Dáng điệu tiệm cận nghiệm của một số lớp phương trình đạo hàm riêng ngẫu nhiên

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN ——————— * ——————— NGUYỄN VĂN THÀNH DÁNG ĐIỆU TIỆM CẬN NGHIỆM CỦA MỘT SỐ LỚP PHƯƠNG TRÌNH ĐẠO HÀM RIÊNG NGẪU NHIÊN LUẬN ÁN TIẾN SĨ TOÁN HỌC Hà Nội - 2019 ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN ——————— * ——————— NGUYỄN VĂN THÀNH DÁNG ĐIỆU TIỆM CẬN NGHIỆM CỦA MỘT SỐ LỚP PHƯƠNG TRÌNH ĐẠO HÀM RIÊNG NGẪU NHIÊN Chun ngành: Phương trình vi phân tích phân Mã số: 9460101.03 LUẬN ÁN TIẾN SĨ TOÁN HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC PGS TS Cung Thế Anh Hà Nội - 2019 LỜI CAM ĐOAN Tôi xin cam đoan cơng trình nghiên cứu tơi hướng dẫn PGS.TS Cung Thế Anh Các kết phát biểu luận án hoàn toàn trung thực chưa công bố cơng trình khác Nghiên cứu sinh Nguyễn Văn Thành LỜI CẢM ƠN Luận án hoàn thành hướng dẫn nghiêm khắc, tận tình, cẩn thận PGS.TS Cung Thế Anh Tác giả xin bày tỏ lòng kính trọng biết ơn sâu sắc PGS.TS Cung Thế Anh, người Thầy dẫn dắt tác giả làm quen với nghiên cứu khoa học từ ngày sau tốt nghiệp thạc sĩ Ngoài dẫn mặt khoa học, động viên lòng tin tưởng Thầy dành cho tác giả động lực lớn giúp tác giả say mê nghiên cứu học tập Tác giả xin trân trọng gửi lời cảm ơn đến Ban Giám hiệu, Phòng Sau Đại học, Ban Chủ nhiệm Khoa Toán - Cơ - Tin học, Trường Đại học Khoa học Tự nhiên, Đại học Quốc gia Hà Nội, đặc biệt GS.TS Nguyễn Hữu Dư thầy giáo Bộ mơn Phương trình vi phân Hệ động lực Khoa Toán - Cơ - Tin học giúp đỡ, động viên, tạo môi trường học tập nghiên cứu thuận lợi cho tác giả Ngoài ra, tác giả xin cảm ơn thầy giáo, đặc biệt PGS.TS Trần Đình Kế, Bộ mơn Giải tích, Khoa Tốn - Tin, Trường Đại học Sư phạm Hà Nội, PGS.TSKH Đoàn Thái Sơn, Viện Tốn học, ln động viên, bảo, hướng dẫn kiến thức sở bổ ích cho hướng nghiên cứu tác giả Tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn đến Ban Giám hiệu, thầy cô anh chị đồng nghiệp công tác Tổ Tự nhiên, Trường THPT Chuyên Ngoại ngữ, tạo điều kiện thuận lợi, giúp đỡ động viên tác giả suốt trình học tập nghiên cứu Lời cảm ơn sau cùng, tác giả xin dành cho gia đình, đặc biệt người vợ yêu quý hai bên nội ngoại, người yêu thương, chia sẻ, động viên tác giả vượt qua khó khăn để hoàn thành luận án Mục lục Lời cam đoan Lời cảm ơn Mục lục Một số kí hiệu dùng luận án MỞ ĐẦU LỊCH SỬ VẤN ĐỀ VÀ LÍ DO CHỌN ĐỀ TÀI TỔNG QUAN VẤN ĐỀ NGHIÊN CỨU 10 MỤC ĐÍCH, ĐỐI TƯỢNG VÀ PHẠM VI NGHIÊN CỨU 15 PHƯƠNG PHÁP NGHIÊN CỨU 17 KẾT QUẢ CỦA LUẬN ÁN 18 CẤU TRÚC CỦA LUẬN ÁN 19 Chương MỘT SỐ KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 21 1.1 CÁC KHÔNG GIAN HÀM 21 1.1.1 Không gian Sobolev 21 1.1.2 Khơng gian Sobolev có trọng 22 1.1.3 Không gian hàm biến thời gian 23 1.2 MỘT SỐ KẾT QUẢ VỀ GIẢI TÍCH NGẪU NHIÊN TRONG KHÔNG GIAN HILBERT 1.2.1 Một số khái niệm 24 24 1.2.2 Khơng gian hàm q trình ngẫu nhiên 26 1.2.3 Tích phân ngẫu nhiên không gian Hilbert 27 1.2.4 Công thức Ito không gian Hilbert 30 1.3 MỘT SỐ KHÁI NIỆM CƠ BẢN VỀ HỆ ĐỘNG LỰC NGẪU NHIÊN VÀ TẬP HÚT NGẪU NHIÊN 31 1.4 MỘT SỐ KẾT QUẢ BỔ TRỢ 33 1.4.1 Một số bất đẳng thức thường dùng 33 1.4.2 Một số bổ đề quan trọng 35 Chương DÁNG ĐIỆU TIỆM CẬN NGHIỆM CỦA MỘT LỚP PHƯƠNG TRÌNH PARABOLIC NỬA TUYẾN TÍNH SUY BIẾN NGẪU NHIÊN 37 2.1 TÍNH TRƠN CỦA TẬP HÚT NGẪU NHIÊN 37 2.1.1 Đặt toán 37 2.1.2 