Xấp xỉ đều và ứng dụng trong toán sơ cấp

1 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐỖ MẠNH HÀ TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI CHUYÊN NGÀNH TOÁN GIẢI TÍCH ĐỖ MẠNH HÀ XẤP XỈ ĐỀU VÀ ỨNG DỤNG TRONG TOÁN SƠ CẤP KHÓA 18 ĐỢT LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC HÀ NỘI, 2016 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI ĐỖ MẠNH HÀ XẤP XỈ ĐỀU VÀ ỨNG DỤNG TRONG TOÁN SƠ CẤP Chuyên ngành: Toán giải tích Mã số: 60 46 01 02 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Người hướng dẫn khoa học: TS Nguyễn Văn Hùng HÀ NỘI, 2016 Lời cảm ơn Tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn trân trọng đến TS Nguyễn Văn Hùng, thầy trực tiếp hướng dẫn tận tình động viên tác giả suốt thời gian nghiên cứu làm luận văn Trong suốt trình học tập làm luận văn thông qua giảng, tác giả nhận giúp đỡ tận tình thầy cô công tác Trường Đại học Sư phạm Hà Nội 2, tác giả xin tỏ lòng biết ơn thầy cô Tác giả xin chân thành cảm ơn Ban giám hiệu, phòng sau đại học tạo điều kiện để tác giả hoàn thành chương trình học hoàn thành luận văn Tác giả xin cảm ơn gia đình, người thân bạn khóa K18 giúp đỡ động viên, cổ vũ trình học tập trường thời gian hoàn thành luận văn Mặc dù cố nhiều cố gắng song luận văn tránh khỏi thiếu sót hạn chế Tác giả mong nhận đóng góp thầy cô bạn để luận văn hoàn thiện Xin trân trọng cảm ơn! - Lời cam đoan Tôi xin cam đoan số liệu kết nghiên cứu luận văn trung thực không trùng lặp với đề tài khác Tôi xin cam đoan giúp đỡ cho việc thực luận văn cảm ơn thông tin trích dẫn luận văn rõ nguồn gốc Tác giả Đỗ Mạnh Hà MỤC LỤC Mở đầu… Chương MỘT SỐ KIẾN THỨC CƠ BẢN………………… 1.1 Không gian tuyến tính…………………………………… 1.2 Không gian Banach……………………………………… 1.3 Không gian Hilbert……………………………………… 10 Chương LÝ THUYẾT XẤP XỈ TỐT NHẤT……………… 12 2.1 Xấp xỉ tốt không gian Banach………………… 12 2.2 Xấp xỉ tốt không gian C[a;b]……………… 