Hàm phân thức chính quy và các ứng dụng trong toán sơ cấp

ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM KHOA TỐN  KHĨA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐỀ TÀI: HÀM PHÂN THỨC CHÍNH QUY VÀ CÁC ỨNG DỤNG TRONG TOÁN SƠ CẤP Giảng viên hướng dẫn Sinh viên thực Chuyên ngành Lớp : Th.S Nguyễn Thị Sinh : Ngơ Thị Ánh Ly : Sư phạm Tốn : 14ST Đà Nẵng, tháng 04/2018 SVTH: Ngô Thị Ánh Ly MỤC LỤC MỞ ĐẦU CHƢƠNG 1: HÀM PHÂN THỨC CHÍNH QUY 1.1 Hàm phân thức quy biến 1.2 Hàm phân thức quy nhiều biến 1.3 Định lý 1.4 Một số bất đẳng thức áp dụng luận văn 11 CHƢƠNG 2: MỘT SỐ ỨNG DỤNG CỦA HÀM PHÂN THỨC CHÍNH QUY 12 2.1 Bài tốn tìm giá trị nhỏ hàm số 12 2.2 Chứng minh bất đẳng thức 20 2.3 Chứng minh đẳng thức 28 KẾT LUẬN 32 TÀI LIỆU THAM KHẢO 33 Trang SVTH: Ngô Thị Ánh Ly MỞ ĐẦU Lý chọn đề tài: Trong chương trình tốn bậc phổ thơng, hàm phân thức quy khái niệm thường đề cập đến Tuy nhiên có nhiều dạng tốn đẳng thức, bất đẳng thức, cực trị, liên quan đến hàm phân thức quy Chính thế, việc nắm bắt tính chất hàm phân thức quy vận dụng tính đặc thù hàm phân thức quy cho để giải dạng tốn thực cần thiết Là sinh viên ngành sư phạm Tốn học, tơi mong muốn nghiên cứu, tìm hiểu có tài liệu để đáp ứng nhu cầu học tập giảng dạy mơn tốn bậc phổ thơng Vì vậy, tơi chọn đề tài nghiên cứu cho luận văn là: “Hàm phân thức quy ứng dụng tốn sơ cấp” Đề tài nhằm hệ thống giải tốn liên quan đến số lớp hàm có cấu trúc đặc biệt, hàm phân thức quy Mục đích nghiên cứu: Đề tài tìm hiểu, nghiên cứu kiến thức hàm phân thức quy ứng dụng hàm phân thức quy công cụ để giải lớp toán lĩnh vực toán sơ cấp Nhiệm vụ nghiên cứu: - Cung cấp kiến thức hàm phân thức quy - Trang bị cho học sinh phương pháp giải lớp toán phương pháp sử dụng hàm phân thức quy - Chọn lọc, hệ thống tập, ví dụ minh họa phù hợp với dạng tốn Trang SVTH: Ngô Thị Ánh Ly Phƣơng pháp nghiên cứu: - Tham khảo thu thập tài liệu - Phân tích chọn lọc tài liệu - Tổng hợp, trình bày cách có hệ thống Cấu trúc luận văn: Luận văn gồm hai chương: Chương 1: Hàm phân thức quy Chương trình bày định nghĩa hàm phân thức quy biến nhiều biến, đồng thời trình bày tính chất, định lý hàm phân thức quy số bất đẳng thức sử dụng chương luận văn Chương 2: Một số ứng dụng hàm phân thức quy Nội dung chương trình bày ứng dụng hàm phân thức quy việc giải toán cực trị, chứng minh bất đẳng thức chứng minh đẳng thức Trong dạng có ví dụ với lời giải cụ thể, rõ ràng giúp người đọc thấy rõ vai trị hàm phân thức quy việc giải sáng tạo toán sơ cấp Đề tài thực trường Đại học Sư phạm – Đại học Đà Nẵng hướng dẫn Thạc sĩ Nguyễn Thị Sinh Tôi xin chân thành cảm ơn thầy giáo, cô giáo thuộc khoa Toán trường Đại học Sư phạm – Đại học Đà Nẵng, đặc biệt cô Nguyễn Thị Sinh tận tình giúp đỡ đưa ý kiến