Trước hết ta cho một định nghĩa về đa tạp bất biến không ổn định trên
R cho nghiệm của phương trình (1.27).
Định nghĩa 1.5.5. Một tập U ⊂ R×X được gọi là đa tạp bất biến không
ổn định cho nghiệm của phương trình (1.27) nếu với mọi t∈ R không gian
pha X được biểu diễn thành tổng trực tiếp X = X0(t)⊕X1(t) sao cho:
inf
t∈RSn(X0(t), X1(t)) := inf
t∈Rinf{kx0+x1k : xi ∈ Xi(t),kxik = 1, i= 0,1} > 0
và tồn tại một họ các ánh xạ Lipschitz liên tục:
ht : X1(t) →X0(t), t ∈ R,
với các hằng số Lipschitz không phụ thuộc vào t thỏa mãn:
(i) U = {(t, x+ ht(x)) ∈ R×(X1(t) ⊕ X0(t))|t ∈ R, x ∈ X1(t)} và ta kí hiệu Ut := {x+ht(x) : (t, x+ht(x)) ∈ U},
(ii) Ut đồng phôi với X1(t) với mọi t∈ R,
(iii) với mỗi x0 ∈ Ut0 tương ứng với một và chỉ một nghiệm x(t) của phương trình (1.27) thỏa mãn điều kiện x(t0) =x0 và
esssupt≤t0kx(t)k < +∞,
(iv) U bất biến đối với phương trình (1.27) theo nghĩa, nếu x(.) là một
nghiệm của phương trình (1.27) thỏa mãn x(t0) ∈ Ut0 và
esssupt≤t0kx(t)k < +∞
Tương tự như trong những phần trước đầu tiên chúng ta sẽ xây dựng dạng nghiệm bị chặn trên (−∞, t0] của phương trình (1.27) thông qua bổ đề sau, cách chứng minh hoàn toàn tương tự như trong Bổ đề 1.5.2.
Bổ đề 1.5.6. Cho họ tiến hóa (U(t, s))t≥s có nhị phân mũ với họ phép chiếu tương ứng (P(t))t∈R và các hằng số nhị phân N, β > 0. Giả sử ϕ là một hàm dương thuộc ER. Cho f : R×Bρ → X là ϕ-Lipschitz. Gọi x(t) là nghiệm của phương trình (1.27) sao cho esssupt≥t0ku(t)k< +∞ với mỗi t0
cố định. Khi đó với t≤ t0 x(t) có thể được viết dưới dạng
x(t) = U(t, t0)|v1 +
Z t0
−∞
G(t, τ)f(τ, x(τ))dτ, ∀t ≤ t0 (1.36)
với mỗi v1 ∈ X1(t0) = (I −P(t0))X, trong đó G(t, τ) là hàm Green được xác định như trong (1.32).
Chú ý: Bằng cách tính toán trực tiếp ta thấy điều ngược lại của bổ đề trên cũng đúng.
Tương tự như trong Bổ đề 1.5.3, bổ đề sau chỉ ra sự tồn tại và duy nhất của các nghiệm bị chặn của phương trình (1.27).
Bổ đề 1.5.7. Cho họ tiến hóa (U(t, s))t≥s có nhị phân mũ với họ phép chiếu tương ứng (P(t))t∈R và các hằng số nhị phân N, β > 0. Giả sử rằng ϕ
là một hàm dương thuộc ER, f : R×X → X là ϕ-Lipschitz thỏa mãn k < 1,
k được xác định như trong công thức (1.34). Khi đó có tương ứng mỗi phần (adsbygoogle = window.adsbygoogle || []).push({});
tử v1 ∈ X1(t0) với một và chỉ một nghiệm x(t) của phương trình (1.27) trên
(−∞, t0) thỏa mãn điều kiện (I − P(t0))x(t0) = v1 và esssupt≤t0ku(t)k < +∞.
Chứng minh. Với mỗi t0 ∈ R, v1 ∈ X1(t0), ta xét toán tử T :L∞((−∞, t0], X] →L∞((−∞, t0], X]
x 7→ (T x)(t) =U(t, t0)|v1 +
Z t0
−∞
G(t, τ)f(τ, x(τ))dτ, ∀t≤ t0 Từ ước lượng của G và U(t, s) ta có
kT(x)−T(y)k∞ ≤ (1 +H)Nkx(.)−y(.)k∞
1−e−β (N1kΛ1ϕk∞+N2kΛ1T1+ϕk∞) = kkx(.)−y(.)k∞.
Kết hợp với giả thiết k < 1 suy ra T là ánh xạ co. Từ định lí ánh xạ co Banach, ta có điều phải chứng minh!
Kết hợp Bổ đề 1.5.6, 1.5.7 và sử dụng lập luận giống như Định lí 4.7 trong [6] ta thu được sự tồn tại đa tạp bất biến không ổn định chính là nội dung của định lí sau:
Định lí 1.5.8. Cho họ tiến hóa (U(t, s))t≥s có nhị phân mũ với họ phép chiếu tương ứng (P(t))t∈R và các hằng số nhị phân N, β > 0. Giả sử f là hàm ϕ-Lipschitz, trong đó ϕ là hàm dương thuộc ER thỏa mãn k < N1+1, (k
được xác định như trong (1.34)). Khi đó tồn tại đa tạp bất biến không ổn
định cho nghiệm của phương trình (1.27). Hơn nữa, với hai nghiệm x1(.)
và x2(.) bất kì thuộc đa tạp ta có
kx1(t)−x2(t)k ≤ Ceµ(t−t0)k(I −P(t0))x1(t0)−(I −P(t0))x2(t0)k,∀t ≤t0 (1.37)
trong đó C, µ là những hằng số dương không phụ thuộc vào t0, x1(.), x2(.).
