Tính ổn định nghiệm của phương trình vi phân và phương trình đạo hàm riêng

Mục tiêu khóa luận

- Minh họa ứng dụng các kết quả lý thuyết bằng các ví dụ liên quan đến thực tiễn

- Chứng minh được tính ổn định của nghiệm dừng của phương trình phản ứng - khuếch tán.

Nhiệm vụ nghiên cứu

- Tìm hiểu cơ sở lý thuyết về phương trình vi phân, hệ phương trình vi phân, phương trình đạo hàm riêng và lý thuyết ổn định

- Nghiên cứu tính ổn định nghiệm của phương trình vi phân và phương trình đạo hàm riêng

Phương pháp nghiên cứu

- Phương pháp nghiên cứu lý luận: Nghiên cứu giáo trình, tài liệu liên quan tới phương trình vi phân, phương trình đạo hàm riêng và lý thuyết ổn định,

- Phương pháp tổng kết: Từ việc nghiên cứu tài liệu, giáo trình, tổng hợp và hệ thống hóa các kiến thức một cáchđầy đủ và khoa học

- Một phương pháp đặc trưng trong nghiên cứu phương trình vi phân, phương trình đạo hàm riêng như: Phương pháp đại số hóa, phương pháp năng lượng,

Đối tƣợng và phạm vi nghiên cứu

- Đối tượng nghiên cứu: Phương trình vi phân và phương trình đạo hàm riêng

- Phạm vi nghiên cứu: Tính ổn định nghiệm.

Ý nghĩa khoa học và thực tiễn

Khóa luận này tổng hợp các kiến thức cơ bản về phương trình vi phân, phương trình đạo hàm riêng và lý thuyết ổn định, nhằm làm rõ tính ổn định nghiệm của các phương trình này thông qua các ví dụ minh họa và bài tập Tài liệu này sẽ là nguồn tham khảo hữu ích cho sinh viên ngành toán trong quá trình học tập và nghiên cứu về phương trình vi tích phân và lý thuyết ổn định.

Bố cục của khóa luận

Ngoài phần mở đầu, kết luận và tài liệu tham khảo, khóa luận dự kiến gồm 3 chương Cụ thể như sau:

Chương 1 Kiến thức cơ sở

1.2 Hệ phương trình vi phân

1.3 Phương trình đạo hàm riêng

Chương 2 Tính ổn định nghiệm của phương trình vi phân

2.1 Tính ổn định nghiệm của hệ tuyến tính

2.2 Tính ổn định nghiệm của hệ tựa tuyến tính

2.3 Tính ổn định nghiệm của hệ phi tuyến tính

2.3.1 Phương pháp tuyến tính hóa

Chương 3 Tính ổn định nghiệm dừng của phương trình vi phân và phương trình đạo hàm riêng

3.1 Tính ổn định của điểm dừng đối với phương trình vi phân

3.2 Tính ổn định của nghiệm dừng của phương trình phản ứng - khuếch tán

3.3 Tính ổn định của nghiệm dừng của phương trình Navier – Stokes hai chiều

KIẾN THỨC CƠ SỞ

Phương trình đạo hàm riêng

Chương 2 Tính ổn định nghiệm của phương trình vi phân

2.1 Tính ổn định nghiệm của hệ tuyến tính

2.2 Tính ổn định nghiệm của hệ tựa tuyến tính

2.3 Tính ổn định nghiệm của hệ phi tuyến tính

2.3.1 Phương pháp tuyến tính hóa

Chương 3 Tính ổn định nghiệm dừng của phương trình vi phân và phương trình đạo hàm riêng

3.1 Tính ổn định của điểm dừng đối với phương trình vi phân

3.2 Tính ổn định của nghiệm dừng của phương trình phản ứng - khuếch tán

3.3 Tính ổn định của nghiệm dừng của phương trình Navier – Stokes hai chiều

CHƯƠNG I: KIẾN THỨC CƠ SỞ

Phương trình vi phân thường là một phương trình liên quan đến ẩn hàm x = x(t) của biến độc lập t, cùng với các đạo hàm như x', x'', của ẩn hàm đó.

Cấp của một phương trình vi phân là cấp cao nhất của đạo hàm của ẩn hàm có mặt trong phương trình

Như vậy, một phương trình vi phân cấp n có dạng:

Phương trình F t x x x  được gọi là tuyến tính nếu hàm F là tuyến tính đối với các biến x x, , , x ( ) n Ngược lại, nếu F không tuyến tính, phương trình sẽ được xem là phi tuyến Ngoài ra, phương trình này được gọi là ô-tô-nôm khi F không phụ thuộc rõ ràng vào t, tức là F chỉ phụ thuộc vào các biến x x( , , , x ( ) n) Trong trường hợp F phụ thuộc rõ ràng vào t, phương trình được gọi là không ô-tô-nôm.

Nói riêng, một phương trình vi phân cấp một có thể viết dưới dạng

Hàm xx t t( ), Igọi là nghiệm hiện (còn gọi là nghiệm tường minh) của (1.2) nếu

Hệ thức ( , )t x 0 được gọi là nghiệm ẩn của phương trình (1.2) nếu nó xác định một hoặc nhiều hàm x( )t thỏa mãn điều kiện F t( , (t), (t))  0 Mặc dù việc giải tường minh x từ hệ thức này có thể gặp khó khăn, nhưng chúng ta vẫn có khả năng tính toán được các giá trị liên quan.

Ta thường giả thiết phương trình (1.1) là giải được đối với đạo hàm cấp cao nhất, tức là có thể viết (1.1) dưới dạng

Hàm f đã biết trong phương trình x (1.3) n n x = f t x x’ cho phép ta chuyển đổi phương trình (1.1) thành dạng vi phân vectơ cấp một Bằng cách đặt y1 = x, y2 = x’, , yn = x(n - 1), ta có thể hình thành một hệ phương trình vi phân cấp.