đóng góp sâu sắc giá trị để hồn thành đề tài Đà Nẵng, tháng năm 2018 Tác giả Trang SVTH: Ngô Thị Ánh Ly CHƢƠNG HÀM PHÂN THỨC CHÍNH QUY 1.1 Hàm phân thức quy biến: Định nghĩa 1.1.1 Hàm số f  x   , xác định tập  , n f  x    x i i 1 gọi hàm phân thức quy ai  0, i  1, n  n   ai i   i 1 Ví dụ: Các hàm số sau hàm phân thức quy: f1  x    x  x  f2  x   x  1  x x3 sin  cos   sin   cos , với    x x x f3  x    x  x  x   x x3 Các tính chất hàm phân thức quy biến: Tính chất 1.1.1 Nếu f  x  hàm phân thức quy f  x   với x  Chứng minh: Dễ dàng suy từ định nghĩa Tính chất 1.1.2 Nếu f  x  g  x  hàm phân thức quy với cặp số dương  ,  , hàm số h  x  :  f  x    g  x  hàm phân thức quy Trang SVTH: Ngơ Thị Ánh Ly Chứng minh: Giả sử f  x  g  x  hàm phân thức quy Khi f  x  g  x  xác định tập n + f  x    x i i 1 m + g  x    bi x i i 1  n với  i  1, n ;  ai i  i 1 m b  với bi  i  1, m ; i 1 i i 0 Khơng tính tổng quát, giả sử n  m , ta có: m n i 1 i 1 g  x    bi x i   bi x i , bi  i  m  1; n n Suy b  i 1 i i 0 Với  ,   ta có: n n  f  x    g  x     x     bi x  i i 1 i i 1 n n i 1 i 1 = x i    bi x i Mà   i  1, n (   0, i  i  1, n )  bi  i  1, n (   0, bi  i  1, n ) Và ta có: n n n n i 1 i 1 i 1 i 1  aii    bi i    aii    bi i  Đặt h  x  :  f  x    g  x  Vậy h  x  hàm phân thức quy Tính chất 1.1.3 Nếu f  x  g  x  hàm phân thức quy hàm số h  x  : f  x  g  x  Trang SVTH: Ngô Thị Ánh Ly hàm phân thức quy Chứng minh: Giả sử f  x  g  x  hàm phân thức quy Khi f  x  g  x  xác định tập n + f  x    x i i 1 m + g  x    bj x j  với  i  1, n ; a với bj  j  1, m ; j 1 n i 1 i i 0 m b  j 1 j j 0 Đặt h  x  : f  x  g  x  , ta có: n m h  x    x  bj x i i 1 n j j 1 m    x i bj x i 1 j 1 n m    bj x i 1 j 1 j i   j   Ta có: bj  i  1, n ; j  1, m  bj i   j    bji  bj  j n m n i 1 j 1 m n i 1 j 1 m i 1 j 1 n m n m i 1 j 1 i 1 j 1   ai i  bj   bj  j 0 Vậy h  x  hàm phân thức quy Tính chất 1.1.4 Nếu f  x  hàm phân thức quy hàm số h  x  :  f  x  , m  N* m hàm phân thức quy Chứng minh: Dễ dàng suy từ tính chất 1.1.3 Trang SVTH: Ngô Thị Ánh Ly 1.2 Hàm phân thức quy nhiều biến: Định nghĩa 1.2.1 Hàm số f  x1, x2 , , xn  gọi hàm phân thức quy tập       có dạng m f  x1, x2 , , xn    x1i1 x2i xnin , i 1 khơng đồng ,  , i  1,2, , m a111  a2 21   am m1   a112  a2 22   am m    a11n  a2 n   am mn  Định nghĩa 1.2.2 Giả sử f  x1, x2 , , xn  hàm phân thức quy định nghĩa 1.2.1, hàm số f j  x j    x j ij , j  1,2, , n m  i 1 gọi hàm phân thức thành phần biến xi f  x1, x2 , , xn  Ví dụ:  Hàm phân thức quy f  x, y   x y    2x y7  x y  có hàm phân thức thành phần: f1  x   x  f2  y   y     2x  x  2y  y Hàm phân thức quy f  x, y   x y 9  5x y  x 5 y có hàm phân thức thành phần: f1  x   x  5x  x 5 f2  y   y 9  y  y Trang SVTH: Ngô Thị Ánh Ly 1.3 Định lý: Định lý 1.3.1 Hàm số f  x1, x2 , , xn  hàm phân thức quy hàm phân thức thành phần f  x1, x2 , , xn  hàm phân thức quy Định lý 1.3.2 Với hàm phân thức quy dạng m f  x1, x2 , , xn    x1i1 x2i xnin i 1 với x        ta có m f  x1, x2 , , xn    i 1 Chứng minh: Vận dụng bất đẳng thức trung bình cộng – trung bình nhân suy rộng vào hai số dương t1, t2 , , tm a1, a2 , , am ta có: a1t1  a2t2   am tm  t1a1 t2a2 tmam a1  a2   am  n n  a1  a2   am n Đặt t1   xi , t2   xi , , tm   xi mi , ta : 1i i 1 2 i i 1 i 1 n n n i 1 i 1 i 1 a1  xi1i  a2  xi i   am  xi mi a1  a2   am  n  a1  n   a2  n   an  a1  a2   am    xi 1i    xi i    xi mi     i 1   i 1    i 1  f  x1 , x2 , , xn  a1  a2   am    x1 11a1 12 a1 x2 1 n a1 xn  x 21a2 22 a2 x2 2 n a2 xn   x  m1an  m an x2  mn an xn  a1  a2   am Trang SVTH: Ngô Thị Ánh Ly  i1ai i 2ai inai    x1i 1 x2i 1 xni 1      m Mà m m  a  i 1  m ij i a1  a2   am  j =1, n f  x1, x2 , , xn    x10 x20 xn0  a1 a2  am  a1  a2   am  f  x1, x2 , , xn   a1  a2   am m  f  x1, x2 , , xn    i 1 Dấu đẳng thức xảy x1  x2   xn  Hệ 1.3.1 Với hàm phân thức quy f  x1, x2 , , xn  tập       , ta có f  x1, x2 , , xn   f 1,1, ,1 Nhận xét 1.3.1 Với hàm phân thức dạng n g  x    x i , a i  0, i  1,2, , n i 1 xác định  thỏa mãn a1  a2   an  p  a11  a2   an n  q  q p Ta có f  x   g  x  x  hàm số f  x   g  x  x  p  0 hàm phân thức quy Chứng minh: q p n   x i  q p i 1 Mà Trang SVTH: Ngơ Thị Ánh Ly Ta có: n n n  C i  n    C i   C  2i  n  i n i 0 i n i 0 Lại có: g  x   x  i 0 i n hàm phân thức quy x Nên suy g n  x  hàm phân thức quy n n n 1  i i Mà g  x    x     Cn x  ni  Cni x 2i n x  i 0 x  i 0 n Vì g n  x  hàm phân thức quy nên n  C  2i  n   i 0 n Từ suy Và n n  C i  n    C i   C  2i  n   i 0 n i n i n i n i 0 n i 0 i n n  C  n  i    C  i    C  n  2i   i 0 i n i 0 i n i 0 i n Vậy f  x, y  hàm phân thức quy hai biến Áp dụng hệ 1.3.1 cho hàm phân thức quy f  x, y  , ta giá trị nhỏ f  x, y  f 1,1  1  1 1 n  1 n   2n n Trang 19 SVTH: Ngô Thị Ánh Ly 2.2 Chứng minh bất đẳng thức: Đối với dạng toán chứng minh bất đẳng thức, ta đưa toán dạng toán hàm phân thức quy sau sử dụng định lý 1.3.2 , kết hợp với số bất đẳng thức thông dụng để đưa kết Bài toán 2.2.1 Cho a, b  1   với p, q  Chứng minh bất p q đẳng thức sau: ab  a p bq    p q Giải: Bất đẳng thức  rõ ràng ab  , ta cần chứng minh  a  0, b  Khi a  0, b  bất đẳng thức  tương đương với p1 1 1 q 1 a b  a b 1 p q Xét hàm f  a, b   p1 1 1 q 1 a b  a b p q Rõ ràng f  a, b  hàm phân thức quy hai biến a, b  p 1 1 1  1      q  p  p q   1  q         p q  p q   Trang 20 SVTH: Ngô Thị Ánh Ly Từ suy f  a, b   f 1,1  1  1 p q Vậy bất đẳng thức  chứng minh Cách giải khác: Nếu a  b  bất đẳng thức  hiển nhiên Ta cần chứng minh  với trường hợp a  0; b  Vận dụng bất đẳng