Sự tồn tập hút ngẫu nhiên không gian Lp (O) 41 2.1.3 Sự tồn tập hút ngẫu nhiên không gian D01 (O, σ) 56 2.2 ỔN ĐỊNH HÓA NGHIỆM DỪNG BẰNG NHIỄU NGẪU NHIÊN NHÂN TÍNH 63 2.2.1 Sự tồn tính ổn định nghiệm dừng phương trình tất định 64 2.2.2 Ổn định hóa nghiệm dừng nhiễu ngẫu nhiên nhân tính 68 Chương DÁNG ĐIỆU TIỆM CẬN NGHIỆM CỦA HỆ NAVIER-STOKESVOIGT NGẪU NHIÊN 74 3.1 SỰ TỒN TẠI VÀ TÍNH DUY NHẤT NGHIỆM 74 3.1.1 Đặt toán 74 3.1.2 Sự tồn tính nghiệm 77 3.2 TÍNH ỔN ĐỊNH MŨ CỦA NGHIỆM DỪNG 97 3.2.1 Sự tồn tính ổn định nghiệm dừng hệ phương trình Navier-Stokes-Voigt tất định 97 3.2.2 Ổn định mũ bình phương trung bình 99 3.2.3 Ổn định mũ hầu chắn 103 3.3 ỔN ĐỊNH HÓA NGHIỆM BẰNG ĐIỀU KHIỂN CÓ GIÁ ĐỦ LỚN BÊN TRONG MIỀN 105 3.3.1 Đặt toán 105 3.3.2 Sự ổn định hệ phương trình Navier-Stokes-Voigt ngẫu nhiên 106 3.3.3 Ổn định hóa điều khiển phản hồi có giá đủ lớn bên miền 108 Chương DÁNG ĐIỆU TIỆM CẬN NGHIỆM CỦA HỆ KELVIN-VOIGTBRINKMAN-FORCHHEIMER NGẪU NHIÊN 112 4.1 Đặt toán 112 4.2 Tính ổn định mũ nghiệm dừng 113 4.2.1 Ổn định mũ bình phương trung bình 113 4.2.2 Ổn định mũ hầu chắn 117 KẾT LUẬN 121 KẾT QUẢ ĐẠT ĐƯỢC 121 KIẾN NGHỊ MỘT SỐ VẤN ĐỀ NGHIÊN CỨU TIẾP THEO 122 DANH MỤC CÁC CƠNG TRÌNH CƠNG BỐ ĐƯỢC SỬ DỤNG TRONG LUẬN ÁN 123 TÀI LIỆU THAM KHẢO 124 MỘT SỐ KÍ HIỆU THƯỜNG DÙNG TRONG LUẬN ÁN H, V không gian hàm dùng để nghiên cứu hệ Navier-Stokes-Voigt, Kelvin-Voigt-BrinkmanForchheimer V′ không gian đối ngẫu không gian V | · |p chuẩn không gian Lp (O), p ≥ (·, ·), | · | tích vơ hướng chuẩn khơng gian H ((·, ·)), ∥ · ∥ tích vơ hướng chuẩn không gian V ∥ · ∥∗ chuẩn không gian V ′ ⟨·, ·⟩ đối ngẫu V V ′ Id ánh xạ đồng A, B toán tử dùng để nghiên cứu hệ Navier-StokesVoigt, Kelvin-Voigt-Brinkman-Forchheimer D(A) miền xác định toán tử A ⇀ hội tụ yếu (theo nghĩa giải tích hàm) Y X bao đóng Y X dist(A, B) nửa khoảng cách Hausdorff hai tập A, B L2 (K0 , H) khơng gian tất các tốn tử tuyến tính Hilbert-Schmidt từ K0 vào H MỞ ĐẦU LỊCH SỬ VẤN ĐỀ VÀ LÍ DO CHỌN ĐỀ TÀI Phương trình đạo hàm riêng ngẫu nhiên xuất nhiều q trình vật lí, hóa học sinh học, chẳng hạn trình truyền nhiệt khuếch tán, q trình truyền sóng học chất lỏng, mơ hình quần thể sinh học mà tác động ngoại lực liên tục ngẫu nhiên Việc nghiên cứu lớp phương trình có ý nghĩa quan trọng khoa học cơng nghệ Chính thu hút quan tâm nhiều nhà khoa học giới Một vấn đề định tính quan trọng nghiên cứu lớp phương trình đạo hàm riêng ngẫu nhiên có ứng dụng xét tính đặt tốn sau nghiên cứu dáng điệu tiệm cận nghiệm thời gian t → ∞ Đây việc làm có ý nghĩa thực tiễn, nghiệm phương trình đạo hàm riêng ngẫu nhiên thường mơ tả trạng thái mơ hình thực tế Do đó, biết dáng điệu tiệm cận nghiệm, ta dự đốn xu phát triển hệ tương lai đưa đánh giá, điều chỉnh thích hợp để đạt kết mong muốn Về mặt toán học, điều làm nảy sinh hướng nghiên cứu mới, phát triển mạnh mẽ khoảng vài thập kỉ gần lí thuyết dáng điệu tiệm cận nghiệm phương trình đạo hàm riêng ngẫu nhiên Hai hướng nghiên cứu dáng điệu tiệm cận nghiệm phương trình đạo hàm riêng ngẫu nhiên: • Nghiên cứu dáng điệu tiệm cận nghiệm hệ động lực ngẫu nhiên cách sử dụng lí thuyết tập hút ngẫu nhiên Bài toán lí thuyết nghiên cứu tồn tính chất tập hút ngẫu nhiên, chẳng hạn tính trơn tập hút, đánh giá số chiều tập hút, nghiên cứu phụ thuộc liên tục tập hút vào tham