14 2.3 Xấp xỉ tốt không gian Hilbert………………… 22 2.4 Xấp xỉ tốt L2[a;b]……………………………… 28 Chương ỨNG DỤNG CỦA XẤP XỈ TỐT NHẤT 33 3.1 Ứng dụng toán sơ cấp……………………………… 33 3.2 Một số ứng dụng khác…………………………………… 74 Kết luận………………………………………………………… 86 Tài liệu tham khảo 87 Mở đầu Lý chọn đề tài Giải tích số hay gọi phương pháp số, phương pháp tính, toán học tính toán, khoa học nghiên cứu cách giải gần đúng, chủ yếu giải số, giải phương trình, giải toán xấp xỉ hàm số toán tối ưu Các toán xấp xỉ hàm số nhiệm vụ giải tích số, việc thay hàm có dạng phức tạp hàm dạng bảng hàm số đơn giản với sai số nhỏ Một phận nhỏ xấp xỉ hàm xấp xỉ tốt áp dụng để giải số toán tìm giá trị lớn nhỏ hàm số hay biểu thức đề cập kỳ thi học sinh giỏi Mục đích nghiên cứu Đề tài nghiên cứu:"Xấp xỉ ứng dụng toán sơ cấp" nhằm tìm hiểu toán không gian Banach, không gian C[a;b], không gian Hilbert L2[a;b] Ứng dụng xấp xỉ tốt toán sơ cấp Nhiệm vụ nghiên cứu Tìm hiểu toán không gian Banch, không gian C[a;b] không gian Hilbert, L2[a;b] số ứng dụng vào toán sơ cấp Đối tượng phạm vi nghiên cứu Đối tượng phạm vi nghiên cứu hàm không gian Banch, không gian C[a;b] không gian Hilbert ứng dụng xấp xỉ tốt toán sơ cấp Phương pháp nghiên cứu Phương pháp nghiên cứu giải tích giải tích số Giả thuyết khoa học Trình bày có hệ thống rõ ràng số vấn đề lý thuyết xấp xỉ tốt không gian Banach, C[a;b], Hilbert L2[a;b] Ứng dụng xấp xỉ tốt giải lớp toán sơ cấp số ứng dụng CHƯƠNG MỘT SỐ KIẾN THỨC CƠ BẢN 1.1 KHÔNG GIAN TUYẾN TÍNH Định nghĩa 1.1.1 Trên tập 𝑋 ≠ ∅ , xác định cấu trúc tuyến tính  với x, y  X với tϵℝ ( 𝑡 ∈ ℂ) xác định phép cộng x  y  X phép nhân tx  X thỏa mãn tính chất sau: 𝑎 𝑥 + 𝑦 = 𝑦 + 𝑥 𝑏 (𝑥 + 𝑦) + 𝑧 = 𝑥 + (𝑦 + 𝑧) 𝑐 𝑠(𝑡𝑥) = (𝑠𝑡)𝑥 𝑑 (𝑠 + 𝑡)𝑥 = 𝑠𝑥 + 𝑡𝑥 𝑒 𝑡(𝑥 + 𝑦) = 𝑡𝑥 + 𝑡𝑦 𝑓 ∃ 𝜃 ∈ 𝑋: 𝑥 + 𝜃 = 𝜃 + 𝑥 = 𝑥 𝑔 ∃(−𝑥) ∈ 𝑋: 𝑥 + (−𝑥) = 𝜃, ∀𝑥 ∈ 𝑋 ℎ 𝑥 = 𝑥, x, y, z  X ; s, t  (hay s, t  ) Khi ( X ,  ) không gian tuyến tính