Tính ổn định nghiệm của phương trình vi phân và phương trình đạo hàm riêng

TRƢỜNG ĐẠI HỌC HÙNG VƢƠNG KHOA KHOA HỌC TỰ NHIÊN - ĐỖ THU HỒI TÍNH ỔN ĐỊNH NGHIỆM CỦA PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN VÀ PHƯƠNG TRÌNH ĐẠO HÀM RIÊNG KHĨA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC Ngành: Sư phạm Tốn Phú Thọ, 2019 TRƢỜNG ĐẠI HỌC HÙNG VƢƠNG KHOA: KHOA HỌC TỰ NHIÊN - ĐỖ THU HỒI TÍNH ỔN ĐỊNH NGHIỆM CỦA PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN VÀ PHƯƠNG TRÌNH ĐẠO HÀM RIÊNG KHĨA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC Ngành: Sƣ phạm Toán học Giảng viên hƣớng dẫn: TS.Đặng Thị Phƣơng Thanh Phú Thọ, năm 2019 LỜI CẢM ƠN Trong suốt thời gian làm khóa luận tốt nghiệp, ngồi nỗ lực thân, tơi cịn nhận giúp đỡ, bảo tận tình thầy giáo, cô giáo Khoa Khoa học tự nhiên, Trường Đại học Hùng Vương Tơi xin bày tỏ lịng biết ơn sâu sắc tới cô giáo TS Đặng Thị Phương Thanh Giảng viên Khoa Khoa học tự nhiên, trường Đại học Hùng Vương Cô dành nhiều thời gian quý báu, tận tình hướng dẫn, bảo tơi q trình thực khóa luận, đồng thời giúp lĩnh hội kiến thức chuyên môn rèn luyện cho tác phong làm việc khoa học Qua đây, xin gửi lời cảm ơn chân thành sâu sắc đến thầy cô giáo giảng viên Khoa Khoa học tự nhiên, trường Đại học Hùng Vương, gia đình, bạn bè người sát cánh, ủng hộ, động viên tạo điều kiện cho tơi suốt q trình học tập q trình thực hồn chỉnh khóa luận Mặc dù cố gắng, song khóa luận khơng tránh khỏi hạn chế thiếu sót Vì tơi mong nhận góp ý thầy giáo bạn để khóa luận hồn thiện Tơi xin chân thành cảm ơn! Việt Trì, tháng 05 năm 2019 Sinh viên Đỗ Thu Hoài MỤC LỤC Lý chọn đề tài khóa luận 2 Mục tiêu khóa luận Nhiệm vụ nghiên cứu Phƣơng pháp nghiên cứu Đối tƣợng phạm vi nghiên cứu .3 Ý nghĩa khoa học thực tiễn Bố cục khóa luận CHƢƠNG I: KIẾN THỨC CƠ SỞ 1.1 Phƣơng trình vi phân 1.1.1 Phƣơng trình vi phân tuyến tính cấp 1.1.2 Một số phương trình vi phân với phi tuyến tính cấp 1.2 Hệ phƣơng trình vi phân 19 1.2.1 Hệ phƣơng trình vi phân tuyến tính .19 1.2.2 Hệ vi phân tuyến tính với hệ số 21 1.2.3 Phương trình vi phân tuyến tính cấp cao 22 1.3 Phƣơng trình đạo hàm riêng 24 CHƢƠNG 2: TÍNH ỔN ĐỊNH NGHIỆM CỦA PHƢƠNG TRÌNH VI PHÂN 29 2.1 Lí thuyết ổn định 29 2.2 Tính ổn định hệ tuyến tính 29 2.3 Tính ổn định nghiệm hệ tựa tuyến tính 33 2.4 Tính ổn định nghiệm hệ phi tuyến tính 37 2.4.1 Phương pháp tuyến tính hóa 37 2.4.2 Phương pháp hàm Lyapunov 40 CHƢƠNG .45 TÍNH ỔN ĐỊNH NGHIỆM DỪNG CỦA PHƢƠNG TRÌNH VI PHÂN VÀ PHƢƠNG TRÌNH ĐẠO HÀM RIÊNG 45 3.1 Tính ổn định điểm dừng phƣơng trình vi phân 45 3.2 Tính ổn định nghiệm dừng phƣơng trình phản ứng - khuếch tán .49 3.3 Tính ổn định nghiệm dừng phƣơng trình Navier – Stokes hai chiều 57 3.3.1 Các toán tử 58 3.3.2 Sự tồn nghiệm .60 TÀI LIỆU THAM