6 một, dạng y F t y( , ), ở đó y( ,y y 1 2 , ,y n ) Vì vây, không giảm tính tổng quát, ta chủ yếu xét các phương trình vi phân cấp một

Một họ hàm y t C C( ; 1 , 2 , ,C n ) phụ thuộc vào t và n tham số C C 1 , 2 , ,C n

(thay đổi trong tập M n ) gọi là nghiệm tổng quát của phương trình vi phân cấp n

(1.3) nếu nó thỏa mãn hai điều kiện sau:

- Thứ nhất: Mỗi hàm y t C C( , 1 , 2 , ,C n )là một nghiệm của phương trình vi phân (1.3) với mọi cách chọn tham số (C C 1 , 2 , ,C n )M;

- Thứ hai: Mọi nghiệm của (1.3) đều có thể nhận đƣợc theo cách này

Trong ứng dụng, để đảm bảo tính duy nhất của nghiệm hoặc để mô tả chính xác hơn hiện tượng đang xét, chúng ta thường chú trọng đến nghiệm (1.3) thỏa mãn các điều kiện bổ sung, thường là điều kiện ban đầu hoặc điều kiện biên Ví dụ, các điều kiện ban đầu đối với (1.3) thường có dạng cụ thể.

Bài toán giá trị ban đầu, hay còn gọi là bài toán Cauchy, liên quan đến việc tìm nghiệm x(t) của phương trình (1.3) thỏa mãn điều kiện (1.4) Nghiệm x(t) cần được xác định trong một khoảng I nào đó chứa điểm t₀, với các giá trị x₀, x₁, , xₙ₋₁ đã cho trước.

Bài toán đối với phương trình vi phân được coi là bài toán đặt đúng khi tồn tại nghiệm duy nhất và nghiệm này phụ thuộc liên tục vào các dữ kiện đã cho Ngược lại, nếu một trong ba điều kiện này không được thỏa mãn, bài toán sẽ được xem là đặt không đúng hay đặt không chỉnh.

1.1.1 Phương trình vi phân tuyến tính cấp một

Phương trình vi phân có dạng

Phương trình vi phân tuyến tính cấp một có dạng (1.5) x’ + p(t)x = q(t), trong đó p(t) và q(t) là các hàm liên tục trên khoảng I Nếu q(t) = 0, phương trình được gọi là thuần nhất; ngược lại, nếu q(t) khác 0, nó được gọi là không thuần nhất Để giải phương trình này, chúng ta cần tìm một hàm khả vi μ(t) với điều kiện μ(t) > 0 cho mọi t thuộc I, được gọi là nhân tử tích phân của phương trình (1.5).

Khi đó ta có thể giải được phương trình (1.5) bằng cách tích phân hai vế của đẳng thức       t x t         t q t

Khai triển vế phải của (1.6), ta đƣợc

       Giả sử x t    0 và chia cả hai vế cho x(t), ta đƣợc

Lấy tích phân cả hai vế của phương trình này, ta được

    , với P t ( )   p t dt ( ) Để tìm nghiệm tổng quát của (1.4) ta lấy tích phân hai vế của hệ thức

   , ở đó C là hằng số Thay    t  e P t   , ta đƣợc

Nếu x(t) là nghiệm của phương trình (1.5), thì x(t) có thể biểu diễn dưới dạng (1.7) Ngược lại, với mọi giá trị C thuộc tập số thực, x(t) được xác định bởi (1.7) cũng là một nghiệm của (1.5) Do đó, x(t) theo dạng (1.7) được gọi là nghiệm tổng quát của phương trình (1.5).

Như một trường hợp đặc biệt của (1.7), khi q(t)0, nghiệm tổng quát của phương trình thuần nhất tương ứng

8 Để tìm nghiệm của (1.5) thỏa mãn điều kiện ban đầu x t   0 x 0, ta thay t  ,t x 0 x 0 vào (1.7) và tìm hằng số C Cách khác là chọn nhân tử tích phân    t  e  t 0 t p s d   s Kết quả ta đƣợc

Ví dụ 1.1 Tìm nghiệm tổng quát của phương trình 2 y y x

Ta xét phương trình thuần nhất tương ứng :

Ta đi tìm nghiệm phương trình không thuần nhất dưới dạng y  C x x   2

Thay vào phương trình (1) ta được:

Do đó C x    ln x  C và nghiệm tổng quát của phương trình (1) là:

Ví dụ 1.2 Tìm nghiệm tổng quát của phương trình: 2x 2

 và đường cong tích phân đi qua điểm (1; 2)

Theo công thức ta có nghiệm tổng quát của phương trình (2) có dạng:

Nghiệm đi qua điểm (1;2) là

Ví dụ 1.3 Hãy tích phân phương trình

  x   (3) và tìm nghiệm thỏa mãn điều kiện ban đầu y(1) = 1

Theo công thức chung ta có: x x

   là nghiệm của phương trình (3)

Nghiệm thỏa mãn điều kiện ban đầu y(1) = 1 có dạng

Vậy yx 2 là nghiệm phải tìm

1.1.2 Một số phương trình vi phân với phi tuyến tính cấp một a Phương trình với biến số phân li

Một phương trình vi phân có dạng

Phương trình vi phân với biến số phân li được biểu diễn dưới dạng x = h(x)g(x) Trong đó, h(t) là một hàm liên tục và không đồng nhất bằng 0, đồng thời g(x) là hàm khả vi liên tục trong miền đang xem xét.

Dễ nhận thấy rằng x = k là nghiệm hằng số của phương trình (1.9) khi và chỉ khi g(k) = 0 Nếu x(t) là một nghiệm không hằng số của (1.9), thì g(x(t)) khác 0, và ta có thể chia cả hai vế của phương trình (1.9) cho g(x) để tiếp tục phân tích.

Lấy tích phân hai vế ta đƣợc x ( )

Biểu thức này gọi là tích phân tổng quát của phương trình

Với mỗi giá trị xác định của C thì từ (1.10) ta xác định đƣợc một nghiệm x = x(t), gọi là một nghiệm riêng của (1.9)

Ví dụ 1.4 Xét phương trình: 2 2 2 2

Có tích phân tổng quát là

Do đó  1  x 2  1  y 2   c c   ,  e c là tích phân tổng quát của phương trình

Ví dụ 1.5 Xét phương trình

Giả sử 1y 2 1x 2 0 Chia hai vế của phương trình cho biểu thức này ta được phương trình biến số phân li

Do đó tích phân của phương trình là

Hệ thức 1y 2 1x 2 0 cho ta các nghiệm y x 1  1,y 2   x     1 1 x 1 và

Ví dụ 1.6 Xét phương trình

 1 2   1 2  0 x  y dx y x dy Phân li biến số ta có

Tích phân tổng quát có dạng

Tại gốc tọa độ hướng trường không xác định Không có đường thẳng cong tích phân nào đi qua đó hoặc dần tới đó

Ví dụ 1.7 Tích phân phương trình

2y byy dy b x dy0 Tìm đường cong tích phân đi qua điểm (0; b)

Giả sử y byy 2 0, phân li biến số ta có

Từ đây suy ra tích phân tổng quát là ar x b y ctg c b y

Từ phương trình y - y² = 0, chúng ta xác định được hai nghiệm là y = 0 và y = b, trong đó y = 0 là nghiệm riêng và y = b là nghiệm kỳ dị.