Định nghĩa 1.1.2 Cho hệ 𝑛 véc tơ 𝑥1 , 𝑥2 ,…𝑥𝑛 không gian tuyến tính 𝑋 Xét đẳng thức véc tơ 1x1   x2    n xn  Đẳng thức xảy ⟺ 1      n  hệ 𝑛 véc tơ độc lập tuyến tính tồn 1, , n với n  i 1 i  để đẳng thức xảy hệ 𝑛 véc tơ độc lập tuyến tính 1.2 KHÔNG GIAN BANACH Định nghĩa 1.2.1 Tập 𝑋 khác rỗng gọi không gian metric với cặp phần tử x, y xác định theo quy tắc đó, số thực  ( x, y) gọi : "khoảng cách x, y " thỏa mãn tiên đề sau: a,  ( x, y)  x  y ,  ( x, y)   x  y b,  ( x, y )   ( y, x),  x, y  X c,  ( x, z )   ( x, y )   ( y, z ),  x, y, z  X Hàm số  ( x, y) gọi metric không gian 𝑋 Định nghĩa 1.2.2 Cho không gian metric 𝑋 Dãy  xn  gọi dãy Cauchy (hay dãy bản) lim   xn , xm   tức là:   cho trước, m ,n n0  N , cho n  n0 , m  n0 , ta có   xn , xm    Nhận xét: Mọi dãy hội tụ dãy Cauchy (dãy bản), xn  x theo bất đẳng thức tam giác ta có:  ( xn , x m )   ( xn , x)   (x, x m )  0, (m, n  ) Định nghĩa 1.2.3 Không gian tuyến tính định chuẩn Giả sử 𝑋 không gian tuyến tính 𝑅 Ánh xạ : X  R xác định 𝑋 lấy giá trị tập số thực: x  R thỏa mãn điều kiện sau: a x  0, x  X , x   x   b x  y  x  y , x, y  X c  x   x ,   , x  X , gọi chuẩn 𝑋 Không gian tuyến tính X với gọi không gian tuyến tính định chuẩn Định nghĩa 1.2.4 Không gian định chuẩn 𝑋 gọi không gian Banach dãy 𝑋 hội tụ Định nghĩa 1.2.5 Không gian hàm số liên tục đoạn [𝑎; 𝑏], kí hiệu 𝐶[𝑎; 𝑏] 10 1.3 KHÔNG GIAN HILBERT Trong phần ta xét 𝑋 không gian Hilbert thực Định nghĩa 1.3.1 Không gian tiền Hilbert Một không gian tuyến tính thực 𝑋 gọi không gian tiền Hibert có xác định hàm hai biến ( x, y) gọi tích vô hướng hai véc tơ ( x, y) với tính chất sau: a, ( x, y )  ( y, x) b, ( x  y, z )  ( x, z )  ( y, z ) c, ( x, y)   ( x, y) với  số thực d ,  x, x   x  0,  x, x   𝑥 = 𝜃 e,  x, x   x hay x   x, x  xác định chuẩn không gian 𝑋, nói cách khác không gian tiền Hilbert không gian định chuẩn Ví dụ 1.3.1 Không gian Ca;b gồm tất hàm