thức trung bình cộng – trung bình nhân suy rộng cho trường hợp n  , với : 1  1  0;    0; p q u1  a p  0; u2  b q  Ta p q a  b 1 1    p q   a p  p  b q  q  p q 1    p q  p q  a   b  ab p q Vậy bất đẳng thức  Bài toán 2.2.2 Cho a,b,c ba số thực dương, chứng minh rằng:  a2  b2  c   1     11 ab bc ca abc Trang 21 SVTH: Ngô Thị Ánh Ly Giải:   Xét hàm số f  a, b, c   a2  b2  c  1    ab bc ca abc  2a2  2b2  2c2  1    ab bc ca abc Ta có: 2.2  2.0  2.0   1  1.0   1   1  2.0  2.2  2.0   1   1  1.0   1  2.0  2.0  2.2  1.0   1   1   1  Nên f  a, b, c  hàm phân thức quy Áp dụng định lý 1.3.2 cho hàm phân thức quy f  a, b, c  , ta thu f  a, b, c   f 1,1,1  11 Dấu đẳng thức xảy a  b  c  Bài toán 2.2.3 Cho x, y  Chứng minh 3x 12    2 x y8 x y Giải: Ta đưa tốn dạng phân thức quy để áp dụng tính chất Thật vậy, bất đẳng thức cần chứng minh tương đương với x 3 y  3x y 6  x y  12 Xét hàm f  x, y   x 3 y  3x y 6  x y Nhận thấy hàm f  x, y  hàm phân thức quy hai biến Trang 22 SVTH: Ngô Thị Ánh Ly 7  3  3.5  2.3   7.2   6   2.2  Áp dụng định lý 1.3.2 cho hàm phân thức quy f  x, y  , ta thu f  x, y   f 1,1  12 Dấu đẳng thức xảy x  y  Vậy bất đẳng thức chứng minh xong Bài toán 2.2.4 Cho x, y  Chứng minh x y6  x y3  3y  1 , x, y   Giải: Ta đưa tốn dạng phân thức quy để áp dụng tính chất Chia hai vế  cho x y ta : x y3   x 2 y 1   x 2 y 3  x y3  3x 2 y 1  x 2 y 3  Xét hàm f  x, y   x y  3x 2 y 1  x 2 y 3 Nhận thấy hàm f  x, y  hàm phân thức quy hai biến 2.4   2    2    2.3   1   3  Trang 23 SVTH: Ngô Thị Ánh Ly Áp dụng định lý 1.3.2 cho hàm phân thức quy f  x, y  , ta thu f  x, y   f 1,1  12 Dấu đẳng thức xảy x  y  Vậy bất đẳng thức chứng minh xong Bài toán 2.2.5 Cho m, n số nguyên dương a  0, b  Chứng minh bất đẳng thức : m m a  n n b   m  n  mn ab   Giải: Bất đẳng thức  rõ ràng ab  , ta cần chứng minh  a  0, b  Khi a  0, b  bất đẳng thức  tương đương với m.a 1  m mn b 1 mn  n.b 1  n m n a 1 m n mn Xét hàm f  a, b   m.a 1  m mn b 1 mn  n.b 1  n m n a 1 m n Ta có:  1   1  m  m  m  n   n  m  n         m  1   n         m  n  n mn Suy f  a, b  hàm phân thức quy hai biến Trang 24 SVTH: Ngơ Thị Ánh Ly Áp dụng định lý 1.3.2 cho hàm phân thức quy f  a, b  , ta thu f  a, b   f 1,1  m  n Vậy bất đẳng thức  chứng minh Bài toán 2.2.6 Cho a, b, c  , chứng minh 9b c a 9c a2 b2 9a b c S    2   2   39 a b c Giải: Áp dụng bất đẳng thức Cauchy – Schwarz, ta có 9b2 c a2 9b ca 5       a2 a 5 9c a2 b2 9c ab       b2 b 1 9a2 b2c 9a bc 5       c2 c Cộng vế theo vế bất đẳng thức ta có 39 1 1 S        a  b  c    ab  bc  ca  a b c  1 1 Đặt g  a, b, c   5      a  b  c    ab  bc  ca  a b c Ta nhận thấy g  a, b, c  hàm phân thức quy ba biến, nên áp dụng định lý 1.3.2 cho hàm phân thức quy g  a, b, c  , ta g  a, b, c   g 1,1,1  Hay S 117 