BO GIAO DUC VA DAO TAO
TRUONG DAI HOC VINH
DAO THI HONG THUY
CAC DINH Li GIGI HAN
DOI VOI CAC BIEN NGAU NHIEN PHU THUOC AM VA LIEN KET AM
LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC
VINH - 2007
Trang 2
BO GIAO DUC VA DAO TAO
TRUONG DAI HOC VINH
CÁC ĐỊNH LÍ GIỚI HẠN
DOI VOI CAC BIEN NGÂU NHIÊN PHU THUOC AM VA LIEN KET AM
CHUYEN NGANH: XAC SUAT - THONG KE
MA SO: 60.46.15
LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC
Người hướng dẫn khoa học : PGS.TS.NGUYEN VAN QUANG
Người thực hiện : ĐÀO THỊ HỒNG THỦY
VINH - 2007
Trang 3I
MUC LUC
Mucluc 2 2.00.02 2 2000002 eee eee 1
Mở Đầu
Chương !: MỘT SỐ ĐỊNHLÍ GIỚI HẠN ĐỐI VỚI CÁC BIẾN
NGÂU NHIÊN PHU THUOC AM 4
1.1 Tính phụ thuộc âm của các biến ngẫu nhiên 4
1.2 Các biến cố phụ thuộc âm 5
1.3 Sự hội tụ hầu chắc chắn của tổng có trọng lượng các biến ngẫu
nhiên phụ thuộcâm 8 Chương2 : MỘT SỐ ĐỊNHLÍ GIỚI HẠN ĐỐI VỚICÁC BIẾN
NGẪU NHIÊN LIÊN KẾT ÂM 14
2.1 Tính liên kết âm của các biến ngẫu nhiên 14
2.22_ Các biến cố liên kếtâm ẶẶ 19
2.3 Các định lí giới hạn cho các biến ngẫu nhiên liên kếtâm 22
Chương3 : SỰ HỘI TỤ HẦU CHẮC CHẮN CỦA TỔNG CÓ
TRỌNG LƯỢNG CAC BIEN NGẬU NHIÊN LIÊN KET
ÂM HẦU TIỆM CẬN 29
3.1 Các biến ngẫu nhiên liên kết âm hầu tiệm cận 29 3.2 Sự hội tụ hầu chắc chắn của tổng có trọng lượng các biến ngẫu
nhiên liên kết âm hầu tiệm cận 30
Trang 4Lí thuyết xác suất ra đời vào nửa cuối thế kỉ XVI ở Pháp Bắt đầu từ một số bài toán liên quan đến trò chơi may rủi, do hai nhà toán học Blaise và Pascal
nghiên cứụ Các bài tốn đó và các phương pháp giải chúng có thể xem là những
nghiên cứu đầu tiên của lí thuyết xác suất
Xác suất là một bộ phận của toán học nghiên cứu các hiện tượng ngẫu nhiên,
tức những hiện tượng mà ta không thể biết trước nó xảy ra hay không khi thực
hiện một lần quan sát Lí thuyết xác suất nhằm tìm ra những quy luật trong những hiện tượng tưởng chừng như khơng có quy luật đó Và do đó, như Kolmogonov
từng nói "giá trị chấp nhận được của lí thuyết xác suất là các định lí giới hạn, các kết quả chủ yếu và quan trọng nhất của lí thuyết xác suất là các luật số lớn"
Trong lí thuyết xác suất cổ điển khái niệm độc lập chiếm vị trí trung tâm Các
kết quả quan trọng, đặc biệt các định lí giới hạn như luật số lớn, định lí giới hạn trung tâm đều được thiết lập với sự có mặt của giả thiết nàỵ
Tuy nhiên mọi sự vật hiện tượng hầu như có quan hệ phụ thuộc với nhau, do
đó việc mở rộng khái niệm độc lập là điều cần thiết Gần đây xuất hiện nhiều hướng mở rộng khái niệm này và đã thu được nhiều kết quả quan trọng
Trong luận văn này chúng tơi sẽ trình bày các khái niệm Phụ thuộc âm, Liên
kết âm, Liên kết âm hầu tiệm cận, các định lí giới hạn và một số kết quả thu được
tương ứng
Luận văn được chia làm 3 chương:
Chương 1 Một số định lí giới hạn đối với các biến ngẫu nhiên phụ thuộc âm Chương 2 Một số định lí giới hạn đối với các biến ngẫu nhiên liên kết âm Chương 3 Sự hội tụ hầu chắc chắn của tổng có trọng lượng các biến ngẫu
nhiên liên kết âm hầu tiệm cận
Trang 53
Nguyễn Văn Quảng, tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới thầy, người đã tận
tình giúp đỡ tác giả trong quá trình học tập và nghiên cứụ
Trong quá trình học tập và nghiên cứu đề tài này tác giả cũng đã nhận được
sự giúp đỡ tận tình các cô thầy giáo bộ môn xác suất thống kê, đặc biệt thầy giáo PGS.TS Phan Đức Thành, thầy giáo PGS.TS Trần Xuân Sinh, thây giáo Ths Lê Văn Thành đã cho nhiều ý kiến quí báu giúp tác giả hoàn thiện luận văn Nhân địp này tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới các cô thầy giáọ Tác giả cũng xin cảm ơn các anh chị học viên cao học I3 chuyên ngành xác suất thống kê đã
động viên, giúp đỡ tác giả trong quá trình học tập và thực hiện luận văn nàỵ
Cuối cùng, mặc dù đã rất cố gắng song vì năng lực và thời gian có nhiều hạn
chế, chắc chắn luận văn không thể tránh được các sai sót Tác giả mong nhận
được sự lượng thứ và góp ý của các thầy cô và người đọc
Vinh, tháng 12 nam 2007
Trang 64 CHƯƠNG 1
MỘT SỐ ĐỊNH LÍ GIỚI HẠN ĐỐI VỚI CÁC BIẾN NGẪU
NHIÊN PHU THUOC AM
1.1 TINH PHU THUOC AMCUA CAC BIEN NGAU NHIEN
Cho không gian xác suất (Q, Z, P)
Định nghĩa 1.1 Các đại lượng ngẫu nhiên X\, X„ xác định trên (Q.7, P) được gọi là đôi một phụ thuộc âm nếu thoả mấn
P(X; < 23, Xj < aj) < P(X; < x) P(X; < 2) (1.1)
Hodc P(X; > z¡, X; > #j) < P(X¡ > x) P(X; > 2) (1.2)
Dễ thấy (1.1) và (1.2) là tương đương nhaụ
Định nghĩa 1.2 Các đại lượng ngẫu nhiên X\, , X„ được gọi là phụ thuộc âm nếu thoả mãn
P(\X¡ < #2) < ][ PƠI <z)Vải, e„ ER (1.3)
i=1 i=1
va P((\X, >a) < J] PUG > a) Vai, t, ER (1.4)
i=l 1
Dấy các đại lượng ngẫu nhiên {X„.n > 1} được gọi là phụ thuộc âm nếu mọi tập con hữu hạn của nó phụ thuộc âm
Nhận xét l.1 Rõ ràng với n > 2 thi (1.3) và (1.4) là không tương đương Chẳng