KHẢO 67 MỞ ĐẦU Lý chọn đề tài khóa luận Nhiều vấn đề khoa học cơng nghệ đƣa đến việc giải phƣơng trình vi phân thƣờng, phƣơng trình đạo hàm riêng Chẳng hạn, tốn tính độ lệch đứng dầm vơ hạn dẫn đến giải phƣơng trình vi phân thƣờng; phƣơng trình truyền sóng, truyền nhiệt phƣơng trình đạo hàm riêng Vấn đề đặt tìm lời giải cho phƣơng trình vi phân, đạo hàm riêng vấn đề khoa học công nghệ đƣa đến Có nhiều hƣớng tiếp cận dựa nhiều lí thuyết tốn học khác việc giải vấn đề nhƣ: điều kiện tồn nghiệm, ổn định nghiệm; giải tìm nghiệm đúng, nghiệm gần đúng, nghiệm suy rộng, Ổn định lý thuyết quan trọng lý thuyết định tính phƣơng trình vi phân đạo hàm riêng có nhiều ứng dụng để giải nhiều toán thuộc lĩnh vực vật lý, kỹ thuật, học, kinh tế,…Việc nghiên cứu toán ổn định hệ động lực đƣợc cuối kỷ trƣớc nhà toán học Nga A.M.Liapunov ngày trở thành hƣớng nghiên cứu thiếu lý thuyết phƣơng trình vi phân tất định ngẫu nhiên Trong năm gần đây, tính ổn định nghiệm đƣợc nghiên cứu cho số lớp phƣơng trình nửa tuyến tính số lớp phƣơng trình học Do đó, vấn đề thời thu hút đƣợc quan tâm nhiều nhà tốn học ngồi nƣớc Với mong muốn tìm hiểu thêm vấn đề nên tơi chọn nội dung: “ Tính ổn định nghiệm phƣơng trình vi phân phƣơng trình đạo hàm riêng” Mục tiêu khóa luận - Minh họa ứng dụng kết lý thuyết ví dụ liên quan đến thực tiễn - Chứng minh đƣợc tính ổn định nghiệm dừng phƣơng trình phản ứng khuếch tán Nhiệm vụ nghiên cứu - Tìm hiểu sở lý thuyết phƣơng trình vi phân, hệ phƣơng trình vi phân, phƣơng trình đạo hàm riêng lý thuyết ổn định - Nghiên cứu tính ổn định nghiệm phƣơng trình vi phân phƣơng trình đạo hàm riêng Phƣơng pháp nghiên cứu - Phƣơng pháp nghiên cứu lý luận: Nghiên cứu giáo trình, tài liệu liên quan tới phƣơng trình vi phân, phƣơng trình đạo hàm riêng lý thuyết ổn định, - Phƣơng pháp tổng kết: Từ việc nghiên cứu tài liệu, giáo trình, tổng hợp hệ thống hóa kiến thức cáchđầy đủ khoa học - Một phƣơng pháp đặc trƣng nghiên cứu phƣơng trình vi phân, phƣơng trình đạo hàm riêng nhƣ: Phƣơng pháp đại số hóa, phƣơng pháp lƣợng, Đối tƣợng phạm vi nghiên cứu - Đối tƣợng nghiên cứu: Phƣơng trình vi phân phƣơng trình đạo hàm riêng - Phạm vi nghiên cứu: Tính ổn định nghiệm Ý nghĩa khoa học thực tiễn Khóa luận hệ thống kiến thức phƣơng trình vi phân, phƣơng trình đạo hàm riêng lý thuyết ổn định, từ đó, góp phần làm rõ tính ổn định nghiệm phƣơng trình vi phân phƣơng trình đạo hàm riêng qua ví dụ minh họa tập Khóa luận tài liệu tham khảo hữu ích sinh viên ngành tốn học tập nghiên cứu phƣơng trình vi tích phân lý thuyết ổn định Bố cục khóa luận Ngồi phần mở đầu, kết luận tài liệu tham khảo, khóa luận dự kiến gồm chƣơng Cụ thể nhƣ sau: Chương Kiến thức sở 1.1 Phƣơng trình vi phân 1.2 Hệ phƣơng trình vi phân 1.3 Phƣơng trình đạo hàm riêng 