39 Trang 25 SVTH: Ngô Thị Ánh Ly Dấu đẳng thức xảy a  b  c  Vậy bất đẳng thức chứng minh xong Bài tốn 2.2.7 Cho vịng trịn tâm A,B,C với bán kính a,b,c tương ứng, đơi tiếp xúc với Xét ABC chứng minh :  A  B  B C C  A cot   cot    cot   cot    cot   cot    27  2 2 2 2 2 2 Giải: Theo đề ta có: AB  a  b, BC  b  c, AC  a  c Đặt p  a  b  c Áp dụng định lý cosin ABC ta có: cos A  AB  AC  BC 2 AB AC Nên Trang 26 SVTH: Ngô Thị Ánh Ly 2   A  cosA  1  AB  AC  BC cos    =   1 2 AB AC 2  =  AB  AC   BC  2a  b  c    b  c  = AB AC  a  b  a  c  2 4a2  4a  b  c  ap = =  a  b  b  c   a  b  b  c  Suy ap bc  A  A sin2     cos       a  b  a  c   a  b  a  c  2 2 Do đó:  A sin2    A    bc tan2      cos  A  pa   2 Chứng minh tương tự, ta có: B C sin2   sin2   B    ac ; tan2  C      ab tan2        cos  B  pb   cos  C  pc     2 2  A  pa  B  pb  C  pc Nên cot    ; cot    ; cot      bc   ac   ba Ta có:  A B B C C  A cot   cot    cot   cot    cot   cot   2 2 2 2 2 2 pa pb pb pc pc pa       bc ac ac ab ab bc  1 1  p2     a b c  1 2  a  b  c     a b c  Trang 27 SVTH: Ngô Thị Ánh Ly 1 2 Xét hàm g  a, b, c    a  b  c      a b c  Dễ dàng kiểm tra g  a, b, c  hàm phân thức quy biến Áp dụng định lý 1.3.2 cho hàm phân thức quy g  a, b, c  , ta g  a, b, c   g 1,1,1  27 Vậy bất đẳng thức  2.3 Chứng minh đẳng thức: Đối với toán chứng minh đẳng thức ta phải bắt nguồn từ hàm phân thức quy f  x  sau sử dụng tính chất 1.1.4 để suy f  x  n hàm phân thức quy Thực khai triển f  x  ta thu n đẳng thức cần chứng minh Bài toán 2.3.1 Chứng minh rằng: Cn1  2Cn2  3Cn3   nCnn  n.2n1  Giải: Ta có: f  x   x  hàm phân thức quy x 1.1   1  n 1  Suy f  x    x   hàm phân thức quy ( theo tính x  n chất 1.1.4) n n 1  1 Mà  x     Cni x i   x  i 0  x ni n   Cni x i i 0 n  Cni x 2i n  n i x i 0 Vì f n  x  hàm phân thức quy nên ta suy Trang 28 SVTH: Ngô Thị Ánh Ly n  C  2i  n   i n i 0 n n i 0 i 0  2 Cni i  n Cni n C Lại có  2n i n i 0 Nên n 2 i.Cni  n.2 n i 0 n   i.Cni  n.2 n1 i 0  0.Cn0  1.Cn1  2Cn2  3Cn3   nCnn  n.2 n1  Cn1  2Cn2  3Cn3   nCnn  n.2 n1 Vậy  chứng minh xong Bài toán 2.3.2 Chứng minh rằng: 21.Cn1  2.22.Cn2  3.23.Cn3  4.24.Cn4   n.2n.Cnn  2n.3n1  Giải: Ta có g  x   x  hàm phân thức quy x2 2.1   2   n   Suy g  x    x   hàm phân thức quy x   n Mà n n  i   i  x     Cn  x    x  i 0  x  n i n   C x x i 0 i n i i i 2 n n   Cni 2i x 3i 2 n i 0 Vì g n  x  hàm phân thức quy nên suy ra: Trang 29 SVTH: Ngô Thị Ánh Ly n  C  3i  2n   i n i 0 i n n i 0 i 0   Cni 2i.3i   Cni 2i.2n  n n i 0 i 0  3 Cni 2i.i  2n Cni 2i n Mặt khác  x  1   Cni x i n i 0 n Với x     Cni 2i n i 0 Nên : n 3 Cni 2i.i  2n.3n i 0 n   Cni 2i.i  2n.3n1 i 0  20.0.Cn0  21.Cn1  2.22.Cn2  3.23.Cn3  4.2 4.Cn4   n.2 n.Cnn  n.3n1  21.Cn1  2.22.Cn2  3.23.Cn3  4.2 4.Cn4   n.2 n.Cnn  