Xấp xỉ và ổn định của một số lớp phương trình với các hàm splines

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI NGUYỄN THỊ LUẬN XẤP XỈ VÀ ỔN ĐỊNH CỦA MỘT SỐ LỚP PHƯƠNG TRÌNH VỚI CÁC HÀM SPLINES LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC HÀ NỘI, 2016 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI NGUYỄN THỊ LUẬN XẤP XỈ VÀ ỔN ĐỊNH CỦA MỘT SỐ LỚP PHƯƠNG TRÌNH VỚI CÁC HÀM SPLINES Chuyên ngành: Toán giải tích Mã số : 60 46 01 02 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Người hướng dẫn khoa học TS Nguyễn Văn Tuấn HÀ NỘI, 2016 Lời cảm ơn Tôi xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành sâu sắc đến TS Nguyễn Văn Tuấn, người thầy định hướng chọn đề tài nhiệt tình hướng dẫn để hoàn thành luận văn Tôi xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành tới Phòng Sau đại học, thầy cô giáo giảng dạy chuyên ngành Toán giải tích trường Đại học Sư phạm Hà Nội giúp đỡ suốt trình học tập trường Nhân dịp xin gửi lời cảm ơn đến gia đình, bạn bè, cổ vũ, động viên, tạo điều kiện để hoàn thành luận văn Hà Nội, ngày 10 tháng năm 2016 Tác giả Nguyễn Thị Luận Lời cam đoan Tôi xin cam đoan, bảo hướng dẫn TS Nguyễn Văn Tuấn, luận văn chuyên ngành Toán giải tích với đề tài: “Xấp xỉ ổn định số lớp phương trình với hàm splines” hoàn thành nhận thức tìm hiểu thân tác giả Trong trình nghiên cứu thực luận văn, tác giả kế thừa kết nhà khoa học với trân trọng biết ơn Hà Nội, ngày 10 tháng năm 2016 Tác giả Nguyễn Thị Luận Mục lục Mở đầu Kiến thức chuẩn bị 1.1 1.2 1.3 Không gian tuyến tính 1.1.1 Khái niệm không gian tuyến tính 1.1.2 Vectơ độc lập tuyến tính, không gian 10 Không gian định chuẩn 12 1.2.1 Khái niệm không gian định chuẩn 12 1.2.2 Sự hội tụ không gian định chuẩn 14 Không gian Hilbert 14 1.4 Sự ổn định hệ phương trình sai phân 16 1.4.1 Khái niệm mở đầu phương pháp sai phân 1.4.2 Sự ổn định toán sai phân 22 1.4.3 Phân tích ổn định Von-Neumann 25 Hàm spline phương pháp kết hợp 16 29 2.1 Spline B-spline 29 2.1.1 Không gian hàm spline B-spline 29 2.1.2 Hàm spline bậc 34 2.2 Phương pháp kết hợp (Collocation Method) 35 2.2.1 Định nghĩa 35 2.2.2 Ví dụ 36 2.3 Xấp xỉ ổn định số lớp phương trình 40 2.3.1 Phương pháp kết hợp với sở B-spline bậc giải phương trình truyền nhiệt chiều 40 2.3.2 Phương pháp kết hợp với sở B-spline bậc giải phương trình Burgers 50 Ứng dụng 58 3.1 Ứng dụng với phương trình truyền nhiệt chiều 58 3.2 Ứng dụng với phương trình Burgers 69 Kết luận Tài liệu tham khảo 77 78 BẢNG KÍ HIỆU N Tập số tự nhiên N∗ R C Tập số tự nhiên khác không Tập số thực Tập số phức C[a,b] Tập tất hàm số thực liên tục [a, b] S3(π) Tập tất hàm spline đa thức bậc · Chuẩn Mở đầu Lí chọn đề tài Trong thực tế, để giải nhiều toán cần phải tính giá trị hàm số điểm để tính giá trị hàm số điểm số hàm gặp nhiều khó khăn Bởi vậy, người ta sử dụng nhiều phương pháp gần để giải vấn đề Hàm spline đa