Luận án tập hút của một số lớp phương trình đạo hàm riêng với trễ vô hạn (tt)

B GIO DC V O TO TRNG I HC S PHM H NI * NG TH PHNG THANH TP HT CA MT S LP PHNG TRèNH O HM RIấNG VI TR Vễ HN Chuyờn ngnh: Phng trỡnh vi phõn v tớch phõn Mó s: 62 46 01 03 TểM TT LUN N TIN S TON HC H Ni - 2017 Lun ỏn c hon thnh ti: Trng i hc S phm H Ni Ngi hng dn khoa hc: PGS TS Cung Th Anh Phn bin 1: GS.TSKH Nguyn Vn Mu, Trng i hc Khoa hc T nhiờn, i hc Quc gia H Ni Phn bin 2: PGS.TS H Tin Ngon, Vin Toỏn hc, Vin Hn lõm Khoa hc v Cụng ngh Vit Nam Phn bin 3: PGS.TSKH Nguyn Thiu Huy, Trng i hc Bỏch khoa H Ni Lun ỏn s c bo v trc Hi ng chm lun ỏn cp Trng hp ti Trng i hc S phm H Ni vo hi gi ngy thỏng nm Cú th tỡm hiu lun ỏn ti th vin: Th vin Quc Gia, H Ni hoc Th vin Trng i hc S phm H Ni M U L DO CHN TI Cỏc phng trỡnh o hm riờng cú tr xut hin nhiu cỏc quỏ trỡnh ca vt lớ v sinh hc, chng hn cỏc quỏ trỡnh truyn nhit v khuch tỏn, quỏ trỡnh truyn súng c hc cht lng, cỏc mụ hỡnh qun th sinh hc Vic nghiờn cu nhng lp phng trỡnh ny cú ý ngha quan trng khoa hc v cụng ngh Chớnh vỡ vy nú ó v ang thu hỳt c s quan tõm ca nhiu nh khoa hc trờn th gii Khi xột mt quỏ trỡnh thay i theo thi gian mụ t bi phng trỡnh tin húa, sau nghiờn cu tớnh t ỳng ca bi toỏn, vic nghiờn cu dỏng iu tim cn ca nghim thi gian vụ cựng rt quan trng vỡ nú cho phộp chỳng ta hiu v d oỏn xu th phỏt trin ca h ng lc tng lai, t ú cú th cú nhng iu chnh thớch hp t c kt qu mong mun V mt toỏn hc, iu ny lm ny sinh mt hng nghiờn cu mi, c phỏt trin mnh m khong ba thp k gn õy l Lớ thuyt cỏc h ng lc tiờu hao vụ hn chiu Bi toỏn c bn ca lớ thuyt ny l nghiờn cu s tn ti v cỏc tớnh cht ca hỳt Trong nhng nm gn õy, tớnh n nh nghim v s tn ti hỳt ó c nghiờn cu cho mt s lp phng trỡnh parabolic na tuyn tớnh cú tr v mt s lp phng trỡnh c hc cht lng cú tr Tuy nhiờn, bi nhng khú khn c bn xut hin s hng cha tr gõy nờn phn ln cỏc kt qu ó t c l trng hp tr hu hn Vic phỏt trin cỏc kt qu ny cho trng hp tr vụ hn, trng hp khú hn rt nhiu tớnh khụng b chn ca tr, mi ch t c mt s ớt tin b vi nm gn õy mt vi trng hp c bit ca khụng gian pha Do ú, õy ang l rt thi s v thu hỳt c s quan tõm ca nhiu nh toỏn hc v ngoi nc TNG QUAN VN NGHIấN CU Phng trỡnh parabolic na tuyn tớnh ụtụnụm cú tr l phng trỡnh tin húa cú dng: du(t) = Au(t) + F (ut ), dt t > 0, ú A l toỏn t sinh ca mt na nhúm liờn tc mnh trờn mt khụng gian Banach X; F l mt ỏnh x phi tuyn t B vo X, B l khụng gian pha (hay khụng gian trng thỏi); v ut B l hm trng thỏi xỏc