n.3n1 Vậy  chứng minh Bài toán 2.3.3 Chứng minh rằng: 3Cn1  2.32.Cn2  3.33 Cn3   n.3n.Cnn  3n.4n1  Giải: Ta có g  x   3x  hàm phân thức quy x3 3.1   3  n 1  Suy g  x    3x   hàm phân thức quy x   n Mà Trang 30 SVTH: Ngô Thị Ánh Ly n n 1 i   i  3x     Cn  3x    x  i 0  x  n i n   C x x i 0 i i n i 3i 3n n   Cni 3i x 4i 3n i 0 Vì g n  x  hàm phân thức quy nên suy ra: n  C  4i  3n   i 0 i i n n n i 0 i 0   Cni 3i.4i   Cni 3i.3n  n n  4 C i  3n Cni 3i i 0 i i n i 0 n Mặt khác  x  1   Cni x i n i 0 n Với x   n   Cni 3i i 0 Nên : n 4 Cni 3i.i  3n.4 n i 0 n   Cni 3i.i  3n.4 n1 i 0  30.0.Cn0  1.31.Cn1  2.32.Cn2  3.33.Cn3  4.34.Cn4   n.4 n.Cnn  3n.4 n1  31.Cn1  2.32.Cn2  3.33.Cn3  4.34.Cn4   n.3n.Cnn  3n.4 n1 Vậy  chứng minh Trang 31 SVTH: Ngô Thị Ánh Ly KẾT LUẬN Trong khn khổ khóa luận tốt nghiệp đại học sinh viên, đề tài “Hàm phân thức quy ứng dụng toán sơ cấp” thu kết sau: - Hệ thống hóa lại kiến thức hàm phân thức quy, chứng minh tính chất định lý hàm phân thức quy - Ứng dụng hàm phân thức quy việc giải ba dạng tốn thường gặp: toán cực trị, chứng minh bất đẳng thức, chứng minh đẳng thức Nội dung đề tài tài liệu tham khảo tốt cho học sinh, giáo viên phổ thông, quan tâm đến lớp hàm có cấu trúc đặc biêt Với kiến thức thời gian hạn chế, đề tài khơng tránh khỏi thiếu sót chưa khai thác hết dạng toán liên quan đến việc ứng dụng hàm phân thức quy, tơi mong nhận ủng hộ đóng góp ý kiến thầy giáo, cô giáo bạn sinh viên để đề tài ngày hoàn thiện Hy vọng kết đề tài tiếp tục mở rộng hoàn thiện nhằm phục vụ cho việc dạy học toán bậc phổ thông Trang 32 SVTH: Ngô Thị Ánh Ly TÀI LIỆU THAM KHẢO [1] Bộ Giáo dục Đào tạo – Hội Toán học Việt Nam (1997), Tuyển tập 30 năm tạp chí Tốn học tuổi trẻ, Nhà xuất Giáo dục [2] Hoàng Văn Hùng, Cực trị lớp hàm có dạng tỉ số hai hàm đại số Trong: Tạp chí Khoa học Cơng nghệ Hàng hải, số 24 – 11/ 2010, trang: 103- 108 [3] Nguyễn Văn Mậu (2006), Bất đẳng thức – Định lý áp dụng, Nhà xuất Giáo dục [4] Nguyễn Thị Sinh, Hàm phân thức quy ứng dụng Trong: Tạp chí Khoa học Giáo dục, 2016, Trường Đại học Sư phạm – Đại học Đà Nẵng, trang: 10-13 [5] Mathscope.org, Tuyển tập bất đẳng thức, Trang 33 ... hiểu, nghiên cứu kiến thức hàm phân thức quy ứng dụng hàm phân thức quy cơng cụ để giải lớp toán lĩnh vực toán sơ cấp Nhiệm vụ nghiên cứu: - Cung cấp kiến thức hàm phân thức quy - Trang bị cho học... thức hàm phân thức quy, chứng minh tính chất định lý hàm phân thức quy - Ứng dụng hàm phân thức quy việc giải ba dạng tốn thường gặp: toán cực trị, chứng minh bất đẳng thức, chứng minh đẳng thức. .. định lý hàm phân thức quy số bất đẳng thức sử dụng chương luận văn Chương 2: Một số ứng dụng hàm phân thức quy Nội dung chương trình bày ứng dụng hàm phân thức quy việc giải tốn cực trị, chứng minh