thức đoạn có nhiều ưu điểm tính toán Do vậy, sử dụng tính toán gần Tính xấp xỉ giá trị hàm số điểm phương pháp hàm spline thuận lợi Đặc biệt, nghiên cứu để giải số lớp phương trình hàm splines nhà toán học nước quan tâm Cụ thể, phương trình đạo hàm riêng phương trình truyền nhiệt, phương trình Burgers mô tả dòng nhiệt, dòng chảy chất lỏng khí nghiên cứu giải gần phương pháp kết hợp (Colocation method) với sở hàm spline ([5], [6], [8]) Vậy để giải phương trình đạo hàm riêng tính ổn định hệ sai phân quan trọng nên nghiên cứu luận văn: "Xấp xỉ ổn định số lớp phương trình với hàm splines" Mục đích nghiên cứu - Nghiên cứu ổn định số phương trình sai phân tương ứng với phương trình đạo hàm riêng có nhiều ứng dụng phương trình truyền nhiệt, Burgers - Giải xấp xỉ phương trình Nhiệm vụ nghiên cứu Nghiên cứu khái niệm hàm spline, tính chất hàm spline để giải gần phương trình truyền nhiệt phương trình Burgers Đối tượng phạm vi nghiên cứu - Đối tượng nghiên cứu: Các hàm splines, lý thuyết xấp xỉ, tính ổn định hệ sai phân, phương trình truyền nhiệt, phương trình Burgers - Phạm vi nghiên cứu: nghiên cứu lớp phương trình không gian chiều Phương pháp nghiên cứu Sử dụng phương pháp phân tích, tổng hợp, phương pháp lấy ý kiến chuyên gia Đóng góp luận văn - Trình bày kiến thức để giải xấp xỉ phương trình đạo hàm riêng phương pháp sai phân hữu hạn sử dụng sở hàm splines - Nghiên cứu giải phương trình truyền nhiệt chiều hệ sở spline bậc - Làm rõ giải xấp xỉ phương trình Burgers 65 δ[j][i, 1] := eval(X2[i, j], x = 0) :    od : od : [>  > for n from to M +  δ1[n] := array(1 N + 5, 1) :  od :  > for n from to M  15  δ1[n][N + 5, 1] := · δ[n][N + 1, 1] − · δ[n][N, 1]−    ν(t(n)) · h  : − · δ[n][N − 1, 1] +  20  −3  δ1[n][N + 4, 1] := · δ[n][N + 1, 1] + · δ[n][N, 1]+    ν(t(n)) · h  + · δ[n][N − 1, 1] − :  40  15   δ1[n][1, 1] := · δ[n][1, 1] − · δ[n][2, 1]−   ν(t(n)) · h  · δ[n][3, 1] + : −  20  −3   δ1[n][2, 1] := · δ[n][2, 1] + · δ[n][2, 1]+   ν(t(n)) · h  + · δ[n][3, 1] − :  40   for n from to N +    δ1[n][i, 1] := δ[n][i − 2, 1] :   od :  od :  > for j from − to N +   φ := (x, j) → · piecewise(m(j − 3) ≤ x ≤ m(j − 2),  h5   (x − m(j − 3))5,    m(j − 2) ≤ x ≤ m(j − 1), (x − m(j − 3))5 − 6(x − m(j − 2))5,   m(j − 1) ≤ x ≤ m(j), (x − m(j − 3))5 − 6(x − m(j − 2))5+    +15(x − m(j − 1))5,   m(j) ≤ x ≤ m(j + 1), (x − m(j − 3))5 − 6(x − m(j − 2))5+  +15(x − m(j − 1))5 − 20(x − m(j))5, 66            m(j + 1) ≤ x ≤ m(j + 2), (x − m(j − 3))5 − 6(x − m(j − 2))5+ +15(x − m(j − 1))5 − 20(x − m(j))5 + 15(x − m(j + 1))5, m(j + 2) ≤ x ≤ m(j + 3), (x − m(j − 3))5 − 6(x − m(j − 2))5+ +15(x − m(j − 1))5 − 20(x − m(j))5 + 15(x − m(j + 1))5− −6(x − m(j + 2))5, 0) : od :  > w := Vector(N + 5) :   for j to N +   w[j] := φ(x, j − 3);  od : [> F := array(1 M + 1, N + 5) : [>  > for j from to M +   for j to N +   F [i, j] := δ1[i − 1][j, 1] :    od : od : [> G := F · w : Kết số cho theo bảng sau: Bảng 3.1 So sánh kết số với ∆t = 0.0001, h = 0.0125, N = 80 x 0.3 t Nghiệm xấp xỉ Nghiệm Sai số 0.1 0.30302 0.30153 0.00149 0.2 0,11315 0,11238 0.00077 0.3 0.04218 0.04186 0.00032 0.4 0.01574 0.01561 0.00013 0.5 0.00588 0.00582 0.00006 0.6 0.00221 0.00217 0.00004 67 0.6 0.9 0.7 0.00084 0.00081 0.00003 0.8 0.00033 0.00030 0.00003 0.9 0.00014 0.00011 0.00003 0.1 0.35725 0.35446 0.00279 0.2 0.13302 0.13211 0.00091 0.3 0.04958 0.04924 0.00034 0.4 0.01849 0.01835 0.00014 0.5 0.00619 0.00684 0.00065 0.6 0.00259 0.00255 0.00004 0.7 0.00098 0.00095 0.00003 0.8 0.00038 0.00035 0.00003 0.9 0.00016 0.00014 0.00002 0.1 0.11628 0.11519 0.00109 0.2 0.04322 0.04293 0.00029 0.3 0.01612 0.01600 0.00012 0.4 0.00602 0.00596 0.00006 0.5 0.00226 0.00222 0.00004 0.6 0.00086 0.00083 0.00003 0.7 0.00033 0.00031 0.00002 0.8 0.00014 0.00012 0.00002 0.9 0.00007 0.00004 0.00003 68 Bảng 3.2 So sánh kết số với t = 0.5; ∆t = 0.0001, N = 20, 40, 6, 80 Nghiệm xấp xỉ x Nghiệm h = 0.05 h = 0.025 h = 0.1667 h=0.0125 0.1 0.00230 0.00228 0.00226 0.00226 0.00222 0.2 0.00430 0.00429 0.00428 0.00428 0.00423 0.3 0.00589 0.00589 0.00589 0.00588 0.00582 0.4 0.00691 0.00692 0.00691 0.00691 0.00684 0.5 0.00726 0.00727 0.00727 0.00726 0.00719 0.6 0.00691 0.00692 0.00691 0.00691 0.00684 0.7 0.00589 0.00589 0.00589 0.00588 0.00582 0.8 0.00430 0.00429 0.00428 0.00428 0.00423 0.9 0.00230 0.00288 0.00227 0.00226 0.00223 Hình 3.1: Đồ thị mặt nghiệm xấp xỉ 69 Bảng 3.3 Sai số với t=0.5; ∆t = 0.00001, N = 20, 40, 6, 80 Sai số x h = 0.05 h = 0.025 h = 0.1667 h=0.0125 3.2 0.1 0.00008 0.00006 0.00004 0.00004 0.2 0.00007 0.00006 0.00005 0.00005 0.3 0.00007 0.00007 0.00007 0.00006 0.4 0.00007 0.00008 0.00007 0.00007 0.5 0.00007 0.00008 0.00008 0.00007 0.6 0.00007 0.00008 0.00007 0.00007 0.7 0.00007 0.00007 0.00007 0.00006 0.8 0.00007 0.00006 0.00005 0.00005 0.9 0.00007 0.00065 0.00004 0.00003 Ứng dụng với phương trình Burgers Xét phương trình Burgers: ut + uux − uxx = 0, ≤ x ≤ 1, (3.5) với điều kiện ban đầu x , (3.6) u(0, t) = u(1, t) = 0, t ≥ (3.7) u(x, 0) = 1+ t0 exp{ x4 } điều kiện biên 70 Bài toán (3.5), (3.6), (3.7) có nghiệm đúng: x u(x, t) = t+ t t0 exp{ x4t } (3.8) Ta sử dụng phần mềm Maple để tính giá trị phép lặp Ta phải lập trình sau: [> restart; [>  with(LinearAlgebra) : > a− Const := : b−Const := : nu := :   t zero := exp( ) : T P := : Deltat := 0.0001 : h := 0.01 :  − − · nu   p1 := h2 − · nu · Deltat : q1 := · h2 + · Deltat · nu :  p2 := h2 + · nu · Deltat : q2 := · h2 − · nu · Deltat :  T− P − ); > M := round (  Deltat M := 10000  b− Const − a− Const ; > N := round  h   x− Knot := m → a− Const + m · h :    t− Knot := n → + n · Deltat :  x  u := (x, t) → :  t x2  t · + sqrt( t− zero ) · exp( 4·nu·t )   x  f := x → :  1 + sqrt( t−zero ) · exp( 4·xnu )  N := 100 ; > g := t →  t · (1 + 0.000003727 · sqrtt)   g := t → t · (1 + 0.000003727 · Chương trình giải  (t)) tritrans := proc (d :: vetor, b :: vector, f :: vertor, N :: posint) local i; global x, T ; x := vector(N + 1) : if d[N + 1] = then d[N + 1] := s; end if : 71 b[N + 1] f [N + 1] : f [N + 1] := simplify d[N + 1] d[N + 1] for i from N by − to b[N + 1] := simplify d[i] := simplify(−a[i] · b[i + 1] + d[i]) : if d[i] = then d[1] := s : end if : b[i] := simplify(b[i]/d[i]) : f [i] := simplify((−a[i] · f [i + 1] + f [i])/d[i]) : end : d[1] := simplify(−a[1] · b[2] + d[1]) : if d[1] = then d[1] := s : end if : f [1] := simplify((−a[1] · f [2] + f [1])/d[1]) : T := simplify(subs(s = 0, simplify(product(d[r], r = N + 1)))) : if T = then error "Singular Matrix" else x[1] := simplify(f [1]) : for i from to N + x[i] := simplify(−x[i − 1] · b[i] + f [i]) : end : eval(x) : end if; end proc : a := vector(N + 1) : d := vector(N + 1) : b := vector(N + 1) : f := vector(N + 1) : a[N + 1] := : a[1] := : for i from to N a[i] := end : b[1] := : for j from to N + b[i] := end : d[N + 1] := : : 72 for j from to N d[j] := : end : f [1] := (h/3) · g(1) : f [N + 1] := : for m from to N − f [m + 1] := evalf(f 1(x−Knot(m))) end : x := tritrans(d, a, b, f, N ) : delta := Matrix(N + 1, M + 1, fill = 0) : for i from to N + delta[i, 1] := x[i] : od : unassign(′x′ ,′ a′ ,′ b′ ,′ d′ ,′ f ′ , T ) : x := vector(N + 1) : a1 := Matrix(1 N − 1, M, fill = 0) : a2 := Matrix(1 N − 1, M, fill = 0) : d1 := Matrix(1 N, M, fill = 0) : d := vector(N + 1) : e := vector(M) : delta− nua := Matrix(N + 1, M, fill = 0) : a := Matrix(N +1, M) : b := Matrix(N +1, M) : f := Matrix(N +1, M) : a− P := vector(N + 1) : b−P := vector(N + 1) : f− P := vector(N + 1) : d[N + 1] := : for i from to N d[i] := 16 · h : od : for j from to M 73 d1[1, j] := evalm(4 · delta[1, j] + · delta[2, j] + (h/3) · g(t−Knot(j − 1))) : e[j] := d1[1, j] · Deltat · h(g(t− Knot(j − 1/2)) + g(t− Knot(j − 1))) : for i from to N − d1[i + 1, j] := evalm(delta[i, j] + · delta[i + 1, j] + delta[i + 2, j]) : a1[i, j] := evalm(4 · h − · d1[i + 1, j] · Deltat) : a2[i, j] := evalm(4 · h + · d1[i + 1, j] · Deltat) : od : f [1, j] := evalm(16 · h · delta[1, j] + · h · delta[2, j] + (4/3) · h2 · (g(t− Knot(j − 1/2)) + g(t− Knot(j − 1))) − · e[j]) : f [N + 1, j] := evalm(delta[N, j] + · delta[N + 1, j]) : for i from to N − f [i + 1, j] := evalm(a2[i, j] · delta[i, j] + 16 · h · delta[i + 1, j] + a1[i, j] · delta[i + 2, j]) : od : a[i, j] := · h : a[N + 1, j] := : b[1, j] := : b[N + 1, j] := : for i from to N − a[i + 1, j] := a2[i, j] : b[i + 1, j] := a1[i, j] : od : if d[N + 1] = then d[N + 1] := s : end if b[N +1, j] := simplify b[N + 1, j] d[N + 1] for i from N by − to : f [N +1, j] := simplify d[i] := simplify(−a[i, j] · b[i + 1, j] + d[i]) : if d[i] = then d[i] := s : end if : f [N + 1, j] d[N + 1] : 74 b[i, j] := simplify(b[i, j]/d[i]) : f [i, j] := simplify((−a[i, j] · f [i + 1, j] + f [i, j])/d[i]) : end : d[1] := simplify(−a[1, j] · b[2, j] + d[1]) : if d[1] = then d[1] := s : end if : f [1, j] := simplify((−a[1, j] · f [2, j] + f [1, j])/d[1]) : T := simplify(subs(s = 0, simplify(product(d[r], r = N + 1)))) : if T = then error "Singular Matrix" else x[1] := simplify(f [1, j]) : for i from to N + x[i] := simplify(−x[i − 1] · b[i, j] + f [i, j]) : end : eval(x) : end if for i from to N + delta− nua[i, j] := x[i] : od : unassign(′T ′ ,′ d′ ) : d := vector(N + 1) : e−P := vector(M) : e− P [j] := simplify((h3/3) · (p1 · g(t− Knot(j)) − p2 · g(t− Knot(j − 1/2)))) : for i from to N + d[i] := q1 : od : a− P [1] := · p1 : a− P [N + 1] := : b−P [1] := : b−P [N + 1] := · p1 : for i from to N a− P [i] := p1 : b−P [i] := p1 : od : 75 f−P [1] := evalm (q2 · delta− nua[1, j] + (2 ·p2) · delta−nua[2, j] + e−P [j]) : f−P [N + 1] := evalm (2 · p2 · delta− nua[N, j] + ·q2 · delta−nua[N + 1, j]) : for i from to N − f−P [i + 1] := evalm (p2 · delta− nua[i, j] + ·q2 · delta−nua[i + 1, j] + p2 · delta− nua[i + 2, j]) : od : if d[N + 1] = then d[N + 1] := s : end if : b−P [N + 1] : d[N + 1] f−P [N + 1] f−P [N + 1] := simplify : d[N + 1] for i from N by − to b−P [N + 1] := simplify d[i] := simplify(−a− P [i] · b−P [i + 1] + d[i]) : if d[i] = then d[i] := s : end if : b−P [i] := simplify(b−P [i]/d[i]) : f−P [i] := simplify((−a− P [i] · (f−P [i + 1] + f− P [i])/d[i]) : end : d[1] := simplify(−a−P [1] · b−P [2] + d[1]) : if d[1] = then d[1] := s : end if : f−P [1] := simplify((−a−P [1] · (f−P [2] + f− P [1])/d[1]) : T := simplify(subs(s = 0, simplify(product(d[r], r = N + 1)))) : if T = then error "Singular Matrix" else x[1] := simplify(f−P [1]) : for i from to N + x[i] := simplify(−x[i − 1] · b− P [i] + f− P [i]) : end : eval(x) : end if; for i from to N + 76 delta[i, j + 1] := x[i] : od : od : unassign(′x′ ,′ a1′ ,′ a2′ ,′ d′ ,′ f− P ′ ,′ T ′,′ e′ ,′ a− P ′ ,′ b− P ′ ) : unassign(′a′ ,′ b′ ,′ f ′ ,′ e− P ′ ,′ delta− nua′ ,′ d1′) : Kết số cho bảng sau: Bảng 3.4 So sánh kết số với t = 1, ∆t = 0.0001, N = 20, 40, 100 x Nghiệm xấp xỉ Nghiệm h = 0.05 h = 0.025 h = 0.01 0.1 0.02662 0.03366 0.04636 0.05150 0.2 0.07717 0.08990 0.09754 0.10262 0.3 0.12793 0.14050 0.14800 0.15300 0.4 0.17779 0.18975 0.19725 0.20225 0.5 0.22634 0.23781 0.24500 0.25000 0.6 0.27320 0.28378 0.29138 0.29588 0.7 0.31799 0.32823 0.33520 0.33950 0.8 0.36027 0.36985 0.37652 0.38052 0.9 0.39788 0.40855 0.41455 0.41855 Bảng 3.5 Sai số với t = 1, ∆t = 0.0001, N = 20, 40, 100 x 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 Sai số h = 0.05 h = 0.025 0.02488 0.01284 0.02545 0.01272 0.02507 0.01250 0.02446 0.01250 0.02366 0.01219 0.02268 0.01180 0.02151 0.01127 0.02025 0.01067 0.02057 0.01000 h=0.01 0.00514 0.00508 0.00500 0.00500 0.00500 0.00450 0.00430 0.00400 0.00400 77 Kết luận Luận văn "Xấp xỉ ổn định số lớp