hạn trên không gian xác suất (Q 7, P), với Q = {1.2.3.4}, độ ảo xác suất xác định bởi P(A) = ae ldy A = {0.1}, B = {1,2},C = {0,2} Khi đó kiển tra
trực tiếp ta thấy Tạ, Ip, lọ thoả mãn (1.4) nhưng không thoả man (1.3)
Trang 7Xét không gian xác suất (Ọ Z, P) với O = {1,2,3.4} và P(A) = la Lay
A = {1.2}, B = {2.3.4}, khi d6 74, J, là các biến ngâu nhiên phụ thuộc âm nhưng không độc lập
Sau đây là một số kết quả đơn giản của các đại lượng ngẫu nhiên phụ thuộc
âm (Xem [7])
Bổ để 1.1 Nếu X) X„ là các đại lượng ngẫu nhiên phụ thuộc âm và ƒh, ƒa là các hàm Borel cùng tăng hoặc cùng giảm thì ƒ(X\), ƒ( Xu) là các đại lượng ngẫu nhiên phụ thuộc âm
Bổ đề 1.2 Nếu Xì, , X„ là các đại lượng ngẫu nhiên phụ thuộc âm đôi một thì
X,X; < PX,PX,,Vi # j
Bổ để 1.3 Nếi Xì , X„ là các đại lượng ngẫu nhiên không âm, phụ thuộc âm
n n
thì P(J[ X;) < [[ BX: ¿=1 £1
Ta dễ đàng chứng minh được hệ quả đơn giản saụ
Hệ quả l.Ị 7 Nếu Xì, X„ là các biến ngẫu nhiên phụ thuộc âm đơi một
thì D(Xị + + X„) < DX¡ + + DX„,
2 Nếu X\, X› là các biến ngẫu nhiên phụ thuộc âm có phương sai hữu hạn thì có hệ số tương quan âm
1.2 CÁC BIẾN CỐ PHỤ THUỘC ÂM
Định nghĩa 1.3 Các biến cố Aị A„ được gọi là phụ thuộc âm nếu các hàm
đặc trưng của chúng phụ thuộc âm
Họ bất kì các biến cố{Au,œ € J} được gọi là phụ thuộc âm nếu mọi họ con
hữm hạn của nó phụ thuộc âm
Mệnh để ỊỊ Nếu 4;, , 4„ la các biến cố phụ thuộc âm thì Ai, , A„ là các
Trang 86
Ching minh Gia stt A,, , A, la cdc bién c6 phu thuộc âm, khi đó từ định
nghia ta c6 /4,, ,/4, 1a cdc bién c6 phu thuộc âm
Lấy ƒ; =1 — #,Vi = 1,n, khi đó ƒ; là các hàm đơn điệu giảm, do đó theo bổ đề 1,1 suy ra 4, = ƒi(Ta,), Fa, = fz(T4,) phụ thuộc âm
Suy ra 4¡, , 4„ phụ thuộc âm
Nhận xét 1.2 Trén cùng một không gian đo, tính phụ thuộc âm của các đại lượng ngẫu nhiên và các biến cố phụ thuộc vào độ đo xác suất được trang bị trên đó
Chẳng hạn trên khơng gian đo (Q, 7) với Q = |0; 1] # là ø-đại số Borel, ta trang
bị hai độ đo P,Q với P là độ đo đêu trên [Ú: 1], Q là độ đo tích phân xác định
bdi P(A) = f 2adx Khi đó lấy A = (0; 4], B = [4;2] thì A, B phụ thuộc âm đối
A
voi P? nhưng không phụ thuộc âm với Q)
Từ định nghĩa ta thấy nếu 4, phụ thuộc âm thì B, 4 phụ thuộc âm, tức là
quan hệ phụ thuộc âm của các biến cố có tính chất đối xứng Định lí sau cho ta điều kiện để quan hệ phụ thuộc âm của các biến cố có tính chất phản xạ và bắc cầụ
Định lí 1.1 Điều kiện cần và đủ để quan hệ phụ thuộc âm đôi một của họ các biến cố chứa Í ( hoặc ©) có tính chất phản xạ hoặc bắc câu là xác suất của các biến cố bằng 0 hoặc bằng 1
Chứng minh Giả sử quan hệ phụ thuộc âm của các biến cố có tính chất phản
xạ Khi đó với mỗi 4 thì 4, 4 phụ thuộc âm, do d6 74, Ứ¡ phụ thuộc âm nên ta
co
P(AA) <P(A)P(A) P(A) <P(A)P(A)
@P(A)(1— P(A))< 0 (1.5)
Vì 0< P(4) < 1 nên từ (1.5) suy ra P(A) = 0 hoac P(A) = 1
Giả sử quan hệ phụ thuộc âm của các biến cố của họ có tính chất bắc cầụ Với
mỗi 4 thuộc họ, do 4, Ú phụ thuộc âm nên suy ra 4, 4 phụ thuộc âm
Trang 97
Gia sử ngược lại, mọi biến cố của họ có xác suất 0 hoặc I1 Khi đó với A, Ư bất kì của họ ta có
- Néu P(A) = 0 thi tit P(AB) < P(A) nen P(AB) = 0, do đó 0= P(AB) < P(A)P(B) =0
- Nếu P(A) = 1 thi tt P(AB) < P(B) = P(A)P(B) suy ra A, B phu thudc
am
Vì A, bất kì nên suy ra tính phụ thuộc âm của các biến cố có tính chất phản xạ và bắc cầụ
Nhận xét 1.3 Giả sử ,A là họ các biến cố chứa biến cố 0 (hoặc ©) Khi đó quan hệ phụ thuộc âm đôi một của các biến cố có tính chất đối xứng, phản xạ và bắc
câu, tức nó là một quan hệ tương đương trên Ä khi và chỉ khi mọi biến cố A thuộc
A có xác suất 0 hoặc Ï
Định lí sau mở rộng bổ để Borel-Cantelli trong [2]
Định lí 1.2 Gid sit (A,,) là đấy các biến cố, khi đó 1 Nếu ` P(A,) < co thi P(limsup A,,) = 0
- oo
2 Nếu 3) P(Aa) = œ và (Aa) phụ thuộc âm thì P(lim sup An) =1
n=1 n
oO
Chứng minh 1 Vì ( U Am) la day giam nén
m=n nz
P (tim sup An) = P( ñ Ù Am)
n n=lm=n
%
= Him PCU Plan) m=n
< lim S P(A„)=0 (do 3` P(A,) < <)
Trang 108 2 Trude hét tac6 1 — z < cT”7,VWVŨ< z <1 Do đó m m m < đ oP k=n SP (A) = @k=n ; % » PAR)
Cho m— oo tacé 1 — PÍ U % < eben = =0
k—n
œ
Suy ra P( U Ar) =1.Vn = 1,2, Do dé Com lim sup A sae =
k=n
Từ định lí 1.2 ta có hệ quả saụ
Hệ quả 1.2 (Luật 0-1 Borel-Canteli cho các biến cố phụ thuộc âm) Giả sử (Á›) là các biến cố phụ thuộc âm, khi đó lìm sup A„ có xác suất 0 hoặc 1
n
1.3 SỰHỘI TỤ HẦU CHACCHAN CUA TONGCO TRONG LƯỢNGCÁC BIẾN
NGAU NHIÊN PHU THUỘC AM
Bổ để 1.4 Giả sử {X, X„,n > 1} là dãy các biến ngẫu nhiên phụ thuộc âm đôi một, cùng phân phoi thod man I; {exp(h|X ")} < œ với h > 0,r > 0,
{Xnịl <i < n,n > 1} là mảng các biến ngẫu nhiên phụ thuộc âm theo hàng, EX, =0,V1<i<n,n>1 vd {ani,1 <i < n,n > 1} la mang các hằng số dương Khi đó với 0 < Ư < r và hằng số Ở > 0 có
