lực tổng quát không gian mêtric Bố cục luận văn gồm hai chương: Chương 1: Sử dụng phương pháp Lyapunov để nghiên cứu tính ổn định nghiệm hệ phương trình vi phân Chương 2: Sử dụng phương pháp số đặc trưng Lyapunov - Badanov để nghiên cứu tính ổn định hệ động lực Bản luận văn thực hướng dẫn tận tình PGS TS Đặng Đình Châu Nhân dịp xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới Thầy người dành nhiều thời gian công sức để hướng dẫn, kiểm tra, giúp đỡ việc hoàn thành luận văn Tôi xin gửi lời cảm ơn đến thầy cô giáo Khoa Toán - Cơ - Tin học, trường Đại học Khoa học Tự nhiên - ĐHQG Hà Nội kiến thức điều tốt đẹp mang lại cho thời gian học tập trường Tôi xin cảm ơn phòng Sau đại học điều kiện thuận lợi việc hoàn thành thủ tục học tập bảo vệ luận văn Cuối muốn bày tỏ lòng biết ơn gia đình, người thân chỗ dựa vững cho sống học tập Mặc dù có nhiều cố gắng luận văn khó tránh khỏi thiếu sót Tôi mong nhận góp ý quý thầy cô bạn để luận văn hoàn thiện Hà Nội, tháng 10 năm 2015 Hà Thị Ly Chương Sử dụng phương pháp Lyapunov để nghiên cứu tính ổn định nghiệm hệ phương trình vi phân Bài toán nghiên cứu tính ổn định hệ phương trình vi phân toán lý thuyết định tính phương trình vi phân Để xác lập điều kiện đủ cho tính ổn định nghiệm tập nghiệm hệ phương trình vi phân ta sử dụng phương pháp nhà toán học Nga A.M Lyapunov Phương pháp Lyapunov xây dựng từ năm 1918 (xem [2] ) ngày phát triển thành lý thuyết hoàn thiện có khả áp dụng rộng rãi nhiều lĩnh vực khác khoa học tự nhiên Trong chương luận văn này, dành cho việc trình bày lại số kết phương pháp nghiên cứu tính ổn định chuyển động Lyapunov Đó phương pháp số mũ Lyapunov (xem [4] ) hương pháp hàm Lyapunov (xem [4], [8] ) Dựa vào phương pháp người ta mở rộng phát triển thành phương pháp để áp dụng cho số dạng hệ động lực quen thuộc (xem [10] ) Một mở rộng thú vị phương pháp Lyapunov mà đề cập tới luận văn phương pháp số đặc trưng tổng quát Lyapunov- Badanov (xem [6], [11] ) Phương pháp giới thiệu chương Một vấn đề thường thảo luận sâu sắc công trình nghiên cứu gần "bình luận " tính ưu việt hạn chế để lại phương pháp nghiên cứu tính ổn định Trong khuôn khổ luận văn thạc sĩ xin phép trình bày cách chi tiết Chính kết nêu chương chủ yếu điều kiện đủ Chúng dành quan tâm nhiều cho việc xây dựng ví dụ với mục tiêu ứng dụng phương pháp trình bày chương cho toán nhiễu Trước vào phương pháp, đưa số khái niệm tính ổn định nghiệm hệ phương trình vi phân 1.1 Khái niệm tính ổn định nghiệm hệ phương trình vi phân 1.1.1 Sự tồn nghiệm phương trình vi phân tuyến tính Giả sử B không gian Banach Trong không gian B ta xét phương trình vi phân dx(t) = f (t, x(t)), dt (1.1) t ∈ R+ , x(.) ∈ B hàm f : R+ × D → B với D miền đơn liên không gian Banach B Từ sau không nói thêm ta hiểu nghiệm (1.1) nghiệm theo nghĩa cổ điển sau: Định nghĩa 1.1 Hàm x = x(t), (x : I → B; I ⊂ R+ xác định I , khả vi liên tục theo t ∈ I gọi nghiệm (1.1) thay vào (1.1) ta thu đồng thức I Tức dx(t) = f (t, x(t)); ∀t ∈ I dt Bài toán Cauchy: Tìm nghiệm x = x(t) phương trình (1.1) thỏa mãn điều kiện ban đầu x(t0 ) = x0 với (t0 , x0 ) ∈ I × B cho trước Tương ứng với phương trình (1.1) ta thường xét phương trình tích phân sau: t