phương trình với hàm splines" đạt kết sau: (i) Trình bày khái niệm không gian hàm splines B-spline (ii) Trình bày khái niệm phương pháp sai phân, ổn định toán sai phân Trên sở kết luận tiếp tục nghiên cứu để: (i) Giải xấp xỉ phương trình truyền nhiệt chiều, phương trình Burgers chứng minh ổn định phương trình truyền nhiệt chiều (ii) Tính giá trị nghiệm xấp xỉ cho số lớp phương trình lập trình Do thời gian có hạn kiến thức hạn chế, luận văn chắn tránh khỏi thiếu sót, kính mong nhận ý kiến góp ý Quý thầy cô bạn để luận văn hoàn thiện Tôi xin chân thành cảm ơn Hà Nội, ngày 10 tháng năm 2016 Tác giả Nguyễn Thị Luận 78 Tài liệu tham khảo [A] Tài liệu Tiếng Việt [1] Phạm Kỳ Anh (1996 ), Giải Tích Số, NXB Đại học quốc gia Hà Nội [2] Phạm Huy Điển (2002), Tính toán, lập trình giảng dạy toán học Maple, Nhà xuất khoa học kĩ thuật Hà Nội [3] Tạ Văn Đĩnh (2011), Phương pháp tính, Nhà xuất giáo dục Việt Nam [4] Hoàng Tụy, Hàm thực giải tích hàm, Viện toán học, Viện khoa học công nghệ Việt Nam [B] Tài liệu Tiếng Anh [5] Duygu Do¨nmer Demiz, Necdet Bildik (2012), "The numerical solution of Heat problem using cubic B-spline", Applined Mathematics, 2(4), 131 - 135 [6] Joan God, Ahmad Abd Majid, and Ahmad Jzani Md Ismail (2012), "Cubic B-spline collocation method for one-dimensional Heat and advection-diffusion equation", J of Applied Mathematics, Vol.Article IO 458710 [7] P.M.Prenter (2008), Splines and Variational Methods, WileyInterscience, New York 79 [8] Behnam Sepehrian, Mahmood Lashami, "A numerical solution of the Burgers equation using quintic B-spline", Proceeding of the World Congress on Engineering 2008, Vol III, WCE 2008, London, U.K [...]... là tập các nút trong • Tập Γh = {x0, xN } gọi là tập các nút biên • Tập Ωh = Ωh ∪ Γh gọi là một lưới trên [a, b] d Hàm lưới Đó là những hàm số xác định tại các nút của lưới Ωh Giá trị của hàm lưới v tại nút xi viết là vi Một hàm số y(x) xác định tại mọi x ∈ [a, b] sẽ tạo ra hàm lưới y có giá trị tại nút xi là yi = y(xi) e Đạo hàm của hàm lưới Xét hàm lưới v Đạo hàm của hàm lưới tiến cấp một của v ,... quá trình tính là ổn định nếu sai số tính toán tức là các sai số quy tròn tích lũy lại không tăng vô hạn Nếu sai số đó tăng vô hạn thì ta nói quá trình là không ổn định Rõ ràng nếu quá trình tính không ổn định thì khó có hi vọng tính được đại lượng cần tính với sai số nhỏ hơn sai số cho phép Cho nên, trong tính toán kị nhất là các quá trình tính không ổn định 23 Để kiểm tra tính ổn định của một quá trình. .. có vì khi đó U n là một nghiệm của phương trình: U n+1 = CU n (1.27) Do vậy, khai triển của sai số được xác định bởi cùng toán tử C như nghiệm của bài toán số 27 Đối với phương trình vi phân tuyến tính với điều kiện biên tuần hoàn, sự biến đổi không gian của các sai số có thể được mở rộng trong một chuỗi Fourier hữu hạn trong miền một chiều của chiều dài L, tần số cơ bản