,
Trang 119
và tồn tai d > 0,1 < œ < 2 va day {u„} nào đó các hằng số dương thoả mãn
lim uy, = 0, sưø cho
NFO
n
c6 |Xni\° So as, < Un X,Ẻ⁄n nj! heẹ (1.7)
i=l
n
thi lim So aniXn;i =0 h.c.c
noo i=l
Chứng minh Từ cï < 1+ + + 3a2cl"l, Và cRtacó
exp(fa„ X„i) < 1+ tam X„¡ + 32a2,ÄX2, exp(Ea„i Xmi|)
Suy ra E(exp(taniXni)) < 1+ $007, [X3, exp(tani Xnil)], Vt > 0
Lay ¢ > 0, dat ¢ = 2Inn//c Từ (1.6), (1.7) và chú ý rằng với 7' > 0, > 0 tồn tại số J > 0 sao cho |X|! < De*lX” ta có
Elexp(tan:Xni)|
1/2, 2
1+ 4(2)4 (in n)2,2[X4 exp(2 nn aX] 2 2
<1 +5 5 (In n)*a2,E||Xpil?-* Xpil® exp(= Inn an; Xnil)|
x X; 8 X ỗ
si+5s Zann) 12,12{( Ses } ntl gay 2 Inm Ở X;⁄Inn)]
n1 đại (Inn)%=t 5” a„;
i=l
2
<i+3 Sun Inn ——E|IX,J#2~ OM exp(= C X;|°)]
" i=1 a 2 2 4 <1 +3 st„ lnn =— = —Ekxp( "X; ®] > Oni <1l+= sin n độ ` ani đụ sự <expl5 Inn —“—} (vìc”>1+z,Vz >0) (1.8) Dati
với mọi ? đủ lớn va C’ > 0 nao dé
Từ giả thiết và bổ đề 1.1 suy ra {exp(tan;Xni),1 <i <n,n > 1} là mảng các
Trang 12B exp(t ` Ani X pi) =E([] exp(taniXni)) i=1 i=1 n < I] Eexp(taniXni) (1.9) i=1 Từ (1.8), (1.9) và áp dụng bất đẳng thức Markov với ø đủ lớn ta có PU Onn Ze PUY OX > tz) n e* Il E exp(laniXni) i=l ve Toot; inno — —} a TH dah 3 =n?, (1.10)
Chú ý rằng {—X,;,1 <i < nø,m= > 1} cũng là mảng các biến ngẫu nhiên phụ
thuộc âm theo hàng nên lập luận tương tự trên ta thu được
= SP aniXyi > 2) < nỏ ( với n đủ lớn ) (1.11)
3 5
Từ (1.10), (1.11) có P( 3) ø„X„¡| > £) < n~? với n đủ lớn, suy ra
i=l
S`nị SP an Xn ze) <x (1.12)
n=1 i=l
Tir (1.12) va b6 dé Borel-Cantelli suy ra lim Ðø„;X„; =0 h.ec
N00 j=]
Dinh li 1.3 Gid st {X, X,,n > 1} la day các biến ngẫu nhiên phụ thuộc ám, cùng phân phoi, EX = 0, E{exp(h|X ")} < œ, (h,r > 0) Khi đó với
0<r< an’ bn = ne (In n)? va {ani,1 <i < n,n > 1} la mảng các số dương
sao cho Ag = lim sup Aan < 0 voi A®,, = no! > Ani ° 1 <a <2 thi
il
ayn NOC
n
So ani Xi /by 0 hẹ S5
Trang 13Chứng minh Ta có
n n
0` a„X; ⁄b,)? = BX? Soa, /be + » da„¡d„jl2X;X; ⁄b}
i=l i=1 igj=l
n <EX?S a/b, i=1 < EX?(Š ` an)° ⁄b2 ;z=] < EX?A m> ⁄n*(Inn)? = EX?A*⁄„ (In)? = 0 Suy ra 33 ani Xi /bn +, 0, =1 Vì thế từ định lí 3.2.1 trong [10J thì chỉ cần chứng tỏ rằng n , NO › đại X) “bạ ——>0 hicẹ mm
ở đây {X?} là dãy đối xứng hoá của { X;} Do đó chúng ta chỉ cần chứng minh định lí trong trường hợp đối xứng Đặt
Xj;= X;!(|X;| < (Inn)*) — (Inn)*!(X; < -(lnø)')+ (Inn)*!(X; > (Inn)
X", = (X; — (Inn)')I(X; > (Inn)") + (X; + (Inn)*)I(X; < —(Inn)*)
);
Khi đó X/,, X7, là các hàm tang theo X; nén {X/,,1 < i < n,n > l} va {X,1 <7 < n,n > 1} là mảng các biến ngẫu nhiên phụ thuộc âm theo hàng
Ta có
+
E#cxp|lX ”<œ® ` P(exp X|" >i) < œ i=l x © ` P(|X;" > Int) < œ i=l ©@ ` P(X; > (In)”) < œ i=l
Từ đó và bổ để Borel-Cantelli suy rạ P(limsup|X;| > (In@)r)=0 (1.13)
1 >
Trang 14Tir (1.13), (1.14) suy ra » x" `» X,|1(|X;| > (nn)*) i=l < $2 X|I(\Xi| > (Ini)") ? vs yx =1 Vay » IX7;| bị chặn h.c.c Do đó ;=l 1 r
I(|X;| > (Ini)") < oc
n ?
=1 Ww -1 ”
b | ) đại Xi; Š bạ 5 le; X;
i=1 i: ' max đụ | › [xi i<n a) ay)? NI Xn i=1 n < Aa„) Xz|⁄(nn)' “® 0, i=l
Suy ra bat Xi 0 heẹ (1.15)
Chú ý rằng từ 0 < r < +? suy ra0 <z< l và # > œ+ 1 Do đó Xx}, \° À bạ" lam; ®=.X/.^(m=(In n)")~°n Ae,
i=l
<A ayn Xj 7 (In n)*
< At, xP ⁄nn)=H
lX:*/⁄(nø)2T (1.16)
— ja
a Aon In 2n
Nếu |X; < (Inn)' thì bợ 1a Xj | = b2 lan||X: DS lani “)
< n(n n)* Agana (lnn)> X;° = Aan Xi|"/ Inn (1.17)
Trang 1513
1 z
Néu |X;| > (In n)r thi by ani X),| = By" ani(ln n)
1 L <b; ape aa,)* (In n)r
i
ï =ne dn m ne Aan (Inn)
Aan|Xỉ/ Inn (1.18)
A
Tir (1.17), (1.18) suy ra by taniX),| < Aan|Xi"/ Inn (1.19)
Chú ý rằng /X7„ = 0, V1 < 7 < ø nên từ (1.16), (1.19) và bổ để 1.4 suy ra
Soo," dni X), ni 3 0 h.cc (1.20)
Từ ( 1.15), (1.20) suy ra lim Dh, by aniXni =O h.ec
Trang 1614
CHƯƠNG 2
MỘT SỐ ĐỊNH LÍ GIỚI HẠN ĐỐI VỚI CÁC BIẾN NGẪU NHIÊN LIÊN KẾT ÂM
2.1 TÍNH LIÊN KẾT ÂM CỦA CÁC BIẾN NGẪU NHIÊN
Định nghĩa 2.1 Họ các đại lượng ngẫu nhiên { X;.1 < ï < n} được gọi là liên kết âm nếu với môi cặp các tập con rời nhau Ay, Ag ca {1,2, ,n} thi
cot{(X;,¡ € Aj), fo( Xi, 7 € 4;)} <0, (2.1)
với mọi ƒ ƒ› là các hàm tăng theo các thành phần toạ độ và covarian tôn tạị
Họ vô hạn các biến ngẫu nhiên {X;,¡ > 1} được gọi là liên kết âm nếu mọi họ con hữu hạn của nó là liên kết âm
Từ định nghĩa ta thấy các đại lượng ngẫu nhiên độc lập thì liên kết âm
Trong trường hợp n=2 mệnh đề sau chỉ ra rằng khái niệm phụ thuộc âm và liên
kết âm là đồng nhất
Mệnh đề 2.1 Các đại lượng ngẫu nhiên Xì, X› liên kết âm khi và chỉ khi chúng là phụ thuộc âm
Chứng minh Giả sử Xị, X; liên kết âm, với mỗi œ, 3 € IR lấy
fila) = Ta, +00)(x), f2(z) = 1(Ø, +)(+) thì fy, fo 1a cdc ham Borel tang Do
đó /i(zi), ƒ2(z›) liên kết âm, suy ra
cov{ fi(X1), fo(X2)} < 0
el ((fi(X1) — Efi(X1))(f2(X2) — Efo(X2)) < 0
