Bài viết này đề cập đến một lớp hàm số có cấu trúc đặc biệt, đó là hàm phân thức chính quy. Chứng minh định lý cơ bản về giá trị nhỏ nhất của hàm phân thức chính quy, đồng thời nêu lên ứng dụng của hàm phân thức chính quy trong việc giải một số dạng toán thường gặp như các bài toán cực trị, chứng minh đẳng thức, bất đẳng thức.
UED Journal of Social Sciences, Humanities & Education – ISSN 1859 - 4603 TẠP CHÍ KHOA HỌC XÃ HỘI, NHÂN VĂN & GIÁO DỤC HÀM PHÂN THỨC CHÍNH QUY VÀ ỨNG DỤNG Nguyễn Thị Sinh Nhận bài: 07 – 11 – 2015 Chấp nhận đăng: 01 – 03 – 2016 http://jshe.ued.udn.vn/ Tóm tắt: Trong chương trình tốn phổ thơng, phân thức hữu tỷ khái niệm Đã có nhiều dạng tốn dãy số, đẳng thức, bất đẳng thức, phương trình, bất phương trình, hệ phương trình, hệ bất phương trình,… liên quan đến hàm số dạng phân thức Chính thế, việc nắm bắt tính chất hàm phân thức vận dụng tính đặc thù biểu thức phân thức cho để giải dạng toán thực cần thiết Bài báo đề cập đến lớp hàm số có cấu trúc đặc biệt, hàm phân thức quy Chứng minh định lý giá trị nhỏ hàm phân thức quy, đồng thời nêu lên ứng dụng hàm phân thức quy việc giải số dạng toán thường gặp toán cực trị, chứng minh đẳng thức, bất đẳng thức… Từ khóa: Hàm phân thức; hàm phân thức quy; hàm phân thức quy ứng dụng; bất đẳng thức; giá trị nhỏ Hàm phân thức quy biến [1] Định nghĩa 1.1 Hàm số f ( x ) xác định + tập R , n f ( x ) = x i i =1 gọi hàm phân thức quy + x x3 g ( x) = xi , 0, i = 1,2, , n thỏa mãn hàm phân thức quy Chứng minh Ta có − q p n = x i − q p q q q a1 1 − + a − + + a n n − p p p = (a11 + a2 + + an n ) − q (a1 + a2 + + an ) = p Vậy f (x ) hàm phân thức quy Tính chất 1.1 Nếu f (x ) hàm phân thức quy f ( x) với * Liên hệ tác giả Nguyễn Thị Sinh Trường Đại học Sư phạm - Đại học Đà Nẵng Email: sinhsp@gmail.com 10 | q p Lại có Nhận xét 1.1 Với hàm phân thức dạng i =1 − (p > 0) i =1 Ví dụ: Hàm số sau hàm phân thức quy n hàm số f ( x) = g ( x) x f ( x) = g ( x) x ai 0, i = 1, n n a i i = i =1 f ( x) = + x + x + x + a1 + a2 + + an = p a11 + a2 + + an n = q Tạp chí Khoa học Xã hội, Nhân văn & Giáo dục, Tập 6, số (2016),10-14 x ISSN 1859 - 4603 - Tạp chí Khoa học Xã hội, Nhân văn & Giáo dục, Tập 6, số (2016),10-14 Tính chất 1.2 Nếu f (x ) g (x) hàm phân thức quy với cặp số dương , , −4 Tính chất 1.3 Nếu f (x ) hàm phân thức quy hàm số h( x ) = f ( x ) , m N phân thức quy hàm phân thức thành phần f (x1 , x2 , , xn ) hàm phân thức quy * Định lý 2.2 Với hàm phân thức quy dạng m hàm phân thức quy f ( x1 , x2 , , xn ) = x1 i1 x2 Định nghĩa 2.1 Hàm số f (x1 , x2 , , xn ) gọi phân thức quy i i =1 Hàm phân thức quy nhiều biến [1] hàm −2 Định lý 2.1 Hàm số f (x1 , x2 , , xn ) hàm hàm phân thức quy f ( y) = y + y + y h ( x ) = f ( x ) + g ( x ) −2 −1 hàm số m f1 ( x) = x + x + x tập R + R + R + có dạng m f ( x1 , x2 , , xn ) = x1i1 