Xấp xỉ phân phối chuẩn đối với dãy biến ngẫu nhiên unordered martingale bằng phương pháp stein

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG LÊ TRẦN PHƯƠNG THANH XẤP XỈ PHÂN PHỐI CHUẨN ĐỐI VỚI DÃY BIẾN NGẪU NHIÊN UNORDERED MARTINGALE BẰNG PHƯƠNG PHÁP STEIN LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC Đà Nẵng - Năm 2015 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG LÊ TRẦN PHƯƠNG THANH XẤP XỈ PHÂN PHỐI CHUẨN ĐỐI VỚI DÃY BIẾN NGẪU NHIÊN UNORDERED MARTINGALE BẰNG PHƯƠNG PHÁP STEIN Chuyên ngành: Phương pháp toán sơ cấp Mã số: 60.46.01.13 LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC Người hướng dẫn khoa học: TS Lê Văn Dũng Đà Nẵng - Năm 2015 LỜI CAM ĐOAN Tôi cam đoan cơng trình nghiên cứu riêng tơi Các số liệu, kết nêu luận văn trung thực chưa công bố cơng trình khác Tác giả luận văn Lê Trần Phương Thanh MỤC LỤC MỞ ĐẦU CHƯƠNG KIẾN THỨC CƠ SỞ 1.1 KHÔNG GIAN XÁC SUẤT .4 1.1.1 Phép thử 1.1.2 Không gian mẫu .4 1.1.3 Đại số δ – đại số 1.1.4 δ – đại số Borel 1.1.5 Độ đo xác suất 1.2 BIẾN NGẪU NHIÊN 1.2.1 Biến ngẫu nhiên .5 1.2.2 Khái niệm hầu chắn .6 1.3 HÀM PHÂN PHỐI XÁC SUẤT CỦA BIẾN NGẪU NHIÊN 1.3.1 Định nghĩa 1.3.2 Các dạng phân phối 1.4 CÁC THAM SỐ ĐẶC TRƯNG CỦA BIẾN NGẪU NHIÊN 1.4.1 Kỳ vọng toán 1.4.2 Phương sai 10 1.4.3 Độ lệch tiêu chuẩn 10 1.4.4 Phân phối chuẩn 10 1.5 KỲ VỌNG ĐIỀU KIỆN 11 1.6 MARTINGALE 11 CHƯƠNG PHƯƠNG PHÁP STEIN 13 2.1 ĐỊNH LÝ GIỚI HẠN TRUNG TÂM 13 2.2 NHỮNG KIẾN THỨC CƠ BẢN CỦA PHƯƠNG PHÁP STEIN 13 CHƯƠNG BẤT ĐẲNG THỨC BERY ESSENCE ĐỐI VỚI DÃY BIẾN NGẪU NHIÊN ĐỘC LẬP 18 3.1 ĐẲNG THỨC STEIN ĐỐI VỚI DÃY BIẾN NGẪU NHIÊN ĐỘC LẬP 18 3.2 BẤT ĐẲNG THỨC BERRY ESSENCE ĐỐI VỚI DÃY BIẾN NGẪU NHIÊN ĐỘC LẬP 20 3.3 BẤT ĐẲNG THỨC BERRY ESSENCE ĐỐI VỚI DÃY BIẾN NGẪU NHIÊN PHỤ THUỘC ĐỊA PHƯƠNG 28 CHƯƠNG 4: BẤT ĐẲNG THỨC BERRY ESSENCE ĐỐI VỚI DÃY BIẾN NGẪU NHIÊN UNORDERED MARTINGALE 31 4.1 UNORDERED MARTINGALE 31 4.2 ĐẲNG THỨC STEIN ĐỐI VỚI DÃY BIẾN NGẪU NHIÊN HIỆU UNORDERED MATINGALE 32 4.3 BẤT ĐẲNG THỨC BERRY ESENCE ĐỐI VỚI DÃY BIẾN NGẪU NHIÊN HIỆU UNORDERED MARTINGALE 34 KẾT LUẬN 41 TÀI LIỆU THAM KHẢO 42 QUYẾT ĐỊNH GIAO ĐỀ TÀI LUẬN VĂN (bản sao) NHỮNG KÍ HIỆU DÙNG TRONG LUẬN VĂN N: Z: Z∗ : R: ω: Ω: A, B, C: A ∪ B: A ∩ B: Ac : P(A): (Ω, F, P): h.c.c: X ∼Y: X ∼ N (a, σ ): m ∧ n: x : supE : Tập hợp số tự nhiên Tập hợp số nguyên Tập hợp Z \ {0} Tập hợp số