Chứng minh. Chứng minh của định lí này tương tự như trong Định lí 4.7
trong [6] bằng cách thay thế R+ bằng R và sử dụng cấu trúc nghiệm bị chặn của phương trình (1.27) được nêu trong Bổ đề 1.5.6 và 1.5.7. Ta chỉ
chú ý rằng họ ánh xạ Lipschitz (ht)t∈R xác định đa tạp không ổn định là ht :X1(t) →X0(t) ht(y) = Z t −∞ G(t, τ)f(τ, x(τ))dτ
thỏa mãn với y ∈ X1(t) và x(.) là nghiệm duy nhất trong L∞((−∞, t], X] của phương trình (1.27) trên (−∞, t] thỏa mãn (I −P(t))x(t) = y (chú ý rằng sự tồn tại và duy nhất của x(.) thu được từ Bổ đề 1.5.7). Hơn nữa, ht có hằng số Lipschitz 1−N kk không phụ thuộc vào t.
Ví dụ 1.5.9. Xét hệ phương trình sau ∂ ∂tu(t, x) = Pn
k,l=1Dkakl(t, x)Dlu(t, x) +δu(t, x) +ϕ(t) sin(u(t, x)), t ≥s ≥ 0, x ∈ Ω Pn k,l=1nk(x)akl(t, x)Dlu(t, x) = 0, t ≥ s≥ 0, x ∈ ∂Ω u(s, x) = f(x), x ∈ Ω. (1.38) trong đó Dk := ∂x∂
k và Ω là một miền bị chặn trong RN với biên ∂Ω
trơn, định hướng bởi các vec tơ pháp tuyến đơn vị ngoài n(x). Các hệ số
akl(t, x) ∈ Cbµ(R+, L∞(Ω)), µ > 12, được giả thiết là thực, đối xứng và elliptic đều theo nghĩa
n X
k,l=1
akl(t, x)vkvl ≥ η|v|2 với x ∈ Ω h.k.n và hằng số η >0.
Hằng số δ := −12ηλ, λ < 0 là giá trị riêng lớn nhất của toán tử Neumann Laplacian 4N trên Ω. Với hằng số c > 1 hàm bậc thang ϕ(t) được xác định như sau ϕ(t) = n nếu t ∈ [2n2+1 − 2n1+c,2n2+1 + 2n1+c] với n = 0,±1,±2, ... 0 trong trường hợp còn lại. (adsbygoogle = window.adsbygoogle || []).push({});
Ta thấy hàm ϕ có thể có giá trị lớn tùy ý. Tuy nhiên, ta có sup t≥t0 Z t+1 t |ϕ(τ)|dτ ≤ 2 sup n∈N Z 2n2+1+2n1+c 2n+1 2 − 1 2n+c ndt = sup n∈N n 2n+c−2 ≤ 1 2c−1.
Do đó, ϕ ∈ M(R+) là một không gian hàm chấp nhận được.
Bây giờ chúng ta chọn X = L2(Ω) và xác định toán tử C(t) thông qua
tích vô hướng chuẩn trong X như sau
(C(t)f, g) = − n X k,l=1 Z Ω aklDkf(x)(t, x)Dlg(t, x)dx với D(C(t)) ={f ∈ W2,2(Ω) : n X k,l=1 nk(x)akl(t, x)Dlf(x) = 0, x ∈ ∂Ω}.
Ta viết lại bài toán (1.38) thành bài toán Cauchy
ϕ(t) =
d
dtu(t, .) =A(t)u(t, .) +F(t, u(t, .)), t≥ s ≥ 0 u(s, .) = f(.) ∈ X
trong đó A(t) := C(t) +δ và F : R+×X → X xác định bởi F(t, f)(x) := ϕ(t) sin(f(x)) với (t, f) ∈ R+ ×X.
Từ đó ta có: A(t) sinh ra một họ tiến hóa có nhị phân mũ (xem trong
[12], Chương 2, Định lí 2.8, Ví dụ 2.3) với các hằng số nhị phân N và ν
sao cho hằng số Ho¨lder của akl là đủ nhỏ. Cũng như vậy, họ các phép chiếu nhị phân P(t), t ≥0 thỏa mãn supt≥0kP(t)k ≤ N.
Dễ thấy F là ϕ-Lipschitz, trong trường hợp này các hằng số N1, N2 trong Định nghĩa 1.2.2 là N1 = N2 = 1. Và ta có Λ1ϕ(t) = Z t+1 t ϕ(τ)dτ, Λ1T1+ϕ(t) = Z t t−1 ϕ(τ)dτ.
Do đó,
kΛ1T1+ϕ(t)k∞ = kΛ1ϕ(t)k∞ ≤ 1
2c−1.
Như vậy, theo Định lí 1.5.8 ta thu được, nếu
1 2c−1 < min{ 1−e −ν 2N(N + 1), 1−e−ν 2N(N + 1)2}
thì tồn tại đa tạp bất biến không ổn định U của phương trình (1.38).