x2 i xn in , i =1 không đồng 0, 0, i = 1,2, m x R + R + R + xn ta in với có m f (x1 , x2 , , xn ) i =1 Chứng minh Vận dụng bất đẳng thức trung bình cộng - trung bình nhân suy rộng cho hai số dương n n n i =1 i =1 i =1 xi 1i , xi 21i , , xi mi ; a1 , a2 , , am ; a1 11 + a 2 21 + + a m m1 = a1 12 + a 2 22 + + a m m = a1 1n + a 2 n + + a m m n = Định nghĩa 2.2 Giả sử f (x1 , x2 , , xn ) hàm phân thức quy Định nghĩa 2.1, hàm số m f j ( x j ) = x j ij , j = 1, 2, , n f ( x1 , x2 , , xn ) a1 + a + + a m m m m a + a + + am ai i1 ai i a x1 i =1 x2 i =1 xn i =1 i in =1 Từ suy m f (x1 , x2 , , xn ) i =1 Dấu đẳng thức xảy i =1 gọi phân thức thành phần biến x j f (x1 , x2 , , xn ) x1 = x2 = = xn = Hệ 2.1 Với hàm phân thức quy f (x1 , x2 , , xn ) tập R + R + R + , ta có Ví dụ: Hàm phân thức quy −4 ta có: −1 −2 −2 f ( x, y) = x y + x y + x y có hàm phân thức thành phần: f ( x1 , x2 , , xn ) = f (1,1, ,1) Một số ứng dụng hàm phân thức quy Các kết hàm phân thức quy thu mục ứng dụng để giải toán cực trị, chứng minh bất đẳng thức, … 11 Nguyễn Thị Sinh Bài tốn 3.1 Tìm giá trị nhỏ hàm số sau miền biến dương a) f ( x) = x + n 2n x n +3 −n + n 2i − i =1 b) g ( x, y) = y n x n+1 + x i +1 i =1 2i x iy i Giải a) Ta có 2i − n (4i + 2) − (2i + 3) = i 2i i =1 i =1 n 2i + 2i + = i −1 − i i =1 n 5 2n + 2n + = − + − + + n−1 − 2 2 2n = 3− 2n + 2n n i =1 i g (1,1) = + Bài toán 3.2 Cho a, b p , q Chứng minh bất đẳng thức sau ab a p bq + p q Giải Bất đẳng thức (*) rõ ràng ab = , dó ta cần chứng minh (*) a , b Nhận thấy a , b bất đẳng thức (*) tương đương với p −1 −1 −1 q −1 a b + a b 1 p q f ( a, b) = 2n + n 2i − − i =0 2n i =1 Suy f (x ) hàm phân thức quy Vậy giá trị nhỏ f (x ) n f (1) = + (2i − 1) = + n i =1 b) Ta có 1 i =1 i =1 1 1 = − + − + + − 2 n n +1 n n i(i + 1) = i − i + = 1− n = n +1 n +1 nên n −n + =0 n + i =1 i (i + 1) (−i ) n+ =0 i =1 i n Vậy giá trị nhỏ g ( x, y ) p −1 −1 −1 q −1 a b + a b p q Rõ ràng f ( a , b ) hàm phân thức quy hai biến a, b p −1 1 − = − + = q p p q − + q − = − + = p q p q Từ suy f (a, b) f (1,1) = 1 + =1 p q Vậy bất đẳng thức (*) chứng minh Bài toán 3.3 Cho x, y Chứng minh 3x 12 + − −2 x y x y Giải Ta đưa toán dạng phân thức quy để áp dụng tính chất Thật bất đẳng thức cần chứng minh tương đương với x −3 y + 3x y −6 + x y 12 Suy g ( x, y ) hàm phân thức quy 12 (*) Xét hàm nên 3− 1 + = với p q Xét hàm ISSN 1859 - 4603 - Tạp chí Khoa học Xã hội, Nhân văn & Giáo dục, Tập 6, số (2016),10-14 f ( x, y ) = x −3 y + 3x y −6 + x y 5+ Nhận xét f ( x, y ) hàm phân thức 9a b c 9a bc + + + + + c2 c Cộng vế theo vế bất đẳng thức ta có quy hai biến 7.( −3) + 3.5 + 2.3 = 7.2 + 3.