Tính ổn định nghiệm của phương trình vi phân ngẫu nhiên

ĐẠI HỌC HUẾ TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM ∗∗∗∗∗∗ ∗∗∗∗∗∗ VÕ QUANG ANH TÍNH ỔN ĐỊNH NGHIỆM CỦA PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN NGẪU NHIÊN Chun ngành: Tốn giải tích Mã số: 60 46 01 02 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC THEO ĐỊNH HƯỚNG NGHIÊN CỨU Thừa Thiên Huế, năm 2017 ĐẠI HỌC HUẾ TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM ∗∗∗∗∗∗ ∗∗∗∗∗∗ VÕ QUANG ANH TÍNH ỔN ĐỊNH NGHIỆM CỦA PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN NGẪU NHIÊN Chun ngành: Tốn giải tích Mã số: 60 46 01 02 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC THEO ĐỊNH HƯỚNG NGHIÊN CỨU Cán hướng dẫn khoa học: PGS TS LÊ VIẾT NGƯ Thừa Thiên Huế, năm 2017 i LỜI CAM ĐOAN Tôi xin cam đoan cơng trình nghiên cứu khoa học riêng tôi, số liệu kết nghiên cứu ghi luận văn trung thực, đồng tác giả cho phép sử dụng chưa công bố cơng trình khác Võ Quang Anh ii LỜI CẢM ƠN Tôi xin chân thành cảm ơn hướng dẫn tận tình, hết lịng Thầy PGS.TS Lê Viết Ngư Trong trình nghiên cứu thực đề tài, gặp nhiều khó khăn, nhờ động viên, giúp đỡ, bảo thầy mà tơi hồn thành luận văn Xin gửi đến Thầy trân trọng lòng biết ơn sâu sắc Tôi xin chân thành cảm ơn q Thầy Cơ khoa Tốn Trường Đại học Sư phạm Huế, quý Thầy Cô tham gia giảng dạy, người giúp đỡ bảo để có điều kiện tốt hồn thành luận văn Cuối cùng, xin gửi lời cảm ơn đến tập thể lớp cao học Giải tích K24, người thân, bạn bè động viên, giúp đỡ suốt trình học tập Võ Quang Anh iii MỤC LỤC Trang phụ bìa i Lời cam đoan ii Lời cảm ơn iii Mục lục Kí hiệu Lời nói đầu Chương Tổng quan phương trình vi phân ngẫu nhiên 1.1 Không gian xác suất biến ngẫu nhiên 1.2 Quá trình ngẫu nhiên 11 1.3 Quá trình Wiener, Poisson 14 1.4 7 1.3.1 Quá trình Wiener hay chuyển động Brown 14 1.3.2 Quá trình Poisson 14 Phương trình vi phân ngẫu nhiên 15 1.4.1 Tích phân Wiener 15 1.4.2 Tích phân Itơ 18 1.4.3 Công thức Itô 22 1.4.4 Phương trình vi phân ngẫu nhiên 26 Chương Ổn định nghiệm phương trình vi phân ngẫu nhiên theo trình Poisson 2.1 31 Kiến thức chuẩn bị 31 2.1.1 Nghiệm phương trình vi phân ngẫu nhiên theo trình Poisson 31 2.1.2 2.2 Một số kết martingale 33 Khái niệm ổn định không ổn định nghiệm 34 2.2.1 Các khái niệm ổn định ngẫu nhiên không ổn định ngẫu nhiên 35 2.2.2 2.3 Các khái niệm ổn định mũ không ổn định mũ 35 Các định lý ổn định không ổn định ngẫu nhiên 36 Chương Ổn định mũ phương trình vi phân ngẫu nhiên theo q trình Itơ-Lévy 3.1 46 Kiến thức chuẩn bị 46 3.1.1 Q trình ngẫu nhiên Itơ-Lévy 46 3.1.2 Định lý Kunita bất đẳng thức số mũ martingale 48 3.2 Ổn định mũ hầu chắn 50 3.3 Mối quan hệ ổn định mũ hầu chắn ổn định mũ mômen p 59 Kết luận 63 Tài liệu tham khảo 64 Kí hiệu R : Tập số thực R+ : Tập hợp số thực dương Rk : Không gian Euclide k -chiều |•| : Chuẩn vectơ định thức ma trận BX : σ -đại số Borel không gian mêtric X Ntt0 : σ -đại số tự nhiên sinh trình X (t), Ntt0 = σ {X (s) : t0 t t} Cb (X) : Không gian hàm số liên tục bị chặn X Cb1 (X) : Không gian Cb (X) tạo thành từ hàm liên tục có đạo hàm riêng cấp C1 (X) : Khơng gian hàm có đạo hàm riêng cấp liên tục C1 (U × R+ ) : Lớp hàm V (x, t) có đạo hàm riêng cấp liên tục U × R+ trừ điểm x = Ur = {x : |x| < r}, U r = {x : |x| r} LỜI NĨI ĐẦU Phương trình vi phân đóng vai trị quan trọng kĩ thuật, vật lí, số ngành khoa học khác Sự đời xuất phát từ nhu cầu xác định mối quan hệ bên đại lượng biến thiên liên tục bên độ biến thiên đại lượng Giải tích ngẫu nhiên bắt đầu hình thành từ đầu kỉ XX Đầu tiên phải kể đến nhà toán học Norbert Wiener (1894 − 1964), Louis Bachelier (1870 − 1946) Sự đời giải tích ngẫu nhiên tất yếu mà giải tích cổ điển khơng giải thích Giải tích ngẫu nhiên bao gồm ba phận chính: (1) Lý thuyết q trình ngẫu nhiên (2) Lý thuyết tích phân ngẫu nhiên (3) Phương trình vi phân ngẫu nhiên Phương trình vi phân ngẫu nhiên đóng vai trị quan trọng giải tích ngẫu nhiên ứng dụng nhiều vật lí nhiều ngành khoa học khác Trong khơng gian xác suất (Ω, F, P ) với Wt trình Wiener m−chiều, (Ft )t∈[t0 ,T ] lọc Phương trình vi phân ngẫu nhiên phương trình có dạng: dx (t) = f (x (t) , t) dt + g (x (t) , t) dW (t) có dạng t x (t) = x0 + t g (x (s) , s) dW (s) f (x (s) , s) ds + 0 x0 biến ngẫu nhiên độc lập với W (t) Nghiệm phương trình trình x (.) = (x (t))t∈[t0 ,T ] với quỹ đạo liên tục thỏa điều kiện sau: (1) x (.) thích nghi với lọc (Ft )t∈[t0 ,T ] (2) f (x (t) , t) ∈ L1 [0, T ] , Rd g (x (t) , t) ∈ L2 [0, T ] , Rd×m (3) Với xác suất (hầu hết w ∈ Ω) (1) với t ∈ [t0 , T ] Trong vài thập kỉ qua, nghiệm phương trình vi phân ngẫu nhiên nghiên cứu theo hai hướng chủ đạo theo hướng định tính theo hướng định lượng Ổn định lý thuyết quan trọng lý thuyết định tính phương trình vi phân ngẫu nhiên có nhiều ứng dụng để giải nhiều toán thuộc lĩnh vực vật lý, kỹ thuật, học Năm 1892, trường đại học tổng hợp Kharkov, A.M.Lyapunov công bố bảo vệ thành công luận án Tiến Sĩ tiếng "Đại cương ổn định chuyển động" có nhan đề:" Bài tốn tổng qt tính ổn định chuyển động" Nó đặt tảng tạo bước ngoặt cho lý thuyết ổn định Ông giải toán ổn định hai phương pháp, phương pháp số mũ Lyapunov phương pháp sử dụng hàm Lyapunov Từ năm 2010 trở lại đây, có số nhà tốn học nghiên cứu tính ổn định nghiệm phương trình vi phân ngẫu nhiên điển hình như: Khasminskii (2012), Ditlevsen (2013) dựa theo phương pháp mũ Lyapunov Nội dung đề tài tìm hiểu khơng gian xác suất; phương trình vi phân ngẫu nhiên qua q trình Wiener, Poisson Itơ-Lévy Từ đưa ổn định nghiệm phương trình vi phân ngẫu nhiên mối liên hệ chúng Luận văn gồm chương: + Chương 1: Tổng quan kết có liên quan khơng gian xác suất, q trình Wiener, Poisson phương trình vi phân ngẫu nhiên + Chương 2: Trình bày số khái niệm ổn định nghiệm điều kiện đủ để nghiệm phương trình vi phân ổn định ngẫu nhiên theo trình Poisson + Chương 3: Đưa ổn định mũ theo q trình Itơ-Lévy mối quan hệ ổn định mũ ổn định mũ hầu chắn Do thời gian học tập, nghiên cứu có hạn lực cịn nhiều hạn chế, thân có nhiều cố gắng khó tránh khỏi thiếu sót Vì vậy, chúng tơi mong thầy bạn đọc góp ý để luận văn tốt Bổ đề 3.2.2 Giả sử với θ > 0, tồn Kθ > cho: |f (x)| + g (x) + |x| + |H (x, y)| |x + H (x, y)| |H (x, y)| |y| Vì nghiệm (3.1) liên tục phải hầu chắn có giới hạn trái nên tồn T > t0 θ > cho P (B) > với B = ω ∈ Ω : τ (ω) ≤ T |x (t) (ω)| ≤ θ − với t0 ≤ t ≤ τ (ω) Đặt V (x) = |x| LV (x) = Nếu < |x| ≤ θ từ (3.7) bổ đề 3.2.1 −f i (x) xi |x| + |y|