@ Efi (Xi) f(a) — LA (ME f(X2) < 0
P(X, >a, X27 > B) — P(X, > a)P(X2 > 8) <0 P(X, > a, X27 > B) < P(X, > a)P(X2 > 8)
Trang 1715
Ngược lại, giả st’ X,, X» phụ thuộc âm Khi đó với ƒ¡, /; tăng thì ƒ¡(X¡), /2(X:)
phụ thuộc âm, do đó cow(ƒfi(X¡) /2(X›)) < 0, suy ra X:, X; liên kết âm
Trong trường hợp ø > 2 ta có kết quả saụ
Dinh lí 2.1 Giả sử {X\, , X„} là dấy các đại lượng ngẫu nhiên liên kết âm, Ai, 4; là các tập con rời nhan của {L, n}, khi đó các đại lượng ngẫu nhiên
Y = fi(Xi,i € A), Z = fo(Xj,7 © Av) liên kết âm, do đó phụ thuộc âm nếu
Si, fy tang
Chứng mình Giả sử ø, g› là các hàm Borel tăng, đặt hị = gio fi, ho = goo fo
thì hị, h; là các hàm Borel tăng Vì { Xị, , X„ } là dãy các đại lượng ngẫu nhiên
liên kết âm, 4¡, 4› rời nhau nên
cou{hi(X;,¡ € AI).hăÄX;.7 € 4;)} <0
scov{gi o fi(Xi, © Ai), ge 6 J2(X;,j € 4;)} <0 Scov{g (fi (Xj, 7 € Ai)), go fo( Xj 9 € 4;))} <0
Suy ra Y = ø((X;.? € 4i).Z = ø(X;, j7 € 4›) liên kết âm, áp dụng mệnh đề
2.1 suy ra Y, Z phụ thuộc âm
Hệ quả 2.1 Gid sit (X), , Xn) là đấy các đại lượng ngẫu nhiên liên kết âm, Ay, Ag la cdc tap con roi nhau cia {1, ,n} Khi dé dat Y = }) À;(X; — q;),
¡CAI
Z= }) À;(X; - qj), với À;, À¡ là các số thực khơng âm thì Y, Z liên kết âm
€4;
Chứng mình Lấy ƒ\(.) = 3) À;(4¡ — 6) J() = 3} Àj(z; — a¡) thì đ, ƒ là
¿CAn J€4a
các hàm tăng theo các thành phần toạ độ Rõ ràng Y = ƒi(X;,¡ € 4i), Z = P(X;,j € A;) nên theo định lí trên suy ra Y, Z liên kết âm
Hệ quả 2.2 Giá sử (X\, , X„) là dấy các đại lượng ngẫu nhiên không âm liên
kết âm, Aị A› là các tập con rời nhau của {Ì, n} Khi đó Y = [[ X™, /CI Z = ]|[ X”°”, với œ,œ¿ là các số thực không âm, là liên kết âm
J€A›
Ching minh Lay f\(.) = T] 2, J5()= TỊ vi thì ƒ¡, ƒ; là các hàm Borel
;€Á¡ jEA2 `
Trang 1816
rang Y = [\(X;,i € Ay), Z = J›(X;.7 € 4;) nên theo định lí 2.1 suy ra Y, Z là các đại lượng ngẫu nhiên liên kết âm
Nhận xét 2.l 7 Các đại lượng ngẫu nhiên liên kết âm thì có tương quan âm 2 Các đại lượng ngẫu nhiên liên kết âm thì phụ thuộc âm đôi một
Tuy nhiên chiều ngược lại khơng đúng, ta xét ví dụ saụ
Xét trên không gian xác suất (Ọ F, P) v6i Q = [0; 1] F 1a o-dai s6 Borel, P 1a độ đo đều trên [0;1] Lay A, = (0; 4], Ao = [3:5], As = [4:5] U [5:1] va đặt
X; = I,, Bang cach kiém tra truc tiép (c6 27 trường hợp) ta thấy 3
P((X1 < ay, X2 < ay, X3 < ag) < H P(X; < aj)
i=1 3
va P[(X1 > a1, X2 > a2,X3 > ag)] < [] PX > ai)
i=l
VỚI mọi a), @2,a3 € R Suy ra X,, X), X; phụ thuộc âm Tuy nhiên
5 10° 86 12 5 =— —==_- 1010 25 — 10 P(XIi + X;<1,X;¿<0)= P(XI + X› < 1)P(X; < 0)
Vậy Xị + X;›, X; không phụ thuộc âm Do đó theo mệnh dé 2.1 suy ra X, + Xo, X; không liên kết âm Từ đó X:, X¿, X; khơng liên kết âm, vì nếu ngược lại theo hệ quả 2.1 ta có Xị + X¿, X; liên kết âm Mâu thuẫn
Vậy tính phụ thuộc âm đôi một (thậm chí mạnh hơn là phụ thuộc âm) của các đại
lượng ngẫu nhiên không suy ra được tính liên kết âm
Từ X¡, X;, Xz phụ thuộc âm suy ra X¡, X›, X phụ thuộc âm đơi một Do đó
cov(X1, X3) < 0 và cov(X2, X3) < 0 Vì covarian là song tuyến tính nên
cou(X1 + Xo, X3) = cov(X1, Xz) + cov(X2, X3) < 0
Vay X1+ X2, X3 c6 tuong quan 4m Tuy nhiên theo kết quả trên thì X + X›, X; không liên kết âm, do đó từ tính tương quan âm khơng suy ra được tính liên kết
Trang 1917
Sau đây là một số tính chất đơn giản khác của các đại lượng ngẫu nhiên liên
kết âm
Bổ đề 2.1 Giả sử XỊ X„ là các đại lượng ngẫu nhiên liên kết âm, khi đó
hi(Xh) , ƒ2(X,) là các đại lượng ngẫu nhiên liên kết âm, với fi, , fn la cde hàm Borel tăng
Chứng mình Giả sử Ai, A; là các tập con rời nhau của {1, ,?} và
Ø1((8/,1€ Ai), 0(2;,7 € Az) 1a cdc ham Borel tang theo cdc thanh phan toa dọ Dat hy = gic (fi,t € Ai), ho = goo (Jj, j © Ag) thi hi, hy 1a cdc ham Borel tang
theo các thành phần toạ độ Do X+, , X„ liên kết âm nên ta có
cou{hi(X;.¡ € Aj), h›(X;,j € 4;)} <0
cov{gi (fi(Xi), 7 € Ai) øg(f(X;).7j € 4›)} S0 = fi(X1), 5 fn(Xn) liên kết âm
Bổ đề 2.2 Giả sử XỊ X„ ( n > 9) là các đại lượng ngẫu nhiên không âm liên
kết âm, khi đó ta có
EXIX¿ Xa < BẤ¡ EXuạ (2.2)
Chứng mình Ta chứng mình quy nạp theo n
Với „ = 2 Giả sử Xị, X› liên kết âm, khi đó áp dụng định nghĩa với ƒ1 (+) = z, faly) = y ta 06
cov{X1, X2} <0
©EXIX;¿— EXIEX;<0
SEX EX, < BEX\ EX) (2.3)
Vậy (2.2) đúng với n = 2
Giả sử (2.2) đúng với n = É, tức là
Trang 2018
Ta chứng minh (2.2) ding vé6in = k + 1 Thật vậy, giả sử X\, X„ là các đại lượng ngâu nhiên liên kết âm Khi đó từ hệ quả 2.2 suy ra Xị X;¿, X;,¡ liên
kết âm, do đó từ (2.3), (2.4) suy ra
ĐXỊ X£X‡ki = B(N¡G X£)Xk¿
< E(XỊ X¿)EX,.i (do (2.3)) < EXỊ.EX¿.EXekiir (do(344))
Vậy (2.2) đúng với ø = k + 1 Do đó (2.2) đúng với mọi > 2
Mệnh đề 2.2 Nếu Xị, , X„ là các đại lượng ngẫu nhiên liên kết âm thì
ey X;)< 3 DẶ,
i=l i=
Chứng minh Ta có
D(Š`X;) = BIS) X: p(S^X,)?
