Tính ổn định của một số lớp phương trình sai phân và áp dụng

Bộ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC QUY NHƠN TRƯƠNG THỊ NGỌC TRÂM TINH ON ĐỊNH CUA MỌT so LỚP PHƯƠNG TRÌNH SAI PHÂN VÀ ÁP DỤNG LUẬN VĂN THẠC sĩ TỐN HỌC BÌNH ĐỊNH - NĂM 2020 Bộ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC QUY NHƠN TRƯƠNG THỊ NGỌC TRÂM TINH ON ĐỊNH CUA MỌT so LỚP PHƯƠNG TRÌNH SAI PHÂN VÀ ÁP DỤNG Chuyên ngành: PHƯƠNG PHÁP TOÁN sơ CẤP Mã số: 8460113 Người hướng dẫn : PGS TS ĐINH CÔNG HƯỚNG Lời cam đoan Tôi xin cam đoan số liệu kết nghiên cứu luận văn không trùng lặp với đề tài khác đuợc hoàn thành duới huớng dẫn PGS TS Đinh Công Huớng Tơi xin cam đoan thơng tin trích dẫn luận văn rõ nguồn gốc Bỉnh Định, ngày 25 tháng 07 năm 2020 Học viên TrUơng Thị Ngọc Trâm Muc luc TÀI LIỆU THAM KHẢO 59 BẢNG CÁC KÝ HIỆU R tập số thực R+ tập số thực dương Z tập số nguyên Z- tập số nguyên âm Z+ tập số nguyên dương AT ma trận chuyển vị ma trận A chuẩn vectơ x ||x|| = max(|x(1)|,|x(k)|) sai phân dãy x(n) Ax(n) = x(n +1) — x(n) tập gồm số tự nhiên n > n0 N(no) Mở đầu Tính chất nghiệm phương trình sai phân hướng nghiên cứu quan trọng Tốn học Lý thuyết tìm nhiều ứng dụng lĩnh vực Toán học khoa học khác Giải tích số, Lý thuyết điều khiển, Lý thuyết ước lượng, Di truyền học, Sinh thái học, Vì vậy, việc nghiên cứu lý thuyết vấn đề thời Toán học, nhiều nhà khoa học quan tâm Trong thời gian gần đây, nhà khoa học Burton, Cooke, Yorke, Zhang, Rafoul, Islam, Ardjouni, Huong, Mau số nhà toán học khác nhận nhiều kết tính chất định tính nhiều lớp phương trình sai phân có trễ khơng có trễ, chẳng hạn như: Trong [4], Huong Mau đề xuất số kết tính bị chặn ngặt nghiệm, tính ổn định nghiệm khơng tồn nghiệm tuần hồn dương phương trình sai phân phi tuyến với trễ biến thiên x(n + 1) = A(n)x(n) + a(n)F (x(n — m(n)), n = 0,1 Trong [10], Islam Yankson sử dụng phương pháp định lí điểm bất động để tính bị chặn ổn định nghiệm khơng phương trình sai phân phi tuyến x(n + 1) = a(n)x(n) + c(n)Ax(n — g(n)) + q(x(n), x(n — g(n))) Trong [11], Huong sử dụng phương pháp định lí điểm bất động tính tốn số bất đẳng thức sai phân ổn định tiệm cận tính bị chặn ngặt nghiệm phương trình sai phân phi tuyến không ô-tô-nôm x(n + 1) = A(n)x(n) + a(n)F(n,x(n — w(n)),n > Trong [8], Giang Huong nghiên cứu ổn định mơ hình dân số thơng qua tính ổn định nghiệm phuơng trình sai phân x(n + 1) = Ax(n) + F (x(n — m)) Nói riêng, tính chất ổn định nghiệm tính chất thú vị nhiều nhà khoa học quan tâm nghiên cứu gắn với các vấn đề sinh học, y học, học, kỹ thuật, kinh tế .Vì vậy, tốn nghiên cứu tính ổn định nghiệm hệ phương trình vi phân, sai phân