nh bi ut () = u(t + ) vi mi (r, 0], r l mt hng s khụng õm (hu hn hoc vụ hn) Mt s kt qu gn õy v s tn ti v dỏng iu tim cn nghim ca lp phng trỡnh parabolic cú tr nh sau: S tn ti nghim v s tn ti hỳt ó c chng minh cho mt s lp phng trỡnh parabolic cha tr hu hn mt s trng hp c bit ca phn phi tuyn tng trng v tiờu hao kiu a thc (xem mt s cụng trỡnh gn õy ca A.V Rezounenko v J Wu (2006) , J Li v J Huang (2009), X Li v Z Li (2010), C.T Anh v L.V Hien (2012), C.T Anh v L.V Hieu (2012)); S tn ti hỳt i vi phng trỡnh parabolic vi tr vụ hn mt trng hp rt c bit ca khụng gian pha (khụng gian C ) v khụng cha hm phi tuyn f (u) c nghiờn cu gn õy bi H Bouzahir v cỏc cng s (2001, 2011) Trong cỏc m rng ca phng trỡnh parabolic cha tr, phng trỡnh gi parabolic (pseudoparabolic) na tuyn tớnh cha tr sau õy rt c quan tõm u(t, x) + A u(t, x) + Au(t, x) + f (u(t, x)) = g(u ) + h(x), t t t u(s, x) = (s, x), s (r, 0], x , ú A l mt toỏn t tuyn tớnh (khụng b chn) tha mt s iu kin nht nh Toỏn t A cha mt lp rng ln cỏc toỏn t elliptic mnh vi iu kin biờn thớch hp, vớ d toỏn t vi iu kin biờn Dirichlet hoc Neumann thun nht (khi ú phng trỡnh trờn tr thnh phng trỡnh khuch tỏn khụng c in cha tr), hoc mt s lp toỏn t elliptic suy bin vi iu kin biờn Dirichlet thun nht nh l toỏn t Caldiroli-Musina dng div((x)) hay toỏn t suy bin mnh Trong nhng nm gn õy, s tn ti v dỏng iu tim cn ca nghim i vi phng trỡnh khuch tỏn khụng c in ó c nghiờn cu rng rói c trng hp ụtụnụm (xin xem cỏc cụng trỡnh ca Y Liu v Q Ma (2009); C Sun, S Wang v C.K Zhong (2007); Y Xie, Q Li v K Zhu (2016) ) v trng hp khụng ụtụnụm (xin xem cỏc cụng trỡnh ca C.T Anh v T.Q Bao (2010, 2012); C.T Anh v N.D Toan (2014); F Zhang v Y Liu (2014) ) Tuy nhiờn, theo hiu bit ca chỳng tụi, cỏc kt qu nghiờn cu v s tn ti hỳt t c i vi phng trỡnh khuch tỏn khụng c in cha tr ch yu l trng hp tr hu hn, ngoi tr cụng trỡnh rt gn õy ca F Rivero, A.M Mỏrquez-Durỏn v T Caraballo (2017), ú xột tr vụ hn v s hng phi tuyn f (u) tng trng v tiờu hao kiu Sobolev Bờn cnh vic nghiờn cu cỏc lp phng trỡnh o hm riờng cú tr, cỏc phng trỡnh o hm riờng cú nh cng ang c nhiu nh toỏn hc quan tõm (xin xem cỏc nghiờn cu ca V.V Chepyzhov v cỏc cng s (2006); M Conti v cỏc cng s (2015); V Pata v A Zucchi (2001); Y Wang v L Wang (2013) ), c bit l lp phng trỡnh khuch tỏn khụng c in cú nh sau õy: t u t u u (s)u(t s)ds +f (u) = g(x), x , t > 0, u(t, x) = 0, u(0, x) = u0 (x), u(s, x) = g0 (s, x), x , t > 0, x , x , s > Trong nhng nm gn