i=l i=1 i=1
= BLK = BX)? =1
= » E(X; — EX;)? + » EU(X; — BXi)(Xj — EẤ,)]
m1 l1
= » DX;+ » cou{X;, X;}
mm ij-l
12
n
< SO DX; (Vi cov(X;, Xj) < 0,Vi, j = 1,n) ¿=1
Mệnh dé 2.3 Giả sử XịỊ, , X„ là các đại lượng ngẫu nhiên liên kết âm, khi đó P(X, > a1, X2 > 09, -.-,Xn > On) < T] P(X: > ai) (2.5)
i=l
Chứng mình Giả sử Xị, X› liên kết âm, theo mệnh dé 2.1 suy ra _X1, Xo phụ thuộc âm, nên ta có
Trang 21Vay (2.5) đúng với n = 2
Giả sử (2.5) đúng với n = k, tức là
k
P(X > ay, Xo > a, ., Xp > œ) < H P(X; > aj) (2.6)
i] Ta chứng minh mệnh dé ding vin =k +1
Giả sử X: X¿, X¿,: liên kết âm Dat
Ji = T((Gu;%) X « X ÍA;S))(Eb se th)
ƒ = I(drii;S)(#kii),
thì ƒ¡, ƒ› là các hàm tăng theo các thành phần toạ độ nên ƒ¡ (X¬, , X¿), ƒ›(X;¿1) liên kết âm, suy ra
cov(fi(X1, , Xk), fo( Xe) < 0
SE fi(X1,- , Xx) fo( Xe) — Efi (X1, , XE fo(Xe+1) < 0
P(X, > ay, ., Xp > Ae, Xp > Ẳ+1)
< P(X, > ay, , Xp > ag) P( Xp 4 1 > Ay 1) k+l
=> P(X, > a1, X2 > ứy, Xkkn > anv) < [] P(X: > ai) (do (2.6)
i=l
Vay (2.5) dting v6i n = k +1, do đó mệnh đề được chứng minh
2.2 CAC BIEN CO LIEN KET AM
Dinh nghia 2.2 Ho hitu han { Aj, , An} duoc goi la ho cdc bién cé lién két dm nếu {IA, la, } là họ các biến ngẫu nhiên liên kết âm
Họ vô hạn {A;,¡ C I} được gọi là họ các biến cố liên kết âm nếu mọi họ con hữu hạn của nó liên kết âm
Họ các biến cố.A = {A¡,¡ € I},B = {Bj, j c J} được gọi là liên kết âm với nhau nếu với mọi A € A, B € B thì A, B liên kết âm
Trang 2220
Trong trường hợp n = 2 thì khái niệm phụ thuộc âm và liên kết âm của các
biên cố là tương đương
Mệnh đề 2.4 Giỉ sử { Aị A„} là dãy các biến ngẫu nhiên liên kết âm, khi đó
P(\42 < P)4P( (42):
i=l j-l j=m+I
Chứng mình Vì AI, A„ là các biến cố liên kết âm nên /a,, ,/a, là các
biến ngẫu nhiên liên kết âm
Đặt ƒi(đ, mm) = L0;00) x x(0:00) (V1, @m)s f2(@mp ty 5 Bn) = Lo;06) x (0:06) (im -; En):
R6 rang fi, f2 1a céc hàm không giảm theo các thành phần toa độ
Do đó ft (Tạ, TA,„) ƒ2(TA„„.,, , Ta, ) là các biến ngẫu nhiên phụ thuộc âm Suy
Ta
1 1
PUL Tay Lay) > 5 fame Lay) > 5) S
lo 1
S PUT Ags Tam) > 5) PO 2 Amis +9 Fan) > 5) ®P(4› < PY APC A) 42
i=1 j=l J=m+1
Nhắc lại rằng họ các biến cố 4 được gọi là một x— lớp nếu 4 đóng kín với phép lấy giao của các phần tử Sau đây chúng ta đưa ra định nghĩa x— lớp sinh bởi một họ các biến ngâu nhiên
Định nghĩa 2.3 Cho dấy các biến ngẫu nhiên {X;,¡ > 1}, kí hiệu II(X:;.< 7) ={f(X:>z;)|x; €Ñ,#; > — với hữm hạn i}
iel
Dễ thấy [[(X:.¡ € T) là một m—lóớp, gọi là m—lóớp sinh bởi (X,.¡ € T)
Mệnh đề 2.5 Giả sử {X;,¿ > 1} là họ các biến ngẫu nhiên liên kết âm, khi đó
nếu l,.J là các tập chỉ số sao cho IẤ\ J = 0 thì |[(X;,¡ € T) và [[(X;,j € 2) liên kết âm
Chứng minh Lấy A = ((X¡, > z¿) € ]]J(X:.¡ € 1)
k= m
Trang 2321
Dat fi(x1, , Lp) = T[(xi; Foc) X X (&_;+00)] Jă4i, đm„) = T[(; +) Xà X (đm: +©)|
Khi đó ƒ¡, ƒ› khơng giảm theo các thành phần toạ độ nên ƒl (X;,, , X;„), J›(Ä;, X;„) là các biến ngẫu nhiên phụ thuộc âm
Dođó co0(H(X:, X¡„) J(ÄX¡,, Xj,,)) <0
SEL (Xi os Xin), 2(Xj,, Xjn))
< E((X;: X;„))E(5(X¡,: : X;„))
©P(AP) < P(A)P(Đ)
Vậy A, Ð là các biến cố phụ thuộc âm, do đó chúng liên kết âm
Định nghĩa 2.4 Giđ sử { X;,¡ > 1} là dãy các biến ngẫu nhiên Đặt
ITY = 11%, X2 ) TI =lIŒ: )
T= AT
Khi đó | [” là một ã-lớp, được gọi là x-lớp đuôi sinh bởi họ {X;,¡ > 1}
Mệnh đề 2.6 Nếu A thuộc x-lớp đuôi |] sinh bởi day các biến ngẫu nhiên liên kết âm {X;,¡ > 1} thì A có xác suất 0 hoặc 1
Chứng minh Do (X;,¡ > 1)) là dãy các biến ngẫu nhiên liên kết âm nên
TX Xn) và [[(X„¿ị ) liên kết âm Do đó [][(X: , X„) và
TIẾ c II(X›¿ị ) Hên kết âm với mọi n Vì thế, đặt A = Ù TI(X: X;) thì 4 và []”” liên kết âm Mặt khác, dễ thấy 4 = [[F, do đó ]]Ƒ và [[” liên kết âm Suy ra [ [” và [J” Hên kết âm (vì [J“ c TIZ)
Với mỗi 4 € |] thì 4, 4 liên kết âm, nên 4, 4 phụ thuộc âm Do đó P(4) = 0hoặc P(4) = 1
Trang 2422
Chitng minh Vi (X > Ở) € TI(X) và TI(X) C TI(X;,¡ > 1) nên
(X >(Œ) eII*(X;.¿ > 1) Do đó (X > C) có xác suất 0 hoặc Ị
Trường hợp Ị P(X > C) =0,VC ER
=> P(X =-o0) =1> X =-00 heẹ
Trường hợp 2 1C : P(X > Ở) = 1
Nếu sup{Œ € R|P(X > C) = 1} = +00 thi P(X = +oc) = 1, suy ra X =+00 heẹ
Néu sup{C € R\P(X > C) = 1} = Co thi P(X > OG +4) = 0và
P(X >C- +) =1,.Vn EN’ Suy ra P(Co - 4 <X< Co + 4) =1.Vn € Ñ'
Dé thay (Co — 4 < X < Œọ + 7) là dãy giảm và
œ
1 1
X=Œ)=((Œ@==<X<@+—)
( 0) tựa nŠX<@+)
A 1 1
Đo đó P(X =Co)=P €Œo——< X<(Œ —
e6 ( 0) (Ñ\ on 0+)
1 „ - 1
= lim P(Cy —-— < X <Cyơ-)
N00 n n
= 1
Vậy X = Co hic.c
Từ các kết quả trên ta suy ra X suy biến
2.3 CÁC ĐỊNH LÍ GIỚI HẠN CHOCÁC BIẾN NGẪU NHIÊN LIÊN KẾT ÂM