ứng 2π với chiều dài sóng tối... yi+n | → ∞ khi n → ∞ Vậy quá trình tính không ổn định Trong thực tế, mặc dù quá trình tính là vô hạn, người ta cũng chỉ làm một số hữu hạn bước, nhưng vẫn phải đòi hỏi quá trình tính ổn định mới hi vọng với một số hữu hạn bước có thể đạt được mức độ chính xác mong muốn c Sự ổn định của bài toán sai phân Trước hết để đo độ lớn của hàm lưới v = (v0 , v1 , , vN ) ∈ RN +1 và hàm lưới f = (f1 , f2, ,... của phương trình sai phân và điều kiện biên, nghĩa là khi vế phải của phương trình sai phân và điều kiện biên thay đổi ít thì nghiệm cũng thay đổi ít Bất đẳng thức (1.16) nói lên ý nghĩa đó, ta gọi là bất đẳng thức ổn định của bài toán (1.11) 1.4.3 Phân tích ổn định Von-Neumann Thông qua phương trình truyền nhiệt một chiều ta sẽ minh họa khái niệm ổn định Von-Neumann, cụ thể như sau: Giả sử ta có phương. .. này trình bày một số không gian thường dùng như: Không gian tuyến tính, không gian định chuẩn, không gian Hilbert, không gian các hàm spline, sai số, sự ổn định của hệ phương trình sai phân để phục vụ chứng minh ở chương sau 1.1 Không gian tuyến tính 1.1.1 Khái niệm không gian tuyến tính Định nghĩa 1.1.1 Cho X là một tập khác rỗng mà các phần tử được kí hiệu: x, y, z, và K là một trường mà các phần... đều đúng với sin2 (km ∆x/2), ta có: α∆t 1 ≤ ∆x2 2 (1.38) (1.39) Điều kiện (1.39) là điều kiện ổn định của phương trình truyền nhiệt một chiều (1.17) 29 Chương 2 Hàm spline và phương pháp kết hợp 2.1 2.1.1 Spline và B-spline Không gian các hàm spline và B-spline Xét phân hoạch π trên đoạn [a, b] với các mốc nội suy a = t0 < t1 < t2 < < tN = b Kí hiệu hi = ti − ti−1 , nếu hi = h = const thì các mốc... theo hàm mũ với thời gian, do đó: M εnj = M eat eikm x = m=1 là một hằng số và đặt M eat eikm j∆x = m=1 mπ j∆x eat e L i (1.29) m=1 πj = µ khi đó µ được gọi là số mode L Khi phương trình sai số là tuyến tính, ta xét sai số của một số hạng cụ thể: εnj = eat eikm x Ta có:    εn+1 = ea(t+∆t) eikm x ,   j εnj+1 = eat eikm (x+∆x) ,    εn = eat eikm (x−∆x) j−1 Thế (1.30) và (1.31) vào (1.21) và. .. (x1, x2 ) : x1 và x2 là các số thực , với mỗi số thực α và các vectơ x = (x1, x2 ), y = (y1 , y2 ) ∈ X, phép cộng và nhân vô hướng được định nghĩa: 10 x + y = (x1 + y1 , x2 + y2), αx = (αx1, αx2), là không gian tuyến tính Ví dụ 1.1.2 Không gian C[a,b] C[a,b] = x = x(t) : x(t) là hàm số liên tục trên [a, b] , với mỗi số thực α và f (t), g(t) ∈ C[a,b] , phép cộng và nhân vô hướng được định nghĩa: (f... tính thường người ta giả sử sai số chỉ xảy ra tại một bước Sau đó các phép tính đều làm đúng không có sai số, nếu cuối cùng sai số tính toán không tăng vô hạn thì xem như quá trình tính là ổn định b Ví dụ Xét quá trình tính (1.12) yi+1 = qyi , trong đó y0 và q cho trước Giả sử tại bước i xác định nào đó khi tính yi ta phạm một sai số δi (đây không phải là kí hiệu của sai số tương đối như trước đây, nghĩa