thực Kí hiệu biến cố sơ cấp Kí hiệu khơng gian mẫu Kí hiệu biến cố Hợp A B Giao A B Biến cố đối biến cố A Xác suất biến cố A Không gian xác suất Hầu chắn X tương đương với Y X gọi có phân phối chuẩn với tham số a, σ (σ > 0) min{m, n} Chuẩn x Cận E MỞ ĐẦU Lý chọn đề tài Xác suất phận toán học nghiên cứu tượng ngẫu nhiên Nói cách đại khái tượng ngẫu nhiên tượng ta khơng thể nói trước xảy hay khơng xảy thực lần quan sát Tuy nhiên, tiến hành quan sát nhiều lần tượng ngẫu nhiên hồn cảnh nhau, nhiều trường hợp ta rút kết luận khoa học tượng Ngày lý thuyết xác suất lĩnh vực toán học có sở lý thuyết chặt chẽ có nhiều ứng dụng lĩnh vực hoạt động khác người từ âm nhạc tới vật lý, từ văn học tới thống kê xã hội, từ học tới thị trường chứng khoán, từ dự báo thời tiết tới kinh tế, từ nông học tới y học Lý thuyết xác suất nửa đầu kỷ 20 có thành tựu vượt bậc việc lập cơng thức chứng minh định lý giới hạn cổ điển như: Luật số lớn, Định lý giới hạn trung tâm, Luật loga lặp cho tổng biến ngẫu nhiên độc lập Phương pháp cổ điển chủ yếu dựa vào phép biến đổi Fourier Tất định lý liên quan đến tổng biến ngẫu nhiên độc lập Tuy nhiên quan hệ phụ thuộc thường xuất nhiều áp dụng bắt đầu nghiên cứu nhiều từ năm 1950 Trong trường hợp không độc lập phương pháp Fourier khó áp dụng xác xấp xỉ khó tìm Trong định lý giới hạn lý thuyết xác suất Định lý giới hạn trung tâm đóng vai trị quan trọng nghiên cứu thống kê ứng dụng Tuy nhiên tốn thống kê nói chung khơng cho phép nhiên cứu với cỡ mẫu lớn vô hạn, tốn “xấp xỉ phân phối chuẩn” cho phép ước lượng cỡ mẫu cần thiết để áp dụng Định lí giới hạn trung tâm Năm 1970, Charler Stein giới thiệu phương pháp xấp xỉ phân phối chuẩn gọi phương pháp Stein Các kết nghiên cứu chủ yếu dãy biến ngẫu nhiên độc lập Trong đề tài thiết lập số kết xấp xỉ phân phối chuẩn dãy biến ngẫu nhiên hiệu unordered martingale Các kết mở rộng kết dãy biến ngẫu nhiên độc lập Với lý trên, hỗ trợ giáo viên hướng dẫn TS Lê Văn Dũng định lựa chọn đề tài: "Xấp xỉ phân bố chuẩn dãy biến ngẫu nhiên unordered martingale phương pháp Stein" Mục đích nghiên cứu Thiết lập số kết xấp xỉ phân bố chuẩn dãy biến ngẫu nhiên độc lâp Một số điểm cố gắng đưa vào luận văn là: + Trình bày vắn tắt kết xác suất cổ điển + Giới thiệu phương pháp Stein + Thiết lập số kết bất đẳng thức Berry Essence dãy biến ngẫu nhiên độc lập + Thiết lập số kết