liên tục đoạn  a; b với phép toán thông thường tích vô hướng cho bởi: b  x, y    x(t ) y(t )dt không gian tiền Hilbert a Định nghĩa 1.3.2 Không gian tiền Hilbert đầy đủ không gian Hilbert  b  Ví dụ 1.3.2 Không gian L2a ,b với chuẩn x    x(t ) dt  a  không gian Hilbert Nhận xét i) Không gian tiền Hilbert không gian định chuẩn với chuẩn x  ( x, x) 73 Ta thấy 𝐴(−1; 3), 𝐵(1; 3) hai điểm thuộc đồ thị hàm số 𝑓(𝑥) = 3𝑥 Phương trình AB là: 𝑦 = Phương trình tiếp tuyến với đồ thị song son AB 𝑥0 = là: 𝑦 = Đường thẳng song song cách AB tiếp tuyến C là: 𝑦 = Vậy đa thức xấp xỉ tốt bậc hàm số𝑓(𝑥) = 3𝑥 [-1;1] là: Q(𝑥) = Ta suy 𝑎 = 0, −𝑏 = ⇒ 𝑏 = −2 GTNN đạt là: M0 = max |3x − 2| = x∈[0;1] Cách 2: Vì 𝑓(𝑥) = 3𝑥 hàm chẵn [-1;1] nên đa thức xấp xỉ tốt [1;1] hàm số chẵn Suy 𝑎 = Khi đa thức xấp xỉ tốt hàm số 𝑓(𝑥) = 3𝑥 đa thức xấp xỉ tốt bậc không [-1;1] Ta có: 𝑚𝑖𝑛 3𝑥 = 1, 𝑚𝑎𝑥 3𝑥 = |𝑥|≤1 |𝑥|≤1 Vậy đa thức xấp xỉ tốt bậc không [-1;1] 𝑃(𝑥) = 1+3 = = −𝑏 ⟹ 𝑏 = −2 Vậy 𝑎 = 0, 𝑏 = −2 Lời giải toán sơ cấp: Ta xét 𝑥 = −1, 𝑥 = 1, 𝑥 = Đặt 𝑔(𝑥) = 3𝑥 + (𝑎𝑥 + 𝑏), 𝑀 = max|g(x)| |x|≤1 Ta có 𝑔(0) = − 𝑎 + 𝑏, 𝑔(1) = + 𝑎 + 𝑏, 𝑔(0) = + 𝑏 Trường hợp 1: 𝑎 > Ta có: 2𝑀 ≥ |𝑔(−1) − 𝑔(0)| = |2 + 𝑎| > Suy 𝑀 > = 𝑀0 Trường hợp 𝑎 < 0, 2𝑀 ≥ |𝑔(−1) − 𝑔(0)| = |2 − 𝑎| Suy 2𝑀 ≥ |2 − 𝑎| > hay 𝑀 > = 𝑀0 Trường hợp 𝑎 = 74 Ta có 𝑔(−1) = + 𝑏 = 𝑔(1), 𝑔(0) = + 𝑏 + Nếu 𝑏 > −2 ⟺ + 𝑏 > Vậy 𝑀 ≥ |𝑔(−1)| = |3 + 𝑏| > = 𝑀0 + Nếu 𝑏 < −2 ⟺ + 𝑏 < −1 ⟺ |1 + 𝑏| > Vậy 𝑀 ≥ |𝑔(−1)| = |1 + 𝑏| > = 𝑀0 + Nếu 𝑏 = −2 ⇒ 𝑔(𝑥) = 3𝑥 − Suy 𝑔′ (𝑥) = ⟺ 2𝑥3𝑥 𝑙𝑛3, 𝑔′ (𝑥) = ⟺ 𝑥 = Ta có: 𝑔(−1) = 1, 𝑔(0) = 0, 𝑔(1) = 3.2 Một số ứng dụng khác Bài Tìm a, b, c từ điều kiện: 𝜋 ∫(𝑎𝑥 + 𝑏𝑥 + 𝑐 − 𝑐𝑜𝑠𝑥)2 𝑑𝑥 → 𝑎,𝑏,𝑐 Giải: Từ điều kiện ta suy toán tương đương với toán xấp π xỉ trung bình phương hàm f(x) = cosx [0; ] đa thức bậc hai P(x) = 𝑎𝑥 + 𝑏𝑥 + 𝑐 Trước hết ta tính: 𝜋 𝜋 𝑠𝑘 = ∫ 𝑥 𝑘 𝑑𝑥, 𝑘 = ̅̅̅̅̅ 0, 𝑣à 𝑚𝑖 = ∫ 𝑥 𝑖 𝑐𝑜𝑠𝑥𝑑𝑥, 𝑖 = ̅̅̅̅̅ 0, 0 Ta có: 𝜋 𝜋 𝜋 𝜋 𝜋2 𝜋3 𝑠0 = ∫ 