f (τ, x(τ ))dτ x(t) = x0 + (1.2) t0 Nhận xét: Nếu hàm f liên tục theo chuẩn B ta nghiệm (1.2) nghiệm toán Cauchy ngược lại Sau ta ký hiệu S(ε,η) = (t, x) ∈ R+ × B : |t − t0 | ≤ ε, ||x − x0 || ≤ η , với ε > 0, η > lân cận đóng điểm (t0 , x0 ) Khi ta có định lý tồn nghiệm toán Cauchy sau: Định lý 1.1 (Tính nghiệm địa phương) Giả sử tồn lân cận đóng (t0 , x0 ) cho lân cận hàm f (t, x) liên tục theo t, ||f (t, x0 )|| ≤ M0 < +∞ thỏa mãn điều kiện Lipschitz: ||f (t, x2 ) − f (t, x1 )|| ≤ M ||x2 − x1 ||, (1.3) M số hữu hạn Khi tồn lân cận điểm x0 mà lân cận (1.1) có nghiệm x = x(t) thỏa mãn điều kiện ban đầu x(t0 ) = x0 Chứng minh Từ giả thiết ta suy tồn ε > 0, η > cho miền |t − t0 | ≤ ε, ||x − x0 || ≤ η , ta có: ||f (t, x)|| ≤ ||f (t, x0 )|| + ||f (t, x) − f (t, x0 )|| ≤ ||f (t, x0 )|| + M η ≤ M1 < +∞ Lấy δ = ε, Mη1 ký hiệu Cδ (B) không gian Banach hàm liên tục x(t) xác định |t − t0 | ≤ δ với chuẩn |||x||| = sup ||x(t)|| |t−t0 |≤δ Gọi Bη (x0 ) = {x ∈ Cδ (B) : |||x − x0 ||| ≤ η} Xét toán tử: t f (τ, x(τ ))dτ (Sx)(t) = x0 + t0 Ta có: t ||(Sx)(t) − x0 || = || f (τ, x(τ ))dτ || ≤ ||t − t0 || sup ||f (τ, x(τ ))|| τ ∈[t0 ,t] t0 ≤ δM1 ≤ η Suy toán tử S ánh xạ từ Bη vào Bη Hơn nữa, với x1 , x2 ∈ Bη , từ điều kiện Lipschitz ta có đánh giá: t ||(Sx2 )(t) − (Sx1 )(t)|| ≤ ||f (τ, x2 (τ )) − f (τ, x1 (τ ))||dτ t0 t ≤M ||x2 (τ ) − x1 (τ )||dτ ≤ M (t − t0 )|||x2 − x1 ||| t0 Mặt khác ta lại có: t 2 || S x2 (t) − S x1 (t) || ≤ M || (Sx2 ) (τ ) − (Sx1 ) (τ ) ||dτ t0 t ≤ M |||x2 − x1 ||| (τ − t0 ) dτ t0 = [M (t − t0 )] ||x2 − x1 ||| 2! Sử dụng phép đánh giá liên tiếp ta được: [M (t − t0 )]n |||x2 − x1 ||| n! [δM ]n n n ||S x2 − S x1 || ≤ |||x2 − x1 ||| n! || (S n x2 ) (t) − (S n x1 ) (t) || ≤ n ] → n → +∞ nên với n đủ lớn S n toán tử co Bη Do Do [δM n! đó, sử dụng định lý ánh xạ co ( xem ) ta suy phương trình tích phân t f (τ, x(τ ))dτ x(t) = x0 + t0 Nên x(t) = (Sx)t có nghiệm Do tồn nghiệm x(t) ∈ Bη (x0 ) Định lý 1.2 (Sự kéo dài nghiệm toán Cauchy) Giả sử ||x|| < ∞, t ≥ t0 , hàm f (t, x) thỏa mãn điều kiện ||f (t, x(t))|| ≤ L(||x||), r L(r) hàm liên tục có tính chất r0 dr L(r) → ∞ r → ∞ nghiệm phương trình 1.2) kéo dài khoảng thời gian vô hạn t0 ≤ t < ∞ Chứng minh Vì || ||x(t2 )|| − ||x(t1 )|| x(t2 ) − x(t1 ) || ≥ t2 − t1 t2 − t1 ⇒ || Mặt khác ta có d(x) dt dx d||x|| || ≥ dt dt = f (t, x (t)) f (t, x) ≤ L ( x ) ta suy L ( x ) ≥ d x dt Lấy tích phân dọc theo đường cong x = x(t) từ điểm x0 = x (t0 ) đến điểm x theo Chứng minh Giả sử p đứng yên, q quỹ đạo đứng yên, q = p tồn g1 ∈ G để f (q, g1 ) = p Ta chứng minh điều vô lý Thật vậy, f (q, g1 ) = p nên f (q, g1 g1−1 ) = f (p, g1−1 , q = f (p, g −1 ) = p Vậy mâu thuẫn định lý chứng minh Định lý 2.11 Nếu số δ > nhỏ tùy ý, tồn q ∈ S(p, δ) cho f (q, g) ⊆ S(p, δ) p điểm đứng yên Chứng minh Giả sử ngược lại p không đứng yên, tồn g0 ∈ G cho p = f (p, g0 ) Giả sử ρ(p, f (p, g0 )) = α > Khi với δ , điểm p g0 ta tìm số α > δ > cho với q ∈ S(q, δ) δ ρ(f (p, g0 ), f (q, g0 )) < δ δ δ Vậy ρ(p, f (p, g0 )) < ρ(p, f (q, g0 )) + ρ(f (p, g0 ), f (q, g0 )) tức α < + = δ < α 2 Đồng thời f (q, G) ⊆ S(p, δ) nên ρ(p, f (q, g0 )) < Vô lý, giả thiết phản chứng sai Trên vài khái niệm mở đầu cần dùng cho sau