số, • Nghiên cứu tính ổn định nghiệm phương trình đạo hàm riêng ngẫu nhiên Nói riêng nghiên cứu tồn tính ổn định nghiệm dừng hệ tất định tương ứng ảnh hưởng nhiễu ngẫu nhiên Trong trường hợp nghiệm dừng không ổn định, nghiên cứu tốn ổn định hóa nghiệm dừng cách sử dụng nhiễu ngẫu nhiên phù hợp sử dụng điều khiển phản hồi có giá biên bên miền Dưới điểm qua số kết tiêu biểu hai hướng nghiên cứu nghiên cứu này, liên quan đến nội dung luận án Khái niệm tập hút ngẫu nhiên mở rộng khái niệm tập hút toàn cục hệ động lực tất định, giới thiệu H Crauel, A Debussche, F Flandoli [29, 30] Từ đời đến nay, hướng nghiên cứu tập hút ngẫu nhiên tính chất thu hút quan tâm nhiều nhà toán học giới Sau hai thập kỉ phát triển, tồn tính chất tập hút ngẫu nhiên nghiên cứu cho lớp rộng phương trình đạo hàm riêng phi tuyến Nói riêng, [29, 30] tác giả xét lớp phương trình phản ứng khuếch tán với nhiễu ngẫu nhiên cộng tính dạng du = ∆udt + f (u)dt + m ∑ hj (x)dWj , j=1 số hạng phi tuyến f (u) tăng trưởng tiêu hao kiểu đa thức, chứng minh tồn tập hút ngẫu nhiên hệ động lực ngẫu nhiên sinh phương trình Tiếp tục phát triển vấn đề này, năm gần đây, nhiều nhà toán học quan tâm nghiên cứu tồn tính chất tập hút ngẫu ∑m nhiên cho lớp phương trình parabolic với nhiễu cộng tính j=1 hj (x)dWj 118 tính tương tự (3.7) ta có ∥u(t) − u∗ ∥2V ∫ t + 2ν ∫ ∥u(s) − u∗ ∥2 ds N t ⟨b(u(s) − u∗ , u∗ ), u(s) − u∗ ⟩ ds ≤∥u(N ) − u∗ ∥2V − N ∫ t∫ −2 (f (x, u(s)) − f (x, u∗ ))(u(s) − u∗ ))dxds N O ∫ t ∫ t (u(s) − u∗ , h(s, u(s))dW (s)) + ∥h(s, u(s))∥L2 (K0 ;H) ds + N N Hơn nữa, theo định lí Burkholder-Davis-Gundy (xem Bổ đề 1.6), ta có [ ] ∫ t ∗ 2E sup (u(s) − u , h(s, u(s))dW (s)) N ≤t≤N +1 [∫ N +1 ≤ n1 E N [ ≤ n1 E N ]1/2 |u(N ) − u∗ |2 ∥h(s, u(s))∥2L2 (K0 ;H) ds sup N ≤t≤N +1 |u(t) − u∗ |2 ∫ ]1/2 N +1 N ∥h(s, u(s))∥2L2 (K0 ;H) ds với n1 số dương Sử dụng điều kiện (K1), ta có (1 + α2 λ1 )|u(N ) − u∗ |2 ≤ |u(N ) − u∗ |2 + α2 ∥u(N ) − u∗ ∥2 , [ 2E ∫ t sup N ≤t≤N +1 [ ≤ n1 E sup N ≤s≤N +1 (u(s) − u∗ , h(s, u(s))dW (s)) N (1 + α2 λ1 )−1 (|u(N ) − u∗ |2 ∗ ∫ N +1 + α ∥u(N ) − u ∥ ) ∫ ] N ]1/2 ∥h(s, u(s))∥2L2 (K0 ;H) ds N +1 ≤ n2 N + E [ E∥h(s, u(s))∥2L2 (K0 ;H) ds sup N ≤t≤N +1 ] (|u(t) − u∗ |2 + α2 ∥u(t) − u∗ ∥2 ) , , 119 n2 = [ E 2n1 > Từ đó, tồn số n0 > cho + α λ1 ] ∗ sup ∥u(t) − u ∥V N ≤t≤N +1 ≤ E∥u(N ) − + u∗ ∥2V −1/4 2Cλ1 + 2Kλ−1 E ∫ ( ∫ ∫ N +1 − 2νE ∥u(s) − u∗ ∥2 ds N ∥g∥2V ′ 2∥ψ1 ∥L1 + ν ν N +1 )1/2 ∫ N +1 E ∥u(s) − u∗ ∥2 ds N ∥u(s) − u∗ ∥2 ds N N +1 + n0 E N ∥h(s, u(s))∥2L2 (K0 ;H) ds + E sup ∥u(t) − u∗ ∥2V N ≤t≤N +1 ≤ E∥u(N ) − u∗ ∥2V ( ) ∫ ( ) 21 N +1 2C ∥g∥V ′ 2K 2∥ψ1 ∥L1 + −2ν + + E ∥u(s) − u∗ ∥2 ds + ν ν λ N λ1 ∫ N +1 + n0 E ∥h(s, u(s))∥2L2 (K0 ;H) ds + E sup ∥u(t) − u∗ ∥2V N ≤t≤N +1 N Từ điều kiện (4.4) Định lí 4.2, ta thu [ ] ∗ E sup ∥u(t) − u ∥V N ≤t≤N +1 ∫ N +1 ∗ ≤ E∥u(N ) − u ∥V + n0 E ∥h(s, u(s))∥2L2 (K0 ;H) ds N N +1 ∫ ≤ E∥u(N ) − u∗ ∥2V + n0 E γ(s)|u(s) − u∗ |2 ds N ) ) ( ( ∫ N +1 −as aN ∗ ∗ + n0 E∥u0 − u ∥V ds, γ(s) exp ≤ E∥u0 − u ∥V exp − 2 N với N ≥ T (a) Vì γ(t) bị chặn nên tồn M1 > thỏa mãn γ(t) ≤ M1 với t ≥ 120 Vì [ E sup ∗ N ≤t≤N +1 ∗ ] |u(t) − u | + α ∥u(t) − u ∥ ( ( ) ) ∫ N +1 −as aN ∗ M1 exp ≤ 2E∥u0 − exp − + 2n0 E∥u0 − u ∥V ds 2 N ) ( ) ( aN aN ∗ −a/2 ∗ + n0 E∥u0 − u ∥V M1 (1 − e ) exp − ≤ 2E∥u0 − u ∥V exp − a u∗ ∥2V ≤ M e− aN , với N ≥ T (a) M = 2E∥u0 − u∗ ∥2V + n0 E∥u0 − u∗ ∥2V M1 (1 − e−a/2 ) a Theo bất đẳng thức Chebychev, ta có { } ∗ − a−2ϵ N P ω: sup ∥u(t) − u ∥V > e ≤ M0 e−ϵN , N ≤t≤N +1 với N ≥ T (a), M0 số dương ϵ ∈ (0, a/2), từ Bổ đề Borel-Cantelli (xem Bổ đề 1.7), tồn số nguyên n0 (ω) > T (a) cho sup N ≤t≤N +1 ∥u(t) − u∗ ∥V ≤ e− (a−2ϵ)N , hầu chắn, với n ≥ n0 Định lí chứng minh KẾT LUẬN CHƯƠNG Trong chương này, nghiên cứu dáng điệu tiệm cận nghiệm hệ phương trình Kelvin-Voigt-Brinkman-Forchheimer ngẫu nhiên ba chiều Chúng thiết lập điều kiện đủ cho tính ổn định mũ bình phương trung bình ổn định mũ hầu chắn nghiệm dừng hệ tất định tác động nhiễu ngẫu nhiên (Định lí 4.2, Định lí 4.3) 121 KẾT LUẬN KẾT QUẢ ĐẠT ĐƯỢC Trong luận án này, nghiên cứu dáng điệu tiệm cận nghiệm lớp phương trình parabolic suy biến nửa tuyến tính ngẫu nhiên, hệ phương trình Navier-Stokes-Voigt ngẫu nhiên ba chiều hệ phương trình Kelvin-VoigtBrinkman-Forchheimer ngẫu nhiên ba chiều Các kết đạt bao gồm: • Đối với lớp phương trình parabolic suy biến nửa tuyến tính ngẫu nhiên: Chứng minh tồn tập hút ngẫu nhiên không gian Lp (O) D01 (O, σ) Thiết lập điều kiện đủ cho tồn tính ổn định nghiệm dừng phương trình tất định Trong trường hợp nghiệm dừng khơng ổn định, chứng minh ổn định hóa nhiễu ngẫu nhiên nhân tính có cường độ đủ mạnh • Đối với hệ phương trình Navier-Stokes-Voigt ngẫu nhiên ba chiều: Chứng minh tồn nghiệm Thiết lập điều kiện đủ cho tính ổn định mũ theo bình phương trung bình hầu chắn nghiệm dừng hệ tất định ảnh hưởng nhiễu ngẫu nhiên Ổn định hóa nghiệm dừng điều khiển phản hồi có giá đủ lớn bên miền trường hợp nghiệm dừng khơng ổn định • Đối với hệ phương trình Kelvin-Voigt-Brinkman-Forchheimer ngẫu nhiên ba chiều: Thiết lập điều kiện đủ cho tính ổn định theo bình phương trung bình ổn định hầu chắn nghiệm dừng hệ tất định ảnh hưởng nhiễu ngẫu nhiên 122 KIẾN NGHỊ MỘT SỐ VẤN ĐỀ NGHIÊN CỨU TIẾP THEO Bên cạnh kết đạt luận án, số vấn đề mở cần tiếp tục nghiên cứu như: • Tiếp tục nghiên cứu tính chất tập hút ngẫu nhiên lớp phương trình parabolic suy biến nhận luận án, chẳng hạn đánh giá số chiều Hausdorff số chiều fractal, nghiên cứu cấu trúc tập hút ngẫu nhiên, phụ thuộc tập hút vào tham số nhiễu ngẫu nhiên • Nghiên cứu tồn tính ổn định nghiệm dừng khơng (tức nghiệm dừng theo nghĩa ngẫu nhiên) hệ Navier-Stokes-Voigt hệ Kelvin-Voigt-Brinkmann-Forchheimer ngẫu nhiên • Nghiên cứu hội tụ nghiệm hệ Navier-Stokes-Voigt ngẫu nhiên tham số α dần đến 0, tức so sánh nghiệm hệ NavierStokes-Voigt ngẫu nhiên với nghiệm tương ứng hệ Navier-Stokes ngẫu nhiên 123 DANH MỤC CÁC CƠNG TRÌNH KHOA HỌC CỦA TÁC GIẢ LIÊN QUAN ĐẾN LUẬN ÁN C.T Anh, T.Q Bao and N.V Thanh (2012), Regularity of random attractors for stochastic semilinear degenerate parabolic equations, Elect J Differential Equations, No 207, 22 pp C.T Anh and N.V Thanh (2016), Asymptotic behavior of the stochastic Kelvin-Voigt-Brinkman-Forchheimer equations, Stoch Anal Appl., 34 no 3, 441-455 C.T Anh and N.V Thanh (2016), Stabilization of a class of semilinear degenerate parabolic equations by Ito noise, Random Oper Stoch Equ., 24, no 3, 147-155 C.T Anh and N.V Thanh (2018), On the existence and long-time behavior of solutions to stochastic three-dimensional Navier-Stokes-Voigt equations, Stochastics, 91 (4), 485-513 N.V Thanh (2018), Internal stabilization of stochastic 3D Navier-StokesVoigt equations with linearly multiplicative Gaussian noise, Random Oper Stoch Equ., accepted 124 Tài liệu tham khảo [1] C.T Anh and T.Q Bao (2010), Pullback attractors for a non-autonomous semi-linear degenerate parabolic equation, Glasgow Math J 52, 537-554 [2] C.T Anh, T.Q Bao and L.T Thuy (2013), Regularity and fractal dimension of pullback attractors for a non-autonomous semilinear degenerate parabolic equations, Glasgow Math J 55, 431-448 [3] C.T Anh, N.D Binh and L.T Thuy (2010), On the global attractors for a class of semilinear degenerate parabolic equations, Ann Pol Math 98, 71-89 [4] C.T Anh and P.Q Hung (2008), Global existence and long-time behavior of solutions to a class of degenerate parabolic equations, Ann Pol Math 93, 217-230 [5] C.T Anh and D.T.P Thanh (2018), Existence and long-time behavior of solutions to Navier-Stokes-Voigt equations with infinite delay, Bull Korean Math Soc 55, 379-403 [6] C.T Anh, N.V Thanh and N.V.Tuan (2017), On the stability of solutions to stochastic 2D g-Navier-Stokes equations with finite delays, Random Oper Stoch Equ 25, 211-224 [7] C.T Anh and P.T Trang (2013), On the 3D Kelvin-Voigt-BrinkmanForchheimer equations in some unbounded domains, Nonlinear Anal 89, 36-54 125 [8] C.T Anh and P.T Trang (2013), Pull-back attractors for threedimensional Navier-Stokes-Voigt equations in some unbounded domains, Proc Roy Soc Edinburgh Sect A 143, 223-251 [9] C.T Anh and N.V Tuan (2018), Stabilization of 3D Navier-Stokes-Voigt equations, Georgian Math J., DOI: 10.1515/gmj-2018-0067 [10] L Arnold, H Crauel and V Wihstutz (1983), Stabilization of linear systems by noise, SIAM J Control Optim 21, 451-461 [11] L Arnold (1998), Random Dynamical Systems, Springer-Verlag, Berlin [12] V Barbu (2013), Note on the internal stabilization of stochastic parabolic equations with linearly multiplicative Gaussian noise, ESAIM Control Optim Calc Var 19, 1055-1063 [13] A Bensoussan (1995), Stochastic Navier-Stokes equations, Acta Appl Math 38, 267-304 [14] V Barbu and C Lefter (2003), Internal stabilizability of the Navier-Stokes equations, Systems Control Lett 48, 161-167 [15] P.W Bates, H Lisei and K Lu (2006), Attractors for stochastic lattice dynamical system, Stoch Dyn 6, 1-21 [16] P.W Bates, K Lu and B Wang (2009), Random attractors for stochastic reaction-diffusion equations on unbounded domains, J Differential Equations 246, 845-869 [17] T.Q Bao (2014), Dynamics of stochastic three dimensional Navier-StokesVoigt equations on unbounded domains, J Math Anal Appl 419, 583605 126 [18] N.D Binh, N.N Thang and L.T Thuy (2016), Pullback attractors for a non-autonomous semilinear degenerate parabolic equation on RN , Acta Math Vietnam 41, 183-199 [19] H.I Breckner (1999), Approximation and Optimal Control of the Stochastic Navier-Stokes Equation, PhD dissertation, Martin-Luther University, Halle-Wittenberg [20] Z Brzezniak and E Motyl (2013), Existence of a martingale solution of the stochastic Navier-Stokes equations in unbounded 2D and 3D domains, J Differential Equations 254, 1627-1685 [21] P Caldiroli and R Musina (2000), On a variational degenerate elliptic problem, Nonlinear Diff Equ Appl 7, 187-199 [22] Y Cao, E.M Lunasin and E.S