Phương trình vi phân dạng

  , x f t x (1.11) gọi là phương trình thuần nhất nếu f là hàm thuần nhất bậc 0, tức là với mọi  , ta có f    t , x   f t x   , Để giải phương trình thuần nhất (1.11), chọn 1

        Đƣa vào biến mới x z t hay xzt, ta có x = z + tz, do đó ta nhận được phương trình với biến số phân li t z d    ( ) z  z dt 

Nếu (z) z 0, ta có dx x dt  t có nghiệm tổng quát x = Ct

Nếu (z) z 0có nghiệm z = z0 thì ngoài nghiệm tổng quát rút ra từ (1.12), ta còn nghiệm x = z 0 t c Phương trình vi phân hoàn chỉnh

M t x dtN t x dx (1.13) gọi là phương trình vi phân hoàn chỉnh (còn gọi là phương trình vi phân toàn phần) nếu tồn tại hàm số U(t,x) sao cho dU MdtNdx

Nếu (1.13) là phương trình vi phân hoàn chỉnh thì nó có tích phân tổng quát dạng U x t( , )C Ta có thể đưa phương trình (1.13) về dạng  

N t x dt dx  M t x nếu M t x   ,  0trong miền đang xét Điểm

 t x * , *  mà M t x  * , *    N t x * , *   0 gọi là điểm kì dị của phương trình (1.13)

Từ kết quả của giải tích cổ điển ta biết rằng nếu M và N là những hàm liên tục và có các đạo hàm riêng cấp một M ; N x t

  liên tục trong miền mở đơn liên D 2 thì điều kiện cần và đủ để (1.13) là phương trình vi phân hoàn chỉnh trong D là

Nếu điều kiện (1.14) được thỏa mãn thì tích phân tổng quát của phương trình (1.13) có thể viết dưới dạng

  , trong đó  t x 0, 0  là điểm bất kì trong D (khi các công thức này có nghĩa)

Ví dụ 1.8 Xét phương trình vi phân y y

Các đường cong tích phân của phương trình này chỉ có thể nằm trong góc tọa độ thứ nhất và thứ ba, do x và y cần có cùng dấu để vế phải của phương trình được xác định Bằng cách đặt y = xz, ta có thể chuyển đổi phương trình thành dạng z x' + z = x Với giả thiết x ≠ 0 và z - x ≠ 0, phương trình được đưa về dạng phân li dx + dz = 0.

Tích phân phương trình này là

Trở lại biến y suy ra

Từ đây, sau khi giản ƣớc ta đƣợc y x C nếu x > 0, y > 0; y x C

Trong trường hợp z - z = 0, chúng ta có hai nghiệm z = 0 và z = 1 Hai nghiệm này tương ứng với hai nghiệm của phương trình ban đầu là y = 0 và y = x (với x ≠ 0) Nghiệm y = 0 (với x ≠ 0) được coi là nghiệm kì dị, trong khi y = x (với x ≠ 0) là nghiệm riêng.

Ví dụ 1.9 Tích phân phương trình

 x 2  2 xy  y 2   dx  y 2  2 xy  x 2  dy  0 và tìm đường cong tích phân đi qua hai điểm   2; 2 Đặt y = zx Khi đó dy = zdx + xdz

Thế vào phương trình, ta có

(x 2zx z x dx) (z x 2x zx )(zdxxdz)0 hay là

Tích phân của phương trình biến số phân li này ta được

2 ln x ln z 1 ln z  1 ln C 1 hay là

Trở lại biến cũ ta nhận được tích phân tổng quát của phương trình ban đầu

 Đây là họ các đường tròn x 2  y 2  C x   y   0

Ngoài ra phương trình còn có các nghiệm y + x = 0 (ứng với z + 1 = 0) Phương trình trên không có nghiệm kì dị

Nghiệm thỏa mãn điều kiện ban đầu y   2  2có dạng

Ví dụ 1.10 Xét phương trình

 2 x  2 y  1  dx   x   y 1  dy  C ở đây đây định thức phải xét có dạng

Bởi vậy đặt z x y, ta đưa phương trình trên về dạng biến só phân li được:

Tích phân phương trình cuối ta có

3x z ln z C. Trở lại biến cũ ta được tích phân tổng quát của phương trình đang xét:

Phương trình Bernoulli là phương trình vi phân có dạng

Trong phương trình (1.15) với các hàm liên tục p và q trên khoảng I, và α là một số thực bất kỳ, vế phải của phương trình có nghĩa khi x > 0 Tuy nhiên, nếu α là một số nguyên dương, thì không cần điều kiện x > 0.

TÍNH ỔN ĐỊNH NGHIỆM CỦA PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN

Xét hệ phương trình vi phân

Trong hệ phương trình (2.1), x(t) là vectơ trạng thái với t ≥ 0 và f: ℝⁿ × ℝⁿ → ℝⁿ là hàm vectơ đã cho Giả thiết rằng f(t, x) thỏa mãn các điều kiện cần thiết để đảm bảo rằng nghiệm của hệ với điều kiện ban đầu x(0) = x₀, với x₀ ≥ 0, luôn tồn tại Định nghĩa 2.1 chỉ ra rằng x(t) là một nghiệm của hệ (2.1) xác định trên khoảng thời gian [0, +∞).

- Nghiệm x t gọi là ổn định trên khoảng    t 0, nếu với mỗi số  0, tồn tại

 0 sao cho mọi nghiệm y(t) với y t     0 x t 0  sẽ tồn tại trên cả khoảng

 t 0, và thỏa mãn y t      x t   , với mọi tt 0

- Nghiệm x t gọi là ổn định tiệm cận trên khoảng    t 0, nếu nó ổn định và tồn tại  0sao cho mọi nghiệm y(t) với y t     0 x t 0 sẽ thỏa mãn

Nếu các số  và  trong các định nghĩa không phụ thuộc vào thời điểm ban đầu t0, thì chúng ta có thể xác định các khái niệm ổn định đều và ổn định tiệm cận đều.