vấn đề thu hút quan tâm nhiều nhà khoa học nước Luận văn tập trung nghiên cứu tính ổn định nghiệm số lớp phương trình sai phân Luận văn bao gồm: Mở đầu, Nội dung, Kết luận Tài liệu tham khảo Cấu trúc luận văn sau: Chương 1: Một số kiến thức chuẩn bị Chương trình bày khái niệm kết dùng chương luận văn Chương 2: Tính ổn định số lớp phương trình sai phân Chương trình bày tính ổn định hệ phương trình sai phân tuyến tính hệ phương trình sai phân phi tuyến Chương 3: Một số ví dụ áp dụng Chương trình bày số ví dụ tính chất dãy số tính ổn định mơ hình quần thể Luận văn hoàn thành hướng dẫn trực tiếp PGS.TS Đinh Công Hướng Nhân dịp xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành bảo, hướng dẫn tận tâm, nhiệt tình thầy suốt trình thực luận văn Mặc dù cố gắng hạn chế thời gian trình độ nên bên cạnh kết đạt được, luận văn tránh khỏi hạn chế thiếu sót Rất mong nhận góp ý thẳng thắn chân thành quý thầy cô bạn để luận văn hoàn thiện Chương MỘT SỐ KIẾN THỨC CHUAN BỊ Trong chương chúng tơi trình bày lý thuyết nghiệm hệ phương trình sai phân, lý thuyết ổn định hệ phương trình sai phân Các kiến thức chương chủ yếu tham khảo [11], [12], [16] 1.1Bất đẳng thức Gronwall Định lý 1.1 (Xem [11]) Giả sử n-1 x(n) < p(n) + q(n)^~2 f (£)x(£), n G N(no) £=no (1.1) Khi x(n) < p(n) + q(n) E pWf O (1 + q(r)f(r))- (1-2) Chứng minh Đặt hàm y(n) Vn=no f (/’)x(Z’) Ta có Ay(n) = f (n)x(n),y(n0) = (1-3) Từ x(n) < p(n) + q(n)y(n) f (n) > 0, ta nhận y(n +1) - (1 + q(n)f (n))y(n) < p(n)f (n) (1-4) Vì + q(n)f (n) > với n G N(n0), ta nhân hai vế (1.4) với (32 =no(1+q(ể)f (£)) 1, ta n ”n—1 n (1 + £=no )f )) (n) qự (^ y < p(n)f (n) n (1 + q(ef (£))-1 £=no Lấy tổng từ n0 đến n — dùng y(n0) = ta thu Do (1.2), ta có x(n) < p(n) + q(n)y(n) Ta có điều phải chứng minh Hệ 1.1 Trong Định lý 1.1, lấy p(n) = p q(n) = q Khi với n G N(n0), ta có n-1 x(n) < p n (1 + qf (^)) £=no Hệ 1.2 Trong Định lí 1.1, p(n) không giảm q(n) > với n G N(n0) Khi với n G N(n0), ta có n— Ta xét tồn nghiệm (1.6) Định lý 1.2 (Xem [16]) Với x0 G Rk n0 G Z+ có nghiệm x(n,n0,x0) hệ phuơng trình (1.6) với x(n0,n0,x0) = x0 Chứng minh Từ (1.6), ta có x(no + 1,no,xo) = A(no)x(no) = A(no)xo x(no + 2,no,xo) = A(no + 1)x(no + 1) = A(no + 1)A(no)xo Bằng phương pháp quy nạp toán học, ta kết luận x(n,no,xo) = n n o > c1x1(n) + C2X2(n) + + Ck Xk (n) = 0, n > no th ì C1 = C2 = = Ck = Giả sử T(n) ma trận cột nghiệm hệ phương trình (1.6) Ta viết T(n) = [xi(n), X2(n), , Xk(n)] Khi T(n + 1) = [A(n)x1(n), A(n)x2(n), , A(n)xk(n)] = A(n)[xi(n),X2(n), ,Xk(n)] = A(n)T(n) Do T(n) thoả mãn phương trình sai phân T(n + 1) = A(n)T(n) (1-9) Ngoài nghiệm x1(n),x2(n), ,Xk(n) độc