õy, s tn ti v dỏng iu tim cn nghim i vi phng trỡnh khuch tỏn khụng c in cú nh c nghiờn cu bi nhiu tỏc gi (xin xem cỏc cụng trỡnh ca M Conti v E.M Marchini (2015); M Conti, E.M Marchini v V Pata (2015); Y Wang v L Wang (2013)) Tuy nhiờn, cỏc cụng trỡnh nghiờn cu ny, hm à(s) := (s) luụn c gi thit tha bt ng thc (s) + à(s) 0, c gii thiu bi bỏo ca C.M Dafermos (1970); v hm phi tuyn c gi thit l liờn tc Lipschitz v tha tng trng kiu Sobolev Di cỏc gi thit ca hm phi tuyn, M Conti, E.M Marchini v V Pata (2015) ó chng minh c s tn ti ca hỳt ton cc Nhng m m chỳng tụi quan tõm nghiờn cu lun ỏn ny bao gm: S tn ti hỳt ton cc i vi lp phng trỡnh parabolic na tuyn tớnh ụtụnụm vi tr vụ hn trng hp khụng gian pha l L1g (D(A )) S tn ti v tớnh nht nghim; s tn ti hỳt ton cc; s tn ti v tớnh n nh ca nghim dng i vi lp phng trỡnh gi parabolic na tuyn tớnh vi tr vụ hn trng hp hm phi tuyn tha iu kin tng trng v tiờu hao kiu a thc S tn ti v tớnh nht nghim; s tn ti hỳt ton cc i vi phng trỡnh khuch tỏn khụng c in cú nh vi lp hm phi tuyn kiu mi v iu kin rt tng quỏt ca nhõn nh MC CH, I TNG V PHM VI NGHIấN CU Mc ớch ca lun ỏn: Nghiờn cu s tn ti v dỏng iu tim cn nghim (thụng qua s tn ti ca hỳt, s tn ti v tớnh n nh ca nghim dng) ca mt s lp phng trỡnh o hm riờng cú tr vụ hn xut hin vt lớ v c hc i tng nghiờn cu: S tn ti v dỏng iu tim cn nghim ca mt s lp phng trỡnh o hm riờng cú tr vụ hn xut hin vt lớ v c hc Phm vi nghiờn cu: Ni dung 1: Nghiờn cu s tn ti hỳt ton cc i vi phng trỡnh parabolic na tuyn tớnh vi tr vụ hn Ni dung 2: Nghiờn cu s tn ti hỳt ton cc, s tn ti v tớnh n nh ca nghim dng i vi phng trỡnh gi parabolic vi tr vụ hn Ni dung 3: Nghiờn cu s tn ti hỳt ton cc i vi phng trỡnh khuch tỏn khụng c in cú nh vi lp hm phi tuyn kiu mi PHNG PHP NGHIấN CU Nghiờn cu s tn ti nghim: s dng phng phỏp xp x Galerkin, cỏc b compact v phng phỏp nng lng Nghiờn cu s tn ti hỳt: s dng cỏc phng phỏp ca lớ thuyt h ng lc vụ hn chiu Nghiờn cu tớnh n nh ca nghim dng: s dng cỏc phng phỏp ca lớ thuyt n nh Lyapunov 5 KT QU CA LUN N Lun ỏn t c nhng kt qu chớnh sau õy: Chng minh c s ph thuc liờn tc ca nghim tớch phõn vo d kin ban u, s tn ti hỳt ton cc khụng gian pha L1g (D(A )) ca phng trỡnh parabolic na tuyn tớnh vi tr vụ hn õy l ni dung c bn ca Chng Chng minh c s tn ti v nht nghim, s tn ti hỳt ton cc khụng gian pha C , s tn ti v tớnh n nh ca nghim dng i vi phng trỡnh gi parabolic vi tr vụ hn trng hp hm phi tuyn tha iu kin tng trng v tiờu hao kiu a thc õy l ni dung