Nhận xét rằng bằng cách đặt z t    y t      x t , ta chuyển việc xét tính ổn định của nghiệm x(t) bất kì của hệ (2.1) về xét tính ổn định của nghiệm 0 của hệ

2.2 Tính ổn định của hệ tuyến tính

Xét hệ phương trình vi phân tuyến tính

Phương trình (2.2) có dạng x(t) = A(t)x, trong đó A(t) là hàm giá trị ma trận liên tục trên khoảng [t₀, +∞) Theo điều kiện tồn tại duy nhất nghiệm của phương trình tuyến tính, mọi nghiệm của hệ này đều có thể phát triển một cách duy nhất trên toàn bộ khoảng [t₀, +∞) Định lý 2.1 khẳng định rằng một nghiệm bất kỳ của (2.2) sẽ ổn định (hoặc ổn định tiệm cận) nếu và chỉ nếu nghiệm đó thỏa mãn một số điều kiện nhất định.

0 ổn định ( tương ứng ổn định tiệm cận )

Nghiệm 0 của phương trình (2.2) được coi là ổn định khi và chỉ khi ma trận cơ bản X(t) bị chặn trên khoảng [t0, +∞) Ngoài ra, nghiệm 0 cũng được xem là ổn định tiệm cận khi giới hạn của ma trận cơ bản X(t) tiến tới 0 khi t tiến tới vô cùng.

Chứng minh rằng nếu x(t) và y(t) là hai nghiệm của hệ (2.2), thì z(t) = x(t) - y(t) cũng là nghiệm của hệ này, từ đó cho thấy sự tương đương giữa khái niệm ổn định của nghiệm bất kỳ với nghiệm 0 Hơn nữa, nếu hệ (2.2) có ma trận cơ bản bị chặn, điều này dẫn đến tính ổn định của nghiệm 0 Do đó, để hoàn tất chứng minh, chỉ cần chỉ ra rằng nếu nghiệm 0 ổn định, thì tồn tại một ma trận cơ bản bị chặn.

Theo giả thiết, tồn tại số  0 sao cho nếu x t   0  thì x t    1 với mọi t t 0 Vậy, với ma trận cơ bản X(t) sao cho X(0) = I ta có

Từ tính chất của ma trận cơ bản suy ra ma trận cơ bản bất kì cũng bị chặn c) Nếu lim   0 t X t

Để chứng minh tính ổn định tiệm cận, ta cần xem xét ma trận cơ bản X(t) được tạo thành từ n nghiệm độc lập tuyến tính Việc chứng minh điều ngược lại sẽ giúp khẳng định tính chất này một cách rõ ràng.

1 , , n x t x t Khi đó, không mất tính tổng quát, ta có thể coi x t k   0 đủ nhỏ để với

 0 cho trước tồn tại T > 0 sao cho x t   k với mọi tT, k1, ,n Từ đây suy ra lim   0 t X t

Mọi ma trận cơ bản khác có thể được tạo ra từ X(t) thông qua phép nhân với một ma trận hằng không suy biến, do đó chúng cũng mang những tính chất tương tự.

Đối với hệ vi phân tuyến tính, sự ổn định của nghiệm bất kỳ tương đương với sự ổn định của nghiệm 0, vì vậy trong trường hợp này, chúng ta thường nói đến sự ổn định của hệ thống thay vì của một nghiệm cụ thể Đối với hệ vi phân tuyến tính với hệ số hằng, biểu thức x = Ax cho thấy rằng tính ổn định có thể được đánh giá thông qua tập phổ của ma trận A, ký hiệu là σ(A), bao gồm tất cả các giá trị riêng của A Theo định lý 2.2, giá trị Re σ(A) được xác định là max {Re(λ) : λ là giá trị riêng của A}.

Khi đó a) Nếu Re    A  0 thì hệ (2.3) là ổn định tiệm cận;

Nếu Re(σ(A)) > 0, hệ (2.3) không ổn định Nếu Re(σ(A)) = 0, hệ (2.3) không ổn định tiệm cận và chỉ ổn định khi tất cả các giá trị riêng có phần thực bằng 0 là nửa đơn, tức là các ô Jordan tương ứng có kích thước 1 x 1.

Để chứng minh định lý được suy ra từ Định lý 2.1 và cấu trúc của ma trận cơ bản e^tA, ta xem xét hệ phức với x thuộc n Tồn tại một ma trận không suy biến P sao cho PAP^(-1) = J, trong đó J là dạng Jordan của A Do đó, tính bị chặn của e^tA được xác định, đồng thời lim khi t tiến tới 0 của e^(tA) cũng được xác lập.

  ) tương đương với tính bị chặn của e tJ ( hay lim tJ 0 t e

Từ đây ta nhận đƣợc các tiêu chuẩn trên Để tìm các giá trị riêng của ma trận A, ta cần tìm các nghiệm của đa thức đặc trƣng

Việc xác định định thức của ma trận \( \lambda I - A \) với đa thức có bậc cao là một nhiệm vụ khó khăn và đôi khi không thể thực hiện được Tuy nhiên, theo Định lý 2.2, chúng ta chỉ cần biết dấu của phần thực của các giá trị riêng của ma trận A Để thực hiện điều này, có thể áp dụng tiêu chí Routh-Hurwitz.

Khi tất cả các hệ số của đa thức đặc trƣng là thực, ta có dấu hiệu đơn giản sau đây

Dấu hiệu Routh-Hurwitz Xét đa thức bậc n với hệ số thực

  ở đó a j 0 với mọi j > n Khi đó, tất cả các nghiệm của P n   có phần thực âm khi và chỉ khi a k 0 và D k 0, với mọi k 1, 2, , n

Ví dụ 2.1 Tìm các số thực a sao cho điểm cân bằng của hệ x ax y ay z z y az

Ta đi chứng minh Re    A :  m ax{ Re :   là giá trị riêng của A} < 0

Vậy a 1 thì hệ (1) ổn định tiệm cận

Ví dụ 2.2 Xác định các tham số ,  sao cho điểm cân bằng của hệ x x y y y z z y z

Ta đi chứng minh Re    A :  m ax{ Re :   là giá trị riêng của A} < 0

 2 là giá trị cần tìm

2.3 Tính ổn định nghiệm của hệ tựa tuyến tính

Trong phần này ta nghiên cứu tính ổn định của hệ phương trình vi phân với

“ phần chính là tuyến tính ”

Hàm g(t, x) được coi là "nhỏ" đối với x khi x cũng "nhỏ" Trong trường hợp này, tính ổn định của nghiệm 0 của hệ (2.4) có thể được suy ra từ tính ổn định của phần tuyến tính Theo Định lý 2.3 (Định lý ổn định), giả sử hàm g(t, z) được xác định và liên tục.