lập tuyến tính với n > n o ma trận T(n) không suy biến với n > no, l úc det T(n) = 0, n > no Định nghĩa 1.2 (Xem [12]) Nếu T(n) tị ma írận suy biến với n > no thoả mãn (1.9) gọi ma trận (1.6) Chú ý 4(n) ma trận C ma trận số C4(n) ma trận Xét phương trình Xn+1 = -—f ,n = 1, , n - Xn-1 điều kiện ban đầu xo, Xi; a, 1, n số thực dương cho a = (2.30) ^+n) ( n > 1- Khi đó, điểm cân phương trình khơng ổn định Thật vậy, xét phương trình xác định điểm cân Hay (x)2 — (1 + n)x + a = Nên (x - p + n )2 = Do p+ x Phương trình đặc trưng liên kết với phương trình (2.30) xung quanh điểm cân x = ■' + — 2+3 = n—pn—P Đặtr=— —,s=nIdii (19r+|s|=n—+>1+n— >1 Theo Mệnh đề 2.1 điểm cân x = d n không ổn định n Chương MỘT SỐ VÍ DỤ ÁP DỤNG 3.1 Một số ví dụ tính chất dãy số Ví dụ 3.1 Cho dãy số x(n) xác định x(n + 1) = e-1x(n), n G N Chứng minh rằng, với điều kiện ban đầu x(0) G R dãy x(n) hội tụ Yêu cầu toán quy chứng minh nghiệm phương trình sai phân ổn định tiệm cận Sử dụng kết tính ổn định tiệm cận phương trình sai phân chương 2, ta giải tốn sau Dễ thấy nghiệm phương trình sai phân x(n) = e~n.x(ừ)NỖì n > Do đó, |x(no)| = |e-n0.x(0)| < ổ = kéo theo |x(n)| = |e-n.x(0)| = |e-n+n0 |.|e-n0.x(0)| < |e-n+n01 n nghiệm tầm thường hút Hơn nữa, |x(no)| = |e-n0.x(0)| < ổ = {1,ể} suy |x(n)| = |e -n.x(0)| = |e-n+n0|.|e-n0.x(0)| < ổ.|e-n+n01 < s , với n > n0 nghiệm phương trình sai phân ổn định tiệm cận Vậy dãy x(n) hội tụ Ví dụ 3.2 Cho dãy số x(n) xác định x(n + 1) = x2(n), n G N Chứng minh rằng, với điều kiện ban đầu x(0) G R dãy x(n) hội tụ Yêu cầu toán quy chứng minh nghiệm phuơng trình sai phân ổn định tiệm cận Sử dụng kết tính ổn định tiệm cận phuơng trình sai phân chuơng 2, ta giải tốn nhu sau c2 Với n0 G N c G R, nghiệm phuơng trìn11 x(n) = x(n, n0, c) = ọn-nQ Do đó, với n1 > n0, \x(nĩ) — x(nĩ)\ = \c\2"1 -0 < ỏ = 1, tức |c| < kéo theo \x(n) — x(n)\ = \c\2 \c\2 < ỏ.\c\2 n oo CIO nghiệm phuơng trình sai phân hút Hơn nữa, \x(nĩ) — x(nĩ)\ = \c\2"1 -0 < ỏ = {1,Ố} suy |x(n) — x(n)| = \c\ \c\ < ồ.\c\ < ố, với n > nĩ va nghiệm phuơng trình sai phân ổn định tiệm cận Vậy dãy x(n) hội tụ Ví dụ 3.3 Cho dãy số x(n + 1) = (ny^[x(n)]2} Chứng minh rằng, với điều kiện ban đầu x(n 0) = x0 G R dãy x(n) hội tụ Yêu cầu toán quy chứng minh nghiệm phuơng trình sai phân ổn định tiệm cận Sử dụng kết tính ổn định tiệm cận phuơng trình sai phân chuơng 2, ta giải tốn nhu sau Với n0 G N nghiệm phuơng trình x(n,no,xo) = n (n-ĩ )2(n-2 )4 ( n°+ĩ )2n-nQ-1 (xo)2n-nQ x(no) = xo Nếu \x0\ đủ nhỏ lim x(n) = Do nghiệm phuơng trình sai phân hút Cho ố > n0 = 0, chọn ỏ = n;+ĩNếu \x0\ < ỏ \x(n,n0,x0)\ < ố với n = n0 Do nghiệm phuơng