Titi (2006), Global well-posedness of the three-dimensional viscous and inviscid simplified Bardina turbulence models, Commun Math Sci 4, 823-848 [23] T Caraballo, J.A Langa and J.C Robinson (2000), Stability and random attractors for a reaction-diffusion equation with multiplicative noise, Discrete Contin Dynam Syst 6, 875-892 [24] T Caraballo and P.E Kloeden (2010), Stabilization of evolution equations by noise, Recent development in stochastic dynamics and stochastic analysis, 43-66, Interdiscip Math Sci., 8, World Sci Publ., Hackensack, NJ [25] T Caraballo, K Liu and X Mao (2001), On stabilization of partial differential equations by noise, Nagoya Math J 161, 155-170 [26] T Caraballo, J.A Langa and T Taniguchi (2002), The exponential behaviour and stabilizability of stochastic 2D Navier-Stokes equations, J Differential Equations 179, 714-737 127 [27] T Caraballo, A.M Márquez-Durán and J Real (2006), The asymptotic behaviour of a stochastic 3D LANS-α model, Appl Math Optim 53, 141161 [28] T Caraballo, J Real and T Taniguchi (2006), On the existence and uniqueness of solutions to stochastic three-dimensional Lagrangian averaged Navier-Stokes equations, Proc R Soc Lond Ser A Math Phys Eng Sci 462, 459-479 [29] H Crauel, A Debussche and F Flandoli (1997), Random attractors, J Dynam Differential Equations 9, 307-341 [30] H Crauel and F Flandoli (1994), Attractors for random dynamical sytems, Probab Theory Related Fields 100, 365-393 [31] M Coti Zelati and C.G Gal (2015), Singular limits of Voigt models in fluid dynamics, J Math Fluid Mech 17, 233-259 [32] J Duan and W Wang (2014), Effective Dynamics of Stochastic Partial Differential Equations, Elsevier [33] R Dautray and J.L Lions (1985), Mathematical Analysis and Numerical Methods for Science and Technology, Vol I: Physical origins and classical methods, Springer-Verlag, Berlin [34] G Da Prato and J Zabczyk (2014), Stochastic Equations in Infinite Dimensions, second edition, Cambridge University Press, Cambridge [35] L Gawarecki and V Mandrekar (2011), Stochastic Differential Equations in Infinite Dimensions with Applications to Stochastic Partial Differential Equations, Springer, Heidelberg [36] J García-Luengo, P Marín-Rubio and J Real (2012), Pullback attractors for three-dimensional non-autonomous Navier-Stokes-Voigt equations, Nonlinearity 25, 905-930 128 [37] H Gao and C Sun (2012), Random dynamics of the 3D stochastic NavierStokes-Voight equations, Nonlinear Anal Real World Appl 13, 1197-1205 [38] R.Z Has’minskii (1980), Stochastic Stability of Differential Equations, Sijthoff and Noordhoff, Netherlands [39] M Holst, E Lunasin and G Tsogtgerel (2010), Analysis of a general family of regularized Navier-Stokes and MHD models, J Nonlinear Sci 20, 523-567 [40] N.I Karachalios and N.B Zographopoulos (2005), Convergence towards attractors for a degenerate Ginzburg-Landau equation, Z Angew Math Phys 56, 11-30 [41] N.I Karachalios and N.B Zographopoulos (2006), On the dynamics of a degenerate parabolic equation: Global bifurcation of stationary states and convergence, Calc Var Partial Differential Equations 25, 361-393 [42] V.K Kalantarov (1986), Attractors for some nonlinear problems of mathematical physics, Zap Nauchn Sem Lenigrad Otdel Math Inst Steklov (LOMI) 