1.4 Lý thuyết ổn định Chương Tính ổn định nghiệm phương trình vi phân 2.1 Tính ổn định nghiệm hệ tuyến tính 2.2 Tính ổn định nghiệm hệ tựa tuyến tính 2.3 Tính ổn định nghiệm hệ phi tuyến tính 2.3.1 Phƣơng pháp tuyến tính hóa 2.3.2 Phƣơng pháp hàm Lyapunov Chương Tính ổn định nghiệm dừng phương trình vi phân phương trình đạo hàm riêng 3.1 Tính ổn định điểm dừng phƣơng trình vi phân 3.2 Tính ổn định nghiệm dừng phƣơng trình phản ứng - khuếch tán 3.3 Tính ổn định nghiệm dừng phƣơng trình Navier – Stokes hai chiều CHƢƠNG I: KIẾN THỨC CƠ SỞ 1.1 Phƣơng trình vi phân Một phƣơng trình vi phân thƣờng (gọi tắt phƣơng trình vi phân) phƣơng trình chứa ẩn hàm x  x(t ) biến độc lập t  , đạo hàm x, x, x, ẩn hàm Cấp phƣơng trình vi phân cấp cao đạo hàm ẩn hàm có mặt phƣơng trình Nhƣ vậy, phƣơng trình vi phân cấp n có dạng: F (t , x, x, , x( n) )  (1.1) F hàm biết Phƣơng trình (1.1) gọi tuyến tính F hàm tuyến tính biến x, x, , x( n ) ; trƣờng hợp ngƣợc lại, phƣơng trình (1.1) gọi phi tuyến Phƣơng trình (1.1) gọi ơ-tơ-nơm F khơng phụ thuộc tƣờng minh vào t, tức F  F ( x, x, , x( n ) ) , gọi không ô-tô-nôm F phụ thuộc tƣờng minh vào t Nói riêng, phƣơng trình vi phân cấp viết dƣới dạng F (t , x, x)  (1.2) Hàm x  x(t ), t  I gọi nghiệm (còn gọi nghiệm tƣờng minh) (1.2) F (t , x(t ), x(t ))  I Hệ thức  (t , x)  gọi nghiệm ẩn (1.2) xác định nhiều hàm x   (t ) thỏa mãn F (t , (t), (t))  Mặc dù ta khơng giải đƣợc tƣờng minh x từ hệ thức  (t , x)  nhƣng ta tính đƣợc  (t )   t  x  x Ta thƣờng giả thiết phƣơng trình (1.1) giải đƣợc đạo hàm cấp cao nhất, tức viết (1.1) dƣới dạng x( n )  f  t , x, x, , x ( n1)  (1.3) hàm f hàm biết Khi đó, cách đặt y1  x, y2  x, , yn  x( n1) , ta viết (1.1) dƣới dạng vi phân vectơ cấp một, hay hệ phƣơng trình vi phân cấp một, dạng y  F (t , y) , y  ( y1 , y2 , , yn ) Vì vây, khơng giảm tính tổng qt, ta chủ yếu xét phƣơng trình vi phân cấp Một họ hàm y(t; C1 , C2 , , Cn ) phụ thuộc vào t n tham số C1 , C2 , , Cn (thay đổi tập M  n ) gọi nghiệm tổng quát phƣơng trình vi phân cấp n (1.3) thỏa mãn hai điều kiện sau: - Thứ nhất: Mỗi hàm y(t , C1 , C2 , , Cn ) nghiệm phƣơng trình vi phân (1.3) với cách chọn tham số (C1 , C2 , , Cn )  M ; - Thứ hai: Mọi nghiệm (1.3) nhận đƣợc theo cách Trong ứng dụng, để đảm bảo tính nghiệm để nghiệm mơ tả xác tƣợng xét, ta thƣờng quan tâm đến nghiệm (1.3) thỏa mãn điều kiện bổ sung đó, thƣờng điều kiện ban đầu điều kiện biên Chẳng hạn, điều kiện ban đầu (1.3) có dạng x(t0 )  x0 , x(t )  x1, x( n1) (t0 )  xn1 t0  ,  x0 , x1 , , xn1   n (1.4) cho trƣớc Bài tốn tìm nghiệm phƣơng trình (1.3) thỏa mãn điều kiện (1.4) gọi toán giá trị ban đầu hay tốn Cauchy Ta thƣờng phải tìm nghiệm x(t) khoảng I chứa điểm t0 Một tốn phƣơng trình vi phân gọi toán đặt hay toán đặt chỉnh