trình ổn định tiệm cận Vậy dãy x(n) hội tụ Ví dụ 3.4 Cho hai dãy số xác định , u(n + 1) v(n) = c1 V, + u2(n) , v(n + 1) u(n) = c2 FW), c1, c2 số dương Tìm điều kiện ^, c2 để với &ều kiện ban đầu u(n0) = u0 G R, v(n0) = v0 G R dãy u(n),v(n) hội tụ Yêu cầu toán quy tìm điều kiện c1, c2 để với điều kiện ban đầu u(n0) = u0 G R,v(n0) = v0 G R nghiệm hai phương trình sai phân ổn định tiệm cận Sử dụng kết tính ổn định tiệm cận hệ phương trình sai phân chương 2, ta giải toán sau Xét hàm xác định dương V(u, v) = u2 + v2 R X R Ta có AV(u(n),v(n)) = ((1+ 2( ))2 - u2(n)+ ((1+vf( ))2 - v2(n) Nếu c2 < 1,c2 < AV(u(n),v(n)) < (c2 — 1)u2(n) + (c1 — c v n n 1)v2, nên nghiệm tầm thường hệ ổn định tiềm cận Nếu c2 > 1,c2 > đặt (u(n),v(n)) G Sr c R2, r số đủ nhỏ để AV(u(n),v(n)) > (ĩ+rĩ — 1) u2(n) + (ĩ+rã — 1) > Vì thế, nghiệm tầm thường hệ không ổn định Do nghiệm tầm thường hệ ổn định tiệm cận C1 < 1, c2 < Vậy dãy u(n),v(n) hội tụ c2 < 1,c2 < 3.2Một số ví dụ tính ổn định mơ hình quần thể Ví dụ 3.5 Xét mơ hình lồi đơn cho x với y G (1, TO), chẳng hạn, AV(y) < với y > y =1 Do đó, từ Định lí 2.10 trạng thái cân x = (3.2) (hoặc tương đương x = Ị -/ (3.1)) ổn định tiệm cận toàn cục ộ G (0, 2] Ví dụ 3.6 Xét mơ hình cạnh tranh hai lồi cho x(n + 1) = x(n)[ớ1 + (1 — ớ1)(x(n) + d1y(n))]-^1, y(n + 1) = y(n>2 + (1 — d2)(y(n) + d2y(n))]-ft ớ1, Ớ2, d1, d2, ộ1, ộ2 số dương Trạng thái cân dương hệ phương trình cho _ — di _ — d1 d2 ’V — d1 — d I d2 , di G (0,1) Ta chứng minh rằng, trạng thái cân dương ổn định tiệm cận toàn cục Ỡ1 = ỡ2 = ỡ vằ, ội G (0,1], i = 1, Ta có ln(1 — t) < —t, (3.3) với t G (—TO, 1) , với dấu xảy t = 0, (1 — t)-p — < pt(1 — t)-1 với t G (TO, 1) p G (0,1] (3.4) Lấy Vi = -l ( ) Xi-1 n Xi ,iXi = 1,2 Ta CÓ -■ ' X,Vi =(x) ([ớ + (1 - ớ)(x + diy)]-A - 1) A + ft ln[ớ + (1 - ớ)(x + diy)] Sử dụng bất đẳng thức (3.3) (3.4) với p = ft t = (1 — ớ)(1 — x + diy), ta thu fi ( AV < i X)(1 - ớ)(1 - x - diy) “ + (1 - ớ)(x + diy) ft(1 - ớ)(1 - x - diy) + (1 - ớ)(x + diy) - ft(1 - ớ)(1 - x - diy) d {=7(xy - yx) - ớ(1 - x - diy)} x Tuy nhiên, I—X = y, ta có fi ớ(1 - ớ)(1 - x -d iy)2 i “ + (1 - ớ)(x i + diy) < ftdi(1 - ớ)(1 - x - diy)(xy - yx) x[ớ + (1 - ớ)(x + diy)] với ft G (0,1], đẳng thức xảy v = v Tuơng tự, với G (0,1] ta có A y - d2x)2 “ + (1 - ớ)(y + d2x) + ftd2(1 - ớ)(1 - y - d2x)(yx - xy) y[ớ + (1 - ớ)(y + dix)] < fi ớ(1 - ớ)(1 - Đặt V = ciVi + c - 2V2 Ta có: ft( X)(1 - ớ)(1 - x - diy) “ + (1 - ớ)(x + diy) AV< ft(1 - ớ)(1 - x - diy) + (1 - ớ)(x + diy) - ft(1 - ớ)(1 - x - diy) di (xy - yx) - ớ(1 - x - diy)} x { cifiidiy = c2ftd2x G R Do đó, AV < với x, y > đẳng thức xảy x = x, y = ỹ Vì từ Định lí 