152, 50-54 [43] V.K Kalantarov, B Levant and E.S Titi, Gevrey regularity for the attractor of the 3D Navier-Stoke-Voight equations, J Nonlinear Sci 19 (2009), 133-152 [44] V.K Kalantarov and E.S Titi (2009), Global attractor and determining modes for the 3D Navier-Stokes-Voight equations, Chin Ann Math Ser B 30, 697-714 [45] V.K Kalantarov and S Zelik (2012), Smooth attractors for the BrinkmanForchheimer equations with fast growing nonlinearities, Comm Pure Appl Anal 11, 2037-2054 129 [46] I Karatzas and S.E Shreve (1991), Brownian Motion and Stochastic Calculus, 2nd edition, Springer-Verlag, New York [47] J.A Langa, J Real and J Simon (2003), Existence and regularity of the pressure for the stochastic Navier-Stokes equations, Appl Math Optim 48, 195-210 [48] D Li and C Sun (2016), Attractors for a class of semi-linear degenerate parabolic equations with critical exponent, J Evol Equ 16, 997-1015 [49] X Li, C Sun and N Zhang (2016), Dynamics for a non-autonomous degenerate parabolic equation in D01 (Ω, σ), Discrete Contin Dyn Syst 36, 7063-7079 [50] X Li, C Sun and F Zhou (2016), Pullback attractors for a nonautonomous semilinear degenerate parabolic equation, Topol Methods Nonlinear Anal 47, 511-528 [51] J.L Lions (1969), Quelques Méthodes de Résolution des Problèmes aux Limites non Linéaires, Dunod, Gauthier-Villars, Paris [52] K Liu (1997), On stability for a class of semilinear stochastic evolution equations, Stochastic Process Appl 70, 219-241 [53] K Liu (2006), Stability of Infinite Dimensional Stochastic Differential Equations with Applications, Chapman & Hall/CRC Monographs and Surveys in Pure and Applied Mathematics, 135 Chapman & Hall/CRC, Boca Raton, FL [54] Y Li and B Guo (2008), Random attractors for quasi-continuous random dynamical systems and applications to stochastic reaction-diffusion equations, J Differential Equations 245, 1775-1800 130 [55] J Li, Y Li and B Wang (2010), Random attractors of reaction-diffusion equations with multiplicative noise in Lp , App Math Comp 215, 33993407 [56] R.S Liptser and A.N Shiryayev (1989), Theory of Martingales, Kluwer Academic Publishers Group, Dordrecht [57] Q.F Ma, S.H Wang and C.K Zhong (2002), Necessary and sufficient conditions for the existence of global attractor for semigroups and applications, Indiana University Math J 51, 1541-1559 [58] T Medjo (2011), The exponential behavior of the stochastic threedimensional primitive equations with multiplicative noise, Nonlinear Anal Real World Appl 12, 799-810 [59] X Mao (1997), Stochastic Differential Equations and Applications, Horwood, Chichester [60] E Pardoux (1975), Équations aux Dérivées Partielles Stochastiques Non Linéaires Monotones, Thèse, Université Paris XI [61] M Scheutzow (1993), Stabilization and destabilization by noise in the plane, Stoch Anal Appl 11, 97-113 [62] A.P Oskolkov (1973), The uniqueness and solvability in the large of boundary value problems for the equations of motion of aqueous solutions of polymers, Zap Nauchn Sem Leningrad Otdel Math Inst Steklov (LOMI) 38, 98-136 [63] P.A Razafimandimby and M Sango (2012), On the exponential behaviour of stochastic evolution equations for non-Newtonian fluids, Appl Anal 91, 2217-2233 131 [64] P.A Razafimandimby and M Sango (2012), Strong