( −6) + 2.2 = 39 1 1 S 5 + + a b c Áp dụng định lý 2.2 cho hàm phân thức quy + (a + b + c) + (ab + bc + ca ) f ( x, y ) , ta thu f ( x, y ) f (1,1) = 12 Vậy bất đẳng thức chứng minh xong Đặt 1 1 g (a, b, c) = 5 + + a b c Bài toán 3.4 Cho a, b, c ba số thực dương, + (a + b + c) + (ab + bc + ca ) chứng minh ( ) a) a + b + c + 1 + + + 11 ab bc ca abc 2 Ta nhận thấy g (a, b, c) hàm phân thức quy, nên 2 9b c a 9c a b + + + 2+ + 2 4 a b b) S = + 9a b c + + 39 c2 Giải a) Xét hàm số ( f (a, b, c) = a + b + c ) 1 + + + + ab bc ca abc Dễ dàng kiểm tra f ( a, b, c ) hàm phân thức quy, nên f (a, b, c) f (1,1,1) = 11 g (a, b, c) g (1,1,1) = Hay S 117 39 Dấu đẳng thức xảy a = b = c = Kết luận Bài báo giới thiệu lớp hàm số có cấu trúc đặc biệt, hàm phân thức quy với tính chất chúng, đồng thời nêu lên ứng dụng hàm phân thức quy việc giải số dạng toán sơ cấp thường gặp Dấu đẳng thức xảy a = b = c = Tài liệu tham khảo b) Áp dụng bất đẳng thức Cauchy – Schwarz, ta có [1] Trần Đức Huyên (1993), Bất đẳng thức, Nhà xuất Trẻ [2] Nguyễn Văn Mậu (2006), Bất đẳng thức - Định lý áp dụng, Nhà xuất Giáo dục [3] Nguyễn Văn Mậu (2007), Các toán nội suy áp dụng, Nhà xuất Giáo dục [4] Bộ Giáo dục Đào tạo – Hội Toán học Việt Nam (1997), Tuyển tập 30 năm tạp chí Tốn học tuổi trẻ, Nhà xuất Giáo dục 5+ 9b c a 9b ca + + + + + a2 a 5+ 9c a b 9c ab + + + + + b2 b REGULAR RATIONAL FUNCTIONS AND THEIR APPLICATIONS Abstract: In the high school mathmatics curriculum, the notion of rational functions is one of the basic concepts There are many types of math problems about sequences, equalities, inequalities, equations, inequations, systems of equations, systems of 13 Nguyễn Thị Sinh inequations,… that are related to the rational functions Therefore, it is really necessary to grasp the properties of the rational functions and to apply the distinctive character of the given functions in solving these types of maths problems This paper presents a class of functions with special structures, which are regular rational functions We have proved a fundamental theorem on the minimum values of regular rational functions, and then gived some applications of the regular rational functions in solving a number of common types of maths problems such as extrema, equalities, inequalities,… Key words: rational function; regular rational functions; regular rational functions and their applications; inequalities; minimum value 14 ... phân thức quy * Định lý 2.2 Với hàm phân thức quy dạng m hàm phân thức quy f ( x1 , x2 , , xn ) = x1 i1 x2 Định nghĩa 2.1 Hàm số f (x1 , x2 , , xn ) gọi phân thức quy i i =1 Hàm phân thức quy. .. (x) hàm phân thức quy với cặp số dương , , −4 Tính chất 1.3 Nếu f (x ) hàm phân thức quy hàm số h( x ) = f ( x ) , m N phân thức quy hàm phân thức thành phần f (x1 , x2 , , xn ) hàm phân. .. y có hàm phân thức thành phần: f ( x1 , x2 , , xn ) = f (1,1, ,1) Một số ứng dụng hàm phân thức quy Các kết hàm phân thức quy thu mục ứng dụng để giải tốn cực trị, chứng minh bất đẳng thức,