 z  đều với 0  t (2.5) Bới vậy, nói riêng, g t   ,0  0

Giả sử A là ma trận hằng và giả thiết rằng Re    A  0 Khi đó nghiệm 0 của hệ (2.5) là ổn định tiệm cận

Chứng minh: Từ giả thiết, suy ra tồn tại các hằng số c0 và  0 sao cho

Re A   và e tA ce   t , với t0

Hơn nữa, từ (2.5) suy ra tồn tại số    0,   sao cho:

34 Định lí sẽ đƣợc chứng minh nếu ta chỉ ra rằng (0) x 2 c

Ta biết rằng mọi nghiệm của (2.5) thỏa mãn phương trình tích phân

Bây giờ giả sử x(t) là nghiệm của (2.4) với x   0   và đặt    t  x t e    t

     và do đó bởi bất đẳng thức Gronwall, ta có

Định lý 2.4, hay còn gọi là định lý về tính không ổn định, chứng minh rằng nếu hàm g(t,z) thỏa mãn các điều kiện của Định lý 2.3 và ma trận A là hằng với phần thực của trị riêng Re σ(A) lớn hơn 0, thì nghiệm 0 của hệ (2.4) sẽ không ổn định.

Để chứng minh, chúng ta sẽ biến đổi hệ (2.4) bằng một phép biến đổi tuyến tính nhằm đưa về dạng phù hợp với mục đích Ký hiệu  1 , , n là các giá trị riêng của ma trận A (bao gồm cả bội) Giả sử ma trận A được chuyển về dạng chuẩn tắc Jordan B thông qua ma trận C.

BC AC   b ij với b ij  i ,b i i , 1  0 hoặc 1,b ij 0 trong các trường hợp khác

Hơn nữa, giả sử H là ma trận chéo: H  diag    , 2 , ,   n  ,  0

Dễ dàng kiểm tra đƣợc H  1  diag     1 ,  2 , ,   n  và 1 ij ij

DH BH  d b j i  , tức là d ij  i ,d i i , 1  0 hoặc ,d ij 0 trong các trường hợp khác

Bây giờ đặt x t    CH t z  , phương trình (2.4) trở thành

1 1 1 1 z , z zH C x   H C   ACH g t CH hay z  Dz  f t z   , (2.8) với f t z   ,  H C g t CH  1  1  , z ,  D  H C ACH  1  1

Nếu g thỏa mãn giả thiết (2.5) thì f cũng vậy do từ g t z   ,   z với z   ta có

Khi đó (2.9) có thể viết lại nhƣ sau:

Số hạng trong ngoặc chỉ xuất hiện khi chỉ số i liên quan đến khối Jordan có nhiều hơn một dòng và không áp dụng cho dòng cuối cùng của khối này.

Ta kí hiệu j hoặc k là các chỉ số mà Re j 0 hoặc tương ứng Re k 0, và , là các hàm giá trị thực   j   2 , j t z t

  ở đó z(t) là một nghiệm của

(2.9) Bây giờ, giả sử 0 đủ nhỏ sao cho 06 Re j , với mọi j và chọn  0 đủ nhỏ sao cho f t z   , e   z e , với z e   , ở đó e là chuẩn Euclid trong n

Nếu z(t) là nghiệm của (2.9) với

  0 e ,     0 0 (2.10) z    thì khi z t     và      t   t , ta có

Hơn nữa, bởi bất đẳng thức Schwarz, ta có

2        Một phương trình tương tự (2.9) thỏa mãn đối với    t ( chỉ cần thay j bởi k) Bởi vì

Re k 0, sử dụng các ước lượng tương tự như trên, ta có 1

Khi      t   t , ta có 1 2       3      2           0, tức là hiệu

  tăng khi nó dương Điều này chứng tỏ khi z t     các bất đẳng thức

TÍNH ỔN ĐỊNH NGHIỆM DỪNG CỦA PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN VÀ

PHƯƠNG TRÌNH ĐẠO HÀM RIÊNG

3.1 Tính ổn định của điểm dừng đối với phương trình vi phân

Trong mục này, đối với phương trình vi phân cấp một ôtônôm

( ) x f x (3.1) ta sẽ hiểu các nghiệm của nó “ một cách định tính”, mặc dù có thể không tìm đƣợc biểu thức tường minh của nghiệm

Giả sử f đủ “tốt” sao cho nghiệm x t( ) của (3.1) hoàn toàn đƣợc xác định bởi giá trị của nó tại bất kì thời điểm t nào

3.1.1 Cách tiếp cận định tính

Ta có thể dùng chính phương trình (3.1) để xác định khi nào ( )x t tăng hoặc giảm tùy theo dấu của f

Một điểm x * sao cho f x( * )0 gọi là một điểm dừng của phương trình (3.1)

Trong miền mà f(x) > 0, nghiệm x(t) tăng, trong khi trong miền f(x) < 0, nghiệm x(t) giảm Để thể hiện thông tin này, chúng ta vẽ một trục x với các điểm dừng được đánh dấu bằng dấu  Các mũi tên được vẽ trên đường thẳng để chỉ hướng thay đổi của x(t): nếu f(x) > 0, mũi tên chỉ sang phải, còn nếu f(x) < 0, mũi tên chỉ sang trái Bức tranh này được gọi là sơ đồ pha của phương trình (3.1).

Hình 1: Phác thảo đồ thị của f x và sơ đồ pha của phương trình ( ) x f x( )

3.1.2 Tính ổn định, không ổn định và rẽ nhánh

Sơ đồ pha cho thấy một số điểm dừng có tính chất "hút" trong khi các điểm dừng khác mang tính "đẩy", với nghiệm gần chuyển động ra xa Dưới đây, chúng tôi sẽ định nghĩa chính xác các khái niệm này.

Một điểm dừng x là ổn định nếu với mọi *  0 cho trước, tồn tại  0 sao cho

Trong bài viết này, chúng ta xem xét điều kiện cần và đủ cho nghiệm của phương trình x(t) với điều kiện ban đầu x(0) = x0 Cụ thể, nếu có một δ > 0 sao cho |x(t) - x| < ε với mọi t ≥ 0, thì điểm dừng trong ví dụ này không chỉ là điểm dừng mà còn có tính chất hút, nghĩa là nó thu hút các nghiệm về một giá trị cố định x.

