Mục lụcMở đầu1Chương 1. Kiến thức chuẩn bị21.1. Xây dựng vành KX21.2. Hàm đa thức61.3. Số học trong KX71.4. Không điểm của đa thức101.5. Đa thức với hệ số phức và thực.12Chương 2. Phân thức hữu tỷ162.1. Xây dựng trường các phân thức hữu tỷ162.2. Phân tích thành phân thức đơn giản222.3. Thực hành phép phân tích thành phân thức đơn giản (PTĐG)282.4. Công thức nội suy Lagrange38Chương 3. Một số bài toán liên quan423.1. Chứng minh đẳng thức với vành phân thức hữu tỷ423.2. Một số lớp phương trình, hệ phương trình với hàm phân thức hữu tỷ453.3. Phương trình hàm trong lớp hàm phân thức hữu tỷ53Kết luận58Tài liệu tham khảo59
ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM LÊ HẢI HÀ VÀNH PHÂN THỨC HỮU TỶ VÀ ỨNG DỤNG KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP THÁI NGUYÊN – NĂM 2014 2 ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM LÊ HẢI HÀ VÀNH PHÂN THỨC HỮU TỶ VÀ ỨNG DỤNG KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP Giảng viên hướng dẫn: T.S TRẦN NGUYÊN AN THÁI NGUYÊN – NĂM 2014 Mục lục Mở đầu 1 Chương 1. Kiến thức chuẩn bị 2 1.1. Xây dựng vành K[X] 2 1.2. Hàm đa thức 6 1.3. Số học trong K[X] 7 1.4. Không điểm của đa thức 10 1.5. Đa thức với hệ số phức và thực 12 Chương 2. Phân thức hữu tỷ 16 2.1. Xây dựng trường các phân thức hữu tỷ 16 2.2. Phân tích thành phân thức đơn giản 22 2.3. Thực hành phép phân tích thành phân thức đơn giản (PTĐG) 28 2.4. Công thức nội suy Lagrange 38 Chương 3. Một số bài toán liên quan 42 3.1. Chứng minh đẳng thức với vành phân thức hữu tỷ 42 3.2. Một số lớp phương trình, hệ phương trình với hàm phân thức hữu tỷ 45 3.3. Phương trình hàm trong lớp hàm phân thức hữu tỷ 53 Kết luận 58 Tài liệu tham khảo 59 Mở đầu Phân thức hữu tỷ là một trong những khái niệm cơ bản của chương trình Toán ở bậc học phổ thông. Đặc biệt, ở các trường THPT chuyên và các lớp chuyên toán có rất nhiều dạng toán liên quan đến hàm phân thức. Hơn nữa phân thức hữu tỷ còn xuất hiện ở cả bậc Đại học trong Đại Số, Giải Tích, Hình Học, Tổ Hợp. Để phục vụ cho việc dạy học sau này cũng như làm tiền đề để nghiên cứu sâu về phân thức hữu tỷ. Tôi đã chọn nghiên cứu đề tài: “ Vành phân thức hữu tỷ và ứng dụng”. Luận văn được chia ra làm ba chương. Chương 1: Là kiến thức chuẩn bị về vành đa thức bao gồm cách xây dựng vành đa thức K[X], hàm đa thức, số học trong vành K[X], không điểm của đa thức và đa thức với hệ số phức và thực, đặc biệt chương này giới thiệu một cách chứng minh của Định lý cơ bản Đại số (Định lý d’Alambert); giới thiệu thuật toán chia theo lũy thừa tăng. Chương 2: Trình bày về