Đa nội suy lagrange và ứng dụng trong toán sơ cấp

Tôi xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới TS.Nguyễn Văn Khải , ngườithầy đã tận tình hướng dẫn tôi trong suốt quá trình học tập để tôi có thểhoàn thành luận văn của mình.Tôi xin trân trọng

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

Người hướng dẫn khoa học: TS Nguyễn Văn Khải

Hà Nội - 2016

Tôi xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới TS.Nguyễn Văn Khải , ngườithầy đã tận tình hướng dẫn tôi trong suốt quá trình học tập để tôi có thểhoàn thành luận văn của mình.

Tôi xin trân trọng cảm ơn Ban Giám Hiệu, Phòng Sau đại học, các thầy

cô giáo trong Khoa Toán, trường Đại học Sư phạm Hà Nội 2 đã giúp đỡ

và tạo mọi điều kiện cho tôi trong suốt quá trình học tập tại trường.Qua đây, tôi xin được gửi lời cảm ơn tới gia đình, bạn bè đã luôn ủng

hộ, giúp đỡ nhiệt tình và tạo mọi điều kiện thuận lợi để tôi hoàn thànhluận văn này

Hà Nội, tháng 12 năm 2016

Học viên

Dương Thị Anh

Tôi xin cam đoan Luận văn là công trình nghiên cứu của riêng tôi dưới

sự hướng dẫn của TS.Nguyễn Văn Khải

Trong quá trình nghiên cứu, tôi kế thừa các thành tựu của các nhà khoahọc với lòng biết ơn trân trọng

Hà Nội, tháng 12 năm 2016

Học viên

Dương Thị Anh

MỤC LỤC

1.1 Một vài vấn đề về đa thức 6

1.2 Bài toán nội suy 7

1.3 Công thức nội suy Lagrange 9

1.4 Sai số của phép nội suy 10

1.5 Đa thức Chebyshev 11

1.6 Vấn đề chọn mốc nội suy 11

1.7 Sự hội tụ của quá trình nội suy 13

2 Một số ứng dụng của đa thức nội suy Lagrange trong toán sơ cấp 17 2.1 Ứng dụng của đa thức nội suy Lagrange trong bài toán tổng hữu hạn 17

2.2 Ứng dụng của đa thức nội suy Lagrange trong bài toán đa thức 32

2.3 Ứng dụng của đa thức nội suy Lagrange trong bài toán nội suy bất đẳng thức bậc hai 67

Kết luận 73

MỞ ĐẦU

1 Lí do chọn đề tài

Trong thực tế có nhiều trường hợp ta cần phải xác định được biểu thứccủa hàm y = f (x), trong khi chỉ biết các giá trị rời rạcy0, y1, , yn tại cácđiểm tương ứng x0, x1, , xn Ở một số trường hợp khác, ta đã biết biểuthức của hàm y = f (x) nhưng quá phức tạp Khi đó người ta xây dựngmột đa thức P (x) thỏa mãn:

TS Nguyễn Văn Khải, tôi đã chọn đề tài:

"Đa thức nội suy Lagrange và ứng dụng trong toán sơ cấp"

2 Mục đích nghiên cứu

Nghiên cứu một số vấn đề của đa thức nội suy Lagrange và ứng dụngtrong toán sơ cấp

3 Nhiệm vụ nghiên cứu

Nghiên cứu ứng dụng của đa thức nội suy Lagrange trong giải toán sơcấp

4 Đối tượng và phạm vi nghiên cứu

Đa thức nội suy Lagrange

Ứng dụng của đa thức nội suy Lagrange trong toán sơ cấp

5 Phương pháp nghiên cứu

Phương pháp nội suy

6 Đóng góp của luận văn

Hệ thống hóa lại những vấn đề cơ bản của đa thức nội suy Lagrange vàmột số ứng dụng của đa thức nội suy Lagrange trong toán sơ cấp

Nghiệm của đa thức P (x) là số x ∈¯ C sao cho P (¯x) = 0.

Định lý 1.1.1 (Euclid) cho đa thức P (x) bậc n và đa thức Q(x) bậc m

(m < n) với các hệ số thực Khi đó, tồn tại các đa thức duy nhất S(x) và

R(x) sao cho

P (x) = Q(x).S(x) + R(x), (1.1.1)

trong đó, R(x) có bậc r nhỏ hơn bậc của Q(x).

Định lý 1.1.2 Mọi đa thức bậc n ≥ 1 luôn có đủ n nghiệm phức

Định lý 1.1.3 Mọi đa thức P (x) bậc n với hệ số thực đều có thể biểudiễn dưới dạng

1.2 Bài toán nội suy

Định nghĩa 1.2.1 i) Hệ n + 1 điểm phân biệt {xi} với xi ∈ [a, b],

i = 0, n được gọi là các mốc nội suy

ii) Cho hàm số y = f (x) xác định trên [a, b] Đa thức P (x) có bậc thấpnhất thỏa mãn P (xi) = f (xi) với i = 0, n được gọi là đa thức nội suycủa hàm số y = f (x) ứng với các mốc nội suy {xi} (i = 0, n)

Bài toán xây dựng đa thức nội suy như vậy gọi là bài toán nội suy.Định lý 1.2.1 Cho n + 1 mốc nội suy x0, x1, , xn ∈ [a, b] và n + 1 giátrị thực y0, y1, , yn Khi đó tồn tại duy nhất đa thức Pn(x) ∈ Pn sao cho

Pn(xi) = yi = f (xi) với i = 0, n (1.2.2)Chứng minh

Giả sử đa thức P (x) = a0 + a1x + + anxn với n + 1 hệ số bất định

ai, i = 0, n Từ điều kiện (1.2.2) ta có hệ n + 1 phương trình tuyến tínhvới (n + 1) ẩn ai (i = 0, n)

a0 + a1x1 + + anxni = yi (i = 0, n) (1.2.3)

Hệ có nghiệm duy nhất khi và chỉ khi định thức của ma trận hệ số của nókhác 0 Định thức của hệ phương trình này là

V (x0, x1, , xn) =

1 x0 x20 xn0

1 x1 x21 xn1

1 xn x2n xnn

... an), từ đa thức P (x)

thỏa mãn điều kiện (1.2.2) tồn 

Đa thức nội suy P (x) định lý 1.2.2 gọi đa thức nội suy hàm

y = f (x) với n + mốc nội suy {xi}...

1.3 Công thức nội suy Lagrange

Nhận xét: Nếu y = f (x) đa thức bậc N x0, x1, , xn mốc nội suy

(n ≥ N ) đa thức nội suy Pn(x)... nội suy

Trong thực hành lúc ước lượng phần dư củacơng thức nội suy khơng ln ln tính đạo hàm cấp cao mộthàm f (x) cho trước Có thể nghĩ số mốc nội suy tăng lên đathức nội suy Pn(x)