Trong hệ một chiều, các điểm hút thường ổn định, nhưng điều này không áp dụng cho trường hợp tổng quát Một ví dụ cho thấy rằng tồn tại những điểm dừng ổn định mà không phải là điểm hút, minh chứng cho sự phức tạp của các hệ động lực học.

Xét phương trình dx/dt = 0, điểm dừng x = 0 được xác định là ổn định nhưng không hút Để kiểm tra tính ổn định của điểm dừng x*, ta có thể sử dụng đạo hàm của hàm f.

- Nếu f '(x * )0 thì x * là ổn định; còn nếu f '(x * )0 thì x * là không ổn định (xem Hình 2)

- Khi f x'( * )0, ta có bốn khả năng (xem Hình 3)

Khi biến đổi nhỏ của f dẫn đến sự thay đổi lớn trong sơ đồ pha, ta gọi hiện tượng này là rẽ nhánh Trong các ví dụ đơn giản, hiện tượng rẽ nhánh không xảy ra gần điểm x*.

47 trừ khi f '(x * )0 Nếu sự thay đổi nhỏ của f không ảnh hưởng đến sơ đồ pha thì ta nói phương trình x f x( ) ổn định cấu trúc

Ví dụ 3.1 Phương trình logistic

( ) , dx x x dt    với ,  0 là mô hình cho sự thay đổi kích thước của một quần thể đơn loài

Bước 1: Tìm các điểm dừng

Giải phương trình (  x x) 0 ta được hai điểm dừng là x0 và x 

Bước 2: Vẽ sơ đồ pha

Ta phác thảo đồ thị của hàm ( ) (f x    x x) và từ đó có sơ đồ pha của phương trình nhƣ Hình 4

Từ sơ đồ pha này suy ra nếu số lượng của quần thể tại thời điểm ban đầu dương thì nó sẽ dần tới trạng thái dừng x 

Ta có thể kiểm tra tính ổn định của các điểm dừng bằng cách xét đạo hàm của f nhƣ sau:

Ta có '(0)f   0 nên điểm dừng x0 không ổn định ; f '   0

Trong ví dụ 3.2, chúng ta xem xét một vật thể có khối lượng m đang rơi dưới tác động của trọng lực, trong khi sức cản của không khí tỉ lệ thuận với bình phương vận tốc của vật thể Để xác định vận tốc cuối cùng của vật thể rơi, chúng ta áp dụng sơ đồ pha.

- Phương trình của vận tốc rơi v là dv 2 m mg kv dt  

Gia tốc trọng trường, hay còn gọi là gia tốc rơi tự do của vật thể, bị ảnh hưởng bởi lực cản của không khí, lực này luôn ngược chiều với vectơ vận tốc v Do đó, chúng ta có thể biểu diễn phương trình này một cách khác.

Phương trình này chỉ có một điểm dừng: * mg. v  k Điểm dừng này là ổn định vì '( ) * 2 gk 0. f v   m 

Sơ đồ pha như Hình 5 dưới đây

Ví dụ 3.3 Xét phương trình

( ), xx kx (1) ở đó k là tham số Hãy chỉ ra rằng dáng điệu định tính của nghiệm dừng của phương trình (1) thay đổi lớn khi k đi qua 0

- Khi k0, phương trình (1) chỉ có một nghiệm dừng là x0 Điểm dừng này là ổn định vì '(0)f  k 0

Khi k=0, phương trình chỉ có một nghiệm dừng duy nhất là x=0 Tại điểm này, đạo hàm f'(0) = 0, nhưng thông qua việc phác thảo đồ thị của hàm f(x) = -x^3, chúng ta có thể kết luận rằng điểm dừng x=0 là ổn định.

- Khi k0, phương trình (1) có ba điểm dừng là x 0, k Do f '(0) k 0 nên điểm dừng x0 không còn ổn định nữa, trong khi hai điểm x  k ổn định vì

3.2 Tính ổn định nghiệm dừng của phương trình phản ứng - khuếch tán

Xét bài toán sau trên miền bị chặn   N ,N2 với biên  trơn,

(3.2) trong đó u 0L 2   cho trước, a b, là các hằng số dương và ngoại lực g thỏa mãn điều kiện g  L 2   

3.2.1 Sự tồn tại và duy nhất nghiệm yếu

V L T H   L  Định nghĩa 3.1 Hàm u(t, x) được gọi là một nghiệm yếu của bài toán (3.2) trên (0,T) nếu và chỉ nếu

0 0 u t  u hầu khắp nơi trong  và

Mệnh đề sau đây chỉ ra tính liên tục của nghiệm yếu theo thời gian t

Mệnh đề 3.1 Nếu uV và du * dt V thì u  C    0,T ; L 2    

* n n u u trong V du du trong V dt dt

Khi đó, với mọi t t, 0 0,T , ta có

Do đó,   u n là dãy Cauchy trong C    0,T ; L 2    

Vì vậy,   u n hội tụ trong C    0, T L ; 2     tới một hàm v  C    0, T L ; 2     Mặt khác, từ u n u trong V, u t n  u t   trong L 2    hầu khắp t    0, T Do đó, ta thu đƣợc u = v hầu khắp nơi Điều đó chứng tỏ u  C    0, T L ; 2    

51 Định lí 3.1 Nếu g  L 2    thì bài toán (3.2) có duy nhất một nghiệm yếu toàn cục u(t) thỏa mãn

Hơn nữa, ánh xạ u 0 u t   là liên tục trên L 2   

(i) Sự tồn tại Ta xây dựng dãy nghiệm xấp xỉ u t n   trong không gian hữu hạn chiều sinh bởi n vectơ riêng đầu tiên  e 1, ,e n  của toán tử :

 sao cho u n thỏa mãn bài toán sau

Theo định lí Peono, ta nhận đƣợc sự tồn tại của dãy nghiệm xấp xỉ u n (t) Bây giờ, ta sẽ xây dựng các ƣớc lƣợng tiên nghiệm của u n

Sử dụng bất đẳng thức Cauchy, ta có

       (3.5) trong đó  1 là giá trị riêng đầu tiên của toán tử  trên  với điều kiên Dirichlet thuần nhất (chú ý rằng 1   2  

Sử dụng bất đẳng thức Gronwall, ta đƣợc

     (3.6) Ƣớc lƣợng trên đảm bảo rằng nghiệm u n (t) của (3.4) có thể mở rộng ra trên toàn khoảng  0, 

  2 2     2 1   2 1   4 x 4 n L n H o n d u t u t C u t d C dt        với T là một số dương bất kì Lấy tích phân hai vế từ 0 tới t, 0 t T, bất đẳng thức trên, ta có