xấp xỉ phân bố chuẩn dãy biến ngẫu nhiên unordered martingale Đối tượng phạm vi nghiên cứu 3.1 Đối tượng nghiên cứu Đối tượng nghiên cứu: Bất đẳng thức Berry Essence dãy biến ngẫu nhiên 3.2 Phạm vi nghiên cứu Phạm vi nghiên cứu đề tài biến ngẫu nhiên hàm phân phối, tính độc lập, phương pháp Stein, bất đẳng thức Berry Essence Phương pháp nghiên cứu Thu thập báo khoa học tài liệu tác giả nghiên cứu liên quan đến phương pháp Stein, bất đẳng thức Berry Essence dãy biến ngẫu nhiên unordered martingale Tham gia buổi seminar thầy hướng dẫn để trao đổi kết nghiên cứu Đóng góp đề tài Tổng quan kết tác giả nghiên cứu liên quan đến phương pháp Stein, bất đẳng thức Berry Essence dãy biến ngẫu nhiên unordered martingale Chứng minh chi tiết định lí, hệ nhằm làm cho người đọc dễ dàng tiếp cận vấn đề đề cập Cấu trúc luận văn Ngoài phần mở đầu, kết luận, luận văn gồm có bốn chương: Chương trình bày số lý thuyết xác suất Chương trình bày kiến thức phương pháp Stein Chương trình bày kiến thức bất đẳng thức Berry Essence Chương trình bày kiến thức bất đẳng thức Berry Essence dãy biến ngẫu nhiên unordered martingale CHƯƠNG KIẾN THỨC CƠ SỞ Trong chương chúng tơi trình bày số kiến thức sở dựa tài liệu tham khảo [1] 1.1 KHÔNG GIAN XÁC SUẤT 1.1.1 Phép thử Trong tốn học có khái niệm khơng có định nghĩa mà mơ tả chúng hình ảnh tư trực quan Chẳng hạn hình học khái niệm điểm, đường thẳng, mặt phẳng khái niệm định nghĩa Trong xác suất, khái niệm phép thử khái niệm khơng có định nghĩa Ta hiểu phép thử việc thực nhóm điều kiện để quan sát tượng có xảy hay khơng Phép thử gọi ngẫu nhiên ta dự báo trước xác kết xảy ta thực phép thử 1.1.2 Khơng gian mẫu Tập hợp tất kết xảy phép thử ngẫu nhiên gọi khơng gian mẫu Ta thường kí hiệu Ω 1.1.3 Đại số σ-đại số Giả sử A lớp tập Ω, A = ∅ Định nghĩa 1.1 A gọi đại số (hay trường) nếu: Ω ∈ A; A ∈ A ⇒ Ac ∈ A; Ak ∈ A, k = 1, 2, , n ⇒ n k=1 Ak ∈ A 28 = Bn + = i=1 Bn2 Bn2 + Bn n E{|Xi |3 I{|Xi |Bn } } i=1 Bn2 = Bn ≤ E{Xi2 I{|Xi |>Bn } } Bn3 ≤ Bn + n ε + Bn n E{Xi2 I{|Xi | Bn2 n E{Xi2 I{|Xi |>εBn } } → 0, n → ∞; i=1 từ (***) ⇒ β2 + β3 → 0, n → ∞ (vì ε nên chọn nhỏ gần 0) Theo Định lý 3.1 3.3 ta có sup |P (W ≤ z) − Φ(z)| = sup |P (Sn /Bn ≤ z) − Φ(z)|; z z sup |P (W ≤ z) − Φ(z)| ≤ 2δ = 4(4β2 + 3β3 ); z sup |P (W ≤ z) − Φ(z)| ≤ β2 + β3 → 0, n → ∞ z Định lí chứng minh 3.3 BẤT ĐẲNG THỨC BERRY ESSENCE ĐỐI