phân thức hữu tỷ. Cách xây dựng trường các phân thức hữu tỷ, cách phân tích thành các phân thức đơn giản cũng như cách thực hành phép phân tích đơn giản, Định lý Lagrange và ứng dụng trong phân tích phân thức hữu tỷ Chương 3: Chương này bao gồm các bài toán trên phân thức hữu tỷ và một số phương trinh và phương trình hàm trên hàm phân thức hữu tỷ. Để hoàn thành luân văn này, trước nhất em xin chân thành cảm ơn tới T.S Trần Nguyên An đã dành thời gian hướng dẫn chỉ bảo tận tình giúp đỡ trong suốt quá trình làm luận văn này. Em cũng xin gửi lời cảm ơn chân thành đến các thầy cô đã đọc, kiểm tra, đánh giá và cho những ý kiến quý báu để luận văn được đầy đủ và phong phú hơn. Thái Nguyên, tháng 04 năm 2014 5 Lê Hải Hà Chương 1 Kiến thức chuẩn bị Trong toàn bộ luận văn ta giả sử K là một trường. 1.1. Xây dựng vành đa thức [ ]K X 1.1.1. Định nghĩa. (i). Với mọi dãy ( ) n n a ∈¥ thuộc n K , ta gọi tập hợp các n thuộc ¥ sao cho 0 n a ≠ là giá của ( ) n n a ∈¥ . (ii). Đa thức (một ẩn và lấy hệ tử trong K ) là dãy ( ) n n a ∈¥ bất kỳ thuộc n K có giá hữu hạn. (iii). Tập hợp các đa thức một ẩn và lấy hệ tử trong K kí hiệu là [ ]K X . Như thế, [ ]K X ⊂ K ¥ và với mọi dãy ( ) n n a ∈¥ thuộc K ¥ : ( ) n n a ∈¥ ( ) ( ) [ ] , , 0 . n K X N n n N a∈ ⇔ ∃ ∈ ∀ ∈ > ⇒ =¥ ¥ Các phần tử của [ ]K X cũng được gọi là đa thức hình thức. Ta kí hiệu 0 là dãy hằng không thuộc K ¥ (xác định bởi: , 0 n n a∀ ∈ =¥ ), được gọi là đa thức không. Đa thức hằng là các đa thức ( ) n n a ∈¥ thuộc [ ]K X sao cho: 1, 0. n n a∀ ≥ = Đơn thức là đa thức ( ) n n a ∈¥ thuộc [ ]K X bất kỳ sao cho tồn tại 0 n ∈¥ thỏa mãn: 0 ,( 0). n n n n a∀ ∈ ≠ ⇒ =¥ Nhận xét: (i). Theo 1.1.1, hai đa thức ( ) n n a ∈¥ , ( ) n n b ∈¥ bằng nhau khi và chỉ khi: , . n n n a b∀ ∈ =¥ 6 (ii). [ ]K X K≠ ¥ vì dãy hằng (1) (xác định bởi: , 1 n n a∀ ∈ =¥ ) thuộc K ¥ , không thuộc [ ]K X . Định nghĩa. Cho ( ) [ ]. n n P a K X ∈ = ∈ ¥ (i). Nếu 0P ≠ , số tự nhiên n lớn nhất sao cho 0 n a ≠ gọi là bậc của P, và kí hiệu là deg( )P . Phần tử deg( )P a được gọi là hệ tử của hạng tử có bậc cao nhất (hoặc hệ tử cao nhất) của P. Ta nói rằng P là chuẩn tắc khi và chỉ khi 0P ≠ và deg( )P a =1. Ta kí hiệu deg(0) .= −∞ (ii). Nếu 0P ≠ , định giá của P, kí hiệu là ( )val P , là số tự nhiên n bé nhất sao cho 0 n a ≠ . Ta quy ước (0) .val = +∞ Nhận xét: [ ]\{0}, ( ) deg( ).P K X val P P∀ ∈ ≤ Định nghĩa. Cho ( ) [ ]. n n P a K X ∈ = ∈ ¥ (i). Ta nói rằng P là chẵn khi và chỉ khi: 2 1 , 0. p p a + ∀ ∈ =¥ (ii). Ta nói rằng P là lẻ khi và chỉ khi: 2 , 0. p p a∀ ∈ =¥ 1.1.2. Mệnh đề (Phép cộng). (i). Cho ( ) n n P