Nhắc lại rằng dãy các biến ngẫu nhiên { X;,¿ € 7} được gọi là phụ thuộc âm tuyến tính nếu với các tập chỉ số rời nhau 41, 3 con 7 và các tập hằng số dương
(À,.k € 4).(A,f€ PB) thì }` À¿Xz, }) À¿X; phụ thuộc âm keA leB
Rõ rang dãy các biến ngẫu nhiên liên kết âm thì phụ thuộc âm tuyến tính
Trong phần tới chúng ta sẽ trình bày luật số lớn và định lí giới hạn trung tâm cho
mảng các biến ngẫu nhiên phụ thuộc âm tuyến tính
Bổ dé 2.3 (Xem [3]) Giả sử XỊ, X„ là các biến ngẫu nhiên phụ thuộc âm
tuyến tính Khi đó |®(rị r„) — |[ ®;(r;)|< 3} rericoo(Xy, XI),
Trang 2523
vot (ry, .,%m) = E exp[S> rj Xj], ®; (rj) = Eexplir;Xj]
j=l
Bổ để 2.4 (Xem [2]) Giả sử (F„) là dãy hàm phân phối xác suất với (¿„) la đy
hàm đặc trung tuong ting Khi dé F,, “> F khi va chi khi ¢, > , với ¿ là hàm
đặc trưng của F
BO dé 2.5 (Xem [2]) Néu X,, “ C= const hi X, & C
Ngoài ra trong các phần tới chúng ta thường xuyên sử dụng các bất đẳng thức
sau (Xem [2])
atdạ đ„ — Địb¿ b„[ < » ag — Ðẹ ;V|az[ < 1, by| < 1 (2.7)
k=l
c⁄# — 1 — itx| < 2hy (t)gi (x); (2.8) 2.2
c2 —1—il#+ 5 | < ho(t)go(x) (2.9) trong d6 h,(t) = max(|t|, 17), g(a) = min(\z|),ả), ho(t) = max(t?, 4\*),
Ø(#) = min(x?, |7/*), Va,t ER
Định lí sau mở rộng định lí 7.3.1 trong [2]
Định lí 2.3 Giả sử {X„;,L < ¿ < n.n > 1} là mảng các biến ngẫu nhiên phụ thuộc âm tuyến tinh theo hang, EXy; = 0 > cou(Xni, Xnj) ——* 0 Khi đó nếu
Trang 2624
n
= 2h,(t) » Zmin(|X„x|, X?,) (2.10)
=
Để ý rằng với 1 < r < 2 thì min(|z ,#?) < min(|zl, x|"), do đó
0< 52 F min( ([X„z|.X',) < > ([Xø: |X„kl') “”: 0
k=l k=1
Suy ra À ` /2min(|X„¿|, Xãy) ——> 0 (2.11)
k=l n Tir (2.10), (2.11) suy ra [[ 2%" = 1 (2.12) kal Theo bổ đề 2.3 ta có n n
Bexp(i 2 Xe) — | exp(2Xøx)| < ` con(X„x, X„) 5 0 (2.13)
; k=1 k<l
n
Từ (2.12), (2.13) suy ra /2exp(/ Ö ` X„¿) — 1, hay ys, > 1 (2.14)
k=1
Vì 1 = c”? là hàm đặc trưng của X = 0 nên từ (2.14) và bổ đề 2.4 suy ra
S, — 0 (2.15)
P
Từ (2.15) và bổ đề 2.5 suy ra S„ — 0
Hệ quả 2.3 G¡iở sử { X„„, k = 1, n,mn > 1} là mảng các biến ngẫu nhiên phụ
toc
thuộc âm tuyến tính theo hàng, l/X„„ = 0, 32 cou(X„¡, Xnj) —> 0 Khi dé néu
1<)
n n
Yo E|Xi| < C < 00 va LV(e) = YS E(\Xnp U([Xnk > €)) 2 0.Ve > 0
= k1
thì S„ > 0
Chứng minh Với 0 < e < 1 tuỳ ý có
M, < ye |X„¿ 1(|X„ Xø„ "I(Xzx| < £))
<1 Me) 4 10 NO
Suy ra M, — 0
Trang 2725
Hệ quả 2.4 Giả sử (X;.) phụ thuộc âm tuyến tính theo hàng, cùng phân phối,
EX, =a, EX? =C < 0, B(\X, —all (|X —@ > e,)) —S 0.Ve > 0
Khi đó
Xi+.+X„, P
ae ạ
Chứng mình Đặt X„ = xo <n RO ring {X„¿,l < k < n,n > 1}
mảng các biến ngẫu nhiên phụ thuộc âm tuyến tính theo hàng, J7 X„„ = 0, 3) cou(X„¿, X„j) < ere’ 0 - Se n ?<) Ngoài ra ? n Xp —a DIP j pxu=S k=1 k=1 ĐẤT = E|Xi—“ < œ
Ey(e) = D5 E(\Xnw U(|Xnk| > =))
k=1 n Xp — 4 Xp, — 4 =o (| > 2) k=1 : Ạ
= E(|Xi — a|I(|Xì —a >en)) = 0
Theo hệ quả 2.3 suy ra điều cần chứng minh
Hệ quả 2.5 (Luật số lớn Liapunov) Giả sử { X„¿, k = 1, n,n > L} mảng các biến ngẫu nhiên phụ thuộc âm tuyến tính theo hàng, F.X„„ = 0
%2 cop(Xøi, X„j) — 0, khí đó nếu S) 2|” —> 0 voir € [1:2] thì S„ ^> 0
i<j k=1
Dinh li 2.4 Gid sit {Xy 4.1 <k < n,n > 1} là mảng các biến ngẫu nhiên phụ
thuộc âm theo hàng thoả mãn
Trang 2826
n
voi s € [2;3] ndo dé thi (S„) = (3S) X„x) hội tụ theo phán phối tới biến ngẫu k=l
nhiên có phân phối chuẩn N (0 1)
Chứng minh Ta cần chứng tô rằng @s, (f) — e5, Vt € R Mat khac áp dụng
bổ đề 2.1 có
98, () — TL ex (| SX cov(Xnị Xnj) > 0 k=I i<j
n 2 Do đó ta chỉ cần chứng tỏ [[ ¿x„„() “”””:c *,tcR k=l Ta có n _£ | I] @x„„(É) — €7 —† nh =| I+ # x„( — €7 < > PXu(t) =e 3 2 ` 2X? đơn Vỏ e Xn nk -— nk <p ztÄ» — 1 — GLX p + mm 3 3 ~i+—™ - <h( 0 mm(X; 2 |Xzk ") SG t! < 8 —
<h;( (Yo mincx 2 [Xn ®) + BMAX on ake (2.18)
Với Ö < e < 1 ta có
Oak = PT <e)) + E(Xigl (|Xnk| > €)
<£ es 2 T(\Xnk > 1)) + B(X2, Le < Xne| < 1))
, 1 ‹
(XiyI(Xu > 1)) + —;E(X3,I(1 = [Xue > e))
1
e+
IA =F min(X 2 Xnk*) (2.19)
Từ (2.17), (2.18), (2.19) suy ra điều cần chứng minh
Từ định lí 2.4 ta có các hệ quả saụ
Trang 2927
n
thuộc âm tuyến tính theo hàng thoả mãn (2.16) khi đó nếu Ð) 1X? — 0 thì S„ c=1
hội tụ theo phân phối tới biến ngẫu nhiên có phân phối chuẩn N (0 1)
Hệ quả 2.7 Giá sử {X„¿.L < k < n.n > 1} là mảng các biến ngẫu nhiên phụ thuộc âm tuyến tính theo hàng, EX,; = 0 Khi dé néu
SP — var(y! Xni) roẹ 00, oF S2 cou(Xụi, X„y) T5 0 3
i<j
n
rd YEUX Xnil > 2\/S2)) = 0(S!) thi V§P,` Xn hội tu theo phân
phối tới biến ngẫu nhiên có phân phối chuẩn N (0 1)
n
Ching minh Dat S? = > DXng, Vi {Xng, 1 < k < n,n > 1} là mắng các
& =1