c bn ca Chng Chng minh c s tn ti v tớnh nht ca nghim yu, s tn ti hỳt ton cc i vi phng trỡnh khuch tỏn khụng c in cú nh trng hp hm phi tuyn tha iu kin tng trng v tiờu hao kiu mi, v nhõn cha nh tha iu kin rt tng quỏt õy l ni dung c bn ca Chng CU TRC CA LUN N Ngoi phn m u, kt lun, danh mc cỏc cụng trỡnh c cụng b v danh mc ti liu tham kho, lun ỏn gm chng: Chng Kin thc chun b Chng Phng trỡnh parabolic vi tr vụ hn Chng Phng trỡnh gi parabolic vi tr vụ hn Chng Phng trỡnh khuch tỏn khụng c in cú nh Chng KIN THC CHUN B Trong chng ny, chỳng tụi nhc li mt s khỏi nim v kt qu tng quỏt v s tn ti v tớnh cht ca hỳt ton cc, v toỏn t, cỏc khụng gian hm v mt s kt qu b tr (cỏc b compact, dng yu ca nh lớ hi t b chn, cỏc bt ng thc thng dựng) c s dng chng minh cỏc kt qu chớnh ca lun ỏn cỏc chng sau 1.1 TP HT TON CC Trong mc ny, chỳng tụi nhc li mt s khỏi nim v h ng lc, hỳt ton cc, v cỏc nh lớ v s tn ti hỳt ton cc s c s dng lun ỏn Ni dung ca mc ny c vit da trờn cỏc ti liu chuyờn kho ca Robinson (2001) v Temam (1997) 1.2 CC TON T Trong mc ny, chỳng tụi nhc li cỏc kin thc c bn v toỏn t xỏc nh dng cú ph ri rc v toỏn t qut trờn cỏc khụng gian hm tng ng Vớ d in hỡnh ca lp toỏn t xỏc nh dng cú ph ri rc l toỏn t A = b chn vi iu kin biờn Dirichlet thun nht Mt lp vớ d in hỡnh (v thng gp ng dng) v lp toỏn t qut dng l lp toỏn t xỏc nh dng cú ph ri rc khụng gian Hilbert Trong trng hp ny, cú th kim tra hai cỏch nh ngha toỏn t bc phõn v khụng gian ly tha bc phõn l trựng 1.3 CC KHễNG GIAN HM Trong phn ny, ta nhc li mt s kt qu v cỏc khụng gian hm s c s dng lun ỏn nh: Khụng gian Sobolev (khụng gian Lp (), khụng gian H m (), khụng gian H0m ()), cỏc khụng gian hm ph thuc thi gian (khụng gian C([a, b]; X), khụng gian Lp (0, T ; X) vi p +, khụng gian Lploc (R; X)) Bờn cnh ú, chỳng tụi cng trỡnh by v khụng gian cha tr vụ hn v cỏc vớ d c th v lp khụng gian ny c s dng cỏc chng sau: Khụng gian C (E) ( > 0) vi chun g := ()E ; g() 0, x , u(s, x) = (s, x), s 0, x , (3.1) ú A l toỏn t tuyn tớnh (khụng b chn), f l hm phi tuyn, h l hm ngoi lc, g l s hng cha tr, v (s) l iu kin ban u trờn khong thi gian (, 0] nghiờn cu bi toỏn (3.1), chỳng ta cn cỏc gi thit sau: (H1) A l toỏn t tuyn tớnh dng t liờn hp xỏc nh trự mt vi xỏc nh D(A) L2 () v cú gii thc compact, v ta gi thit C0 () trự mt D(A1/2 ) 13 (H2) Hm g : C (D(A1/2 )) L2 () tha cỏc iu kin: (g1) g(0) = 0, (g2) Tn ti hng s Lg > cho , C (D(A1/2 )), g() g()L2 () Lg C (D(A1/2 )) (H3) f : R R l hm kh vi liờn