2.10, trạng thái cân dương x,ỹ ổn định tiệm cận toàn cục, ới = ớ2 Nữ, ft, fi2 G (0,1] Ví dụ 3.7 Xét mơ hình cho x(n + 1) = x(n)er(1-),n G N (3-5) Ta chứng tỏ trạng thái cân x hệ (3.5) ổn định tiệm cận toàn cục r G (0, 2] Đặt y = XKhi phương trình (3.5) trở thành y(n + 1)= y(n)er(1-y(n)) (3.6) Đặt V(y) = (y — 1)2, AV (y) = — yh(y)[1 — er(1-y)] h(y) = y.er(1 y) + y — Bây h(0) < 0, h(1) = h(y) > với y < Xét y G (0, 2)với y =1 Rõ ràng, h(y) = r = () ln(2yy) Nếu y G (0,1), đặt w = 1-y > cho r = w{ln(1 + —) — ln(1 — —)} TO = w{£(—1)p+1 p=1 w w V w2P 2p +1 p=01 w-p p +t TO w-p p=1 p > Tương tự, y G (1, 2) đặt w = y—ĩ > cho r = w{ln(1 + —) — ln(1 — —)} > w w Do đó, với r G (0, 2] ta có h(y) < với y G (0,1) h(y) > với y G (1, rc>) Vì hàm V(y) hàm Lyapunov (3.6) R+ Tập hợp điểm R+ AV(y) = chứa 1, không nghiệm nằm R + tiến tới n rc) Do đó, từ Định lí 2.10 trạng thái cân y = (3.6) (hoặc tương đương x = A (3.5)) ổn định tiệm cận toàn cục r G (0, 2] Ví dụ 3.8 Xét lồi với hệ hai lớp tuổi X(n) số luợng bé, Y(n) số luợng truởng thành thời điểm thứ n Khi đó, ta có hệ phuơng trình sau X (n + 1) = bY (n) Y (n + 1) = cX (n) + sY (n) — DY 2(n) (3-7) Đặt X = DXb(n),Ỹ = DX(n) ta có X (n + 1) = Y (n) Y (n + 1) = aX (n) + sY (n) — Y 2(n), (3-8) với a = cb > Điểm cố định không tầm thuờng (X*,Y*) với X* = Y* Y* = a + s — Mặt khác, điểm cố định X* Y* phải duơng để mơ hình xét có ý nghĩa sinh học, a + s — > Để dễ dàng xét tính ổn định ta đặt x(n) = X(n) — X*,y(n) = Y(n) — Y*, ta có hệ x(n + 1) = y(n) y(n + 1) = ax(n) + ry(n) — y2(n) (3-9) Điểm cố định (0,0) (3.9) tuơng ứng với điểm cố định (X*, Y*) (3.8) Xét hệ phuơng trình sai phân tuyến tính Ỉx(n +1) = y(n) (3.10) y(n +1 = ax(n)+ ry(n) Hệ có dạng x(n + 1) y(n +1) với A = thuờng ổn c =A x(n) y(n) , phuơng trình đặc trung A A2 — rA — a = Nghiệm tầm Ịnh tiệm cận | A| < Do (i) — r — a > o — (2 — 2a — s) — a > o a + s > (ii) + r — a > o + (2 — 2a — s) > o 3a + s < Để tìm miền ổn định nghiệm tầm thường, ta dùng phương pháp hàm Lyapunov cho , > 22 2ar V (x, y) = a x + -xy + y 1—a Phương trình Ax2+2Bxy+Cy2 = D phương trình elip AC—B2 > Mặt khác, cách nhóm số hạng chứa x,y ta thu hay a2 a2r2 > o a - < r < - a (1 — a)2 Azx2 + ơý2 = D với A + C = a2 + > 0, AC > Do A'C' > hay D > từ V(x,y) > Hơn nữa, AV(x,y) = y2w(x,y) với 2ar(r — y) w(x,y) = (y — r)2 — 2ax — + a2 — 1—a Do AV(x,y) < w(x,y) < 0, (x,y) G G, với G = {(x,y) : (y — r)2 — 2ax — 2ar(r — y) + a2 — < 0} 1—a Miền G bị chặn parabol w(x,y) = Hơn nữa, ta biết nghiệm bị chặn G hội tụ tới gốc Xét tập hợp tất điểm G mà hội tụ tới gốc Vmin = min{V(xo,yo) : (xo,yo) G dG} Jm = {(X *, Y *)}, X = xo + X *,Ỹ = xo + Y * V(x(m),y(m)) < Vmin,m = 0,1,2 Nếu (xo,yo) G Jo V(x(1),y(1)) < V(xo,yo) < Vmin, (x(1), (1)) y e Jo Tương tự ta (x(n),y(n)) G Jo với n = 1, 2,3 Do (x(n),y(n)) TO Nếu (xo,yo) G Jm V(x(m + 1),y(m + 1)) < V(x(m),y(m)) < Vmin Khi ta có (x(n),y(n)) nghiệm tầm thường (0,0) n TO Như Jm miền ổn định (0,0) Ví dụ 3.9 (Mơ hình Nicholson -Bailey) Giả sử H(n) mật độ loài vật chủ hệ thứ n, P(n) mật độ kí sinh hệ thứ n, f (H(n)’P(n)) phần loài vật chủ khơng có kí sinh, A tỉ lệ sinh sản, c số trung bình trứng cách đặt kí sinh vật chủ Ta có H(n + 1) = AH(n)f (H(n), P(n)) P(n + 1) = cH(n)[1 - f (H(n)’P(n))] Hệ số gặp gõ vật chủ vật kí sinh He = aH (n)P (n) (3.11) Nếu ụ số gặp gỡ loài vật chủ vật ký sinh xác suất r gặp gõ _ e-M _ He = 7T; ụ = H(n) Từ phuơng trình (3.11) ta có (3.12) ụ = aP (n) Với f (H(n), P(n)) = e aP(n) ta có phuơng trình H (n + 1) = AH (n)e-aP (n)’ P(n + 1) = cH(n) (1 - e (3.13) -aP(n) } (3.14) Điểm cân không tầm thuờng AlnA P * = InA a (1 — A)ac’ Bằng tuyến tính hố ta thấy (H*’ P*) khơng ổn định Do đó, ta xét mơ hình thực tế H(n + 1) = H(n) exp r(1 — H(n))k — aP (n) P (n + 1) = cH (n)(1 — exp(—aP (n))) Các điểm cân nghiệm = exp P * = cH *(1 — exp(—aP *)) H * = r (1 - q),H * = a ~K (1 - eaP* )■ Suy r(1 - HK) acH * — exp -r(1 - /K) H *x Do Rõ ràng H* = K, P* = trạng thái cân Để thực phân tích tính ổn định điểm cân (H2*, P2*) ta đặt H(n) = x(n) + H*,P(n) = y(n) + P2* Từ đó, ta có x(n + 1) = H* + (x(n) + H*) exp r(1 — ' ) — a(y(n)) + P2 , xn 'K y(n + 1) = P2 + c(x(n) + H*)[1 - exp(-a(y(n) + P*))] tuyến tính x(n + 1) =A y(n +1) với A = x(n) y(n) — rq —arq c(1 — exp(—r(1 — q))) X — r(1 — q) q = H X = t-exP^ql-q)) Bằng tuyến tính hóa quanh điểm (0,0) ta đuợc hệ phuơng trình sai phân Phuơng trình đặc trung A A2 — A(1 — r + X) + (1 — rq)x + rq(1 — q) = Sử dụng tiêu chuẩn ổn định biết | A| < o |1 — r+X| < + (1 — rq)x+r2q(1 — q) < Do (1 — r ) q x + r2q(1 — q) < 1 + (1 — rq)x + r2q(1 — q) > |1 — r + X| miền nghiệm ổn định tiệm cận điểm cân Kết luận Luận văn đạt kết sau: Hệ thống, làm rõ số kết tồn nghiệm, tính bị chặn nghiệm số lớp hệ phương trình sai phân tuyến tính phi tuyến Hệ thống, làm rõ số kết tính ổn định nghiệm số lớp hệ phương trình sai phân Trình bày số ví dụ áp dụng lý thuyết ổn định nghiệm phương trình, hệ phương trình sai phân Tài liệu tham khảo [1] D.c Huong, Persistence and global attractivity for a discretized version of a general model of glucose-insulin interaction, Demonstratio Mathematica, 49(3) (2016), 302-318 [2] D.c Huong, On Asymptotic stability and strict boundedness for non- autonomous nonlinear difference equations with time-varying delay, Vietnam