VỚI DÃY BIẾN NGẪU NHIÊN PHỤ THUỘC ĐỊA PHƯƠNG (LD1) Cho i ∈ J , ∃Ai ⊂ J cho ξj ξAc độc lập 29 (LD2) Cho i ∈ J , ∃Ai ⊂ Bi ⊂ J cho ξj độc lập với ξAc ξAi độc lập với ξBic Xác định ηi = j∈Ai ξj τi = j∈Bi ξj Định lý 3.5 Định lý 3.1 áp dụng với: Nếu (LD1) thỏa mãn {ξi ηi − E(ξj ηi )}| + δ = 4E| i∈J E|ξi ηi2 | (3.16) E|ξi ηi2 | (3.17) i∈J Nếu (LD2) thỏa mãn (E|ξi ηi τi | + |E(ξi ηi )|E|τi |) + δ=2 i∈J i∈J Chứng minh Cho f = fh nghiệm phương trình Stein (2.4): f (W ) − W f (W ) = h(W ) − Eh(Z) 1, Nếu (LD1) thỏa mãn có Eξi [f (W ) − f (W − ηi )] Eξi f (W ) = E{W f (W )} = i∈J i∈J ξi W − ηi độc lập, Eξi = Vì E{ξi [f (W ) − f (W − ηi ) − ηi f (W )]} E{W f (W )} = i∈J + E{( ξi ηi )f (W )} (3.18) i∈J Mặt khác, Eξi = 0, ∀i,(LD1) thỏa mãn = EW = E{ξi ξj } = i∈J j∈J i∈J E{ξi W } = 1= i∈J i∈J j∈J E{ξi (W − ηi ) + ηi ξi } i∈J E{ηi ξi } 1= ξj } E{ξi 30 Do vậy: E{f (W ) − W f (W )} = E[( E{ξi ηi })f (W )] − E{W f (W )} i∈J E{f (W ) − W f (W )} = −E( {ξi ηi − E(ξi ηi )}f (W )) i∈J E{ξi [f (W ) − f (W − ηi ) − ηi f (W )]} − i∈J (3.19) Mặt khác, theo (2.12) (2.13) có f Khai triển Taylor ≤4 h f ≤2 h ηi2 f (W − ηi ) = f (W ) − ηi f (W ) + f (W ) + f (W − ηi ) ≤ f (W ) − ηi f (W ) + ηi2 h Do |h(W ) − Eh(Z)| ≤ h {4E| {ξi ηi − E(ξi ηi )}| i∈J E|ξi ηi2 |} ⇒ (3.16) + i∈J 2, Nếu (LD2) thỏa mãn: W − τi ξi ηi độc lập với ⇒ f (W − τi ) độc lập với ξi ηi nên: E( i∈J {ξi ηi − E(ξi ηi )}f (W − τi )) = Sử dụng công thức (3.19) khai triển Taylor hàm f (W − τi ) ta có |Eh(W ) − Eh(Z)| = E{f (W ) − W f (W )} |Eh(W ) − Eh(Z)| ≤ |E {ξi ηi − E(ξi ηi )}(f (W ) − f (W − τi ))| i∈J E|ξi ηi2 | + h i∈J |Eh(W ) − Eh(Z)| ≤ h {2 (E|ξi ηi τi | + |E(ξi ηi )|E|τi |) i∈J E|ξi ηi2 |} + i∈J 31 CHƯƠNG BẤT ĐẲNG THỨC BERRY ESSENCE ĐỐI VỚI DÃY BIẾN NGẪU NHIÊN UNORDERED MARTINGALE 4.1 UNORDERED MARTINGALE Định nghĩa 4.1 Dãy biến ngẫu nhiên (Xn ; n ∈ N∗ ) xác định không gian xác suất (Ω; F; P ) Đặt Fn = σ(Xi : i = n) Dãy (Xn ) gọi unordered martingale thỏa mãn hai điều kiện: (i) E(|Xn |) < ∞ với n, (ii) E(Xn /Fn ) = Xn−1 với n > Định nghĩa 4.2 Dãy biến ngẫu nhiên (Xn ; n ∈ N∗ ) xác định không gian xác suất (Ω; F; P ) Đặt Fn = σ(Xi : i = n) Dãy (Xn ) gọi hiệu unordered martingale thỏa mãn hai điều kiện: (i) E(|Xn |) < ∞ với n, (ii) E(Xn /Fn ) = với n ≥ Như vậy, (ξn ) dãy hiệu unordered martingale dãy Xn = ξ1 + + ξn dãy unordered martingale Khái niệm hiệu unordered