số kết ban đầu 2.2 Khái niệm số đặc trưng tổng quát Lyapunov - Badanov Trong công trình nghiên cứu nhà toán học Nga IU.C.Badanov, phương pháp số đặc trưng tổng quát nghiên cứu cách có hệ thống kết nhận áp dụng cho việc nghiên cứu tính ổn định điểm cân phương trình vi phân Trong phần luận văn trình bày lại số kết biết tiếp tục phát triển phương pháp số đăc trưng Lyapunov- Badanov để nghiên cứu tính ổn định tập bất biến hệ động lực tổng quát không gian mêtric 2.2.1 Một số khái niệm Định nghĩa 2.4 Hệ động lực ánh xạ thuộc lớp C Φ : R × V → V, V tập mở M Ta thường ký hiệu Φ (t, x) = Φt x, Φt nhóm biến đổi tham số, tức là: a.Φ|t=0 : V → V ánh xạ đồng b Φt Φs = Φt+s , ∀t, s ∈ R 41 Ví dụ 2.1 Giả sử B không gian Banach, R+ tập số thực dương ánh xạ φ : R+ × B → B xác định φt x = φ(t, x) = T (t)x, ∀x ∈ B, t ∈ R+ (T (t))t≥0 nửa nhóm liên tục mạnh Khi (B, R+ , φ) hệ động lực Thật vậy, ta có φ0 x = φ(0, x) = T (0)x = x, ∀x ∈ B, t ∈ R+ =⇒ φ0 x ánh xạ đồng ∀t, s ∈ R+ , x ∈ B ta có φt φs x = φt (φs x) = φ(T (s)x) = T (t)T (s)x = T (t + s)x = φt+s x Định nghĩa 2.5 Giả sử x0 ∈ V điểm cố định cho trước.Ta xét ánh xạ φ : M → V xác định biểu thức φ (t) = φt x0 , t ∈ M Khi ánh xạ φ gọi chuyển động (của x0 ) Định nghĩa 2.6 Ảnh ánh xạ φ : M → V V gọi đường cong pha Bản thân V gọi không gian pha mở rộng Giả sử M không gian mêtric với khoảng cách ρ, f (p, t) hệ động lực xác định M Giả sử V ⊂ M tập Ta ký hiệu: S (V, ε) = {p ∈ M : ρ (p, V ) < ε} S [V, ε] = {p ∈ M : ρ (p, V ) ≤ ε} S0 [V, ε] = {p ∈ M : ρ (p, V ) = ε} Định nghĩa 2.7 Giả sử V ⊂ M , hàm số v xác định, liên tục lân cận S(V, ε) gọi v -hàm Lyapunov tập V , thỏa mãn điều kiện sau: a.v (p) = ⇔ p ∈ V b.v (p) → +∞ ρ (V, p) → ε c.v (p) > với p ∈ S (V, ε) \V Chúng ta xét hàm d xác định J + × J + nhận tất giá trị thực, tức d : J + × J + → J ( J trục thực ) đồng thời với tất giá trị γ, γ1 , γ2 , γ3 (0 < γ1 < γ2 < γ3 ) γ > 1.d (γ, γ) = 2.0 < d (γ1 , γ2 ) = −d (γ2 , γ1 ) 3.d (γ2 , γ) > d (γ1 , γ) 4.d (γ1 , γ2 ) + d (γ2 , γ3 ) ≥ d (γ1 , γ3 ) 42 Từ 2) 4) ta suy rằng: |d (γ2 , γ) − d (γ1 , γ)| ≤ |d (γ2 , γ1 )| Thật vậy, với γ2 ≤ γ ≤ γ1 , ta có |d (γ2 , γ)| ≤ |d (γ2 , γ1 )| , |d (γ, γ1 )| ≤ |d (γ2 , γ1 )| Do đó, |d (γ2 , γ) − d (γ1 , γ)| = |d (γ2 , γ) + d (γ, γ1 )| ≤ |d (γ2 , γ)| + |d (γ, γ1 )| ≤ |d (γ2 , γ1 )| + |d (γ2 , γ1 )| ≤ |d (γ2 , γ1 )| Đồng thời nhận thấy {γn } dãy số dương thỏa mãn lim d (γn , γ) = −∞ {γn } → lim d (γn , γ) = +∞ {γn } → +∞ n→∞ n→∞ Sau với hàm d có tính chất 1)-4) gọi d-hàm Giả sử V tập bất biến M , v v -hàm của tập V d d - hàm Đối với điểm p ∈ S (V, ε) \V , mà nửa quỹ đạo chuyển động f (p, t) chứa miền giá trị v - hàm, J ⊂ M , xác định số đặc trưng vd sau: lim 1t d [v (f (p, t)) , v(p)] f p, J + ⊂ S (V, ε) f p, J − ⊂ S (V, ε) , t→+∞ lim 1t d [v (f (p, t)) , v(p)] f p, J − ⊂ S (V, ε) f p, J + ⊂ S (V, ε) , vdp = t→+∞ max lim d [v (f (p, t)) , v(p)] , lim 1t d [v (f (p, t)) , v(p)] t→+∞ t t→+∞ f (p, J) ⊂ S (V, ε) đây, S(V, ε) miền xác định hàm v Sử dụng định nghĩa số đặc trưng tổng quát bất đẳng thức (4) phần d - hàm chứng minh rằng: * Nếu f p, J + ⊂ S (V, ε) , f p, J − ⊂ S (V, ε) ∀q ∈ f p, J + ta có vdp = vdq * Nếu f p, J − ⊂ S (V, ε) , f p, J + ⊂ S (V, ε) ∀q ∈ f