𝑑𝑥 = ; 𝑠1 = ∫ 𝑥𝑑𝑥 = ; 𝑠2 = ∫ 𝑥 𝑑𝑥 = , 24 0 𝜋 𝜋 𝜋4 𝜋5 𝑠3 = ∫ 𝑥 𝑑𝑥 = ; 𝑠4 = ∫ 𝑥 𝑑𝑥 = , 5.25 0 75 𝜋 𝜋 𝑚0 = ∫ 𝑐𝑜𝑠𝑥𝑑𝑥 = 1; 𝑚1 = ∫ 𝑥𝑐𝑜𝑠𝑥𝑑𝑥 = 0 𝜋 − 1; 𝜋 𝜋2 𝑚2 = ∫ 𝑥 𝑐𝑜𝑠𝑥𝑑𝑥 = − Khi ta có hệ phương trình: 𝜋 𝜋2 𝜋3 𝑐+ 𝑏+ 𝑎=1 24 𝜋2 𝜋3 𝜋4 𝜋 𝑐+ 𝑏+ 6𝑎 = −1 24 2 𝜋 𝜋 𝜋 𝜋2 { 24 𝑐 + 26 𝑏 + 5.25 𝑎 = − Giải hệ phương trình ta có: a = - 0,3382400136; b = - 0,133132733; c = 1,019373234 Bài 2: Tìm a, b, c, d từ điều kiện ∫(𝑎𝑥 + 𝑏𝑥 + 𝑐𝑥 + 𝑑 − 𝑙𝑛𝑥 )2 𝑑𝑥 → 𝑎,𝑏,𝑐,𝑑 Giải: Trước tiên ta tính: 1 𝑠𝑘 = ∫ 𝑥 𝑘 𝑑𝑥, 𝑘 = ̅̅̅̅̅ 0, 6; 𝑚𝑖 = ∫ 𝑥 𝑖 𝑙𝑛𝑥𝑑𝑥, 𝑖 = ̅̅̅̅̅ 0, 0 Ta có: 1 ; 𝑠2 = ; 𝑠3 = ; 1 𝑠4 = ; 𝑠5 = ; 𝑠6 = ; 1 𝑚0 = − 1; 𝑚1 = − ; 𝑚2 = − ; 𝑚3 = − 16 Khi ta có hệ phương trình: 𝑠0 = 1; 𝑠1 = 76 1 𝑐 + 𝑏 + 𝑎 = −1 1 1 𝑑 + 𝑐+ 𝑏+ 𝑎=− 1 1 𝑑 + 𝑐+ 𝑏+ 𝑎=− 1 1 𝑑 + 𝑐 + 𝑏 + 𝑎=− { 𝑑+ 16 Giải hệ phương trình ta có: a = -11, 66666667, b = - 22, 5; c = 12; d = -3, 916666667 Bài Tìm a, b, c, d từ điều kiện: ∫(𝑎𝑥 + 𝑏𝑥 + 𝑐𝑥 + 𝑑 − 𝑒 2𝑥 )2 𝑑𝑥 → 𝑎,𝑏,𝑐,𝑑 Giải: Trước hết ta tính: 1 𝑠𝑘 = ∫ 𝑥 𝑘 𝑑𝑥, 𝑘 = ̅̅̅̅̅ 0, 6; 𝑚𝑖 = ∫ 𝑥 𝑖 𝑒 2𝑥 𝑑𝑥, 𝑖 = ̅̅̅̅̅ 0, 0 Ta có: ;𝑠 = 2 1 𝑠4 = ; 𝑠5 = ; 𝑠6 = 𝑠0 = 1; 𝑠1 = 1 ; 𝑠3 = ; 1 +) 𝑚0 = ∫ 𝑒 2𝑥 𝑑𝑥 = ∫ 𝑒 2𝑥 𝑑2𝑥 = ( 𝑒 − 1) 2 0 +) 𝑇í𝑛ℎ 𝑚2 = ∫ 𝑥 𝑒 2𝑥 𝑑𝑥: 𝑑𝑢 = 𝑑𝑥 𝑢 = 𝑥 Đặt { ⟹{ 𝑣 = 𝑒 2𝑥 𝑑𝑣 = 𝑒 2𝑥 𝑑𝑥 77 1 𝑥 2𝑥 1 Suy 𝑚2 = 𝑒 | − ∫ 𝑥𝑒 2𝑥 𝑑𝑥 = 𝑒 − 2 4 0 1 𝑥 2𝑥 3 2𝑥 +) 𝑚3 = ∫ 𝑥 𝑒 𝑑𝑥 = 𝑒 | − ∫ 𝑥 𝑒 2𝑥 𝑑𝑥 = 𝑒 − 2 8 0 Khi ta có hệ phương trình: 1 1 𝑐 + 𝑏 + 𝑎 = (𝑒 − 1) 1 1 𝑑 + 𝑐 + 𝑏 + 𝑎 = (𝑒 + 1) 1 1 𝑑 + 𝑐 + 𝑏 + 𝑎 = (𝑒 − 1) 1 1 𝑑 + 𝑐 + 𝑏 + 𝑎 = (𝑒 + 3) {4 𝑑+ Giải hệ phương trình, ta có: a = 3,830365; b = 0,90293; c = 2,462378; d= 0,9756500 Bài Tìm a, b, c, d từ điều kiện 𝑒𝜋 ∫ (𝑎𝑥 + 𝑏𝑥 + 𝑐𝑥 + 𝑑 − cos(ln 𝑥))2 𝑑𝑥 → 𝑎,𝑏,𝑐,𝑑 Giải: Trước hết ta tính: 𝑒𝜋 𝑒𝜋 𝑠𝑘 = ∫ 𝑥 𝑘 𝑑𝑥, 𝑘 = ̅̅̅̅̅ 0, 6; 𝑚𝑖 = ∫ 𝑥 𝑖 cos(𝑙𝑛𝑥)𝑑𝑥, 𝑖 = ̅̅̅̅̅ 0, 1 Ta có: 2𝜋 1 (𝑒 − 1); 𝑠3 = (𝑒 3𝜋 − 1); 𝑠4 = (𝑒 4𝜋 − 1); 1 𝑠4 = (𝑒 5𝜋 − 1); 𝑠5 = (𝑒 6𝜋 − 1); 𝑠6 = (𝑒 7𝜋 − 1) 𝑠0 = 𝑒 𝜋 − 1; 𝑠2 = 78 Ta tính 𝑚𝑖 , 𝑖 = ̅̅̅̅̅ 0, ∶ 𝑒𝜋 +) Tính 𝑚0 = ∫ cos(𝑙𝑛𝑥) 𝑑𝑥: 1 𝑢 = cos(𝑙𝑛𝑥) Đặt { ⟹ {𝑑𝑢 = − 𝑥 sin(𝑙𝑛𝑥) 𝑑𝑥 𝑑𝑣 = 𝑑𝑥 𝑣= 𝑥 𝑒𝜋 𝜋 Suy ra: 𝑚0 = 𝑥 cos(𝑙𝑛𝑥)|1𝑒 + ∫ sin(𝑙𝑛𝑥) 𝑑𝑥 = − 𝑒 𝜋 − + 𝐼 𝑒𝜋 +)𝑇í𝑛ℎ 𝐼 = ∫ sin(𝑙𝑛𝑥) 𝑑𝑥: 1 𝑢 = sin(𝑙𝑛𝑥) 𝑑𝑢 = cos(𝑙𝑛𝑥)𝑑𝑥 Đặt { ⟹{ 𝑥 𝑑𝑣 = 𝑑𝑥 𝑣= 𝑥 𝑒𝜋 𝜋 ⟹ I = 𝑥 sin(𝑙𝑛𝑥)|1𝑒 − ∫ cos(𝑙𝑛𝑥) 𝑑𝑥 = − 𝑚0 Khi ta có: 𝑚0 = − 𝑒 𝜋 − − 𝑚0 ⟹ 𝑚0 = − 𝜋 (𝑒 + 1) 𝑒𝜋 +)𝑇í𝑛ℎ 𝑚0 = ∫ 𝑥𝑐𝑜𝑠(𝑙𝑛𝑥)𝑑𝑥: 𝑢 = cos(𝑙𝑛𝑥) Đặt { ⇒{ 𝑑𝑣 = 𝑥𝑑𝑥 Suy J = 𝑑𝑢 = cos(𝑙𝑛𝑥)𝑑𝑥 𝑥 𝑥2 𝑣= 𝑒𝜋 𝑒𝜋 𝑥 1 sin(𝑙𝑛𝑥)| − ∫ 𝑥 cos(𝑙𝑛𝑥) 𝑑𝑥 = − 𝑚1 2 1 Từ ta có: 𝑚1 = − 2𝜋 1 𝑒 − − 𝑚1 ⟹ 𝑚1 = − (𝑒 2𝜋 + 1) 2 79 𝑒𝜋 𝑒𝜋 +) 𝑇í𝑛ℎ 𝑚2 = ∫ 𝑥 cos(𝑙𝑛𝑥) 𝑑𝑥; 𝑚3 = ∫ 𝑥 cos(𝑙𝑛𝑥) 𝑑𝑥; 1 Bằng cách đặt hoàn toàn tương tự ta tính được: 3𝜋 4𝜋 (𝑒 + 1), 𝑚2 = − (𝑒 + 1) 10 17 Khi ta có hệ phương trình: 𝑚2 = − 2𝜋 1 (𝑒 − 1)𝑐 + (𝑒 3𝜋 − 1)𝑏 + (𝑒 4𝜋 − 1)𝑎 = − (𝑒 𝜋 + 1) 2𝜋 1 (𝑒 − 1)𝑑 + (𝑒 3𝜋 − 1)𝑐 + (𝑒 4𝜋 − 1)𝑏 + (𝑒 5𝜋 − 1)𝑎 = − (𝑒 2𝜋 + 1) 5 3𝜋 4𝜋 5𝜋 6𝜋 (𝑒 − 1)𝑑 + (𝑒 − 1)𝑐 + (𝑒 − 1)𝑏 + (𝑒 − 1)𝑎 = − (𝑒 3𝜋 + 1) 10 4𝜋 1 (𝑒 − 1)𝑑 + (𝑒 5𝜋 − 1)𝑐 + (𝑒 6𝜋 − 1)𝑏 + (𝑒 7𝜋 − 1)𝑎 = − (𝑒 4𝜋 + 1) {4 17 (𝑒 𝜋 − 1)𝑑 + Dùng phần mềm Maple giải hệ phương trình ta được: a = - 0,3743443537; b = 0,2022803174; c = -0,3733555849; d = 1,400004199 Bài 5: Tìm a, b, c, d từ điều kiện 𝜋 ∫(𝑎𝑥 + 𝑏𝑥 + 𝑐𝑥 + 𝑑 − 𝑒 2𝑥 𝑠𝑖𝑛2 𝑥 )2 𝑑𝑥 → 𝑚𝑖𝑛 𝑎,𝑏,𝑐,𝑑 Giải: Trước hết ta tính: 𝜋 𝜋 𝑠𝑘 = ∫ 𝑥 𝑘 𝑑𝑥, 𝑘 = ̅̅̅̅̅ 0, 6; 𝑚𝑖 = ∫ 𝑥 𝑖 𝑒 2𝑥 𝑠𝑖𝑛2 𝑥𝑑𝑥, 𝑖 = ̅̅̅̅̅ 0, 0 Ta tính 𝑠𝑖 áp dụng công thức tích phân phần ta tính 𝑚𝑖 1 𝜋 ; 𝑠2 = 𝜋 ; 𝑠3 = 𝜋 ; 1 𝑠4 = 𝜋 ; 𝑠5 = 𝜋 ; 𝑠6 = 𝜋 𝑠0 = 𝜋; 𝑠1 = 80 𝜋 +) 𝑇í𝑛ℎ 𝑚0 = ∫ 𝑒 2𝑥 𝑠𝑖𝑛2 𝑥𝑑𝑥 : 𝜋 𝜋 𝑐𝑜𝑠2𝑥 𝑚0 = ∫ 𝑒 2𝑥 𝑠𝑖𝑛2 𝑥𝑑𝑥 = ∫ 𝑒 2𝑥 ( − ) 𝑑𝑥 2 1 𝜋 𝜋 1 1 = ∫ 𝑒 2𝑥 𝑑𝑥 − ∫ 𝑥𝑒 2𝑥 𝑐𝑜𝑠2𝑥𝑑𝑥 = 𝑒 2𝜋 − − 𝐼 2 1 𝜋 𝑇í𝑛ℎ 𝐼 = ∫ 𝑒 2𝑥 𝑐𝑜𝑠𝑥𝑑𝑥 : Sử dụng phương pháp tích phân phần ta có: 1 𝐼 = 𝑒 2𝜋 − 4 1 𝐷𝑜 đó: 𝑚0 = 𝑒 2𝜋 − 8 𝜋 𝜋 𝜋 1 +) 𝑇í𝑛ℎ 𝑚1 = ∫ 𝑥𝑒 2𝑥 𝑠𝑖𝑛2 𝑥𝑑𝑥 = ∫ 𝑥𝑒 2𝑥 𝑑𝑥 − ∫ 𝑥𝑒 2𝑥 𝑐𝑜𝑠2𝑥𝑑𝑥 : 2 𝑢= 𝑥 Đặt { 𝑑𝑣 = 𝑒 2𝑥 𝑑𝑥 0 𝑑𝑢 = 𝑑𝑥 ⟹{ 𝑣 = 𝑒 2𝑥 Suy 𝜋 2𝜋 2𝜋 𝜋 𝜋 𝜋 1 𝑚1 = ( 𝑒 − 𝑒 | ) − 𝐽 = 𝑒 2𝜋 − 𝑒 2𝜋 + − 𝐽 (3.4) 2 4 8 𝜋 +) 𝑇í𝑛ℎ 𝐽 = ∫ 𝑥𝑒 2𝑥 𝑐𝑜𝑠2𝑥𝑑𝑥: Đặt 𝑑𝑢 = (𝑒 2𝑥 + 