Trước tiên chúng ta dùng tính bị chặn của   u n trong L 4   T để chứng minh tính bị chặn của   au 3 n  bu n   trong L 4/3    T Thật vậy, từ au 3  bu  C 5  1  u 3  , ta có

L au bu au bu dxdt C u dxdt C u dxdt

Vì vậy,   au n 3  bu n   bị chặn trong L 4/3   T

Tiếp theo chúng ta chứng minh rằng dãy du n dt

  bị chặn trong không gian

  bị chặn trong V * Kết hợp với L 2  0, ; T H 1     và L 4/3    T nhúng liên tục vào L 4/3  0, ; T H  1     L 4/3    , ta thu đƣợc kết quả cần chứng minh

Từ kết quả trên ta có

 au n 3 bu n au 3 bu trong L 4/3   T

 du n du dt  dt trong V *

Từ uV và du * dt V , ta có u  C    0, T L ; 2     Còn lại ta chỉ cần chứng minh

 0 0 u u Để chứng minh u  0 u 0, chọn hàm thử   C 1    0, T H ; 0 1    L 4     với

  và lấy tích phân theo t ở phương trình xấp xỉ nghiệm, ta có

Qua giới hạn khi n  ta thu đƣợc

So sánh (3.7) với (3.8) ta có u(0) = u 0 Vì vậy, u là một nghiệm yếu của bài toán (3.2) Nghiệm u tồn tại toàn cục do bất đẳng thức sau

(ii) Tính duy nhất và sự phụ thuộc liên tục Giả sử u,v là hai nghiệm yếu của (3.2) với điều kiện ban đầu tương ứng là u v 0, 0L 2   Đặt w = u – v thì

0, 0 w t Aw au bu av bv x t w  w u v

2 L H d w w u v au bu av bv dx dt           

Mặt khác,  u v    au 3 bu   av 3 bv dx   b u || v || 2

L H L d b dt      Áp dụng bất đẳng thức Gronwall, ta có

Do đó tính duy nhất nghiệm (nếu u 0 = v 0 ) và sự phụ thuộc liên tục của nghiệm vào điều kiện ban đầu

3.2.2 Sự tồn tại và tính ổn định của nghiệm dừng Định nghĩa: Một hàm u * H 0 1   L 4   được gọi là nghiệm dừng của bài toán (3.2) nếu nó thỏa mãn:

   ,   v H 0 1    L 4    Định lý 3.2 Cho giả thiết g  L 2    Khi đó

(a) Bài toán (3.2) có ít nhất một nghiệm dừng yếu u Hơn nữa, nghiệm dừng yếu của * bài toán thỏa mãn đánh giá

    (b) Nếu ta có giả thiết b 1 thì nghiệm dừng yếu của bài toán (3.2) là duy nhất

Sự tồn tại của nghiệm trong bài toán (3.2) được xác định thông qua các dãy vectơ riêng  e e 1, , 2  của toán tử  Không gian V m được định nghĩa là span của m vectơ riêng đầu tiên, tức là V m span e e  1, , ,2 e m  Nghiệm dừng xấp xỉ của bài toán này được biểu diễn bởi hàm u m.

   Định nghĩa toán tử R m :V m V m cho bởi:

  thì với mọi uV m sao cho u k ta có   R u u m ,    0

Theo hệ quả của định lí điểm bất động Brouwer thì với mỗi m1 tồn tại u m V m sao cho R m   u m  0 với mọi u m  k

Do đó, từ   u m có thể trình ra một dãy con hội tụ yếu đến u * trong H 1 0   L 4  

Do phép nhúng H 0 1    L 2   là compact nên u * chính là nghiệm dừng yếu của bài toán (3.2)

Từ định nghĩa nghiệm dừng, ta có:

+ Tính duy nhất: Đặt f u    au 3  bu  f    u  3a u 2    b b  u

Giả sử bài toán (3.2) có hai nghiệm dừng u 1 * và u * 2 Đặt u * u 1 * u * 2 Khi đó, ta có

Chọn vu * và áp dụng tính chất f u       b u ta đƣợc:

Do đó nếu b 1 thì u *  0 u 1 * u * 2 Định lý đƣợc chứng minh Định lý 3.3 Giả sử g  L 2    và b1 Khi đó, nghiệm dừng u * của bài toán (3.2) là ổn định

Gọi u(t) là nghiệm của bài toán Đặt v t    u t    u *

Nhân cả hai vế của phương trình trên với e  t ta được:

Chọn  đủ nhỏ sao       1 b 0, ta có

    Áp dụng bất đẳng thức Gronwall ta có e v t  t   2  u   0  u * 2 e e  t   t

Vậy, v t   2  u   0  u * 2 e   t với   0 hay nghiệm dừng u * là ổn định mũ

3.3 Tính ổn định của nghiệm dừng của phương trình Navier – Stokes hai chiều

Giả sử  là một miền bị chặn trong 2 với biên  trơn Xét bài toán biên ban đầu đối với hệ phương trình Navier – Stokes hai chiều

(3.10) ở đó u u u 1, 2  T là hàm vecto vận tốc p:  là hàm áp suất, v = const > 0 là hệ số nhớt

* Toán tử A: Giả sử A V: V là các toán tử xác định bởi

Kí hiệu D(A) là miền xác định của A, ta có:

Dễ thấy A là toán tử tuyến tính không bị chặn, tự liên hợp, xác định dương và có nghịch đảo A  1 : H  D A   compact vì phép nhúng H 1 0   L 2   là compact

Do đó phổ của A gồm toàn giá trị riêng    j  j  1 với

0     n  ,  n   khi n  và các hàm riêng tương ứng   w j  j  1  D (A) lập thành một cơ sở trực chuẩn trong H

Khi đó dễ thấy b      , , là một dạng 3 – tuyến tính liên tục trên (H 0 1 ( )) 2 , hay nói riêng trên V Thật vậy, ta có:

  trong đó ta sử dụng phép nhúng H 1     L 4    Ngoài ra, dễ kiểm tra đƣợc

Bổ đề 3.1 (Bất đẳng thức Ladyzhenskaya khi n = 2) Với bất kì tập mở   2 , ta có

Vì C 0    trù mật trong H 0 1   nên ta chỉ cần chứng minh (3.11) đúng với mọi

Tương tự, ta cũng có

Từ đây suy ra điều phải chứng minh

Bài toán 1 Cho trước u 0 H và f  L 2  0, , V T   Tìm hàm u  L 2  0, , V T   thỏa mãn

 với mọi v V và hầu khắp t    0,T Để viết lại Bài toán 1 dưới dạng phương trình toán tử, ta cần bổ đề sau:

Bổ đề 3.3 Giả sử u  L 2  0, , T V  Khi đó hàm Bu xác định bởi

Bu t v b u t u t v với mọi v V , sẽ thuộc L 1  0, , T V  

Với hầu khắp t    0, T , ta có Bu t    V 1 Ta có

Suy ra Bw V  C w 2 với mọi wV

3.3.2 Sự tồn tại và duy nhất nghiệm Định lí 3.4 Cho trước u 0 H và f  L 2  0, , V T   Khi đó Bài toán 1 có duy nhất một nghiệm u thỏa mãn

Ta chứng minh sự tồn tại nghiệm bằng phương pháp xấp xỉ Galerkin

Bước 1 Xây dựng dãy nghiệm xấp xỉ

Giả sử   w j  j  1 là một cơ sở của V gồm toàn các vectơ riêng của toán tử A Với mỗi

1 m , tìm nghiệm xấp xỉ dưới dạng

 , trong đó g im thoả mãn

Trong bài viết này, chúng ta xem xét phương trình vi phân thường với nghiệm xấp xỉ u_m(t) tồn tại trên khoảng thời gian [0, T] Cụ thể, ta có u_0 = P_m u, trong đó P_m là phép chiếu từ H xuống không gian con được sinh bởi m vectơ riêng đầu tiên {w_1, , w_m}.

Bước 2: Xây dựng ƣớc lƣợng tiên nghiệm đối với   u m Nhân hai vế của (3.12) với g jm (t), sau đó lấy tổng theo j từ 1 đến m ta đƣợc

Từ đây, sử dụng bất đẳng thức Cauchy, ta suy ra

Lấy tích phân bất đẳng thức này từ 0 đến t, 0 t T, ta đƣợc

Từ đây suy ra   u m bị chặn trong L   0, ; T H  ;   u m bị chặn trong L 2  0, ; V T 

Dễ thấy,   Au m bị chặn trong L   0, ; V T   ;   Bu m bị chặn trong L 2  0, ; V T  

Vì m m m m m du Au P Bu P f dt     nên suy ra du m dt

Bước 3: Chuyển qua giới hạn

Từ các bước ước lượng tiêm nghiệm ở bước 2, ta có thể giả sử u m u trong L 2  0, ; V T  ;

Au m Au trong L 2  0, ; V T   ; du m du dt  dt trong L 2  0, ; V T  

Bây giờ ta cần chứng minh Bu m Bu trong L 2  0, ; V T   Áp dụng bổ đề Aubin – Lions, ta nhận đƣợc một dãy con của   u m mà ta vẫn kí hiệu là

Ta chứng minh bổ đề sau:

Bổ đề 3.4 Giả sử u m u trong L 2  0, ; V T  và u m  u trong L 2  0, ; H T  Khi đó mới mọi wC Q 1   T ta có

Bởi vậy ta cần xét biểu thức dạng

  ở đó v m v trong L 2  0, ; H T  , w  L 2  0, ; H T  và v m bị chặn đều trong L   0, ; H T 

Từ đó suy ra bổ đề đƣợc chứng minh

Từ các kết quả đã nêu, ta có thể suy ra rằng tồn tại một hàm u thuộc L²(0, T; V) và L∞(0, T; H) thỏa mãn phương trình du + Au + Bu + f dt + ν = 0 trong L²(0, T; V') Để chứng minh u(0) = u₀, ta chọn một hàm thử φ thuộc C¹([0, T; V]) với φ(t) = 0, sau đó thực hiện tích vô hướng của phương trình với φ và tiến hành tích phân từng phần.

Mặt khác, làm tương tự với nghiệm xấp xỉ Galerkin u m ta có:

Sau đó chuyển qua giới hạn khi m  ta đƣợc

Từ đó suy ra  u    0 , 0  u 0, 0  với mọi  và do đó u(0) = u 0

Bước 4 Tính duy nhất và sự phụ thuộc liên tục của nghiệm vào điều kiện ban đầu

Giả sử u 1 , u 2 là hai nghiệm của bài toán đã cho với dữ kiện ban đầu lần lƣợt là u 01 ,u 02 Đặt u u 1 u 2 , ta có

Nhân hai vế phương trình này với u ta có

Sử dụng Bổ đề 3.2, ta có

Từ đây suy ra điều phải chứng minh

3.3.3 Tính ổn định của nghiệm dừng

Ta giới thiệu số Grashoff suy rộng sau đây

Giả sử c 0 là hằng số tốt nhất trong bất đẳng thức Ladyzhenskaya (từ Bổ đề 3.1 ta biết rằng

L L L u c u u  u H  Đầu tiên, ta chứng minh kết quả sau Định lí 3.5 Giả sử rằng

Trong bất đẳng thức Ladyzhenskaya, tồn tại một hằng số tốt nhất Khi đó, bài toán (3.10) chỉ có một nghiệm duy nhất, được ký hiệu là u* thuộc không gian V, và nghiệm này là ổn định mũ toàn cục.

Giả sử  w w 1, 2, , là tập hợp các vectơ riêng của toán tử A Không gian con V sinh bởi các vectơ w 1, ,w m được ký hiệu là V m Mục tiêu là tìm nghiệm xấp xỉ u m cho bài toán dừng dưới dạng.

   với mọi v V m Để chứng minh sự tồn tại của u m , xét toán tử R m :V m V m bởi

Bởi vậy, nếu ta lấy

Ta có ((R u u m , ))0 với mọi uV m thỏa mãn u  Do đó từ hệ quả của định lí điểm bất động Brower ta có với mỗi m1, tồn tại u m V m thỏa mãn R m   u m 0 Lấy vu m , ta có

Từ đó ta có thể trích ra một dãy con u m u * trong V

Vì phép nhúng V H là compact, dễ chứng minh đƣợc u * là một nghiệm dừng của bài toán (3.10) và

Bây giờ ta chứng minh tính duy nhất và tính ổn định của nghiệm dừng u * Chú ý rằng mỗi nghiệm ( )u t của (3.10) đều có thể viết dưới dạng u t( )u * v t( ), ở đó ( )v t thỏa mãn

Nhân cả 2 vế phương trình này với v, ta có

( ) ( ) (0) (0) t v t  u t u  u u  u u e   Định lý đƣợc chứng minh