tồn nghiệm, nghiệm nghiệm phụ thuộc liên tục vào kiện cho Nếu toán vi phạm ba điều kiện ta có tốn đặt khơng hay tốn đặt khơng chỉnh 1.1.1 Phƣơng trình vi phân tuyến tính cấp Phƣơng trình vi phân có dạng x  p(t ) x  q(t), (1.5) p(t) q(t) hàm liên tục khoảng I  , gọi phương trình vi phân tuyến tính cấp Nếu q(t )  , phƣơng trình (1.5) gọi nhất; trái lại, phƣơng trình gọi khơng Để giải phƣơng trình (1.5), ta tìm hàm khả vi  (t),  (t)  với t  I , gọi nhân tử tích phân (1.5), cho  (t ) x(t )   (t ) p(t ) x(t )  (  (t ) x(t )) (1.6) Khi ta giải đƣợc phƣơng trình (1.5) cách tích phân hai vế đẳng thức    t  x  t      t  q  t  Khai triển vế phải (1.6), ta đƣợc  (t ) x(t )   (t ) p(t ) x(t)     t  x  t    t  x  t  Giả sử x  t   chia hai vế cho x(t), ta đƣợc d  (t )  p(t )dt  (t ) Lấy tích phân hai vế phƣơng trình này, ta đƣợc   t   exp  p t  dt  e P (t ) , với P(t )   p(t )dt Để tìm nghiệm tổng quát (1.4) ta lấy tích phân hai vế hệ thức    t  x t     t  q t  đƣợc   t  x  t   C     t  q(t )dt , C số Thay   t   e P t  , ta đƣợc   x  t   e P (t ) C   e P (t ) q(t )dt , với P(t)   p(t )dt (1.7) Nếu x(t) nghiệm (1.5) x(t) có dạng (1.7) Ngƣợc lại, dễ dàng chứng minh đƣợc với C  , x(t) cho (1.7) nghiệm (1.5) Vì vậy, ta gọi x(t) cho (1.7) nghiệm tổng quát cuả (1.5) Nhƣ trƣờng hợp đặc biệt (1.7), q(t)  , nghiệm tổng quát phƣơng trình tƣơng ứng x  p(t ) x  , cho x  t   Ce  P t  , với P  t    p(t )dt , t  I  du  Tiếp theo chứng minh dãy  n  bị chặn không gian  dt  L4/3  0, T ; H 1     L4/3     Thật vậy, từ dun  un   aun3  bun   g , dt  du  Suy  n  bị chặn V* Kết hợp với L2 0, T ; H    L4/3  T  nhúng liên  dt      tục vào L4/3 0, T ; H 1     L4/3    , ta thu đƣợc kết cần chứng minh Từ kết ta có    un  u L2 0,T;H10     un  u L4  T   aun3  bun  au  bu L4/3  T   dun du V*  dt dt Từ u V   du  V * , ta có u  C 0, T ; L2    Còn lại ta cần chứng minh dt u    u0  Để chứng minh u    u0 , chọn hàm thử   C1 0, T ; H 01    L4     với  T   lấy tích phân theo t phƣơng trình xấp xỉ nghiệm, ta có T   u ,  n dt   u    au n n   bun   g dxdt   un   ,    T Qua giới hạn n   ta thu đƣợc T   u,  dt   u   au   bu   g dxdt   u0   ,    T Vì vậy, un    u0 Mặt khác, 53 (3.7) T   u ,  n dt   u    au n   bun   g dxdt   u   ,    n T (3.8) So sánh (3.7) với (3.8) ta có u(0) = u0 Vì vậy, u nghiệm yếu toán (3.2) Nghiệm u tồn toàn cục bất đẳng thức sau u t  L2     e 1t u   L2     C4 1 1  e   1t (ii) Tính phụ thuộc liên tục Giả sử u,v hai nghiệm yếu (3.2) với điều kiện ban đầu tƣơng ứng u0 , v0  L2    Đặt w = u – v  wt  Aw   au  bu    av3  bv   0,   w   0, w    u0  v0 x  , t  Do đó,   1d 2 w L2    w H      u  v   au  bu    av3  bv  dx  dt  Mặt khác,   u  v   au   bu    av3  bv  dx  b || u  v ||2 nên ta có  d w dt L2    2 w H 01     2b w L2    Áp dụng bất