p, J − ta có vdp = vdq * Nếu f (p, J) ⊂ S (V, ε) ∀q ∈ f (p, J) ta có vdp = vdq Việc chứng minh tính chất tiến hành hoàn toàn tương tự công trình [1] Nhận xét 2.1 Số đặc trưng tổng quát số hữu hạn số −∞ hay +∞ Nhờ số đặc trưng tổng quát chứng minh số dấu hiệu tính ổn định tập V hệ động lực f (p, t) 43 2.2.2 Tính ổn định tập V hệ động lực f (p, t) Định nghĩa 2.8 * Tập V ⊂ M gọi ổn định theo Lyapunov với ε > tìm số δ > cho f S (V, δ) , J + ⊂ S (V, ε) * Tập V ⊂ M gọi miền hút, tồn số δ > cho ρ(f (p, t), V ) dần đến t → +∞ p ∈ S(V, δ) * Tập V ⊂ M gọi có tính hút đều, tồn số δ > cho ρ(f (p, t), G) dần đến t → +∞, tức ∀η > tồn T = T (η) > cho f (S (V, δ)) ⊂ S (V, η) , ∀t > T * Tập V ⊂ M gọi ổn định tiệm cận, ổn định tập hút ( miền hút) * Tập V ⊂ M gọi ổn định tiệm cận ổn định miền hút * Tập V ⊂ M gọi không ổn định tồn số ε0 > cho δ > tìm đươc điểm p ∈ S(V, δ) t > cho f (p, t) ∈ S0 [V, ε0 ] Từ sau giả thiết tập V tập bất biến, đóng tồn p > cho S[V, p] tập compact M Chúng ta thấy số r > luôn tìm M tồn tập mở U chứa V cho [U ] compact Từ tồn lân cận compact tập V ta suy tập V ổn định tiệm cận ổn định tiệm cận Từ sau luôn giả thiết V ổn định tiệm cận V ổn định tiệm cận Chúng ta chứng minh số tính chất bổ trợ sau đây: Bổ đề 2.1 Nếu tập V không ổn định, tồn số ε0 > 0, cho ε ∈ [0, ε0 ] luôn tìm điểm q ∈ S0 [V, ε] mà ta có f (p, J − ) ⊂ S [V, ε0 ] Chứng minh Giả sử V tập không ổn định Chúng ta chọn ε > cho điều kiện sau thực hiện: a Tập S[V, ε0 ] tập compact b Đối với δ > tồn p ∈ S(V, δ) cho f (p, t) ∈ S0 [V, ε0 ] với t ≥ Sự tồn ε0 > suy từ tính chất không ổn định tập V tồn lân cận compact S(V, r) Giả sử {δn } dãy số dương bất kỳ, hội tụ đến ε ∈ (0, ε0 ] 44 Theo điều kiện b) , δn , chọn pn ∈ S(V, δn ) tn ≥ cho f (pn , tn ) ∈ S0 [V, ε] f (pn , t) ∈ S[V, ε] với tất t ∈ [0, tn ] Chúng ta ký hiệu qn = f (pn , tn ) Vì S0 [V, ε] tập compact nên từ dãy {qn } trích dãy hội tụ Để đỡ phức tạp việc ký hiệu, ta giả thiết dãy {qn } hội tụ Và giả sử lim qn = q Rõ ràng theo giả thiết, q ∈ S0 [V, ε] Chúng ta n→∞ f (p, J − ) ⊂ S [V, ε] Trước tiên giả thiết dãy {tn } không giới nội Thật vậy, giả sử dãy {tn } hội tụ q = f (p, t0 ), p = lim pn t0 = lim tn Vì p ∈ V V n→∞ n→∞ tập bất biến nên f (p, t0 ) ∈ V , mặt khác q ∈ S0 [V, ε], ε > Điều mâu thuẫn V = S0 [V, ε] Như vậy, dãy {tn } không giới nội Do ta xem {tn } → +∞ Giả sử t số không dương Ta luôn chọn n cho −t ≤ tn nên ≤ t + tn Do ta chọn tm cho ≤ t + tm ≤ tm với m ≥ n Khi đó, cách chọn số tm , có f (pm , tm + t) ∈ S[V, ε] với tất m ≥ n Nhưng f (pm , tm + t) = f (qm , t) Có nghĩa f q, J − ⊂ S [V, ε] Do đó, f (p, J − ) ⊂ S [V, ε] Bổ đề chứng minh Hệ 2.1 Nếu tập V không ổn định tồn số ε0 > cho số ε ∈ (0, ε0 ] ta tìm điểm q ∈ S0 [V, ε] mà tập Aq = V Aq ⊂ S[V, ε] Chứng minh Thật vậy, f (p, J − ) ⊂ S [V, ε], nên f (q, t) ổn định theo Lagrange theo hướng âm Có nghĩa Aq = V Aq ⊂ S[V, ε] Định lý 2.12 Nếu tập V không ổn định ε > bất kỳ, ta tìm điểm q ∈ S (V, ε) \V , cho vdq ≥ v - hàm xác định tập hợp S(V, ε) d - hàm Chứng minh Giả sử tập V không ổn định ε > số dương Chúng ta chọn < δ < min(ε, ε0 ), ε0 thỏa mãn điều kiện bổ đề Khi ta tìm điểm q ∈ S0 [V, δ] ⊂ S (V, ε) cho điểm q f q, J − ⊂ S [V, δ] ⊂ S (V, ε) Từ ta suy rằng, với v - hàm xác định tập S(V, ε) dãy số không dương {tn } → −∞, dãy v [f (q, tn )] giới nội, tức tồn < λ < +∞ cho v (f (q, tn )) < γ tất số tự nhiên n Bây ta giả sử d− d− hàm Từ tính giới nội dãy {v (f (q, tn ))} tính chất 3) hàm d− ta suy với số tự nhiên n ta có d [v (f (q, tn )) , v (q)] ≤ d [γ, v (q)] = c = const 45 Vì v(q) > 0, nên tn < ta có c d [v (f (q, tn )) , v (q)] ≥ tn tn Do d [v (f (q, tn )) , v (q)] ≥ t→−∞ t lim Theo định nghĩa số đặc trưng tổng quát ta có vdq ≥ Định lý 2.13 Nếu số ε > ta tìm điểm q ∈ S (V, ε) \V cho vdq > v− hàm xác định tập S(V, ε) v− hàm tập V không ổn định Chứng minh Giả sử v− hàm xác định tên tập S(V, ε) với d− hàm Giả sử ε > số dương ta tìm điểm q ∈ S (V, ε) \V cho vdq > Khi có bất đẳng thức sau thỏa mãn: d [v (f (q, t)) , v (q)] > t→+∞ t b lim 1t d [v (f (q, t)) , v (q)] > t→−∞ a lim Nếu a) thỏa mãn tồn dãy {tn } → +∞ cho d [v (f (q, t)) , v (q)] > α = const > tn Với n > N ( N số tự nhiên đủ lớn ), ta có d [v (f (q, tn )) , v (q)] → +∞, n → ∞ Do v(q) > nên tiệm cận hàm d tới +∞ xảy v(f (q, tn )) → +∞ ( n → ∞ ) theo tính chất hàm v ta suy ρ(f (q, tn )), V ) → ε tập V không ổn định Nếu bất đẳng thức b) thỏa mãn d [v (f (q, t)) , v (q)] > a = const > t với t < −τ τ > 0, tức là: d [v (f (q, t)) , v (q)] → −∞, t → −∞ Do tính chất hàm d ta suy điều xảy v(f (q, t)) → t → −∞ Từ ta suy rằng, ρ(f (q, t), V ) → t → −∞ Vì quỹ đạo f (q, J) có điểm α− giới hạn nằm tập V Khi theo kết chứng minh ( xem [11]) tập V không ổn định 46 Từ định lý 2.12 2.13 ta suy với ε > ta tìm điểm q ∈ S (V, ε) \V mà vdq > với v− hàm xác định S(V, ε) d− hàm vdq ≥ v− hàm bất kỳ, xác định S(V, ε) d− hàm Định lý 2.14 Nếu tồn v− hàm, xác định S(V, ε) hàm d− cho vdp < tất điểm p ∈ S (V, η) \V tập hợp V ổn định tiệm cận Chứng minh Tính ổn định tập V trực tiếp suy từ định lý 2.12 Chúng ta chứng minh V miền hút Thật vậy, tập V ổn định nên tồn số dương η với (0 < η < ε) cho f S (V, η) , J + ⊂ S (V, ε) p ∈ S (V, η) \V ta có vdp < (theo giả thiết ) từ ta suy d [v (f (p, t)) , v (p)] < a = const < t→+∞ t lim Do d [v (f (p, t)) , v (p)] → −∞, t → +∞ tất điểm p ∈ S (V, η) \V Vì v(p) > nên tiệm cận d đến −∞ xảy trường hợp v(f (p, t)) → t → +∞ Khi ρ(f (p, t), V ) → t → +∞ tất điểm p ∈ S(V, η) tập V miền hút Định lý 2.15 Nếu tập V ổn định tiệm cận, tồn tai v− hàm xác định tập S(V, ε), tồn hàm d thỏa mãn điều kiện 1), 2), 3), 4) tồn số δ > cho vdp < −1, tất p ∈ W \V , W = f S (V, δ) , J + ⊂ S (V, ε) Chứng minh Giả sử tập V ổn định tiệm cận Khi V miền hút Do chọn ε1 > cho ρ(f (p, t), V ) dần đến t → +∞ tất ρ ∈ S(V, ε1 ) Từ tính ổn định tiệm cận tập V ta suy tồn số ε2 > cho S(V, ε2 )\V không chứa quỹ đạo hệ động lực f (p, t) Chúng ta chọn ε = (ε1 , ε2 , r) (ở r > cho S[V, r] compact M ) Do tính ổn ε định tập V , tồn số δ > 0, cho W = f S (V, δ) , J + ⊂ S V, 2ε Do W tập bất biến dương nên bao đóng W tập bất biến dương, đồng thời W ⊂ S V, 2ε ⊂ S [V, ε] nên ta suy ρ(f (p, t), V ) → t → +∞ p ∈ W Chúng ta xác định tập W hàm liên tục v có tính chất sau: a Tồn hàm liên tục, tăng thực xác định J + , đông thời α(0) = β(0) = cho α (ρ (p, V )) ≤ v (p) ≤ β (ρ (p, V )) , 47 p ∈ W b Với tất p ∈ W t ≥ thực bất đẳng