tc tha C1 |u|p C0 f (u)u C2 |u|p + C0 , f (u) , (3.2) (3.3) vi p 2, ú C0 , C1 , C2 v l cỏc hng s dng (H4) h D(A1/2 ), khụng gian i ngu ca D(A1/2 ) 3.2 S TN TI V DUY NHT NGHIM nh ngha 3.1 Mt nghim yu trờn khong (0, T ) ca bi toỏn (3.1) vi iu kin ban u C (V ) l mt hm u C((, T ]; V ) Lp (0, T ; Lp ()) tha u0 () = () vi mi du 0, L2 (0, T ; V ), v dt d u(t) + Au(t) + A(t u(t)) + f (u(t)) = g(ut ) + h V dt theo ngha phõn b (0, T ) S tn ti v nht nghim yu c trỡnh by nh lớ sau: nh lớ 3.1 Vi cỏc gi thit (H1) - (H4), thỡ vi mi T > v C (V ) cho trc, bi toỏn (3.1) cú nghim yu nht u trờn khong (0, T ) 14 3.3 S TN TI TP HT TON CC T nh lớ 3.1, ta cú th xỏc nh mt na nhúm S(t) : C (V ) C (V ), bi cụng thc S(t) := ut , ú u(t) l nghim yu nht ca bi toỏn (3.1) vi iu kin ban u C (V ) Mnh 3.1 Vi cỏc gi thit (H1) - (H4), na nhúm S(t) liờn tc trờn khụng gian C (V ) B 3.1 Gi s cỏc iu kin (H1) - (H4) c tha v cho 2L g < < + 1 Khi ú, hỡnh cu B = v C (V ) : v 4h2 + 4C0 || 2L g 1+1 l hp th b chn C (V ) ca na nhúm S(t) chng minh s tn ti ca hỳt ton cc, ta cn phi chng minh tớnh compact tim cn ca na nhúm S(t) B 3.2 Di cỏc gi thit ca B 3.1, na nhúm S(t) l compact tim cn T cỏc B 3.1, 3.2 v cỏc kt qu v s tn ti hỳt ton cc, ta cú kt qu: nh lớ 3.2 Vi cỏc gi thit B 3.1, na nhúm S(t) cú mt hỳt ton cc C (V ) 15 3.4 S TN TI V TNH N NH CA NGHIM DNG Trong phn ny, chỳng tụi nghiờn cu s tn ti, tớnh nht v tớnh n nh ca nghim dng (yu) ca bi toỏn (3.1) Nghim dng ca bi toỏn (3.1) l phn t u V Lp () tha ((u , v)) + f (u ), v = (g(u ), v) + h, v, (3.4) vi mi hm th v V Lp () nh lớ 3.3 Gi s cỏc iu kin (H1) - (H4) c tha Khi ú (a) Tn ti ớt nht mt nghim dng ca bi toỏn (3.1); (b) Nu cú iu kin sau Lg > 0, (3.5) thỡ nghim dng ca bi toỏn (3.1) l nht nh lớ 3.4 Gi s cỏc iu kin (H1) - (H4) v (3.5) c tha Khi ú, tn ti mt giỏ tr < < cho nghim u(ã) ca (3.1) vi iu kin ban u C (V ), v w(t) = u(t) u , vi u l nghim dng nht xỏc nh bi nh lớ 3.3 tha cỏc ỏnh giỏ sau vi mi t 0: ( ) 2L g w(t)2 et |w(0)|2 + w(0)2 + u , (2 ) (3.6) { wt max e2t u , e t ( 2L2g |w(0)| + w(0) + u (2 ) 2 )} (3.7) 16 Chỳ ý cui chng S dng cỏch tip cn nh chng ny, nhng cỏc chng minh phc hn, cụng trỡnh ca C.T Anh v D.T.P Thanh (2017), chỳng tụi ó chng minh c s tn ti hỳt ton cc v tớnh n nh ca nghim dng cho h Navier-Stokes-Voigt cú tr vụ hn xut hin c hc cht lng Trong cụng trỡnh ang gi ng, chỳng tụi ó chng minh s tn ti hỳt ton cc cho lp phng trỡnh parabolic na tuyn tớnh vi tr vụ hn cú dng u(t, x) + Au(t, x) + f (u(t, x)) = g(u ) + h(x), t > 0, x , t t u(s, x) = (s, x), s 0, x , ú toỏn t tuyn tớnh A, s hng phi tuyn f (u), s hng cha tr g(ut ) v ngoi lc h(x) tha cỏc gi thit tng t nh chng ny Mt lớ thỳ t l mi quan h gia hỳt ton cc A0 ca phng trỡnh parabolic ny v hỳt ton cc A ca phng trỡnh gi parabolic t u(t, x) + Au(t, x) + Au(t, x) + f (u(t, x)) = g(ut ) + h(x), t > 0, x , u(s, x) = (s, x), s 0, x , õy l tham s dng (v nh) Trong trng hp khụng cú s hng cha tr, ta bit rng (xem C.T.Anh v T.Q Bao (2010)) na khong cỏch Hausdorff dist(A , A0 ) 0, tc l h hỳt {A } l na liờn tc trờn ti = Tuy nhiờn, kt qu tng ng trng hp cú tr vụ hn l m 17 Chng PHNG TRèNH KHUCH TN KHễNG C IN Cể NH Trong chng ny, chỳng ta xột phng trỡnh khuch tỏn khụng c in cú nh vi lp hm phi tuyn kiu mi u tiờn, s dng phng phỏp xp x Galerkin chng minh s tn ti nht nghim yu ca bi toỏn Sau ú, chỳng tụi chng minh s tn ti hỳt ton cc ca na nhúm liờn tc sinh bi nghim yu ca bi toỏn Ni dung ca chng ny da trờn Bi bỏo Danh mc cụng trỡnh khoa hc ca tỏc gi liờn quan n lun ỏn 4.1 T BI TON Trong phn ny, chỳng tụi nghiờn cu phng trỡnh khuch tỏn khụng c in cú nh sau: t u t u u (s)u(t s)ds +f (u) = g(x), x , t > 0, x , t > 0, u(t, x) = 0, u(0, x) = u0 (x), u(s, x) = g0 (s, x), x , ú l b chn RN x , s > 0, (4.1) vi biờn trn nghiờn cu bi toỏn (4.1), ta gi thit iu kin ban u u0 H01 () cho trc, hm phi tuyn f v ngoi lc g tha cỏc iu kin sau: (H1) f : R R l hm kh vi liờn tc tha f (u) , 18 (4.2) f (u)u u2 C0 , vi mi u R, (4.3) ú , , C0 l cỏc hng s dng, < < vi > l giỏ tr riờng u tiờn ca toỏn t D (H2) Hm ngoi lc g H () (H3) Nhõn cha nh l hm kh tng khụng õm cú dng (s) = à(r)dr, (4.4) s ú L1 (R+ ) l hm gim (vỡ vy khụng õm) liờn tc tuyt i tng khỳc Hn na, ta cn cú (s) à(s), (4.5) vi > v vi mi s > iu ny tng ng vi à(r + s) M er à(s), (4.6) vi M 1, > 0, vi mi r v hu khp s > Kớ hiu s u(t r, x)dr, s t (s, x) = (t, s, x) = T à(s) = (s), bi toỏn (4.1) cú th vit t u t u u à(s) t (s, x)ds t t t (s, x) = s (s, x) + u(x, t), u(t, x) = 0, t (s, x) = 0, u(x, 0) = u0 (x), (s, x) = (s, x) := li nh sau +f (u) = g(x), x , t > 0, x , t > 0, s 0, x , t > 0, x , t > 0, s > 0, x , s g0 (r, x)dr, x , s > 0 (4.7) 19 Kớ hiu z(t) = (u(t), t ) v z0 = (u0 , ) Chỳng ta a cỏc khụng gian Hilbert sau H = L2 () ì L2à (R+ , H01 ()), H1 = H01 () ì L2à (R+ , H01 ()), ( ) H2 = H () H01 () ì L2à (R+ , H () H01 ()) 4.2 S TN TI V DUY NHT NGHIM nh ngha 4.1 Hm z = (u, t ) c gi l mt nghim yu ca bi toỏn (4.7) trờn khong (0, T ) vi iu kin ban u z(0) = z0 H1 nu u C([0, T ]; H01 ()), f (u) L1 (QT ), t u L2 (0, T ; H01 ()), t C([0, T ]; L2à (R+ , H01 ())), t t + s t L (0, T ; L2à (R+ , L2 ())) L2 (0, T ; L2à (R+ , H01 ())), v t u, + t u, + u, + t , 1,à + f (u), L1 ,L = g, H ,H01 , t t + s t , 1,à = u, 1,à , vi mi hm th W = H01 () L (), L2à (R+ , H01 ()), v vi hu khp t [0, T ] nh lớ 4.1 Gi s cỏc iu kin (H1)-(H3) c tha Khi ú, vi bt kỡ z0 = (u0 , ) H1 v T > cho trc, bi toỏn (4.7) cú nht nghim yu z = (u, t ) trờn khong (0, T ) tha z C([0, T ]; H1 ) Hn na, nghim yu ny ph thuc liờn tc vo d kin ban u 20 4.3 S TN TI TP HT TON CC nh lớ 4.1 cho phộp ta xỏc nh mt na nhúm liờn tc S(t) : H1 H1 liờn kt vi bi toỏn (4.7) nh sau S(t)z0 := z(t), ú z(ã) l nghim yu nht ca bi toỏn (4.7) vi iu kin ban u z0 H1 Ni dung chớnh ca phn ny l chng minh nh lớ sau: nh lớ 4.2 Gi s cỏc iu kin (H1)-(H3) c tha Khi ú, na nhúm {S(t)}t0 sinh mt hỳt ton cc H1 chng minh nh lớ ny, da vo cỏc kt qu c in v s tn ti hỳt ton cc, ta cn ch rng na nhúm S(t) cú mt hp th b chn B0 H1 v S(t) l compact tim cn H1 , ú l, vi mi t > 0, cú th biu din di dng S(t) = S1 (t) + S2 (t), ú, vi mi b chn B H1 , ta cú i) S1 (t) l ỏnh x liờn tc t H1 vo chớnh nú v rB (t) = sup S1 (t)yH1 t +; yB ii) Toỏn t S2 (t) l compact u vi t ln, tc l, l compact tng i H1 vi t0 > tt0 S2 (t)B chng minh ii) ta ch cn ch rng vi T > 0, S2 (T )B0 l compact tng i H1 , vi B0 l hp th b chn ca S(t) B 4.1 Gi s cỏc iu kin (H1)-(H3) c tha Khi ú, tn ti mt hp th b chn H1 ca na nhúm S(t) 21 Ta bit rng, vi g H () v > cho trc, cú mt hm g L2 (), ph thuc vo g v , cho g g H () < (4.8) ỏnh giỏ tớnh chớnh qui tim cn, ta phõn tớch nghim S(t)z0 = z(t) ca bi toỏn (4.7) nh sau S(t)z0 = S1 (t)z0 + S2 (t)z0 , ú S1 (t)z0 = z1 (t) v S2 (t)z0 = z2 (t), ngha l, z = (u, t ) = z1 + z2 , phõn tớch dng u = v + w , t = t + t , z1 = (v , t ), z2 = (w , t ), ú z1 (t) l nghim nht ca bi toỏn sau t v t v v + f (u) f (w ) à(s) t (s)ds + v =gg , t t = s t + v , v (t, x)| = 0, v (t, x|t=0 = u0 (x), s t (s, x)| = 0, (s, x) = (s, x) := g0 (r, x)dr, (4.9) v z2 (t) l nghim nht ca bi toỏn t w t w w + f (w ) à(s) t (s)ds (u w ) = g , t t = s t + w , w (t, x)| = 0, w (t, x)|t=0 = 0, t (s, x)| = 0, (s, x) = (s, x) = 0, 22 (4.10) vi gi thit > Cho B0 l hp th b chn nhn c B 4.1 Ta cú kt qu sau: B 4.2 Gi s cỏc iu kin (H1)- (H3) c tha t KT = P S2 (T )B0 , vi T > ln, ú {S2 (t)}t0 l na nhúm nghim ca (4.10), P : H1 L2à (R+ , H01 ()) l toỏn t chiu chớnh tc Khi ú, cú mt hng