Journal of Mathematics, 44(4) (2016), 789-800 [3] D.v Giang, D.c Huong, Extinction, Persistence and Global stability in model of Population Growth, Journal of Mathematical Analysis and Applications, 308(2005), 195-207 [4] D •C Huong, N.v Mau, On a nonlinear difference equation with variable delay, Demonstratio mathematica, Vol XLVI , No 1, 2013 [5] D.c Huong, On the Asymptotic Behavior of Solutions of a Nonlinear Difference Equation with Bounded Multiple Delay, Vietnam J Math 34:2 (2006), 163-170 [6] D.c Huong, Asymptotic stability and strict boundedness for non-autonomous nonlinear difference equations with time-varying delay, Vietnam J Math 44 ( 2016), 789-800 [7] D.v Giang, D.c Huong, Extinction, persistence and global stability in models of population growth, J Math Anal Appl 308(2005), 195207 [8] D.v Giang, D.c Huong, Nontrivial periodicity in discrete delay models of population growth, J Math Anal Appl, 305 (2005), 291-295 [9] D.L Jagerman , Difference Equations with Applications to Queues, Mar cel Dekker Ine (2000) [10] M.N Islam, E Yankson, Boundedness and stability in nonlinear delay difference equations employing fixed point theory, Electronic Journal of Qualitative Theory of Differential Equations, No 26 (2005), 1-18 [11]R.p Agarwal, Difference Equations and Inequalities Theory, Methods, and Applications, Marcel Dekker Ine (2000) [12] S.N Elaydi, An Introduction to difference Equations, Springer Verbg, third edition (2005) [13] Y.N Raffoul, c Tisdell, Positive periodic solutions of functional discrete systems and population models, 2005 Hindawi, Publishing Corporation (2005), 369-380 [14] Y.N Raffoul, Stability and periodicity in discrete delay equations, J Math Anal Appl 324 (2006), 1356-1362 [15] Y.N Raffoul, Periodicity in general delay non-linear difference equations using fixed point theory, Journal of Difference Equations and Applications, vol 10, No 13-15 (2004), 1229-1242 [16] N.v Mậu D.c Huởng, Sai phân, định lí áp dụng, NXB Đại Học Quốc Gia Hà Nội (2014) ... khơng ổn định, X = ổn định tiệm cận Chương TÍNH ỔN ĐỊNH CỦA MỘT số LỚP PHƯƠNG TRÌNH SAI PHÂN Trong chương chúng tơi trình bày số kết tính chất bị chặn tính ổn định nghiệm hệ phương trình sai phân. .. cho x(n) = x1(n) ổn định 2. 2Tính ổn định hệ phương trình sai phân phi tuyến 2.2.1 Tính ổn định hệ phương trình sai phân phi tuyến Xét hệ phương trình sai phân phi tuyến (1.42) Định lý 2.4 (Xem... Chương 1: Một số kiến thức chuẩn bị Chương trình bày khái niệm kết dùng chương luận văn Chương 2: Tính ổn định số lớp phương trình sai phân Chương trình bày tính ổn định hệ phương trình sai phân tuyến