thức v (f (p, t)) ≤ v (p) exp(−t) Sự tồn hàm v có tính chất suy từ ổn định tiệm cận tập V ( ) Giả sử F thác triển hàm v toàn không gian M , đồng thời F (p) > với tất p ∈ M \V Sự tồn hàm F suy từ định lý 4, 5, Chúng ta đặt v (p) = F (p) , p ∈ S V, 2ε , ε F (p) ε−ρ(p,V ) , p ∈ S (V, ε) \S V, 2ε (2.1) Như hàm v vừa xác định v− hàm Thật vậy, hàm v liên tục S(V, ε), v(p) = v(p) với p ∈ W nên v(p) = p ∈ V Từ (2.1) ta suy v(p) ∈ ∞ ρ(p, V ) → ε Đồng thời từ công thức (2.1) tính chất b) hàm v ta suy v(f (p, t)) hàm giảm thực với t ≥ p ∈ W \V Bây xây dựng hàm d Giả sử ν ≥ Ảnh ngược v − 1(γ) số ν ánh xạ v gọi tập mức hàm v , tức v −1 (γ) = {p ∈ S (V, ε) : v (p) = ν} Đối với ν ≥ tập v − 1(ν) = Λ p ∈ S(V, ε)\V f p, J − ⊂ S (V, ε), tức tìm thời điểm to < cho ρ (f (p, t0 ) , V ) = ε ρ (f (p, t) , V ) < ε, t > t0 Đồng thời, ρ(f (p, t), V ) → t → +∞ , với quỹ đạo f (p, J) chứa toàn S(V, ε)\V dọc theo hàm v nhận tất giá trị dương Dễ dàng suy tập v − 1(γ) tập đóng, compact Giả sử < γ1 < ν2 Chúng ta ký hiệu v −1 [γ1 , γ2 ] = ∪ γ1 ≤ν≤ν2 v −1 (γ) Dễ dàng có thấy tập v −1 [γ1 , γ2 ] khác rỗng, đóng compact Bây điểm p ∈ D = S (V, ε) \V ta xác định tập T (p, γ2 , ν1 ) theo quy tắc T (p, γ2 , ν1 ) = t ≥ : f (p, t) ∈ v −1 [γ1 , ν2 ] Rõ ràng thấy ∪ T (p, γ2 , ν1 ) = Λ Chúng ta xét sup ∪ T (p, γ2 , ν1 ) Chúng p∈D p∈D ta với giá trị ν1 ν2 cố định tồn < τ < +∞ cho sup ∪ T (p, γ2 , ν1 ) ≤ τ Thật vậy, v xác định liên tục tập compact p∈D 48 S(V, ε) v(p) = với p ∈ V , nên luôn tìm η > cho v(p) < ν1 tất p ∈ S(V, η).Do ∪ T (p, γ2 , ν1 ) ≤ τ < +∞ p∈D Ngoài dễ dàng suy ∪ T (p, γ2 , ν1 ) > Thật vậy, hàm v nhận p∈D tất giá trị dương nên tìm điểm p ∈ D cho v(p) = ν2 Vì ρ(f (p, t), V ) → t → +∞ tất p ∈ D tìm thời điểm t1 > cho v(f (p, t1 ) = ν1 ∪ T (p, γ2 , ν1 ) ≥ t1 > p∈D Giả sử < ν1 ≤ ν2 Chúng ta đặt sup ∪ T (p, ν2 , ν1 ) , ν2 = ν1 , p∈D d (ν2 , ν1 ) = (2.2) d (γ1 , ν2 ) = −d (ν2 , ν1 ) (2.3) Chúng ta d d− hàm ( thỏa mãn tính chất 1),2),3),4) ) Thật vậy, điều kiện 1) 2) định nghĩa d− hàm suy từ (2.2) (2.3) Điều kiện 3) suy từ tính chất sau đây, với ν2 > ν1 > ν ∪ T (p, ν2 , ν) ⊃ ∪ T (p, ν1 , ν) , p∈D p∈D d(ν2 , ν) ≥ d(ν1 , ν) Trong trường hợp lại hoàn toàn tương tự Giả sử < ν1 < ν2 < γ3 Bây ta chứng minh ∪ T (p, γ3 , γ1 ) = p∈D ∪ T (p, γ3 , γ2 ) p∈D ∪ ∪ T (p, γ2 , γ1 ) p∈D Giả sử t0 ∈ ∪ T (p, γ3 , γ1 ) tìm điểm p0 cho t0 ∈ p∈D T (p0 , γ3 , γ1 ) tức γ1 ≤ v(f (p0 , t0 )) ≤ γ3 Ta ký hiệu v(f (p0 , t0 )) = γ0 Rõ ràng γ2 ≤ γ0 ≤ γ3 γ1 ≤ γ0 ≤ γ2 Trong trường hợp thứ t0 ∈ ∪ T (p, γ3 , γ2 ), trường hợp thứ hai −t0 ∈ ∪ T (p, γ2 , γ1 ) Điều ngược lại p∈D p∈D hiển nhiên Từ (6) ta suy sup ∪ T (p, γ3 , γ1 ) ≤ sup ∪ T (p, γ3 , γ2 ) + sup ∪ T (p, γ2 , γ1 ) , p∈D p∈D p∈D tức d(γ3 , γ1 ) ≤ d(γ3 , γ2 ) + d(γ2 , γ1 ) tính chất 4) định nghĩa d− hàm thực Giả sử p ∈ W \V Chúng ta xét T [p, v(p), v(f (p, t))], t > Vì tập W \V hàm v(p) giảm thực dọc theo nửa quỹ đạo , v(f (p, t)) < v(p) Chúng ta ký hiệu v(p) = γ2 v(f (p, t)) = γ1 Giả sử γ1 < γ < γ2 Do tính chất giảm thực v dọc theo nửa quỹ đạo f (p, J + ) nên ta tìm < t < t mà v(f (p, t)) = γ Do T (p, v(p), v(f (p, t))) = [0, t] 49 Khi sup ∪ T (p, v (p) , v (f (p, t))) ≥ t, p∈D d (v (p) , v (f (p, t))) ≥ t Do (2.3) d (v (f (p, t)) , v (p)) ≤ −t, lim d (v (f t→∞ t (p, t)) , v (p)) ≤ −1 Vì f p, J − ⊂ S (V, ε) \V với p ∈ W \V nên vdp = lim d (v (f (p, t)) , v (p)) , t→∞ t với tất p ∈ W \V sup vdp ≤ −1 p∈W \V Định lý 2.16 Nếu tập V ổn định tiệm cận tồn ε > cho vdp ≤ p ∈ W \V , W = f S (V, δ) , J + ⊂ S (V, ε) δ số dương đó, v v− hàm xác định tập S(V, ε) d d− hàm Chứng minh Giả sử tập V ổn định tiệm cận Chúng ta chon ε > giống định lý Do tính ổn định tập V ε chọn tồn δ > cho W = f S (V, δ) , J + ⊂ S (V, ε) Giả sử p ∈ W \V , v v− hàm tập V d d− hàm Khi f p, J − ⊂ S (V, ε) nên vdp = lim d (v (f (p, t)) , v (p)) t→∞ t Do ρ(f (p, t), V ) → t → ∞ nên v(f (p, t)) → t → +∞ theo tính chất hàm v , d (v (p) , v (f (p, t))) < 0, t > T Khi lim d (v (f (p, t)) , v (p)) ≤ 0, t→∞ t p ∈ W \V Chúng ta nhận thấy hai định lý cuối, tập V ổn định tiệm cận ta khẳng định vdp ≤ tập W \V , W = S(V, ε) S(V, ε) miền xác định hàm v Một vấn đề đặt cách tự nhiên trường hợp khẳng định vdp ≤ toàn W \V ? Giả sử tập V miền hút tồn ε > cho f (p, J + ) ⊂ S (V, ε) p ∈ S(V, ε) 50 < ε < ε0 Khi tập V ổn định tiệm cận tồn < η ≤ ε0 cho vdp ≤ p ∈ S(V, η)\V v hàm xác định S(V, η) d− hàm Thật vậy, từ tính ổn định tập V với ε1 > lân cận S(V, ε1 )\V không chứa quỹ đạo hệ động lực f (p, t) Giả sử η = min(ε1 , ε0 ) Khi f (p, J + ) ⊂ S (V, ε) p ∈ S(V, η) bất kỳ, f p, J − ⊂ S (V, ε) Do vdp = lim d (v (f (p, t)) , v (p)) ≤ t→∞ t 2.2.3 Các ví dụ minh họa Ví dụ 2.2 Xét phương trình tích phân t x(τ )(1 − x(τ ))dτ (*) , x ∈ R, t ∈ (0, +∞) x(t) = x + Thử lại cách trực tiếp ta thấy phương trình (*) có nghiệm x(t) = et x , t ∈ R+ , x ∈ R (et − 1)x + Xét ánh xạ φ : R+ × R → R xác định (t, x) → φt x = x(t) = et x (et − 1)x + Khi (R, R+ , φ) hệ động lực Thật vậy: e0 x = x nên φ0 x ánh xạ đồng (e0 − 1)x + Ta cần chứng minh φt φs x = φt+s x, ∀t, s ∈ R+ , x ∈ R es x Vì φs x = s nên (e − 1)x + Ta có, φ0 x = φt φs x = φt (φs x) = et φs x et+s x = = φt+s x (et − 1)φs x + (et+s − 1)x + Ta nhận thấy hệ (*) có hai điểm cân x(t) ≡ x(t) ≡ Xét tập A = {(p, t)|φ(p, t) ≡ 1, ∀p ∈ B, t ∈ R+ }, dễ dàng thấy A tập bất biến, φt p = 1, ∀p ∈ A Hơn et x = t→∞ (et − 1)x + lim φt (x) = lim t→∞ Nên hệ (*) ổn định theo định lý 2.11 Ví dụ 2.3 Giả sử (T (t))t≥0 nửa nhóm liên tục mạnh không gian Banach B Xét f : R+ × B → B ánh xạ liên tục mạnh thỏa mãn điều kiện f (t, x) − f (t, y) ≤ α(t) x − y , 51 với t ∈ R+ , x, y ∈ B Ở α : R+ → R liên tục, bị chặn thỏa mãn điều kiện +∞ α(t)dt < +∞ Xét phương trình tiến hóa t T (t − τ )f (τ, u(τ ))dτ, u(t) = T (t)x + (2.4) với x ∈ B, t ≥ Bằng phương pháp ánh xạ co ta phương trình (2.4) có nghiệm u = u(t) Khi ta có hệ động lực (M, G, φ) với M = B, G = R+ φ : R+ × B → B xác định φt : x → u(t) a Chứng minh φ = φt x thỏa mãn điều kiện hệ động lực φ0 x = x, φt+s x = φt φs x, ∀x ∈ B, t, s ∈ R+ b Sử dụng phương pháp số mũ nghiên cứu tính ổn định điểm cân x = 0, ta giả thiết T (t) ≤ M0 e−λt , λ > Chứng minh a Chứng minh φ = φt x thỏa mãn điều kiện hệ động lực Ta có φ0 x = u(0) = T (0)x = x nên φ = φ0 x ánh xạ đồng nhất, với x ∈ B, với t, s ∈ R + +, x ∈ B ta có: t+s T (t + s − τ )f (τ, u(τ ))dτ [φt+s ] x = T (t + s)x + t+s s s t+s s T (s − τ )f (τ, u(τ ))dτ + = T (t) T (s)x + T (s − τ )f (τ, u(τ ))dτ T (s − τ )f (τ, u(τ ))dτ + = T (t) T (s)x + T (t + s − τ )f (τ, u(τ ))dτ s t+s T (t + s − τ )f (τ, u(τ ))dτ = φt (φs x) = [φt φs ] x = T (t)φs x + s b Nghiên cứu tính ổn định điểm cân x = Ta xét tập bất biến V = {0} không gian Banach B, chọn hàm v(p) = p Khi v(p) v− hàm Lyapunov 52 i v(p) = ⇐⇒ p = ∈ V ii Do ρ(V, p) → ∞ nên v(p) → +∞ iii v(p) = p nên hiển nhiên có v(p) > Chọn hàm d = lnλ1 − lnλ2 với λ1 > λ2 > Khi d d− hàm Thật i d(λ, λ) = lnλ − lnλ = ii d(λ1 , λ2 ) = lnλ1 − lnλ2 = −(lnλ2 − lnλ1 ) = −d(λ2 , λ1 ) iii ∀λ1 > λ2 ⇒ lnλ> lnλ2 hay d(λ1 , λ) > d(λ2 , λ) iv d(λ1 , λ2 ) + d(λ2 , λ3 ) = lnλ1 − lnλ2 + lnλ2 − lnλ3 ≥ lnλ1 − lnλ3 = d(λ1 , λ3 ) Ta có t T (t − τ )f (τ, u(τ )) e−λ(t−τ ) α(τ ) u(τ ) dτ u(t) ≤ T (t) x + ≤ M0 e−λt x + u(t) eλt t M0 ≤ M0 x + t M0 eλτ ) α(τ ) dτ Nên u(τ ) dτ Theo bổ đề Gronwall-Bellman (xem [4], [8] ), ta có |u(t) ≤ M0 x eM0 t α(τ )d(τ ) ≤ M2 Do đó, u(t) ≤ M2 e−λt Hay ln|u(t) ≤ ln(M2 e−λt ) = −λt, −λt ln|u(t) ≤ lim = −λ < 0, ∀λ > t→∞ t t→∞ t nên lim Vậy hệ cho ổn định tiệm cận Nhận xét 2.2 Trong trường hợp tổng quát nghiên cứu hệ động lực φt : S[V, ε] → B xác định sau φt : x → u(t), với t ∈ R+ x ∈ S[V, ε] = {x| x ≤ ε} Khi ta xác định hàm v( x ) = x ε− x 53 Tài liệu tham khảo [1] Nguyễn Thế Hoàn - Phạm Phu, Cơ sở phương trình vi phân lý thuyết ổn định, NXB Đại học Quốc gia Hà nội (2000) [2] A.M Lyapunov, Bài toán tổng quát ổn định chuyển động Tuyển tập công trình V.6.T.2, (1956) ( Bằng tiếng Nga) [3] A Pazy, Semigroups of Linear Operators and Applications to Partial Diffirential Equations,Springer-Verlag, Beclin-NewYork (1983) [4] B.P.Demidovic, Lectures on the mathematical theory of stability, "Nauka" Moscow (Russian ) (1967) [5] C.Chicone - Y.Latushkin, Evolution Semigroup in dynamical systems differential equations, Amer Math.Soc (1999) [6] L.A Chelusheva, Về lý thuyết số đặc trưng tổng quát phương trình vi phân T.4 No9 trang 1610- 1627 ( Bằng tiếng Nga ) [7] J.D.Murray, Mathematical Biology Spatial Modeds and Biomedical Applications, Third Edition, Springer (2001) [8] Ju L.Daleckii and M.G.Krein, Stability of Solutions of Differential Equations in Banach Space, American Mathematical Society Providence, Rhode Island, (1974) [9] Klaus-Jochen Engel Rainer Nagel, One-Parameter Semigroups for linear evolution Equations, Springer Verlog NewYork(2000) Tài liệu tham khảo 55 [10] N.Rush.P.Abets - M.Lalya, Phương pháp trực tiếp Lyapunov lý thuyết ổn định, Mosscow (1988) ( Bằng tiếng Nga ) [11] U.X Baydanov, Phương pháp định tính lý thuyết dao động Tuyển tập công trình Kiev , (1970) ( Bằng tiếng Nga ) ... pháp hàm Lyapunov thường sử dụng lý thuyết ổn định 1.5.1 Các hàm xác định dấu Ta xét hàm số: V = V (t, x) ∈ Ctx (Z0 ), đó, Z0 = {a < t < ∞, x < h} Ta đưa số định nghĩa hàm không đổi dấu hàm có... x)] Hàm ∂V V˙ (t, x) = + ∂t n j=1 ∂V Xj (t, x), ∂xj gọi đạo hàm ( toàn phần) theo t hàm V (t, x) theo hệ (1.33) Nếu x = x(t) nghiện hệ (1.33) V˙ (t, x) đạo hàm toàn phần theo thời gian hàm hợp... chậm hàm mũ y2 = e(α+ε)t với ε > theo dãy tk → ∞ |f (t)| tăng nhanh hàm mũ y2 = e(α−ε)t Định lý 1.3 Số mũ đặc trưng tổng hữu hạn hàm fk (t), k = 1, 2, , n không vượt số lớn số số mũ đặc trưng hàm