đẳng thức Gronwall, ta có w t  L2     w  0 L2    e2bt Do tính nghiệm (nếu u0 = v0) phụ thuộc liên tục nghiệm vào điều kiện ban đầu 3.2.2 Sự tồn tính ổn định nghiệm dừng Định nghĩa: Một hàm u*  H 01    L4    gọi nghiệm dừng tốn (3.2) thỏa mãn: u , v     au *  *3   bu* vdx   g  x  vdx , v  H 01     Định lý 3.2 Cho giả thiết g  L2    Khi 54 L4    (a) Bài tốn (3.2) có nghiệm dừng yếu u * Hơn nữa, nghiệm dừng yếu toán thỏa mãn đánh giá u * a u * L4 b2   g a 1 (b) Nếu ta có giả thiết b  1 nghiệm dừng yếu toán (3.2) Chứng minh: + Sự tồn tại: Đặt e1 , e2 ,  dãy vectơ riêng toán tử  Đặt Vm  spane1 , e2 , , em  không gian sinh m vectơ riêng  Một m nghiệm dừng xấp xỉ toán (3.2) hàm u có dạng: u   Cmi ei thỏa mãn: m m i 1 u , e     a u  m m i    bu m ei dx   g  x  ei dx  3.9   Định nghĩa toán tử Rm : Vm  Vm cho bởi:  R u, v    u, v    f u  vdx   g  x  vdx , m  u, v Vm  Với u Vm , ta có:   R u, u    m u    au  bu  udx- g  x  udx   a b2  u   u dx  g u 2 2a  u  a b2  2 u L4   1u  g 2a 21 a b2  u  u L4   g 2a 21  b2 2 Chọn k     g  1 a  với u Vm cho u  k ta có 55   R u, u    m Theo hệ định lí điểm bất động Brouwer với m  tồn u m Vm   cho Rm u m  với u m  k m Suy u   a m b2  u 4   g  u m bị chặn H 01    L a 1 L4      Do đó, từ u m trình dãy hội tụ yếu đến u* H 01    L4    Do phép nhúng H 01     L2    compact nên u* nghiệm dừng yếu tốn (3.2) Từ định nghĩa nghiệm dừng, ta có: u , u     au * *   u   u * *3   bu* u*dx   g  x  u*dx  a * b2 b2 1 u 4   g u*   g  u* 2a 21 2 L 2a a u * L4 b2   g a 1 + Tính nhất: Đặt f  u   au  bu  f   u   3au  b  b u Giả sử tốn (3.2) có hai nghiệm dừng u1* u2* Đặt u*  u1*  u2* Khi đó, ta có u , v     f u   f u  vdx  * * *  Chọn v  u* áp dụng tính chất f   u   b u ta đƣợc: u*     f  u1*   f  u2*  vdx  b u *   u*  b 1 u* Do b  1 u*   u1*  u2* Định lý đƣợc chứng minh Định lý 3.3 Giả sử g  L2    b  1 Khi đó, nghiệm dừng u* tốn (3.2) ổn định Chứng minh: Gọi u(t) nghiệm toán Đặt v  t   u  t   u* 56     d v  t  , w  t    v  t  , u  t     f  u   f  u *  wdx  dt  Ta có  w  L2  0, T ; H 01      L4  0, T ; L4     Thay w(t) v(t) ta đƣợc:   2 1d v  t   v  t    f  u   f  u *  vdx = dt  Nhân hai vế phƣơng trình với et ta đƣợc:     2 d t e v  t   et v  t   et v  t    et f  u   f  u *  vdx  dt   2 2 d t e v  t   et v  t   et 1 v  t   et b v  t   dt  2 d t e v  t   et    1  b  v  t  dt   Chọn  đủ nhỏ   1    b  , ta có   2 d t e v  t    et v  t  dt Áp dụng bất đẳng thức Gronwall ta có et v  t   u    u* et e t 2 Vậy, v  t   u    u* e t với   hay nghiệm dừng u* ổn định mũ 2 3.3 Tính ổn định nghiệm dừng phƣơng trình Navier – Stokes hai chiều Giả sử  miền bị chặn với biên  trơn Xét toán biên ban đầu hệ phƣơng trình Navier – Stokes hai chiều  u  t  vu  (u.)u  p  f ,  .u  u  x, t    u  x,0   u0  x  u   u1 , u2  hàm