biến ngẫu nhiên phụ thuộc âm tuyến tính theo hàng nên SẼ = D(Ồ ` Xóz) k=l = ` D(X„x) + À `cow(X„¡, X„¡) k=1 i<j < >- D(Xne) 3 g8 Do đó từ giả thiết ta có 3 + Sh cov Xn Xpj) “= 0; (2.20) Sn i<j ya E(X2,1(|Xpi| > ex/S2)) = 0(5)) (2.21) Suy ra Se Se
din SE = SE $e Yer) i<j
=
= 1+ Jim SD eor( (Xnị Xnj)
ty
=1
Vay ta chỉ cần chứng tỏ rằng +9? 1 > Xni £, X voi X 06 phân phối chuẩn
Trang 3028
Dat 7,4 = ae Dễ thấy {Z⁄4, 1 < k < n,m > 1} là mảng các biến ngẫu nhiên
phụ thuộc âm tuyến tính theo hàng thoả mãn các điều kiện (2.16) Hơn nữa với
e > 0 ta có So PX = DO BZ k=1 k=1 » welay <?+ > szEXiyI([Xm| > V53) (2.22) k=1 " Znk| < ©)) + » E( Zig! (\Znk > é)) k=1 n
Tir (2.21), (2.22) suy ra 33 2⁄2, 7 0 Vậy {Z4.1 < k < n,n > 1} thoả
k=I
mãn các điều kiện của hệ quả 2.6
Do d6 > Z,4 “4s X với X có phân phối chuẩn N (0.1)
É=1
Trang 3129
CHUONG 3
SUHOITU HAU CHACCHAN CUA TONG CO TRONG
LUGNG CAC BIEN NGAU NHIEN LIEN KET AM HAU
TIEM CAN
Mục đích của chương này là giới thiệu khái niệm liên kết âm hầu tiệm cận và định lí về sự hội tụ của tổng có trọng lượng của các biến ngẫu nhiên liên kết âm
hầu tiệm cận Chương này được trình bày dựa vào [5]
3.1 CÁO BIẾN NGẪU NHIÊN LIÊN KẾT ÂM HẦU TIỆM CẬN
Định nghĩa 3.1 Dấy {X„,n > 1} các biến ngẫu nhiên được gọi là liên kết âm hầu tiệm cận nếu tôn tại một đãy không âm q(n) — 0 sao cho
cou( (Xn), g( Xing, Xntk)) € g(n)(Dƒ(X„)Dg(Xa¿, , X„‡¿))? 1)
Vn,k > 1 và các hàm ƒ, g liên tục, tăng theo từng thành phần toạ độ sao cho vế phải (3.1) tôn tại hữu hạn
Nhận xét 3.1 Rõ ràng họ các biến ngẫu nhiên liên kết âm thì các biến ngẫu nhiên liên kết âm hầu tiệm cận (với q(m) = 0,Vm > 1)
Giả sử {Y„,n > 1} là dãy các biến ngẫu nhiên cùng phân phối chuẩn N (0 1)
Đặt X„ = (L+ 43)~?(Y„ + a„Yzi1) với q„ > 0,a„ > 0 Chandra và Ghosal đã
chứng mình được {X„.n > 1} là dãy các biển ngẫu nhiên liên kết âm hầu tiệm
cận nhưng không liên kết âm Vậy khái niệm liên kết ám hẳầu tiệm cận rộng hơn
khái niệm liên kết âm
Bổ để 3.1 Giả sử {Xa,n > 1} là đấy các biến ngẫu nhiên liên kết âm hậu
tiệm cận, khi đó {ƒ„(X„),n > 1} cũng là dãy liên kết âm hầu tiệm cận, ở đây fặ).n > 1 là các hàm liên tục không giảm
Trang 3230
3.2 SUHOI TU HAU CHACCHANCUA TONG COTRONG LUGNG CACBIEN
NGAU NHIEN LIEN KET AM HAU TIEM CAN
Trước hết chúng ta nhắc lai rang day bién ngdu nhién {X,,,n > 1} được gọi là bị trội bởi biến ngẫu nhiên không âm X (ki hiéu {X,,n > 1} < X ) néu ton tai mot hang s6 C saocho sup P(|X;| > 1) < ƠP(X 3 1).VL > 0
neN
Bổ để 3.2 Nếu {X„} là dãy biến ngẫu nhiên bị trội bởi biến ngẫu nhiên không
âm X, lX" < œ với 0 < r < 1 Khi đó ta có
oe 2 ©
1 S377E(X}H{|X;' <?}) < œ;
_
.—1
ƒ~rE(|X; I{|X;” < ï}) < œ< nếu 0 <r < 1;
Me
n
3.n-7 DE
?=l Xj H1 Xj "> i}) = Onéul <r <2
Trong phần tới chúng ta cần sử dụng kết quả saụ
Định lí 3.1 (Xem [3J) Giả sử Xì, , X„ là các biến ngẫu nhiên kì vọng 0, bình phương khả tích sao cho (3.1) đúng với 1 < n < k+n < m và mọi hàm
nm—l
liên tục, không giảm theo các thành phần toạ độ ƒ.g Đặt Ả = }) qˆ(n) và
mm]
ơ? = X?,k >1 Khi đó P({ max S;| > e}) < %?(A+ (1+ Ả)?) >b đề 1<k<m Dinh li 3.2 Cho {X,,n > 1} là dấy các biến ngẫu nhiên liên kết âm hậu
tiệm cận, PX„ = 0 và {X„,n > 1} bị chặn bỏi biến ngẫu nhiên không âm X,
EX" <x voi0 <r < 2 Gid sit {ay;,1 <i< ky, T,n > L} là mảng các hằng số
dương thoả mãn Š đại — „¿11 = 0+) (a„x„¡¡ = 0) và B? = ° q (m) < œ%
Trang 3331
Khi đó X7, X7 là các hàm tăng của X; nên {Xj — EX} }.{X! — EX") la cdc
dãy các biến ngẫu nhiên liên kết âm hầu tiệm cận, kì vọng 0 Đặt bạ = So ayi(X} — EX!) i=1 kn Sh = Yo ani(X! — BX?) i=1 k 4= À (Xi — BÀ) i=l
Với mỗi nø cho trước tồn tại / € Ñ sao cho 2 < k„ < 2!!, khi đó sử dụng phép biến đổi Abel ta có
kn
Sh = XÖay(X= EX))
i=l
i
< (max (X; — EX}) Ani — @
<(max À nộ ni = dys)
j=l
}
<— max Ajj hig 1StShe
Y
< max Ajj
(2)? 1<;<2+1
Do đó theo định lí 3.1 với mỗi e > 0Ư có
*
œ
A;| >a
Trang 3432 Zi a) <C"(B+ (1+ B’) DPX >iử > EX?1(\X;| <i <C"(B+ (1+ B?)?) "0` ra > iz) fens ‡r Mặt khác từ bổ để 3.1 và X” < œ ta có > exits < œ và oc So P(|X| > ir) < œ Do đó = P(S;| > e) < œ =1 n=l Từ đó áp dụng bổ đề Borel- Cantelli ta có S’ 0) heẹ (3.2)
Sử dụng giả thiết và biến đổi Abel suy ra
kn kn
À„eeXÍ] < <( (BẸ » os ni — An,i11))
-SÈ A i=1
yin
<= X;IXi|>: 3 (3.3)
kh i=l
oe 1 oC 1
Mặt khác từ 5) P(|X;| > ¡:) < CYS P(X >it) < ox suy ra
i=1 i=1
P(limsup(|X;| > ))=0 (3.4)
Tir (3.3) va (3.4) suy ra
Se ani X! 0 hee hay So ani X!! ”—*,0 h.ecc (3.5)
1 i
"| < |X;HX; > 77), đo đó
Nếu 1<r < 2, từ cách xác dinh X/’
Š EIX/|< Š E|X, I(|X, 7 > 7) Suy ra 4 Š) Kñ ¿—1
Sử dụng phép ‘big đổi Abel ta được
Tì>Q%C
=
7 WW Ww
5 Ani X}'| < (max EX; | lộ Qni — Ani 41)
1<¿<k;
C 7 EX! 1 ~* 0
— kỷ eck,