a ∈ = ¥ , ( ) [ ]. n n Q b K X ∈ = ∈ ¥ Khi đó ( ) [ ], n n n P Q a b K X ∈ + = + ∈ ¥ xác định phép cộng trên K[X]. (ii). Ta có, với P, Q bất kì thuộc [ ]K X : • deg( ) (deg( ),deg( )).P Q Max P Q+ ≤ • deg( ) deg( ) deg( ) (deg( ),deg( )).P Q P Q Max P Q≠ ⇒ + = • ( ) ( ( ), ( )).val P Q Min val P val Q+ ≥ • ( ) ( ) ( ) ( ( ), ( )).val P val Q val P Q Min val P val Q≠ ⇒ + = (iii). ( [ ]K X ,+) là một nhóm Abel. 1.1.3. Mệnh đề (Phép nhân). 7 (i). Cho ( ) n n P a ∈ = ¥ , ( ) [ ]. n n Q b K X ∈ = ∈ ¥ Kí hiệu PQ là dãy ( ) n n n c K ∈ ∈ ¥ xác định bởi: 0 , . n n k n k i j k i j n n c a b a b − = + = ∀ ∈ = = ∑ ∑ ¥ Khi đó PQ [ ]K X∈ , xác định phép nhân trên K[X]. (ii). Ta có: 2 deg( ) deg( ) deg( ) ( , ) ( [ ]) , ( ) ( ) ( ). PQ P Q P Q K X val PQ val P val Q = + ∀ ∈ = + Ta quy ước ở đây rằng: • ( ) ( ) ( ( ) , , .N N N∀ ∈ −∞ + = −∞ +∞ + = +∞¥ • ( ) ( ) ( ) ( ) , .−∞ + −∞ = −∞ +∞ + +∞ = +∞ (iii). ( [ ]K X ,+, g ) là một miền nguyên. (iv). Các phần tử nghịch đảo của vành [ ]K X là các dãy ( ,0, ,0, ) α với { } \ 0 .K α ∈ 1.1.4. Mệnh đề (Luật ngoài). (i). Cho ( ) , [ ]. n n K P a K X λ ∈ ∈ = ∈ ¥ Ta kí hiệu ( ) n n P a λ λ ∈ = ¥ , và ta có: [ ].P K X λ ∈ (ii). Ta có: { } deg( ) deg( ) \ 0 , [ ], . ( ) ( ) P P K P K X val P val P λ λ λ = ∀ ∈ ∀ ∈ = (iii). [ ]K X , được trang bị các luật +, g (ngoài), g (trong) là một K - đại số kết hợp, giao hoán, có đơn vị. (iv). Ánh xạ : [ ]K K X θ → là đơn cấu các K - đại số. 1 λ λ a Mệnh đề trên cho phép “đồng nhất” một phần tử λ thuộc K với một đa thức 1 λ thuộc [ ]K X , tức là “nhúng” K vào [ ]K X . Ta kí hiệu (0,1,0, ,0, )X = 8 là ẩn. Ta sẽ kí hiệu 0 1X = , và với n∀ ∈¥ , 1n n X X X + = . Đặc biệt: 1 X X= . Một phép quy nạp đơn giản chứng tỏ răng: * , (0, ,0,1,0, ,0, ), n n X∀ ∈ =¥ K K K trong đó 1 ở vị trí thứ n (số 0 đầu tiên ở vị trí thứ 0). Cho ( ) [ ], n n P a K X N ∈ = ∈ ∈ ¥ ¥ sao cho ( ) degN P≥ , ta có: ( ) ( ) ( ) ( ) 0 1 0 1 0 1 0 , , , ,0, ,0, 1,0, ,0, 0,1,0, ,0, 0, ,0,1,0, ,0, . N N N N n N n n P a a a a a a a a X a X a X = = = + + + = + + + = ∑ K K K K K K K K K K K K Bây giờ ta bỏ kí hiệu ( ) n n a ∈¥ đối với một đa thức, và thay vào đó là kí hiệu 0 N n n n a X = ∑ (trong đó ( ) degN P≥ ), hoặc n n n a X ∈ ∑ ¥ , hoặc 0 n n n a X +∞ = ∑ (để tránh chỉ rõ bậc của đa thức). Đối với 0 [ ] N n n n P a X K X = = ∈ ∑ và n∈¥ , phần tử n a của K được gọi là hệ tử của n X trong P, và đơn thức n n a X là hạng tử bậc n của P. (v). Họ vô hạn ( ) n n X ∈¥ , tức là 2 1, , , , , n X X XK K là một cơ sở K - kgv [ ]K X , gọi là cơ sở chính tắc của [ ]K X . Với n∈¥ cố định, tập hợp { } [ ];deg( )P K X P n∈ ≤ rõ ràng là một K - không gian vector con của [ ]K X , thường được kí hiệu [ ] n K X . Họ hữu hạn 2 1, , , , , n X X XK K là một cơ sở của [ ] n K X , gọi cơ sở chính tắc của [ ] n K X . Vậy ta có: dim( [ ]) 1 n K X n= + . (vi). Cho I là một bộ phận của ¥ , ( ) i i I P ∈ là một học những đa thức thuộc [ ]K X \{0} sao cho: ( ) ( ) ( ) 2 , , deg( deg( ) . i j i j I i j P P ∀ ∈ ≠ ⇒ ≠ Thế thì ( ) i i I P ∈ độc lập trong K - kgv [ ]K X . 1.1.5. Định nghĩa (Phép hợp đa thức). 9 Cho 0 [ ] N n n n P a X K X = = ∈ ∑ và [ ]Q K X∈ . Ta định nghĩa đa thức hợp P Qo (hoặc ( )P Q ) là: P Qo = ( )P Q = 0 N n n n a Q = ∑ . Như vậy, ta được ( )P Q bằng cách thế Q vào chỗ X trong P . 1.1.6. Định nghĩa (Phép đạo hàm). Với mọi 0 [ ] N n n n P a X K X = = ∈ ∑ , đa thức đạo hàm của P , và kí hiệu là ' P , là đa thức được định nghĩa bởi: ( ) 1 ' 1 1 1 0 1 . N N n n n n n n P na X n a X − − + = = = = + ∑ ∑ Ta kí hiệu ( ) ( ) ( ) ' 0 1 '' , 'P P P P P= = = , và với k bất kỳ thuộc ∗ ¥ , ( ) ( ) 1 ' ( ) k k P P − = . Với những kí hiệu trên, nếu 0N = thì 0P = . 1.2. Hàm đa thức 1.2.1. Định nghĩa. Với mọi 0 [ ] N n n n P a X K X = = ∈ ∑ . Ta kí hiệu :P K K→ % 0 N n n n x a x = ∑ a hàm này gọi là hàm đa thức liên kết với P . 1.2.2. Mệnh đề. Với mọi K α ∈ và , [ ]P Q K X∈ : • ² o o P Q P Q α α + = + . • ² o o PQ PQ= . • ² o o P Q P Q=o o 1.2.3. Mệnh đề. Ánh xạ [ ] K K X K→ là đơn ánh khi và chỉ khi K vô hạn. o P Pa 10 [...]... K vào K sao cho tồn tại một phân thức hữu tỷ F của K ( X ) o mà f = F được gọi là hàm hữu tỷ (trong K ) Ví dụ: f :£' → £ 1 za 2 z là một hàm hữu tỷ , đó là hàm hữu tỷ liên kết với phân thức hữu tỷ 1 X2 2.2 Phân tích thành phân thức đơn giản Muc này phân tích một phân thức hữu tỷ thành phân thức đơn giản Từ đó ta có thể tính các nguyên hàm của phân thức hữu tỷ hay phân tích thành chuỗi nguyên của phân. .. (tướng ứng: đúng bằng α ) của P (iii) Các đa thức bất khả quy của ¡ [ X ] là: Các đa thức bậc nhất hoặc các đa thức bội hai biệt thức . (deg( ),deg( )).P Q P Q Max P Q≠ ⇒ + = • ( ) ( ( ), ( )).val P Q Min val P val Q+ ≥ • ( ) ( ) ( ) ( ( ), ( )).val P val Q val P Q Min val P val Q≠ ⇒ + = (iii). ( [ ]K X ,+) là một nhóm Abel. 1.1.3 0P ≠ , định giá của P, kí hiệu là ( )val P , là số tự nhiên n bé nhất sao cho 0 n a ≠ . Ta quy ước (0) .val = +∞ Nhận xét: [ ]{0}, ( ) deg( ).P K X val P P∀ ∈ ≤ Định nghĩa. Cho ( ) [ ]. n. trên K[X]. (ii). Ta có: 2 deg( ) deg( ) deg( ) ( , ) ( [ ]) , ( ) ( ) ( ). PQ P Q P Q K X val PQ val P val Q = + ∀ ∈ = + Ta quy ước ở đây rằng: • ( ) ( ) ( ( ) , , .N N N∀ ∈ −∞ + = −∞ +∞