2𝑥𝑒 2𝑥 )𝑑𝑥 ⟹{ { 𝑢 = 𝑥𝑒 𝑑𝑣 = 𝑐𝑜𝑠 2𝑥𝑑𝑥 𝑣 = 𝑠𝑖𝑛2𝑥 2𝑥 81 𝜋 𝜋 𝜋 2𝑥 Suy 𝐽1 = 𝑥𝑒 sin 2𝑥| − ∫ 𝑒 2𝑥 𝑠𝑖𝑛2𝑥𝑑𝑥 − ∫ 𝑥𝑒 2𝑥 𝑠𝑖𝑛2𝑥𝑑𝑥 2 0 1 = 𝐼1 − 𝐽1 = 𝑒 2𝜋 − − 𝐽1 (3.5) 8 𝜋 𝑇í𝑛ℎ 𝐽1 = ∫ 𝑥𝑒 2𝑥 𝑠𝑖𝑛2𝑥𝑑𝑥: Đặt 𝑑𝑢 = (𝑒 2𝑥 + 2𝑥𝑒 2𝑥 )𝑑𝑥 ⟹{ 𝑣 = − 𝑐𝑜𝑠 2𝑥 2𝑥 { 𝑢 = 𝑥𝑒 𝑑𝑣 = 𝑠𝑖𝑛 2𝑥𝑑𝑥 Suy 𝜋 𝜋 𝜋 2𝑥 𝐽1 = − 𝑥𝑒 cos 2𝑥| + ∫ 𝑒 2𝑥 𝑐𝑜𝑠2𝑥𝑑𝑥 + ∫ 𝑥𝑒 2𝑥 𝑐𝑜𝑠 2𝑥𝑑𝑥 2 0 2𝜋 1 1 𝜋𝑒 + 𝐼 + 𝐽 = − 𝜋𝑒 2𝜋 − 𝑒 2𝜋 − + 𝐽 (3.6) 2 8 Từ (3.6)và (3.5) ta có: J = 𝜋𝑒 2𝜋 (3.7) 1 Thay (3.7) vào (3.4) ta m1 = 𝜋𝑒 2𝜋 − 𝑒 2𝜋 + 8 = − 𝜋 +) 𝑇í𝑛ℎ 𝑚2 = ∫ 𝑥 𝑒 2𝑥 𝑠𝑖𝑛2 𝑥𝑑𝑥: 𝜋 𝜋 𝑐𝑜𝑠2𝑥 𝑚2 = ∫ 𝑥 𝑒 2𝑥 𝑠𝑖𝑛2 𝑥𝑑𝑥 = ∫ 𝑥 𝑒 2𝑥 ( − )𝑑𝑥 2 𝜋 𝜋 1 = ∫ 𝑥 𝑒 2𝑥 𝑑𝑥 − ∫ 𝑥 𝑒 2𝑥 𝑐𝑜𝑠2𝑥𝑑𝑥 2 0 82 Đặt { 𝑢 = 𝑥 2𝑥 𝑑𝑣 = 𝑒 𝑑𝑥 𝑑𝑢 = 2𝑥𝑑𝑥 ⟹{ 𝑣 = 𝑒 2𝑥 𝜋 1 2𝑥 𝜋 Suy 𝑚2 = ( 𝑥 𝑒 | − ∫ 𝑥𝑒 2𝑥 𝑑𝑥) − 𝐾 2 0 1 1 = 𝜋 𝑒 2𝜋 − 𝜋𝑒 2𝜋 + 𝑒 2𝜋 − − 𝐾 4 8 (3.8) 𝜋 +) 𝑇í𝑛ℎ 𝐾 = ∫ 𝑥 𝑒 2𝑥 𝑐𝑜𝑠2𝑥𝑑𝑥: 2𝑥 Đặt { 𝑢 = 𝑥 𝑒 𝑑𝑣 = cos2𝑥𝑑𝑥 𝑑𝑢 = (2𝑥𝑒 2𝑥 + 2𝑥 𝑒 2𝑥 )𝑑𝑥 ⇒{ 𝑣 = 𝑠𝑖𝑛 2𝑥 𝜋 𝜋 𝜋 2𝑥 Suy K = 𝑥 𝑒 𝑠𝑖𝑛2𝑥| − ∫ 𝑥𝑒 2𝑥 𝑠𝑖𝑛2𝑥𝑑𝑥 − ∫ 𝑥 𝑒 2𝑥 𝑠𝑖𝑛2𝑥𝑑𝑥 0 = − 𝐽1 − 𝐾1 = 2𝜋 2𝜋 𝜋𝑒 − 𝑒 + − 𝐾1 (3.9) 8 𝜋 +) Tính 𝐾1 = ∫ 𝑥 𝑒 2𝑥 𝑠𝑖𝑛2𝑥𝑑𝑥 : 𝑑𝑢 = (2𝑥𝑒 2𝑥 + 2𝑥 𝑒 2𝑥 )𝑑𝑥 Đặt { 𝑢 = 𝑥 𝑒 ⟹{ 𝑑𝑣 = sin2𝑥𝑑𝑥 𝑣 = − 𝑐𝑜𝑠2𝑥 2 2𝑥 Suy 𝜋 𝜋 𝜋 2𝑥 K = − 𝑥 𝑒 𝑐𝑜𝑠2𝑥| + ∫ 𝑥𝑒 2𝑥 𝑐𝑜𝑠2𝑥𝑑𝑥 + ∫ 𝑥 𝑒 2𝑥 𝑐𝑜𝑠2𝑥𝑑𝑥 0 1 = − 𝜋 𝑒 2𝜋 + J + K = − 𝑒 2𝜋 + 𝐾 (3.10) 2 83 Từ (3.11) (3.12) suy : 1 2𝜋 1 2𝜋 2𝜋 K = 𝜋𝑒 2𝜋 − 𝑒 + + 𝜋 𝑒 − 𝑒 − 𝐾 8 1 2𝜋 ⟹ K = 𝜋 𝑒 2𝜋 − 𝑒 + (3.11) 16 16 1 5 Thay (3.11) (3.8) ta : 𝑚2 = 𝜋 𝑒 2𝜋 − 𝜋𝑒 2𝜋 + 𝑒 2𝜋 − 32 32 𝜋 +) 𝑇í𝑛ℎ 𝑚3 = ∫ 𝑥 𝑒 2𝑥 𝑠𝑖𝑛2 𝑥𝑑𝑥 ∶ 𝜋 𝜋 cos 2𝑥 𝑚3 = ∫ 𝑥 𝑒 2𝑥 𝑠𝑖𝑛2 𝑥𝑑𝑥 = ∫ 𝑥 𝑒 2𝑥 ( − ) 𝑑𝑥 2 0 𝜋 𝜋 1 = ∫ 𝑥 𝑒 2𝑥 𝑑𝑥 − ∫ 𝑥 𝑒 2𝑥 𝑐𝑜𝑠2𝑥𝑑𝑥 2 0 Đặt 𝑑𝑢 = 3𝑥 𝑑𝑥 𝑢 = 𝑥 ⟹ { { 𝑣 = 𝑒 2𝑥 𝑑𝑣 = 𝑒 2𝑥 𝑑𝑥 𝜋 2𝑥 𝜋 Suy 𝑚3 = 𝑥 𝑒 | − ∫ 𝑥 𝑒 2𝑥 𝑑𝑥 + 𝐻 4 0 3 2𝜋 = 𝜋 𝑒 2𝜋 − 𝜋 𝑒 2𝜋 + 𝜋𝑒 2𝜋 − 𝑒 + − 𝐻 (3.12) 8 16 16 𝜋 +) Tính H = ∫ 𝑥 𝑒 2𝑥 𝑐𝑜𝑠2𝑥𝑑𝑥 ∶ 2𝑥 𝑣 = 𝑠𝑖𝑛2𝑥 𝑢 = 𝑥 𝑒 Đặt { ⟹{ 𝑑𝑣 = 𝑐𝑜𝑠2𝑥𝑑𝑥 𝑑𝑢 = ( 3𝑥 𝑒 2𝑥 + 2𝑥 𝑒 2𝑥 )𝑑𝑥 Suy 84 𝜋 𝜋 𝜋 3 2𝑥 − ∫ 𝑥 𝑒 2𝑥 𝑠𝑖𝑛2𝑥𝑑𝑥 − ∫ 𝑥 𝑒 2𝑥 𝑠𝑖𝑛2𝑥𝑑𝑥 | H = 𝑥 𝑒 𝑠𝑖𝑛2𝑥 2 0 =0− 3 3 2𝜋 𝐾1 − 𝐻1 = 𝜋 𝑒 2𝜋 − 𝜋𝑒 2𝜋 + 𝑒 − − 𝐻1 (3.13) 8 32 32 𝜋 +) Tính 𝐻1 = ∫ 