vecto vận tốc p :   T số nhớt 57 x  , t  x  , t  (3.10) x  , t  x hàm áp suất, v = const > hệ 3.3.1 Các toán tử * Toán tử A: Giả sử A : V  V  toán tử xác định Au, v  ((u, v)) với u, v V Kí hiệu D(A) miền xác định A, ta có: D  A  u  H : Au  H    H     V Dễ thấy A toán tử tuyến tính khơng bị chặn, tự liên hợp, xác định dƣơng có nghịch đảo A1 : H  D  A compact phép nhúng H 01     L2    compact Do phổ A gồm toàn giá trị riêng  j   j 1  1  2   n  , hàm riêng tƣơng ứng w j   j 1 với n   n    D(A) lập thành sở trực chuẩn H * Toán tử B: Đặt b  u, v, w     ui i , j 1  v j xi w j dx Khi dễ thấy b  , ,  dạng – tuyến tính liên tục ( H 01 ())2 , hay nói riêng V Thật vậy, ta có: b  u , v, w     ui  i , j 1 v j xi wj     v     ui dx    j dx   i , j 1      xi  C u C u L4 H 01 v v H 01 H 01 w 2 w j dx  L4 v H 01 ta sử dụng phép nhúng H     L4    Ngoài ra, dễ kiểm tra đƣợc b  u, v, w   b  u, w, v  với u, v, w V 58 Nói riêng b(u,v,w) = 0, với u, v V Bổ đề 3.1 (Bất đẳng thức Ladyzhenskaya n = 2) Với tập mở   v L4    2 v L2    v 2 với v  H 01    L2    , ta có (3.11) Chứng minh: Vì C0    trù mật H 01    nên ta cần chứng minh (3.11) với v  C0    Với v  C0    , ta có x1 v  x    v 1 , x2   Suy v  x   v1  x2  , v1  x2     v 2 , x2  d1 x1 v 1 , x2   v 1 , x2  d1 x1 Tƣơng tự, ta có v  x   v2  x1  , v2  x1    v  x1 , 1  d2 x1  v  x ,  1  Từ suy       v x d x v x d x v x d x  v x v x d x             2   1  2 2 2  v  v L2   x1 2 v x2 L2   L2   2 v 2 L2   v L   2 Từ suy điều phải chứng minh 1 Bổ đề 3.2 Ta có b  u, v, w  2 u u v w2 w  u , v, w  V Chứng minh: Ta có  v v  4 b  u, v, w     ui j w j     ui     j xi  i , j 1    i , j 1  xi  i , j 1 2 59 2  2   wj    i , j 1   2 mà u i L4 i 1 2 2 u i L2 i 1 ui L2  u u , nên suy b  u, v, w   u u v w2 w Bài toán Cho trƣớc u0  H f  L2  0, T , V  Tìm hàm u  L2  0, T , V thỏa mãn d  (u, v)  v((u, v))  b(u, u, v)  f , v với v V hầu khắp t   0,T   dt  u (0)  u0 Để viết lại Bài toán dƣới dạng phƣơng trình tốn tử, ta cần bổ đề sau: Bổ đề 3.3 Giả sử u  L2  0, T ,V  Khi hàm Bu xác định Bu  t  , v  b  u  t  , u  t  , v  với v V , thuộc L1  0, T ,V   Chứng minh: Với hầu khắp t  0, T  , ta có Bu  t  V Ta có Bu  t  , v  b  u  t  , u  t  , v   C u (t ) v , Suy Bw T Do  V C w v V với w V Bw(t ) V  dt  C  w  t  V dt   Vậy, Bu  L2  0, T ,V  3.3.2 Sự tồn nghiệm Định lí 3.4 Cho trước u0  H f  L2  0, T , V  Khi Bài tốn có nghiệm u thỏa mãn u  C 0, T ; H  L2  0, T ,V  Chứng minh: Ta chứng minh tồn nghiệm phƣơng pháp xấp xỉ Galerkin Bước Xây dựng dãy nghiệm xấp xỉ 60 Giả sử w j   sở V gồm toàn vectơ riêng toán tử A Với j 1 m  1, tìm nghiệm xấp xỉ dƣới dạng m u m  t    gim  t  wi , i 1 gim thoả mãn  du m  t   , w j     u m  t  , w j   b  u m  t  , u m  t  , w j   f (t ), w j , j  1, , m   dt   m u    u0 m   (3.12) u0 m  Pmu0 , với Pm phép chiếu từ H xuống spamw1 , , w m  , không gian sinh m vectơ riêng Từ lí thuyết phƣơng trình vi phân thƣờng suy nghiệm xấp xỉ um(t) tồn nghiệm  0,T    Bước 2: Xây dựng ƣớc lƣợng tiên nghiệm u m Nhân hai vế (3.12) với gjm(t), sau lấy tổng theo j từ đến m ta đƣợc  u  t  , u  t     u  t  m m m  f t  , u m t  Từ đây, sử dụng bất đẳng thức Cauchy, ta suy 2 d m u  t   2 u m  t   f  t  * u m  t    u m  t   f t  * dt  2 d m u t    u m t   f t  * dt  Do Lấy tích phân bất đẳng thức từ đến t,  t  T , ta đƣợc u m t  t   u m s ds  u0 m  1 f s  * ds  u0    Từ suy u m bị chặn L  0, T ; H  ; Dễ thấy, T f t   * dt u  bị chặn L  0,T ;V  m  Au  bị chặn L  0,T ;V ; Bu  bị chặn L  0,T ;V m  m  du m  du m m m   Au  Pm Bu  Pm f nên suy  Vì  bị chặn L  0, T ;V  dt  dt  61 Bước 3: Chuyển qua giới hạn Từ bƣớc ƣớc lƣợng tiêm nghiệm bƣớc 2, ta giả sử u m  u L2  0, T ;V  ; Au m  Au L2  0, T ;V  ; du m du  L2  0, T ;V  dt dt Bây ta cần chứng minh Bu m  Bu L2  0, T ;V    Áp dụng bổ đề Aubin – Lions, ta nhận đƣợc dãy u m mà ta kí hiệu u  thỏa mãn u m m  u L2  0, T ;H  Ta chứng minh bổ đề sau: Bổ đề 3.4 Giả sử u m  u L2  0, T ;V  u m  u L2  0, T ;H  Khi w  C1  QT  ta có T T  b  u  t  , u  t  , w  t   dt   b u t  , u t  , w t   dt m m 0 Chứng minh: Ta có T T i , j 1  w j T m m m m m  b  u t  , u t  , w t   dt   b u , w, u  dt      u  i xi u  m j dxdt Do T  b u w w   , u , w dt   b  u, u, w  dt      uim  ui  j u j   u mj  ui  j uim dxdt xi xi i , j 1    T m T m Bởi ta cần xét biểu thức dạng T Em     v m  v  wv m dxdt , 0 v m  v L2  0, T ;H  , w  L2  0, T ;H  vm bị chặn L  0, T ;H  Do wv m L2  0,T ;H   w L2  0,T ;H  vm L  0,T ;H  nên Em  62 Từ suy bổ đề đƣợc chứng minh Từ kết suy tồn hàm u  L2  0, T ;V  L  0, T ;H  thỏa mãn du   Au  Bu  f L2  0, T ;V  , dt hay du  t    Au  t   Bu  t   f t  V  với hầu khắp t  0, T  dt Để chứng minh u(0) = u0 ta chọn hàm thử   C1 0, T ;V  với   t   , lấy tích vơ hƣớng phƣơng trình với  , sau tích phân phần ta đƣợc T T T 0    u  t  ,   t   dt     u  t  ,  t   dt   b  u  t  , u  t  ,  t   dt T   u   ,      f  t  ,   t  dt Mặt khác, làm tƣơng tự với nghiệm xấp xỉ Galerkin um ta có: T T T 0    u  t  ,   t   dt     u m  t  ,  t   dt   b  u m  t  , u m  t  ,  t   dt m T   u m   ,      f  t  ,   t  dt Sau chuyển qua giới hạn m   ta đƣợc T T T 0    u  t  ,   t   dt     u  t  ,  t   dt   b  u  t  , u  t  ,  t   dt T   u0 ,      f  t  ,  t  dt Từ suy  u   ,      u0 ,    với  u(0) = u0 Bước Tính phụ thuộc liên tục nghiệm vào điều kiện ban đầu Giả sử u1, u2 hai nghiệm toán cho với kiện ban đầu lần lƣợt u01 , u02 Đặt u  u1  u2 , ta có 63 u   Au   Bu1  Bu2  u    u01  u02 Nhân hai vế phƣơng trình với u ta có d u  t   2 u  t   2b  u2  t  , u2  t  , u  t    2b  u1  t  , u1  t  , u  t   dt  