s dng M1 = M1 (B0 H1 ) cho (i) KT b chn L2à (R+ , H ()H01 ())Hà1 (R+ , H01 ()), (ii) supKT (s)2H () M1 Hn na, KT l compact tng i L2à (R+ , H01 ()) B 4.3 Cho {S2 (t)}t0 l na nhúm nghim ca (4.10) Khi ú, di cỏc gi thit ca B 4.2, vi T > ln, S2 (T )B l compact tng i H1 Chỳ ý cui chng Cỏc kt qu chng ny l s phỏt trin cỏc kt qu trc ú M Conti, E.M Marchini v V Pata (2015), X Wang, L Yang v C.K Zhong (2010) v s tn ti nht nghim yu v s tn ti hỳt ton cc ca phng trỡnh khuch tỏn khụng c in na tuyn tớnh cú nh, theo ngha vi mt lp mi rt rng cỏc s hng phi tuyn f (u) (cha tt c cỏc lp phi tuyn ó bit trc ú v thm c lp tng trng kiu m) v iu kin rt tng quỏt ca nhõn nh (ã) 23 KT LUN KT QU T C Chng minh c s ph thuc liờn tc ca nghim tớch phõn vo d kin ban u, s tn ti hỳt ton cc ca mt lp phng trỡnh parabolic na tuyn tớnh cha tr vụ hn Chng minh c s tn ti v tớnh nht ca nghim yu, s tn ti hỳt ton cc, s tn ti v tớnh n nh ca nghim dng yu i vi phng trỡnh gi parabolic cha tr vụ hn trng hp hm phi tuyn tha iu kin tng trng v tiờu hao kiu a thc Chng minh c s tn ti v tớnh nht ca nghim yu, s tn ti hỳt ton cc i vi phng trỡnh khuch tỏn khụng c in na tuyn tớnh cú nh di mt lp rt rng cỏc s hng phi tuyn, v nhõn cha nh tha iu kin rt tng quỏt KIN NGH MT S VN NGHIấN CU TIP THEO Bờn cnh cỏc kt qu ó t c lun ỏn, mt s m cn tip tc nghiờn cu nh: Nghiờn cu cỏc tớnh cht ca hỳt ton cc nhn c, chng hn nghiờn cu tớnh trn, ỏnh giỏ s chiu fractal, s ph thuc liờn tc theo tham bin, Nghiờn cu s tn ti hỳt lựi, hỳt u ca cỏc lp phng trỡnh trờn trng hp khụng ụtụnụm Nghiờn cu s tn ti nghim, s tn ti hỳt ca mt s lp phng trỡnh o hm riờng cú nh khỏc, chng hn phng trỡnh truyn nhit, phng trỡnh truyn súng, 24 DANH MC CC CễNG TRèNH CễNG B CA LUN N C.T Anh, L.V Hieu and D.T.P Thanh (2014), Global attractors for a class of parabolic equations with infinite delay, Bull Pol Acad Sci Math 62, 49-60 D.T.P Thanh (2017), Global attractor for a semilinear pseudoparabolic equation with infinite delay, Commun Korean Math Soc 32, 579600 C.T Anh, D.T.P Thanh and N.D Toan (2017), Global attractors for nonclassical diffusion equations with hereditary memory and a new class of nonlinearities, Ann Polon Math 119, 1-21 Cỏc kt qu ca lun ỏn ó c bỏo cỏo ti: Seminar ca B mụn Gii tớch, Khoa Toỏn - Tin, Trng i hc S phm H Ni; Seminar ca Khoa Toỏn - Tin, Trng i hc Hựng Vng; Hi tho khoa hc "Ti u v Tớnh toỏn Khoa hc" ln th 15, Ba Vỡ, H Ni, 20-22/4/2017; Hi ngh khoa hc ging viờn tr, Trng i hc Hựng Vng, 2016