martingale Choi Klass đưa báo [3] Khái niệm mở rộng sau: Định nghĩa 4.3 Cho m số nguyên không âm Dãy biến ngẫu nhiên (Xn ; n ∈ N∗ ) gọi hiệu m-unordered martingale thỏa mãn hai điều kiện: i) E(|Xj |) < ∞ ∀j, ii) Với i ≥ 1, E(Xj /Fi ) = với j = i+1, , i+m Fj σ - đại số sinh biến ngẫu nhiên {ξj , j ≤ i} {ξj , j > i+m} Như dãy biến ngẫu nhiên hiệu unordered martingale hiệu 0- unordered martingale Khái niệm dãy biến ngẫu nhiên hiệu unordered martingale mở 32 rộng khái niệm dãy biến ngẫu nhiên độc lập tương tự vậy, khái niệm hiệu m - unordered martingale mở rộng khái niệm m – phụ thuộc Ví dụ sau minh họa cho tồn khái niệm Ví dụ: Cho dãy biến ngẫu nhiên m – phụ thuộc, có phân phối xác suất Bernoulli đối xứng, tức P (Yn = −1) = P (Yn = 1) = Với (Xn ; n ∈ N∗ ) dãy biến ngẫu nhiên có kì vọng hữu hạn độc lập với dãy(Yn ; n ∈ N∗ ) Đặt ξn = Xn Yn , (ξn ; n ∈ N∗ )cũng dãy biến ngẫu hiệu m - unordered martingale 4.2 ĐẲNG THỨC STEIN ĐỐI VỚI DÃY BIẾN NGẪU NHIÊN HIỆU UNORDERED MATINGALE Trong phần thiết lập đẳng thức Stein dãy biến ngẫu nhiên hiệu unordered martingale kết thu hoàn toàn tương tự trường hợp dãy biến ngẫu nhiên độc lập Cho ξ1 , ξ2 , ξn biến ngẫu nhiên hiệu unordered martingale cho ni=1 Eξi2 = Đặt n W := ξi , i=1 W (i) := W − ξi , Ki (t) := E{ξi (I{0≤t≤ξi } − I{ξi ≤t1} β2 = E|ξi |3 I{|ξi |≤1} β3 = i=1 i=1 Chứng minh Sử dụng tính chất nghiệm phương trình Stein ta có |fh (W ) − fh (W (i) + t)| = |fh (W (i) + ξi ) − fh (W (i) + t)|; |fh (W ) − fh (W (i) + t)| ≤ f ”h |ξi − t| ≤ f ”h (|ξi | + |t|); |fh (W ) − fh (W (i) + t)| ≤ h (|ξi | + |t|) Hơn nữa, |fh (W ) − fh (W (i) + t)| ≤ |fh (W )| + |fh (W (i) + t)| ≤4 h +4 h =8 h ≤ min(8 h , h (|ξi | + |t|)) |ξi | + |t| ) = h min(1, ≤ h min(1, |ξi | + t) ≤ h (|t| ∧ + |ξi | ∧ 1) Mặt khác từ đẳng thức Stein ta có n ∞ i=1 −∞ |Eh(W ) − Eh(Z)| ≤ h E{|t| ∧ + |ξi | ∧ 1}Ki (t)dt 36 n =8 h ∞ E(|t| ∧ 1)Ki (t)dt ( i=1 −∞ ∞ E(|ξi | ∧ 1)Ki (t)dt); + −∞ n ∞ E{|t| ∧ 1}Ki (t)dt ⇒ |Eh(W ) − Eh(Z)| ≤ h + Đặt i=1 Eξi E(|ξi | n ∞ i=1 −∞ ∧ 1) E{|t| ∧ + |ξi | ∧ 1}Ki (t)dt A= Ta có −∞ ∞ (|t| ∧ 1{I[0;x] (t) − I[−x,0) (t)})dt = −∞ |x| + |x| |x|(|x| − 1) |x| > |x| ≤ Vì n A= i=1 n A= ∞ E{|t| ∧ + |ξi | ∧ 1}Ki (t)dt; ( −∞ 1 ( E{|ξi |3 I{|ξi |≤1} } + E{( |ξi | + |ξi |(|ξi | − 1))I{|ξi |≥1} } 2 i=1 + Eξi2 E(|ξi | ∧ 1)); n (E{|ξi |2 I{|ξi |≥1} } − E{|ξi |I{|ξi |≥1} } i=1 + E{|ξi |3 I{|ξi |≤1} } + Eξi2 E(|ξi | ∧ 1)); n n 1 A = β2 + β3 + Eξi E(|ξi | ∧ 1) − E{|ξi |I{|ξi |≥1} }; 2 i=1 i=1 A= A ≤ β2 + β3 + n Eξi2 E(|ξi | ∧ 1) i=1 37 Mặc khác, hai hàm x2 (x ∧ 1) hàm tăng theo x > 0, với biến ngẫu nhiên ξi ta có Eξi2 E(|ξi | ∧ 1) ≤ Eξi2 (|ξi | ∧ 1); Eξi2 E(|ξi | ∧ 1) = E{|ξi |3 I{|ξi |≤1} } + Eξi2 I{|ξi |>1} Suy n n Eξi2 E(|ξi | ∧ 1) ≤ i=1 n n Eξi2 I{|ξi |>1} ; E|ξi | I{|ξi |≤1} + i=1 i=1 Eξi2 E(|ξi | ∧ 1) = β2 + β3 i=1 Vì |Eh(W ) − Eh(Z)| ≤ h (2β2 + β3 ); |Eh(W ) − Eh(Z)| = 4(4β2 + 3β3 ) h Hệ 4.1 Cho X1 , X2 , , Xn biến ngẫu nhiên hiệu unordered martingale thỏa mãn EXi2 < ∞ Đặt n Sn := n Xi i=1 Bn2 EXi2 := i=1 Nếu ∀ε > 0, Bn2 n E{Xi2 I{|Xi |>εBn } } → 0, n → ∞ i=1 sup |P (Sn /Bn ≤ z) − Φ(z)| → 0, n → ∞ z Chứng minh Đặt ξi = Xi /Bn W = Sn /Bn Khi ξi biến ngẫu nhiên hiệu unordered martingale thỏa mãn: E(ξi |Fi ) = B1n E(Xi |Fi ) = n n 2 i=1 Eξi = B i=1 EXi = n 38 biến ngẫu nhiên W = β2 + β3 = Bn = Bn2 + + ≤ = E{Xi2 I{|Xi |>Bn } } i=1 n Bn2 Bn2 + Bn E{Xi2 I{|Xi |>Bn } } + i=1 Bn3 n E{|Xi |3 I{|Xi |≤Bn } } i=1 n E{|Xi |3 I{|Xi |Bn } } i=1 ε + Bn n E{Xi2 I{|Xi |εBn } } + i=1 n ε Bn2 n E{Xi2 I{|Xi |εBn } } + ε.(∗ ∗ ∗∗) i=1 Nếu ∀ε > Bn2 n E{Xi2 I{|Xi |>Bn } } → 0, n → ∞ i=1 từ (****) ⇒ β2 + β3 → 0, n → ∞ (vì ε nên chọn nhỏ gần 0) sup |P (W ≤ z) − Φ(z)| = sup |P (Sn /Bn ≤ z) − Φ(z)|; z z sup |P (W ≤ z) − Φ(z)| ≤ 2δ = 4(4β2 + 3β3 ); z sup |P (W ≤ z) − Φ(z)| ≤ β2 + β3 → 0, n → ∞ z 39 Định lý 4.6 Cho ξ1 , ξ2 , , ξn biến ngẫu nhiên hiệu munordered martingale thỏa mãn ni=1 Eξi2 = Với i, đặt Ai = {i + 1, i + m}, ηi = ξj j∈Ai Khi FW − Φ FW − Φ ∞ ≤ δ; √ ≤ δ; với E|ξi ηi2 |; {ξi ηi − E{ξi ηi }}| + δ = 4E| i∈J i∈J W = ξ1 + + ξn Chứng minh Gọi f = fh nghiệm phương trình Stein.Ta có Eξi [fh (W ) − fh (W − ηi )] ξi fh (W ) = E{W fh (W )} = E i∈J i∈J Vì E{ξi [fh (W ) − fh (W − ηi ) − ηi fh (W )]} E{W fh (W )} = i∈J ξi ηi )fh (W )} + E{( i∈J Mặt khác, E(ξi |Fi ) = 0, ∀i,∀j = i + 1, i + m nên ta có = EW = E{ ξj W } = i∈J E{ξi W } i∈J E{ξi (W − ηi ) + ηi ξi } = 1= i∈J E{ηi ξi } i∈J Do vậy: E{fh (W ) − W fh (W )} = E[( E{ξi ηi })fh (W )] − E{W fh (W )}; i∈J 40 E{fh (W ) − W fh (W )} = −E( {ξi ηi − E(ξi ηi )})fh (W ) i∈J − E{ξi [fh (W ) − f (W − ηi ) − ηi fh (W )]} i∈J fh Mặt khác, theo tính chất nghiệm phương trình Stein ta có ≤ h fh ≤ h Áp dụng khai triển Taylor ta ηi2 f (W ) + h fh (W − ηi ) ≤ fh (W ) − ηi fh (W ) + ηi2 h fh (W − ηi ) = fh (W ) − ηi fh (W ) + Do {ξi ηi − E(ξi ηi )}| |h(W ) − Eh(Z)| ≤ h {4E| i∈J E|ξi ηi2 |} + i∈J 41 KẾT LUẬN Các định lý giới hạn Lý thuyết xác suất nói chung định lý giới hạn trung tâm nói riêng đóng vai trị quan trọng phát triển lý thuyết thực hành xác suất thống kê Đối với dãy biến ngẫu nhiên không thỏa mãn điều kiện độc lập phân phối xác suất tốc độ hội tụ định lý trung tâm đóng vai trị cốt yếu toán thống kê Việc nghiên cứu Bất đẳng thức Berry - Essen phương pháp Stein nhiều tác giả nghiên cứu, đặc biệt nhóm nghiên cứu giáo sư Louis Chen (Đại học Quốc gia Singapore) Trong đề tài thiết lập số kết tốc độ hội tụ định lí giới hạn trung tâm dãy biến ngẫu nhiên nhiên hiệu unordered martingale phương pháp Stein Do thời gian trình độ cịn hạn chế nên luận văn dừng lại mức tìm hiểu chứng minh định lý, bổ đề đưa số kết phương pháp Stein dãy biến ngẫu nhiên unordered martingale Trong q trình thực luận văn chắn khơng tránh khỏi thiếu sót, tơi mong nhận ý kiến đóng góp thầy bạn bè 42 TÀI LIỆU THAM KHẢO Tiếng Việt [1] Nguyễn Duy Tiến, Vũ Viết Yên (2000), Lý thuyết xác xuất, Nhà xuất Giáo dục Tiếng Anh [2] Berry A.C (1941), The accuracy of the Gaussian approximation to the sum of independent variates, Trans Amer Math., 49, 122–136 [3] Chen H.Y.L, Goldstein L and Qi-Man Shao (2011), Normal Approximation by Stein’s methods, Springer Press [4] Choi K P and Klass M J (1997), Some best possible prophet for convex functions of sums of independent variates and unordered martingale difference sequences, The Annals of Probability, 25, 2, 803–811 [5] Esseen C G (1942), On the Liapunov limit of error in the theory of probability, Ark Mat Astr Fys., 28A, 1–19 ... xấp xỉ phân phối chuẩn gọi phương pháp Stein Các kết nghiên cứu chủ yếu dãy biến ngẫu nhiên độc lập Trong đề tài thiết lập số kết xấp xỉ phân phối chuẩn dãy biến ngẫu nhiên hiệu unordered martingale. .. ĐÀO TẠO ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG LÊ TRẦN PHƯƠNG THANH XẤP XỈ PHÂN PHỐI CHUẨN ĐỐI VỚI DÃY BIẾN NGẪU NHIÊN UNORDERED MARTINGALE BẰNG PHƯƠNG PHÁP STEIN Chuyên ngành: Phương pháp toán sơ cấp Mã số: 60.46.01.13... )cũng dãy biến ngẫu hiệu m - unordered martingale 4.2 ĐẲNG THỨC STEIN ĐỐI VỚI DÃY BIẾN NGẪU NHIÊN HIỆU UNORDERED MATINGALE Trong phần thiết lập đẳng thức Stein dãy biến ngẫu nhiên hiệu unordered martingale