2b  u  t  , u2  t  , u  t   Sử dụng Bổ đề 3.2, ta có 2 2 2 d u  t   2 u  t   u  t  u  t  ut  t   2 u  t   u  t  u2  t  dt  Do 2 d u  t   u  t  u2  t  dt  Suy t  2 u  t   u   exp   u2  s  ds  0  Từ suy điều phải chứng minh 3.3.3 Tính ổn định nghiệm dừng Ta giới thiệu số Grashoff suy rộng sau G f  1 Giả sử c0 số tốt bất đẳng thức Ladyzhenskaya (từ Bổ đề 3.1 ta biết c0  ): u L4  c0 u L2 u L2 , u  H 01 () Đầu tiên, ta chứng minh kết sau Định lí 3.5 Giả sử f  1  , c02 c0 số tốt bất đẳng thức Ladyzhenskaya Khi tốn (3.10) có nghiệm dừng u* V nghiệm dừng ổn định mũ toàn cục 64 Chứng minh Giả sử w1 , w2 , , sở gồm vecto riêng toán tử A Không gian V sinh w1 , , wm kí hiệu Vm Tìm nghiệm xấp xỉ u m toán dừng dƣới dạng m u m    mi wi , i 1     u m , v   b  u m , u m , v   f , v với v Vm Để chứng minh tồn u m , xét toán tử Rm : Vm  Vm   R u, v     m Au, v  b u, u, v  f , v , u, v Vm Với u Vm , ta có   R u, u     u  b(u, u, u )  f , u m dddddddd   u  f u 11/2 Bởi vậy, ta lấy  f 11/2 Ta có (( Rmu, u))  với u Vm thỏa mãn u   Do từ hệ định lí điểm bất động Brower ta có với m  1, tồn um Vm thỏa mãn Rm  um   Lấy v  u m , ta có um  f 11/2 Từ ta trích dãy u m  u* V Vì phép nhúng V  H compact, dễ chứng minh đƣợc u * nghiệm dừng toán (3.10) u*  f 11/2 Bây ta chứng minh tính tính ổn định nghiệm dừng u * Chú ý nghiệm u (t ) (3.10) viết dƣới dạng u(t )  u*  v(t ), v(t ) thỏa mãn t v   Av  B(v, v)  B(v, u* )  B(u* , v)  Nhân vế phƣơng trình với v , ta có 65 d 2 v  2 v  2b(v, v, u * )  2c02 v v u * dt 1 2 fffffffffffffffffff  2c  v u *  2c021 f v Từ d 2 v  2(  c0211 1 f ) v  dt d 2 v   v  0, dt       c0211 1 f 11  Do f  1  , suy c02 2 v(t )  u (t )  u*  u (0)  u*  u (0)  u * e  t Định lý đƣợc chứng minh 66 TÀI LIỆU THAM KHẢO Tiếng Việt [1] Cung Thế Anh(chủ biên) (2012), Cơ sở lí thuyết hệ động lực vô hạn chiều, Nhà xuất ĐH Sƣ phạm [2] Trần Đức Vân, Giáo trình Phƣơng trình vi phân đạo hàm riêng, (in lần thứ II), NXB ĐHQG HN (2005) [3] Nguyễn Thế Hoàn – Phạm Thu, Cơ sở phƣơng trình vi phân lý thuyết ổn định,NXB Giáo dục Tiếng Anh [4] J.C Robinson (2011), Infinite-Dimensional Dynamical Systems, Cambridge University Press,Cambridge 67 ... Phƣơng trình đạo hàm riêng 1.4 Lý thuyết ổn định Chương Tính ổn định nghiệm phương trình vi phân 2.1 Tính ổn định nghiệm hệ tuyến tính 2.2 Tính ổn định nghiệm hệ tựa tuyến tính 2.3 Tính ổn định nghiệm. .. lý thuyết phƣơng trình vi phân, hệ phƣơng trình vi phân, phƣơng trình đạo hàm riêng lý thuyết ổn định - Nghiên cứu tính ổn định nghiệm phƣơng trình vi phân phƣơng trình đạo hàm riêng Phƣơng pháp... tuyến tính 2.3.1 Phƣơng pháp tuyến tính hóa 2.3.2 Phƣơng pháp hàm Lyapunov Chương Tính ổn định nghiệm dừng phương trình vi phân phương trình đạo hàm riêng 3.1 Tính ổn định điểm dừng phƣơng trình vi