Trang 35tò tà Do dé Se ani EX! —* 0 (3.6) Tir (3.5), (3.6) suy ra kn Se = Se ani (X! — BX!) *S0 heẹ (3.7) i=1 Vì S„ = 5%; + S„ nên từ (3.2) và (3.7) suy ra N00 S, — 0 hee véil<r<2 (3.8) Nếu 1 < r < 1, ta có wl #? )+EX,T(X J<#)} {P(Xi| >i) +07 BX X| SH}
< CS PIX >i)+ SFE XIX <H) — @9)
i=l i=l
x
Tit EX" < 00 va bé để 3.1 ta có Š} P(|X| > j7) < % và
i=1
S177 E X, H(|Ä;| < i+) < 0c Do dé tit (3.9) suy ra
=1 Sit BX] < ox (3.10) m NOX kn Từ (3.10) và bổ đề Kronecker ta có TT Le X! — => 0 Do đó kn
À 2 a„12X/| < ( max “#4 Sa = Qrisil) GD
i=1 1<i<k, x), = 0 (3.12) kh i=l kn
Suy ra So ani EX) “0 (3.13)
i=l
kn
Trang 3634
Tir (3.5) va (3.12) suy ra
kn
S„= ăXƒ + X7) “S5 0 với 0<r <1 (3.15)
i=1
Từ (3.8), (3.13) ta thu được điều cần chứng minh
Thực ra trong trường hợp {œ„;,l < 2 < k„ †,m= > 1} là mảng các hằng số thực tuỳ ý thì định lí trên vẫn đúng
Thật vậy, giả sử a„¡, , œ„¡„ là không âm, a„¡„_, đ„¡, là âm Khi đó dễ kiểm tra thấy {ã„,,1 < 7 < m †,n > 1} và {a„,,m + 1 < j < kạ †,n > 1}
thoả mãn điều kiện trong giả thiết của định lí 3.2 Do đó 3 ø„¡,X;, —: 0 và
j=l
fn n—>%©
Yani, Xi, ——> 0 Tit d6 suy ra sự hội tụ của (S,)
Trang 3735
KET LUAN
Mục đích chính của luận văn là nghiên cứu các định lí giới hạn cho các biến ngẫu nhiên phụ thuộc âm, liên kết âm và liên kết âm hầu tiệm cận
Luận văn được chia thành ba chương
Chương 1 Một số định lí giới hạn của các biến ngẫu nhiên phụ thuộc âm Chương 2 Một số định lí giới hạn của các biến ngẫu nhiên liên kết âm
Chương 3 Sự hội tụ hầu chắc chắn của tổng có trọng lượng các biến ngẫu nhiên liên kết âm hầu tiệm cận
Trong luận văn chúng tôi đã làm được một số việc saụ
Chương 1 trình rõ ràng bày rõ ràng khái niệm phụ thuộc âm của các biến ngẫu
nhiên và định lí về sự hội tụ hầu chắc chắn của tổng có trọng lượng các biến ngẫu
nhiên phụ thuộc âm Đưa ra khái niệm các biến cố phụ thuộc âm và tìm được một
số kết quả tương ứng, kết quả chính của phần này thể hiện ở định lí 1.2 mà hệ quả của nó là sự mở rộng luật 0-1 Borel-Canteli của các biến ngẫu nhiên độc lập
Chương 2 là chương trọng tâm của luận văn
Mục 2.1 trình bày định nghĩa các biến ngẫu nhiên liên kết âm Làm rõ mối liên hệ giữa các biến ngẫu nhiên liên kết âm, các biến ngẫu nhiên độc lập và các biến ngẫu nhiên phụ thuộc âm, thể hiện ở mệnh đề 2.1 và nhận xét 2.1 Tìm được một số tính chất của các biến ngẫu nhiên liên kết âm thể hiện ở định lí 2.1., mệnh đề
2.2., mệnh đề 2.3 Đưa ra các chứng minh cho các bổ đề 2.1., 2.2
Mục 2.2 đưa ra khái niệm các biến cố liên kết âm, họ các biến cố liên kết âm và
tìm được một số kết quả thể hiện ở định lí 2.2., mệnh đề 2.4., mệnh đề 2.5 và
mệnh đề 2.6
Mục 2.3 thiết lập các định lí giới hạn cho các biến ngẫu nhiên liên kết âm Tác giả đã thu được các kết quả tương ứng, thể hiện ở định lí 2.3.,2.4., và các hệ quả của nó
Chương 3 được trình bày nhằm giới thiệu khái niệm liên kết âm hầu tiệm cận
Trang 3836
liên kết âm hầu tiệm cận Ý nghĩa của chương chỉ mang tính định hướng, mở ra
một hướng mới trong q trình mở rộng khơng ngừng các đối tượng nghiên cứu
của lí thuyết xác suất
Trang 3937
TAI LIEU THAM KHAO
[1] NGUYEN VAN QUANG, ĐÀO THỊ HỒNG THỦY, Mở rộng một số định
lí giới hạn cho các biến ngẫu nhiên phụ thuộc âm và phụ thuộc âm tuyến tính, Tạp chí khoa học Trường đại học Vĩnh, đã nhận đăng [2] NGUYEN DUY TIEN, VO VIET YEN, Li thuyét xác suất, Nhà xuất bản
Giáo dục, (2000)
[3] T K CHANDRA, S GHOSAL, Extensions of the strong law of large num- bers of Marcinkiewicz and Zygmund for dependent variables, Acta
Math Hungar, 71(1996), Nọ 4, 327-336
[4] M H KO, T S KIM, Almost sure convergence forweighted sums of neg- atively orthant dependent random variables, J Korean Math Soc 42(2005), Nọ 5, pp 949- 957
[5] M H KO, D H RYU, T.S KIM, The almost sure convergence of AANA
sequences in double arrays, Bul Korean Math Soc, 43(2006), Nọ1,
pp 169-178
[6] M H KO, D H HAN, T S KIM, Strong laws of large numbers for weighted sums of negatively dependent random variables, J Korean
Math Soc, 43(2006), Nọ 6, pp 1325-1338
[7] Ẹ LEHMANN, Some concepts of dependence, Ann Mart Statist,
37(1966), 1137-1153
[8] C.M.NEWMAN, Normal fluctuations and the FKG inequalities, Comm
Mart Physl, 91(1980),75-90
[9] C M RONALD, PATTERSON, D WENDY, L SMITH ROBERT, TAYLOR
ABOLGHASSEM BOZORGNIA, Limit theorems for negatively depen-
dent random variables, Nonlinear Analysis, 47(2001), 1283-1295 [10] w F STOUT, Almost sure convergence, Academic Press, New York,
(1974)
[11] S H SUNG, M Ọ CABRERA, T C HU, On complete convergence for
array of rowwise independent random elements, J Korean Math.Soc