𝑥 𝑒 2𝑥 𝑠𝑖𝑛2𝑥𝑑𝑥 : 𝑑𝑢 = ( 3𝑥 𝑒 2𝑥 + 2𝑥 𝑒 2𝑥 )𝑑𝑥 2𝑥 𝑢 = 𝑥 𝑒 Đặt { ⟹{ 𝑣 = − 𝑐𝑜𝑠2𝑥 𝑑𝑣 = 𝑠𝑖𝑛2𝑥𝑑𝑥 Suy 𝜋 𝜋 𝜋 2𝑥 𝐻1 = − 𝑥 𝑒 𝑐𝑜𝑠2𝑥 | + ∫ 𝑥 𝑒 2𝑥 𝑐𝑜𝑠2𝑥𝑑𝑥 + ∫ 𝑥 𝑒 2𝑥 𝑐𝑜𝑠2𝑥𝑑𝑥 2 0 2𝜋 𝜋 𝑒 + 𝐾+𝐻 2 3 2𝜋 = − 𝜋 𝑒 2𝜋 + 𝜋 𝑒 2𝜋 − 𝑒 + + 𝐻 (3.14) 32 32 Từ (3.13) (3.14) suy : =− 𝐻= 2𝜋 3 2𝜋 𝜋 𝑒 − 𝜋𝑒 2𝜋 + 𝑒 − (3.15) 16 32 32 Thay (3.15) vào (3.12) ta : 2𝜋 2𝜋 2𝜋 2𝜋 𝜋 𝑒 − 𝜋 𝑒 + 𝜋𝑒 − 𝑒 + 8 16 16 1 3 2𝜋 − ( 𝜋 𝑒 2𝜋 − 𝜋𝑒 2𝜋 + 𝑒 − ) 16 132 32 15 2𝜋 15 ⟹ 𝑚3 = 𝜋 𝑒 2𝜋 − 𝜋 𝑒 2𝜋 + 𝜋𝑒 2𝜋 − 𝑒 + 8 32 64 64 𝑠0 𝑑 + 𝑠1 𝑐 + 𝑠2 𝑏 + 𝑠3 𝑎 = 𝑚0 𝑠 𝑑 + 𝑠2 𝑐 + 𝑠3 𝑏 + 𝑠4 𝑎 = 𝑚1 Khi ta có hệ phương trình : { 𝑠2 𝑑 + 𝑠3 𝑐 + 𝑠4 𝑏 + 𝑠5 𝑎 = 𝑚2 𝑠3 𝑑 + 𝑠4 𝑐 + 𝑠5 𝑏 + 𝑠6 𝑎 = 𝑚3 𝑚3 = 85 Trong 𝑠𝑘 , 𝑚𝑖 , 𝑘 = 0,6, 𝑖 = 0,3 tính phần Sử dụng phần mềm Maple giải hệ phương trình ta có: a = - 20,32322214 ; b = 85,61568874; c = - 73,53445935 ; d = 12,64694194 86 Kết luận Luận văn trình bày lý thuyết xấp xỉ tốt nhất, ứng dụng xấp xỉ tốt toán sơ cấp trình bày vấn đề sau: + Xấp xỉ tốt không gian Banach + Xấp xỉ tốt không gian C[a;b] + Xấp xỉ tốt không gian Hilbert + Xấp xỉ tốt L2[a;b] + Ứng dụng vào toán sơ cấp + Một số ứng dụng khác Với phạm vi luận văn thời gian, khả hạn chế tác giả chưa thể nghiên cứu sâu hơn, phát triển thêm kết nghiên cứu, luận văn không tránh khỏi thiếu sót Kính mong thầy cô bạn đóng góp ý kiến để luận văn hoàn thiện Xin trân trọng cảm ơn! 87 DANH MỤC CÁC TÀI LIỆU THAM KHẢO [1] Phạm Kỳ Anh (2005), Giải tích số, Nxb Đại học Quốc Gia Hà Nội [2] Vũ Quốc Chung, Nguyễn Văn Hùng, Nguyễn Văn Khải, Khuất Văn Ninh (2014), Lý thuyết xấp xỉ tốt ứng dụng toán sơ cấp, Nxb Đại học sư phạm, Hà Nội [3] Nguyễn Minh Chương (Chủ biên), Nguyễn Văn Khải, Khuất Văn Ninh, Nguyễn Văn Tuấn, Nguyễn Tường (2001), Giải tích số, Nxb Giáo dục, Hà Nội [4] Phan Huy Khải (2011), Các phương pháp tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất, Nxb Đại học sư phạm Hà Nội [5] Nguyễn Xuân Liêm (1997), Giải tích hàm, Nxb Giáo dục, Hà Nội