solution for a stochastic model of two-dimensional second grade fluids: existence, uniqueness and asymptotic behavior, Nonlinear Anal 75, 4251-4270 [65] P.A Razafimandimby and M Sango (2015), Existence and large time behavior for a stochastic model of modified magnetohydrodynamic equations, Z Angew Math Phys 66, 2197-2235 [66] B Schmalfuss (1997), Qualitative properties for the stochastic NavierStokes equation, Nonlinear Anal 28, 1545-1563 [67] C Sun and H Gao (2010), Hausdorff dimension of random attractor for stochastic Navier-Stokes-Voight equations and primitive equations, Dyn Partial Differ Equ 7, 307-326 [68] R Temam (1979), Navier-Stokes Equations: Theory and Numerical Analysis, 2nd edition, Amsterdam: North-Holland [69] R Temam (1995), Navier-Stokes Equations and Nonlinear Functional Analysis, 2nd edition, Philadelphia [70] Y Wang and C.K Zhong (2008), On the existence of pullback attractors for non-autonomous reaction diffusion, Dyn Syst 23, 1-16 [71] Z Wang and S Zhou (2011), Random attractors for stochastic reactiondiffusion equation with multiplicative noise on unbounded domains, J Math Anal Appl 384, 160-172 [72] M Yang and P.E Kloeden (2011), Random attractors for stochastic semilinear degenerate parabolic equations, Nonlinear Anal Real World Appl 12, 2811-2821 [73] J Yin, Y Li and H Zhao (2013), Random attractors for stochastic semilinear degenerate parabolic equations with additive noise in Lq , Appl Math Comput 225, 526-540 132 [74] G Yue and C.K Zhong (2011), Attractors for autonomous and nonautonomous 3D Navier-Stokes-Voight equations, Discrete Cont Dyna Syst Ser B 16, 985-1002 [75] W Zhao and Y Li (2012), (L2 , Lp )-random attractors for stochastic reaction-diffusion equation on unbounded domains, Nonlinear Anal 75, 485-502 [76] C.K Zhong, M.H Yang and C.Y Sun (2006), The existence of global attractors for the norm-to-weak continuous semigroup and application to the nonlinear reaction-diffusion equations, J Differential Equations 223, 367-399 [77] W Zhao (2014), Regularity of random attractors for a degenerate parabolic equations driven by additive noises, Appl Math Comput 239, 358-374 [78] W Zhao (2016), Regularity of random attractors for a stochastic degenerate parabolic equations driven by multiplicative noise, Acta Math Sci Ser B (Engl Ed.) 36, 409-427 [79] W Zhao (2018), Random dynamics of non-autonomous semi-linear degenerate parabolic equations on RN driven by an unbounded additive noise, Discrete Contin Dyn Syst Ser B 23, 2499-2526 [80] W Zhao and Y Li (2014), Random attractors for stochastic semi-linear degenerate parabolic equations with additive noises, Dyn Partial Differ Equ 11, 269-298 ... thuyết dáng điệu tiệm cận nghiệm phương trình đạo hàm riêng ngẫu nhiên Hai hướng nghiên cứu dáng điệu tiệm cận nghiệm phương trình đạo hàm riêng ngẫu nhiên: • Nghiên cứu dáng điệu tiệm cận nghiệm. .. KHOA HỌC TỰ NHIÊN ——————— * ——————— NGUYỄN VĂN THÀNH DÁNG ĐIỆU TIỆM CẬN NGHIỆM CỦA MỘT SỐ LỚP PHƯƠNG TRÌNH ĐẠO HÀM RIÊNG NGẪU NHIÊN Chuyên ngành: Phương trình vi phân tích phân Mã số: 9460101.03... NGHIÊN CỨU • Mục đích luận án: Nghiên cứu dáng điệu tiệm cận nghiệm lớp phương trình parabolic suy biến ngẫu nhiên số lớp phương trình đạo hàm riêng ngẫu nhiên học chất lỏng, bao gồm hệ NavierStokes-Voigt